第二章 连续时间系统时域分析-52页精选文档
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信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1.1
对系统进行分析时, 首先要建立系统的数学模型。 对于电的系统, 只要利用理想的电路元件, 根据基尔霍 夫定律, 就可以列出一个或一组描述电路特征的线性 微分方程。 现举例来说明微分方程的建立方法。
第二章 连续时间系统的时域分析
例2.1 图2.1所示为RLC串联电路, 求电路中电流i(t) 与激励e(t)之间的关系。
第二章 连续时间系统的时域分析
(3)
y(t) C 1 e t C 2 e 6 t5 2c 0 1o 2 t)s 5 3 (s0i2 n t) (
D(p)y(t)=N(p)f(t)
y(t) N(p) f (t) D(P)
式(2.15)中的 N ( p ) 定义为转移算子, 用H(p)表示,
D (P)
(2.14) (2.15)
H (p ) N D ( (P p ) ) b a m n p p m n a b n m 1 1 p p n m 1 1 a b 1 1 p p a b 0 0 (2.16)
t0
解 (1) 齐次解。 由例2.4 yh (t)=C1e-t+C2e-6t
第二章 连续时间系统的时域分析
(2) 特解。 查表2.2, yp(t)=B1cos (2t)+B2sin(2t)
－14B1+2B2－6=0 2B1+14B2=0
于是,
B15201,
B2530
yp(t)5 20 c 1o2ts) (530 si2 nt)(
第二章 连续时间系统的时域分析
3. 用算子符号表示微分方程, 不仅书写简便, 而且在建 立系统的数学模型时也很方便。 把电路中的基本元件R、 L、 C的伏安关系用微分算子形式来表示, 可以得到相应 的算子模型, 如表2.1所示。
第2章连续系统的时域分析
信号与线性系统 令 t 0 ，可得
2.2 LTI连续系统的响应
1 uC (0 ) uC (0 ) C
0
0
iC ( )d 0
如果 iC ( t ) 为有限值，则
此时
0 0
iC ( )d 0
uC (0 ) uC (0 )
如果 iC ( t ) ( t ) ，则
y( t ) 2e
2 t
e
3 t
2 cos( t
4
),
t 0
瞬态响应
2-13
稳态响应
信号与线性系统
二、初始条件的确定
(1) t = 0＋与t = 0－的概念
认为换路在 t=0时刻进行
x(0 ) x(0 )
x(t)
0－ 0＋
：换路前一瞬间 ：换路后一瞬间
x(0 ) x(0 )
2-18
信号与线性系统
2.2 LTI连续系统的响应
(3)初始条件的确定
这里我们介绍用冲激函数匹配法来确定 0 状态的
值，它的基本原理根据 t 0 时刻微分方程左右两端
的 ( t ) 及其各阶导数应该平衡相等。
2-19
信号与线性系统
2.2 LTI连续系统的响应
例2-2：如果描述系统的微分方程为 y ( t ) 3 y ( t ) 3 ( t ) ，给 定 0 状态起始值为 y(0 ) ，确定它 0 的状态 y(0 ) 。
2-4
激励及其各 阶导数(最 高阶为m次)
信号与线性系统 (1)齐次解是齐次微分方程
2.2 LTI连续系统的响应 的解。
y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0
信号与系统第2章 连续时间信号与系统的时域分析[精]
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2.3.4 关于 0-与0+ 值
由 于 激 励 信号 的 作用 ， 响 应 r(t) 及 其 各阶 导 数 可能 在 t 0 处 发 生 跳 变， 即 r(0 ) r(0 ) ，其跳变量以 [r(0 ) r(0)] 表示。这样对于已知系统，一旦系统微分 方程确定，判断其在 t 0 处是否发生跳变完全取决于微分方程右端自由项中是否 包含冲激函数 (t) 及其导数。如果包含 (t) 及其导数，则在 t 0 处发生跳变，否则 没有发生跳变。而关于这些跳变量的数值，可以根据微分方程两边 (t) 函数平衡的 原理来计算。
r
''(0
)
r
''(0
)
r '' zs
(0
)
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
