第三次月考试卷排列组合概率
中职数学排列组合二项式定理概率复习测试题
中职数学排列组合二项式定理概率复习测试题排列组合、二项式定理、概率测试题试卷（一）一、选择题1.从4,，5，7，11，13这五个数字中任取两个不同的数字组成分数，则不同的分数共有（）A.10B.15C.20D.252.五个人排成一队，甲乙必须相邻的排法有（）种A.24B.48C.36D.1203.记者要为5名志愿者和他们帮助的2为老人拍照，要求排成一排，2为老人相邻但不在两端，不同的排法共有（）。
A.1440种B.960种C.720种D.480种4.五个人排队照相，甲一定在乙的左边，则不同的排法有（）种。
A.60B.72C.120D.1005.4名男生与4名女生排队照相，女生不相邻的排法有（）种。
444A.A88B.2A4C.A4D.A84A56.数字1,2,3，4，5可以组成没有重复数字的四位偶数__________个.（用数字作答）二、填空题例题：从10个人中选出两个人去开会，不同选法的种数为________.（用数字作答）7.从7个人中选3人参加比赛，甲乙两人恰有一人当选的选法则有___________种.（用数字作答）8.在5件产品中，有3件合格品，2件次品，从这5件产品中任意抽出3件，至少有1件是次品的抽法有____________种.9.从1,2,3,4,5这5个数中任取两个，和为偶数有_________种不同的取法（用数字作答）510.在二项式的展开式中，含某4的项的系数是________（用数字作答）.（某2-）1某511.若（3某-1）a0a1某a2某2a3某3a4某4a5某5,则a1a2a3a4a5_______________.712.在的展开式中的第4项的二项式系数为___________________.（某-2y）15（2某-）的展开式中，含有某项的系数为____________.13.在某24（某-）14.二项式展开式中的常数项为第________项。
1某5（2某-1）15.的二项式系数和为______________.816设（1-2某）a0a1某a2某a8某8,则a1a2a8__________.考点4：古典概率17.在一个袋子里中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同。
人教版七年级第二学期 第三次月考数学试卷含解析
人教版七年级第二学期 第三次月考数学试卷含解析一、选择题1．六（2）班学生进行小组合作学习，老师给他们分组：如果每组6人，那么会多出3人；如果每组7人，那么有一组少4人．如果六（2）班学生数为x 人，分成y 组，那么可得方程组为（ ） A ．6374y x y x =-⎧⎨=+⎩B ．6374y x y x =+⎧⎨=+⎩C ．6374x yx y+=⎧⎨-=⎩D ．6374y x y x =+⎧⎨+=⎩2．若关于x 、y 的二元一次方程组3234x y ax y a+=+⎧⎨+=-⎩的解满足x ＋y ＞2，则a 的取值范围为（ ） A ．a ＜−2B ．a ＞−2C ．a ＜2D ．a ＞23．若21x y =⎧⎨=⎩是关于x 、y 的方程组27ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解，则(a+b)(a ﹣b)的值为( )A ．15B ．﹣15C ．16D ．﹣164．已知 xyz≠0，且4520430x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩，则 x ：y ：z 等于（ ）A ．3：2：1B ．1：2：3C ．4：5：3D ．3：4：55．下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）A ．12xy x y =⎧⎨+=⎩B ．52313x y y x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩C ．20135x z x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩D ．5723z z y =⎧⎪⎨+=⎪⎩6．若|321|0x y --=，则x ，y 的值为（ ） A ．14x y =⎧⎨=⎩B ．2x y =⎧⎨=⎩C ．02x y =⎧⎨=⎩D ．11x y =⎧⎨=⎩7．下列各组数是二元一次方程371x y y x +=⎧⎨-=⎩的解是( )A ．12x y =⎧⎨=⎩B ．01x y =⎧⎨=⎩C ．70x y =⎧⎨=⎩D ．12x y =⎧⎨=-⎩8．小明出门时身上带了100元，下表记录了他今天所有支出，其中饮料与饼干支出的金额被涂黑．若每瓶饮料5元，每包饼干8元，则小明不可能．．．剩下多少元？( )A．4 B．15 C．22 D．449．购买甲、乙两种笔记本共用70元．若甲种笔记本单价为5元，乙种笔记本单价为15元，且甲种笔记本数量是乙种笔记本数量的整数倍，则购笔记本的方案有（）A．2种B．3种C．4种D．5种10．对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b＝2a+b．例如3⊗4＝2×3+4，若x⊗（﹣y）＝2018，且2y⊗x＝﹣2019，则x+y的值是（）A．﹣1 B．1 C．13D．﹣13二、填空题11．自来水厂的供水池有7个进出水口，每天早晨6点开始进出水，且此时水池中有水15%，在每个进出水口是匀速进出的情况下，如果开放3个进口和4个出口，5小时将水池注满；如果开放4个进口和3个出口，2小时将水池注满．若某一天早晨6点时水池中有水24%，又因为水管改造，只能开放3个进口和2个出口，则从早晨6点开始经过____小时水池的水刚好注满．12．某水稻种植中心培育了甲、乙、丙三种水稻，将这三种水稻分别种植于三块大小各不相同的试验田里．去年，三种水稻的平均亩产量分别为300kg，500kg，400kg，总平均亩产量为450kg，且丙种水稻的的总产量是甲种水稻总产量的4倍，今年初，研究人员改良了水稻种子，仍按去年的方式种植，三种水稻的平均亩产量都增加了．总平均亩产量增长了20%，甲、丙两种水稻的总产量增长了30%，则乙种水稻平均亩产量的增长率为_____．13．二元一次方程3x+8y=27的所有正整数解为_________；整数解有_______个．14．蜂蜜具有消食、润肺、安神、美颜之功效，是天然的健康保健佳品.秋天即将来临时，雪宝山土特产公司抓住商机购进甲、乙、丙三种蜂蜜，已知销售每瓶甲蜂蜜的利润率为10%，每瓶乙蜂蜜的利润率为20%，每瓶丙蜂蜜的利润率为30%．当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为1：3：1时，商人得到的总利润率为22%；当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为3：2：1时，商人得到的总利润率为20%．那么当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为5：6：1时，该公司得到的总利润率为_____．15．如图，长方形ABCD被分成若干个正方形，已知32cmAB=，则长方形的另一边AD=_________cm.16．在某次数学竞赛中每解出一道难题得3分，每解出一道普通题得2分，此外，对于每道未解出的普通题要扣去1分．某人解出了10道题，共得了14分，则该次数学竞赛中一共有____道普通题. 17．解三元一次方程组经过①－③和③×4＋②消去未知数z 后，得到的二元一次方程组是________．18．一人驾驶快船沿江顺流而下，迎面遇到一艘逆流而上的快艇．他问快艇驾驶员：“你后面有轮船开过吗”快艇驾驶员回答：“半小时前我超过一艘轮船”．快船继续航行了半小时，遇到了迎面而来的轮船．已知轮船静水速度是快船静水速度的2倍，那么快艇静水速度是快船的静水速度的____倍．19．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶___km ．20．若方程组2313{3530.9a b a b -=+=的解是8.3{ 1.2,a b ==则方程组的解为________三、解答题21．为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A 型节能灯和5只B 型节能灯共需50元，2只A 型节能灯和3只B 型节能灯共需31元． （1）求1只A 型节能灯和1只B 型节能灯的售价各是多少元？（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A 型节能灯的数量不超过B 型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 22．当,m n 都是实数，且满足28m n =+，就称点21,2n P m +⎛⎫- ⎪⎝⎭为“爱心点”． （1）判断点()5,3A 、()4,8B 哪个点为“爱心点”，并说明理由；（2）若点(),4A a -、()4,B b 是“爱心点”，请判断A 、B 两点的中点C 在第几象限？并说明理由；（3）已知P 、Q 为有理数，且关于x 、y 的方程组333x y q x y q⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩解为坐标的点(),B x y 是“爱心点”，求p 、q 的值．23．在平面直角坐标系中，点A 、B 在坐标轴上，其中()0,A a 、(),0Bb 满足|21|280a b a b --+-=．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）将线段AB 平移到CD ，点A 的对应点为()2,C t -，如图1所示，若三角形ABC 的面积为9，求点D 的坐标；（3）平移线段AB 到CD ，若点C 、D 也在坐标轴上，如图2所示．P 为线段AB 上的一动点（不与A 、B 重合），连接OP 、PE 平分OPB ∠，2BCE ECD ∠=∠．求证：3()BCD CEP OPE ∠=∠-∠．24．某商贸公司有A 、B 两种型号的商品需运出，这两种商品的体积和质量分别如下表所示：体积（立方米/件） 质量（吨/件） A 型商品0．8 0．5 B 型商品21（1）已知一批商品有A 、B 两种型号，体积一共是20立方米，质量一共是10．5吨，求A 、B 两种型号商品各有几件？（2）物资公司现有可供使用的货车每辆额定载重3．5吨，容积为6立方米，其收费方式有以下两种：①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费600元； ②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费200元．现要将（1）中商品一次或分批运输到目的地，如果两种收费方式可混合使用，商贸公司应如何选择运送、付费方式，使其所花运费最少，最少运费是多少元？25．数轴上有两个动点M ，N ，如果点M 始终在点N 的左侧，我们称作点M 是点N 的“追赶点”．如图，数轴上有2个点A ，B ，它们表示的数分别为-3，1，已知点M 是点N 的“追赶点”，且M ，N 表示的数分别为m ，n ．（1）由题意得：点A 是点B 的“追赶点”，AB =1-(-3)=4(AB 表示线段AB 的长，以下相同)；类似的，MN =____________．（2）在A ，M ，N 三点中，若其中一个点是另外两个点所构成线段的中点，请用含m 的代数式来表示n ．（3）若AM =BN ，MN =43BM ，求m 和n 值．26．阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程2312x y +=有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其 正整数解．例：由2312x y +=，得：1222433x xy -==-，（x 、y 为正整数） ∴01220x x >⎧⎨->⎩，则有06x <<．又243x y =-为正整数，则23x为正整数．由2与3互质，可知：x 为3的倍数，从而x=3，代入2423xy =-=∴2x+3y=12的正整数解为32x y =⎧⎨=⎩问题：（1）请你写出方程25x y +=的一组正整数解： . （2）若62x -为自然数，则满足条件的x 值为 . （3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】设学生数为x 人，分成y 组，根据组数和总人数的数量关系建立方程组求解即可． 【详解】设学生数为x 人，分成y 组，由题意知如果每组6人，那么多出3人，可得出：63y x =-， 如果每组7人，组数固定，那么有一组少4人，可得出：74y x =+，故有：6374y x y x =-⎧⎨=+⎩．故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．2．A解析：A 【分析】先解根据关于x ，y 的二元一次方程组3234x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩①②①+②得4x+4y=2-3a ，234ax y -+=；然后将其代入x ＋y ＞2，再来解关于a 的不等式即可． 【详解】 解：3234x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩①②①+②得 4x+4y=2-3a234ax y -+=∴由x+y>2，得 2324a-> 即a<-2 故选A 【点睛】 本题综合考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式．解答此题时，采用了“加减消元法”来解二元一次方程组；在解不等式时，利用了不等式的基本性质： （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变； （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变．3．B解析：B 【分析】把方程组的解代入方程组可得到关于a 、b 的方程组，解方程组可求a ，b ，再代入可求（a+b ）（a-b ）的值． 【详解】解：∵21x y =⎧⎨=⎩是关于x 、y 的方程组27ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解，∴2227a b b a ＝，＝+⎧⎨+⎩解得14a b -⎧⎨⎩＝，＝∴（a+b ）（a-b ）=（-1+4）×（-1-4）=-15．故选B ． 【点睛】本题考查方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题关键．4．B解析：B 【分析】由4520430x y z x y z -+⎧⎨+-⎩＝①＝②，①×3+②×2，得出x 与y 的关系式，①×4+②×5，得出x 与z 的关系式，从而算出xyz 的比值即可． 【详解】∵4520430x y z x y z -+⎧⎨+-⎩＝①＝②， ∴①×3+②×2，得2x=y ，①×4+②×5，得3x=z ， ∴x ：y ：z=x ：2x ：3x=1：2：3， 故选B ． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，用含有x 的代数式表示y 与z 是解此题的关键．5．D解析：D 【分析】含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数是1的整式方程组是二元一次方程组，根据定义解答. 