高中数学思考题(较难)
高中数学排列与组合练习 (8)
高考调研 ·新课标 ·数学（选修2-3）
题型三
涂色问题
涂色问题曾在历届高考题中多次出现，下面举几例以期抛 砖引玉． 例3 如下图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图
着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选 择，则不同的着色方法共有________种．(以数字作答)
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高考调研 ·新课标 ·数学（选修2-3）
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高考调研 ·新课标 ·数学（选修2-3）
(3)“恰有一个盒子内放2个球”，即另外的三个盒子放2个 球，每个盒子至多放1个球，即另外三个盒子中恰有一个空 盒．因此，“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球” 是一回事．故也有144种方法． (4)先从四个盒子中任取两个有C42种，问题转化为：“4个 球，两个盒子，每盒必放球，有几种方法？”从放球数目看， 可分为(3，1)，(2，2)两类．第一类：可从4个球中先选3个，然 后放入指定的一个盒子中即可，有C43·C21种方法；第二类：有 C42种方法．因此共有C43·C21＋C42＝14(种)．由分步乘法计数 原理得“恰有两个盒子不放球”的方法有C42·14＝84(种)．
3．重复计数 例3 几种？ 【错解1】 排在排头的有除甲之外的A61种情形，排在排尾 7个人排成一排，甲不在排头，乙不在排尾的排法有
的也有除乙之外的A61种情形，两端排好后余下的排中间有A55种 情形，所以不同的排法有A61A61A55＝4 320种． 【错解2】 头尾两个位置可从甲、乙之外的5人中选两人
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高考调研 ·新课标 ·数学（选修2-3）
探究1 解排列组合问题的“16字方针”是：有序排列、无 序组合；分类为加，分步为乘．
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高中数学精品试题： 截口曲线问题
3.2 截口曲线问题一、飞机舷窗为什么是椭圆形？1954年，英国海外航空公司的客机在飞行途中，接连发生突然爆炸、解体的情况。
最后发现，导致这一场场灾难的罪魁祸首竟然是机舱上的矩形窗户。
原来，在飞机飞行过程中，机舱内需要加压，随着飞行高度的增加，机舱内外的压力差也会越来越大。
机舱内的压力会积压在矩形窗户四个锋利尖锐的角上，而窗户经受不住压力的反复冲撞，时间久了，便会破碎，进而引起飞机爆炸。
为了解决这一问题，飞机设计者把飞机上的窗户设计成椭圆形。
因为椭圆形的舷窗能使压力均匀分布在圆弧的每个点上，然后压力会顺利地穿过材料，保证飞机的飞行安全。
二、椭圆为什么是圆锥曲线之一？1.生活中的椭圆模型生活中，阳光照射球体形成的影子、倾斜水杯的水截面边缘等都给我们以“椭圆”的印象，那么我们数学中的“椭圆”到底是什么样子呢？或者说能不能从实物中抽象出数学模型呢？（1）阳光照射球体形成影子——单球模型（2）倾斜水杯的水截面边缘——圆柱模型两者都有椭圆，其实单球模型进行下列变换就能得到圆柱模型。
圆柱的Dandelin 圆柱的Dandelin 单球模型 双球模型通过圆柱的Dandelin 双球模型，我们就能得出椭圆上的点到两个定点的距离之和为常数。
从而给出椭圆的定义：平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数2a （122F F a ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离12F F 叫做焦距。
2.圆锥的截线从圆柱上可以截得椭圆，那为什么我们称椭圆为圆锥曲线，而不是圆柱曲线呢？我们知道用一个平面去截圆锥，当平面垂直于圆锥面的轴时，截线是一个圆。
若将平面逐渐倾斜的过程中:1．当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
2．当平面与二次锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
3．当平面与二次锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线（每一支为此二次锥面中的一个圆锥面与平面的交线）。
如何设计高中数学课后思考题之我见
如何设计高中数学课后思考题之我见高中数学课后思考题就是我们在数学课堂教学任务终结时，我们结、内容以及评价等等常常，它是有别于课后常规的书面作业的，学生也有自主选择权。
课后思考题是课堂教学的补充与深化。
