湖南省十二校2012届高三4月第二次联考数学理试题 word版
2012年湖南高考理科数学(高清版含答案)
2012年湖南高考理科数学（高清版含答案)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合}1,0,1{-=M ，}{2x x x N ≤=，则=N MA ．}0{B ．}1,0{C ．}1,1{-D ．}1,0,1{- 2．命题“若4πα=，则1tan =α”的逆否命题是A ．若4πα≠，则1tan ≠α B ．若4πα=，则1tan ≠αC ．若1tan ≠α，则4πα≠D ．若1tan ≠α，则4πα=3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是A B C D4．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据),(i i y x ),,2,1(n i =，用最小二乘法建立的回归方程为71.8585.0ˆ-=x y ，则下列结论中不正确．．．的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心),(y xC ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加85.0kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为79.58kg5．已知双曲线1:2222=-by a x C 的焦距为10 ，点)1,2(P 在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．152022=-y x B ．120522=-y x C ．1208022=-y x D ．1802022=-y x 6．函数)6cos(sin )(π+-=x x x f 的值域为A ．]2,2[-B ．]3,3[-C ．]1,1[-D ．]23,23[-7．在ABC ∆中，2=AB ，3=AC ，1=⋅BC AB ，则=BCA ．3B ．7C ．22D ．23 8．已知两条直线m y l =:1和)0(128:2>+=m m y l ，1l 与函数x y 2log =的图像从左至右相交于点B A ,，2l 与函数x y 2log =的图像从左至右相交于点D C ,．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为b a ,．当m 变化时，ba的最小值为 A ．162 B ．82 C ．348 D ．344二、填空题： 本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分，把答案填在答．题卡．．中对应题号后的横线上． （一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9． 在直角坐标系xOy 中，已知曲线⎩⎨⎧-=+=t y t x C 21,1:1（t 为参数）与曲线⎩⎨⎧==θθcos 3,sin :2y a x C （θ为参数，0>a ）有一个公共点在x 轴上，则=a ．10．不等式01212>--+x x 的解集为 ．11．如图2，过点P 的直线与⊙O 相交于B A ,两点．若1=PA ，2=AB ，3=PO ，则⊙O 的半径等于 ．（二）必做题（12～16题）12．已知复数2)3(i z +=（i 为虚数单位)，则=z ． 13．6)12(xx -的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答）14．如果执行如图3所示的程序框图，输入3,1=-=n x ，则输出的数=S ．15．函数)sin()(ϕω+=x x f 的导函数)(x f y '=的部分图象如图4所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，C A ,为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．（1）若6πϕ=，点P 的坐标为)233,0(，则=ω ； （2）若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC ∆内的概率为 ．16．设*2(,)nN n N n =∈≥2，将N 个数12,,,N x x x 依次放入编号为1,2,,N 的N 个位置，得到排列012N P x x x =．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N 和后2N个位置，得到排列113124N N P x x x x x x -=，将此操作称为C 变换．将1P 分成两段，每段2N个数，并对每段作C 变换，得到2P ；当22i n ≤≤-时，将i P 分成2i 段，每段2i N个数，并对每段作C 变换，得到1i P +．例如，当8N =时，215372648P x x x x x x x x =，此时7x 位于2P 中的第4个位置． （1）当16N =时，7x 位于2P 中的第 个位置； （2）当2()nN n =≥8时，173x 位于4P 中的第 个位置．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％．（Ⅰ）确定,x y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望； （Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）18．（本小题满分12分）如图5，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，4AB =，3BC =，5AD =，90DAB ABC ∠=∠=︒，E 是CD 的中点．（Ⅰ）证明：CD ⊥平面PAE ；（Ⅱ）若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P ABCD -的体积．19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，记12()n A n a a a =+++，231()n B n a a a +=+++，342()n C n a a a +=+++，1,2,.n =（Ⅰ）若121,5a a ==，且对任意*n N ∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列，求数列{}n a 的通项公式.（Ⅱ）证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意*n N ∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.20．（本小题满分13分）某企业接到生产3000台某产品的A ，B ，C 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A 部件6件，或B 部件3件，或C 部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比，比例系数为k （k 为正整数）．（Ⅰ）设生产A 部件的人数为x ，分别写出完成A ，B ，C 三种部件生产需要的时间； （Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．21．（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的点均在圆222:(5)9C x y -+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线1C 的方程；（Ⅱ）设000(,)(3)P x y y ≠±为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点,A B 和,C D .证明：当P 在直线4x =-上运动时，四点,A B ,,C D 的纵坐标之积为定值.22．（本小题满分13分）已知函数()axf x e x =-，其中0a ≠.（Ⅰ）若对一切x R ∈，()1f x ≥恒成立，求a 的取值集合.（Ⅱ）在函数()f x 的图像上取定两点112212(,()),(,())()A x f x B x f x x x <，记直线AB 的斜率为k .问：是否存在012(,)x x x ∈，使()f x k '>成立？若存在，求0x 的取值范围；若不存在，请说明理由.2012湖南高考数学试卷参考答案（理科）一、选择题 BCDDA BAB 二、填空题选做题 【23】 【}41{>x x 】 【6】 必做题 【10】 【160-】 【4-】 【3、4π】 【6、43211n -⨯+】三、解答题17、【解析】（Ⅰ）15,20x y ==，() 1.9E X =（Ⅱ）98018、【解析】（Ⅰ）略（Ⅱ）12851519、【解析】（Ⅰ）43n a n =-*()n N ∈ （Ⅱ）必要性易证，下证充分性：2121,()n n n n n n n nn n B q A C q B C B q B A aq a a q a++==⇒-=-⇒-=- 当1n =时，由1121B qA a qa =⇒=，∴21n n a qa ++=，即{}n a 是公比为q 的等比数列，充分性得证.20、【解析】（Ⅰ）123100020001500(),(),()200(1)T x T x T x x kx k x===-+； 其中,,200(1)x kx k x -+均为不超过200的正整数． （Ⅱ）123()max{(),(),()}f x T x T x T x =*200(0,)1x x N k<<∈+ 123212(),()();()()T x T x T x T x T x k=↓↓,↑，所以：（1）当2k =时，10001500()max{,}2003f x x x =-，1000150044420039x x x =⇒=-易得(44)(45)f f <，故8()(44)2211f x f ≥=； （2）当3k ≥时，13()max{(),()}f x T x T x =315001500()200(1)2003T x k x x=>-+-，10001500()max{,}2003f x x x ∴>-，由（1）知，8()2211f x >； （3）当1k =时，2000750()max{,}100f x x x =-，200075087210011x x x =⇒=-，易得7(73)(72)279f f ==，故78()2722911f x ≥>；综上，2k =时，完成订单任务的时间最短，此时，生产A ，B ，C 三种部件的人数分别是44，88，68. 21、 【解析】（Ⅰ）220y x =（Ⅱ）由已知0(4,)P y -，可设切线斜率为k ，易知k 存在且不为0.由点线距公式可得：2200721890k y k y ++-=——（1） 联立切线和1C 方程得：202020(4)0ky y y k -++=故010*******20(4)20(4),y k y k y y y y k k ++==20012123412400[4()]6400y y k k y y y y k k ++⇒=+；由（1）可得0124y k k +=-代入得2200123412400()64006400y y y y y y k k -=+=.∴当P 在直线4x =-上运动时，四点,A B ,,C D 的纵坐标之积为定值6400.22、 【解析】（Ⅰ）(1)1210a f e a ≥⇒>>⇒>；011()10ln axf x ae x a a'=-=⇒=；易得min 0111()()ln f x f x a a a==-. 令1()ln (0)g t t t x t a=-=>，0()ln 01g t t t '=-=⇒=； 易得max 0()()1g t g t ==；由题意得0()1g t t t ≥⇒=，即1a = 故满足题意时，a 的取值集合为{1}（Ⅱ）设2121()()ax ax axe e xf x k ae x x ϕ-'=-=--，易知()x ϕ↑；可得121()12121()()1ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦-， 212()21221()()1ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦-， 设0()1()100,k kF k e k F k e k '=--⇒=-=⇒=min 0()()0F k F k ∴==0k ∴≠时，()0F k >112121()(())0ax e x F a x x x x ϕ∴=--<-，221221()(())0ax e x F a x x x x ϕ=->-()x ϕ是连续单调函数，∴由零点存在原理可知，存在唯一的012(,)x x x ∈， 使得0()0x ϕ=；解方程得210211ln ()ax ax e e x a a x x -=-. 又()x ϕ↑∴存在012(,)x x x ∈，使()f x k '>成立，且0x 的取值范围是212211(ln ,)()ax ax e e x a a x x --.。
2012届高三二模考试数学试卷(理)及答案
2012届高三模拟考试数学试题数学试题（理科）本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 参考公式:锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面面积，h 为锥体的高. 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数(1)i ai ⋅+是纯虚数，则实数a 的值是（ ）A. 1B. 1-C.0D. 0或1-2．已知集合{||2,A x x x =≤∈R },{2,B x x =≤∈Z },则A B = （ ）A. (0,2)B. [0,2]C. {0, 2}D. {0,1,2}3．设25025..12,25,()2.a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（C ）A.a c b >>B. c a b >>C. a b c >>D.b a c >>4．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为. A. 1 B. 3 C 6 D. 25．设向量(1,0)a = ，11(,)22b = ，则下列结论正确的是 ( )A.a b =B.2a b ⋅= C. a ∥b D. a b - 与b 垂直6．执行如图1所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围（ ）A.715816P <≤ B. 1516P > C. 715816P ≤< D.3748P <≤ 7. 下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是,m n ，某次测试数学平均分分别是,a b ，则这两个班的数学平均分为2a b+； ②10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有b a c >>； ③从总体中抽取的样本12221111(,),(,),,(,),,n nn n i i i i x y x y x y x x y y n n ====∑∑ 若记，则回归直线y =bx a +必过点（,x y ）④已知ξ服从正态分布(0N ,2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>= 其中正确的个数有： （ ）A ．0个B ． 1 个C ．2 个D ．3个8. 