【详解】A 、B 、C 都不是二元一次方程组，D 符合二元一次方程组的定义， 故选：D . 【点睛】此题考查二元一次方程组的定义，正确理解定义并运用解题是关键.6．D解析：D 【解析】分析：先根据非负数的性质列出关于x 、y 的二元一次方程组，再利用加减消元法求出x 的值，利用代入消元法求出y 的值即可．详解：∵3210x y --=，∴321020x y x y --⎧⎨+-⎩＝＝将方程组变形为32=1=2x y x y -⎧⎨+⎩①②，①+②×2得，5x=5，解得x=1， 把x=1代入①得，3-2y=1，解得y=1，∴方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩． 故选D ．点睛：本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．7．A解析：A 【解析】分析：所谓“方程组”的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．此题直接解方程组或运用代入排除法作出选择． 详解：∵y ﹣x =1，∴y =1+x ． 代入方程x +3y =7，得：x +3（1+x ）=7，即4x =4，∴x =1，∴y =1+x =1+1=2．∴解为12x y =⎧⎨=⎩．故选A ．点睛：本题要注意方程组的解的定义．8．C解析：C 【分析】设买了x 瓶饮料，y 盒饼干，求出买三餐所剩的钱数，对四个选项分别讨论，得到买饮料、饼干的总钱数，列出关于,x y 二元一次方程，若这个方程有自然数解，则可能，反之，不可能. 【详解】解：设买了x 瓶饮料，y 盒饼干，,x y 为自然数， 买三餐还剩100-10-15-18=57元A. 若剩4元，则 58574x y +=-，有整数解9,1x y ==；B. 若剩15元，则 585715x y +=-，有整数解2,4x y ==；C. 若剩22元，则 585722x y +=-，无整数解；D. 若剩44元，则 585744x y +=-，有整数解1,1x y ==； 故选：C.【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是读懂题意，列出二元一次方程，把问题转化为二元一次方程的整数解的问题.9．A解析：A【解析】【分析】设购买甲种笔记本x个，则乙种笔记本y个，利用购甲、乙两种笔记本共用70元得到x=14-3y，利用143yy-=14y–3为整数可判断y=1，2，7，14，然后求出对应x的值从而得到购笔记本的方案．【详解】设购买甲种笔记本x个，购买乙种笔记本y个，根据题意得5x+15y=70，则x=14–3y，因为143yy-为整数，而143yy-=14y–3，所以y=1，2，7，14，当y=1时，x=11；当y=2时，x=4；y=7和y=14舍去，所以购笔记本的方案有2种．故选A．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系，特别是确定甲种笔记本数量和乙种笔记本数量关系，然后利用整除性确定方案．10．D解析：D【分析】已知等式利用题中的新定义化简得到方程组，两方程左右两边相加即可求出所求．【详解】解：根据题中的新定义得：22018 42019x yy x-=⎧⎨+=-⎩①②，①+②得：3x+3y＝﹣1，则x+y＝﹣13．故选：D．【点睛】本题主要考查的是定义新运算以及二元一次方程组的解法，掌握二元一次方程的解法是解题的关键．二、填空题11．．【分析】设每个进水口每小时进水量为x，每个出水口每小时出水量为y，根据题意，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入中即可求出结论．【详解】设每个进水口每小时进解析：38 17．【分析】设每个进水口每小时进水量为x，每个出水口每小时出水量为y，根据题意，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入124%32x y--中即可求出结论．【详解】设每个进水口每小时进水量为x，每个出水口每小时出水量为y，依题意，得：()() 534115% 243115%x yx y⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，解得：0.170.085 xy=⎧⎨=⎩，∴124%38 3217x y-=-．故答案为：38 17．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．12．15%【分析】设甲、乙、丙三种水稻各种植了a亩，b亩，c亩，乙种水稻平均亩产量的增长率为x，根据题意列出方程组进行解答便可．【详解】解：设甲、乙、丙三种水稻各种植了a亩，b亩，c亩，乙种水稻解析：15%【分析】设甲、乙、丙三种水稻各种植了a亩，b亩，c亩，乙种水稻平均亩产量的增长率为x，根据题意列出方程组进行解答便可．【详解】解：设甲、乙、丙三种水稻各种植了a 亩，b 亩，c 亩，乙种水稻平均亩产量的增长率为x ，根据题意得，300500400450()4003004300(130%)500(1)400(130%)450()(120%)a b c a b c c a a b x c a b c ++=++⎧⎪=⋅⎨⎪+++++=+++⎩， 化简得30(1)2(2)501542(3)a b c c a bx a b c -+=⎧⎪=⎨⎪=++⎩，把（2）代入（1）得，b ＝6a （4），把（2）和（4）都代入（3）得，300ax ＝15a +24a +6a ，∴x ＝15%，故答案为15%．【点睛】本题主要考查了方程组解应用题，关键是读懂题意正确列出方程组．13．无数【分析】把x 看做已知数求出y ，分析即可确定出正整数解及整数解的情况．【详解】解：方程3x+8y=27，解得：,∵当x 、y 是正整数时，9-x 是8的倍数，∴x=1，y=解析：13x y =⎧⎨=⎩无数 【分析】把x 看做已知数求出y ，分析即可确定出正整数解及整数解的情况．【详解】解：方程3x+8y=27， 解得：3(98)x y -=, ∵当x 、y 是正整数时，9-x 是8的倍数，∴x=1，y=3；∴二元一次方程3x+8y=27的正整数解只有1个，即13x y =⎧⎨=⎩； ∵当x 、y 是整数时，9-x 是8的倍数，∴x 可以有无数个值，如-7,-15,-23，……；∴二元一次方程3x+8y=27的整数解有无数个.故答案是：13x y =⎧⎨=⎩；无数. 【点睛】此题考查了二元一次方程的整数解及正整数解问题，解题的关键是将x 看做已知数求出y ．14．19%【分析】设甲种蜂蜜每瓶x 元，乙种蜂蜜每瓶y 元，丙种蜂蜜每瓶z 元，首先根据题中所给的两种情况分别列式求出4z=3y+6x①和z=3x②，然后可得y=2x ，最后列式求售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之解析：19%【分析】设甲种蜂蜜每瓶x 元，乙种蜂蜜每瓶y 元，丙种蜂蜜每瓶z 元，首先根据题中所给的两种情况分别列式求出4z=3y+6x ①和z=3x ②，然后可得y=2x ，最后列式求售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为5：6：1时获得的总利润即可.【详解】解：设甲种蜂蜜每瓶x 元，乙种蜂蜜每瓶y 元，丙种蜂蜜每瓶z 元，当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为1：3：1时，设甲种蜂蜜卖出a 瓶， 则：10%320%30%22%3ax ay az ax ay az ，整理得：4z=3y+6x ①，当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为3：2：1时，设丙种蜂蜜卖出b 瓶， 则：310%220%30%20%32bx by bz bx by bz，整理得：z=3x ②，由①②可得：y=2x ， ∴当售出的甲、乙、丙蜂蜜瓶数之比为5：6：1时，设丙种蜂蜜卖出c 瓶， 则该公司得到的总利润率为：510%620%30%0.5 1.20.30.5 2.40.9100%19%56565123cx cy cz x y z x x x cx cy czx y z x x x ，故答案为：19%.【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，利用利润、成本与利润率之间的关系列式计算是解题的关键． 15．【解析】【分析】可以设最小的正方形的边长为x ，第二小的正方形的边长为y ，根据已知AB=CD=32cm，可得到两个关于x、y的方程，求方程组即可得解，然后求长方形另一边AD的长即可．【详解】解析：76843【解析】【分析】可以设最小的正方形的边长为x，第二小的正方形的边长为y，根据已知AB=CD=32cm，可得到两个关于x、y的方程，求方程组即可得解，然后求长方形另一边AD的长即可．【详解】设最小的正方形的边长为x，第二小的正方形的边长为y，将各个正方形的边长都用x和y 表示出来（如图），根据AB=CD=32cm，可得：643322532y x y xx y-+-⎧⎨+⎩＝＝解得：x=12843cm，y=22443cm．长方形的另一边AD=3y-x+y=4y-x=76843cm．故答案为：76843【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和正方形的性质，解题的关键是读懂图意根据矩形的性质列出方程组并求解．16．16【解析】【分析】根据题意进行解设,列出三元一次方程组,再用加减消元的方法即可求解.【详解】解：设普通题一共有x道,其中解出a道,难题一共解出b道,依题意得：3b+2a-(x-a)=1解析：16【分析】根据题意进行解设,列出三元一次方程组,再用加减消元的方法即可求解.【详解】解：设普通题一共有x道,其中解出a道,难题一共解出b道,依题意得：（2）×3-（1）得x=16,∴该次数学竞赛中一共有16道普通题.【点睛】本题考查了三元一次方程组的实际应用,中等难度,正确对方程组进行化简是解题关键. 17．4x+3y=27x+5y=3.【解析】【分析】根据加减消元的方法即可进行求解.【详解】解：①－③得4x+3y=2,③×4＋②得7x+5y=3,∴消去未知数z后，得到的二元一次方程组是4解析：.【解析】【分析】根据加减消元的方法即可进行求解.【详解】解：①－③得4x+3y=2,③×4＋②得7x+5y=3,∴消去未知数z后，得到的二元一次方程组是.【点睛】本题考查了三元一次方程组的求解,中等难度,熟悉加减消元的方法是解题关键.18．5【解析】设水流速度是a，快船的静水速度是x，快艇的静水速度是y，依题意可得轮船的静水速度为2x，则：0.5（x+a）+（2x-a）=0.5（y-a），解得：y=5x即快艇静水速度是快船的【解析】设水流速度是a ，快船的静水速度是x ，快艇的静水速度是y ，依题意可得轮船的静水速度为2x ，则：0.5（x+a ）+（2x-a ）=0.5（y-a ），解得：y=5x即快艇静水速度是快船的静水速度的5倍，故答案为：5.【点睛】本题考查了一次方程组的应用，找准等量关系是做本题的关键，借助图例可以帮助我们理解题意．题中虽然有三个未知数，但在计算过程中可以抵消一个．19．3750【解析】设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ，则安装在前轮的轮胎每行驶1km 磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为．又设一对新轮胎交换位置前走了xkm ，交换位置后走了ykm ．分别以解析：3750【解析】设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ，则安装在前轮的轮胎每行驶1km 磨损量为5000k ，安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k ．又设一对新轮胎交换位置前走了xkm ，交换位置后走了ykm ．分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有+=50003000+=50003000kx ky k ky kx k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，两式相加，得()()250003000k x y k x y k +++=，则x+y=21150003000+=3750（千米）. 故答案为：3750．点睛：本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．20．【解析】试题分析：根据整体思想，可设a=x+2，b=y-1，可发现两个方程组相同，因此可知x+2=8.3，y-1=1.2，解得x=6.3，y=2.2，即方程组的解为： .三、解答题21．（1）1只A 型节能灯的售价是5元，1只B 型节能灯的售价是7元；（2）当购买A 型号节能灯150只，B 型号节能灯50只时最省钱，见解析.【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；（2）根据题意可以得到费用与购买A 型号节能灯的关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题．【详解】解：（1）设1只A 型节能灯的售价是x 元，1只B 型节能灯的售价是y 元， 35502331x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得，57x y =⎧⎨=⎩， 答：1只A 型节能灯的售价是5元，1只B 型节能灯的售价是7元；（2）设购买A 型号的节能灯a 只，则购买B 型号的节能灯200a （﹣）只，费用为w 元， 5720021400w a a a +-+＝（）＝-，3200a a ≤-（），150a ∴≤，∴当150a ＝时，w 取得最小值，此时110020050w a ＝，﹣＝答：当购买A 型号节能灯150只，B 型号节能灯50只时最省钱．【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．22．（1）()5,3A 为爱心点，理由见解析；（2）第四象限，理由见解析；（3）0p =，q =23- 【分析】（1）分别把A 、B 点坐标，代入（m ﹣1，22n +）中，求出m 和n 的值，然后代入2m ＝8+n 检验等号是否成立即可；（2）把点A （a ，﹣4）、B （4，b ）各自代入（m ﹣1，22n +）中，分别用a 、b 表示出m 、n ，再代入2m ＝8+n 中可求出a 、b 的值，则可得A 和B 点的坐标，再根据中点坐标公式即可求出C 点坐标，然后即可判断点C 所在象限；（3）解方程组，用q 和p 表示x 和y ，然后代入2m ＝8+n 可得关于p 和q 的等式，再根据p ，q 为有理数，即可求出p 、q 的值．【详解】解：（1）A 点为“爱心点”，理由如下：当A （5，3）时，m ﹣1＝5，22n +＝3，解得：m＝6，n＝4，则2m＝12，8+n＝12，所以2m＝8+n，所以A（5，3）是“爱心点”；当B（4，8）时，m﹣1＝4，22n+＝8，解得：m＝5，n＝14，显然2m≠8+n，所以B点不是“爱心点”；（2）A、B两点的中点C在第四象限，理由如下：∵点A（a，﹣4）是“爱心点”，∴m﹣1＝a，22n+＝﹣4，解得：m＝a+1，n＝﹣10．