为使学生开阔视野，拓宽知识面，增强各种能力，新教材在课后思考题的设置上做了大胆的创新和有益的尝试。
课后思考题对培养高中生积极主动、敢于探索的精神；及促进学生深化性思维，提高学生数学思维能力具有深刻的意义。
根据多年的教学经验，我是怎样看待高中数学课后思考题的。
一、课后思考题的特点及原则（一）高中的数学课后思考题，需要符合以下的要求1、问题性特点由于高中数学课后思考题，是需要教师设计的一个或几个具有数学思维价值的问题作为思考载体的，需要学生通过自主探索，在解决问题的过程中深化对所学知识的理解和运用，因而问题性是课后思考题的形式点，也是其最典型的特点；2、开放性特点高中数学课后思考题的教学目的，不能固守于教学内容的完成度，而需从数学综合素质考虑。
要从高中生的数学探索、求知的欲望，及其意志力培养等等方面考量。
高中教学目标的开放性决定了课后思考题的内容组织的多元化和形式的多样化，也必然决定课后思考题的评价反馈方式和结果运用的多样化和个性化。
我们不难看出开放性是课后思考题的内容特点；3、激励性特点高中数学课后思考题具有一定的数学思维价值趋向，它不仅仅对学生简单的知识与技能的考查，而是把学生引导向新的目标，鼓励学生大胆尝试和探究活动，不要忽视一个简单的小型课题研究，都会为学生带来较强的挑战性，它能激励学生探究的兴趣。
因此激励性是课后思考题的情意特点。
（二）课后思考题应遵循的原则1、综合性原则课后思考题的设置应打破学科间的界限，不要再局限于单一学科知识的巩固上，应树立生活处处皆学问的大课堂观念，力求全面提高学生的综合素质.如体会轴对称在现实生活中的广泛应用和它的丰富的文化价值；以美术史中的作品和趣闻向学生展示镜面对称在艺术创作中的应用，使学生进一步体会镜面对称的文化价值；可以设置一些数学知识在工程建设中的应用题，体会数学与建筑的紧密联系等等。
初中数学思考题（较难）
1、△ABC 中，∠CAB=70°，在同一平面内，在同一平面内，将将△ABC 饶点A 旋转到△AB'C'的位置使得CC'∥AB ，则∠BAB'=_______。
2、在等腰Rt △ABC 中∠C=90°，AC=6，D 是AC 上的一点，若tan ∠DBA=1/5，则AD 的长为_______。
3、正方形ABCD ，M 是BC 的中点，连接AM ，MN 垂直于AM ，将BC 延长至点E 。
MN 交角DCE 的平分线CN 于点N 。
(1)试证明：AM=MN 。
(2)如果去掉条件AM ⊥MN ，N 为CN 上一点，且AM=MN ，是否有结论MN 垂直于AM ？(3)若M 为BC 上任意一点，以上结论是否仍然成立？4、定义：(1)正方形两条对角线的交点称为这个正方形的中心。
(2)若一个点同时在正方形的边上，则称此点为两个正方形的一个公共点。
如图，甲乙两个正方形的中心O1，O2和点P 在直线MN 上，O2和P 为定点，O1为动点，O1由P 开始，自左向右朝O2运动，直至与O2重合为止，与此同时，正方形甲随O1运动向正方形乙靠拢，向正方形乙靠拢，已知已知O1的速度为1cm/s ，O2P=11cm ，正方形甲的边长为1cm(固定不变)，正方形乙的边长a(cm)与O1的运动时间t(s)有如下关系：a=1+t 。
(1)设O1O2为d(cm)，写出d(cm)与时间t(s)的函数关系式，注明t 的取值范围。
(2)完成下表：(各列从上到下以时间的先后顺序分类，设O1A=r ，O2B=R)两个正方形公共点的个数数量关系时间或时刻12R-r ＜d ＜R+r 1d=R-r 00≤d ＜R-r5、一个梯形ABCD，其中一条对角线AC长12，另一条对角线BD长5，且AC⊥BD，求这个梯形的高。
6、轮船在静水中的速度是每小时18km。
轮船从甲港到乙港去，去时逆水，10小时到达乙港；返回时顺水，8小时到甲港。
高中数学-高一上思考题3
2022年高一上数学思考题3一、单选题1．若不等式2430mx mx -+≠对任意实数x 均成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3(0,)4C ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．()3,0(,)4-∞+∞ 2．三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个命题（ ）A ．如果,a b b c >>，那么a c >B ．如果0a b >>，那么22a b >C ．对任意正实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立D ．如果,0a b c >>，那么ac bc > 3．设M 、P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为{M P x x M -=∈且}x P ∉，则()M M P --等于（ ） A ．P B ．M C ．M P D ．M P ⋃4．