定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设111sgn()1sgn()122()()22x x f x f x -+-+=⋅+2()f x ⋅，[0,1]x ∈，其中1()f x =12x +, 2()f x ⋅=2(1)x -, 若1[()][0,)2f f a ∈，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1(0,]4B. 11(,)42C. 11(,]42D. 3[0,]8二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分.(一)必做题(9～13题)9．. 已知A 是单位圆上的点，且点A 在第二象限，点B 是此圆与x 轴正半轴的交点，记AOB α∠=, 若点A的纵坐标为35．则s i n α=_____________;tan(2)πα-=_______________.10．以抛物线24y x =的焦点为圆心，且被y 轴截得的弦长等于2的圆的方程为__________________.11．从如图所示的长方形区域内任取一个点()y x M ,，则点M 取自阴影部分的概率为____________.12．已知,x y 满足约束条件5000x y x y y ++⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤，则24z x y =+的最小值是_________.13.设()11f x x x =-++，若不等式121()a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，则x 取值集合是_______________________.(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题) 14．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，DE AD =，6,8==BD AB ,则ADAC= ;15．(坐标系与参数方程选做题) 已知直线l 方程是11x ty t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数），,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为1ρ=，则圆C 上的点到直线l 的距离最小值是 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 11a =，且1S ，22S ，33S 成等差数列. （1）求数列{}n a 通项公式；（2）设n n b a n =+，求数列{}n b 前n 项和n T ．17．(本小题满分14分) 有一个3×4×5的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成60个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个，设小正方体涂上颜色的面数为ξ. （１）求0ξ=的概率； （２）求ξ的分布列和数学期望.18．(本小题满分14分)如图5(1)中矩形ABCD 中，已知2AB =，AD =MN 分别为AD 和BC 的中点，对角线BD 与MN 交于O 点，沿MN 把矩形ABNM 折起，使平面ABNM 与平面MNCD 所成角为60 ，如图5(2).（1） 求证：BO DO ⊥；（2） 求AO 与平面BOD 所成角的正弦值.OABDC MNABDCMNO图6B A19．(本小题满分12分)在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中2c =，且cos cos 1A bB a == (1)求证：ABC ∆是直角三角形；(2)如图6，设圆O 过,,A B C 三点，点P 位于劣弧AC ︿上，求PAC ∆面积最大值.20.(本小题满分14分)在直角坐标系xOy 中，动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线2x =的距离之比是2，设动点P 的轨迹为1C ，Q 是动圆2222:C x y r +=(12)r <<上一点. （1）求动点P 的轨迹1C 的方程； （2）设曲线1C上的三点1122(,),(,)A x y B C x y 与点F 的距离成等差数列，若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ；（3）若直线PQ 与1C 和动圆2C 均只有一个公共点，求P 、Q 两点的距离PQ 的最大值.21．(本小题满分14分)已知函数()ln(1)f x x mx =++，当0x =时，函数()f x 取得极大值. （１）求实数m 的值；（２）已知结论：若函数()ln(1)f x x mx =++在区间(,)a b 内导数都存在，且1a >-，则存在0(,)x a b ∈，使得0()()()f b f a f x b a-'=-.试用这个结论证明：若121x x -<<，函数121112()()()()()f x f x g x x x f x x x -=-+-，则对任意12(,)x x x ∈，都有()()f x g x >；（３）已知正数12,,,n λλλL ，满足121n λλλ+++=L ，求证：当2n ≥，n N ∈时，对任意大于1-，且互不相等的实数12,,,nx x x L ，都有1122()n n f x x x λλλ+++>L 1122()()()n n f x f x f x λλλ+++L .2012届高考模拟测试数学试题(理科)参考答案和评分标准一．选择题：CACBD ABB二填空题：9.35（2分）247（3分） 10. 22(1)2x y -+= 11. 13 12. 15- 13. 33(,][,)22-∞-+∞ 14. 4315.1三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本题满分14分)解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，……………1分若1q =，则111S a ==，21244S a ==，31399S a ==，故13231022S S S +=≠⨯，与已知矛盾，故1q ≠，………………………………………………2分从而得1(1)111n nn a q q S q q--==--，………………………………………………4分由1S ，22S ，33S 成等差数列，得132322S S S +=⨯，即321113411q q q q--+⨯=⨯--， 解得13q =……………………………………………5分 所以11113n n n a a q--⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.………………………………………………6分（2）由（１）得，11()3n n n b a n n -=+=+，………………………………7分 所以12(1)(2)()n n T a a a n =++++++1(1)(1)(12)12n n b q n nS n q -+=++++=+- ………………………………10分2111()(1)333.12213n n n n n n --+++-=+=-……………………………12分 17．(本题满分12分)（１）60个1×1×1的小正方体中，没有涂上颜色的有6个，61(0)6010P ξ=== … （3分） （２）由（1）可知1(0)10P ξ==；11(1)30P ξ==；2(2)5P ξ==；2(3)15P ξ== … （7分）… （10分）E ξ=0×110+1×1130+2×25+3×215=4730 …（12分）18(本题满分14分)解：（1）由题设，M ，N 是矩形的边AD 和BC 的中点，所以AM ⊥MN, BC ⊥MN, 折叠垂直关系不变，所以∠AMD 是平面ABNM 与平面MNCD 的平面角，依题意，所以∠AMD=60o ， ………………………………………………………………………………………………………２分 由AM=DM ，可知△MAD 是正三角形，所以AD=2，在矩形ABCD 中，AB=2,AD=所以，，由题可知，由勾股定理可知三角形BOD 是直角三角形，所以BO ⊥DO ……………………………………………………………………………………… 5分解（２）设E ，F 是BD ，CD 的中点，则EF ⊥CD, OF ⊥CD, 所以，CD ⊥面OEF, OE CD⊥ 又BO=OD ，所以OE ⊥BD, OE⊥面ABCD, OE ⊂面BOD , 平面BOD ⊥平面ABCD过A 作AH ⊥BD ，由面面垂直的性质定理,可得AH ⊥平面BOD ，连结OH ，…………………… 8分 所以OH 是AO 在平面BOD 的投影，所以∠AOH 为所求的角,即AO 与平面BOD 所成角。
2012年全国高考(湖南卷)理科数学试题及答案解析
2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M={-1,0,1}，N={x|x 2≤x}，则M ∩N= A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0} 【答案】B【解析】{}0,1N = M={-1,0,1} ∴M ∩N={0,1}. 【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分. 先求出{}0,1N =,再利用交集定义得出M ∩N.2.命题“若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是 A.若α≠4π，则tan α≠1 B. 若α=4π，则tan α≠1C. 若tan α≠1，则α≠4πD. 若tan α≠1，则α=4π【答案】C【解析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，所以 “若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是 “若tan α≠1，则α≠4π”. 【点评】本题考查了“若p ，则q ”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力.3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型. 4.设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是A.y 与x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）C.若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为58.79kg 【答案】D【解析】【解析】由回归方程为y =0.85x-85.71知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知ˆ()ybx a bx y bx a y bx =+=+-=-，所以回归直线过样本点的中心（x ，y ），利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确.【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错.5. 已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =1【答案】A【解析】设双曲线C ：22x a -22y b=1的半焦距为c ，则210,5c c ==.又 C 的渐近线为b y x a =±，点P （2,1）在C 的渐近线上，12ba∴= ，即2a b =.又222c a b =+，a ∴==，∴C 的方程为220x -25y =1.【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.6. 函数f （x ）=sinx-cos(x+6π)的值域为 A ． [ -2 ,2]C.[-1,1 ], ] 【答案】B【解析】f （x ）=sinx-cos(x+6π)1sin cos sin )226x x x x π=-+=-，[]sin()1,16x π-∈- ，()f x ∴值域为【点评】利用三角恒等变换把()f x 化成sin()A x ωϕ+的形式，利用[]sin()1,1x ωϕ+∈-，求得()f x 的值域.7. 在△ABC 中，AB=2，AC=3，AB BC= 1则___BC =.C.【答案】A【解析】由下图知AB BC= cos()2(cos )1AB BC B BC B π-=⨯⨯-= .1cos 2B BC∴=-.又由余弦定理知222cos 2AB BC AC B AB BC +-=⋅，解得BC =.【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意,AB BC的夹角为B ∠的外角.8．已知两条直线1l ：y =m 和2l ： y=821m +(m ＞0)，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于C,D .记线段AC 和BD 在X 轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，ba的最小值为 A．B.C.D.C【答案】B【解析】在同一坐标系中作出y=m ，y=821m +(m ＞0)，2log y x =图像如下图，由2log x = m ，得122,2mmx x -==，2log x = 821m +，得821821342,2m m x x +-+==.依照题意得8218218218212222,22,22m m mmmm m m b a b a++--+--+-=-=-=-821821222m m mm +++==.8141114312122222m m m m +=++-≥-=++，min ()b a ∴=【点评】在同一坐标系中作出y=m ，y=821m +(m ＞0)，2log y x =图像，结合图像可解得.二 、填空题： 本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（一）选做题（请考生在第9、10、 11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分 ） 9. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：1,12x t y t =+⎧⎨=-⎩ (t 为参数)与曲线2C ：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，0a >) 有一个公共点在X 轴上，则__a =. 【答案】32【解析】曲线1C ：1,12x t y t=+⎧⎨=-⎩直角坐标方程为32y x =-，与x 轴交点为3(,0)2；曲线2C ：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩直角坐标方程为22219x y a +=，其与x 轴交点为(,0),(,0)a a -，821m =+xm由0a >，曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在X 轴上，知32a =. 【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程，考查等价转化的思想方法等.曲线1C 与曲线2C 的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与x 轴交点，即可求得. 10.不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______. 