代入2m＝8+n，得2（a+1）＝8﹣10，解得：a＝﹣2，所以A点坐标为（﹣2，﹣4）；∵点B（4，b）是“爱心点”，同理可得m＝5，n＝2b﹣2，代入2m＝8+n，得：10=8+2b﹣2，解得：b＝2．所以点B坐标为（4，2）．∴A、B两点的中点C坐标为（2442,22-+-+），即（1，﹣1），在第四象限．（3）解关于x，y的方程组3x y qx y q⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩，得：2x qy q⎧=-⎪⎨=⎪⎩．∵点B（x，y）是“爱心点”，∴m﹣1﹣q，22n+＝2q，解得：m﹣q+1，n＝4q﹣2．代入2m＝8+n，得：﹣2q+2＝8+4q﹣2，整理得﹣6q＝4．∵p，q为有理数，若使p﹣6q结果为有理数4，则P＝0，所以﹣6q＝4，解得：q＝﹣23．所以P＝0，q＝﹣23．【点睛】本题是新定义题型，以“爱心点”为载体，主要考查了解二元一次方程组、中点坐标公式等知识以及阅读理解能力和迁移运用能力，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键．23．（1）A ，B 两点的坐标分别为()0,2，()3,0；（2）点D 的坐标是141,3⎛⎫-⎪⎝⎭；（3）证明见解析【分析】（1）根据非负数的性质得出二元一次方程组，求解即可； （2）过点B 作y 轴的平行线分别与过点A ，C 作x 轴的平行线交于点N ，点M ，过点C 作y 轴的平行线与过点A 作x 轴的平行线交于点T ，根据三角形ABC 的面积=长方形CMNT 的面积-（三角形ANB 的面积+三角形ATC 的面积+三角形CMB 的面积）列出方程，求解得出点C 的坐标，由平移的规律可得点D 的坐标；（3）过点E 作//EF CD ，交y 轴于点F ，过点O 作//OG AB ，交PE 于点G ，根据两直线平行，内错角相等与已知条件得出3BCD CEF ∠=∠，同样可证OGP OPE ∠=∠，由平移的性质与平行公理的推论可得FEP OGP ∠=∠，最后根据CEP CEF FEP ∠=∠+∠，通过等量代换进行证明．【详解】解：（1）210a b --=，又∵|21|0a b --≥0， |21|0a b ∴--=0=，即210280a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解方程组2128a b a b -=⎧⎨+=⎩得23a b =⎧⎨=⎩， A ∴，B 两点的坐标分别为()0,2，()3,0；（2）如图，过点B 作y 轴的平行线分别与过点A ，C 作x 轴的平行线交于点N ，点M ，过点C 作y 轴的平行线与过点A 作x 轴的平行线交于点T ，∴三角形ABC 的面积=长方形CMNT 的面积-（三角形ANB 的面积+三角形ATC 的面积+三角形CMB 的面积），根据题意得，11195(2||)232(2||)5||222t t t ⎡⎤=⨯+-⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯⎢⎥⎣⎦， 化简，得3||42t =， 解得，83t =±， 依题意得，0t <， 83t ∴=-，即点C 的坐标为82,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴依题意可知，点C 的坐标是由点A 的坐标先向左平移2个单位长度，再向下平移143个单位长度得到的，从而可知，点D 的坐标是由点B 的坐标先向左平移2个单位长度，再向下平移143个单位长度得到的，∴点D的坐标是14 1,3⎛⎫-⎪⎝⎭；（3）证明：过点E作//EF CD，交y轴于点F，如图所示，则ECD CEF∠=∠，2BCE ECD∠=∠，33BCD ECD CEF∴∠=∠=∠，过点O作//OG AB，交PE于点G，如图所示，则OGP BPE∠=∠，PE平分OPB∠，OPE BPE∴∠=∠，OGP OPE∴∠=∠，由平移得//CD AB，//OG FE∴，FEP OGP∴∠=∠，FEP OPE∴∠=∠，CEP CEF FEP∠=∠+∠，CEP CEF OPE∴∠=∠+∠，CEF CEP OPE∴∠=∠-∠，3()BCD CEP OPE∴∠=∠-∠．【点睛】本题综合性较强，考查非负数的性质，解二元一次方程组，平行线的性质，平移的性质，坐标与图形的性质，第（3）题巧作辅助线构造平行线是解题的关键．24．（1）A 种型号商品有5件，B 种型号商品有8件；（2）先按车收费用3辆车运送18m 3，再按吨收费运送1件B 型产品，运费最少为2000元【分析】（1）设A 、B 两种型号商品各x 件、y 件，根据体积与质量列方程组求解即可；（2）①按车付费=车辆数⨯600；②按吨付费=10.5⨯200；③先按车付费，剩余的不满车的产品按吨付费，将三种付费进行比较.【详解】（1））设A 、B 两种型号商品各x 件、y 件，0.82200.510.5x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得58x y =⎧⎨=⎩， 答：A 种型号商品有5件，B 种型号商品有8件；（2）①按车收费：10.5 3.53÷=（辆），但是车辆的容积63⨯=18<20，3辆车不够，需要4辆车，60042400⨯=（元）； ②按吨收费：200⨯10.5=2100（元）；③先用车辆运送18m 3，剩余1件B 型产品，共付费3⨯600+1⨯200=2000（元）， ∵2400>2100>2000，∴先按车收费用3辆车运送18m 3，再按吨收费运送1件B 型产品，运费最少为2000元.【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键，（2）注意分类讨论，分别求出费用进行比较解答问题.25．（1）n -m ；（2）①M 是AN 的中点，n =2m +3；②A 是MN 中点，n =-m -6；③N 是AM 的中点，1322=-n m ；（3）0 4m n =⎧⎨=⎩或6 2m n =-⎧⎨=-⎩或95 15m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 【解析】【分析】（1）由两点间距离直接求解即可；（2）分三种情况讨论：①M 是A 、N 的中点，n =2m +3；②当A 点在M 、N 点中点时，n =﹣6﹣m ；③N 是M 、A 的中点时，n 32m -+=； （3）由已知可得|m +3|=|n ﹣1|，n ﹣m 43=|m +3|，分情况求解即可． 【详解】（1）MN =n ﹣m ．故答案为：n ﹣m ；（2）分三种情况讨论：①M 是A 、N 的中点，∴n +(-3)=2m ，∴n =2m +3；②A 是M 、N 点中点时，m +n =-3×2，∴n =﹣6﹣m ；③N 是M 、A 的中点时，-3+m =2n ，∴n32m -+=；（3）∵AM =BN ，∴|m +3|=|n ﹣1|．∵MN 43=BM ， ∴n ﹣m 43=|m +3|， ∴3133412m n n m m +=-⎧⎨-=+⎩或3133412m n n m m +=-⎧⎨-=--⎩或3133412m n n m m +=-+⎧⎨-=+⎩或3133412m n n m m +=-+⎧⎨-=--⎩， ∴04m n =⎧⎨=⎩或62m n =-⎧⎨=-⎩或9515m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或35m n =⎧⎨=-⎩． ∵n ＞m ，∴04m n =⎧⎨=⎩或62m n =-⎧⎨=-⎩或9515m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 【点睛】本题考查了列代数式，解二元一次方程组以及数轴上两点间的距离公式，解答本题的关键是：（1）根据两点间的距离公式求出线段AB 的长；（2）分三种情况讨论；（3）分四种情况讨论．解决该题型题目时，结合数量关系表示出线段的长度，再根据线段间的关系列出方程是关键．26．（1）方程的正整数解是13x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩．（只要写出其中的一组即可）；（2）满足条件x 的值有4个：x=3或x=4或x=5或x=8；（3）有两种购买方案：即购买单价为3元的笔记本5本，单价为5元的钢笔4支；或购买单价为3元的笔记本10本，单价为5元的钢笔1支．【解析】（1）1231{{(x x y y ====或任写一组即可）---------------------------．（2） C（3）解：设购买单价为3元的笔记本x 个，购买单价5元的钢笔y 个，由题意得： 3x+5y=35此方程的正整数解为∴有两种购买方案:方案一：购买单价为3元的笔记本5个，购买单价为5元的钢笔4支．方案二：购买单价为3元的笔记本10个，购买单价为5元的钢笔1支（1）只要使等式成立即可（2）x-2必须是6的约数（3）设购买单价为3元的笔记本x 个，购买单价5元的钢笔y 个，根据题意列二元一次方程，去正整数解求值。
排列组合概率测试题.doc
排列 组合 概率测试题班级 姓名 得分 .一、选择题：1、有6名同学，如果甲必须站在乙的右边，不同站法总数是………………………………………( )(A )6621A (B ) 66A (C )266A (D ) 4425A A 2、3)2||1|(|-+x x 展开式中常数项的值为…………………………………………………………( ) (A )－20 (B )20 (C )－15 (D )－28 3、992除以9的余数为………………………………………………………………………………（ ） (A )1 （B ）－1 (C ）8 （D ）04、以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有个数为……………………………………………（ ）(A )6 （B ）8 （C ）12 （D ）305、含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集数为T ，则S T =……（ ） (A )51160 (B ) 12815 (C ) 1021120 (D ) 6445 6、把一个圆24等份，过其中任意3个分点做三角形，其中的直角三角形个数为…………………（ ）(A )2024 (B )264 (C )132 (D )1227、n n n x a x a x a a x x 2222102)1(++++=++ ，如果n a a a a S 2420++++= ，则S=……（ ）(A )n 2 (B ) n 2＋1 (C ))13(21-n (D ) )13(21+n 8、在83)12(xx -的展开式中，常数项为……………………………………………………………（ ） (A )－28 (B ) －7 (C )7 (D )289、某人射击命中率为43，他连续射击2次，恰有一次命中的概率为………………………………（ ） (A )169 (B )85 (C ) 43 (D )83 10、5件产品中，有3件一等品，2件二等品，从中任取2件，那么以0.7为概率的事件是……（ ）(A )都不是一等品 (B )恰有1件一等品 (C )至少1件一等品 (D ) 至多1件一等品11、从4台甲型、5台乙型电脑中，任取3台，其中至少要有甲型、乙型各一台的概率为………（ ）(A )75 (B ) 145 (C ) 65 (D ) 125 12、10颗骰子同时掷出，共掷出5次，则至少有一次全部出现同一个点的概率为………………（ ）(A )510])65(1[- (B ) 105])65(1[- (C )1－510])61(1[- (D )1－105])61(1[- 二、填空题：13、空间有8个不同的平面，其中有并且只有3个互相平行，其余在无两个平面平行，也无三个平面相交于同一条直线，则这8个平面共有 条交线.14、102)1()1()1(x x x ++++++ 展开式中6x 的系数为 .15、甲乙两人投篮，甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都投中两次的概率为 （精确到0.001）16、如果以连续抛掷两次骰子得到的点数m 、n 为点P 的横、纵坐标，那么点P （m 、n ）落在圆1622=+y x 内的概率为 .三、解答题：17、若集合A 、B 各有12个元素，A ∩B 中有4个元素，试求同时满足下列条件的集合C 的个数。
江苏省南京市高二下学期3月月考数学试题(解析版)
高二下学期3月月考数学试题一、单选题1．若，则（ ）2C 15n =2A n =A ．30 B ．20 C ．12D ．6【答案】A【分析】先由组合的运算公式计算出的值，再代入中，由排列公式即可计算出结果.n 2A n 【详解】若 2(1)C 15,15,(1)30,6,2n n n n n n -==-==26065A 3=⨯∴=故选：A.2．若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（ ） {},,a b cA ．，，B ．，， a b + a b - b a b -a b c -+ c - C ．，，D ．，，2a b + 2a b -r ra c + 2ab -r r42b a - a c + 【答案】C【分析】根据空间向量基本定理和空间向量的基底，直接判断.【详解】选项A ：，所以，，共面； ()2a b a b b +=-+ a b + a b - b选项B ：，所以，，共面；()a b a b c c -=-+- a b -a b c -+ c - 选项C ：不能用，表示，所以，，不共面； a c + 2a b + 2a b -r r 2a b + 2a b -r ra c + 选项D ：，共线，则，，共面．2a b -r r 42b a - 2a b -r r42b a - a c + 故选：C3．用0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A ．24个 B ．30个C ．36个D ．42个【答案】B【分析】根据给定条件，按个位数字是0和不是0分类，再利用排列知识求解作答. 【详解】计算偶数个数有两类办法：个位数字是0，十位和百位从另4个数字中选两个进行排列有种结果， 24A 12=个位数字不是0，从2和4中选一个作个位，从除0外的另3个数字中选一个作百位，再从余下3个数字中选一个作十位，共有种结果，111233A A A 18=由分类加法计数原理得，偶数共有种结果. 121830+=故选：B4．如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为1111ABCD A B C D -A .求与夹角的余弦值是（ ）60︒1BDACABCD【答案】B【解析】以为空间向量的基底，表示出和，由空间向量的数量积求出向量的夹1,,AB AD AA 1BD AC角的余弦值即得．【详解】由题意．11111cos 602AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒= 以为空间向量的基底，，， 1,,AB AD AA AC AB AD =+ 111BD AD AB AD AA AB =-=+-，221111()()AC BD AB AD AD AA AB AB AD AB AA AB AD AD AA AB AD ⋅=+⋅+-=⋅+⋅-++⋅-⋅1===，==∴．