高中数学对数练习题经典

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高中数学对数与对数运算训练题(含答案)

高中数学对数与对数运算训练题(含答案)1．2－3＝18化为对数式为()A．log182＝－3 B．log18(－3)＝2C．log218＝－3 D．log2(－3)＝18解析：选C.根据对数的定义可知选C.2．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是() A．a＞5或a B．2＜a＜3或3＜a＜5C．25 D．3＜a＜4解析：选B.5－a＞0a－2＞0且a－21，2＜a＜3或3＜a＜5. 3．有以下四个结论：①lg(lg10)＝0；②ln(lne)＝0；③若10＝lgx，则x＝10；④若e＝lnx，则x＝e2，其中正确的是()A．①③ B．②④C．①② D．③④解析：选C.lg(lg10)＝lg1＝0；ln(lne)＝ln1＝0，故①、②正确；若10＝lgx，则x＝1010，故③错误；若e＝lnx，则x＝ee，故④错误．4．方程log3(2x－1)＝1的解为x＝________.解析：2x－1＝3，x＝2.答案：21．logab＝1成立的条件是()A．a＝b B．a＝b，且b0C．a0，且a D．a0，a＝b1解析：选D.a0且a1，b0，a1＝b.2．若loga7b＝c，则a、b、c之间满足()A．b7＝ac B．b＝a7cC．b＝7ac D．b＝c7a解析：选B.loga7b＝cac＝7b，b＝a7c.3．如果f(ex)＝x，则f(e)＝()A．1 B．eeC．2e D．0解析：选A.令ex＝t(t0)，则x＝lnt，f(t)＝lnt.f(e)＝lne＝1.4．方程2log3x＝14的解是()A．x＝19 B．x＝x3C．x＝3 D．x＝9解析：选A.2log3x＝2－2，log3x＝－2，x＝3－2＝19. 5．若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x ＋y＋z的值为()A．9 B．8C．7 D．6解析：选A.∵log2(log3x)＝0，log3x＝1，x＝3.同理y＝4，z＝2.x＋y＋z＝9.6．已知logax＝2，logbx＝1，logcx＝4(a，b，c，x＞0且1)，则logx(abc)＝()A.47B.27C.72D.74解析：选D.x＝a2＝b＝c4，所以(abc)4＝x7，所以abc＝x74.即logx(abc)＝74.7．若a0，a2＝49，则log23a＝________.解析：由a0，a2＝(23)2，可知a＝23，log23a＝log2323＝1.答案：18．若lg(lnx)＝0，则x＝________.解析：lnx＝1，x＝e.答案：e9．方程9x－63x－7＝0的解是________．解析：设3x＝t(t0)，则原方程可化为t2－6t－7＝0，解得t＝7或t＝－1(舍去)，t＝7，即3x＝7. x＝log37.答案：x＝log3710．将下列指数式与对数式互化：(1)log216＝4；(2)log1327＝－3；(3)log3x＝6(x＞0); (4)43＝64；(5)3－2＝19； (6)(14)－2＝16.解：(1)24＝16.(2)(13)－3＝27.(3)(3)6＝x.(4)log464＝3.(5)log319＝－2.(6)log1416＝－2.11．计算：23＋log23＋35－log39.解：原式＝232log23＋353log39＝233＋359＝24＋27＝51. 12．已知logab＝logba(a0，且a1；b0，且b1)．求证：a＝b或a＝1b.证明：设logab＝logba＝k，则b＝ak，a＝bk，b＝(bk)k＝bk2.∵b0，且b1，k2＝1，即k＝1.当k＝－1时，a＝1b；当k＝1时，a＝b.a＝b或a＝1b，命题得证．。

对数函数练习精选10题及答案详解

2022年11月21日高中数学作业学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设函数()()211log 2,12,1x x x f x x -⎧+-<=⎨≥⎩，()1212log 12f f ⎛⎫-+⎪⎝⎭=（） A ．3 B ．6 C ．9D ．122．在238，341681-⎛⎫ ⎪⎝⎭，31log 9，lg100四个数中，最大的是（） A ．238B ．341681-⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31log 9D ．lg1003．已知集合{}{}210,lg 0A xx B x x =-<=≤∣∣，则A B ⋃=（） A ．{01}xx <<∣ B ．{01}xx <≤∣ C ．{11}x x -<<∣ D ．{11}xx -<≤∣ 4．已知0.21.2a =，0.2log 1.2b =， 1.20.8c =，则（） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>5．己知函数()()22log (0)10x x f x x x ->⎧=⎨-≤⎩则不等式()0f x >的解集为（） A ．{}01x x <-6．已知函数()2()ln 34f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围为（）A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[4,)+∞C ．(,1]-∞-D ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7．设x ∈R ，则“0x <”是“()ln 10x +<”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件二、填空题8．已知函数()31,03log ,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，若()1f f x ≥⎡⎤⎣⎦，则x 的范围是_______．9．已知0a >且1a ≠，若函数()x mf x a n +=+与()()log 14a g x x =-+的图象经过同一个定点，则m n +=__________.三、解答题10．计算下列各式的值.(1)202313442833163(3)728-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤----⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(2)31log 24lg 5lg163-+++.参考答案：1．C【分析】根据分段函数解析式、对数运算求得正确答案.【详解】()()22221log 221log 2123f -=++=+=+=，()12222221log log 12log 26log 2log 61log 6112==⨯=+=+>， 2log 6121log 2612f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()1212log 36912f f ⎛⎫-+=+= ⎪⎝⎭.故选：C 2．A【分析】根据指数函数和对数函数的性质求值比较大小即可.【详解】因为2384=，334416812781168-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 331log log 929=-=-，lg1002=，所以四个数中最大的是238，故选：A.3．D【分析】根据一元二次不等式解法以及对数函数性质可求得集合,A B ,根据集合的并集运算即可求得答案.【详解】由题意可得{}{}210{|11},lg 0{|01}A xx x x B x x x x =-<=-<<=≤=<≤∣∣，故{|11}A B x x ⋃=-<≤，故选：D. 4．D【分析】分别判断出,,a b c 的范围即可.【详解】因为0.21.21a =>，0.2log 1.20b =<， 1.200.81c <=<，所以a c b >>．故选：D 5．C【分析】分类讨论0x >和0x ≤时，求解不等式()0f x >的解集，即可得出答案. 【详解】解析：当0x >时，由2log 0x ->，得2log 0x <，即01x <<．当0x ≤时，由210x ->，得10-<≤x ．故不等式的解集为{}11x x -<<．故选：C 6．B【分析】根据对数函数及二次函数的单调性可得232340a a a ⎧≥⎪⎨⎪--≥⎩，进而即得. 【详解】因为函数()2()ln 34f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，又函数ln y u =在()0,∞+上单调递增，所以234u x x =--在(,)a +∞上单调递增，且2340u x x =-->，所以232340a a a ⎧≥⎪⎨⎪--≥⎩，解得4a ≥. 故选：B. 7．B【分析】解出()ln 10x +<，然后判断即可【详解】因为()ln 10x +<，所以01110x x <+<⇒-<<由{|10}x x -<<为{|0}x x <的真子集，所以“0x <”是“()ln 10x +<”的必要不充分条件故选：B. 8．(](][),10,127,-∞-+∞【分析】分类讨论x ，化简()f f x ⎡⎤⎣⎦，结合范围解不等式即可得答案.【详解】①当0x ≤时，()f f x ⎡⎤⎣⎦=13x f ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.因0x ≤时，1103x⎛⎫≥> ⎪⎝⎭，则()1f f x ≥⎡⎤⎣⎦3311111133log log xx x x ⎛⎫⎛⎫⇔≥⇔≥⇔-≥⇔≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.①当0x >时，()f f x ⎡⎤⎣⎦=()3log f x . ①当1x >时，3log 0x >.则()1f f x ≥⇔⎡⎤⎣⎦()()33333313327log log log log log log x x x x ≥⇔≥⇔≥⇔≥.①当01x <≤时，3log 0x ≤.则()1f f x ≥⇔⎡⎤⎣⎦ 33031111001333log log log xxx x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⇔≥⇔≤⇔<≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭综上所述，x ∈(](][)10127，，，-∞-+∞. 故答案为：(](][)10127，，，-∞-+∞ 9．1【分析】由log 10a =可得出函数()g x 所过定点，再由01a =可得出,m n 的值，得出答案. 【详解】函数()()log 14a g x x =-+的图象经过定点()2,4所以()x m f x a n +=+的图象也过定点()2,4，即()22=4mf a n +=+则2,3m n =-=，所以1m n += 故答案为：110．(1)1 (2)4【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可. （2）根据对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）原式()223223342432323123132321291819⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅+⎣=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎦-⋅+⎥=-+⎢-=.（2）原式31log 2334lg 54lg 223lne =++- ()224lg5lg 233lne =++-224433=+-=.。

