10-1 微分方程的基本概念
微分方程的基本概念
微分方程的基本概念微分方程的基本概念一、微分方程的定义微分方程是描述自变量和它的某些函数之间关系的方程，其中包含了这些函数在某一点上的导数或者微分。
二、微分方程的分类1.按照未知函数个数分类：(1) 一阶微分方程：只涉及一个未知函数及其导数。
(2) 二阶微分方程：涉及一个未知函数及其前两个导数。
(3) 高阶微分方程：涉及一个未知函数及其前n个导数。
2.按照系数是否含有自变量分类：(1) 常系数微分方程：系数不含有自变量。
(2) 变系数微分方程：系数含有自变量。
3.按照解析解是否存在分类：(1) 可解析求解的微分方程：存在精确解式。
(2) 不可解析求解的微分方程：不存在精确解式，需要采用近似方法求解。
三、常见一阶线性微分方程1. 标准形式：$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$其中，$p(x)$和$q(x)$均为已知函数，$y=y(x)$为未知函数。
2. 求解步骤：(1) 求出齐次线性微分方程的通解：$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$(2) 求出非齐次线性微分方程的一个特解。
(3) 通解为齐次通解加上特解。
四、常见一阶非线性微分方程1. 可分离变量的微分方程：$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$$将式子两边同时积分即可求出通解。
2. 齐次微分方程：$$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$$其中，$f(u)$是关于$u$的已知函数，将$y=ux$代入原式中，化简后得到一个变量可分离的微分方程，进而求出通解。
3. 一阶线性微分方程：$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$$其中，$P(x)$和$Q(x)$均为已知函数。
通过变量代换和积分可以求出其通解。
五、常见二阶线性微分方程1. 标准形式：$$y''+py'+qy=f(x)$$其中，$p(x),q(x),f(x)$均为已知函数。
2. 求解步骤：(1) 求出其对应的齐次线性微分方程的通解：$y''+py'+qy=0$(2) 求出非齐次线性微分方程的一个特解。
微分方程的基本概念
求函数关系是数学中的重要问题。
然而，在实际中有时很难直接找出函数关系，我们所得到的仅是含有未知函数及其导数的关系式，称之为微分方程.我们的任务就是求解微分方程，找出未知函数。
本章将介绍一些微分方程的基本概念和几种常用的微分方程的解法.微分方程的基本概念下面通过几个例题来说明微分方程的基本概念.例1 一曲线通过)2,1(点，且在该曲线上任一点),(y x 处的切线的斜率为x 2，求曲线的方程.解 由导数的几何意义可得x dxdy 2= ① 此外，未知函数)(x y y =还应满足条件1=x 时，2=y （或写成21==x y ） ②在式①两端积分，得C x y +=2, ③其中C 为任意常数.将条件②代入式③中，得1=C ， 于是得所求曲线的方程为④12+=x y我们知道式③表示一族曲线，曲线族中的每一条曲线的函数代入式①中都成为恒等式，而式④仅表示是其中的一条，它是通过点()2,1的.从以上例子中，可归纳出如下一些基本概念.（一）微分方程：含有自变量、未知函数以及未知函数导数或微分的方程叫微分方程（以下简称方程）。
在方程中出现的未知函数导数的最高阶数成为微分方程的阶，n 阶微分方程的一般形式为()(,,,,,)0n F x y y y y '''= ⑤如式①为一阶微分方程.（二）解：一个函数代入微分方程后，使其成为恒等式，则该函数称为微分方程的解.含有任意常数，且独立的任意常数的个数和微分方程的阶数相等的解，称为微分方程的通解或一般解.不含任意常数的解叫特解.若I x x y ∈=),(ϕ为方程⑤的解，则有()[,(),(),,()]0n F x x x x φφφ'≡， I x ∈.方程⑤的通解应含有n 个独立的任意常数， 其通解有时用隐函数表达式12(,,,,,)0n x y C C C Φ= 表示. ⑥例如:式③为方程①的通解.12,2.x dy x dx y =⎧=⎪⎨⎪=⎩（三）初始条件和初值问题：用来确定特解的条件叫初始条件，n 阶方程确定特解的条件为00y y x x ==, 00y y x x '='=,)1(0)1(0-=-=n x x n y y . ⑦求微分方程满足初始条件的特解的问题叫初值问题. 如例1中的问题就是初值问题。
微分方程的基本概念