2.4.2 零输入响应的求解
设系统的数学模型以 n 阶微分方程表示，即
d nr(t)
d n1r(t)
dr(t)
an dtn an1 dtn1 a1 dt a0r(t)
d me(t)
d m1e(t)
an n
a n1 n1
a1 a0 0
对应式(2.3-5)特征方程的根 1 、 2 、…、 n 称为微分方程的特征根。
当特征根无重根（各不相同）、都是单根时，微分方程的齐次解为
rh (t) A1e1t A2e2t
n
Anent Aieit i 1
f (t) 2
1
/ 2 0 / 2
f1 (t )
1 t
0 图 2.1-1 信号的相加
f2 (t)
1
t
由 于 激 励 信号 的 作用 ， 响 应 r(t) 及 其 各阶 导 数 可能 在 t 0 处 发 生 跳 变， 即 r(0 ) r(0 ) ，其跳变量以 [r(0 ) r(0)] 表示。这样对于已知系统，一旦系统微分 方程确定，判断其在 t 0 处是否发生跳变完全取决于微分方程右端自由项中是否 包含冲激函数 (t) 及其导数。如果包含 (t) 及其导数，则在 t 0 处发生跳变，否则 没有发生跳变。而关于这些跳变量的数值，可以根据微分方程两边 (t) 函数平衡的 原理来计算。
r
''(0
)
r
''(0
)
r '' zs
(0
)
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
2.4.2 零输入响应的求解
设系统的数学模型以 n 阶微分方程表示，即
d nr(t)
d n1r(t)
dr(t)
an dtn an1 dtn1 a1 dt a0r(t)
d me(t)
d m1e(t)
an n
a n1 n1
a1 a0 0
对应式(2.3-5)特征方程的根 1 、 2 、…、 n 称为微分方程的特征根。
当特征根无重根（各不相同）、都是单根时，微分方程的齐次解为
rh (t) A1e1t A2e2t
n
Anent Aieit i 1
f (t) 2
1
/ 2 0 / 2
f1 (t )
1 t
0 图 2.1-1 信号的相加
f2 (t)
1
t
第2章 连续时间系统的时域分析
第2章 连续时间系统的时域分析2.1基本要求1. 掌握建立连续时间系统的数学模型的方法，对于电系统会借助微分算子与积分算子来建立系统的微分方程。
2. 掌握微分方程的时域求解方法。
(1) 时域完全解可分解为“齐次解+特解”、“零输入响应+零状态响应”、“稳态响应+瞬态响应”和“自由响应+强迫响应”。
(2) 了解用经典法求解微分方程的步骤：①能求出典型激励函数[E 、p t 、t e α、cos()t ω、sin()t ω、]作用下的特解； ②深刻理解起始点的跳变(从0-到0+状态的转换)，了解由0-状态求0+状态的方法；③掌握微分方程的齐次解的求解方法，牢固掌握微分方程的特征方程、特征根的求法及由特征根写齐次解的方法；④掌握求完全解的方法。
(3)掌握零输入响应()zi r t 的求解方法。
(4)牢固掌握用卷积积分求解零状态响应()zs r t 的方法：①冲激响应()h t 的计算方法，重点学会用转移算子()H p 求()h t ； ②深刻理解()()()zs r t e t h t =*的物理意义；③熟记最基本的卷积积分公式，掌握借助图解法来确定卷积积分的上、下限的方法，会用基本卷积公式及图解法求()zs r t 。
2.2公式摘要2.2.1根据特征根情况设齐次解形式1. 若特征根12,,,n ααα 为互不相同实根，齐次解可设为1212()n ttth n r t A eA eA eααα=+++ 。
其中12,,,n A A A 为待定系数。
2. 若1α为k 重特征根，则与1α有关的齐次解部分可设为1212()k k tk A tA tA eα--+++ 。
其中12,,,k A A A 为待定系数。
3. 若1α与2α为一重共轭复根p j q ±，则对应齐次解部分可设为12(cos sin )pte A qt A qt +。
其中12,A A 为待定系数。
4. 若1α与2α为k 重共轭复根p jq ±，则对应齐次解部分可设为1111[()cos ()sin ]ptk k k k e A tA qtB tB qt --+++++ 。
第二章_连续时间系统的时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1 引言 2.2 微分方程式的建立与求解 2.3 起始点的跳变—从0-到0+状态的转换 2.4 零输入响应和零状态响应 2.5 冲激响应与阶跃响应 2.6 卷积 2.7 卷积的性质
