有限元与数值方法-固体力学控制方程的基本形式(弹性力学为例)
有限单元法基本原理和数值方法
有限单元法基本原理和数值方法1. 引言有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于结构力学、流体力学、电磁场及热传导等领域中。
本文将介绍有限单元法的基本原理和数值方法，并阐述其在工程实践中的应用。
2. 基本原理有限单元法的基本原理是将复杂的连续体问题离散化为若干简单的子域，即有限单元。
每个有限单元由一个或多个节点组成，通过将子域内的导数方程或平衡方程转化为代数方程，再通过求解这些代数方程得到全局解。
有限单元法的基本步骤如下： - 确定问题的几何形状和边界条件； - 将几何形状分割为有限个单元，并为每个单元定义适当的数学模型； - 根据单元的数学模型建立刚度矩阵、质量矩阵等，并通过组装成全局矩阵； - 应用合适的边界条件，并求解线性或非线性代数方程组； - 根据代数方程组的解，计算各个单元内部的物理量。
3. 数值方法有限单元法中常用的数值方法包括： - 剖分方法：将连续域剖分为若干简单的有限单元，常用的有三角形剖分和四边形剖分。
- 元素类型：根据问题的特性选择合适的单元类型，如线性元、三角元、四边形元等。
- 积分方法：采用高斯积分等方法对每个单元内的积分方程进行数值求解。
- 方程求解：对线性方程组采用直接法（如高斯消元法）或迭代法（如共轭梯度法）进行求解。
- 后处理：根据问题的要求，进行应力、位移、应变等物理量的计算和显示。
4. 应用实例有限单元法广泛用于工程实践中，以下为其常见应用实例：- 结构力学：用于模拟建筑物、桥梁、飞机等结构的应力和变形。
- 流体力学：用于模拟流体在管道、水槽、风洞等中的流动。
- 电磁场：用于模拟电磁场在电路、电机、天线等中的分布。
- 热传导：用于模拟热传导在导热管、散热器、热交换器等中的传热情况。
5. 结论有限单元法作为一种数值计算方法，在工程实践中得到了广泛应用。
通过将连续问题离散化为有限单元，再通过数值方法求解代数方程组，可以获得连续问题的近似解。
有限元三大方程公式
有限元三大方程公式有限元方法是一种重要的数值分析技术，用于求解结构力学、流体力学和热传导等工程学问题。
有限元方法基于有限元法，将连续的问题离散化成为微小的单元，并利用数值技术求解单元边界上的方程，最终通过组合这些边界方程得到整个问题的解。
在有限元方法中，三个常见的方程是：平衡方程、力学方程和能量方程。
下面将详细介绍这三个方程的公式及其意义。
一、平衡方程平衡方程是指物体在受到外力作用时，各部分之间保持力的平衡。
在力学中，平衡方程可表示为：∑F=0其中，∑F代表物体的所有外力的矢量和。
这个方程表明，在平衡状态下，物体上各个部分所受的外力的合力为零。
通过将平衡方程应用于每个有限元单元，可以得到离散问题的平衡方程。
二、力学方程力学方程是用于描述物体内部受力情况的方程，一般由胡克定律得到。
对于线性弹性材料，力学方程可表示为：σ=(E/ν)[ε-α(T-T0)]其中，σ代表应力，E代表弹性模量，ν代表泊松比，ε代表应变，α代表线膨胀系数，T代表温度，T0代表参考温度。
这个方程表明，应力取决于应变、温度和材料性质。
在有限元分析中，常将力学方程表示为单元应变和单元应力之间的关系，即：σ=Dε其中，D代表弹性模量矩阵，包含了材料性质的信息。
通过将力学方程应用于每个有限元单元，可以得到离散问题的力学方程。
三、能量方程能量方程是用于描述物体内部能量传递和转化的方程。
∂T/∂t=α∇²T其中，T代表温度，t代表时间，α代表热扩散率。
这个方程表明，温度随时间和空间的变化率取决于热传导率。
在有限元分析中，常将能量方程离散化为每个有限元单元的能量方程，即：∂T_i/∂t=∑(N_i∇T)其中，T_i代表单元i的温度，N_i代表形函数，∇T代表温度梯度。
通过将能量方程应用于每个有限元单元，可以得到离散问题的能量方程。
综上所述，有限元分析中的三大方程包括平衡方程、力学方程和能量方程。
这些方程为结构力学、流体力学和热传导等工程学问题的求解提供了重要的数学模型，通过将这些方程应用于每个有限元单元，可以得到离散问题的方程组，从而得到问题的数值解。
弹性力学简介及其求解方法