【答案】14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【解析】令()2121f x x x =+--，则由()f x 13,()2141,(1)23,(1)x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪>⎪⎪⎩得()f x 0>的解集为14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭. 【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组）.11.如图2，过点P 的直线与圆O 相交于A ，B 两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O 的半径等于_______.【解析】设PO 交圆O 于C ，D ，如图，设圆的半径为R ，由割线定理知,1(12)(3-)(3),PA PB PC PD r r r ⋅=⋅⨯+=+∴=即【点评】本题考查切割线定理，考查数形结合思想，由切割线定理知PA PB PC PD ⋅=⋅，P从而求得圆的半径. (二)必做题（12~16题）12.已知复数2(3)z i =+ (i 为虚数单位)，则|z|=_____. 【答案】10【解析】2(3)z i =+=29686i i i ++=+，10z ==.【点评】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的(,)a bi a b R +∈形式，利用z =.13.()6的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答） 【答案】-160【解析】()6的展开式项公式是663166C (C 2(1)r r r r rr r r T x ---+==-.由题意知30,3r r -==，所以二项展开式中的常数项为33346C 2(1)160T =-=-.【点评】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法.14.如果执行如图3所示的程序框图，输入1x =-,n =3,则输出的数S = .【答案】4-【解析】输入1x =-,n =3,，执行过程如下：2:6233i S ==-++=-；1:3(1)115i S ==--++=；0:5(1)014i S ==-++=-，所以输出的是4-.【点评】本题考查算法流程图，要明白循环结构中的内容，一般解法是逐步执行，一步步将执行结果写出，特别是程序框图的执行次数不能出错.15.函数f （x ）=sin (x ωϕ+)的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A,C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点. （1）若6πϕ=，点P 的坐标为（0，2，则ω= ; （2）若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为.【答案】（1）3；（2）4π【解析】（1）()y f x '=cos()x ωωϕ=+，当6πϕ=，点P 的坐标为（0，2）时cos362πωω=∴=； （2）由图知222T AC ππωω===，122ABC S AC πω=⋅= ，设,A B 的横坐标分别为,a b .设曲线段ABC与x 轴所围成的区域的面积为S则()()sin()sin()2bbaaS f x dx f x a b ωϕωϕ'===+-+=⎰，由几何概型知该点在△ABC内的概率为224ABC S P S ππ=== . 【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，（1）利用点P 在图像上求ω，（2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.16.设N =2n （n ∈N *，n ≥2），将N 个数x 1,x 2,…，x N 依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，得到排列P 0=x 1x 2…x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N 和后2N个位置，得到排列P 1=x 1x 3…x N-1x 2x 4…x N ，将此操作称为C 变换，将P 1分成两段，每段2N个数，并对每段作C 变换，得到2p ；当2≤i ≤n-2时，将P i 分成2i 段，每段2i N个数，并对每段C 变换，得到P i+1，例如，当N=8时，P 2=x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，此时x 7位于P 2中的第4个位置.（1）当N=16时，x 7位于P 2中的第___个位置；（2）当N=2n （n ≥8）时，x 173位于P 4中的第___个位置. 【答案】（1）6；（2）43211n -⨯+【解析】（1）当N=16时,012345616P x x x x x x x = ,可设为(1,2,3,4,5,6,,16) ,113571524616P x x x x x x x x x = ,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16) , 2159133711152616P x x x x x x x x x x x = ,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16) , x 7位于P 2中的第6个位置,；（2）方法同（1）,归纳推理知x 173位于P 4中的第43211n -⨯+个位置.【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.（Ⅰ）确定x ，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率. （注：将频率视为概率）【解析】（1）由已知,得251055,35,y x y ++=+=所以15,20.x y ==该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得 153303251(1),( 1.5),(2),10020100101004p X p X p X =========201101( 2.5),(3).100510010p X p X ====== X 的分布为X 的数学期望为 33111()1 1.52 2.53 1.920104510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅱ）记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，(1,2)i X i =为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则121212()(11)(1 1.5)( 1.51)P A P X X P X X P X X ===+==+==且且且. 由于顾客的结算相互独立，且12,X X 的分布列都与X 的分布列相同，所以121212()(1)1)(1)( 1.5)( 1.5)(1)P A P X P X P X P X P X P X ==⨯=+=⨯=+=⨯=( 333333920202010102080=⨯+⨯+⨯=. 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980. 【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查分布列及数学期望的计算，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％知251010055%,35,y x y ++=⨯+=从而解得,x y ，计算每一个变量对应的概率，从而求得分布列和期望；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得 该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率.18.（本小题满分12分）如图5，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E 是CD 的中点. （Ⅰ）证明：CD ⊥平面PAE ； （Ⅱ）若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P-ABCD 的体积.【解析】解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC ，由AB=4，3BC =，90 5.ABC AC ∠==,得5,AD =又Ｅ是ＣＤ的中点，所以.CD AE ⊥,,PA ABCD CD ABCD ⊥⊂ 平面平面所以.PA CD ⊥而,PA AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE. （Ⅱ）过点Ｂ作,,,,.BG CD AE AD F G PF //分别与相交于连接由（Ⅰ）CD ⊥平面PAE 知，ＢＧ⊥平面PAE.于是BPF ∠为直线ＰＢ与平面PAE 所成的角，且BG AE ⊥.由PA ABCD ⊥平面知，PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角.4,2,,AB AG BG AF ==⊥由题意，知,PBA BPF ∠=∠因为sin ,sin ,PA BF PBA BPF PB PB∠=∠=所以.PA BF = 由90//,//,DAB ABC AD BC BG CD ∠=∠=知，又所以四边形BCDG 是平行四边形，故 3.GD BC ==于是 2.AG =在Rt ΔBAG 中，4,2,,AB AG BG AF ==⊥所以25AB BG BF BG =====于是5PA BF ==2111633V S PA =⨯⨯=⨯=解法2：如图（2），以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x y z 轴，轴，轴建立空间直角坐标系.设,PA h =则相关的各点坐标为：(4,0,0),(4,0,0),(4,3,0),(0,5,0),(2,4,0),(0,0,).A B C D E P h （Ⅰ）易知(4,2,0),(2,4,0),(0,0,).CD AE AP h =-==因为8800,0,CD AE CD AP ⋅=-++=⋅=所以,.CD AE CD AP ⊥⊥而,AP AE 是平面PAE内的两条相交直线，所以.CD PAE ⊥平面(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，,CD AP分别是PAE 平面，ABCD 平面的法向量，而PB 与PAE 平面所成的角和PB 与ABCD 平面所成的角相等，所以cos ,cos ,.CD PB PA PB CD PB PA PB CD PB PA PB ⋅⋅<>=<>=⋅⋅,即由（Ⅰ）知，(4,2,0),(0,0,),CD AP h =-=- 由(4,0,),PB h =-故=解得h =.21151633V S PA =⨯⨯=⨯=【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明PA CD ⊥即可，第二问算出梯形的面积和棱锥的高，由13V S PA =⨯⨯算得体积，或者建立空间直角坐标系，求得高几体积. 19.（本小题满分12分）已知数列{a n }的各项均为正数，记A （n ）=a 1+a 2+……+a n ，B （n ）=a 2+a 3+……+a n +1，C （n ）=a 3+a 4+……+a n +2，n =1,2，……（1） 若a 1=1，a 2=5，且对任意n ∈N ﹡，三个数A （n ），B （n ），C （n ）组成等差数列，求数列{ a n }的通项公式. （2） 证明：数列{ a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意N n *∈，三个数A （n ），B （n ），C （n ）组成公比为q 的等比数列.【解析】解（１）对任意N n *∈,三个数(),(),()A n B n C n 是等差数列，所以 ()()()(),B n A n C n B n -=- 即112,n n a a a ++-=亦即2121 4.n n a a a a +--=-=故数列{}n a 是首项为１，公差为４的等差数列.于是1(1)44 3.n a n n =+-⨯=- （Ⅱ）（１）必要性：若数列{}n a 是公比为ｑ的等比数列，则对任意N n *∈，有1.n nq a a -=由0n a >知，(),(),()A n B n C n 均大于０，于是12)2311212(......(),()......n n n nq a a a a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++231)342231231(......(),()......n n n n q a a a a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++ 即()()B n A n ＝()()C n B n ＝q ，所以三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列. （２）充分性：若对于任意N n *∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列， 则()(),()B n q A n C n q B n==，于是[]()()()(),C n B n q B n A n -=-得2211(),n n a a q a a ++-=-即 212.n n a qa a a ++-=-由1n =有(1)(1),B qA =即21a qa =，从而210n n a qa ++-=. 因为0n a >，所以2211n n a a q a a ++==，故数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列， 综上所述，数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N ﹡，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.20.（本小题满分13分）某企业接到生产3000台某产品的A ，B ，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２,２,１（单位：件）.已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k （k 为正整数）.（１）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间； （２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案. 【解析】 解：（Ⅰ）设完成A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为123(),(),(),T x T x T x 由题设有12323000100020001500(),(),(),6200(1)T x T x T x x x k x k x⨯====-+ 期中,,200(1)x kx k x -+均为1到200之间的正整数.（Ⅱ）完成订单任务的时间为{}123()max (),(),(),f x T x T x T x =其定义域为2000,.1x x x N k *⎧⎫<<∈⎨⎬+⎩⎭易知，12(),()T x T x 为减函数，3()T x 为增函数.