1
重点和难点
重点： 连续时间系统的零输入响应和零状态响应的含义和求解； 理解冲激响应、阶跃响应的意义，掌握其求解方法；
R1i ( t ) v C ( t ) e ( t ), t 0
4 6 5 14 5 A
e (0 ) v C (0 )
1 d d i (0 ) e (0 ) v C (0 ) dt R1 d t dt d
1/C iC(0+)
10 B 4 4 B 8 5
12
(4)
完全响应
i ( t ) A1 e
2 t
A2 e
5t
8/5
d dt i(0 )
(5)
确定换路后的 i ( 0 ) 和
13
§2.3 起始点的跳变—从0-到0+状态的转换 一、初始条件的求解——根据电路求
激励e(t)在t=0时刻加入，系统的响应区间为 0 t
d dt
n 1
n 1
r ( 0 )]
求解方法：根据系统的起始状态、激励信号情况以及元 件约束和网络拓扑约束求。
14
求初始条件
（1）首先求出vC(0-)和iL(0-)，即电容上的起始电压和 电感中的起始电流。 （2）根据能量连续性原理： a)当没有冲激电流（或阶跃电压）作用于电容C 有
v C (0 ) v C (0 )
6
a) 求齐次解rh(t)：系统固有的响应
2.1 引言 2.2 微分方程式的建立与求解 2.3 起始点的跳变—从0-到0+状态的转换 2.4 零输入响应和零状态响应 2.5 冲激响应与阶跃响应 2.6 卷积 2.7 卷积的性质
1
重点和难点
重点： 连续时间系统的零输入响应和零状态响应的含义和求解； 理解冲激响应、阶跃响应的意义，掌握其求解方法；
R1i ( t ) v C ( t ) e ( t ), t 0
4 6 5 14 5 A
e (0 ) v C (0 )
1 d d i (0 ) e (0 ) v C (0 ) dt R1 d t dt d
1/C iC(0+)
10 B 4 4 B 8 5
12
(4)
完全响应
i ( t ) A1 e
2 t
A2 e
5t
8/5
d dt i(0 )
(5)
确定换路后的 i ( 0 ) 和
13
§2.3 起始点的跳变—从0-到0+状态的转换 一、初始条件的求解——根据电路求
激励e(t)在t=0时刻加入，系统的响应区间为 0 t
d dt
n 1
n 1
r ( 0 )]
求解方法：根据系统的起始状态、激励信号情况以及元 件约束和网络拓扑约束求。
14
求初始条件
（1）首先求出vC(0-)和iL(0-)，即电容上的起始电压和 电感中的起始电流。 （2）根据能量连续性原理： a)当没有冲激电流（或阶跃电压）作用于电容C 有
v C (0 ) v C (0 )
6
a) 求齐次解rh(t)：系统固有的响应
第二章连续时间系统的时域分析
Bet
B1 cos(wt) B2 sin(wt)
(B1t p Bpt Bp1)et cos(wt) (D1t p Dpt Dp1)et sin(wt)
•若表中的特解与齐次解重复，则应在特解中增加一项：t倍乘 表中特解。
例子2-4
给定微分方程式
d2 dt 2
(t )
例2-2
如图所示机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧牵
引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦系数为
f，外加牵引力为Fs(t)，求外加牵引力Fs(t)与刚体运动速度
v(t)间的关系。
解：由机械系统元件特性：弹簧在弹性限
Fm k Fk
m
度内，拉力Ｆk与位移x成正比。
t
Fs
x(t) v( )d
３、齐次方程的求解
（1）特征根的求解
齐次方程为：
C0
dn dt n
r(t)
C1
d n1 dt n1
r(t)
Cn1
d dt
r(t)
Cnr(t)
0
齐次方程的解为： r(t) Aet 或Aet 函数的线性组合。
将其解代入齐次方程，并化简：
即特征方程为 C0 n C1 n1 Cn 0 解得此方程的n个根：1,2 ,,n 称为微分方程的特征根。
２、微分方程的经典法全解形式
则由时域经典法求解可得其完全解为
r(t) rh (t) rp (t) 其中齐次解 rh (t) 由方程右端为零构成的齐次方程而定；
即由齐次方程的特征方程求出特征根再列写解。
其中特解 rp (t) 根据方程右端激励构成的“自由项”而定。
注: "自由项"为e(t)代入方程右端化简后的函数式