∴与111cos ,AC BD AC BD AC BD ⋅<>===⋅1BD AC 故选：B ．【点睛】本题考查用空间向量法求异面直线所成的角，解题时选取空间基底，把其他向量用基底表示，然后由数量积的定义求得向量的夹角，即得异面直线所成的角．5．唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节的连续三天内，恰有两天出现大潮的概率为（ ） 23A ．B ．C ．D ．29495979【答案】B【分析】利用二项分布的概率公式即可求解.【详解】该地在该季节内连续三天内，恰有两天出现大潮包括两天出现大潮概率为.223214339C ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭故选：B6．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，可以直观的描述为：存在无穷多个素数，使得是素p 2p +数．素数对称为孪生素数对．从8个数对，，，，，(),2p p +()3,5()5,7()7,9()9,11()11,13()13,15，，中任取3个，设取出的孪生素数对的个数为，则（ ） ()15,17()17,19X ()E X =A ． B ．C ．D ．3381232【答案】C【分析】根据题意得随机变量服从超几何分布，进而根据超几何分布求概率，进而求期望. X 【详解】解：由题知8个数对中有，，，共4对孪生素数对， ()3,5()5,7()11,13()17,19所以的可能取值为X 0,1,2,3故，， ()3044381014C C P X C ===()214438631147C C P X C ====，， ()214438632147C C P X C ====()3044381314C C P X C ===所以 ()1661213012314141414142E X =⨯+⨯+⨯+⨯==故选：C 7．已知，则（ ）()2021220202021012202020211x a a x a x a x a x +=+++++ 1592021a a a a ++++= A ． B ． C ． D ．2019100922+2019100922-2021101122+2021101122-【答案】B【分析】利用赋值法分别令即可求解. 1,1,i,i x =--【详解】令，可得，①1x =2021012202020212a a a a a =+++++ 令，可得，②=1x -012202020210a a a a a -+-+-=①②可得，-202013520212a a a a +++= 令，可得，③i x =()20210312202020142i i i i 1a a a a a a a --+=+++++ 令，可得，④i x =-()()20210122020202134i i i 1i a a a a a a a +++--++-=- ③④可得 -()()()()202120212021202113572021i 11i 1i 11i 2i2i a a a a a +--⎡⎤-+-+==+--⎣⎦ ()()()()1010101022i i 1i 11i 1i 2⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++---⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()()10101010i i 1211i 212⎡⎤=-+⋅⋅---⋅⋅-⎣⎦ ()()10101010i 2i 11i 22=⋅+--=-⎡⎤⎣⎦将与相加202013520212a a a a +++= 1010135720212a a a a a -+-+=- 可得.2020101020191009159202122222a a a a -++++==- 故选：B8．如图，三棱锥各棱的棱长是1，点是棱的中点，点在棱上，且，O ABC -D AB E OC OE OC λ=则的最小值为（ ）DEA ．BCD ．112【答案】B【分析】首先在中利用余弦定理求出，然后由空间向量的运算法则可得DOC △cos DOE ∠，变形可得，由二次函数的知识可得答案.22DE OE OD =- 2234DE λλ=-+ 【详解】根据题意，在中， ， DOC△1ODCD OC ===所以 cos DOE ∠==所以==22222DE OE OD OE OE OD OD =-=-⋅+2324λλ⨯+-211()22λ-+则时，取得最小值，1=2λ2DE 12则的最小值为. DE 故选：B二、多选题9．设离散型随机变量的分布列如下表： XX 1 2 3 4 5P m 0.10.2n 0.3若离散型随机变量，且，则（ ）A ． B ． C ．31Y X =-+()3E X =0.1m =0.1n =()8E Y =-D ．()7.8D Y =-【答案】BC【分析】先由可得，再由概率和为1得，从而可求出的值，再()3E X =40.7m n +=0.4m n +=,m n 利用期望和方差公式求， 即可，从而可得答案()E Y ()D Y 【详解】由得，又由()120.130.2450.33E X m n =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=40.7m n +=得，从而得，，故A 选项错误，B 选项正确；0.10.20.31m n ++++=0.4m n +=0.3m =0.1n =，故C 选项正确；()()318E Y E X =-+=-因为，所以()()()()()22220.3130.1230.1430.353 2.6D X =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=()D Y =，故D 选项错误，()()2323.4D X -=故选：BC ．10．已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的有（ ）12nx ⎫⎪⎭1128A ．展开式共有7项 B ．二项式系数最大的项是第4项 C ．所有二项式系数和为128 D ．展开式的有理项共有4项【答案】CD【分析】运用代入法，结合二项式系数和公式、通项公式以及二项式系数性质逐一判断即可.【详解】因为二项式的展开式中各项系数之和是，12nx ⎫⎪⎭1128所以令可得：. 1x =11117211282128nn n ⎫=⇒=⇒=⎪⨯⎭A ：因为，所以展开式共有项，因此本选项说法不正确； 7n =8B ：因为，所以二项式系数最大的项是第4项和第项， 7n =5因此本选项说法不正确；C ：因为，所以所有二项式系数和为，所以本选项说法正确； 7n =72128=D ：由B 可知：，当时，对应的项是有理项，83218(1)2r r r rr TC x--+=⋅-⋅⋅0,2,4,6r =故本选项说法正确， 故选：CD11．现有4个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是（ ）A ．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法B ．若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种C ．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种D ．若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种 【答案】BCD【分析】由分步乘法计数原理即可判断A ，由分类加法、分步乘法结合排列、组合的知识可判断B ，由分步乘法、排列、组合的知识可判断C ，由枚举法可判断D ，即可得解.【详解】对于A ，若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有种放法，故A 44256=错误；对于B ，若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒，则一个盒子放3个小球，另一个盒子放1个小球或两个盒子均放2个小球，共有种放法，故B 正确；()2242118C A ⋅+=对于C ，若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒，则两个盒子中各放1个小球，另一个盒子中放2个小球，共有种放法，故C 正确； 112314323422144C C C A C A ⋅⋅⋅⋅=对于D ，若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同，若代表编号为1，2，3，4的盒子放入的小球编号分别为2，1，()2,1,4,34，3，列出所有符合要求的情况：，，，，，()2,1,4,3()4,1,2,3()3,1,4,2()2,4,1,3()3,4,1,2，，，，共9种放法，故D 正确.()4,3,1,2()2,3,4,1()3,4,2,1()4,3,2,1故选：BCD.【点睛】本题考查了计数原理的综合应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，合理分类、分步，完整枚举是解题关键，属于中档题.12．如图，在正方体中，是的中点，点在底面内运动，若1111ABCD A B C D -E 1CC P ABCD 1,PD PE 与底面所成的角相等，则动点的轨迹（ ）ABCD PA ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．经过线段靠近的三等分点 BC BD ．经过线段靠近的三等分点 CD C 【答案】AD【分析】连接，进而根据题意得，再在平面中，以点为坐标原点，建,PC PD 2DP PC =ABCD D 立平面直角坐标系，利用坐标法讨论求解即可.【详解】解：如图1，连接，由正方体的性质得平面，平面， ,PC PD 1DD ⊥ABCD EC ⊥ABCD 所以分别为与底面所成的角， 1,DPD CPE ∠∠1,PD PE ABCD 所以 1DPD CPE ∠=∠因为，， 11tan ,tan DD CEDPD CPE DP PC∠=∠=12DD CE =所以，2DP PC =所以在平面中，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图2，ABCD D设正方体的边长为，，则， a (),,0,0P x y x y ≥≥()()0,0,,0D C a 所以，()222222,DP x y PC x a y =+=-+所以，整理得， ()222244x y x a y +=-+22233840x y ax a +-+=显然表示圆的方程，22233840x y ax a +-+=所以动点的轨迹是圆的一部分，故A 选项正确，B 选项错误；P 线段靠近的三等分点的坐标为，线段靠近的三等分点，BC B 2,3a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭CD C 2a,03⎛⎫⎪⎝⎭分别代入方程得22233840x y ax a +-+=222222222294241233840333333a a a a a a a a a ⎛⎫+-+=+-+=≠ ⎪⎝⎭，222222241612384033333a a a a a a a ⎛⎫-⨯+=-+= ⎪⎝⎭所以在圆上，不在圆上2a,03⎛⎫⎪⎝⎭22233840x y ax a +-+=2,3a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭22233840x y ax a +-+=故C 选项错误，D 选项正确. 故选：AD三、填空题13．已知随机变量X 服从正态分布，且，则_________.()22,N σ-(1)P X k ≤-=(3)P X ≤-=【答案】##1k -1k -+【分析】利用正态分布的对称性即可计算作答. 【详解】因随机变量X 服从正态分布，，()22,N σ-(1)P X k ≤-=所以. ()()311(1)1P X P X P X k ≤-=≥-=-<-=-故答案为：1k -四、双空题14．已知二面角为锐角，平面的法向量为，平面的法向量为1αβ--α11)n =-β，则___________，二面角的大小为___________.212n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 12cos ,n n 〉〈= l αβ--【答案】##45°4π【分析】利用空间向量夹角公式求解两个法向量的余弦值，结合二面角为锐角，得到二面1αβ--角的大小.l αβ--【详解】12cos ,n n 〈==〉 设二面角大小为（），因为二面角为锐角，故α0απ≤≤1αβ--12cos cos ,n n α=-〈〉= 4πα=故二面角的大小为l αβ--4π故答案为：， 4π五、填空题15．在的展开式中，的系数为____________. ()5611y x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭22x y 【答案】150【分析】由二项展开式的通项对原式展开可得1C rn rr r n T ab -+=A A ，再由项的系数解得，代入求解即可. ()5656C C 1C C k k kr r k r r k ky x x y x -æöç÷-=-ç÷èøA A A A A A A 22x y 42r k =⎧⎨=⎩【详解】两个二项式展开式的通项之积为，， ()5656C C 1C C k k k r r k rr k k y x x y x -æöç÷-=-ç÷èøA A A A A A A 05,06,N,r N k r k ÎÎ≤≤≤≤则令，解得，22r k k -=⎧⎨=⎩42r k =⎧⎨=⎩故展开式中的系数为. 22x y ()224561C C 150-=A A 故答案为：150.16．袋子中装有分别标注数字为1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出两个小球，则取出的小球上标注的数字之和为5或7的概率是__________． 【答案】【详解】从袋子中取出两个小球，其号码的所有情况有：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4), (3,5),(4,5)，共10种，其中取出的小球上标注的数字之和为5或7有：(1,4),(2,3)，(2,5), (3,4)，共4种．由古典概型概率公式得所求概率为． 42=105P =答案：25点睛：求古典概型概率的关键是求试验所有的基本事件的总数和事件A 包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，求基本事件个数的方法有列举法、列表法和树形图法，解题时要根据具体需要选择合适的求解方法．六、解答题17．设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.（1）该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？（2）若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率. 【答案】（1）0.7；（2）0.8.