对于非空数集M ，定义()f M 表示该集合中所有元素的和．给定集合1,2,3,4S，定义集合(){},T f A A S A =⊆≠∅，则集合T 中元素的个数是（ ） A ．集合T 中有1个元素B ．集合T 中有10个元素C ．集合T 中有11个元素D ．集合T 中有15个元素5．有限集合S 中元素的个数记作()card S ，设,A B 都为有限集合，给出下列命题： ①A B =∅的充要条件是()()()card A B card A card B ⋃=+；①A B ⊆的必要条件是()()card A card B ≤；①A 不是B 的子集的充分条件是()()card A card B ≤①A B =的充要条件是()()card A card B =其中真命题的序号是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①6．以某些整数为元素的集合P 具有以下性质：（1）P 中元素有正数，也有负数；（2）P 中元素有奇数，也有偶数；（3）1P -∉；（4）若x y P ∈、，则x y P +∈．则下列选项哪个是正确的（ ）A ．集合P 中一定有0但没有2B ．集合P 中一定有0可能有2C ．集合P 中可能有0可能有2D ．集合P 中既没有0又没有2二、填空题7．关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则a 的取值范围是___________.8．已知关于x 的一元二次不等式2240ax x b ++≤的解集为1x x a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，且a b >，则22a b a b -+的最大值为__________.9．已知,x y 为正实数，则162y x x x y++的最小值为__________．9．若正数a ，b 满足21a b +=，则222a b a b+--的最小值是_10．设()410,0x y x y +=>>，0s t >>，则22221x s ys xy st t ++-的最小值为________.12．已知正数,a b 满足1,a b c +=∈R ，则222312a c bc b abc ab++++的最小值为__________．三、解答题13．已知0,0,0a b c >>>，证明： (1)221188ab a b ++≥； (2)222222a b b c c a abc a b c++≥++.参考答案：1．A【分析】由题意，根据二次方程无解情况，单独考虑参数等于零时，可得答案.【详解】由题意，等价于方程2430mx mx -+=无实数解，则当0m =时，方程为30=，无解；当0Δ0m ≠⎧⎨<⎩时，方程无实数解，即()2244316120m m m m ∆=--⨯⋅=-<，()430m m -<，解得304m <<. 综上所述，30,4m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 故选：A.2．C【分析】结合不等式的性质、基本不等式确定正确答案.【详解】ABD 选项是不等式的性质.对于C 选项，设小正方形的边长为,a b大正方形的面积为22a b +，4个小正方形的面积之和为1422ab ab ⨯=， 由图可知222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立.故选：C3．C【解析】根据题意，分M P ⋂=∅和M P ⋂≠∅两种情况，结合集合的基本运算，借助venn 图，即可得出结果.【详解】当M P ⋂=∅，由于对任意x M ∈都有x P ∉，所以M P M -=，因此()M M P M M M P --=-=∅=⋂；当M P ⋂≠∅时，作出Venn 图如图所示，则M P -表示由在M 中但不在P 中的元素构成的集合，因而()M M P --表示由在M 中但不在M P -中的元素构成的集合，由于M P -中的元素都不在P 中，所以()M M P --中的元素都在P 中，所以()M M P --中的元素都在M P ⋂中，反过来M P ⋂中的元素也符合()M M P --的定义，因此()M M P M P --=⋂.故选：C.【点睛】本题主要考查集合的应用，熟记集合的基本运算即可，属于常考题型.4．B【分析】对A 的情况分别列出来，计算()f A 的取值情况，最后得出T 集合的元素个数.【详解】1.当A 为单元集合时，集合A 可取{}{}{}{}1,2,3,4，()f A 可取1,2,3,4;2.当A 中的元素个数为2时，集合A 可取{}{}{}{}{}{}12,13,423,2434，，1，，，，，，，()f A 可取3,4,5,6,7；3.当A 中的元素个数为3时，集合A 可取{}{}{}{}123,134,124234，，，，，，，，，，()f A 可取6,7,8,9； 4.当A S =时,()10f A =.