弹性力学简介及其求解方法2010-08-27弹性力学简介及其求解方法弹性力学又称弹性理论，是固体力学的一个分支，是研究弹性体由于外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。
确定弹性体的各质点应力、应变和位移的目的就是确定构件设计中的强度和刚度指标，以此用来解决实际工程结构中的强度、刚度和稳定性问题。
材料力学、结构力学三门学科所研究的内容和目的相同，但是研究对象和研究方法不同。
材料力学研究对象是杆状构件，结构力学是在材料力学基础上研究由多杆构成的杆系结构的强度和刚度问题。
而对于一般弹性实体结构，如板与壳结构、挡土墙与堤坝、地基以及其他三维实体结构来说，相应的强度和刚度问题要用弹性理论的方法来解决。
在研究方法上，弹性力学和材料力学都从静力学、几何关系、物理方程三方面着手来进行分析，但不同点是材料力学常借助于直观和实验现象做一些假设。
在具体问题计算时材料力学与结构力学都利用解决单一变量的常微分方程，在数学上求解容易。
弹性力学需解决的是满足边界条件的高阶多变量偏微分方程，在数学上求解困难，一般弹性体问题很难得到解析解。
所以，与材料力学相比，弹性力学的研究对象更加广泛，研究方法更加严密，能解决更加复杂的实际问题，因此需要用较多的数学工具。
弹性力学问题可以归结为边值问题：在弹性体内必须满足基本方程，即平衡微分方程、几何方程和物理方程；在应力边界上应满足应力边界条件；在位移边界上应满足位移边界条件；在混合边界上应满足相应的应力边界和位移边界条件。
满足基本方程的解答叫做弹性力学解；既满足基本方程，又满足边界条件的解答叫做弹性力学问题的解。
在求解弹性力学问题时，通常已知的是物体的形状、尺寸、约束情况和外载荷以及材料的物理常数。
需要求解的是应力、应变和位移，它们都是物体内点的坐标的函数。
对于空间问题，一共有15个未知函数：3个位移分量、6个应变分量和6个应力分量。
可利用的独立方程也有15个，即3个平衡微分方程、6个几何方程和6个物理方程。
有限元与数值方法-讲稿6-7 弹性力学有限元的一般原理与格式
1 1 x1 y1 u1 u 1 x y 2 2 2 2 1 x y u 3 3 3 3
1 x1 y 1 x2 1 x3 y1 y2 y3
0 N1
N2 0
e B
0 N2
N3 0
B2
B3
Bi
N i x 0 N i y
0 N i y N i x
则单元内应变可表示为：
B1 1e B2 2e B3 3e
有限元与数值方法第6讲
授课教师：刘书田
Tel：84706149； Email：stliu@ 教室：综合教学楼 351
时间：2013年4月19日：8：00—10：50
1
第二篇：弹性力学有限元的基本理论和格式
2.1 弹性力学有限元的一般格式 平面问题的有限元格式 弹性力学有限元的一般格式和求解步骤 有限元解的性质和收敛准则 2.2 单元与插值函数的构造 2.3 等参元与数值积分 等参元与数值积分 典型的等参单元 2.4 有限元法应用中的实际考虑 建立有限元模型： 计算结果的性质和处理 子结构法 对称性和周期性的利用 非协调元与分片实验
18
单元应力矩阵
应力：
x y D D B e xy
S e
[ S ] [ D][B]
称为单元应力矩阵
19
单元应变能和外力势能的矩阵表达
应变能 U为： y
ui i b j 0 bm 0 u j 0 c j 0 cm j c j b j cm bm u m m
弹性力学_第7章_平面问题的有限单元法
(d* )T p {ε* }T σdxdy {δ* }T F L
5. 建立有限单元法的基本方程： 在各个节点处，列出内力和外力的平衡方程，就得到有限 单元法的总体劲度方程
Kδ FL
其中：K FL
— 总体劲度矩阵， — 位移列阵，各个节点的位移， — 荷载列阵，将荷载化为节点力列阵
《弹塑性力学》课件
内容提要 平 面 问 题 的 有 限 单 元 法
2012/5/10
§7-1 §7-2 §7-3 §7-4 §7-5 §7-6 §7-7
基本量及基本方程的矩阵表示 有限单元法的概念 单元的位移模式与解答的收敛性 单元的应变列阵和应力列阵 单元的结点力列阵与劲度矩阵 载荷向结点移置 等效节点荷载 结构的整体分析 节点平衡方程组