【分析】设A 表示枪已校正，B 表示射击中靶，计算出， ，，，()P A ()P A ()|P B A ()|P B A ，， ()|P B A ()|P B A （1）由全概率公式可得答案； （2）由可得答案.()()()()()()()||||P A P B A P A B P A P B A P A P B A =+【详解】设A 表示枪已校正，B 表示射击中靶，则， ，， ()35P A =()25P A =()|0.9P B A =，，，()|0.1P B A =()|0.4P B A =()|0.6P B A =（1）由全概率公式可得. ()()()()()32||0.90.40.755P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=（2）由题意可得. ()()()()()()()20.6|5|0.823||0.60.155P A P B A P A B P A P B AP A P B A⨯===+⨯+⨯18．已知展开式中的第3项与第2项二项式系数的比是4. n（1）求n 的值；（2）求展开式中所有的有理项.【答案】（1） （2）、.9n =2672x 3512x -【分析】（1）根据二项式系数及第3项与第2项二项式系数比,结合组合数的计算公式,即可求得n 的值.（2）由二项展开式通项,展开化简后即可确定有理项. 【详解】（1）,第3项与第2项二项式系数的比是4 n即, 21:4n n C C =由组合数计算公式可得()1:421n n n -=⨯化简可求得 9n =（2）9根据二项展开式通项可得919rr r r T C -+⋅= 275692r r r C x -=⋅⋅当 []275,0,9,6r Z r r Z -∈∈∈所以当时,3r =332292672C x x ⋅⋅=当时,9r =993392512C x x --⋅⋅=所以展开式中的有理项为、.2672x 3512x -【点睛】本题考查二项展开式中二项式系数的概念,二项展开式通项的应用,有理项的确定,属于中档题.19．投壶是中国古代宴饮时的一种投掷游戏，假设甲、乙两人进行投壶，每人各投壶两次，规定投中次数多者获胜，投中次数相同则为平局．已知甲、乙每次投中的概率分别为，，每人每次投2312壶相互独立．(1)求甲投中两次获胜的概率；(2)求结果不是平局的概率．【答案】(1) 13(2)2336【分析】（1）设“甲投中两次获胜”为事件A ，利用相互独立事件的概率公式即可求得；（2）设“结果是平局”为事件B ，则B 包括“甲乙都进2个球”，“甲乙都进1个球”，“甲乙都进0个球”三种情况，求出每种情况的概率，再求结果不是平局的概率.【详解】（1）设“甲投中两次获胜”为事件A ，则． ()222111323P A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=（2）设“结果是平局”为事件B ， 则， ()()()()222112112232332P B =⨯+⨯⨯⨯⨯()()2221133236+⨯=所以， ()()23136P B P B =-=即结果不是平局的概率为． 233620．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的得分，求X 的所有可能取值，并求的概率； 100X =（2）若小明先回答B 类问题，记Y 为小明的得分，求Y 的所有可能取值，并求每一个得分所对应的概率.【答案】（1）的所有可能取值为，，，；X 020100()1000.48P X ==（2）的所有可能取值为，，，；；．Y 080100()00.4P Y ==()800.12P Y ==()1000.48P X ==【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分的所有可能取值，求出的概率即可； X 100X =（2）通过题意分析出小明累计得分的所有可能取值，求可能取值的对应概率即可．Y 【详解】（1）由题可知，的所有可能取值为，，．X 020100．()1000.80.60.48P X ==⨯=（2）的所有可能取值为，，．Y 080100；()010.60.4P Y ==-=；()()800.610.80.12P Y ==-=．()1000.80.60.48P X ==⨯=21．已知四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，，点E 在33AD AB ===棱BC 上.(1)若E 为BC 的中点，求直线SE 与平面SCD 所成角的正弦值；(2)是否存在一点E ，使得点A 到平面SDE ？若存在，求出的值；若不存在，说BE EC 明理由.【答案】(1)310(2)存在，2【分析】(1)建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面SCD 的法向量，结合空间向量数量积的定义即可求解；(2)设点E 的坐标，利用空间向量法求出平面SDE 的法向量，结合向量法即可求出点A 到平面SDE 的距离，列出等式，解之即可.【详解】（1）由平面，平面得，又，SA ⊥ABCD ,AB AD ⊂ABCD ,SA AB SA AD ⊥⊥AD AB ⊥以A 为原点，，，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.AB AD AS因为，，，，， ()0,0,0A (S ()1,3,0C ()0,3,0D 31,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，，. 31,,2SE ⎛= ⎝ ()1,0,0CD =-(0,3,SD = 设平面SCD 的法向量为， (),,n x y z = 则，则，令，得. 00CD n SD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩030x y -=⎧⎪⎨=⎪⎩1y=(n = 设直线SE 与平面SCD 所成的角为θ，则， 332sin cos ,51022SE n SE n SE n θ⋅====⨯ 所以直线SE 与面SCD 所成角的正弦值为. 310（2）设，平面SDE 的法向量为， ()()1,,003E λλ≤≤()111,,m x y z = 则，则， 00SD m SE m⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11111300y x yλ⎧=⎪⎨+=⎪⎩令. 1z =(3m λ=- 又， (AS = 当点A 到平面SDE ，AS m m⋅==解得， 2λ=所以存在点，使得点A 到平面SDE ()1,2,0E此时. 2BE EC=22．如图，已知三棱柱，平面平面，，111ABC A B C -11AA C C ⊥,90ABC ABC ︒∠=30BAC ︒∠=分别是的中点．11,,A A A C AC E F ==11,AC A B（1）证明：；EF BC ⊥（2）求直线与平面所成角的正弦值．EF 1A BC 【答案】（1）证明见解析；（2）. 35【分析】（1）通过证明、来证得平面，由此证得. 1A E BC ⊥11A B BC ⊥BC ⊥11A B E EF BC ⊥（2）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量来求得直线与平面EF 1A BC EF 所成角的正弦值.1A BC 【详解】（1）如图所示，连结，等边中，， 11,A E B E 1AA C △AE EC =则，1A E AC ⊥平面平面，且平面平面，由面面垂直的性质定理可得：ABC ⊥11A ACC ABC ⋂11A ACC AC =1A E ⊥平面，ABC 故，1A E BC ⊥由三棱柱的性质可知，而，故， 11//A B AB AB BC ⊥11A B BC ⊥且，由线面垂直的判定定理可得：平面， 1111A B A E A = BC ⊥11A B E 结合平面，故.EF ⊂11A B E EF BC ⊥（2）在底面内作，以点为坐标原点， ABC EH AC ⊥E 方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系 1,,EH EC EA ,,x y z .E xyz -设，则，，1EH =AEEC =11AACA ==3BC AB=据此可得：， 13(0,,(0,0,3),2A B A C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭由可得点的坐标为， 11AB A B = 1B 132B ⎛⎫ ⎪⎝⎭利用中点坐标公式可得：，由于，故直线的方向向量为： 34F ⎛⎫ ⎪⎝⎭(0,0,0)E EF ， 34EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭设平面的法向量为，则：1A BC (,,)m x y z =133(,,)33022,33(,,)022m A B x y z x y z m BC x y z x y ⎧⎛⎫⋅=⋅-=-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅=⋅-=-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎩据此可得平面的一个法向量为， 1A BC m = 此时， 4,5EF m cos EF m EF m ⋅===⨯ 设直线与平面所成角为，则. EF 1A BC θ4sin cos ,5EF m θ==。
湖南师大附中2013届高三数学第三次月考试卷 理(含解析)
2012-2013学年湖南师大附中高三第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2}，B={2，4}，则集合M={z|z=x•y，x∈A，y∈B}中元素的个数23．（5分）如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=（）BC=15×=4．（5分）已知等差数列{a n}中，前四项的和为60，最后四项的和为260，且S n=520，则a7=520==40n=520==5．（5分）抛物线y2=4x与直线y=x﹣8所围成图形的面积为（）方程联解，得x=+8y）×8+8×8﹣×（﹣）﹣6．（5分）S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图，SA=SB=SC，且∠ASB=∠BSC=∠CSA=，M，N分别是AB和SC的中点，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为（）a，△ABCNQ=SM=a a NB=所成角的余弦值为7．（5分）（2010•成都二模）如图，点F为椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为（）PF′=b，PF′=2b，由椭圆的定义知PF=e=，故答案选8．（5分）若函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象和直线y=x无交点，给出下列结论：①方程f[f（x）]=x一定没有实数根；②若a＜0，则必存在实数x0，使f[f（x0）]＞x0；③若a+b+c=O，则不等式f[f（x）]＜x对一切实数x都成立；④函数g（x）=ax2﹣bx+c的图象与直线y=﹣x也一定没有交点．二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．9．（5分）（2004•天津）某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n= 80 ．解：n×10．（5分）已知函数f（x）=﹣x3，则不等式f（2x2﹣1）＜﹣1的解集为{x|x＜﹣1，或 x ＞1} ．11．（5分）（2011•福建）盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于．P=故答案为12．（5分）设正实数x，y，z满足x+2y+z=1，则的最小值为7 ．把式子==7当且仅当，∴则13．（5分）如图，在△ABC中，点E为AB边的中点，点F在AC边上，且CF=2FA，BF交CE于点M，设，则x﹣y= ．中，由向量的加法法则可得：，向量的共线可设：=，=解：由图及向量的加法和减法可知：与共线，可设==同理可得，则，解得故答案为14．（5分）已知实数x，y满足，则3x2+y2最小值为．，则由，此时z=，，此时z=与相切时，可得，∴z=，此时x=，不在可行域内，不满足题意＜最小值为故答案为：15．（5分）形如的数阵称为n阶矩阵，有n2（n无穷大）个数以一定的规则排列，构成如下n阶矩阵：此表中，主对角线上的数依次为l，2，5，10，17，…，则主对角线上的第101个数为10001 ，数字2013在此表中共出现 4 次．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知向量，函数f（x）=．（1）求f（x）的对称轴方程；（2）若且，求的值．（，（）﹣=k．k，）﹣，解得可得（．）﹣+（+2cos sin×17．（12分）某同学参加某高校的自主招生考试（该测试只考语文、数学、英语三门课程），其中该同学语文取得优秀成绩的概率为0.5，数学和英语取得优秀成绩的概率分别为p，q （p＜q），且不同课程取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布（1）求p，q的值；（2）求数学期望Eξ（AB））18．（12分）如图l，四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，DC⊥BC，将△DCB沿BD折起，使AC⊥BC，如图2．点E在DC上，AE=且AE⊥DC，若二面角A﹣BD﹣C的正弦值为．（1）求证：AE⊥BD；（2）求三棱锥D﹣ABE的体积．AE=AM===•EM•DB•AE=319．（13分）某县为落实国家农村医疗保险（简称“医保”）的政策，制定了如下实施方案：2011年底通过农民个人投保和政府财政投入，共筹资l 000万元作为全县的农村医保基金，并且从2012年起农民每年报销的医保费都为上一年年底农村医保基金余额的10%，并且每年年底县财政都向医保基金补充m（m＞0）万元．（1）以2011年为第1年，求第n（n≥1）年年底该县农村医保基金有多少万元？（用m，n 表示）（2）根据该县的农村人口数量和财政状况，县政府要求每年年底农村医保基金逐年增加且不超过1 500万元，问：每年补充的医保基金m（单位：万元）应控制在什么范围？a10m=（10m=（=10m+10m+y==10m+20．（13分）（2012•辽宁模拟）如图，已知抛物线C：y2=2px和⊙M：（x﹣4）2+y2=1，过抛物线C上一点H（x0，y0）（y0≥1）作两条直线与⊙M相切于A、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；（Ⅲ）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．到抛物线准线的距离为，可得，从而可求抛物线的方程为，可得轴上的截距到抛物线准线的距离为=，∴可得的方程为联立方程组，同理可得，∴．，∵的方程为，可得轴上的截距21．（13分）已知函数f（x）=2x（e x﹣1）﹣x2（x∈R）．（1）求证：函数f（x）有且只有两个零点；（2）已知函数y=g（x）的图象与函数h（x）=﹣f（﹣x）﹣x2+x的图象关于直线x=l对称．证明：当x＞l时，h（x）＞g（x）；（3）如果一条平行x轴的直线与函数y=h（x）的图象相交于不同的两点A和B，试判断线段AB的中点C是否属于集合M={（x，y）||x|+|y|≤1}，并说明理由．lnf）﹣x=ln，∴函数在（﹣∞，ln，+∞）上单）ln）＜，+∞）上有一个零点﹣）﹣。