综上所述，}{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.T =集合T 中有10个元素.故选:B.5．A【分析】根据∅的定义判断①；根据子集的定义判断①①；根据集合相等判断①；【详解】解：①A B =∅，集合A 与集合B 没有公共元素，所以A B =∅充要条件是()()()card A B card A card B ⋃=+，故①正确；①A B ⊆集合A 中的元素都是集合B 中的元素，则()()card A card B ≤，故①正确； ①当A B ⊆时，则()()card A card B ≤，由()()card A card B ≤无法得到A 不是B 的子集，故①错误；①A B =集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同，但两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，故①错误．故选：A6．A【分析】由（4）得x P ∈，则∈kx P （k 是正整数），由（1）可设,∈x y P ，且0x >，0y <，可得0P ∈.利用反证法可得若2P ∈，则P 中没有负奇数，若P 中负数为偶数，得出矛盾即可求解.【详解】解：由（4）得x P ∈，则∈kx P （k 是正整数）．由（1）可设,∈x y P ，且0x >，0y <，则xy 、()-∈y x P ，而0()=+-∈xy y x P ． 假设2P ∈，则2∈k P ．由上面及（4）得0，2，4，6，8，…均在P 中，故22-∈k P （k 是正整数），不妨令P 中负数为奇数21k -+（k 为正整数），由（4）得(22)(21)1-+-+=-∈k k P ，矛盾．故若2P ∈，则P 中没有负奇数．若P 中负数为偶数，设为2k -（k 为正整数），则由（4）及2P ∈，得2,4,6,---均在P 中，即22--∈m P （m 为非负整数），则P 中正奇数为21m +，由（4）得(22)(21)1--++=-∈m m P ，矛盾．综上，0P ∈，2∉P .故选:A ．7．(5,8]【分析】根据二次函数图象的对称性可得出不等式260x x a -+≤的解集中的整数，可得出关于实数a 的不等式组，即求.【详解】因为26y x x a =-+的大概图象如图：若关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为3x =，则2226201610a a ⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩，解得58a <. 所以a 的取值范围是(5,8].故答案为：(5,8].8．14##0.25【分析】由2240ax x b ++≤的解集为1x x a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭可得00a ∆=⎧⎨>⎩，从而得出,a b 的关系，求22a b a b -+的最大值转化成求22a b a b+-的最小值，再结合基本不等式即可得出答案. 【详解】因为一元二次不等式2240ax x b ++≤的解集为1x x a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭ 所以0200ab a a ∆==⎧⎧⇒⎨⎨>>⎩⎩ 因为()()()2222244a b ab a b a b a b a b a b a b a b -+-++===-+---- 由0a b a b >⇒->所以()44a b a b -+≥-（当且仅当4a b a b -=-时取等号） 所以22a b a b -+的最大值为14故答案为：149．6 【分析】将原式变形为162y y x x++，结合基本不等式即可求得最值. 【详解】由题得162y x x x y +=+162y y x x++，设(0)y t t x=>，则1616()22282622f t t t t t =+=++-≥=-=++. 当且仅当2t =时取等. 所以162yx x x y ++的最小值为6. 故答案为：61012- 【分析】设22,2u a v b =-=-，得到1231123()()222232a b u v a b u v u v +=+-=++---，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设22,2u a v b =-=-，则2,22u a b v -==-，可得3(,0)u v u v +=>，所以11212311232()()222232u a b v u v a b u v u v u v --+=+=+-=++---1231331(3)(31323222v u u v =++-≥+-=-=，当且仅当63v u =-=时，等号成立，取得最小值．12． 11．