注意到212()(),T x T x k=于是（1）当2k =时，12()(),T x T x = 此时{}1310001500()max (),()max ,2003f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，由函数13(),()T x T x 的单调性知，当100015002003x x=-时()f x 取得最小值，解得 4009x =.由于 134002503004445,(44)(44),(45)(45),(44)(45)91113f T f T f f <<====<而.故当44x =时完成订单任务的时间最短，且最短时间为250(44)11f =.（2）当2k >时，12()(),T x T x > 由于k 为正整数，故3k ≥，此时{}1375(),()max (),()50T x x T x T x xϕ==-易知()T x 为增函数，则 {}13()max (),()f x T x T x = {}1max (),()T x T x ≥1000375()max ,50x x x ϕ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭.由函数1(),()T x T x 的单调性知，当100037550x x =-时()x ϕ取得最小值，解得40011x =.由于14002502503752503637,(36)(36),(37)(37),119111311T T ϕϕ<<==>==>而此时完成订单任务的最短时间大于25011.（3）当2k <时，12()(),T x T x < 由于k 为正整数，故1k =，此时{}232000750()max (),()max ,.100f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭由函数23(),()T x T x 的单调性知，当2000750100x x =-时()f x 取得最小值，解得80011x =.类似（1）的讨论.此时 完成订单任务的最短时间为2509，大于25011.综上所述，当2k =时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数分别为44,88,68.【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想.21.（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的点均在C 2：（x-5）2＋y 2=9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线C 1的方程；（Ⅱ）设P(x 0,y 0)（y 0≠±3）为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D.证明：当P 在直线x=﹣4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值.【解析】（Ⅰ）解法1 ：设M 的坐标为(,)x y ，由已知得23x +=，易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>，所以5x =+.化简得曲线1C 的方程为220y x =.解法2 ：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =.（Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4),y y k x -=+0即kx-y+y +4k=0.于是3.=整理得2200721890.k y k y ++-= ①设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根，故001218.724y yk k +=-=- ②由101240,20,k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩得21012020(4)0.k y y y k -++= ③ 设四点A,B,C,D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则是方程③的两个实根，所以0112120(4).y k y y k +⋅=④同理可得0234220(4).y k y y k +⋅=⑤于是由②，④，⑤三式得010*******400(4)(4)y k y k y y y y k k ++=2012012124004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦=22001212400166400y y k k k k ⎡⎤-+⎣⎦=.所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6400.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到,,,A B C D 四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想.22.（本小题满分13分）已知函数()f x =ax e x =-，其中a ≠0.（1） 若对一切x ∈R ，()f x ≥1恒成立，求a 的取值集合.（2）在函数()f x 的图像上取定两点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 12()x x <，记直线AB 的斜率为K ，问：是否存在x 0∈（x 1，x 2），使0()f x k '>成立？若存在，求0x 的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】（Ⅰ）若0a <，则对一切0x >，()f x 1axe x =-<，这与题设矛盾，又0a ≠， 故0a >.而()1,axf x ae '=-令11()0,ln .f x x a a'==得 当11ln x a a <时，()0,()f x f x '<单调递减；当11ln x a a >时，()0,()f x f x '>单调递增，故当11ln x a a =时，()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a=-于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立，当且仅当111ln 1a a a-≥. ① 令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-当01t <<时，()0,()g t g t '>单调递增；当1t >时，()0,()g t g t '<单调递减. 故当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =.因此，当且仅当11a=即1a =时，①式成立. 综上所述，a 的取值集合为{}1.（Ⅱ）由题意知，21212121()() 1.ax ax f x f x e e k x x x x --==--- 令2121()(),ax ax axe e xf x k ae x x ϕ-'=-=--则 121()12121()()1,ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦- 212()21221()()1.ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦- 令()1t F t e t =--，则()1tF t e '=-.当0t <时，()0,()F t F t '<单调递减；当0t >时，()0,()F t F t '>单调递增. 故当0t =，()(0)0,F t F >=即10.te t --> 从而21()21()10a x x ea x x ---->，12()12()10,a x x ea x x ---->又1210,ax e x x >-2210,ax e x x >- 所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ>因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=2()0,()axx a ex ϕϕ'=>单调递增，故这样的c 是唯一的，且21211ln ()ax ax e e c a a x x -=-.故当且仅当212211(ln,)()ax ax e e x x a a x x -∈-时， 0()f x k '>. 综上所述，存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立.且0x 的取值范围为212211(ln ,)()ax ax e e x a a x x --.【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a=-对一切x ∈R ，f(x) ≥1恒成立转化为m i n ()1f x ≥，从而得出a 的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.。
湖南省2012届高三4月第二次十二校联考理科综合试题()
湖南省2012届高三4月第二次十二校联考(理科综合）（2012。
04）总分：300分时量：150分钟考试时间：2012年4月7日上午9:00〜11：30注意事项:1. 本试题卷分选择题和非选择题两部分,共16页。
时量150分钟，满分300分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和本试题卷上。
2. 回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试题卷和草稿纸上无效。
3。
回答非选择题时,用0。
5毫米黑色墨水签字笔将答案按题号写在答题卡上。
写在本试题卷和草稿纸上无效.4。
考试结束时,将本试题卷和答题卡一并交回.可能用到的相对原子质量：H〜1 D〜2 C〜12 N〜14 O〜16 F〜19 Na〜23Ca 〜40第I卷（选择题,共126分）―、选择题（本题共13小题，每小题6分，共78分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1。
下列有关细胞的叙述，正确的是①硝化细菌、霉菌、颤藻的细胞都含有核糖体、DNA和RNA②细胞学说揭示了“老细胞为什么要产生新细胞”③柳树叶肉细胞的细胞核、叶绿体和线粒体中均能发生碱基互补配对现象④胆固醇、磷脂、维生素D都属于固醇⑤蛙红细胞、人肝细胞、洋葱根尖分生区细胞并不都有细胞周期,但这些细胞内的化学成分都不断更新A。
①③⑤B。
②④⑤C。
②③④D。
②③⑤2。
近年来大棚种植越来越受到农民朋友的欢迎，不管是在温暖的南方还是在寒冷的东北，都能见到大棚和大棚生产的蔬菜瓜果.下列哪一个不是建设大棚的原因A。
大棚种植可以减少虫害的发生，减少农药的使用量B。
大棚种植，可以改变昼夜温差，增加植物体中有机物的积累C. 大棚种植，可以防止基因突变，防止植物变种D。
大棚种植，可以减少水资源的浪费3。
科学的研究方法是取得成功的关键。
下表中不符合事实的是4。
对下列各图所表示的生物学意义的描述，正确的是A. 甲图中每对基因的遗传都遵守自由组合定律B. 乙图细胞是处于有丝分裂后期的细胞,该生物正常体细胞的染色体数为8条C。
湖南省十二校2012届高三4月第二次联考文科综合试题
湖南省2012届高三•十二校联考第二次考试文科综合能力测试时量：150分钟满分：300分考试时间:2012年4月7日上午9：00〜11:30注意事项：1。
本试题卷分选择题和非选择题两部分,共16页。
时量150分钟,满分300分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和本试题卷上.2. 回答选择题时,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试题卷和草稿纸上无效。
3. 回答非选择题时,用0。
5毫米黑色墨水签字笔将答案按题号写在答题卡上。
写在本试题卷和草稿纸上无效.4. 考试结束时，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共35个小题，每小题4分，共140分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
下图为“我国沿海某省1960〜2060年间出生率与死亡率的变化及预测图”读图完成1〜2题.1.关于该省人口自然变化的叙述,正确的是A. a曲线1970年后变化的主要原因是经济快速发展B。
b曲线1980年后缓慢上升与a曲线变化无关C。
在K时间点之后，人口总量仍将继续增长D. 1985年处于高出生率、低死亡率、高自然增长率阶段2. 根据该省人口增长状况分析，下列叙述正确的是A. 在现阶段应该取消控制生育的政策以减轻人口老龄化带来的问题B. 从长远来看，a曲线的下降将会影响我国经济发展的后劲C。
由于人口增长率的持续下降，目前我国劳动力巳经实现充分就业D. 目前a曲线的变化巳导致劳动人口减少而严重制约经济的发展台湾很多劳动密集型产业因大量外移而没落，但彰化县社头乡的织袜工业并未大量外移，反而是以维持其家庭外包的生产方式继续留驻而成为当地的产业特色。
结合所学知识回答3〜4题.3。
社头乡的织袜业以家庭代工来取代工厂的一贯化作业方式,具有哪些经营上的优势①工资可降低至接近中国大陆的工资水平②原料、半成品与产品间的运输成本可以降低③使生产更具弹性，量小和量大的订单均可承接④降低厂房、机器等固定成本⑤可快速反应市场变化，更新产品设计A.①②③B.②③⑤C。
2012年高考理科数学湖南卷(含答案解析)