B1 cos(wt) B2 sin(wt)
(B1t p Bpt Bp1)et cos(wt) (D1t p Dpt Dp1)et sin(wt)
•若表中的特解与齐次解重复，则应在特解中增加一项：t倍乘 表中特解。
例子2-4
给定微分方程式
d2 dt 2
(t )
例2-2
如图所示机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧牵
引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦系数为
f，外加牵引力为Fs(t)，求外加牵引力Fs(t)与刚体运动速度
v(t)间的关系。
解：由机械系统元件特性：弹簧在弹性限
Fm k Fk
m
度内，拉力Ｆk与位移x成正比。
t
Fs
x(t) v( )d
３、齐次方程的求解
（1）特征根的求解
齐次方程为：
C0
dn dt n
r(t)
C1
d n1 dt n1
r(t)
Cn1
d dt
r(t)
Cnr(t)
0
齐次方程的解为： r(t) Aet 或Aet 函数的线性组合。
将其解代入齐次方程，并化简：
即特征方程为 C0 n C1 n1 Cn 0 解得此方程的n个根：1,2 ,,n 称为微分方程的特征根。
２、微分方程的经典法全解形式
则由时域经典法求解可得其完全解为
r(t) rh (t) rp (t) 其中齐次解 rh (t) 由方程右端为零构成的齐次方程而定；
即由齐次方程的特征方程求出特征根再列写解。
其中特解 rp (t) 根据方程右端激励构成的“自由项”而定。
注: "自由项"为e(t)代入方程右端化简后的函数式
信号与系统第二章连续时间系统时域分析
)、d dt
r(0 ),...,
d n1 dt n1
r(0 )]
称为系统的起始状态（0-状态）
注意：时刻点是0-
包含系统的全部过去信息
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
初始条件：系统在激励信号加入后瞬间 有一组状态
r (k) (0 )
[r
(0
)、d dt
r(0 ),...,
d n1 dt n1
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
step1.齐次解
齐次解满足齐次微分方程
y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0
由高等数学经典理论知，该齐次微分方程的 特征方程为
λn+an-1λn-1+…+a1λ+a0=0
得到n个根λ1，λ2，…，λn
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
方法一： 根据元件特性约束和网络拓扑约束与换路定理 求初始条件
P57 例2-6
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
方法二：冲激函数匹配法 当系统已有微分方程时使用该法。
冲激匹配法是指为保持系统对应的动态
方程式的恒等，方程式两边所具有的冲激信 号函数及其各阶导数必须相等。
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
什么是起始状态、初始条件
响应区间：激励信号加入之后系统状态变 化的区间。
一般把激励加入的时刻定为t=0 所以系统的响应区间为
0 t
注意：这就是系统响应r(t)的定义域
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
起始状态：系统在激励信号加入之前瞬 间有一组状态
r (k) (0 )
第二章连续时间系统时域分析xin资料
) dt 2
R1
L
R2
diL (t) dt
1 LC
iL (t)
R1 L
diS (t) dt
1 LC
iS
(t)
当R=R=1,L=0.5,C=1时，则有
d
2iL (t) dt 2
4
diL (t) dt
2iL
(t)
2
diS (t) dt
2iS
(t)
结论:
1.LTI系统可以通过常系数线性微分方程来描述，而且方
程的右侧自由项为激励，左侧为系统响应。
2.求解系统的响应转化为求微分方程的解的问题。
第2章 连续时间系统的时域分析
n 阶线性时不变系统的模型
系统
激励：e(t)
响应：r(t)
C0
dn r(t) dtn
C1
dn1 r(t) d t n1
Cn1