【分析】结合()410,0x y x y +=>>，0s t >>，利用均值不等式，依次求解2x y xy+，2st t -，22221x s ys xy st t ++-的最值，即得解 【详解】由题意，2222(4)44=1x y x y x y x xy y x y xy xy xy y x+++++==++ 由0,0x y >>，40,0x y y x >>，故44x y y x +≥，当且仅当4x y y x =，即11,36x y ==时等号成立 故2415x y x y xy y x+=++≥ 又2221()()24t s t st t t s t s +--=-≤= 当且仅当t s t =-，即2t s =时等号成立22222222222111455x s ys x y s s s xy st t xy st t st t s+++=+≥+≥+≥---当且仅当2245s s =，即s 故22221x s ys xy st t ++-的最小值为11,36x y ==，s t =故答案为：12．2【分析】把1a b +=平方得到2221,0,0a ab b a b ++=>>，代入结论构造基本不等式，再分析计算可求出最小值.【详解】解：由1a b +=，得2221,0,0a ab b a b ++=>>， 则222312a c bc b abc ab++++222213221a a ab b c c b ab ⎛⎫++=++ ⎪+⎝⎭2214221a b c c b a ⎛⎫=+++ ⎪+⎝⎭221221c c ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭≥+()226212221c c =++-≥=+， 当且仅当4a b b a =，即2b a =，()226211c c =++，即()2213c +=时取“等号”，所以当212,,133a b c ==时， 222312a c bc b abc ab++++的最小值为2．故答案为：213．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用均值不等式可证该不等式.（2）利用均值不等式可证()22222222()a b b c c a abc a b c ++≥++，从而可证题设中的不等式.（1）法一：因为0,0a b >>，所以222211118448ab ab ab a b a b ++=+++≥=.当且仅当22114ab a b ==，即a b ==. 法二：因为0,0a b >>，所以22121a b ab ，当且仅当2211a b =，即a b =时等号成立.所以22112888ab ab a b ab ++≥+≥，当且仅当28ab ab =，即12ab =时，等号成立.综上，221188ab a b ++≥，当且仅当a b ==. （2）因为222222a b b c ab c +≥，当且仅当a c =时等号成立；222222b c c a abc +≥，当且仅当a b =时等号成立；222222c a a b a bc +≥，当且仅当b c =时等号成立，所以()22222222()a b b c c a abc a b c ++≥++，当且仅当a b c ==时等号成立. 因为0,0,0a b c >>>，所以0a b c ++>， 所以222222a b b c c a abc a b c++≥++.。
人教版高中数学选择性必修第二册4.3.2-专题1 数列通项的求法
【 讲 评 】 已 知 an ＋ 1 ＝ g(n)·an ， 通 常 利 用 an ＝ aan－n 1·aann－－12·…·aa21·a1，求出通项 an.
探究 2 累乘法就是利用以下变形来求通项 an 的方法，an＝ a1·aa12·aa32·…·aan－n 1.
例如，在等比数列{an}中，由于aa12＝aa32＝aa43＝…＝aan－n 1＝q，所 以对 n≥2 且 n∈N*，有 an＝a1·aa21·aa32·…·aan－n1＝a1·q·q·…·q ＝a1qn－1，把 n＝1 代入上式也成立，故 an＝a1qn－1(n∈N*)．
(1)设 bn＝an＋1－2an(n∈N*)，求证：{bn}是等比数列； (2)设 cn＝2ann(n∈N*)，求证：{cn}是等差数列； (3)求数列{an}的通项公式及前 n 项和公式．
【解析】 (1)证明：∵Sn＋1＝4an＋2，① ∴Sn＋2＝4an＋1＋2.② ②－①式，得 Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an(n∈N*)，即 an＋2＝4an＋1 －4an. an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)． ∵bn＝an＋1－2an(n∈N*)，∴bn＋1＝2bn. 由此可知，数列{bn}是公比为 2 的等比数列． 由 S2＝a1＋a2＝4a1＋2，又 a1＝1，得 a2＝5. ∴b1＝a2－2a1＝3，∴bn＝3·2n－1.