微分方程的基本概念微分方程是数学中一类重要的方程，它揭示了变量之间的关系以及如何随时间、空间或其他变量的变化而变化。
通过解微分方程，我们可以了解并预测诸如物理系统、工程问题、经济模型等领域中的现象和行为。
一、微分方程的定义和形式微分方程是描述函数及其导数之间关系的方程。
一般形式为：dy/dx = f(x)其中，y是关于自变量x的未知函数，f(x)表示它的导数。
微分方程还可以包括更高阶导数和多个变量。
二、微分方程的分类根据微分方程中出现的未知函数和导数的阶数，可以将微分方程分为常微分方程和偏微分方程。
1. 常微分方程常微分方程仅包含未知函数的一阶或高阶导数。
根据方程中的未知函数和导数的个数，常微分方程又可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x, y)或者dy/dx = g(x)高阶常微分方程的一般形式为：dⁿy/dxⁿ = f(x, y, dy/dx, d²y/dx², ..., dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹)其中，n为正整数。
2. 偏微分方程偏微分方程包含多个未知函数和其偏导数。
它们通常描述多变量函数的行为，例如描述传热问题、波动现象等。
常见的偏微分方程有泊松方程、热传导方程、波动方程等。
三、微分方程的解解微分方程意味着找到满足方程的函数。
根据方程类型和求解方法，解可以分为显式解和隐式解。
1. 显式解显式解是对于给定的自变量x，能够直接计算得到的解析表达式。
例如，一阶常微分方程dy/dx = f(x)的显式解为y = F(x)，其中F(x)是f(x)的一个不定积分。
2. 隐式解隐式解是对于给定的自变量x，无法直接解析计算的解。
通常，隐式解可以通过化简方程或使用特定的数值和计算方法来获得。
四、微分方程的应用微分方程是数学在自然科学、工程技术和社会科学等领域中广泛应用的工具。
以下是微分方程在几个领域的应用示例：1. 物理学微分方程在物理学中有广泛的应用，如牛顿第二定律、电动力学中的麦克斯韦方程、量子力学中的薛定谔方程等都可以表示为微分方程，用于研究物理系统的运动、力学性质和量子态等。
微分方程认识微分方程的基本概念与解法
微分方程认识微分方程的基本概念与解法微分方程：认识微分方程的基本概念与解法微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、生物等领域。
本文将介绍微分方程的基本概念和解法，以帮助读者对微分方程有更深入的认识。
一、微分方程的定义和分类微分方程是含有未知函数及其导数的方程。
一般可分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程仅涉及一个独立变量，而偏微分方程则涉及多个独立变量。
常微分方程还可根据阶数进行分类，其中阶数为二的方程较为常见。
例如，一阶线性微分方程可表示为dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数；二阶线性微分方程可表示为d²y/dx² + p(x)dy/dx +q(x)y = r(x)，其中p(x)，q(x)，和r(x)是已知函数。
二、解微分方程的基本方法1. 可分离变量法当微分方程可通过分离变量后进行变量代换，使之变为两个纯变量相乘的形式时，可利用可分离变量法解方程。
具体步骤为将方程两端分离相乘并求积分，最后解出未知函数。
2. 线性微分方程的齐次与非齐次解法线性微分方程是指可写成dy/dx + p(x)y = q(x)形式的方程。
对于齐次线性方程dy/dx + p(x)y = 0，可通过变量代换将其转化为一阶可分离变量方程进行求解。
对于非齐次线性方程dy/dx + p(x)y = q(x)，可通过常数变易法求得非齐次线性微分方程的一个特解，并将通解与特解相加得到最终解。
3. 常系数线性微分方程的解法常系数线性微分方程是指方程中的系数与自变量无关。
一般形式为dⁿy/dxⁿ + a₁dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + an-1dy/dx + any = 0。
解常系数线性微分方程的方法是先猜解，再通过代入方程进行求解。
4. 齐次线性微分方程的解法齐次线性微分方程是指方程中非齐次项为零的方程。
解齐次线性微分方程的方法是先猜解，再通过代入方程进行求解。
高中数学中的微分方程知识点总结
高中数学中的微分方程知识点总结微分方程是数学中的重要分支，也是应用数学中的一种重要工具。
在高中数学课程中，微分方程也是一个重要的知识点。
本文将对高中数学中的微分方程知识点进行总结。