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页.时量120分钟.满分150分. 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合21,0,1,{}{|}M N x x x =-=≤,则M N = ( ) A .{0} B .{0,1} C .{-1,1} D .{-1,0,1}2.命题“若π4α=,则tan 1α=”的逆否命题是( )A .若π4α≠,则tan 1α≠B .若π4α=,则tan 1α≠C .若tan 1α≠,则π4α≠D .若tan 1α≠,则π4α=3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能．．．是 ( )A B C D4.设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系,根据一 组样本数据(,)i i x y (1,2,,)i n =,用最小二乘法建立的回归方程为0.8585.71y x =-,则下 列结论中不正确．．．的是( )A .y 与x 具有正的线性相关关系B .回归直线过样本点的中心(,)x yC .若该大学某女生身高增加1 cm ,则其体重约增加0.85 kgD .若该大学某女生身高为170 cm ,则可断定其体重必为58.79 kg5.已知双曲线2222:1x y C a b-=的焦距为10,点(2,1)P 在C 的渐近线上,则C 的方程为( )A .221205x y -=B .221520x y -=C .2218020x y -= D .2212080x y -= 6.函数π()sin cos()6f x x x =-+的值域为 （ ）A .[]2,2- B.[ C .[]1,1- D.[227.在ABC △中,2,3AB AC ==,AB BC =1,则BC =( )ABC.D8.已知两条直线1:l y m =和28:(0)21l y m m =>+,1l 与函数2|log |y x =的图象从左至右相交于点A B ,,2l 与函数2|log |y x =的图象从左至右相交于点C D ,.记线段AC 和BD 在x轴上的投影长度分别为a ,b .当m 变化时,ba的最小值为 ( )A. B. C. D.二、填空题：本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分.把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上.（一）选做题（请考生在第9,10,11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分）9.在直角坐标系xOy 中,已知曲线11,:12,x t C y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线2sin :3cos x a C y θ,θ,=⎧⎨=⎩（θ为参数,0a >）有一个公共点在x 轴上,则a = . 10.不等式|21|2|1|0x x +-->的解集为 .11.如图2,过点P 的直线与圆⊙O 相交于A ,B 两点.若1,2,PA AB ==3PO =,则圆O 的半径等于 .12.已知复数2i)(3z =+（i 为虚数单位）,则|z |= .13.6的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答） 14.如果执行如图3所示的程序框图,输入1,3x n =-=,则输出的数S = . 15.函数()sin()f x x ωϕ=+的导函数()y f x '=的部分图象如图4所示,其中,P 为图象与y 轴的交点,,A C 为图象与x 轴的两个交点,B 为图象的最低点. （1）若π6ϕ=,点P的坐标为,则ω= ；（2）若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在ABC △内的概率 为 .16.设2(,2)n N n n =∈*≥N ,将N 个数12,,,N x x x 依次放入编号为1,2,,N 的N 个位置,得到排列012N P x x x =.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前2N 和后2N个位置,得到排列113124N N P x x x x x x -=,将此操作称为C 变换.将1P 分成两段,每段2N个数,并对每段作C 变换,得到2P ；当22i n -≤≤时,将i P 分成2i 段,每段2i N个数,并对每段作C 变换,得到1i P +.例如,当8N =时,215372648P x x x x x x x x =,此时7x 位于2P 中的第4个位置.（1）当16N =时,7x 位于2P 中的第 个位置；（2）当2(8)n N n =≥时,173x 位于4P 中的第 个位置.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购 物的100位顾客的相关数据,如下表所示.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.（Ⅰ）确定,x y 的值,并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望； （Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率. （注：将频率视为概率）18.（本小题满分12分）如图5,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,4,3,5,AB BC AD ===90,DAB ABC E ∠=∠=是CD 的中点.（Ⅰ）证明：CD ⊥平面PAE ；（Ⅱ）若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等,求四棱锥P ABCD -的体积.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数,记()A n =12n a a a +++,()B n =231n a a a ++++,()C n =342n a a a ++++,=1,2,n .（Ⅰ）若121,5a a ==,且对任意n ∈N*,三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列,求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N*,三个 数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.20.（本小题满分13分）某企业接到生产3 000台某产品的A ,B ,C 三种部件的订单,每台产品需要这三种部件 的数量分别为2,2,1（单位：件）.已知每个工人每天可生产A 部件6 件,或B 部件3 件,或C 部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比,比例系数为k （k 为正整数）.（Ⅰ）设生产A 部件的人数为x ,分别写出完成A ,B ,C 三种部件生产需要的时间；（Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k 的值,使完成订单任务的时间最 短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.21.（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中,曲线1C 上的点均在222:(5)9C x y -+=外,且对1C 上任意一点,M M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值.（Ⅰ）求曲线1C 的方程；（Ⅱ）设000(,)(3)P x y y ≠±为圆2C 外一点,过P 作圆2C 的两条切线,分别与曲线1C 相交 于点,A B 和,C D .证明：当P 在直线4x =-上运动时,四点,,,A B C D 的纵坐标之积为 定值.22.（本小题满分13分）已知函数()e axf x x =-,其中0a ≠.（Ⅰ）若对一切x ∈R ,()1f x ≥恒成立,求a 的取值集合；（Ⅱ）在函数()f x 的图象上取定两点112212(,()),(,())()A x f x B x f x x x <,记直线AB 的斜率为k .问：是否存在012(,)x x x ∈,使0()f x k '>成立？若存在,求0x 的取值范围；若不存在,请说明理由.2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题CBDPE图5A1.【答案】B 【解析】{0,1}N =，{1,0,1}M =-，{0,1}M N ∴=．【提示】先求出{0,1}N =，再利用交集定义得出MN ．【考点】集合的基本运算（交集） 2.【答案】C【解析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，所以“若π4α=，则t a n 1α=”的逆否命题是“若tan 1,α≠则π4α≠”．【提示】根据命题“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，即可求它的逆否命题． 【考点】四种命题及其之间的关系 3.【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，A ，B ，C ，都可能是该几何体的俯视图，D 不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形．【提示】根据已知的平面图形的正视图和侧视图，即可求出它的俯视图． 【考点】平面图形的直观图与三视图 4.【答案】D【解析】由回归方程为0.85571ˆ8.x y-=知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程的过程知ˆ()ybx a bx y bx a y bx =+=+-=-，所以回归直线过样本点的中心(,)x y ，利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确．【提示】根据两变量之间的回归方程，即可判断两者之间的关系． 【考点】线性回归分析 5.【答案】A【解析】设双曲线22221x a C yb -=:的半焦距为c ，则210c =，5c =， 又C 的渐近线为by x a=±，点P （2，1）在C 的渐近线上，12ba∴=⨯，即2a b =，又222c a b =+，a ∴=b =C ∴的方程为221205x y -=．【提示】根据给出的双曲线的焦距及其渐近线上一点，即可求出双曲线的标准方程．【考点】双曲线的标准方程 6.【答案】B【解析】π1π()sin cos sin sin 626f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， πsin [1,1]6x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x ∴值域为[．【提示】根据给出的三角函数表达式，结合两角差的正弦即可求出其值域． 【考点】两角差的正弦，三角函数的值域 7.【答案】A【解析】由图知，||||cos(π)2||(cos )1AB BC AB BC B BC B =-=⨯⨯-=，1cos 2B BC∴=-，又由余弦定理知222cos 2AB BC AC B AB BC +-=，解得BC =．【提示】根据给出的三角形两边及数量积，结合数量积运算及余弦定理即可求解另一边． 【考点】平面向量的数量积运算，余弦定理8.【答案】B【解析】在同一坐标系中作出y m =，8(0)21y m m =>+，2|log |y x =图象如图， 由2|log |x m =，得12m x -=，22mx =，由28|log |21x m =+，得82132m x -+=，82142m x +=，依照题意得82122mm a --+=-，82122m mb +=-，8218218218212222222m m mm mm m m b a++++--+-===-，8141114312122222m m m m +=++-≥-=++，minb a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭【提示】根据给出的三个函数表达式，画出函数图象，结合图象与不等式即可判断b a最小值．【考点】函数图象的应用，基本不等式 二、填空题 9.【答案】32【解析】曲线1112x t C y t=+⎧⎨=-⎩：，直角坐标方程为32y x =-，与x 轴交点为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；曲线2sin 3cos x a C y θθ=⎧⎨=⎩：，直角坐标方程为22219x y a +=，其与x 轴交点为(,0)a -，(,0)a ， 由0a >，曲线1C 与曲线2C有一个公共点在x 轴上，知32a =． 【提示】根据给出的两条直线的参数方程与极坐标方程，分别转化成直角坐标方程，根据题意设交点求解．【考点】参数方程与普通方程的转化，极坐标方程与普通方程的转化10.【答案】14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【解析】令()|21|2|1|f x x x =+--，则由13,()21()41,(1)23,(1)x f x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪>⎪⎪⎩，得()0f x >的解集为14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．【提示】设函数表达式，求其等价的分段函数，再分段求其大于零时的解集即可． 【考点】绝对值不等式 11.【解析】设PO 交圆O 于C ，D ，如图，设圆的半径为r ，由割线定理知PA PB PC PD =， 即1(12)(3)(3)r r ⨯+=-+，r ∴=．【提示】根据给出的线段长，由切割线定理PA PB PC PD =，即可求出圆的半径． 【考点】切割线定理 12.【答案】10【解析】22(3i)96i i 86i z =+=++=+，||10z ==． 【提示】根据给出的复数表达式，进行四则运算，即可求出其模． 【考点】复数代数形式的四则运算 13.【答案】160-【解析】6⎛ ⎝的展开式项公式是6631662(1)rr r r r r rr T C C x ---+⎛==- ⎝， 由题意知30r -=，3r =，所以二项展开式中的常数项为333462(1)160T C =-=-． 【提示】根据给出的二项式，即可求出其展开式的常数项．【考点】二项式定理 14.【答案】4-【解析】输入1x =-，3n =，执行过程如下：2i =，6233S =-++=-；1i =，3(1)115S =--++=；0i =，5(1)014S =-++=-，所以输出的是4-．【提示】根据程序框图的逻辑关系，并根据程序框图即可求出S 的值． 【考点】循环结构的程序框图 15.【答案】3π4【解析】①()cos()y f x x ωωϕ'==+，当π6ϕ=，点P的坐标为⎛ ⎝⎭时，πcos 6ω= 3ω∴=；②由图知2ππ22T AC ωω===，1π22ABC S AC ω==△， 设A ，B 的横坐标分别为a ，b ，设曲线段弧ABC 与x 轴所围成的区域的面积为S ， 则()()sin()sin()2bbaaS f x dx f x a b ωϕωϕ'===+-+=⎰，由几何概型知该点在△ABC 内的概率为π2π24ABC S P S ===△． 【提示】根据给出的函数导数的图象判断ω的大小，由定积分求面积，并结合概率求解即可．【考点】函数图象的应用，定积分的几何意义，几何概型 16.【答案】643211n -⨯+【解析】①当16N =时，0123456P x x x x x x x =…，可设为(1,2,3,4,5,6,…，113571524616P x x x x x x x x x =……，即为(1,3,5……，2159133711152616P x x x x x x x x x x x =…，即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16)…，7x 位于2P 中的第6个位置；②方法同①，归纳推理知173x 位于4P 中的第43211n -⨯+个位置．【提示】根据题意归纳推理求解即可． 【考点】归纳推理 三、解答题17.【答案】（Ⅰ）由已知，得251055y ++=，35x y +=，所以15x =，20y =，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率，得：153(1)10020P X ===， 303( 1.5)10010P X ===，251(2)1004P X ===，X 的数学期望为()1 1.52 2.53 1.920104510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（Ⅱ）记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2．5分钟”，(1,2)i X i =为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则121212()(11)(1 1.5)( 1.51)P A P X X P X X P X X ===+==+==且且且，由于顾客的结算相互独立，且1X ，2X 的分布列都与X 的分布列相同，所以121212()(1)1)(1)( 1.5)( 1.5)(1)P A P X P X P X P X PX P X ==⨯=+=⨯=+=⨯=(333333920202010102080=⨯+⨯+⨯=． 