(完整版)排列组合概率练习题(含答案)
排列与组合练习题1．如图，三行三列的方阵中有9个数(1,2,3;1,2,3)ij a i j ==，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（A ）37 （B ）47 （C ）114 （D ）1314 答案：D解析：若取出3个数，任意两个不同行也不同列，则只有6种取法；而从9个数中任意取3个的方法是39C ．所以39613114C -=． 2．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（A ）6种 （B ）9种 （C ）11种 （D ）13种答案：B解析：设四人分别是甲、乙、丙、丁，他们写的卡片分别为,,,a b c d ，则甲有三种拿卡片的方法，甲可以拿,,b c d 之一．当甲拿b 卡片时，其余三人有三种拿法，分别为,,badc bcda bdac ．类似地，当甲拿c 或d 时，其余三人各有三种拿法．故共有9种拿法．3．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，y 轴正半轴上有3个点，将x 轴正半轴上这5个点和y 轴正半轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有（A ）30个 （B ）20个 （C ）35个 （D ）15个答案：A解析：设想x 轴上任意两个点和y 轴上任意两个点可以构成一个四边形，则这个四边形唯一的对角线交点，即在第一象限，适合题意．而这样的四边形共有302325=⋅C C 个，于是最多有30个交点．推广1：．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有m 个点，y 轴正半轴上有n 个点，将x 轴正半轴上这m 个点和y 轴正半轴上这n 个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有22m n C C ⋅个变式题：一个圆周上共有12个点，由这些点所连的弦最多有＿＿个交点．答案：412C4．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（A ）15 （B ）25 （C ）35 （D ） 45答案：B111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解析：由古典概型的概率公式得522155222233232222=+-=A A A A A A A P ． 5．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34答案：A解析：每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=3193=． 6．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则(|)P B A =A ．18B ．14C ．25D ．12答案：B 解析：2()5P A =，1()10P AB =，()1(|)()4P AB P B A P A ==． 7．甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A ．12 B ．35 C ．23 D ．34 答案：D解析：由题得甲队获得冠军有两种情况，第一局胜或第一局输第二局胜，所以甲队获得冠军的概率11132224P =+⋅=．所以选D ． 8．如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为KA 2A 1A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576答案：B解析：系统正常工作概率为120.90.8(10.8)0.90.80.80.864C ⨯⨯⨯-+⨯⨯=，所以选B.9．甲乙两人一起去“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（A ）136 （B ）19 （C ）536 （D ）16 答案：D解析：各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览有1111111166554433C C C C C C C C 种，且等可能，最后一小时他们同在一个景点有11111116554433C C C C C C C 种，则最后一小时他们同在一个景点的概率是11111116554433111111116655443316C C C C C C C p C C C C C C C C ==，故选D ． 10．在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b α=．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则m n =( ) （A ）415 （B ）13 （C ）25 （D ）23答案：B解析：基本事件：26(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3)23515n C ==⨯=从选取个，.其中面积为2的平行四边形的个数(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1)；其中面积为4的平行四边形的为(2,3)(2,5);(2,1)(2,3)； m=3+2=5故51153m n ==. 11．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于A ．14B ．13C ．12D ．23答案：C解析：显然ABE ∆面积为矩形ABCD 面积的一半，故选C ．12．在204(3)x y +展开式中，系数为有理数的项共有 项．答案：6解析：二项式展开式的通项公式为20204412020(3)(3)(020)r r r r r r r r T C x y C x y r --+==≤≤要使系数为有理数，则r 必为4的倍数，所以r 可为0.、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项.13．集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}M =，从集合M 中取出4个元素构成集合P ，并且集合P 中任意两个元素,x y 满足||2x y -≥，则这样的集合P 的个数为＿＿＿＿．答案：35解析：其实就是从1到10这十个自然数中取出不相邻的四个数，共有多少方法的问题．因此这样的集合P 共有4735C =个．14．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物，如右图所示，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有4种不同的植物可供选择，则有＿＿＿种栽种方案．答案：732解析：共分三类：（1）A 、C 、E 三块种同一种植物；（2）A 、B 、C 三块种两种植物（三块中有两块种相同植物，而与另一块所种植物不同）；（3）A 、B 、C 三块种三种不同的植物．将三类相加得732．15．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(Ⅱ)X 表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X 的期望()E X ．解：（I ）设A 表示事件“购买甲种保险”，B 表示购买乙种保险． ()A B A A B =并且A 与A B 是互斥事件，所以()()()0.50.30.8P A B P A P A B =+=+=答：该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8． （II ）由（I ）得任意1位车主两种保险都不购买的概率为()10.80.2p p A B ==-=． 又(3,0.2)XB ，所以()20E X =．所以X 的期望()20E X =．。
浙江省高二下学期3月月考数学试题(解析版)
高二下学期3月月考数学试题一、单选题1．把4本不同的书分给3名同学，每个同学至少一本，则不同的分发数为（ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种【答案】D【分析】根据题意可知一名同学分得两本书，其余两名同学各分得一本书，利用排列组合数进行计算.【详解】根据题意可知一名同学分得两本书，其余两名同学各分得一本书，不同的分发数为种.234336C A ⋅=故选：D【点睛】本题考查简单的排列组合问题，属于基础题.2．已知，则（ ）1cos 3x =sin 22x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．7979-8989-【答案】A【分析】利用二倍角的余弦公式以及诱导公式可求得结果.【详解】.2217sin 2cos 212cos 12239x x x π⎛⎫⎛⎫-=-=-=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A.3．已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（ ） A ．0.92 B ．0.93C ．0.94D ．0.95【答案】B【分析】根据甲乙两厂所占比例及对应的合格率，利用全概率公式算即60%95%40%90%P =⨯+⨯可得解.【详解】由甲乙两厂所占比例及对应的合格率可得， 60%95%40%90%0.93P =⨯+⨯=故选：B4．正整数2160的不同正因数的个数为（ ）． A ．20 B ．28C ．40D ．50【答案】C【分析】将正整数2160分解质因数，由此确定其正因数的个数. 【详解】因为，所以其质因数属于集合432160235=⨯⨯，{}{}{}{}235,0,1,2,3,4,0,1,2,3,0,1x y zt t x y z =∈∈∈该集合的元素个数为，54240⨯⨯=所以正整数2160的不同正因数的个数为40， 故选：C.5．如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD 段马路由于正在维修，暂时不通，则从A 到B 的最短路径有（ ）A ．23 条B ．24 条C ．25条D ．26 条【答案】D【分析】先假设是实线，计算出所有的最短路径的条数，然后减去经过的最短路径的条CD CD 数，从而求得正确答案. 【详解】先假设是实线，CD 则从到，向上次，向右次，最短路径有条，A B 34773434A 35A A =其中经过的，即先从到，然后到，最后到的最短路径有条， CD A C C D DB 339⨯=所以，当不通时，最短路径有条. CD 35926-=故选：D6．已知二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为，则该展开式中的系数为1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭32x （ ） A ． B ． C ． D ．405-40581-81【答案】A【分析】利用展开式二项式系数之和求出，再利用展开式的通项公式求解即可.n 【详解】由二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为，可得，1nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭232n =5n =则，511n x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其展开式的通项公式为， (()()535521550,1,2,,511C 3C rrrr rr rr T r x x ---+-=⎛⎫=⋅⋅-=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭令，解得，则其该展开式中的系数是. 5312r -=1r =x ()1511513C 405--⋅⋅=-故选：A.7．六名同学排成一排照相，则其中甲､乙､丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．2515215110【答案】D【分析】六名同学排成一排照相，共有中不同的排列方法，满足条件的共有种排法，得66A 720=72到概率.【详解】六名同学排成一排照相，共有中不同的排列方法.66A 720=甲､乙､丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻共有：先确定除甲乙丙三人外的位置，共有种方式，再确定甲在丁的两边有种方式，最后将乙丙33A 6=2放入3个空中，（甲旁边不能放入），有种方式， 23A 6=故共有种不同的排法，故概率， 3332A 2A 72⨯⨯=110P =故选：D8．随机变量的分布列如下：ξ ξn 1n +2n +P a b c其中a ，b ，c 成等差数列，则（ ）A ．与n 有关，有最大值B ．与n 有关，有最小值()D ξ2323C ．与n 无关，有最大值D ．与n 无关，有最小值2323【答案】C【分析】求出的表达式，分析其与的关系，求最值即可．()D ξn【详解】依题意，，，所以， 2a c b +=1a b c ++=13b =． ()(1)(2)()22E na n b n c n a b c b c n b c ξ=++++=++++=++，2222()(1)(2)E n a n b n c ξ=++++所以，，222222282()()()(1)(2)(2)499D E E n a n b n c n b c c c ξξξ=-=++++-++=-++2(0)3c ……所以与无关，且当时，有最大值．()D ξn 13c =()D ξ23故选：．C 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差，二次函数的最值等，考查公式的应用能力与字母运算能力．本题属于中档题．二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．若随机变量服从二项分布，则ξ14,2B ⎛⎫⎪⎝⎭()134P ξ==B ．若随机变量服从正态分布，则η()25,,(2)0.1N P ση<=(28)0.8P η<<=C ．若随机变量服从两点分布，，则 X ()112P X ==()12D X =D ．若随机变量的方差，则 Y ()2D Y =()328D Y +=【答案】AB【分析】根据二项分布的概率，正态曲线的对称性，两点分布的期望，方差的性质，即可分别求解.【详解】对于A ，若随机变量服从二项分布，则，故选项ξ14,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()33141113C ((1)224P ξ==⋅-=A 正确.