1. 微分方程的基本概念微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
一般形式可以表示为：$$F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0$$，其中 $y, y', y'', ..., y^{(n)}$ 分别表示未知函数及其各阶导数。
2. 微分方程的阶数微分方程的阶数由最高导数的阶数决定。
如 $y'' + y' - 2y = 0$ 是一个二阶微分方程。
3. 微分方程的解微分方程的解是使得方程成立的函数。
解可以分为通解和特解两种类型。
- 通解：包含任意常数的解，可以表示为 $y = F(x, C_1, C_2, ...,C_n)$，其中 $C_1, C_2, ..., C_n$ 是任意常数。
- 特解：满足特定条件的解，没有任意常数。
4. 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程是指可以将原方程中的未知函数和自变量分离后，分别进行积分求解的微分方程。
一般形式可以表示为：$$\frac{dy}{dx} = g(x) \cdot f(y)$$，可通过分离变量，将方程化简为$$\frac{1}{f(y)} \cdot dy = g(x) \cdot dx$$，再对两边同时积分得到解。
5. 齐次线性微分方程齐次线性微分方程是指形如 $$\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)$$ 的微分方程。
可以通过变量代换 $y = x \cdot v$，化简为可分离变量的形式求解。
6. 一阶线性微分方程一阶线性微分方程是指形如 $$\frac{dy}{dx} + P(x) \cdot y =Q(x)$$ 的微分方程。
线性微分方程的定义和基本概念
线性微分方程的定义和基本概念线性微分方程是微积分学中的基本概念之一。
它包括一系列关于一阶和高阶线性微分方程的定义和基本概念。
一阶和高阶线性微分方程的定义和基本概念对于学习微积分学和数学分析非常重要。
本文将从基本概念、定义、求解方法和应用方面来介绍线性微分方程。
一、基本概念1.线性微分方程线性微分方程可以表示为y^{(n)}(x)+a_1(x)y^{(n-1)}(x)+……+a_n(x)y(x) = f(x)，其中y(x)表示未知函数，f(x) 表示已知函数。
如果f(x)=0，则该微分方程为齐次线性微分方程，否则为非齐次线性微分方程。
2.阶数一阶线性微分方程中，y(x)对x的导数的最高次数是1，称为一阶微分方程。
同理，n阶线性微分方程中，y(x)对x的导数的最高次数是n，称为n阶微分方程。
3.常系数线性微分方程当a_1,a_2,…,a_n都是常数时，线性微分方程称为常系数线性微分方程。
4.非齐次线性微分方程的解和齐次线性微分方程的解对于齐次线性微分方程，如果描述其解的一般形式是y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+…+c_ny_n(x)，其中y_1(x),y_2(x),…,y_n(x)是线性无关的解，c_1,c_2,…,c_n为常数，则我们称它为齐次线性微分方程的一般解。
对于非齐次线性微分方程，如果我们找到一个y_p(x)，使得该微分方程中的f(x)能够表示成y_p(x)的某一导数加上齐次微分方程的解，即f(x)=q(x)+y_1(x)+y_2(x)+…+y_n(x)，其中q(x)为关于x的函数，y_1(x),y_2(x),…,y_n(x)为该微分方程的齐次解，则我们称y_p(x)为非齐次线性微分方程的一个特解。
将齐次微分方程的解和特解相加，即得到非齐次线性微分方程的一般解，即y(x)=y_h(x)+y_p(x)，其中y_h(x)为齐次微分方程的一般解，y_p(x)为非齐次微分方程的特解。
考研数学一大纲微分方程
考研数学一大纲微分方程微分方程是数学领域中的一个重要分支，它研究的是描述变化过程中的关系的方程。
在考研数学一大纲中，微分方程是一个必考的内容，掌握微分方程的解法和应用是考生取得好成绩的关键。
本文将介绍微分方程的基本概念、常见解法和应用，并提供一些解题技巧和实例，帮助考生更好地备考数学一。
一、微分方程的基本概念微分方程是描述函数和其导数之间关系的方程。
一般形式为：dy/dx = f(x, y)其中，x 是自变量，y 是因变量，f 是一个给定的函数。
方程中的导数 dy/dx 描述了函数 y 的变化率。
微分方程的解是使得方程对于所有 x 成立的函数 y。
微分方程根据方程中的变量个数和导数阶数的不同可以分为常微分方程和偏微分方程。