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980． 【提示】根据给出的数据求分布列与期望，判断事件之间互斥关系，从而求得对立事件的概率即可．【考点】用样本数字特征估计总体数字特征，对立事件的概率18.【答案】（Ⅰ）如图，连接AC ，由4AB =，3BC =，90ABC ∠=，得5AC =， 又5AD =，E 是CD 的中点，所以CD AE ⊥，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，而PA ，AE 是平面PAE 内的两条相交直线， 所以CD ⊥平面PAE ；（Ⅱ）过点B 作BG CD ∥，分别与AE ，AD 相交于F ，G 连结PF ， 由（Ⅰ）CD ⊥平面PAE 知，BG ⊥平面PAE ，于是BPF ∠为直线PB 与平面PAE 所成的角，且BG AE ⊥，由PA ⊥平面ABCD 知，PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，4AB =，2AG =，BG AF ⊥由题意，知PBA BPF ∠=∠，因为sin PA PBA PB ∠=，sin BFBPF PB∠=，所以PA BF =，由90DAB ABC ∠=∠=， 知，AD BC ∥，又BG CD ∥，所以四边形BCDG 是平行四边形，故3GD BC ==，于是2AG =，在Rt BAG △中，4AB =，2AG =，BG AF ⊥，所以BG =，2AB BF BG ===于是PA BF ==， 又梯形ABCD 的面积为1(53)4162S =⨯+⨯=，所以四棱锥P ABCD -的体积为111633V S PA =⨯⨯=⨯=【解析二】如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设PA h =，则相关的各点坐标为：(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(4,3,0)C ，(0,5,0)D ，(2,4,0)E ，(0,0,)P h ；（Ⅰ）易知(4,2,0)CD =-，(2,4,0)AE =，(0,0,)AP h =，8800CD AE =-++=，0CD AP =，所以CD AE ⊥，CD AP ⊥，而AP ，AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE ；（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知，CD ，AP 分别是平面PAE ，平面ABCD 的法向量，而PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，所以cos ,cos ,CD PB PA PB <>=<>，即||||||||C D P BP A P BC D P B P A P B =，由（Ⅰ）知，(4,2,0)CD =-，(0,0,)AP h=-由(4,0,)PB h =-，故2216516h hh++，解得5h =，又梯形ABCD 的面积为1(53)4162S =⨯+⨯=，所以四棱锥P ABCD -的体积为1112851633V S PA =⨯⨯=⨯=【提示】根据定理判定线面垂直；找出四棱锥的高求其体积． 【考点】直线与平面垂直的判定，四棱锥的体积19.【答案】（Ⅰ）对任意n *∈N ，三个数()A n ，()B n ，()C n 是等差数列，所以()()()()B n A n C n B n -=-，即1122n n a a a a ++-=-，亦即21214n n a a a a +--=-=，故数列{}n a 是首项为1，公差为4的等差数列，于是1(1)443n a n n =+-⨯=-； （Ⅱ）①必要性：若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则对任意n *∈N ，有1n n a a q +=， 由0n a >知，()A n ，()B n ，()C n 均大于0，于是231121212()()()n n n na a a q a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++…………， 342231231231()()()n n n n a a a q a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++…………， 即()()()()B nC n q A n B n ==， 所以三个数()A n ，()B n ，()C n 组成公比为q 的等比数列；②充分性：若对于任意n *∈N ，三个数()A n ，()B n ，()C n 组成公比为q 的等比数列， 则()()B n qA n =，()()C n qB n =，于是()()[()()]C n B n q B n A n -=-， 得2211()n n a a q a a ++-=-，即2121n n a qa a a ++-=-， 由1n =有(1)(1)B qA =，即21a qa =，从而210n n a qa ++-=， 因为0n a >，所以2211n n a a q a a ++==， 故数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列．综上所述，数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n *∈N ，三个数()A n ，()B n ，()C n 组成公比为q 的等比数列．【提示】根据给出的三个关系式，根据三者之间的关系结合等差、等比性质求解即可． 【考点】等差数列的通项公式，等比数列的性质20.【答案】（Ⅰ）设完成A ，B ，C 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为1()T x ，2()T x ，3()T x 由题设有1230001000()6T x x x ⨯==，22000()T x kx=，31500()200(1)T x k x =-+，其中x ，kx ，200(1)k x -+均为1到200之间的正整数；（Ⅱ）完成订单任务的时间为{}123()max (),(),()f x T x T x T x =，其定义域为2000,1x x x k *⎧⎫<<∈⎨⎬+⎩⎭N ， 易知，1()T x ，2()T x 为减函数，3()T x 为增函数，注意到212()()T x T x k=，于是：①当2k =时，12()()T x T x =，此时{}1310001500()max (),()max ,2003f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭， 由函数1()T x ，3()T x 的单调性知，当100015002003x x=-时()f x 取得最小值，解得4009x =，由于40044459<<，而1250(44)(44)11f T ==，3300(45)(45)13f T ==，(44)(45)f f <， 故当44x =时完成订单任务的时间最短，且最短时间为250(44)11f =；②当2k >时，12()()T x T x >，由于k 为正整数，故3k ≥，此时375()50T x x=-，{}1()max (),()x T x T x ϕ=易知()T x 为增函数，则{}{}1311000375()max (),()max (),()()max ,50f x T x T x T x T x x x x ϕ⎧⎫=≥==⎨⎬-⎩⎭，由函数1()T x ，()T x 的单调性知，当100037550x x =-时()x ϕ取得最小值，解得40011x =，由于400363711<<而1250250(36)(36)911T ϕ==>，375250(37)(37)1311T ϕ==>，此时完成订单任务的最短时间大于25011；③当2k <时，12()()T x T x <，由于k 为正整数，故1k =，此时{}232000750()max (),()max ,100f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，由函数2()T x ，3()T x 的单调性知， 当2000750100x x =-时()f x 取得最小值，解得80011x =， 类似①的讨论，此时完成订单任务的最短时间为2509，大于25011．综上所述，当2k =时完成订单任务的时间最短，此时生产A ，B ，C 三种部件的人数分别为44，88，68．【提示】根据题意建立模型，判断单调性求最值即可．【考点】分段函数模型，函数单调性的判断，利用函数单调性求最值21.【答案】（Ⅰ）解法一：设M 的坐标为(,)x y，由已知得|2|3x +，易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧，于是20x +>，5x =+，化简得曲线1C 的方程为220y x =；解法二：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =；（Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4)y y k x -=+，即040kx y y k -++=，于是3=，整理得2200721890k y k y ++-=①，设过P 所作的两条切线PA ，PC 的斜率分别为1k ，2k ，则1y ，2y 是方程①的两个实根，故001218724y y k k +=-=-②，由10124020k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩，得21012020(4)0k y y y k -++=③，设四点A ，B ，C ，D 的纵坐标分别为1y ，2y ，3y ，4y ，则1k ，2k 是方程③的两个实根，所以0112120(4)y k y y k +=④，同理可得0234220(4)y k y y k +=⑤，于是由②，④，⑤三式，得0102123412400(4)(4)y k y k y y y y k k ++= 2012012124004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦=2201212400166400y y k k k k ⎡⎤-+⎣⎦==．所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6400． 【提示】根据给出的圆的方程及两曲线之间的关系，联立方程由韦达定理即可求解． 【考点】曲线与方程，直线与曲线的位置关系 22.【答案】（Ⅰ）{1}（Ⅱ）0x 的取值范围为212211e e ln,()ax ax x a a x x ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦【解析】（Ⅰ）若0a <，则对一切0x >，()f x e 1ax x =-<，这与题设矛盾，又0a ≠，故0a >，而()e 1ax f x a '=-，令()0f x '=，得11lnx aa =，当11ln x a a<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当11ln x a a >时，()0f x '>，()f x 单调递增．故当11ln x a a=时，()f x 取最小值11111ln ln f a a a a a⎛⎫=- ⎪⎝⎭，于是对一切x ∈R ，()1f x ≥恒成立，当且仅当111ln 1a a a-≥，令()ln g t t t t =-，则()ln g t t '=-，当01t <<时，()0g t '>，()g t 单调递增；当1t >时，()0g t '<，()g t 单调递减．故当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =，因此，当且仅当11a=即1a =时，a 的取值集合为{1}； （Ⅱ）由题意知，21212121()()e e 1ax ax f x f x k x x x x --==---，令2121e e ()()e ax ax axx f x k a x x ϕ-'=-=--，则121()12121e ()[e ()1]ax a x x x a x x x x ϕ-=-----，212()21221e ()[e ()1]ax a x x x a x x x x ϕ-=----， 令()e 1tF t t =--，则()e 1tF t '=-．当0t <时，()0F t '<，()F t 单调递减；当0t >时，()0F t '>，()F t 单调递增． 故当0t =，()(0)0F t F >=，即e 10t t -->， 从而21()21e()10a x x a x x ---->，12()12e()10a x x a x x ---->，又121e 0ax x x >-，221e 0ax x x >-， 所以1()0x ϕ<，2()0x ϕ>，因为函数()y x ϕ=在区间12[,]x x 上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在012(,)x x x ∈使0()0x ϕ=，2()e 0axx a ϕ'=>，()x ϕ单调递增，故这样的c 是唯一的，且21211e e ln ()ax ax c a a x x -=-，故当且仅当212211e e ln ,()ax ax x x a a x x ⎡⎤-∈⎢⎥-⎣⎦时，0()f x k '>．综上所述，存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立，且0x 的取值范围为212211e e ln ,()ax ax x a a x x ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦． 【提示】给出函数解析式，利用导数判断函数单调性求参数的取值范围；利用导数判断段单调性并求不等式．【考点】利用导数判断或求函数的单调区间，利用导数解决不等式问题。
湖南省十二校高三第二次联考理数试题含答案
7．定义在R 上的函数)(x f 满足)(,2,0)()4(x f x x f x f 当单调递增，如果
04224212121x x x x x x 且，则)()(21x f x f 的值
A ．恒小于0
B ．恒大于0
C ．可能为0
D ．可正可负8．若]([],[)
(x x x x 表示不超过x 的最大整数)，则方程}{201220131x x 的实数解的个数是
A ．1
B ．0
C ．2
D ．4 21．抛物线C 的方程为)0(2a ax y ，过抛物线C 上一点P （00,y x ）（x 0≠0）
，作斜率为k 1，k 2的两条直线，分别交抛物线
C 于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点（P 、A 、B 三点互不相同），且满足2k +)1-0(01且k ．
（1）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；
（2）设直线AB 上一点M 满足MA BM ，证明：线段PM 的中点在y 轴上；
（3）当λ=l 时，若点P 的坐标为（1，一1），求么．PAB 为钝角时，点
A 的纵坐标的取值范围。
22．已知函数)(x f 的定义域为[0，1]，且同时满足：对任意;3)1(,2)(]1,0[f x f x
，总有若2)()
()(,10,021212121x f x f x x f x x x x 则有且。
（1）求)0(f 的最大值；
（2）试求)(x f 的最大值；
（3）设数列}{n a 的前n 项和为S n ，且满足21,11
n
S a ,),3(*N n a n 求证：.