对于B ，若随机变量服从正态分布，则，η()25,,(2)0.1N P ση<=(8)0.1P η>=故，故选项B 正确. (28)1(2)(8)0.8P P P ηηη<<=-<->=对于C ，若，，，故选项C 错误. ()112P X ==()12E X =()2211111(0)(122224D X =-⨯+-⨯=对于D ，根据方差的计算公式，，则，故选项D 错误.()2D Y =()()232318D Y D Y +==故选：AB.10．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再12,A A 3A 从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ） B A ．事件与事件相互独立 B ． B ()1,2,3i A i =()2455P A B =C ．D ． ()25P B =()2845P A B =【答案】BD【分析】由题设求出、，利用条件概率公式、全概率公式判断B 、C 、D ，()i P A (|)i P B A (1,2,3)i =根据是否相等判断事件的独立性判断A. ()(),()i i P A P B P A B 【详解】由题意，，，11()2P A =21()5P A =33()10P A =若发生，此时乙袋有5个红球，3个白球和3个黑球，则， 1A 15()11P B A =若发生，此时乙袋有4个红球，4个白球和3个黑球，则， 2A 24(|)11P B A =若发生，此时乙袋有4个红球，3个白球和4个黑球，则， 3A 34(|)11P B A =对于B ，，故B 正确； 2224()(|)()55P A B P B A P A ==对于C ，，故C 错误； ()1122339(|)()(|)()(|)()22P B P B A P A P B A P A P B A P A =++=对于D ，，故D 正确； ()22225()(|)()|())84(P A B P B A P A P A B P B P B ===对于A ，，，1115()(|)()22P A B P B A P A ==3336()(|)()55P A B P B A P A ==则，，，故A 错误. 11()()()P A P B P A B ≠22()()()P A P B P A B ≠33()()()P A P B P A B ≠故选：BD.11．已知正方体的棱长为为的中点，为线段上的动点，过点1111ABCD A B C D -4,E BC F 1CC ,,A E F 的平面截该正方体所得的截面记为S ，下列说法中正确的是（ ）A ．当为线段中点时，S 为等腰梯形F 1CCB ．当时，S 与的交点满足 3CF =11CD G 143C G =C ．当时，S 为六边形 34CF <<D ．三棱锥的体积为定值 1D DBF -【答案】ABD【分析】通过空间想象结合图形可判断AC ；建立空间直角坐标系，利用向量共面可得G 点坐标，可判断B ；根据三棱锥与三棱锥等体积，结合图形可知. 1D DBF -1B DD F -【详解】A 中，当为线段中点时，易知， F 1CC 1EF BC ∥11BC AD ∥所以，截面S 为梯形，A 正确；1EF AD ∥1AEFD如图建立空间直角坐标系，则，设，(4,2,0),(4,4,3)E F (,4,4)G m 因为四点共面，所以共面， ,,,A E F G ,,AG AE AF所以存在x ，y 使得AG xAE y AF =+即，即，(,4,4)(4,2,0)(4,4,3)m x y =+4424434x y m x y y +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩解得，所以，B 正确， 83m =143C G =如图，当时，设，34CF <<7(4,4,(0,,4),(,4,4)2F H nG m 在平面内作，交于点H ，在平面作，交于点G ，11AA D D AH EF A 11A D 1111D C B A HG AE A 11C D 则7(4,2,0),(0,2,(0,,4),(,4,0)2AE EF AH n HG m n ====-由得，得7(0,,4)(0,2,)2n λ=167n =(,4,0)(4,2,0)m n μ-=1m =所以，A 、E 、F 、G 、H 五点共面，即截面为五边形AEFGH ，故C 错误；由图知，，D 正确.111111132323D DBF B DD F V V DD D C BC --==⨯⋅⋅=故选：ABD12．甲､乙两人进行围棋比赛，共比赛局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为.()*2n n N ∈12如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为，则（ ） ()P n A ． B ． 1(2)8P =11(3)32P =C ．D ．的最大值为221()122n nn C P n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()P n 14【答案】BC【分析】由题设可得，又21222221()()(...)2n n n nn n n P n C C C ++=+++，可得，结合各选项即可判断正误.011122222222......2n n n n nn n n n n nC C C C C C -++++++++=2211()22nnn C P n +=-【详解】由题意知：要使甲赢得比赛，则甲至少赢局，，而1n +21222221()()(...)2n n n nn n n P n C C C ++=+++， 011122222222......2n n n n n n n n n n n C C C C C C -++++++++=∴，故C 正确；2211()22nnn C P n +=-A ： ，错误；245215(2)216C P =-=B ：，正确；367111(23)232C P =-=D ：当时，，由A 知，显然的最大值不是，错误.1n =12311(1)224C P =-=(2)(1)P P >()P n 14故选：BC【点睛】关键点点睛：由题设得到，利用二项式各项系数和的性21222221()((...)2n n n nn n n P n C C C ++=+++质求.()P n三、填空题13．今天是星期四，经过天后还是星期四，那么经过天后是星期______. 760692【答案】五【分析】求出除以后的余数，可得结果. 606927【详解】因为，()()202320236069320231202222021202220232023202322717C 7C 7C 71==+=+⋅+⋅++⋅+ 且能被整除，2023120222202120222023202320237C 7C 7C 7+⋅+⋅++⋅ 7故除以后的余数为，6069271故今天是星期四，经过天后还是星期四，那么经过天后是星期五. 760692故答案为：五.14．某学校组织1200名学生进行“防疫知识测试”．测试后统计分析如下：学生的平均成绩为x =80，方差为．学校要对成绩不低于90分的学生进行表彰．假设学生的测试成绩X 近似服225s =从正态分布（其中μ近似为平均数，近似为方差，则估计获表彰的学生人数为()2,N μσx 2σ2s ___________．（四舍五入，保留整数） 参考数据：随机变量X 服从正态分布，则，()2,N μσ()0.6827P X μσμσ-<<+=，．()220.9545P X μσμσ-<<+=()330.9973P X μσμσ-<<+=【答案】27【分析】根据题意得到，结合原则和正态分布的对称性求出80,5,290μσμσ==+=3σ，求出获得表彰的学生人数.(90)0.02275P X >=【详解】由题意得：， 80,5,290μσμσ==+=故， 11(90)(2)0.95450.0227522P X P X μσ>=>+=-⨯=所以． 12000.0227527⨯≈故答案为：27.15．设函数 ，，对任意，，不等式恒成立，则正221()e x f x x +=2()x e xg x e =x (0,)t ∈+∞()()1g x f t k k ≤+数的取值范围是__________． k 【答案】1k ≥【详解】分析：当x ＞0时，f （x ）=e 2x+，利用基本不等式可求f （x ）的最小值，对函数g （x ）1x求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g （x ）的最大值，问题转化为，可max min()()1g x f x k k ≤+求正数的取值范围．k详解：∵当x ＞0时，f （x ）=e 2x+， 1x 2e =∴x 1∈（0，+∞）时，函数f （）有最小值2e ，1x ∵g （x ）=，∴=，2x e x e2(1)()x e x g x e -'=当x ＜1时，＞0，则函数g （x ）在（0，1）上单调递增， ()g x '当x ＞1时，＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减， ()g x '∴x=1时，函数g （x ）有最大值g （1）=e ，则有x 1、x 2∈（0，+∞），f （x 1）min =2e ＞g （x 2）max =e ， ∵不等式恒成立且k ＞0，()()1g x f t kk ≤+∴，∴k≥1. 21e ek k ≤+故答案为k≥1点睛：（1）本题主要考查基本不等式、导数和恒成立问题，意在考查学生对这些问题的掌握能力和分析推理能力转化能力.(2)本题的关键是把问题转化为，这一步完成了，后面就max min()()1g x f x k k ≤+迎刃而解了.16．半径为2的球面上有四点，且两两垂直，则，与面,,,A B C D ,,AB AC AD ABC ∆ACD ∆ADB ∆积之和的最大值为______． 【答案】8【分析】AB ，AC ，AD 为球的内接长方体的一个角，故，计算三个三角形的面积之22216x y z ++=和，利用基本不等式求最大值．【详解】如图所示，将四面体置于一个长方体模型中，则该长方体外接球的半径为2．A BCD -不妨设，，，即．AC x =AD y =AB z =2=22216x y z ++=记． 111222ABC ACD ADB S S S S yz xy zx =++=++△△△从而有，即，从而．()()()()222222240x y z S x y y z z x ++-=-+-+-≥432S ≤8S ≤当且仅当，即该长方体为正方体时等号成立．从而最大值为8．x y z ==【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值问题，考查了学生解决交汇性问题的能力．解答关键是利用构造法求球的直径．四、解答题17．在二项式的展开式中．12312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（1）求该二项展开式中所有项的系数和的值； （2）求该二项展开式中含项的系数； 4x （3）求该二项展开式中系数最大的项． 【答案】（1）（2）（3）123792*********x 【分析】（1）令，即可得该二项展开式中所有项的系数和的值； 1x =（2）在通项公式中，令的幂指数等于4，求得的值，可得含项的系数；x r 4x （3）根据，求得的值，可得结论；1211312121211112122222r r r rr r r r C C C C ----+-⎧⎨⎩A A A A ……r 【详解】（1）令，可得该二项展开式中所有项的系数和的值为； 1x =123（2）二项展开式中，通项公式为，令，求得，123641122rrr r T C x --+=A A 3644r -=8r =故含项的系数为．4x 841227920C =（3）第项的系数为，由，求得， 1r +12122r rC -A 1211312121211112122222r r r r r r r r C C C C ----+-⎧⎨⎩A A A A……4r =故该二项展开式中系数最大的项为 ．384201421(2)()126720C x x x=【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题． 18．为丰富师生的课余文化生活，倡导“每一天健身一小时，健康生活一辈子”，深入开展健身运动，增强学生的身体素质和团队的凝聚力，某中学将举行趣味运动会.某班共有10名同学报名参加“四人五足”游戏，其中男同学6名，女同学4名.按照游戏规则，每班只能选4名同学参加这个游戏，因此要从这10名报名的同学中随机选出4名，记其中男同学的人数为. X (1)求选出的4名同学中只有女生的概率； (2)求随机变量的分布列及数学期望. X 【答案】(1)1210(2)分布列见解析，数学期望： 125【分析】（1）应用组合数计数，结合古典概型概率求法求选出的4名同学中只有女生的概率； （2）由题设知随机变量X 的取值为0，1，2，3，4，进而求各值的概率，即可写出分布列，最后由分布列求期望即可.【详解】（1）由题设，设“选出的3名同学中只有女生”为事件A ，则. 444101()210C P A C ==（2）随机变量X 的所有取值为0，1，2，3，4，∴，，，，444101(0)210C P X C ===136441024(1)210C C P X C ===226441090(2)210C C P X C ===316441080(3)210C C P X C ===，4641015(4)210C P X C ===的分布列为：∴X X 0 1 2 3 4P1210 24210 90210 8021015210 E (Y )=. 24908015122342102102102105+⨯+⨯+⨯=19．按要求解决下列问题，最后用数字作答.(1)名男学生、名女学生和位老师站成一排拍照合影，要求位老师必须站正中间，队伍左、3322右两端不能同时是一男学生和一女学生，则总共有多少种排法？(2)年月日是澳门回归祖国周年，某高校为庆祝澳门回归周年，特举行了澳门文化201912202020周启动仪式文艺晩会，已知该晩会共有个舞蹈类节目，个语言类节目，个歌曲类节目，若规定123同类节目不能相邻出场，则不同的出场次序有多少种？(3)地面上有并排的七个汽车位，现有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时倒车入库.当停车完毕后，恰有两个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有多少种？ 【答案】(1) 576(2) 120(3) 336【分析】（1）分两种情况讨论：①队伍左、右两端是两名男生；②队伍左、右两端是两名女生.利用分步计数原理和分类计数原理可得结果；（2）先考查歌曲类节目不相邻的排法种数，以及语言类节目相邻且歌曲类节目不相邻的排法种数，两者作差即可得解；（3）根据题意，首先用捆绑法计算恰有两个连续空位必须相邻的排法种数，再计算红、白两辆车相邻且恰有两个连续空位必须相邻的排法种数，两者作差即可得解. 