d r(t) dt
Cnr(t)
E0
dm d
e(t) tm
E1
Cn1
d
rh (t) dt
Cnrh (t)
0
特征方程： C0n C1n1 Cn1 Cn 0
特征根为： 1, 2,n
由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式
分三种情况讨论（都有n个待定系数Ai ）：
n
无重根时：rh (t)
A e1t 1
A e2t 2
A ent n
A eit i
i 1
有k次重根时：rh (t)
第二章 连续系统的时域分析
➢ 线性连续系统的描述及其响应 ➢ 冲激响应和阶跃响应 ➢ 卷积积分
➢ 系统的微分算子方程
第2章 连续时间系统的时域分析
（系统分析简介）
R1
L
R2
diL (t) dt
1 LC
iL (t)
R1 L
diS (t) dt
1 LC
iS
(t)
当R=R=1,L=0.5,C=1时，则有
d
2iL (t) dt 2
4
diL (t) dt
2iL
(t)
2
diS (t) dt
2iS
(t)
结论:
1.LTI系统可以通过常系数线性微分方程来描述，而且方
程的右侧自由项为激励，左侧为系统响应。
2.求解系统的响应转化为求微分方程的解的问题。
第2章 连续时间系统的时域分析
n 阶线性时不变系统的模型
系统
激励：e(t)
响应：r(t)
C0
dn r(t) dtn
C1
dn1 r(t) d t n1
Cn1
d r(t) dt
Cnr(t)
E0
dm d
e(t) tm
E1
Cn1
d
rh (t) dt
Cnrh (t)
0
特征方程： C0n C1n1 Cn1 Cn 0
特征根为： 1, 2,n
由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式
分三种情况讨论（都有n个待定系数Ai ）：
n
无重根时：rh (t)
A e1t 1
A e2t 2
A ent n
A eit i
i 1
有k次重根时：rh (t)
第二章 连续系统的时域分析
➢ 线性连续系统的描述及其响应 ➢ 冲激响应和阶跃响应 ➢ 卷积积分
➢ 系统的微分算子方程
第2章 连续时间系统的时域分析
（系统分析简介）
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1H
i1 ( t )
解：
i1(t)i2(t)i(t) i2(t) ti2()ddid 1(tt)i1(t)
消去中间变量 i 2 ( t ) ，得
1F
1Ω
dd 2it12 (t)2did 1(tt)i1(t)dd i(tt)i(t)
方程阶数等于电路阶数（独立储能元件的个数）。
C 0 p n C 1 p n 1 C n 1 p C n r ( t ) E 0 p m E 1 p m 1 E m e ( t )
D (p )r(t)N (p )e(t)
r(t) N( p) e(t) H(p)e(t) D( p)
（自由响应）（强迫响应）
（卷积积分法）
§2.2 微分方程的建立与算子表示法
（一）微分方程的建立
1. R、L、C 元件端口电压与流经电流的约束关系
iR (t) R
vR (t)
vR(t)RRi(t)
iC (t) C
vC (t)
1
vC(t)C
tiC()d
iR
(t)
vR(t) R
2 d d 3 3v o t(t) 5 d d 2 2v o t(t) 5 d d v o ( tt) 3 v o (t) 2 d d e (tt)
总结： （1）引入算子符号后，RLC 电路可借助纯电阻电路的分析方法； （2）是否可消去公共因子的原则：微分方程的阶数应等于电路
阶数（独立储能元件的个数）。
iC(t)
CdvC(t) dt
iL (t)
L
vL (t)
vL(t)
LdiL(t) dt
iL(t)L1 tvL()d
2. 电路的电流、电压约束关系（KVL、KCL）
例：右图所示电路，激励为电流 i ( t ) ，
响应取 i1 ( t ) ，列写微分方程。
i ( t ) 1Ω
i2 (t)
E 0 d d m t e m ( t) E 1 d d m t1 m e ( 1 t) E m 1 d e d ( tt) E m e ( t)
系统分析的任务就是求解这个n 阶非齐次线性常微分方程。
微分方程求解
时域分析法
变换域法（LT法）
全响应= 齐次解 + 特解
全响应= 零输入响应+零状态响应
（二）微分方程的算子表示法 （参考P78§2.10节）