常微分方程中只含有一元函数的导数，而偏微分方程中含有多元函数的偏导数。
二、常见微分方程的解法1. 可分离变量微分方程可分离变量微分方程的形式一般为：dy/dx = g(x)h(y)可通过变量分离的方法将方程分解为 dx/g(x) = dy/h(y)，然后对两边同时积分得到解。
2. 齐次微分方程齐次微分方程的形式一般为：dy/dx = F(x, y) / G(x, y)其中 F 和 G 是关于 x 和 y 的函数。
齐次微分方程可以通过变量替换的方法将其转化为可分离变量的方程，进而求解。
3. 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的形式一般为：dy/dx + P(x)y = Q(x)其中 P(x) 和 Q(x) 是关于 x 的函数。
可以用积分因子法求解一阶线性微分方程，并得到通解。
4. 二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程的形式一般为：d²y/dx² + ay' + by = 0其中 a 和 b 是常数。
可以通过特征方程法求解二阶常系数线性齐次微分方程，并得到通解。
三、微分方程的应用微分方程在自然科学、工程技术和经济管理等领域中有着广泛的应用。
微分方程的基本概念与分类
微分方程的基本概念与分类微分方程是数学中的一个重要分支，它研究函数与其导数之间的关系。
微分方程在自然科学、工程技术等领域中有着广泛的应用，可以描述许多自然现象和物理问题。
本文将介绍微分方程的基本概念和分类，以帮助读者更好地理解和掌握微分方程的知识。
一、微分方程的基本概念微分方程是表示未知函数与其导数之间关系的方程。
在微分方程中，未知函数一般用y表示，自变量一般用x表示。
微分方程根据未知函数的阶数和表达形式可以分为多种类型，下面将介绍几种常见的微分方程。
1. 一阶微分方程一阶微分方程是指未知函数的最高阶导数为一阶的微分方程。
一阶微分方程的一般形式为dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)是已知函数。
一阶微分方程可以进一步分为可分离变量的微分方程、线性微分方程、齐次微分方程等。
2. 二阶微分方程二阶微分方程是指未知函数的最高阶导数为二阶的微分方程。
二阶微分方程的一般形式为d²y/dx²=F(x,y,dy/dx)，其中F(x,y,dy/dx)是已知函数。
二阶微分方程可以进一步分为常系数二阶线性微分方程、变系数二阶线性微分方程等。
3. 高阶微分方程高阶微分方程是指未知函数的最高阶导数为高于二阶的微分方程。
高阶微分方程的求解相对复杂，需要借助特殊函数或数值方法进行求解。
二、微分方程的分类根据微分方程的阶数、表达形式以及系数的性质，可以将微分方程进行进一步的分类。
1. 阶数分类根据微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，微分方程可以分为一阶微分方程、二阶微分方程、高阶微分方程等。
2. 标准形式分类根据微分方程的标准形式，微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程。
常微分方程是只涉及一元函数的微分方程，而偏微分方程是涉及多元函数和它们的偏导数的微分方程。
3. 特殊类型分类在微分方程中，有一些特殊类型的微分方程具有特定的特征和解法。
例如分离变量的微分方程、线性微分方程、齐次微分方程、恰当微分方程等。
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d2s 可直接积分的方程 2 = −0.4 dt ds v = = −0.4t + C1 ⇒ s = −0.2t 2 + C1t + C 2 dt ds = 20 ⇒ C 1 = 20 , C 2 = 0 t = 0时, s = 0, v = 时 dt
4
ds v= = − 0.4 t + 20 , dt
故 s = − 0.2 t + 20 t ,
2
令v = 0, 得到开始制动到列车完全停住共需时间 20 t= = 50 ( 秒 ), 0 .4 t = 50, 得到列车在这段时间内行驶的路程
s = − 0.2 × 50 + 20 × 50 = 500 (米 ).
2
5
二、基本概念
凡含有未知函数的导数(或微分 的方程称 凡含有未知函数的导数 或微分)的方程称 或微分 微分方程. 微分方程. 如
将y , y′, y′′ 代入微分方程中 得 代入微分方程中,
r 2 + 3r + 2 = 0 ( r + 2)( r + 1) = 0 r1 = −2, r2 = −1
得两个解 y1 = e − 2 x , y2 = e − x .