专题研究一 数列通项的求法
专题讲解
题型一 累加法
例 1 在数列{an}中，已知 a1＝1，an＋1＝an＋2n，求 an. 【解析】 ∵a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，…，an－an－1＝2×(n －1)(n≥2 且 n∈N*)， ∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝1＋(2×1)＋(2×2)＋…＋[2×(n－1)] ＝1＋2(1＋2＋…＋n－1) ＝1＋2·（n－21）·n＝n2－n＋1(n≥2 且 n∈N*)，把 n＝1 代入上 式也成立，故 an＝n2－n＋1(n∈N*)．
结构动力学思考题解答
结构动力学思考题made by 云屹思考题一1、结构动力学与静力学的主要区别是什么？结构的运动方程有什么不同？主要区别为：(1)动力学考虑惯性力的影响，静力学不考虑惯性力的影响；(2)动力学中位移等量与时间有关，静力学中位移等量不随时间变化；(3)动力学的求解方法通常与荷载类型有关，静力学一般无关。
运动方程的不同：动力学的运动方程包括位移项、速度项和加速度项；静力学的平衡方程只包括位移项。
2、什么是动力自由度？什么是静力自由度？区分动力自由度和静力自由度的意义是什么？动力自由度：确定结构体系质量位置的独立参数；静力自由度：确定结构体系在空间中的几何位置的独立参数。
意义：通过适当的假设，当静力自由度数大于动力自由度数时，使用动力自由度可以减少未知量，简化计算，提高计算效率。
3、采用集中质量法、广义坐标法和有限元法都可以使无限自由度体系简化为有限自由度体4、在结构振动的过程中引起阻尼的原因有哪些？(1)材料的摩擦或材料变形引起的热耗散；(2)构件连接处或结构构件与非结构构件之间的摩擦；(3)结构外部介质的阻尼。
5、在建立结构运动方程时，如考虑重力的影响，动位移的运动方程有无改变？如果满足条件：(1)线性问题；(2)重力的影响预先被平衡；则动位移的运动方程不会改变，否则会改变。
思考题二1、刚度系数k ij和质量系数m ij的直接物理意义是什么？如何直接用m ij的物理概念建立梁单元的质量矩阵[M]？k ij：由第j自由度的单位位移所引起的第i自由度的力；m ij：由第j自由度的单位加速度所引起的第i自由度的力。
依次令第j（j=1,2,3,4）自由度产生单位加速度，而其他的广义坐标处保持静止，使用平衡方程解出第i自由度上的力，从而得到m ij，集成得到质量矩阵[M]。
2、如何用刚度矩阵和质量矩阵，以矩阵的形式表示多自由度体系的势能和动能？{}[]{}1=2TT u M u {}[]{}1=2TV u K u3、建立多自由度体系运动方程的直接动力平衡法和拉格朗日方程法的优缺点是什么？ (1)直接动力平衡法：优点：概念直观，易于通过各个结构单元矩阵建立整体矩阵，便于计算机编程。
高中数学选择性必修第一册 抛物线(习题课)
【解析】 (1)由抛物线 C：x2＝－2py 经过点(2，－1)，得 p＝2. 所以抛物线 C 的方程为 x2＝－4y，其准线方程为 y＝1. (2)证明：抛物线 C 的焦点为 F(0，－1)．设直线 l 的方程为 y＝kx－1(k≠0)． 由yx＝ 2＝k－x－4y1，，得 x2＋4kx－4＝0.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x2＝－4. 直线 OM 的方程为 y＝yx11x.令 y＝－1，得点 A 的横坐标 xA＝－xy11. 同理得点 B 的横坐标 xB＝－xy22.
探究 1 由抛物线的定义，可以导出：若 P(x0，y0)是抛物线 y2＝2px(p＞0) 上的任一点，则该点到抛物线的焦点 F 的距离|PF|＝x0＋p2(焦半径长公式)．这一 公式的直接运用会为我们求解有关到焦点或准线的距离的问题带来方便．
思考题 1 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与 y
设点 D(0，n)， 则D→A＝－xy11，－1－n，D→B＝－xy22，－1－n， D→A·D→B＝xy11xy22＋(n＋1)2＝－x41x21x－2 x422＋(n＋1)2＝x116x2＋(n＋1)2＝－4＋(n＋ 1)2. 令D→A·D→B＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，则 n＝1 或 n＝－3. 综上，以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的定点(0，1)和(0，－3)．
4．已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的准线为 l，过 M(1，0)且斜率为 3的直线 与 l 相交于点 A，与 C 的一个交点为 B.若A→M＝M→B，则 p＝___2_____．
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如图，甲乙两个正方形的中心O1，O2和点P在直线MN上，
O2运动，直至与O2重合为止，与此同时，正方形甲随
的速度为1cm/s，O2P=11cm，正方形甲的边长为
O1的运动时间t(s)有如下关系：a=1+t
2、证明：(a-b)/(a+b)+(b-c)/(b+c)+(c-a)/(c+a)+(a-b)(b-c)(c-a)/[(a+b)(b+c)(c+a)]=0。
3、方程x^2+y^2=2009的正整数解为?