微分算子 p d dt
积分算子 1 t ( )d
p
C 0 d d n r t ( n t ) C 1 d d n t 1 n r ( 1 t ) C n r ( t ) E 0 d d m t e m ( t ) E 1 d d m t 1 m e ( 1 t ) E m e ( t )
p2
p1 2p1
1 p 1
1. 算子符号的运算规则
（1） 算子多项式可进行因式分解或由因式相乘展开。
例： p 2 5 p 6 f( t) p 2 p 3 f( t)
（2） 等式两端的公共因子不能随意消去。
例： pf1(t)pf2(t) 不等价于 f1(t)f2(t)
第二章 连续时间系统的时域分析
§2.1 引言 §2.2 微分方程的建立与算子表示法
§2.3 用时域经典法求解微分方程 r(t)rh(t)rp(t)
§2.4 起始点的跳变 — 从 0- 到 0+ 状态的转换
§2.5 零输入响应与零状态响应 r(t)rzi(t)rzs(t) §2.6 单位冲激响应h ( t ) 的求解
§2.7 卷积 §2.8 卷积的性质
§2.1 引言
线性时不变连续时间系统的激励e(t)与响应r(t)之间的关系，
可用以下线性常系数微分方程描述。
C 0d d n r t( n t) C 1d d n t1 n r ( 1 t) C n 1d r d ( tt) C n r (t)
LdiL(t) dt
L
p
iL
(t)
vC(t)C 1 tiC()dC 1 p i C ( t )
vR (t) R i R ( t )
广义阻抗
例1：i(t)i1(t)
i ( t ) 1Ω
p
1H i1 ( t )
1
1F
1Ω
p
i1 (t )
p1
1 p
pp 1 1
（3） p 1 f (t) 1 pf (t)
ppLeabharlann p1 pf (t)
d dt
t
f
()d
f
(t)
p 1 f (t) f (t) p
1 p f ( t )
p
t d
d
f ()d
f(t)f()
2. 借助算子符号建立微分方程
vL(t)
1
i(t
)
p
p 1
p2
i(t) 2p 1
例2：P83习题2-1（a） e(t)vo(t)
( p
2
1 p)i1(t)
1 p
i2 (t)
e(t)
1 p
i1(t)
(2 p
1
1 p
)i2
(t
)
0
R1 2Ω
+
e(t)
-
p L1
R2
1H
1Ω
i1(t)
C
1 i2(t)
H
(
p)
N( p) D( p)
称为系统的传输算子
传输算子是系统数学 模型的另一种形式。
例： dd 2it12 (t)2did 1(tt)i1(t)dd i(tt)i(t)
(p 2 2 p 1 )i1 (t) (p 1 )i(t)
i1(t)
p2
p1 i(t) 2p1
H(p)
§2.3 用时域经典法求解微分方程 r(t)rh(t)rp(t)
例：系统微分方程、 激励信号及初始条件如下：
d2
d
d
d2r t(t) 3dr(tt) 2 r(t)de(tt) 4 e(t)
e(t)e3t,t 0， r(0)1,r(0)3，求完全响应。
1F
p
+
L2 vo(t) 2H
2p
-
(pi12(t)2p(2p1)2i1(tp)1i2)(it2)(t)p0(et)
i2(t)p(2p35p p25p3)e(t) 2p35p125p3e(t)
多余的公共 因子可消去
vo(t)2pi2(t)2p35p 22 p 5p3e(t)
i1 ( t )
解：
i1(t)i2(t)i(t) i2(t) ti2()ddid 1(tt)i1(t)
消去中间变量 i 2 ( t ) ，得
1F
1Ω
dd 2it12 (t)2did 1(tt)i1(t)dd i(tt)i(t)
方程阶数等于电路阶数（独立储能元件的个数）。
C 0 p n C 1 p n 1 C n 1 p C n r ( t ) E 0 p m E 1 p m 1 E m e ( t )
D (p )r(t)N (p )e(t)
r(t) N( p) e(t) H(p)e(t) D( p)
（自由响应）（强迫响应）
（卷积积分法）
§2.2 微分方程的建立与算子表示法
（一）微分方程的建立
1. R、L、C 元件端口电压与流经电流的约束关系
iR (t) R
vR (t)
vR(t)RRi(t)
iC (t) C
vC (t)
1
vC(t)C
tiC()d
iR
(t)
vR(t) R
2 d d 3 3v o t(t) 5 d d 2 2v o t(t) 5 d d v o ( tt) 3 v o (t) 2 d d e (tt)