有限单元法的基本解题步骤为： 1. 划分单元； 2. 建立位移模式。即建立单元内任一点位移与节点位移之间的 关系，设三角形单元三个节点的位移分别为：(ui,vi), (uj,vj), (um,vm)，三角形单元任何一点的位移 u 与 v用结点位移表示。 ui ui 结点位移列阵 v u [ N , N , N ] i i j m u j δi u j um 人为设计 δe δ j δ v j 的表达式。 v i m u m v [ N i , N j , N m ]v j v m v m 这种表示是人为设计的，每种单元都有不同表示方法，本 课程仅讲三结点三角形单元。
2 56
1、有限元法（Finite Element Method）
简称FEM，是弹性力学的一种近似解法。 首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用分片插值技术与虚功原 理或变分方法进行求解。
固体力学线弹性问题有限元分析
xy y
xz z
fx ) u
( xy x
yy y
yz z
f y ) v
V
( xz x
yz y
zz z
fz ) wdV
0
其中σu、σv、σw表示三个方向的虚位移。
对上式进行分部积分化为弱形式可得：
V xx xx yy yy zz zz yz yz xz xz xy xy dV V fx u f y v fz wdV Tx u Ty v Tz wd
第五讲
固体力学-线弹性问题有限元分析
元计算技术部
线弹性力学作为固体力学的一个重要分支，研究弹性物体在外力和其他外界因素作用下产生的变形和 内力，它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础 。广泛应用在建筑、机械、化工、航 天等工程领域 。本讲将对该分支，从其物理模型，有限元弱形式推导，以及ELAB.1.0有限元分析、 ELAB1.0有限元软件公式库实现等各个方面进行介绍。
a场材料参数
b场材料参数
➢前处理
点击工具栏中“前处理”按钮进入GID，建立该工程的几何模型。 注：进入GID后要进行ELAB1.0的数据转化data→problemtype→ELAB
几何建模： 建立几何模型的具体操作详见《有限元分析基础与应用》相关章节。
注：模型建立后，选择Geometry——Edit——Collapse——models，选中所建模型，按鼠 标中键结束，将所有的体连为一体。保证没有孤立的点、线或者面。
V
xy xy
(1
E )(1
2
)
(0.5
)dV
V fx u f y v fz wdV Tx u Ty v Tz wd
对于弹性体的应力，采用最小二乘法，由线弹性问题的本构方程可以得到如下的弱形式：
弹性力学问题有限单元法绪论
有限元方法是与工程应用密切结合的， 是直接为产品设计服务的。 因而随着有限元理论的发展与完善，各 种大大小小、专用的、通用的有限元结 构分析程序也大量涌现出来。
典型的有Ansys, Nastran, Sap等。
大型通用程序一般包括结构静力分析、 动力分析、稳定性以及非线性分析等， 有的还包括热传导、热应力、流体等分 析，有齐全的单元库和有效的解算手段。 目前，一般的工程结构分析问题，都可 以直接用通用程序求解，不必花费精力 和时间另编计算程序。 为合理地使用通用程序、准备数据以及 恰当地分析计算结果，都要求对有限元 基本理论及程序设计有一定程度的理解。
需要两种类型的“小段直线”
一种是真正几何意义上的，如小 直线，小平面或小立方体。 它们要用来近似原物理问题的几 何域。
另一类是针对物理问题因变量的； 可以想到，如果原问题物理因变量 的连续性足够好，在一个“已知” 因变量点附近，只要这个“附近” 足够小，因变量的变化不会太复杂。 这就是函数插值的思路。
1. 将结构划分成单元； 2. 单元特性分析；
3. 集合成整体；
4. 数值求解。
在计算程序中各步骤可以是互相交 叉的。
对于不同的结构，采用的单元是不相同 的，但各种单元的分析方法又是一致的。 掌握一种典型结构（如平面问题）的有 限元分析方法，就可以推广于各种结构， 这一点对工程应用也是十分方便的。
为什么？
由于数学工具有限，以往我们能 够以分析解的形式处理的问题是 相对简单的。 主要就是梁和杆。
实际的物理问题是非常复杂的。 其数学模型的基本形式是针对一个连续 域的偏微分方程，基本自变量是域的几 何坐标变量，有域边界条件；所谓动态 是指问题的自变量包括时间，这又有初 始条件。因变量是描述物理现象的特征 量。
