1.1 数列概念(1)

2.1 数列的概念与简单表示法（一）
【学习目标】
1．理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型． 2．探索并掌握数列的几种简单表示法．
3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式． 【学法指导】
1．在理解数列概念时，应区分数列与集合两个不同的概念． 2．类比函数的表示方法来理解数列的几种表示方法．
3．由数列的前几项，写出数列的一个通项公式是本节的难点之一，突破难点的方法：把序号标在项的旁边，观察项与序号的关系，从而写出通项公式． 【学习过程】
阅读课本第28页到第29页的内容，尝试回答以下问题：
1．按照一定顺序排列的一列数称为 ，数列中的每一个数叫做这个数列的 ．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做___项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，···，排在第n 位的数称为这个数列的第 项．
2．数列的一般形式可以写成a 1，a 2，···，a n ，···，简记为 ． 3．项数有限的数列叫做 数列，项数无限的数列叫做____数列．
4．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的 公式． 探究点一 数列的概念
问题 先看下面的几组例子：
(1)全体自然数按从小到大排成一列数：0，1，2，3，4，···；
(2)正整数1，2，3，4，5的倒数排成一列数：1，12，13，14，1
5
；
(3)π精确到1，0.1，0.01，0.001，···的不足近似值排成一列数：3，3.1，3.14，3.141，···；
(4)无穷多个1排成一列数：1，1，1，1，1，···；
(5)n 分别取1，2，3，4，5，···时，(－1)n
的值排成一列数：－1，1，－1，1，－1，···
请你根据上面的例子尝试给数列下个定义．
探究 数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有怎样的性质？
探究点二 数列的几种表示方法
问题 数列的一般形式是什么？回忆一下函数的表示方法，想一想除了列举法外，数列还有哪些表示方法？
探究 下面是用列举法给出的数列，请你根据题目要求补充完整．
(1)数列：1，3，5，7，9，··· ①用公式法表示：a n ＝ ； ②用列表法表示：
③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出)：
(2)数列：1，1
2，
1
3，
1
4，
1
5，···
①用公式法表示：a n＝.
②用列表法表示：
③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出)：
探究点三数列的通项公式
问题什么叫做数列的通项公式？谈谈你对数列通项公式的理解？
探究根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察数列的特征，并进行联想、转化、归纳，同时要熟悉一些常见数列的通项公式．下表中的一些基本数列，你能准确快速地写出它们的通项公式吗？
例1根据数列的通项公式，分别写出数列的前5项与第2 012项．
(1)a n＝cos nπ2；
(2)b n＝
1
1×2＋
1
2×3＋
1
3×4＋…＋
1
(1)
n n
.
小结 由数列的通项公式可以求出数列的指定项，要注意n ＝1，2，3，···如果数列的通项公式较为复杂，应考虑运算化简后再求值．
跟踪训练1 根据下面数列的通项公式，写出它的前4项．
(1)a n ＝2n
＋1；(2) 1(1)2
n
n b -+-=.
例2 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)1，－3，5，－7,9，···； (2)12，2，92，8，252
，···； (3)9，99，999，9 999，···； (4)0，1，0，1，···
小结 据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．
跟踪训练2 写出下列数列的一个通项公式：
(1)212，414，618，8116
，···；
(2)0.9，0.99，0.999，0.999 9，···；
(3)－12，16，－112，120，···
例3 已知数列{a n }的通项公式(1)(1)
(21)(21)
n n n a n n -+=-+.
(1)写出它的第10项；
(2)判断2
33是不是该数列中的项．
小结 判断某数列是否为数列中的项，只需将它代入通项公式中求n 的值，若存在正整数n ，则说明该数是数列中的项，否则就不是该数列中的项．
跟踪训练3 已知数列{a n }的通项公式为*1()(2)n a n N n n =∈+，那么1
120是这个数列的
第______项． 【基础达标】
1．下列叙述正确的是 ( )
A ．数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列
B ．数列0，1，2，3，···可以表示为{n}
C ．数列0，1，0，1，···是常数列
D ．数列{n
n ＋1
}是递增数列
2．观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，3，5，7，___，11，··· 3．已知下列数列：
(1)2 000，2 004，2 008，2 012；
(2)0，12，2
3，···，n －1n ，···；
(3)1，12，14，····，12
n －1，···；
(4)1，－23，3
5，···，－n －
1·n 2n －1
，···；
(5)1，0，－1，···，sin nπ
2
，···；
(6)6，6，6，6，6，6.
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________，周期数列是________．(将合理的序号填在横线上) 4．写出下列数列的一个通项公式：
(1)a ，b ，a ，b ，···；
(2)－1，85，－157，24
9
，···
【课堂小结】
1．{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，···，a n ，···，是数列的一种简记形式．而a n 只表示数列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系． 2．数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法． 3．由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系．同时，要善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到问题的解决．。