4、若a、b为方程x^2+x-1/2007=0的两根，且a=zb，则z^2+2009z=_______。
5、王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好触到路灯AC的底部。
当他向前步行12米到达点Q时，发现身前他影子的顶部刚好触到路灯BD的底部。
已知他的身高是1.6米，两个路灯的高度都是9.6米。
(1)，求两个路灯之间的距离？
(2)当他走到路灯BD时，他在路灯AC下的影子长是多少？
6、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm。
当P从点B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，动点Q从C出发，沿CA方向2cm/s的速度移动，若P，Q同时分别从B，C出发，经过多长时间△CPQ与△CBA相似？
7、△ABC中，∠A=3∠B，AB=c，BC=a，AC=b
求证：c×c=(a－b)(a－b)(a＋b)÷b
8、在Rt△ABC中，∠C=90，AC=20cm，BC=15cm。
现有动点P从点A出发，沿AC 向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动。
如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动。
设运动的时间为t秒，求：
（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t＝3秒时，这时，P、Q两点之间的距离是多少？
（3）当t为多少秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC……
9、某旅游风景区为方便学生集体旅游，特制学生暑假旅游专用卡，每卡60元。
使用规定：不记名，每卡每次一人，每天只限一次，可连续使用一周，胜利学校现有1500名学生，准备趁暑假分若干批去此风景区旅游(来回只需一天)。
除需购买若干张旅游卡外，每次都乘坐5辆客车(每辆客车最大客容量为55人)，每辆客车每天费用为500元。
若使全体同学都到风景区旅游一次，按上述方案，问每位同学最少要交多少钱若此事让你去办，各项费用不变，只改变买卡及车辆数目，是否还有更为经济的办法?
10、在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形。
已知侧面SDC垂直于底面ABCD，且侧面SCD为以角CSD为直角的等腰三角形，N是线段DC中点。
求点B到平面SAC的距离。
11、如图，平面直角坐标系中，直线BD分别交x轴、y轴于B、D两点，A、C是过D点的直线上两点，连接OA、OC、BD，∠CBO=∠COB，且OD平分∠AOC。
(1）请判断AO与CB的位置关系，并予以证明；
(2)沿OA、AC、BC放置三面镜子，从O点出发的一条光线沿x轴负方向射出，经AC、CB、OA反射后，恰好由O点沿y轴负方向射出，若AC⊥BD，求∠ODB。
(3)在(2)的条件下，沿垂直于DB的方向放置一面镜子L，从射线OA上任意一点P放
出的光线经B点反射，反射光线与射线OC交于Q点，OQ交BP于M点，给出两个结论：
①∠OMB的度数不变；
②∠OPB+∠OQB的度数不变。
可以证明，其中有且只有一个是正确的，请你坐出正确的判断并求值。
12、如图，欲想一块四边形的耕地中间有一条折路MPN改直，但不影响道路两边的耕地面积，应如何画线
13、直线√2*ax+by=1与圆x^2+y^2=1相交于A、B两点（其中a、b是实数），且△AOB 是直角△（O是坐标原点），则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值为（_____）。
A、√2+1
B、2
C、√2
D、√2-1
14、有一个小卖部6天内卖出奶茶和杯数的对照表
气温261813104-1
杯数202434385064
求-5°的时候能卖出多少杯？
15、在△ABC中，∠A=π/6，D是BC边上任意一点（D与B，C不重合），若|向量AB|^2=|向量AD|^2+向量BD*向量DC，则∠B=(____)。
16、已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足向量OP=向量OA+λ（向量AB/(|向量AB|*sinB)+向量AC/(|向量AC|*sinC)），λ∈[0,+∞），则点P 的轨迹一定通过△ABC的（____）