高中数学《对数函数》针对练习及答案

第二章函数2.5.2对数函数（针对练习）针对练习针对练习一对数与对数的运算1．计算下列各题： (1)2213log 4482log 827-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)()()2332log 6log 4lg5lg5lg 4lg 2-+⋅++.2．计算下列式子的值:(1)2×100023+6423+lg 4+2lg 5; (2)log 2125⋅log 318⋅log 519.3．求下列各式的值： (1)lg 25＋lg 2·lg 50；(2)23lg 8＋lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 25.4．计算：（1）223lg 2381027e -⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）22311lg 5lg 2lg500lglog 9log 2225+⨯--⨯．5．计算（1）311322lg 4lg 0.1255--（2）6log 2332log 27log 2log 36lg 2lg 5+⋅-++针对练习二对数函数的概念6．下列函数表达式中，是对数函数的有（）①log 2x y =；①()log a y x a =∈R ；①8log y x =；①ln y x =；①()log 2x y x =+；①42log y x =；①()2log 1y x =+. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个7．下列函数是对数函数的是 A ．3log (1)y x =+ B ．()y log 2a x = (a 0,a 1)>≠C ．ln y x =D ．2y log a x = (a 0,a 1)>≠8．下列函数，是对数函数的是 A ．y=lg10x B ．y=log 3x 2 C ．y=lnx D ．y=log 13（x–1）9．若某对数函数的图象过点()4,2，则该对数函数的解析式为（） A ．2log y x =B ．42log y x =C ．2log y x =或42log y x =D ．不确定10．若函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数，则=a （） A ．1 B ．2C ．3D ．4针对练习三对数函数的图像11．在同一坐标系中函数2x y -=与2log y x =的图象是（）A ．B ．C ．D ．12．在同一平面直角坐标系中，一次函数y x a =+与对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）的图象关系可能是（）A ．B ．C ．D ．13．图中曲线分别表示log a y x =，log b y x =，log c y x =，log d y x =的图象，则a ，b ，c ，d 的关系是．A ．01a b d c <<<<且1a ≠）恒过定点（） A ．()4,2 B ．()2,4C ．()5,2D ．()2,515．函数()()log 15a f x x =-+的图像一定经过点（） A ．()1,5 B ．()2,5C ．()2,6D ．()0,6针对练习四对数函数的定义域16．已知函数()()ln 2f x x =+()f x 的定义域为（） A ．()2,+∞ B ．()2,2- C ．(),2-∞- D ．(),2-∞17．函数()f x ） A ．[]2,0- B ．()2,0- C ．(]2,0- D ．()0,∞+18．函数y ） A ．()2,+∞ B ．[)2,+∞ C ．(]0,2 D ．(]1,219．函数()f x = ） A ．(],1-∞ B ．(]0,1 C ．[)1,+∞D ．3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦20．已知函数()y f x =的定义域为{}|1x x ≤，则()ln f x 的定义域为（） A ．(]e ∞-， B ．(]0e ，C ．(]010， D ．[]0e ，针对练习五对数函数的值域21．已知函数()2239(log )2log 3f x x x =--，则f (x )在区间1,927⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别是（） A ．60，3- B ．60，4- C ．12，3- D ．12，4-22．函数()()22log 23f x x x =-+的值域为（）A ．[)0,+∞B ．[)1,+∞C ．RD ．[)2,+∞23．已知函数()212log 21y ax x =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是（） A ．1a > B ．01a ≤< C ．01a << D ．01a ≤≤24．若函数262()log (27)2ax x x f x x x ⎧--<-=⎨+≥-⎩(0a >，且1a ≠)的值域为R ，则(1)f 的取值范围为（） A ．[18,)+∞ B ．[16,)+∞ C ．(0,16] D ．(0,18]25．已知0a >且1a ≠，若函数3,2()log ,2ax x f x x x -≤⎧=⎨>⎩的值域为[1，+∞），则a 的取值范围是（） A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．()1,+∞C ．()1,2D ．(]1,2针对练习六对数函数的单调性26．函数()()22log 65f x x x =-+-的单调递减区间是（）A ．(],3-∞B ．(]1,3C ．[)3,+∞D ．[)3,527．()()23log 28f x x x =--的单调递增区间为（）A ．(),1-∞B ．(),4-∞C ．()2,-+∞D ．()4,+∞28．已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．(],2-∞C ．[)2,+∞D ．[)5,+∞29．已知函数3,0()log (1),0ax a x f x x x -+<⎧=⎨+≥⎩(0a >且1a ≠)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭30．若函数()22log 3y x ax a =-+在()2,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（）A ．[]4,4-B ．()4,4-C ．(],4∞-D ．(),4-∞针对练习七比较大小与解不等式31．已知3ln 2a =，28log 3b =，25c =，则（）A ．a b c <> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>33．函数3()f x x =-，若132a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3log 2b f =，132log c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．a b c <，(){}2lg 220B x x x =+->，则BA =（）A ．()(],13,4-∞-B ．()(],31,4-∞-C ．(]1,4D ．(]3,4针对练习八对数函数的应用36．科学家研究发现，地震时释放出的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系是lg 4.8 1.5E M =+.据中国地震台网测定，2022年1月8日，11时24分在智利中部沿岸近海发生5.9级地震，1时45分在中国青海海北州门源县发生6.9级地震，设智利中部沿岸近海地震所释放的能量为1E ，门源县地震所释放的能量为2E ，则21E E 的近似值为（）A ．15B ．20C ．32D ．3537．一种药在病人血液中的量保持1500mg 以上才有效，而低于500mg 病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：1g20.301=，1g30.4771=，答案采取四舍五入精确到0.1h ）A ．2.3小时B ．3.5小时C ．5.6小时D ．8.8小时38．随着人们健康水平的不断提高，某种疾病在某地的患病率以每年10%的比例降低，若要将当前的患病率降低到原来的一半，需要的时间至少是（）(lg 20.3010≈，lg30.4771≈)A ．6年B ．7年C ．8年D ．9年39（多选）．声强级Li （单位：dB ）与声强I （单位：2ω/m ）之间的关系是：010lg ILi I =，其中0I 指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为21ω/m ，对应的声强级为120dB ，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[]60,70（单位：dB ）．下列选项中正确的是（） A ．闻阈的声强级为0dBB ．此歌唱家唱歌时的声强范围6510,10--⎡⎤⎣⎦（单位：2ω/m ）C ．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍D ．声强级增加10dB ，则声强变为原来的10倍．40．中西方音乐的不同发展与其对音阶的研究有密切的关系，中国传统音阶是五声音阶：宫､商､角､徵､羽；西方音阶是七声音阶“Do ､Re ､Mi ､Fa ､Sol ､La ､Si ”.它们虽然不同，却又极其相似，最终发展的结果均是将一个完整的八度音阶分成了12个半音，即“十二平均律”.从数学的角度来看，这12.已知两个音高1A ，2A 的频率分别为1f ，2f，且满足函数关系：2121A A ff -=，已知两个纯五度音高的频率比2132f f =，则它们相差的半音个数21A A -=________.(其中130.48g ≈，120.30g ≈，结果四舍五入保留整数部分).针对练习九反函数41．设函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =对称，(2)(4)1f f +=，则=a （） A ．1- B ．1 C ．2 D ．442．若()23()x f x x =+∈R ，则1()y f x -=的定义域是（） A ．R B ．(5,)+∞C ．(3,)+∞D ．(0,)+∞43．函数的反函数是 A ． B ． C ．D ．44．函数 2(0)y x x =-≤的反函数是（） A．0)y x =≥ B．0)y x =≥ C．0)y x =≤ D．0)y x =≤45．函数的反函数的图象过点，则的值为A ．B ．C ．或D ．3第二章函数2.5.2对数函数（针对练习）针对练习针对练习一对数与对数的运算1．计算下列各题： (1)2213log 4482log 827-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)()()2332log 6log 4lg5lg5lg 4lg 2-+⋅++. 【答案】(1)12-； (2)3. 【解析】【分析】（1 （2）利用对数运算性质化简求值. (1)原式19314422=-+=-.(2)原式2236log lg5(2lg 2lg5)(lg 2)4=+++()()223log 9lg52lg5lg 2lg 2=++⋅+ 23log 9(lg 2lg 5)=++3=.2．计算下列式子的值:(1)2×100023+6423+lg 4+2lg 5; (2)log 2125⋅log 318⋅log 519. 【答案】(1)218 (2)12-【解析】【分析】（1）利用指数幂运算性质和对数的运算性质求解，（2）利用换底公式和对数的运算性质求解 (1)原式＝22332100064lg42lg5⨯+++=210016lg4lg25⨯+++216lg100=+218=(2)235111lglg lg1112589log log log 2589lg 2lg3lg5⋅⋅=⋅⋅2lg53lg 22lg3 12lg 2lg3lg5---=⋅⋅=- 3．求下列各式的值： (1)lg 25＋lg 2·lg 50；(2)23lg 8＋lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 25. 【答案】(1)1 (2)3 【解析】【分析】根据对数运算法则分别化简求值即可. (1)原式＝lg 25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg 25＋1－lg 25＝1. (2)23lg 8＋lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 25 ＝2lg 2＋lg 25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＋lg 2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5 ＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝2＋lg 5＋lg 2＝3. 4．计算：（1）223lg 2381027e -⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）22311lg 5lg 2lg500lglog 9log 2225+⨯--⨯．【答案】（1）94；（2）0. 【解析】【分析】（1）根式化为指数运算，以及结合分式指数幂的运算法则，即可求解；（2）根据对数运算法则，即可化简求值. 