总结： （1）引入算子符号后，RLC 电路可借助纯电阻电路的分析方法； （2）是否可消去公共因子的原则：微分方程的阶数应等于电路
阶数（独立储能元件的个数）。
iC(t)
CdvC(t) dt
iL (t)
L
vL (t)
vL(t)
LdiL(t) dt
iL(t)L1 tvL()d
2. 电路的电流、电压约束关系（KVL、KCL）
例：右图所示电路，激励为电流 i ( t ) ，
响应取 i1 ( t ) ，列写微分方程。
i ( t ) 1Ω
i2 (t)
E 0 d d m t e m ( t) E 1 d d m t1 m e ( 1 t) E m 1 d e d ( tt) E m e ( t)
系统分析的任务就是求解这个n 阶非齐次线性常微分方程。
微分方程求解
时域分析法
变换域法（LT法）
全响应= 齐次解 + 特解
全响应= 零输入响应+零状态响应
（二）微分方程的算子表示法 （参考P78§2.10节）
微分算子 p d dt
积分算子 1 t ( )d
p
C 0 d d n r t ( n t ) C 1 d d n t 1 n r ( 1 t ) C n r ( t ) E 0 d d m t e m ( t ) E 1 d d m t 1 m e ( 1 t ) E m e ( t )
p2
p1 2p1
1 p 1
1. 算子符号的运算规则
（1） 算子多项式可进行因式分解或由因式相乘展开。
例： p 2 5 p 6 f( t) p 2 p 3 f( t)
（2） 等式两端的公共因子不能随意消去。
例： pf1(t)pf2(t) 不等价于 f1(t)f2(t)
第二章 连续时间系统的时域分析
§2.1 引言 §2.2 微分方程的建立与算子表示法
§2.3 用时域经典法求解微分方程 r(t)rh(t)rp(t)
§2.4 起始点的跳变 — 从 0- 到 0+ 状态的转换
§2.5 零输入响应与零状态响应 r(t)rzi(t)rzs(t) §2.6 单位冲激响应h ( t ) 的求解
§2.7 卷积 §2.8 卷积的性质
§2.1 引言
线性时不变连续时间系统的激励e(t)与响应r(t)之间的关系，
可用以下线性常系数微分方程描述。
C 0d d n r t( n t) C 1d d n t1 n r ( 1 t) C n 1d r d ( tt) C n r (t)
LdiL(t) dt
L
p
iL
(t)
vC(t)C 1 tiC()dC 1 p i C ( t )
vR (t) R i R ( t )
广义阻抗
例1：i(t)i1(t)
i ( t ) 1Ω
p
1H i1 ( t )
1
1F
1Ω
p
i1 (t )
p1
1 p
pp 1 1
（3） p 1 f (t) 1 pf (t)
ppLeabharlann p1 pf (t)
d dt
t
f
()d
f
(t)
p 1 f (t) f (t) p
1 p f ( t )
p
t d
d
f ()d
f(t)f()
2. 借助算子符号建立微分方程
vL(t)
1
i(t
)
p
p 1
p2
i(t) 2p 1
例2：P83习题2-1（a） e(t)vo(t)
( p
2
1 p)i1(t)
1 p
i2 (t)
e(t)
1 p
i1(t)
(2 p
1
1 p
)i2
(t
)
0
R1 2Ω
+
e(t)
-
p L1
R2
1H
1Ω
i1(t)
C
1 i2(t)
H
(
p)
N( p) D( p)
称为系统的传输算子
传输算子是系统数学 模型的另一种形式。
例： dd 2it12 (t)2did 1(tt)i1(t)dd i(tt)i(t)
(p 2 2 p 1 )i1 (t) (p 1 )i(t)
i1(t)
p2
p1 i(t) 2p1
H(p)
§2.3 用时域经典法求解微分方程 r(t)rh(t)rp(t)
例：系统微分方程、 激励信号及初始条件如下：
d2
d
d
d2r t(t) 3dr(tt) 2 r(t)de(tt) 4 e(t)
e(t)e3t,t 0， r(0)1,r(0)3，求完全响应。
1F
p
+
L2 vo(t) 2H
2p
-
(pi12(t)2p(2p1)2i1(tp)1i2)(it2)(t)p0(et)
i2(t)p(2p35p p25p3)e(t) 2p35p125p3e(t)
多余的公共 因子可消去
vo(t)2pi2(t)2p35p 22 p 5p3e(t)