弹性力学中的有限单元法
∑N y
i
∑N
由插值基函数的性质及坐标变换的定义,可得 u = a0 x + a1 y + a 2
v = b0 x + b1 y + b2 即,在节点位移分布满足刚体模式或常应变模式时,对于等 参数插值,单元内的位移模式也满足刚体模式或常应变模式
刚体模式或常应变模式的一般形式为
u = a0 x + a1 y + a 2 v = b0 x + b1 y + b2
i 0 i 1 i 2
则根据插值模式,单元内任一点的位移为
u= v=
∑N u
i =1 8 i =1
8
i i
= a0 = b0
∑N x ∑N x
i =1 i =1 8
8
i i
+ a1 + b1
∑N y
i i =1 8 i i =1
8
i
+ a2 + b2
∑N
i =1 8 i i =1
8
i
∑N v
i i
i i
N 1II = 0.25(1 ξ )(1 η ) 0.5 N 8II
ξ
7
N 2II = 0.25(1 + ξ )(1 η ) N 3II = 0.25(1 + ξ )(1 + η ) N 4II = 0.25(1 ξ )(1 + η ) 0.5 N 8II
N 8II = 0.5(1 ξ )(1 η 2 ) 在节点1,2和3构成的边上 II u P = 0.5[(1 η ) (1 η 2 )]u1 + 0.5[(1 + η ) (1 η 2 )]u 2 + (1 η 2 )u 3
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3
f0
'
'
'
2 3
h
4
f
0
'
'
'
'
f3
f0
hf0
'
1 2
h
2
f
0
'
'
1 6
h
3
f0
'
'
'
h3
1 24
h4
f
0
'
'
'
'
f11
h2 2
2 f x2
0
b
h
y
7 26 10
f1
f0
h f x 0
h2 2
2 x
f
2
0
联立求解，可获得：
f x 0
f1 f3 2h
2 x
f
2
0
f1
f3 2 f0 h2
13
差分近似
同理，沿y方向取点，可得：
f
f0
f y
0
y
y0
1 2
2 y
f
2
y
0
y0 2
...
总之：固体力学是建立固体变形规律所必需满足的规律以 及数学模型。为各种求解策略提供理论基础
4
求解策略
物理模型的简化
杆（梁） 平面问题
平面应力问题，薄板 平面应力问题：（很厚）柱体
板（壳）
发展数值求解策略
直接求解方法：差分方法 积分形式的控制方程问题：有限元，加权余量等
5
杆件(包括杆和梁)
平面外的应变分量为0; xz yz zz 0
三维问题简化为二维
x
x
yx
y
X
0
xy
x
y
y
Y
0
z
y x
8
平板弯曲问题
几何特点:结构两个方向的尺度相近,但远大于第三方向尺度; 受力特点:只受到在平面外的力; 直法线假定; 三维问题简化为二维
Dw q( x, y);
D
12
几何特点:结构两个方向的尺度相近,但远小于第三方向尺度; 基本假定:垂直于杆件轴线的平断面变形后保持平断面; 三维问题简化为一维;
杆:只在轴向受力
d dx
EA
du dx
q(
x)
无分布力时，杆的变形用线性函数描述即可
梁:考虑弯曲变形
d2 dx2
EJ
d 2w dx2
q( x)
6
平面应力问题
f8
b
h
y
14
差分近似
同理，可获得更高阶的导数。例如
f
f0
f0 'x x0
1 2!
f0
'
'
x
x0
2
1 3!
f0
'
'
'
x
x0
3
1 4!
f0 ''''x x0 4...
f1
f0
hf0
'
1 2
h
2
f0
'
'
1 6
h3
f
0
'
'
'
h3
1 24
h
4
f0
'
'
'
'
x
f9
f0
2hf
0
'2h
2
f
0
'
'
4 3
h
差分公式： fy
0
f4 f2 2h
2 f y2
0
f2
f4 2 f 0 h2
x
12
h
8 45
11 3 0 1 9
同理，可得到混合二阶偏导数：
7 26 10
2 f xy
0
x
f y
0
1 2h
f y
1
f y
3
f5 f6 f8 f7
2h
2h
2h
1 4h2
f5
f7 f6
12
差分近似
在０点附近沿x轴线上点的函数值
f
f0
f x
0
x
x0
1 2!