【详解】（1）原式()231233329922344e e e e e -⎡⎤⎛⎫=-⨯+-+=-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．（2）原式()2212lg 3lg 2lg 5lg 2lg 52lg 52lg 2lg 3-=++--⨯ ()lg5lg5lg22lg2lg52=+++- ()2lg2lg52=+-220=-=．5．计算（1）311322lg 4lg 0.1255--（2）6log 2332log 27log 2log 36lg 2lg 5+⋅-++【答案】（1；（2）3. 【解析】【分析】（1）利用指对运算法则，化简求值；（2）利用对数运算法则，以及换底公式，化简求值. 【详解】（1）331311113log 3222251lg 4lg 0.125lg 43522⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=⨯--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦log 111322=--==（2）6log 2332log 27log 2log 36lg 2lg 5+⋅-++原式33log 312lg1031213=+-+=+-+=.针对练习二对数函数的概念6．下列函数表达式中，是对数函数的有（）①log 2x y =；①()log a y x a =∈R ；①8log y x =；①ln y x =；①()log 2x y x =+；①42log y x =；①()2log 1y x =+. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数定义分析每个函数表达式即可【详解】由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于①中底数a ∈R 不能保证0a >，且1a ≠，∴①不是对数函数；由于①①的真数分别为()2x +，()1x +，∴①①也不是对数函数；由于①中4log x 的系数为2，∴①也不是对数函数；只有①①符合对数函数的定义. 故选：B 【点睛】本题考查对数函数的定义，属于基础题 7．下列函数是对数函数的是 A ．3log (1)y x =+ B ．()y log 2a x = (a 0,a 1)>≠C ．ln y x =D ．2y log a x = (a 0,a 1)>≠【答案】C 【解析】【分析】对数函数的基本形式为log a y x = 【详解】由对数函数定义可以，本题选C ．【点睛】本题需要对对数函数的定义有着足够的了解．8．下列函数，是对数函数的是 A ．y=lg10x B ．y=log 3x 2 C ．y=lnx D ．y=log 13（x–1）【答案】C 【解析】【分析】由对数函数的定义，形如()log (0,0,1)a f x x x a a =>>≠的函数是对数函数，即可作出判定，得到答案. 【详解】由对数函数的定义，形如y=log a x （a>0，a≠1）的函数是对数函数，由此得到：y=lg10x =x ， y=23log x =23log x 、y=()13log 1x -都不是对数函数，只有y=lnx 是对数函数．故选C ．【点睛】本题主要考查了对数函数的定义，其中熟记对数函数的定义：形如()log a f x x=(0,0,1)x a a >>≠的函数是对数函数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9．若某对数函数的图象过点()4,2，则该对数函数的解析式为（） A ．2log y x =B ．42log y x =C ．2log y x =或42log y x =D ．不确定【答案】A 【解析】设函数为()log 0,1a y x a a =>≠，再根据图象过点()4,2可得2log 4a =，即可解出a ，得到该对数函数的解析式．【详解】设函数为()log 0,1a y x a a =>≠，依题可知，2log 4a =，解得2a =，所以该对数函数的解析式为2log y x =．故选：A ．【点睛】本题主要考查待定系数法求对数函数的解析式，属于容易题． 10．若函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数，则=a （）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数的定义，令2320a a 直接计算即可.【详解】由题可知：函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数所以23201a a a -+=⇒=或2a =，又0a >且1a ≠ 所以2a = 故选：B针对练习三对数函数的图像11．在同一坐标系中函数2x y -=与2log y x =的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】利用指数函数和对数函数的图象和性质判断即可【详解】解：由于122xx y -⎛=⎫= ⎪⎝⎭中的底数1012<<，所以为减函数，所以排除BC ，由于2log y x =中的底数21>，所以为增函数，所以排除D ，故选：A12．在同一平面直角坐标系中，一次函数y x a =+与对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）的图象关系可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数的图象以及直线方程与图象关系分别进行讨论即可．【详解】A ．由对数图象知01a <<，此时直线的纵截距1a >，矛盾，B ．由对数图象知1a >，此时直线的纵截距01a <<，矛盾，C ．由对数图象知01a <<，此时直线的纵截距01a <<，保持一致，D ．由对数图象知1a >，此时直线的纵截距0a <，矛盾，故选：C ．13．图中曲线分别表示log a y x =，log b y x =，log c y x =，log d y x =的图象，则a ，b ，c ，d 的关系是．A ．01a b d c <<<<<B ．01b a c d <<<<<C ．01d c a b <<<<<D ．01c d a b <<<<<【答案】D 【解析】【分析】根据对数函数的图象的特征进行判断即可得到,,,a b c d 的大小关系．【详解】如图所示，由于在第一象限中，随着底数的增大，函数的图象越向x 轴靠近，所以01c d a b <<<<<．故选D ．【点睛】根据对数函数的图象判断底数的大小关系时，可令1y =，从而得到底数的值，然后根据各个底数在x 轴上的分布情况得到底数的大小关系．一般的结论是：在第一象限，从左向右，底数逐渐增大．14．函数(log 42)a y x -+=（0a >且1a ≠）恒过定点（） A ．()4,2 B ．()2,4C ．()5,2D ．()2,5【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数的知识确定正确选项. 【详解】当41x -=，即5x =时，2y =，所以定点为()5,2. 故选：C15．函数()()log 15a f x x =-+的图像一定经过点（）A ．()1,5B ．()2,5C ．()2,6D ．()0,6【答案】B 【解析】令11x -=即可求出定点. 【详解】当11x -=，即2x =时，()2log 155a f =+=，即函数()f x 的图象一定经过点()2,5. 故选：B.针对练习四对数函数的定义域16．已知函数()()ln 2f x x =+()f x 的定义域为（） A ．()2,+∞ B ．()2,2- C ．(),2-∞- D ．(),2-∞【答案】B 【解析】【分析】根据对数、分式、根式的性质有2020x x +>⎧⎨->⎩，即可求定义域.【详解】要使()f x 有意义，需满足20,20,x x +>⎧⎨->⎩①22x -<<，①()f x 的定义域为()2,2-. 故选：B.17．函数()f x ） A ．[]2,0- B ．()2,0-C ．(]2,0-D ．()0,∞+【答案】C 【解析】【分析】根据()21log 2020x x ⎧-+≥⎨+>⎩可以得出答案，【详解】解：由题意可得()21log 2020x x ⎧-+≥⎨+>⎩，解得20x -<≤，所以函数()f x 的定义域为(]2,0-，故选：C ．18．函数y ） A ．()2,+∞ B ．[)2,+∞ C ．(]0,2 D ．(]1,2【答案】C 【解析】【分析】利用给定函数有意义列出不等式求解即得. 【详解】函数y =221log 0log 1x x -≥⇔≤，解得02x <≤，所以原函数定义域为：(]0,2. 故选：C19．函数()f x =的定义域是（） A ．(],1-∞ B ．(]0,1 C ．[)1,+∞D ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】根据偶次被开方数大于等于0，真数大于0，列出不等式组，通过解不等式组即可求出答案. 【详解】由()0.5log 430430x x ⎧-≥⎨->⎩，得0431430x x <-≤⎧⎨->⎩，所以314x <≤，所以函数的定义域为3,14⎛⎤⎥⎝⎦.故选：D.20．已知函数()y f x =的定义域为{}|1x x ≤，则()ln f x 的定义域为（） A ．(]e ∞-， B ．(]0e ，C ．(]010， D ．[]0e ，【答案】B 【解析】【分析】复合函数定义域问题，第一步确定括号范围，第二步确定自变量x 的取值范围，即可. 【详解】函数()y f x =的定义域为{}|1x x ≤,所以ln 1x ≤，所以0x e <≤ 故选：B.针对练习五对数函数的值域21．已知函数()2239(log )2log 3f x x x =--，则f (x )在区间1,927⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别是（） A ．60，3- B ．60，4- C ．12，3- D ．12，4-【答案】D 【解析】【分析】令3log t x =，得到[3,2]t ∈-，转化为()223f t t t =--，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为1,927x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得3log [3,2]x ∈-，令3log t x =，则[3,2]t ∈-，又由()2223933(log )2log 3(log )2log 3f x x x x x =--=--，可得()2223(1)4f t t t t =--=--，当1t =时，函数()f t 取得最小值()14f =-，当3t =-时，函数()f t 取得最大值()23(31)412f -=---=.故选：D.22．函数()()22log 23f x x x =-+的值域为（）A ．[)0,+∞B ．[)1,+∞C ．RD ．[)2,+∞【答案】B 【解析】求出223x x -+的取值范围，再利用对数函数的基本性质可求得函数()f x 的值域. 【详解】()2223122x x x -+=-+≥，所以，()()222log 23log 21f x x x =-+≥=.因此，函数()()22log 23f x x x =-+的值域为[)1,+∞.故选：B.23．已知函数()212log 21y ax x =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是（） A ．1a > B ．01a ≤< C ．01a << D ．01a ≤≤【答案】D 【解析】【分析】根据对数函数的性质可知，221t ax x =++要能取到()0,∞+的所有数，分情况讨论a 的取值范围. 【详解】设12log y t =，221t ax x =++，因为函数的值域为R ，所以t 要能取到()0,∞+的所有数，当0a =时，21t x =+满足条件；当0a >时，440a ∆=-≥，得01a <≤；当0a <时，不成立. 综上可知，01a ≤≤. 故选：D24．若函数262()log (27)2ax x x f x x x ⎧--<-=⎨+≥-⎩(0a >，且1a ≠)的值域为R ，则(1)f 的取值范围为（） A ．[18,)+∞ B ．[16,)+∞ C ．(0,16]D ．(0,18]【答案】D 【解析】【分析】根据函数的值域得出1a >，再由()29f -≤即可求解. 【详解】当2x <-时，()()226399f x x x x =--=-++≤，若函数的值域为R ，则()()log 27a f x x =+单调递增，即1a >，且()()2log 479a f -=-+≤，即log 39a ≤，所以(1)log 92log 318a a f ==≤，又1a >，所以()10f >，综上所述，(1)f 的取值范围为(0,18]. 故选：D25．已知0a >且1a ≠，若函数3,2()log ,2a x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩的值域为[1，+∞），则a 的取值范围是（） A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．()1,+∞C ．()1,2D ．(]1,2【答案】D 【解析】【分析】首先求出当2x ≤时，()f x 的取值范围，再根据对数函数的单调性求出2x >的值域，结合分段函数的值域即可求解. 【详解】由函数3,2()log ,2ax x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，当2x ≤时，()3321f x x =-≥-=，当2x >时，()log a f x x =，若01a <<时，函数单调递减，所以()log log 20a a f x x =<<，若1a >时，函数单调递增，所以()log log 2a a f x x =>，又因为分段函数的值域为[1，+∞），所以1a >，log 21log a a a ≥=，所以12a <≤.