321223
)()()(121n n n a f a f a f。
2012年高考湖南理科数学试卷和答案(word完美解析版)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合}1,0,1{-=M ，}{2x x x N ≤=，则=N MA ．}0{B ．}1,0{C ．}1,1{-D ．}1,0,1{- 【答案】B【解析】{}0,1N = M={-1,0,1} ∴M ∩N={0,1}. 【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分. 先求出{}0,1N =,再利用交集定义得出M ∩N.2．命题“若4πα=，则1tan =α”的逆否命题是A ．若4πα≠，则1tan ≠α B ．若4πα=，则1tan ≠αC ．若1tan ≠α，则4πα≠ D ．若1tan ≠α，则4πα=【答案】C【解析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，所以 “若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是 “若tan α≠1，则α≠4π”. 【点评】本题考查了“若p ，则q ”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力.3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是A B C D 【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型.4．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据),(i i y x ),,2,1(n i =，用最小二乘法建立的回归方程为71.8585.0ˆ-=x y ，则下列结论中不正确．．．的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心),(y xC ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加85.0kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为79.58kg 【答案】D【解析】由回归方程为 y =0.85x-85.71知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知ˆ()ybx a bx y bx a y bx =+=+-=-，所以回归直线过样本点的中心（x ，y ），利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确. 【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错.5．已知双曲线1:2222=-by a x C 的焦距为10 ，点)1,2(P 在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．152022=-y x B ．120522=-y x C ．1208022=-y x D ．1802022=-y x 【答案】A【解析】设双曲线C ：22x a -22y b=1的半焦距为c ，则210,5c c ==.又 C 的渐近线为b y x a =±，点P （2,1）在C 的渐近线上，12ba∴= ，即2a b =.又222c a b =+，a ∴==∴C 的方程为220x -25y =1.【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.6．函数)6cos(sin )(π+-=x x x f 的值域为A ．]2,2[-B ．]3,3[-C ．]1,1[-D ．]23,23[- 【答案】B【解析】f （x ）=sinx-cos(x+6π)1sin sin )26x x x x π=+=-，[]sin()1,16x π-∈- ，()f x ∴值域为【点评】利用三角恒等变换把()f x 化成sin()A x ωϕ+的形式，利用[]sin()1,1x ωϕ+∈-，求得()f x 的值域.7．在ABC ∆中，2=AB ，3=AC ，1=⋅BC AB ，则=BCA B C ． D 【答案】A【解析】由下图知AB BC = cos()2(cos )1AB BC B BC B π-=⨯⨯-=.1cos 2B BC∴=-.又由余弦定理知222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，解得BC =【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意,AB BC的夹角为B ∠的外角.8．已知两条直线m y l =:1和)0(128:2>+=m m y l ，1l 与函数x y 2log =的图像从左至右相交于点B A ,，2l 与函数x y 2log =的图像从左至右相交于点D C ,．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为b a ,．当m 变化时，ba的最小值为 A． B． C ．348 D ．344 【答案】B【解析】在同一坐标系中作出y=m ，y=821m +(m ＞0)，2log y x =图像如下图，由2log x = m ，得122,2mmx x -==，2log x = 821m +，得821821342,2m m x x +-+==.依照题意得8218218218212222,22,22m m mmmm m m b a b a++--+--+-=-=-=-821821222m m mm +++==.8141114312122222m m m m +=++-≥-=++，min ()b a ∴=【点评】在同一坐标系中作出y=m ，y=821m +(m ＞0)，2log y x =图像，结合图像可C821m =+xm解得.二、填空题： 本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分，把答案填在答．题卡．．中对应题号后的横线上． （一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9． 在直角坐标系xOy 中，已知曲线⎩⎨⎧-=+=t y t x C 21,1:1（t 为参数）与曲线⎩⎨⎧==θθcos 3,sin :2y a x C （θ为参数，0>a ）有一个公共点在x 轴上，则=a ． 【答案】32【解析】曲线1C ：1,12x t y t=+⎧⎨=-⎩直角坐标方程为32y x =-，与x 轴交点为3(,0)2；曲线2C ：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩直角坐标方程为22219x y a +=，其与x 轴交点为(,0),(,0)a a -， 由0a >，曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在X 轴上，知32a =. 【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程，考查等价转化的思想方法等.曲线1C 与曲线2C 的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与x 轴交点，即可求得.10．不等式01212>--+x x 的解集为 ． 【答案】14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【解析】令()2121f x x x =+--，则由()f x 13,()2141,(1)23,(1)x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪>⎪⎪⎩得()f x 0>的解集为14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组）.11．如图2，过点P 的直线与⊙O 相交于B A ,两点．若1=PA ，2=AB ，3=PO ，则⊙O 的半径等于 ．【答案】14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【解析】令()2121f x x x =+--，则由()f x 13,()2141,(1)23,(1)x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪>⎪⎪⎩得()f x 0>的解集为14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组）.（二）必做题（12～16题）12．已知复数2)3(i z +=（i 为虚数单位)，则=z ． 【答案】10【解析】2(3)z i =+=29686i i i ++=+，10z ==.【点评】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的(,)a bi a b R +∈形式，利用z =.13．6)12(xx -的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答）【答案】-160 【解析】()6的展开式项公式是663166C (C 2(1)r r r r rr r r T x ---+==-.由题意知30,3r r -==，所以二项展开式中的常数项为33346C 2(1)160T =-=-.【点评】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法.14．如果执行如图3所示的程序框图，输入3,1=-=n x ，则输出的数=S ．【答案】4-【解析】输入1x =-,n =3,，执行过程如下：2:6233i S ==-++=-；1:3(1)115i S ==--++=；0:5(1)014i S ==-++=-，所以输出的是4-.【点评】本题考查算法流程图，要明白循环结构中的内容，一般解法是逐步执行，一步步将执行结果写出，特别是程序框图的执行次数不能出错.15．函数)sin()(ϕω+=x x f 的导函数)(x f y '=的部分图象如图4所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，C A ,为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．（1）若6πϕ=，点P 的坐标为)233,0(，则=ω ； （2）若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC ∆内的概率为 ．【答案】（1）3；（2）4π【解析】（1）()y f x '=cos()x ωωϕ=+，当6πϕ=，点P 的坐标为（0）时cos362πωω=∴=； （2）由图知222T AC ππωω===，122ABC S AC πω=⋅= ，设,A B 的横坐标分别为,a b .设曲线段ABC 与x轴所围成的区域的面积为S则()()sin()sin()2bbaaS f x dx f x a b ωϕωϕ'===+-+=⎰，由几何概型知该点在△ABC内的概率为224ABC S P S ππ=== . 【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，（1）利用点P 在图像上求ω，（2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.16．设*2(,)nN n N n =∈≥2，将N 个数12,,,N x x x 依次放入编号为1,2,,N 的N 个位置，得到排列012N P x x x = ．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N 和后2N个位置，得到排列113124N N P x x x x x x -= ，将此操作称为C 变换．将1P 分成两段，每段2N个数，并对每段作C 变换，得到2P ；当22i n ≤≤-时，将i P 分成2i 段，每段2iN个数，并对每段作C 变换，得到1i P +．例如，当8N =时，215372648P x x x x x x x x =，此时7x 位于2P 中的第4个位置． （1）当16N =时，7x 位于2P 中的第 个位置； （2）当2()nN n =≥8时，173x 位于4P 中的第 个位置． 【答案】（1）6；（2）43211n -⨯+【解析】（1）当N=16时,012345616P x x x x x x x = ,可设为(1,2,3,4,5,6,,16) ,113571524616P x x x x x x x x x = ,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16) ,2159133711152616P x x x x x x x x x x x = ,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16) , x 7位于P 2中的第6个位置,；（2）方法同（1）,归纳推理知x 173位于P 4中的第43211n -⨯+个位置.【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％．（Ⅰ）确定,x y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望； （Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率） 【解析】（1）由已知,得251055,35,y x y ++=+=所以15,20.x y ==该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得153303251(1),( 1.5),(2),10020100101004p X p X p X =========201101( 2.5),(3).100510010p X p X ====== X 的分布为X 的数学期望为33111()11.522.53 1.920104510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅱ）记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，(1,2)i X i =为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则121212()(11)(1 1.5)( 1.51)P A P X X P X X P X X ===+==+==且且且. 由于顾客的结算相互独立，且12,X X 的分布列都与X 的分布列相同，所以 121212()(1)1)(1)( 1.5)( 1.5)(1)P A P X P X P X P X P X P X ==⨯=+=⨯=+=⨯=( 333333920202010102080=⨯+⨯+⨯=. 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980. 【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查分布列及数学期望的计算，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％知251010055%,35,y x y ++=⨯+=从而解得,x y ，计算每一个变量对应的概率，从而求得分布列和期望；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率.18．（本小题满分12分）如图5，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，4AB =，3BC =，5AD =，90DAB ABC ∠=∠=︒，E 是CD 的中点．（Ⅰ）证明：CD ⊥平面PAE ；（Ⅱ）若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P ABCD -的体积．【解析】解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC ，由AB=4，3BC =，90 5.ABC AC ∠==,得5,AD =又Ｅ是ＣＤ的中点，所以.CD AE ⊥,,PA ABCD CD ABCD ⊥⊂ 平面平面所以.PA CD ⊥而,PA AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE. （Ⅱ）过点Ｂ作,,,,.BG CD AE AD F G PF //分别与相交于连接由（Ⅰ）CD ⊥平面PAE 知，ＢＧ⊥平面PAE.于是BPF ∠为直线ＰＢ与平面PAE 所成的角，且BG AE ⊥.由PA ABCD ⊥平面知，PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角.4,2,,AB AG BG AF ==⊥由题意，知,PBA BPF ∠=∠ 因为sin ,sin ,PA BF PBA BPF PB PB∠=∠=所以.PA BF = 由90//,//,DAB ABC AD BC BG CD ∠=∠= 知，又所以四边形BCDG 是平行四边形，故 3.GD BC ==于是 2.AG =在Rt ΔBAG 中，4,2,,AB AG BG AF ==⊥所以2AB BG BF BG =====于是5PA BF == 又梯形ABCD 的面积为1(53)416,2S =⨯+⨯=所以四棱锥P ABCD -的体积为111633515V S PA =⨯⨯=⨯⨯=解法2：如图（2），以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x y z 轴，轴，轴建立空间直角坐标系.设,PA h =则相关的各点坐标为：(4,0,0),(4,0,0),(4,3,0),(0,5,0),(2,4,0),(0,0,).A B C D E P h（Ⅰ）易知(4,2,0),(2,4,0),(0,0,).CD AE AP h =-== 因为8800,0,CD AE CD AP ⋅=-++=⋅= 所以,.CD AE CD AP ⊥⊥而,AP AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以.CD PAE ⊥平面(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，,CD AP 分别是PAE 平面，ABCD 平面的法向量，而PB 与PAE 平面所成的角和PB 与ABCD 平面所成的角相等，所以cos ,cos ,.CD PB PA PB CD PB PA PB CD PB PA PB⋅⋅<>=<>=⋅⋅ ,即 由（Ⅰ）知，(4,2,0),(0,0,),CD AP h =-=- 由(4,0,),PB h =- 故=解得5h =. 又梯形ABCD 的面积为1(53)4162S =⨯+⨯=，所以四棱锥P ABCD -的体积为1151633515V S PA =⨯⨯=⨯⨯=. 