2 x
f
2
0 x x0 2
1 3!
3 f x3
0 x x0 3 ...
x
如果网格很细密，x x0 很小
12
h
8 45
11 3 0 1 9
在节点1和3上：x 分别为 x0 h 和 x0 h
f3
f0
h f x 0
ui ui
ij nj ti
ij Cijkl kl i, j 1, 2,3
（热弹性）
（各项同性） ij 2 ij ij
u
3
求解方法及相对应的控制方程：
力法：以应力为基本位移量
平衡方程：变形协调方程 位移法：以位移为基本未知数
平衡方程：位移表示的平衡方程
对应原理：变分原理
微分方程的积分形式，泛函变分与基本方程的对应。 建立各种问题所对应的变分原理。
几何特点:结构两个方向的尺度相近,但远大于第三方向尺度; 受力特点:只受到在平面内的力;
平面外的应力分量为0; xz yz zz 0
三维问题简化为二维
x
x
yx
y
X
0
xy
x
y
y
Y
0
z
y x
zz
zyzy
zx
7
平面应变问题
几何特点:结构两个方向的尺度相近,但第三方向尺度无穷大; 受力特点:受到的力在第三方向是均匀的;
应力解法
基本未知数（6）：应力（6） 基本方程：平衡方程（3），相容方程（3+3） 边界条件：应力边界条件；位移边界条件
2
基本控制方程：微分方程的边值问题
求响应量 平衡方程
几何方程 物理方程
ij , ij , ui
ij
x j
fi
0
i 1, 2,3
ij
1 2
ui x j
u j xi
Eh3
1
2
z
y x
q(x,y)zy9 Nhomakorabea第三章：数值方法的基本理论
力学问题可表示成微分方程的边值问题。因此，力学问题 的求解可参照微分方程的求解方法构造。根据问题的不同， 可采用微分形式，也可采用积分形式。不同的描述方式， 可构造不同的数值方法。
计算机最容易处理的是数值计算、求解代数方程。因此， 根据弹性力学理论建立的控制微分方程组，需要离散化。 所谓离散化是将一个函数用若干点的函数值近似表示。
离散化成为数 值方法的关键
y
Y=f(x)
y1 y2
y3
y4
y5
y0 x
10
§3.1 有限差分法（Finite Difference method）
1.差分格式： 有限差分方法的基本思想是用差分代替微分，将微分方程的求解转化 为代数方程的求解，求得的是待求函数（定义在定义域的每一点）在 离散的网格点上的值。
差分近似：
考虑一个二维问题。假设： f (x, y是) 一物理问题的解，定义在一个矩
形区域
(0 x a,0 y b)
x
为了使用差分法，首先要把 所关心的区域剖分为网格， 对网格节点给以编号。对于 图示的矩形区域，用等距的 均匀网格是最容易的
12 h a
8 45
11
3 019
7 26
10
b
h
y
有限元与数值方法第二讲
1
固体力学控制方程的基本形式（弹性力学为例）
一般方程
基本未知数（15）：应力（6）；应变（6）位移（3） 基本方程（15）：
平衡方程（3），本构方程（6），几何方程（6）
边界条件：应力边界条件；位移边界条件
位移解法
基本未知数：位移分量（3个） 基本方程（3）：用位移表示的平衡方程（3） 边界条件：应力边界条件；位移边界条件
为了说明差分方法的思想，先回顾一维问题的差分和微分
f (x-h/2)
f (x+h/2) f '(x)
f '(x) f (x h / 2) f (x h / 2) h
f ''(x)
f (x h) 2 f (x) h2
f (x h)
x-h x-h/2 x
x+h/2 x+h
11
§3.1 有限差分法（Finite Difference method）