所以a 的取值范围是(]1,2. 故选：D针对练习六对数函数的单调性26．函数()()22log 65f x x x =-+-的单调递减区间是（）A ．(],3-∞B ．(]1,3C ．[)3,+∞D ．[)3,5【答案】D 【解析】【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”，即可求解. 【详解】2log y t =，()226534t x x x =-+-=--+，令22650650x x x x -+->⇔-+<，解得：15x <<，根据复合函数单调性可知，内层函数的单调性可知()1,3x ∈函数单调递增，在区间[)3,5函数单调递减，外出函数单调递增，所以函数的但到底就区间是[)3,5.故选：D27．()()23log 28f x x x =--的单调递增区间为（）A ．(),1-∞B ．(),4-∞C ．()2,-+∞D ．()4,+∞【答案】D 【解析】【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性可求函数的递增区间. 【详解】由题设可得2280x x -->，故2x <-或4x >，故函数的定义域为()(),24,-∞-+∞，令()()228,,24,t x x x =--∈-∞-+∞，则()222819t x x x =--=--在(),2-∞-为减函数，在()4,+∞上为增函数，因为3log y t =在()0,+∞上为增函数，故()f x 的增区间为()4,+∞，故选：D.28．已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞单调递增，则a 的取值范围是（） A ．(],1-∞- B ．(],2-∞ C ．[)2,+∞ D ．[)5,+∞【答案】D 【解析】【分析】复合函数单调性问题，第一步确定定义域，第二步同增异减,即可得到答案. 【详解】由2450x x -->，得1x <-或5x >，即函数()f x 的定义域为(,1)(5+)-∞-∞，．令245t x x =--，则()229t x =--，所以函数t 在(),1-∞-上单调递减，在(5+)∞，上单调递增，又函数lg y t =在()0,∞+上单调递增，从而函数()f x 的单调递增区间为(5+)∞，，由题意知(+)(5+)a ∞⊆∞，，，①5a ≥ 故选:D.29．已知函数3,0()log (1),0a x a x f x x x -+<⎧=⎨+≥⎩(0a >且1a ≠)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】若函数()f x 是R 上的减函数，则f (x )在x ＜0和x ＞0时均为减函数，且函数在x ＝0左侧的最小值大于或等于在x ＝0右侧的最大值，列出不等式组即可解得a 的范围﹒ 【详解】函数3,0()(0log (1),0ax a x f x a x x -+<⎧=>⎨+⎩且1)a ≠是R 上的减函数， ∴0130a a <<⎧⎨⎩，解得(0,1)a ∈，故选：A ．30．若函数()22log 3y x ax a =-+在()2,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（）A ．[]4,4-B ．()4,4-C ．(],4∞-D ．(),4-∞【答案】A 【解析】【分析】根据复合函数的单调性原则同增异减，以及真数部分大于0，得到式子224230aa a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩，直接计算即可. 【详解】由题可知：函数()22log 3y x ax a =-+在()2,+∞上单调递增所以4244244230aa a a a a ⎧≤≤⎧⎪⇒⇒-≤≤⎨⎨≥-⎩⎪-+≥⎩，即[]4,4a ∈- 故选：A针对练习七比较大小与解不等式31．已知3ln 2a =，28log 3b =，25c =，则（）A ．a b c < ⎪⎝⎭，所以523ln ln e 2⎛⎫> ⎪⎝⎭，因此32ln 25>，所以a c >，综上可得b c a <<；故选：C.32．已知31log 2a =，lnb π=，ac b =，则a ，b ，c 的大小关系（） A ．b c a >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可；【详解】解：因为33311log log log 10321-=<<=，即10a -<<，又ln lne 1π>=，即1b >，所以001a b b <<=，即01c <<，综上可得b c a >>，故选：A33．函数3()f x x =-，若132a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3log 2b f =，132log c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．a b c <=，1321∴>，330log 2log 31<<=，30log 21∴<<，21log 03<，133212log 2log 3∴><，3()f x x =-是R 上的减函数，a b c ∴<<.故选：A.34．已知函数2()log x f x =，则不等式()2f x 的解集为( )A ．(4,0)(0,4)-⋃B ．(0,4)C ．1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据绝对值的定义和对数函数的单调性即可求解．【详解】2222()log 22l 222og f x x x x x -<⇒<<⇒∈=<⇒-<1,44⎛⎫⎪⎝⎭．故选：C ﹒35．集合{}2160xA x =->，(){}2lg 220B x x x =+->，则BA =（）A ．()(],13,4-∞-B ．()(],31,4-∞-C ．(]1,4D ．(]3,4【答案】B 【解析】【分析】求出集合A 、B ，利用补集的定义可求得结果. 【详解】因为{}{}21604xA x x x =->=>，(){}{}{22lg 2202303B x x x x x x x x =+->=+->=<-或}1x >，因此，∁B A =(−∞,−3)∪1,4. 故选：B.针对练习八对数函数的应用36．科学家研究发现，地震时释放出的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系是lg 4.8 1.5E M =+.据中国地震台网测定，2022年1月8日，11时24分在智利中部沿岸近海发生5.9级地震，1时45分在中国青海海北州门源县发生6.9级地震，设智利中部沿岸近海地震所释放的能量为1E ，门源县地震所释放的能量为2E ，则21E E 的近似值为（）A ．15B ．20C ．32D ．35【解析】【分析】根据对数的运算即可求解. 【详解】11221212lg 4.8 1.5,lg 4.8 1.5lg lg 1.5 1.5,E M E M E E M M =+=+⇒-=-所以()() 1.5222111lg1.5 1.5 6.9 5.9 1.51032E EM M E E =-=⨯-=⇒=≈ 故选:C37．一种药在病人血液中的量保持1500mg 以上才有效，而低于500mg 病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：1g20.301=，1g30.4771=，答案采取四舍五入精确到0.1h ）A ．2.3小时B ．3.5小时C ．5.6小时D ．8.8小时【答案】A 【解析】【分析】药在血液中以每小时20%的比例衰减，根据指数函数模型列方程或不等式求解．【详解】设从现在起经过x 小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．则25000.81500x ⨯=，0.80.6x =，lg 0.8lg 0.6x =，lg 0.8lg 0.6x =，6lglg 0.6lg 2lg310.3010.4771110 2.38lg 0.83lg 2130.3011lg 10x +-+-====≈-⨯-．故选：A ．38．随着人们健康水平的不断提高，某种疾病在某地的患病率以每年10%的比例降低，若要将当前的患病率降低到原来的一半，需要的时间至少是（）(lg 20.3010≈，lg30.4771≈)A ．6年B ．7年C ．8年D ．9年【答案】B 【解析】【分析】首先根据条件列式()1110%2n-=，再通过两边取对数，计算需要的时间n . 【详解】设至少需要n 年的时间，则()1110%2n-=，两边取对数lg0.9lg 2n =-，即lg 2lg 20.30107lg 0.92lg 3120.47711n ---===≈-⨯-. 故选：B39（多选）．声强级Li （单位：dB ）与声强I （单位：2ω/m ）之间的关系是：010lg ILi I =，其中0I 指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为21ω/m ，对应的声强级为120dB ，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[]60,70（单位：dB ）．下列选项中正确的是（） A ．闻阈的声强级为0dBB ．此歌唱家唱歌时的声强范围6510,10--⎡⎤⎣⎦（单位：2ω/m ）C ．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍D ．声强级增加10dB ，则声强变为原来的10倍．【答案】ABD 【解析】【分析】根据已知条件先计算出0I ，然后再根据I 的变化确定Li 的变化确定正确选项．【详解】因为0010lg 10lg 10lg I Li I I I ==-，21ω/m I =时， 120Li =，带入公式得122010ω/m I -=， A ：0I I =时，10lg10Li ==，故A 正确； B ：由题意126010lg 10lg1070I -≤-≤，即 6010lg 12070I ≤+≤，因此 6lg 5I -≤≤-，解得651010I --≤≤，故B 正确；C ：当I 变为2I 时，代入有010lg 210lg 2Li I I Li '=-≠，故C 错误； D ：设声强变为原来的k 倍，则10lg 10lg 10kI I -=，解得10k =，故D 正确；故选：ABD ．40．中西方音乐的不同发展与其对音阶的研究有密切的关系，中国传统音阶是五声音阶：宫､商､角､徵､羽；西方音阶是七声音阶“Do ､Re ､Mi ､Fa ､Sol ､La ､Si ”.它们虽然不同，却又极其相似，最终发展的结果均是将一个完整的八度音阶分成了12个半音，即“十二平均律”.从数学的角度来看，这12.已知两个音高1A ，2A 的频率分别为1f ，2f，且满足函数关系：2121A A ff -=，已知两个纯五度音高的频率比2132f f =，则它们相差的半音个数21A A -=________.(其中130.48g ≈，120.30g ≈，结果四舍五入保留整数部分).【答案】7 【解析】【分析】根据指数和对数的互化，结合对数的运算性质求解即可. 【详解】由题意可知212132A A f f -==，所以213lglg3lg 20.182A A -==-≈，即21lg 20.1812A A -⨯≈，故210.18120.18127.27lg 20.3A A ⨯⨯≈≈=≈-，故答案为：7 【点睛】本题主要考查指数和对数的互化，属于基础题，关键就是在求解过程中要熟练应用对数的运算性质，考查学生的基本功计算能力.针对练习九反函数41．设函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =对称，(2)(4)1f f +=，则=a （） A ．1- B ．1 C ．2 D ．4【答案】B 【解析】【分析】利用反函数的知识列方程，化简求得a 的值. 【详解】依题意函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =对称，221x a x a +=⇒=-， 422x a x a +=⇒=-，由于(2)(4)1f f +=，所以1211a a a -+-=⇒=. 故选：B42．若()23()x f x x =+∈R ，则1()y f x -=的定义域是（） A ．R B ．(5,)+∞C ．(3,)+∞D ．(0,)+∞【答案】C 【解析】【分析】由互为反函数的两个函数的关系，先求出原函数的值域，可得其反函数的定义域【详解】解：因为20x >，所以233x +>，所以()23()x f x x =+∈R 的值域为(3,)+∞，所以1()y f x -=的定义域为(3,)+∞，故选：C 43．函数的反函数是 A ． B ． C ．D ．【答案】C 【解析】【详解】由，又因原函数的值域是，①其反函数是44．函数 2(0)y x x =-≤的反函数是（）A ．0)y x =≥B ．0)y x =≥C ．0)y x =≤D ．0)y x =≤【答案】D【解析】【分析】利用反函数的定义即可得出．【详解】由y ＝-x 2（x ≤0），解得x =y ≤0），将x 与y 互换可得：y =x ≤0）．故选D ．【点睛】本题考查了反函数的求法，属于基础题． 45．函数的反函数的图象过点，则的值为 A ．B ．C ．或D ．3 【答案】B【解析】【详解】【分析】试题分析：①函数01a y log x a a =≠（＞，）的反函数的图象过点，①点在原函数的图象上，①1222a log ＝，① 1222a =，解得12a =．故选B ．考点：反函数．。