A、外心
B、内心
C、重心
D、垂心
17、f(x)=sin^4(x)+cos^2(x)+1/4*sin2x cos2x(x∈R），则f(x)（____）
A、最大值为2
B、最小正周期为π
C、一条对称轴为x=4/π
D、一个对称中心为（-π/16,7/8）
18、在△ABC中，证明：sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)。
19、已知向量a=(cosθ，sin(π/18—θ))，向量b=(cos(π/18)，cos(5π/18))，若向量a⊥b垂直，求tanθ。
20、若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α，则cosα=____。
（2006年高考，辽宁理科16题）
21、已知，f(x)是定义在R上的（严格）单调函数，且存在x0，满足条件：
对任意x1,x2，f(x0*x1+x0*x2)=f(x0)+f(x1)+f(x2)恒成立。
（1）求x0的值；
（2）若f(x0)=1，求数列{a_n=1+f(1/2^n)}的通项公式。
22、在△ABC中，AB=15,BC=14，CA=13，求BC边上的高AD。
23、证明夹在相邻两个平方数之间的正整数的平方根是无理数。
24、某企业年生产10万件产品,每件200元,由于该产品生产过程中能造成轻微的污染，所以每产销100元国家要征收x元的排污费，这样产品的产销量将较少2x万元。
要是每年对该产品征收费用达到24万元，并使该产品的年产销量控制在5万件以内，x应确定为多少元？
25、直线y=-y=-x/√3+1与x轴、y轴分别交于点A、B两点，且AB=2。
以线段AB为一边，在第一象限内作等边三角系ABC。
如果在第一象限内有一点P(m,1/2)，使得S△ABP=S△ABC，求m的值。
26、设抛物线y=ax²+bx+c经过A(-1,2)、B(2,-1)两点，且与y轴相交于点M。
(1)求b和c（用含a的代数式表示）。
(2)求抛物线y=ax²-bx+c-1上横坐标与纵坐标相等的点的坐标。
(3)在(2)求出的点中，有一个点也在抛物线y=ax²+bx+c上，试着判断直线AM和x轴的位置关系，并说明理由。
27、当x∈[-1,1],函数y=ax+2a+1既能取得正值，又能取到负值，求实数a的取值范围。
28、若关于x的不等式|x-3|+|x-4|<a的解集不是空集，求实数a的取值范围。
29、如图所示，在一个面积为1920000平方米的长方形中有一条长为1600米的直线铁路AE。
现有一辆装满货物的卡车停放在D点。
如果卡车的速度是每分钟100米，请说明11分钟内能否将这车货物运到铁路线旁？
30、已知关于x与y的方程组
{3x+2y=m+1
{4x+3y=m-1
的解满足x-y>0，则m应满足：（）
A、m>-6
B、m<-6
C、m>1
D、-1<m<1
31、在等腰△ABC中，BD、CE分别是腰AC、AB上的中线，且BD⊥CE，求顶角A的正弦值。
32、已知数列｛a_n｝的前n项和为S_n，且满足S_n=2^n-a_n（n∈N*）
（1）求出数列前3项。
（2）求数列的通项公式。
（3）求S_n。
33、小涛骑自行车在环城公路上匀速行驶，每隔6分有一辆公共汽车开过来。
每隔30分钟又有一辆公共汽车从后面向前开过来，若公共汽车都是匀速行驶，且不计乘客上下车等中途耽搁的时间，那么公共汽车站每隔多少分钟开出一辆公共汽车？
34、对于任意实数a、b，设a与b/(a^2+b^2)中的较小者为M，则M的最大值是多少？
35、设绝对值小于1的全体实数的集合为S，在S中定义一种运算“＊”，使得a＊b=(a+b)/(1+ab)。
求证：如果a与b∈S，那么a＊b∈S。
36、已知两点A(2,3)、B(4,1)，有一直线L，且直线L上有一点P，使|PA|+|PB|最小的点P 的坐标为(1/5,8/5)。
求直线L的解析式。
37、已知函数f(x)=x|x-a|，a∈R是常数。
问：是否存在常数a，使f(x)<2x+1对任意
x∈(-∞,2)恒成立？若存在，求常数a的取值范围；若不存在，简要说明理由。
38、美国人将五月一日写成1|5，但英国人把五月一日写成5|1，将1|5看成一月五日。
若英国人到美国去，一年有多少天些的日期容易混淆？。