【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明PA CD ⊥即可，第二问算出梯形的面积和棱锥的高，由13V S PA =⨯⨯算得体积，或者建立空间直角坐标系，求得高几体积.19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，记12()n A n a a a =+++ ，231()n B n a a a +=+++ ，342()n C n a a a +=+++ ，1,2,.n =（Ⅰ）若121,5a a ==，且对任意*n N ∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列，求数列{}n a 的通项公式.（Ⅱ）证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意*n N ∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.【解析】解（１）对任意N n *∈,三个数(),(),()A n B n C n 是等差数列，所以()()()(),B n A n C n B n -=-即112,n n a a a ++-=亦即2121 4.n n a a a a +--=-=故数列{}n a 是首项为１，公差为４的等差数列.于是1(1)44 3.n a n n =+-⨯=-（Ⅱ）（１）必要性：若数列{}n a 是公比为ｑ的等比数列，则对任意N n *∈，有 1.n nq a a -=由0n a >知，(),(),()A n B n C n 均大于０，于是12)2311212(......(),()......n n n nq a a a a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++ 231)342231231(......(),()......n n n n q a a a a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++ 即()()B n A n ＝()()C n B n ＝q ，所以三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列. （２）充分性：若对于任意N n *∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列，则()(),()B n q A n C n q B n==， 于是[]()()()(),C n B n q B n A n -=-得2211(),n n a a q a a ++-=-即212.n n a qa a a ++-=-由1n =有(1)(1),B qA =即21a qa =，从而210n n a qa ++-=.因为0n a >，所以2211n n a a q a a ++==，故数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列， 综上所述，数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N ﹡，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.20．（本小题满分13分）某企业接到生产3000台某产品的A ，B ，C 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A 部件6件，或B 部件3件，或C 部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比，比例系数为k （k 为正整数）．（Ⅰ）设生产A 部件的人数为x ，分别写出完成A ，B ，C 三种部件生产需要的时间； （Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．【解析】解：（Ⅰ）设完成A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为123(),(),(),T x T x T x 由题设有1232300010*******50(),(),(),6200(1)T x T x T x x x k x k x ⨯====-+ 期中,,200(1)x kx k x -+均为1到200之间的正整数.（Ⅱ）完成订单任务的时间为{}123()max (),(),(),f x T x T x T x =其定义域为2000,.1x x x N k *⎧⎫<<∈⎨⎬+⎩⎭易知，12(),()T x T x 为减函数，3()T x 为增函数.注意到212()(),T x T x k =于是（1）当2k =时，12()(),T x T x = 此时{}1310001500()max (),()max ,2003f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，由函数13(),()T x T x 的单调性知，当100015002003x x =-时()f x 取得最小值，解得4009x =.由于134002503004445,(44)(44),(45)(45),(44)(45)91113f T f T f f <<====<而.故当44x =时完成订单任务的时间最短，且最短时间为250(44)11f =.（2）当2k >时，12()(),T x T x > 由于k 为正整数，故3k ≥，此时{}1375(),()max (),()50T x x T x T x x ϕ==-易知()T x 为增函数，则{}13()max (),()f x T x T x ={}1max (),()T x T x ≥1000375()max ,50x x x ϕ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭. 由函数1(),()T x T x 的单调性知，当100037550x x =-时()x ϕ取得最小值，解得40011x =.由于14002502503752503637,(36)(36),(37)(37),119111311T T ϕϕ<<==>==>而 此时完成订单任务的最短时间大于25011. （3）当2k <时，12()(),T x T x < 由于k 为正整数，故1k =，此时{}232000750()max (),()max ,.100f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭由函数23(),()T x T x 的单调性知， 当2000750100x x =-时()f x 取得最小值，解得80011x =.类似（1）的讨论.此时 完成订单任务的最短时间为2509，大于25011. 综上所述，当2k =时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数 分别为44,88,68.【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想.21．（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的点均在圆222:(5)9C x y -+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值.（Ⅰ）求曲线1C 的方程；（Ⅱ）设000(,)(3)P x y y ≠±为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点,A B 和,C D .证明：当P 在直线4x =-上运动时，四点,A B ,,C D 的纵坐标之积为定值.【解析】（Ⅰ）解法1 ：设M 的坐标为(,)x y ，由已知得23x +=，易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>，所以5x =+.化简得曲线1C 的方程为220y x =.解法2 ：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =.（Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆 2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4),y y k x -=+0即kx-y+y +4k=0.于是3.=整理得2200721890.k y k y ++-= ① 设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根，故001218.724y y k k +=-=- ② 由101240,20,k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩得21012020(4)0.k y y y k -++= ③ 设四点A,B,C,D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则是方程③的两个实根，所以0112120(4).y k y y k +⋅=④ 同理可得 0234220(4).y k y y k +⋅=⑤ 于是由②，④，⑤三式得 010*******400(4)(4)y k y k y y y y k k ++=2012012124004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦= 22001212400166400y y k k k k ⎡⎤-+⎣⎦=.所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6400.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到,,,A B C D 四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想.22．（本小题满分13分）已知函数()ax f x e x =-，其中0a ≠.（Ⅰ）若对一切x R ∈，()1f x ≥恒成立，求a 的取值集合.（Ⅱ）在函数()f x 的图像上取定两点112212(,()),(,())()A x f x B x f x x x <，记直线AB 的斜率为k .问：是否存在012(,)x x x ∈，使()f x k '>成立？若存在，求0x 的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】（Ⅰ）若0a <，则对一切0x >，()f x 1ax e x =-<，这与题设矛盾，又0a ≠，故0a >.而()1,ax f x ae '=-令11()0,ln .f x x a a'==得 当11ln x a a <时，()0,()f x f x '<单调递减；当11ln x a a>时，()0,()f x f x '>单调递增，故当11ln x a a =时，()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a =- 于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立，当且仅当111ln 1a a a-≥. ① 令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-当01t <<时，()0,()g t g t '>单调递增；当1t >时，()0,()g t g t '<单调递减.故当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =.因此，当且仅当11a=即1a =时，①式成立. 综上所述，a 的取值集合为{}1. （Ⅱ）由题意知，21212121()() 1.ax ax f x f x e e k x x x x --==--- 令2121()(),ax ax axe e xf x k ae x x ϕ-'=-=--则 121()12121()()1,ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦- 212()21221()()1.ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦- 令()1tF t e t =--，则()1t F t e '=-.当0t <时，()0,()F t F t '<单调递减；当0t >时，()0,()F t F t '>单调递增.故当0t =，()(0)0,F t F >=即10.t e t --> 从而21()21()10a x x e a x x ---->，12()12()10,a x x e a x x ---->又1210,ax e x x >-2210,ax e x x >- 所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ>因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在),(21x x c ∈，使0)(=c ϕ，2()0,()axx a e x ϕϕ'=>单调递增，故这样的c 是唯一的，且21211ln ()ax ax e e c a a x x -=-.故当且仅当212211(ln ,)()ax ax e e x x a a x x -∈-时， 0()f x k '>. 综上所述，存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立.且0x 的取值范围为212211(ln ,)()ax ax e e x a a x x --. 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a=-对一切x ∈R ，f(x) ≥1恒成立转化为min ()1f x ，从而得出a 的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.。
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湖南省2012届高三•十二校联考第二次考试
数学（理科）
总分：150分时量：120分钟
考试时间：2012年4月7曰下午3:00〜5:00
得分：
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.i是虚数单位，则复数等于
A. — 1
B. –i
C. 1
D. i
2下列命题中是假命题的是
A.
B. "a>0"是“ | a |〉0”的充分不必要条件
C.
D. “a .b>0"是“a,b的夹角为锐角”的充要条件
3. 当时，函数的值域为
A. B. C. D.
4. 下图是一个几何体的三视图，已知侧视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位：cm),可知这个几何体的表面积是
A. B.
C. D.
5. 由函数的图象，直线x= 2及x轴所围成的图象面积等于
A. B.
C. D.
6. 已知实数，，执行如下图所示的程序框图，则输出的x不小于47的概率为
A. B. C. D.
7. 若实数a、b、c使得函数的三个零点分别为椭圆、双曲线、抛物线的离心率e1,e2,e3 ,则a,b,c的一种可苹平值依次为
A. -2,-1,2
B. 2,0,-2
C. D.
8. 记集合T= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ,M=,将M 中的元素按从大到小排列，则第2012个数是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
9. 若实数x,y满足，则s = x- y的最小值为________.
10. 已知向量a=(4,3),b=(—2,1),如果向量与b垂直，则的值为_______
11. 已知双曲线的离心率为2,则它的一焦点到其中一条渐近线的距离为_______
12. 设成等差数列，公差，且的前三项和为，则的通项为_______
13. 已知的展开式中第二项与第四项的系数相等，则展开式的二项式系数之和为_______.
14. 函数
(1) 若a=0,则方程f(x)=0的解为_______.
(2) 若函数f(x)有两个零点，则a的取值范围是_______.
15. 已知数列{a n}的各项均为正整数，对于n=1,2,3,…，有
其中k为使a n+1为奇数的正整数.
(1) 当a1 =11 时,a2012 =________
(2) 若存在，当n>m且a n为奇数时，a n恒为常数p，则p的值为_______.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. (本小题满分12分)
选做题（请考生在第16题的三个小题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分，要写出必要的推理与演算过程）
(1) (几何证明选讲选做题：)如图，已知RtΔABC的两条直角边BC,AC
的长分别为3 cm,4 cm,以AC为直径作圆与斜边AB交于点D,试求BD
的长.
(2) (极坐标与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为
为参数），求曲线C上的点到直线x—y+1=0的距离的最大值.
(3)(不等式选做题）若a,b是正常数，，则，当且仅当时上式取等号.请利用以上结论，求函数，的最小值.
17. (本小题满分12分)
为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所
得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左
到右的前3个小组的频率之比为1:2:3,其中第2小组的频数为12.
(1) 求该校报考飞行员的总人数；
(2) 以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考
飞行员的同学中（人数很多）任选二人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望.
18. (本小题满分12分)
如图，正四棱柱A B C D—A1B1C1D1(即底面为正方形的直四棱柱）中，
A A1=2A
B =4,点E在
C C1上且C1E=3E C.
(1) 证明：A1C丄平面BED;
(2)求直线A1C与平面A1D E所成角的正弦值.
19 (本小题满分13分)
某工厂统计资料显示，产品次品率p与日产量n (件）（，且）的关系表如
下：
又知每生产一件正品盈利a元，每生产一件次品损失元（a〉0).
(1) 将该厂日盈利额T(元)表示为日产量n(件）的一种函数关系式；
(2) 为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？
20 (本小题满分13分)
设函数.
(1) 当a+b= 1时，试用含A的表达式研究f(x)的单调区间；
(2) 当a= 0,b=- 1时，方程有唯一实数解，求正数M的值.
21.(本小题满分13分）
已知抛物线，其中p>0,点M(2,2),若抛物线l上存在不同两点A、B满足
(1) 求实数P的取值范围；
(2) 当p= 2时，抛物线l上是否存在异于A,B的点C,使得经过A,B,C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线，若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.。