对数函数习题_高中数学对数函数练习题

对数函数及其性质送4171.对数定义定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数叫做对数函数,自变量是x ；底a y=log x 数的取值范围；真数的取值范围例1.把下列指数形式写成对数形式：(1) =625 （2）=4562-641 (3）=27 (4) =5.73 a 3m （31例2.把下列对数式写成指数式：（1）（2）＝3 3log 92=5log 125 （3）＝－2 （4）＝－4 2log 4131log 812.两种重要对数1.常用对数：以10为底的对数叫做常用对数N 10log 简记作．例：5log 10简记作； 5.3log 10简记作2.自然对数：用以无理数e=2.71828……为底的对数叫自然对数，N e log 简记作例：3log e 简记作；10log e 简记作3.重要公式：（1）01log =a （2） 1log =a a （3）对数恒等式N a N a =log4.对数概念应用例1.求下列各式中x 的取值范围：(1)log 2(x －10) (2)log (x －1)(x ＋2) (3)log (x ＋1)(x －1)2例2求下列各式中的x 的值：（1）（2）（3）（4） 32log 64-=x 68log =x x =100lg x e =-2ln例3．对数恒等式的应用计算 (1) (2) (3)5log -177)5log 9log 21222-()5log 9log 21224-5.对数函数运算法则（1） log a (MN)＝_____________ (2) log a NM ＝______________ (3) log a M n ＝ (4) log log .m n a a n b b m =______________(5)对数换底公式 aN N m m a log log log = ( a ＞0 ,a ≠ 1 ，m ＞0 ,m ≠ 1,N ＞0)． 6.两个常用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ．② b mn b a n a m log log =（a ,b ＞0且均不为1）．7.对数的运算例1计算：（1）25log 5，（2）)24(log 572⨯，（3）5100lg(4)(5) 22log 6log 3-551log 3log 3+8.计算:（1） (2) )2log 2)(log 3log 3(log 9384++3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+（3）（4） 2log )3log 3(log 384⋅+2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+（5）（6）142log 2112log 487log 222--+3lg lg 707+9. 比较对数值的大小（1）与（2）与（） 4.3log 28.3log 28.1log a 1.2log a 1,1≠a a ＞（3）与（4）与5log 77log 55.0log 2.18.0log 7.010.恒过定点（1)函数的图象必经过定点1)2lg()(++=x x f (2)函数的图象恒过定点15+=+x a y )1,0(≠>a a11.解对数不等式33log (4)2log x x ->+①. .2log (4)log (2)a a x x ->-②12.奇偶证明例1.已知.证明在R 上是奇函数。

高中数学第四章指数函数与对数函数经典大题例题(带答案)