12
作 业
• P393 2 (2) (3); 3; 4
13
解 设所求曲线为 y = y( x )
dy = 2x dx
可直接积分的方程
y = ∫ 2 xdx 即 y = x 2 + C , 求得 C = 1,
所求曲线方程为 y = x 2 + 1 .
3
的速度行驶, 例 列车在平直的线路上以 20 米 秒 的速度行驶 2 当制动时列车获得加速度 − 0.4 米 秒 , 问开始制动 后多少时间列车才能停住? 后多少时间列车才能停住 以及列车在这段时间 内行驶了多少路程? 内行驶了多少路程 解 设制动后 t 秒钟行驶 s 米, s = s(t ).
几何意义 是过定点且在定点的切线的斜率为定值 定值的积分曲线. 定值的积分曲线
9
ห้องสมุดไป่ตู้
验证： 例 验证：函数 x = C1 cos t + C 2 sin t是微分方程
d2 x + x = 0 的解 . 并满足初等条件 2 dt dx x t =0 = 2, = 0的特解 . dt t =0 dx 解 Q = − C1 sin t + C 2 cos t dt d2 x 2 = − C1 cos t − C 2 sin t dt d2 x 的表达式代入原方程, 将 2 和x 的表达式代入原方程 dt − (C1 cos t + C 2 sin t ) + (C1 cos t + C 2 sin t ) ≡ 0
C 2 = 0.
⇒
所求特解为 x = 2 cos t .
11
试求下列微分方程在指定形式下的解 例 试求下列微分方程在指定形式下的解:
y′′ + 3 y′ + 2 y = 0, 形如y = e rx的解.
解 将y = e rx 求y′, 得 y′ = re rx , rx 得 y′′ = r 2e rx , 将y = e 求y′′,
微分方程的解的分类
(1)通解 微分方程的解中含有任意常数 且任意 通解 微分方程的解中含有任意常数,且任意 常数的个数与微分方程的阶数相同. 常数的个数与微分方程的阶数相同 dy 2 y = x2 + 1 . 如方程 = 2x,通解 y = x + C 特解 dx
d2s 2 = −0.4, dt
通解 s = −0.2t 2 + C1 t + C 2 s = − 0 .2 t 2 + 20 t . 特解
y′ = xy 一阶
y′′ + 2 y′ − 3 y = e x 二阶
( t 2 + x )dt + xdx = 0 一阶
未知函数是一元函数的方程为 常微分方程; 常微分方程; 微分方程的阶. 方程中所出现的导数的最高阶数称 微分方程的阶.
6
代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为 微分方程的解. 微分方程的解.
8
一般的n阶微分方程为 一般的 阶微分方程为
′ , L , y ( n ) ) = 0, F ( x, y, y
已解出最高阶导数的微分方程 (n) ′,L, y ( n−1) ). y = f ( x, y, y 今后讨论
y′ = f ( x , y ) 一阶 是过定点的积分曲线; y x = x0 = y 0 几何意义 是过定点的积分曲线 y′′ = f ( x , y , y ′ ) 二阶 ′ y x = x0 = y0 , y′x = x0 = y0
第十章 微分方程
10.1 10.2 10.4 微分方程的基本概念 一阶微分方程 高阶常系数线性微分方程
第一节 微分方程的基本概念
问题的提出 基本概念
2
一、问题的提出
例 一曲线通过点 (1,2), 且在该曲线上任一点
M ( x , y ) 处的切线的斜率为 2x , 求这曲线的方程 求这曲线的方程.
(2) 特解 确定了通解中任意常数以后的解 确定了通解中任意常数以后的解.
7
初始条件 用来确定任意常数的条件 用来确定任意常数的条件. 如前例, 曲线通过点 如前例 曲线通过点(1, 2).
注
通解和特解是一般和特殊的关系. 通解和特解是一般和特殊的关系
初值问题(柯西问题) 初值问题(柯西问题) 求微分方程满足初始条件的解的问题. 求微分方程满足初始条件的解的问题 解的图象 微分方程的积分曲线 微分方程的积分曲线. 积分曲线族. 通解的图象 积分曲线族
10
d2 x + x = 0, 2 dt
x t =0
dx = 2, dt
=0
t =0
是原方程的解, 故 x = C1 cos t + C 2 sin t 是原方程的解 且为 通解. 通解
Q x t =0 = 2
⇒
2 = C1
dx 又Q =0 dt t = 0
而
dx = −C1 sin t + C 2 cos t dt