【详解】（1）解：分以下两种情况讨论：①若队伍左、右两端是两名男生，则不同的排法种数为种；224234A A A 288=②若队伍左、右两端是两名女生，则不同的排法种数为种.224234A A A 288=综上所述，总共有种不同的排法.2882576⨯=（2）解：先考虑歌曲类节目不相邻，只需将个歌曲类节目插入其余个节目所形成的空中，33此时共有种不同的排法，3334A A 144=其次考虑语言类节目相邻且个歌曲类节目不相邻，只需将个语言类节目捆绑， 32则只需将个语言类节目与舞蹈类节目插入个歌曲类节目形成的中间的两个空位，23此时共有.322322A A A 24=因此，不同的排法种数为种. 14424120-=（3）解：根据题意，分两步进行： ①首先将四辆车排列有种排法，44A 再把两个连续的空位捆绑与另一个空车位往辆车所形成的空位中插入，有种排法，425A 由乘法原理可知有种不同的排法；4245A A 480=②考虑红、白两辆车相邻且恰有两个连续的空车位， 将红、白两辆车捆绑，以及两个连续的空位捆绑，先将红、白两辆车捆绑形成的“大元素”与其它两辆车进行排序，然后将两个连续的空位捆绑与另一个空车位插入“大元素”与其它两辆车所形成的空位中，此时，不同的排法种数为.232234A A A 144=因此，符合条件的排法种数为种.480144336-=20．在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，且ABC A ,,A B C ,,a b c ABC A S ． 22sin sin 2sin sin C AS a b sinA B C+=+（）（）(1)求的值C ；(2)若周长的取值范围． a =ABC A 【答案】(1)；3π(2). ()∞+【分析】（1）代入，然后逐步化简，即可求解； 12sinC c sin A aS bc sin A,,sin B b sinC c ===（2）由，得，，然后借助二倍角公式，即可求得sin sin sin a b c A B C ==3cos 2sin A b A =32sin c A =ABC A 周长的取值范围.【详解】（1）在中，由三角形面积公式得:，ABC A 1sin 2S bc A =由正弦定理得：，()2212sin sin 2c a bc A a b A b c ⎛⎫⨯+=+ ⎪⎝⎭整理得：，由余弦定理得：，222a b c ab +-=2221cos 22a b c C ab +-==又，故．0C π<<3C π=（2）因为，由正弦定理得，a =3C π=32sin c A=， 3cos 2sin Ab A===即的周长 ABC A ()31cos 33cos 2sin 2sin 2sinA A l a b c A A A+=++=++=26cos 324sincos 2tan 222A A AA =+=因为，则，故203A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，023A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0tan 2A <<所以的周长的取值范围是. 32tan2A >ABC A ∞（）21．如图，在四棱锥中，侧面底面，，且四边形为平行四S ABCD -SAD ⊥ABCD SA AD ⊥ABCD 边形，． π1,2,,33AB BC ABC SA ==∠==(1)求二面角的大小；S CD A --(2)点P 在线段SD 上且满足，试确定λ的值，使得直线BP 与面PCD 所成角最大． SP SD λ=【答案】(1) π3(2) 813λ=【分析】（1）根据已知条件及余弦定理，利用线面垂直的性质定理及面面垂直的性质定理，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，分别求出平面和平面的法向量，再利用向量的夹SCD ABCD 角公式，结合向量的夹角与二面角的关系即可求解.（2）根据（1）的结论及向量的关系的得出坐标的关系，利用向量的夹角公式求线面角，结合二次函数的性质即可求解.【详解】（1）连接在， ,AC π,1,2,3ABC AB BC ABC ∠===A 由余弦定理得，， 22222π2cos 12212cos33AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=解得AC =所以，即. 222AC AB BC +=π2BAC ∠=因为侧面底面，平面底面， SAD ⊥ABCD SAD ⋂,ABCD AD SA AD =⊥所以面，面， SA ⊥ABCD ,AB AC ⊂ABCD 所以,．SA AB ⊥SA AC ⊥以为原点,建立空间直角坐标系，如图所示A A xyz -则． ()()()()()()1,0,0,,0,0,3,,1,0,0,3B C S D CD SC -=-=-设平面的法向量为，SCD (),,n x y z =r由，得，令，所以．00n CD n SC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 030x z =⎧-=y =0,3x z ==()n = 由面，得为平面的法向量， SA ⊥ABCD ()0,0,3AS =即为平面的法向量．()0,0,1m =ABCD 设二面角为，则S CD A --θ所以．1cos cos ,2n m n m n m θ⋅=<>===因为二面角为锐角，所以． S CD A --π3θ=所以二面角的大小为． S CD A --π3（2）由（1）知，()()()1,0,0,0,0,3,,B S D -设，得，()111,,,P x y z SP SD λ=()()111,,33x y z λ-=--，所以，所以．111,,33x y z λλ=-==-(),33P λλ--(),33BP λλ=---由（1）知平面的法向量为．PCD ()n =设直线BP 与面PCD 所成角为，则αsin cos ,BP n BP n BP n α⋅=<>=== =所以当时，值最大，即当时，与平面所成角最大. 813λ=sin α813λ=BP PCD 22．已知.()()2ln ,(0)f x x a x g x kx m k =-=+>(1)讨论的单调性；()f x (2)若，对，方程只有唯一实数根，求的取值范围. 2a =0k ∀>()()f x g x =m 【答案】(1)答案见解析 (2) (],34ln2∞∈--m【分析】（1）求导，对参数a 分类讨论；（2）构造函数，将原问题转化为曲线与曲线只有一个交点的问题.【详解】（1）， ， ()ln ,0f x x a x x =->()1a x af x x x'-=-=当 时 无解， ，在上单调递增；0a ≤()'0f x =()'0f x >()f x ()0,∞+当 时，令 ，则 ，时 递减， 时0a >()'0f x =x a =()0,x a ∈()()'0,f x f x <(),x a ∈+∞ 递增；()()'0,f x f x >（2）即，即，令，x > 0,()()f x g x =22ln x x kx m -=+22ln x x kx m --=()22ln H x x x kx =--则原问题转化为：曲线 与直线 只有一个交点，求m 的取值范围；()H x y m = ，令 ，即， ()2'22212kx x H x kx x x-+=--=-()'0H x =2220kx x -+=当 即时， 在上单调递减，1160k ∆=-≤116k ≥()()2'220,kx x H x H x x-+=-≤()0,∞+，前半部分时开口向下的二次函数，后半部分是对数函数，()()()222ln H x x kx x =-+-当x 趋于0时，趋于0，趋于，趋于，22x kx -2ln x -+∞()H x +∞当x 趋于时，趋于，也趋于，所以趋于，+∞22x kx --∞2ln x --∞()H x -∞ 的值域是R ，并且是单调的， 均满足题设方程有唯一实根； ()H x ∴∴R m ∈当 即时， 有两个不等实数根， 1160k ∆=->1016k <<()'0H x =易知 ，不妨取， 12121211,,0,02x x x x x x k k+==∴>>12x x < 在和上单调递减，在单调递增，∴()H x ()10,x ()2x +∞[]12,x x对于 ，令，则 ，，同理可得1x =t =01t <<()11214,2,4114t x x t t-==∴∈-+ ， ()24,x ∈+∞ ，故在上单调递减，()()()()'1111111122ln 12,4,022H x x x x H x x ∴=-+∈=-<()1H x ()2,4， ()()134ln2,22ln2H x ∴∈-- ，故在上单调递增，()()()()'2222221122ln 14,,022H x x x x H x x ∞=-+∈+=->()2H x ()4,+∞，()()234ln2,H x ∞∴∈-+函数 的大致图像如下图：()H x综上：要对，方程只有一个实数根，则 ；0k ∀>()()f x g x =(],34ln2∞∈--m。
部编人教版三年级数学下册第三次月考水平测试题及答案(三套)
部编人教版三年级数学下册第三次月考水平测试题及答案(三篇)目录：部编人教版三年级数学下册第三次月考水平测试题及答案一部编人教版三年级数学下册第三次月考测试及答案二部编人教版三年级数学下册第三次月考真题试卷及答案三部编人教版三年级数学下册第三次月考水平测试题及答案一班级：姓名：满分：100分考试时间：90分钟题序一二三四五总分得分一、填空题。
（20分）1、在计算418÷7时,可以把418看作（_____）,商大约是（_____）．2、8个（____）是248,（____）个8是768。
3、在乘法算式中，一个因数不变，另一个因数扩大10倍，积（______）。
4、今天学校的早餐有3种粥，4种主食。
乐乐从粥和主食中各选一种搭配自己的早餐，一共有（____）种不同的搭配方法。
5、下图是用边长均为1厘米的小正方形拼成的,它的周长是（____）厘米,面积是（____）平方厘米。
6、一列火车本应10：40到达，结果因故晚点25分，这列火车实际到达时间是_____。
7、线段有________个端点，射线有________个端点，直线________端点．8、煮熟一个饺子用10分钟，同时煮熟8个饺子要用_____分钟．9、如图的周长是______米．10、□60÷48，要使商是两位数，□里最小填________．二、选择题（把正确答案前面的序号填在（）里）（10分）1、一个圆和一个正方形的周长相等,它们的面积比较()。
A．正方形的面积大B．圆的面积大C．一样大D．无法比较2、—个长方形长增加5厘米，宽减少5厘米，它的周长( )。
A．不变B．增加C．减少3、下面的算式，得数一定大于1800的是（）A．5×298 B．9×217 C．587×34、一个三位数减去一个三位数，差一定是（）。
A．三位数B．两位数C．无法确定5、小英的座位在小华的南面，小宋的座位在小英的东面，那么小华的座位在小宋的()。
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中卫市职业技术学校2009级 综合高中数学（理）第三次月考试卷
命题教师：王谦
一．选择题（每小题5分，共60分）
1．从3名男生和2名女生中选出3名代表去参加辩论比赛，则所选出的3名代表中至少有1名女生的选法共有 （ ） A 9种 B 10种 C 12种 D 20种
2．由0，1、2，…，9这十个数组成的无重复数字的四位偶数共有（ ）
A 2240个
B 2293个
C 2296个
D 4586个
3．角A 的一边上有4个点，另一边上有5个点，连同A 点在内一共有10个点，它们可连成的三角形的个数是（ ）个 A
3
10C -
3
5
3
4C C - B
1
6
252615C C C C ⋅+⋅
C 2
5
1
41524C C C C ⋅+⋅ D 1
5
1
41
11
52
42
51
4C C C C C C C ⋅⋅+⋅+⋅
4．从1，2，3，4，7，9中任取两个作分子、分母构成一个真分数，则可以构成的不同的真分数的个数是（ ）
A 32
B 27
C 25
D 20 5．（1-x ）2n-1展开式，二项式系数最大项是（ ）
A 第n-1项
B 第n 项
C 第n-1项与第n 项
D 第n 项与第n+1项
6．在(1－x )5
－(1－x )6
的展开式中，含x 3
的项的系数是 （ ）
A －5
B 5
C 10
D －10 7．在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法是
A 4140种
B 1081种
C 4186种
D 1035种
8．（
x x 1
3
-
）8的展开式中，x 的一次项系数是（ ） A 28 B -28 C 56 D -56
9．从6人中选4人分别去北京，上海，广州，重庆四个城市游览，每人只去一个城市游览，但甲，乙
两人都不去北京，则不同的选择方案有（ ） A 300种 B 240种 C 144种 D 96种
10．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是154
，刮三级以上风的概率为152
，既刮风又下雨的概率为101
，则在下雨天里，刮风的概率为（ ）
A 2258
B 21
C 83
D 43
11．十个人站成一排，其中甲、乙、丙三人恰巧站在一起的概率为（ ）． A
B
C
D
12．有10件产品，其中有2件是次品，任取5件产品，则恰有一件次品的概率为（ ）．
A B C D
二．填空题（每小题5分，共20分）
13、6人站成一排，如果甲不站两端，且乙与丙必须相邻的排法有___（填数字）
14、某游人上山，从前山上山的道路有3条，从后山上山的道路有2条，那么游人从上山到下山不同的走法共有_________________种（用数字回答）
15．已知P(B|A)=103
,P(A)=51
,则P(AB)= _________________
16．从分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的9张卡片中任取2张，则两数之和是奇数的概率是________________.
一．选择题（5分×12=60分）
二．填空题（5分×4=20分） 13． 14。
15． 16。
三．解答题（共70分）
17．有4名男生，5名女生，全体排成一行，下列情形各有多少种不同的排法？
（1）甲只在中间或两头位置上；
（2）甲、乙两人必须排在两头；
（3）甲不在排头，乙不在排尾；
（4）甲总排在乙的左边，乙总排在丙的左边（不一定相邻）；
（5）男生不能相邻；
（6）女生必须相邻。
18．袋中有5个红球、6个白球和8个黄球，随机抽3次，每次抽1个，（1）抽后不放回；（2）抽后放回。
求下列事件的概率．
（1
）颜色相同的事件（事件）
（2
）颜色各不相同的事件（事件）．
19．一批产品共100件，其中有10件次品，为了检验其质量，从中随机抽取5件
（1）求在抽取的这5件产品中次品数的分布列
（2）5件产品中有3件以上为次品的概率.(精确到0.001) 20．一个口袋内装有2个白球，3个黑球，则
（1）先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率？
（2）先摸出1个白球后不放回，再摸出1个白球的概率？
21．设一袋中有编号为1，2，3…9的球共九只，某人从中任取3只球，试求：
(1)取到1号，求得概率；
(2)最小号码为5的概率；
(3)所取号码从小到大排序中间一个恰为5的概率；
(4)2号球或3号球至少有一个没有取到的概率；
22．已知（2
3
1
x
x
）n的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是14：3，求展开式中不含x的项。