高中数学第四章指数函数与对数函数经典大题例题单选题1、已知函数f(x)={a x,x<0(a−3)x+4a,x≥0满足对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，则a的取值范围为（）A．(0,14]B．(0，1)C．[14,1)D．(0，3)答案：A分析：根据给定不等式可得函数f(x)为减函数，再利用分段函数单调性列出限制条件求解即得.因对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，不妨令x1<x2，则f(x1)>f(x2)，于是可得f(x)为R上的减函数，则函数y=a x在(−∞,0)上是减函数，有0<a<1，函数y=(a−3)x+4a在[0,+∞)上是减函数，有a−3<0，即a<3，并且满足：a0≥f(0)，即4a≤1，解和a≤14，综上得0<a≤14，所以a的取值范围为(0,14].故选：A2、已知函数f(x)=log a(x−b)（a>0且a≠1，a，b为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（）A．a>0，b<−1B．a>0，−1<b<0C．0<a<1，b<−1D．0<a<1，−1<b<0答案：D分析：根据函数图象及对数函数的性质可求解.因为函数f (x )=log a (x −b )为减函数，所以0<a <1又因为函数图象与x 轴的交点在正半轴，所以x =1+b >0，即b >−1 又因为函数图象与y 轴有交点，所以b <0，所以−14的解集为（）A ．(0,1100)B ．(1100,+∞)C ．(0,100)D ．(100,+∞) 答案：D分析：利用函数为奇函数，将不等式转化为f(lgx)>f (2)，再利用函数的单调性求解. 因为函数f(x)为奇函数，所以f(−x)=−f (x )，又f(−2)=−2，f(2)=2，所以不等式f(lgx)−f (lg 1x )>4，可化为2f(lgx)>4=2f (2)，即f(lgx)>f (2)，又因为f(x)在(−∞,0]上单调递增，所以f(x)在R 上单调递增，所以lgx >2，解得x >100. 故选：D.4、已知函数f(x)=3|x|+x 2+2，则f(2x −1)>f(3−x)的解集为（） A ．(−∞,43)B ．(43,+∞)C ．(−2,43)D ．(−∞,−2)∪(43,+∞)答案：D分析：根据函数奇偶性可得f(x)为偶函数，根据解析式直接判断函数在[0,+∞)上的单调性，则可结合奇偶性与单调性解不等式得解集.解：因为f(x)=3|x|+x 2+2，则x ∈R所以f(−x)=3|−x|+(−x)2+2=3|x|+x2+2=f(x)，则f(x)为偶函数，当x⩾0时，f(x)=3x+x2+2，又y=3x，y=x2+2在[0,+∞)上均为增函数，所以f(x)在[0,+∞)上为增函数，所以f(2x−1)>f(3−x)，即|2x−1|>|3−x|，解得x<−2或x>43，所以f(2x−1)>f(3−x)的解集为(−∞,−2)∪(43,+∞).故选：D.5、已知函f(x)=log2(√1+4x2+2x)+3，且f(m)=−5，则f(−m)=（）A．−1B．−5C．11D．13答案：C分析：令g(x)=log2(√1+4x2+2x)，则f(x)=g(x)+3，则先判断函数g(−x)+g(x)=0，进而可得f(−x)+f(x)=6，即f(m)+f(−m)=6，结合已知条件即可求f(−m)的值.令g(x)=log2(√1+4x2+2x)，则f(x)=g(x)+3，因为g(x)+g(−x)=log2(√1+4x2+2x)+log2(√1+4x2−2x)=log2(1+4x2−4x2)=0，所以f(−x)+f(x)=g(−x)+3+g(x)+3=6，则f(m)+f(−m)=6，又因为f(m)=−5，则f(−m)=11，故选：C.6、设2a=5b=m，且1a +1b=2，则m=（）A．√10B．10C．20D．100 答案：A分析：根据指数式与对数的互化和对数的换底公式，求得1a =log m2，1b=log m5，进而结合对数的运算公式，即可求解.由2a=5b=m，可得a=log2m，b=log5m，由换底公式得1a =log m2，1b=log m5，所以1a +1b=log m2+log m5=log m10=2，又因为m>0，可得m=√10．故选：A.7、化简√a3b2√ab23(a14b12)4⋅√a3(a>0，b>0)的结果是（）A．ba B．abC．a2bD．b2a答案：B分析：直接利用根式与分数指数幕的互化及其化简运算，求解即可.√a3b2√ab23(a 14b12)4⋅√ba=a32b⋅a16b13(a14b12)4⋅a−13⋅b13=a32+16−1+13b1+13−2−13=ab−1=ab故选：B8、函数y=log2(2x−x2)的单调递减区间为（）A．(1,2)B．(1,2]C．(0,1)D．[0,1)答案：A分析：先求出函定义域，再通过换元法利用复合函数“同增异减”的性质得到结果由2x−x2>0，得0<x<2，令t=2x−x2，则y=log2t，t=2x−x2在(0,1)上递增，在(1,2)上递减，因为y=log2t在定义域内为增函数，所以y=log2(2x−x2)的单调递减区间为(1,2)，故选：A多选题9、已知函数f(x)=|lgx|，则（）A．f(x)是偶函数B．f(x)值域为[0,+∞)C．f(x)在(0,+∞)上递增D．f(x)有一个零点答案：BD分析：画出f(x)的函数图象即可判断.画出f(x)=|lgx|的函数图象如下：由图可知，f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；f(x)值域为[0,+∞)，故B正确；f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，故C错误；f(x)有一个零点1，故D正确.故选：BD.10、已知函数f(x)={x2,x∈(−∞,0), lnx,x∈(0,1),−x2+4x−3,x∈[1,+∞),若函数g(x)=f(x)−m恰有2个零点，则实数m可以是（）A．−1B．0C．1D．2答案：ABC分析：转化为函数y=f(x)的图象与直线y=m恰有两个交点，画出函数f(x)的图象，根据图象可得解.因为函数g(x)=f(x)−m恰有2个零点，所以函数y=f(x)的图象与直线y=m恰有两个交点，画出函数f(x)的图象如图：由图可知，m=1或m≤0，结合选项，因此m可以为-1，0，1．故选：ABC．小提示：方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.11、已知函数f(x)=1−2x1+2x，g(x)=lg(√x2+1−x)，则（）A．函数f(x)为偶函数B．函数g(x)为奇函数C．函数F(x)=f(x)+g(x)在区间[−1,1]上的最大值与最小值之和为0D．设F(x)=f(x)+g(x)，则F(2a)+F(−1−a)<0的解集为(1,+∞)答案：BCD分析：根据题意，利用奇偶性，单调性，依次分析选项是否正确，即可得到答案对于A：f(x)=1−2x1+2x ，定义域为R，f(−x)=1−2−x1+2−x=−1−2x1+2x=−f(x)，则f(x)为奇函数，故A错误；对于B：g(x)=lg(√x2+1−x)，定义域为R，g(−x)=lg(√(−x)2+1−(−x))=−lg(√x2+1−x)=−g(x)，则g(x)为奇函数，故B正确；对于C ：F (x )=f (x )+g (x )，f (x )，g (x )都为奇函数，则F (x )=f (x )+g (x )为奇函数，F (x )=f (x )+g (x )在区间[−1,1]上的最大值与最小值互为相反数，必有F (x )在区间[−1,1]上的最大值与最小值之和为0，故C 正确；对于D ：f (x )=1−2x 1+2x =−(2x +1−22x +1)=22x +1−1，则f (x )在R 上为减函数，g (x )=lg(√x 2+1−x)=√x 2+1+x，则g (x )在R 上为减函数，则F (x )=f (x )+g (x )在R 上为减函数，若F (2a )+F (−1−a )<0即F (2a )<F (1+a )，则必有2a >1+a ，解得a >1，即F (2a )+F (−1−a )<0的解集为(1,+∞)，故D 正确；故选：BCD12、若函数y =a x −(b +1)（a >0且a ≠1）的图像过第一、三、四象限，则必有（）． A ．0<a <1B ．a >1C ．b >0D ．b <0 答案：BC分析：对底数a 分情况讨论即可得答案.解：若0<a <1，则y =a x −(b +1)的图像必过第二象限，而函数y =a x −(b +1)（a >0且a ≠1）的图像过第一、三、四象限，所以a >1．当a >1时，要使y =a x −(b +1)的图像过第一、三、四象限，则b +1>1，即b >0．故选：BC小提示：此题考查了指数函数的图像和性质，属于基础题.13、若f (x )满足对定义域内任意的x 1,x 2，都有f (x 1)+f (x 2)=f (x 1⋅x 2)，则称f (x )为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是（）A ．f (x )=2xB ．f (x )=(12)xC ．f (x )=log 12x D ．f (x )=log 3x答案：CD分析：利用“好函数”的定义，举例说明判断A ，B ；计算判断C ，D 作答.对于A ，函数f (x )定义域为R ，取x 1=1,x 2=2，则f (x 1)+f (x 2)=6，f (x 1⋅x 2)=4，则存在x 1,x 2，使得f (x 1)+f (x 2)≠f (x 1⋅x 2)，A 不是；对于B ，函数f (x )定义域为R ，取x 1=1,x 2=2，则f (x 1)+f (x 2)=34，f (x 1⋅x 2)=14，则存在x 1,x 2，使得f (x 1)+f (x 2)≠f (x 1⋅x 2)，B 不是；对于C ，函数f (x )定义域{x|x >0}内任意的x 1,x 2，f (x 1)+f (x 2)=log 12x 1+log 12x 2=log 12(x 1x 2)=f (x 1⋅x 2)，C 是；对于D ，函数f (x )定义域{x|x >0}内任意的x 1,x 2，f (x 1)+f (x 2)=log 3x 1+log 3x 2=log 3(x 1x 2)=f (x 1⋅x 2)，D 是．故选：CD 填空题14、已知0<a <1，化简：√a 43−2a +a 23=______．答案：a 13−a 23分析：根据指数幂的基本运算结合指数函数的性质即可求解. 解：√a 43−2a +a 23=√(a 23−a 13)2=|a 23−a 13|，因为0<a <1，23>13，所以a 23<a 13，所以√a 43−2a +a 23=a 13−a 23．所以答案是：a 13−a 23. 15、计算：27−13−(−17)−2+25634−3−1+(√2−1)0=_______.答案：16分析：根据指数幂的运算性质直接求解即可．27−13−(−17)−2+25634−3−1+(√2−1)0=(33)−13−(−7)2+(44)34−13+1=13−49+64−13+1=16. 所以答案是：16．16、若f (x )=1+a3x +1(x ∈R )是奇函数，则实数a =___________.答案：−2分析：利用f(0)=0可求得a，验证可知满足题意.∵f(x)定义域为R，且f(x)为奇函数，∴f(0)=1+a2=0，解得：a=−2；当a=−2时，f(x)=1−23x+1=3x−13x+1，∴f(−x)=3−x−13−x+1=1−3x1+3x=−f(x)，∴f(x)为R上的奇函数，满足题意；综上所述：a=−2.所以答案是：−2.解答题17、已知函数f(x)=ln(2x2+ax+3).（1）若f(x)是定义在R上的偶函数，求a的值及f(x)的值域；（2）若f(x)在区间[−3,1]上是减函数，求a的取值范围.答案：（1）a=0，[ln3,+∞)；（2）a∈(−5,−4]解析：（1）根据偶函数的定义，求出a=0，得f(x)=ln(2x2+3)，验证定义域是否关于原点对称，求出真数的范围，再由对数函数的单调性，即可求出值域；（2）u(x)=2x2+ax+3,g(u)=lnu，由条件可得，u(x)=2x2+ax+3在[−3,1]上是减函数，且u(x)>0在[−3,1]上恒成立，根据二次函数的单调性，得出参数a的不等式，即可求解.解：（1）因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)=f(−x)，所以ln(2x2+ax+3)=ln(2x2−ax+3)，故a=0，此时，f(x)=ln(2x2+3)，定义域为R，符合题意.令t=2x2+3，则t⩾3，所以lnt⩾ln3，故f(x)的值域为[ln3,+∞).（2）设u(x)=2x2+ax+3,g(u)=lnu.因为f(x)在[−3,1]上是减函数，所以u(x)=2x2+ax+3在[−3,1]上是减函数，且u(x)>0在[−3,1]上恒成立，故{−a4⩾1,u(x)min =u(1)=5+a >0,解得−5<a ≤−4，即a ∈(−5,−4].小提示：本题考查函数的性质，涉及到函数的奇偶性、单调性、值域，研究函数的性质要注意定义域，属于中档题.18、定义在D 上的函数f(x)，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f(x)|≤M 成立，则称f(x)是D 上的有界函数，其中M 称为函数f(x)的上界，已知函数f(x)=14x+a 2x+1.(1)当a ＝－1时，求函数f(x)在(－∞,0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由； (2)若函数f(x)在[0,＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．答案：(1)(1,＋∞)，函数f(x)在(－∞,0)上不是有界函数，理由见解析； (2)[－5,1].分析：（1）应用换元法及二次函数的性质求y ＝t 2－t ＋1在(1，+∞)上的值域，即知f(x)的值域，进而判断f(x)是否为有界函数.（2）将问题转化为−(t +4t)≤a ≤2t−t 对t ∈(0,1]恒成立，求a 的取值范围．（1）当a ＝－1时，y ＝f(x)=(12)2x −(12)x +1 (x <0)，令t ＝(12)x ，x <0，∴t >1，y ＝t 2－t ＋1＝(t −12)2+34，∴y >1，即函数f(x)在(－∞,0)上的值域为(1,＋∞)， ∴不存在常数M >0，使得|f(x)|≤M 成立． ∴函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数．（2）由题意知，|f(x)|≤3对x ∈[0,＋∞)恒成立，即－3≤f(x)≤3对x ∈[0,＋∞)恒成立，令t ＝(12)x ，x ≥0，则t ∈(0,1]．∴−(t +4t)≤a ≤2t−t 对t ∈(0,1]恒成立，即[−(t +4t)]max ≤a ≤(2t−t)min .设h (t )＝−(t +4t )，p (t )＝2t −t ，t ∈(0,1]，∵h(t)在(0,1]上递增，p(t)在(0,1]上递减，∴h(t)在(0,1]上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在(0,1]上的最小值为p(1)＝1. ∴实数a的取值范围为[－5,1]．。

高中数学幂函数、指数函数与对数函数(经典练习题)

高中数学精英讲解-----------------幂函数、指数函数、对数函数【第一部分】知识复习【第二部分】典例讲解考点一：幂函数例1、比较大小例2、幂函数，(m∈N)，且在(0，＋∞）上是减函数，又，则m= A．0B．1C．2D．3解析：函数在(0，＋∞)上是减函数，则有，又，故为偶函数，故m为1．例3、已知幂函数为偶函数，且在区间上是减函数．(1)求函数的解析式；(2)讨论的奇偶性．∵幂函数在区间上是减函数，∴，解得，∵，∴．又是偶数，∴，∴．(2)，．当且时，是非奇非偶函数；当且时，是奇函数；当且时，是偶函数；当且时，奇又是偶函数．例4、下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系(1)(A)，(2)(F)，(3)(E)，(4)(C)，(5)(D)，(6)(B).变式训练：1、下列函数是幂函数的是（）A．y=2x B．y=2x－1C．y=(x＋1)2D．y=2、下列说法正确的是（）A．y=x4是幂函数，也是偶函数B．y=－x3是幂函数，也是减函数C．是增函数，也是偶函数D．y=x0不是偶函数3、下列函数中，定义域为R的是（）A．y=B．y=C．y=D．y=x－14、函数的图象是（）A．B．C．D．5、下列函数中，不是偶函数的是（）A．y=－3x2B．y=3x2C．D．y=x2＋x－1 6、若f(x)在[－5，5]上是奇函数，且f(3)＜f(1)，则（）A．f(－1)＜f(－3)B．f(0)＞f(1) C．f(－1)＜f(1)D．f(－3)＞f(－5) 7、若y=f(x) 是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是（）A．(a，－f(a))B．(－a，－f(a)) C．(－a，－f(－a))D．(a，f(－a )) 8、已知，则下列正确的是（）A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函数C．奇函数，在R上为减函数D．偶函数，在R上为减函数9、若函数f(x)=x2＋ax是偶函数，则实数a=（）A．－2B．－1 C．0D．110、已知f(x)为奇函数，定义域为，又f(x)在区间上为增函数，且f(－1)=0，则满足f(x)>0的的取值范围是（）A．B．(0，1) C．D．11、若幂函数的图象过点，则_____________．12、函数的定义域是_____________．13、若，则实数a的取值范围是_____________．14、是偶函数，且在上是减函数，则整数a的值是_____________．DACAD ABACD9、，函数为偶函数，则有f(－x)=f(x)，即x2－ax=x2＋ax，所以有a=0．10、奇函数在对称区间上有相同的单调性，则有函数f(x)在上单调递增，则当x<－1时，f(x)<0，当－1<x<0时，f(x)>0，又f(1)=－f(－1)=0，故当0<x<1时，f(x)<0，当x>1时，f(x)>0．则满足f(x)>0的．11、解析：点代入得，所以．12、解：13、解析：，解得．14、解：则有，又为偶函数，代入验证可得整数a的值是5．考点二：指数函数例1、若函数y=a x＋m－1(a>0)的图像在第一、三、四象限内，则（）A.a>1B.a>1且m<0C.0<a<1且m>0D.0<a<1例2、若函数y=4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，试确定x的取值范围．例3、若关于x的方程有负实数解，求实数a的取值范围．例4、已知函数．(1)证明函数f(x)在其定义域内是增函数；(2)求函数f(x)的值域．例5、如果函数（a>0，且a≠１）在[－1，1]上的最大值是14，求a的值．例1、解析：y=a x的图像在第一、二象限内，欲使其图像在第一、三、四象限内，必须将y=a x向下移动．而当0<a<1时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限．只有当a>1时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限，故a>1．又图像向下移动不超过一个单位时，图像经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限．欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m－1<－1，∴m<0．故选B．答案：B例2、分析：在函数y=4x－3·2x＋3中，令t=2x，则y=t2－3t＋3是t的二次函数，由y ∈[1,7]可以求得对应的t的范围，但t只能取正的部分. 根据指数函数的单调性我们可以求出x的取值范围．解答：令t=2x,则y=t2－3t＋3，依题意有：∴x≤0或1≤x≤2，即x的范围是(－∞，0]∪[1,2]．小结：当遇到y=f(a x)类的函数时，用换元的思想将问题转化为较简单的函数来处理，再结合指数函数的性质得到原问题的解．例3、分析：求参数的取值范围题，关键在于由题设条件得出关于参数的不等式．解答：因为方程有负实数根，即x＜0，所以，解此不等式，所求a的取值范围是例4、分析：对于(1)，利用函数的单调性的定义去证明；对于(2)，可用反解法求得函数的值域．解答：(1)，设x1＜x2，则．因为x1＜x2，所以2x1＜2x2，所以,所以．又＋1＞0, ＋1＞0,所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，故函数f(x)在其定义域(－∞，＋∞)上是增函数．(2)设，则，因为102x＞0，所以，解得－1＜y＜1，所以函数f(x)的值域为(－1，1)．例5、分析：考虑换元法，通过换元将函数化成简单形式来求值域．解：设t=a x>0，则y=t2＋2t－1，对称轴方程为t=－1．若a>1，x∈[－1，1]，∴t=a x∈，∴当t=a时，y max=a2＋2a－1=14．解得a=3或a=－5(舍去)．若0<a<1，x∈[－1，1]，∴t=a x∈．∴当时，．解得（舍去）．∴所求的a值为3或．变式训练：1、函数在R上是减函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．2、函数是（）A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数3、函数的值域是（）A．B．C．D．4、已知,则函数的图像必定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5、函数的定义域为（）A．B．C．D．6、函数，满足f(x)>1的x的取值范围是（）A．B．C．D．7、函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．8、已知，则下列正确的是（）A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函数C．奇函数，在R上为减函数D．偶函数，在R上为减函数9、函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．10、下列说法中，正确的是（）①任取x∈R都有；②当a>1时，任取x∈R都有；③是增函数；④的最小值为1；⑤在同一坐标系中，的图象对称于y轴．A．①②④B．④⑤C．②③④D．①⑤11、若直线y=2a与函数y=|a x－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围__.12、函数的定义域是______________．13、不论a取怎样的大于零且不等于1的实数，函数y=a x－2＋1的图象恒过定点________．14、函数y=的递增区间是___________.15、已知9x－10·3x＋9≤０，求函数y=()x－1－4()x＋2的最大值和最小值．16、若关于x的方程25－|x＋1|－4·5－|x＋1|－m=0有实根，求m的取值范围．17、设a是实数，．(1)试证明对于a取任意实数，f(x)为增函数；(2)试确定a的值，使f(x)满足条件f(－x)＝－f(x)恒成立．18、已知f(x)＝（a>0且）．（1）求f(x)的定义域、值域．（2）讨论f(x)的奇偶性．（3）讨论f(x)的单调性．答案及提示：1-10 DADAD DDACB1、可得0<a2－1<1，解得.2、函数定义域为R，且，故函数为奇函数.3、可得2x>0，则有，解得y>0或y<－1.4、通过图像即可判断.5、.6、由，由，综合得x>1或x<－1.7、即为函数的单调减区间，由，可得，又，则函数在上为减函数，故所求区间为.8、函数定义域为R，且，故函数为奇函数，又，函数在R上都为增函数，故函数f(x)在R上为增函数.9、可得.10、①中当x=0时，两式相等，②式也一样，③式当x增大，y减小，故为减函数．11、0＜a＜提示：数形结合.由图象可知0＜2a＜1，0＜a＜.12、提示：由得2－3x＞2，所以－3x＞1，．13、(2,2) 提示：当x=2时，y=a0＋1=2．14、(－∞，1]提示：∵y=()x在(－∞，＋∞)上是减函数，而函数y=x2－2x＋2=(x－1)2＋1的递减区间是(－∞，1］，∴原函数的递增区间是(－∞，1］．15、解：由9x－10·3x＋9≤0得(3x－1)(3x－9)≤0，解得1≤3x≤9.∴0≤x≤2，令()x=t，则≤t≤1，y=4t2－4t＋2=4(t－)2＋1.当t=即x=1时，y min=1；当t=1即x=0时，y max=2.16、解法一：设y=5－|x＋1|，则0＜y≤1，问题转化为方程y2－4y－m=0在(0，1］内有实根.设f(y)=y2－4y－m，其对称轴y=2，∴f(0)＞0且f(1)≤0，得－3≤m＜0.解法二：∵m=y2－4y，其中y=5－|x＋1|∈(0，1]，∴m=(y－2)2－4∈［－3，0)．17、(1)设，即f(x1)＜f(x2)，所以对于a取任意实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．(2)由f(－x)=－f(x)得，解得a=1，即当a=1时，f(－x)=－f(x)．18、解：（1）定义域为R．．．∴值域为（－1，1）．（2），∴f(x)为奇函数．（3）设，则当a>1时，由，得，，∴当a>1时，f(x)在R上为增函数．同理可判断当0<a<1时，f(x)在R上为减函数．考点三：对数函数例1、求函数的定义域和值域，并确定函数的单调区间．例2、已知函数f(x)=lg(ax2＋2x＋1)（a∈R）.（1）若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.例3、已知的最大值和最小值以及相应的x值.例4、已知f(x)=log a(a x－1)（a＞0，a≠１）.（1）求f(x)的定义域；（2）讨论f(x)的单调性；（3）求函数y=f(2x)与y=f－1(x)的图象交点的横坐标.例1解：由－x2＋2x＋3＞0 ，得 x2－2x－3＜0，∴－1＜x＜3，定义域为 (－1，3)；又令 g(x)=－x2＋2x＋3=－(x－1)2＋4，∴当 x∈(－1，3) 时， 0＜g(x)≤4.∴ f(x)≥=－2 ，即函数 f(x) 的值域为[－2，＋∞）；∵ g(x)=－(x－1)2＋4 的对称轴为 x=1.∴当－1＜x≤1 时， g(x) 为增函数，∴为减函数.当 1≤x＜3 时， g(x)为减函数，∴ f(x)为增函数．即f(x) 在（－1，1] 上为减函数；在[1，3 ）上为增函数．例2、分析：令g(x)=ax2＋2x＋1，由f(x)的定义域为R，故g(x)＞0对任意x∈R均成立，问题转化为g(x)＞0恒成立，求a的取值范围问题；若f(x)的值域为R，则g(x)的值域为B必满足B（0，＋∞），通过对a的讨论即可．解答：（1）令g(x)=ax2＋2x＋1，因f(x)的定义域为R，∴ g(x)＞0恒成立．∴∴函数f(x)的定义域为R时，有a＞1.（2）因f(x)的值域为R，设g(x)=ax2＋2x＋1的值域为B，则B（0，＋∞）.若a＜0，则B=（－∞，1－]（0，＋∞）；若a=0，则B=R，满足B（0，＋∞）.若a＞0，则△=4－4a≥0，∴ a≤1.综上所述，当f(x)的值域为R时，有0≤a≤1.例3、分析：题中条件给出了后面函数的自变量的取值范围，而根据对数的运算性质，可将函数化成关于log2x的二次函数，再根据二次函数在闭区间上的最值问题来求解.解答：当t=3时，y有最大值2，此时，由log2x=3，得x=8.∴当x=2时，y有最小值－.当x=8时，y有最大值 2.例4、分析：题设中既含有指数型的函数，也含有对数型的函数，在讨论定义域，讨论单调性时应注意对底数a进行讨论，而（3）中等价于求方程f(2x)=f－1(x)的解．解答：（1）a x－1＞0得a x＞1.∴当a＞1时，函数f(x)的定义域为（0，＋∞），当0＜a＜1时，函数f(x)的定义域为（－∞，0）.（2）令g(x)=a x－1，则当a＞1时，g(x)=a x－1在（0，＋∞）上是增函数.即对0＜x1＜x2，有0＜g(x1)＜g(x2)，而y=log a x在（0，＋∞）上是增函数，∴ log a g(x1) ＜log a g(x2)，即f(x1)＜f(x2)．∴ f(x)= log a(a x－1)在（0，＋∞）上是增函数；当0＜a＜1时，g(x)=a x－1在(－∞,0)上是减函数.即对x1＜x2＜0，有g(x1)＞g(x2)＞0．而y=log a x在（0，＋∞）上是减函数，∴ log a g(x1) ＜log a g(x2)，即f(x1)＜f(x2)．∴ f(x)=log a(a x－1)在（－∞，0）上是增函数.综上所述，f(x)在定义域上是增函数．（3）∵ f(2x)= log a(a2x－1)，令y=f(x)= log a(a x－1)，则a x－1=a y，∴ a x=a y＋1，∴ x= log a (a y＋1)(y∈R)．∴ f－1(x)= log a (a x＋1)（x∈R）．由f(2x)=f－1(x)，得log a(a2x－1)= log a(a x＋1)．∴ a2x－1= a x＋1，即(a x)2－a x－2=0.∴ a x=2或a x=－1（舍）．∴ x=log a2.即y=f(2x)与y= f－1(x)的图象交点的横坐标为x=log a2．变式训练：一、选择题1、当a>1时，在同一坐标系中，函数y=a－x与y=log a x的图象是（）A．B．C．D．2、将y=2x的图象（），再作关于直线y=x对称的图象，可得函数y=log2(x＋1)和图象．A．先向左平行移动1个单位B．先向右平行移动1个单位C．先向上平行移动1个单位D．先向下平行移动1个单位3、函数的定义域是（）A．（1，＋∞）B．（2，＋∞）C．（－∞，2）D．（1，2]4、函数y=lg(x－1)＋3的反函数f－1(x)=（）A．10x＋3＋1B．10x－3－1 C．10x＋3－1D．10x－3＋15、函数的递增区间是（）A．（－∞，1）B．（2，＋∞）C．（－∞，）D．（，＋∞）6、已知f(x)=|log a x|，其中0<a<1，则下列各式中正确的是（）A．B．C．D．7、是（）A．奇函数而非偶函数B．偶函数而非奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既非奇函数也非偶函数8、已知0<a<1,b>1，且ab>1，则下列不等式中正确的是（）A．B．C．D．9、函数f(x)的图象如图所示，则y=log0.2f(x)的图象示意图为（）A．B．C．D．10、关于x的方程（a＞0，a≠１），则（）A．仅当a＞1时有唯一解B．仅当0＜a＜1时有唯一解C．必有唯一解D．必无解二、填空题11、函数的单调递增区间是___________.范围内的最大值和最小值分别是12、函数在2≤x≤４___________.13、若关于x的方程至少有一个实数根，则a的取值范围是___________.14、已知（a＞0，b＞0），求使f(x)＜0的x的取值范围.15、设函数f(x)=x2－x＋b，已知log2f(a)=2，且f(log2a)=b(a>0且a≠1)，(1)求a，b的值；(2)试在f(log2x)>f(1)且log2f(x)<f(1)的条件下，求x的取值范围．16、已知函数f(x)=log a(x－3a)（a＞0且a≠１），当点P（x，y）是函数y=f(x)图象上的点时，点Q（x－2a，－y）是y=g(x)图象上的点.（1）写出y=g(x)的解析式；，试求a的取值范围.（2）若当x∈[a＋2，a＋3]时，恒有|f(x)－g(x)|≤１答案及提示：1-10 DDDDA BBBCC1、当a>1时，y=log a x是单调递增函数，是单调递减函数，对照图象可知D正确. ∴应选 D.2、解法1：与函数y=log2(x＋1)的图象关于直线y=x对称的曲线是反函数y=2x－1的图象，为了得到它，只需将y=2x的图象向下平移1个单位.解法2：在同一坐标系内分别作出y=2x与y=log2(x＋1)的图象，直接观察，即可得 D.3、由≥0，得 0<x－1≤1，∴ 1<x≤2.5、应注意定义域为（－∞，1）∪（2，＋∞），答案选 A.6、不妨取，可得选项B正确．7、由f(－x)=f(x)知f(x)为偶函数，答案为 B.8、由ab>1，知，故且，故答案选 B. 10、当a＞1时，0＜＜1，当0＜a＜1时，＞1，作出y=a x与y=的图象知，两图象必有一个交点.11、答案：（－∞，－6）提示： x2＋4x－12＞0 ，则 x＞2 或 x＜－6.当 x＜－6 时， g(x)=x2＋4x－12 是减函数，∴在（－∞，－6）上是增函数 .12、答案：11，7 ：∵ 2≤x≤4，∴.则函数，∴当时，y最大为11；当时，y最小为7.13、答案：（－∞，] 提示：原方程等价于由③得. ∴当x＞0时，9a≤，即a≤.又∵ x≠3，∴ a≠2，但a=2时，有x=6或x=3（舍）.∴ a≤.14、解：要使f(x)＜0，即.当a＞b＞0时，有x＞；当a=b＞0时，有x∈R；当0＜a＜b时，有x＜.15、解：(1)∵f(log2a)=b,f(x)=x2－x＋b,∴(log2a)2－log2a＋b=b，解得a=1(舍去)，a=2，又log2f(a)=2，∴log2(a2－a＋b)=2，将a=2代入，有log2(2＋b)=2, ∴b=2；(2)由log2f(x)<f(1)得log2(x2－x＋2)<2,∴x2－x－2<0，解得－1<x<2，由f(log2x)>f(1)得(log2x)2－log2x＋2>0，解得0<x<1或x>2，∴x∈(0，1)．16、解：（1）设Q（x′，y′），则，∵点P（x，y）在y=f(x)的图象上，∴．（2）当x∈[a＋2，a＋3]时，有x－3a＞0且＞0成立.而x－3a≥a＋2－3a=2－2a＞0，∴ 0＜a＜1，且恒成立.∴ 0＜a＜1.由 |f(x)－g(x)|≤1，即∴ r(x)=x2－4ax＋3a2在[a＋2，a＋3]上是增函数.∴ h(x)=log a(x2－4ax＋3a2)在[a＋2，a＋3]上是减函数. ∴当x=a＋2时，h(x)max=h(a＋2)=log a(4－4a)，当x=a＋3时，h(x)min=h(a＋3)=log a(9－6a).。

高中数学对数练习题(附解析)

高中数学对数练习题（附解析）数学必修1(苏教版)2.3对数函数2．3.1对数2021年我国国民经济生产总值为a亿元，若按平均每年增长10%估算，那么通过多青年国民经济生产总值是2021年的2倍？假设通过x年，则有a(1＋10%)x＝2a，即1.1x＝2，那么如何求指数x呢？基础巩固1．(2021浙江卷)已知x、y为正实数，则()A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg yB．2lg(x＋y)＝2lg x2lg yC．2lg xlg y＝2lg x＋2lg yD．2lg(xy)＝2lg x2lg y答案：D2．(log29)(log34)＝()A.14B.12 C．2 D．4解析：原式＝lg 9lg 2lg 4lg 3＝2lg 32lg 2lg 2lg 3＝4.答案：D3．)(3－22)＝()A．2 B．4 C．－2 D．－4解析：∵3－22＝(2－1)2＝12＋12＝(2＋1)－2.原式＝－2.答案：C4．设log83＝p，log35＝q，则lg 5为()A．p2＋q2 B.15(3p＋2q)C.3pq1＋3pq D．pq解析：由题知lg 3lg 8＝p，p＝lg 33lg 2，q＝lg 5lg 3，lg 5＝qlg 3＝q(3plg 2)＝3pqlg 105＝3pq(1－lg 5)，即：lg 5＝3pq－3pqlg 5，lg 5＝3pq1＋3pq.答案：C5．若y＝log56log67log78log89log910，则y＝()A．1＋log25 B．1＋log52C．1－log25 D．1－log52解析：由题知y＝lg 6lg 5lg 7lg 6lg 8lg 7lg 9lg 8lg 10lg 9＝lg 10lg 5＝log510＝1＋log52.答案：B6．若a0且a1，x0，nN＋，则下列各式中恒成立的有________个．①(logax)n＝nlogax②(logax)n＝logaxn③logax＝－loga1x④logax－yx＋y＝－logax＋yx－y答案：27．已知01,01，假如，则x的取值范畴是________．解析：由01得logb(x－2)0，由01得0x－223.答案：(2,3)8．x＝log23,4y＝83，则x＋2y的值为________．解析：∵4y＝83，22y＝83，2y＝log283，x＋2y＝log23＋log283＝log28＝3.答案：39．若f(x)＝，且f(lg a)＝10，求a的值．解析：由f(lg a)＝10得－12＝10，两边取常用对数得(lg a)2－12lg a ＝lg 10，即2(lg a)2－lg a－1＝0.lg a＝1或lg a＝－12，故a＝10或1010.能力提升10．(lg 5)2＋lg 2lg 50＝()A．1 B．2 C．5 D．10解析：原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 2＋2lg 5)＝(lg 5)2＋2lg 2lg 5＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1.答案：A11．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两根，则＝()A.14B.12 C．1 D．2解析：由韦达定理，lg a＋lg b＝2，lg alg b＝12，lg ab2＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg alg b＝22－412＝2.答案：D12．设a、b、c差不多上正数，且3a＝4b＝6c，则()A.1c＝1a＋1bB.2c＝2a＋1bC.1c＝2a＋2bD.2c＝1a＋2b解析：设3a＝4b＝6c＝t，则a＝log3t，b＝log4t，c＝log6t.1a＝logt3，1b＝logt4，1c＝logt6.2a＋1b＝logt9＋logt4＝2logt6＝2c.答案：B13．若2m＝3n＝36，则1m＋1n＝________.解析：∵2m＝3n＝36，m＝log236，n＝log336，从而：1m＋1n＝log362＋log363＝log366＝12.答案：1214．(2021上海卷)方程33x－1＋13＝3x－1的实数解为________．解析：去分母整理得32x－23x－8＝03x＝4x＝log34.答案：log3415．已知log5[log4(log3x)]＝0，则x＝________.答案：8116．运算：1－log632＋log62log618log64.解析：原式＝1－2log63＋log632＋log663log663log64＝1－2log63＋log632＋1－log631＋log63log64＝1－2log63＋log632＋1－log632log64＝21－log632log62＝log66－log63log62＝log62log62＝1.17．甲、乙两人解关于x的方程：log2x＋b＋clogx2＝0，甲写错了常数b，得到根14、18；乙写错了常数c，得到根12、64.求原方程的根．解析：原方程可变形为log22x＋blog2x＋c＝0.由于甲写错了常数b，得到的根为14和18，c＝log214log218＝6.由于乙写错了常数c，得到的根为12和64，b＝－log212＋log264＝－5.故原方程为log22x－5log2x＋6＝0.因式分解得(log2x－2)(log2x－3)＝0.log2x＝2或log2x＝3，即x＝4或x＝8.唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义差不多相去甚远。

对数函数练习题及解答1

对数函数练习题及解答1篇一：对数和对数函数练习题(答案)[1]一、选择题：1．23log89的值是（）A．B．1 C．D．232log23 2352．若log2[log1(log2x)]?log3[log1(log3y)]?log5[log1(log5z)]=0，则x、y、z的大小关系是（）A．z＜x＜y B．x＜y＜zC．y＜z＜x3D．z＜y＜x3．已知x=2+1,则log4(x－x－6)等于（）A.351 B. C.0 D.242 4．已知lg2=a，lg3=b，则2a?ba?2b2a?ba?2blg12等于（）A．B．C．D．1?a?b1?a?b1?a?b1?a?blg15 5．已知2 lg(x－2y)=lgx＋lgy，则x的值为( ）A．1 B．4C．1或4D．4 或y6.函数y=log1(2x?1)的定义域为（）A．(2211，＋∞) B．［1，＋∞) C．( ，1] D．(－∞，1)227．已知函数y=log1 (ax＋2x＋1)的值域为R，则实数a的取值范围是（）2A．a ＞1 B．0≤a＜1C．0＜a＜1 D．0≤a≤1 x5 e 8.已知f(e)=x，则f(5)等于（）A．e B．5C．ln5D．log5e9．若f(x)?logax(a?0且a?1),且f?1(2)?1,则f(x)的图像是（）AB CD10．若y??log2(x2?ax?a)在区间(??,1上是增函数，则a的取值范围是（）A．[2? B．?2?2 C．2?2? D．2?2 ?????? 11．设集合A?{x|x?1?0},B?{x|log2x?0|},则A?B等于（）A．{x|x?1} B．{x|x?0}C．{x|x??1} D．{x|x??1或x?1}2 12．函数y?lnx?1,x?(1,??)的反函数为（）x?1ex?1ex?1ex?1ex?1y?x,x?(0,??)B．y?x,x?(0,??)C．y?x,x?(??,0)D ．y?x,x?(??,0) e?1e?1e?1e?1A二、填空题：13．计算：log2.56.25＋lg211?log23＋lne＋2= ．10014．函数y=log4(x－1)(x＜1＝的反函数为．0.90.815．已知m＞1，试比较(lgm)与(lgm)的大小．16．函数y =(log1x)－log1x＋5 在2≤x≤4时的值域为．4422 三、解答题：17．已知y=loga(2－ax)在区间{0，1}上是x的减函数，求a的取值范围．2218．已知函数f(x)=lg[(a－1)x＋(a＋1)x＋1]，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围.219．已知f(x)=x＋(lga＋2)x＋lgb，f(－1)=－2，当x∈R时f(x)≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f(x)的最小值?20．设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小。

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一．选择题
1．将函数2()log (2)f x x =的图象向左平移1个单位长度，那么所得图象的函数解析式为（）
A.2log (21)y x =+ B ．2log (21)y x =- C ．2log (1)1y x =++ D ．2log (1)1y x =-+
2
．已知22221log 9log 1log log 2
a b c =-=+=+，则（） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．c b a >>
3．若1x 满足522=+x x ，2x 满足5)1(log 222=-+x x ，则=+21x x （）
A ．25
B ．3
C ．2
7 D ．4 4．已知函数3|log |,03,()310, 3.
x x f x x x <≤⎧=⎨-+>⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的取值范围
是（） A ．(3,10) B ．10(3,
)3 C ．10(1,)3 D ．1(,10)3 5．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，当1(0,]2
x ∈时，12()log (1)f x x =-，则()f x 在区间3(1,)2
内是（）
A ．减函数且()0f x >
B ．减函数且()0f x <
C ．增函数且()0f x >
D ．增函数且()0f x <
6．已知函数x x f x 2log 2)(+=，1log 2)(2+=x x g x ，1log 2)(2-=x x h x 的零点分别为,,a b c ，则 ,,a b c 的大小关系为 ( )
A.a b c <<
B.c b a <<
C.c a b <<
D.b a c <<
7
．已知),0()),0
x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则不等式(21)(3)f x f ->的解集为（）
A ．(2,)+∞
B ．(,2)(2,)-∞-+∞U
C ．(1,2)-
D ．(,1)(2,)-∞-+∞U
8．已知定义在R 上的奇函数)(x f y =的图象关于直线1=x 对称，当01<≤-x 时，)(log )(2
1x x f --=，则方程021)(=-
x f 在)6,0(内的零点之和为（） A ．8 B ．10 C ．12 D ．16 二．填空题
9．已知1log 12
a >，则a 的取值范围为________．
10．函数2283(1)()log 1)a x ax x f x x
x ⎧-+<=⎨≥⎩（在x R ∈内单调递减，则a 的取值范围是________． 11．已知偶函数()f x 满足[]2)(0,1),()2(x x f x x f x f =-∈=-时，且当，若在区间[]13-，内，函数()()()log 2a g x f x x =-+有4个零点，则实数a 的取值范围_________．
三．解答题
12．定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数0≥M ，都有M x f ≤)(成立，则
称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数)(x f 的一个上界.已知函数x
x a x f ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=41211)(，11log )(21--=x ax x g .
（Ⅰ）若函数)(x g 为奇函数，求实数a 的值；
（Ⅱ）在（1）的条件下，求函数)(x g 在区间9[,3]7上的所有上界构成的集合；
（Ⅲ）若函数)(x f 在),0[+∞上是以5为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.
13．已知幂函数()()2531m f x m m x --=--在()0,+∞上是增函数，又()1log 1
a mx g x x -=-（1a >）．（Ⅰ）求函数()g x 的解析式；
（Ⅱ）当(),x t a ∈时，()g x 的值域为()1,+∞，试求a 与t 的值．
14．已知函数9()log (91)x f x kx =++(k ∈R )是偶函数．
（Ⅰ）求k 的值；
（Ⅱ）若函数()y f x =的图象与直线12
y x b =+没有交点，求b 的取值范围；（Ⅲ）设()94()log 33
x h x a a =⋅-，若函数()f x 与()h x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围． 15．设函数()()
21x x a t f x a --= (0a >且1a ≠)是定义域为R 的奇函数．
（Ⅰ）求t 的值；
（Ⅱ）若()10f >，求使不等式()
()210f kx x f x -+-<对一切x ∈R 恒成立的实数k 的取值范围；
（Ⅲ）若函数()f x 的图象过点312⎛⎫ ⎪⎝⎭，，是否存在正数m ()1m ≠，使函数()()22log x x m g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦在[]21log 3，上的最大值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．。