高考数学一轮复习 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件精品学案

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高三数学一轮复习精品学案1：1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件

1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件『基础知识梳理』1．命题及其关系（1）①命题：；常用小写的拉丁字母p ，q ，r ，s ，……表示命题．（2）四种命题的真假性之间的关系：两个命题互为逆否命题，它们有② 的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性③ 关系．2．充分条件、必要条件与充要条件（1）一般地，如果已知④ ，那么就说：p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若⑤ ，则p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．（2）从集合与集合之间的关系上看：已知{A x x =满足条件}p ，{B x x =满足条件}q ：若⑥ ，则p 是q 充分条件；若⑦ ，则p 是q 必要条件．——★ 参考答案 ★——①可以判断真假的语句；②相同；③没有；④p q ⇒；⑤p q ⇔；⑥A B ⊆；⑦B A ⊆；『核心考点讲练』题型一：命题之间的关系『典例1』（2014·陕西卷）原命题为“若，，则为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断是．『解析』∵112n n n n n a a a a a +++<⇔<，n N +∈，∴{}n a 为递减数列，命题是真命题；其否命题是：若12n n n a a a ++，n N +∈，则{}n a 不是递减数列，是真命题；又命题与其逆否命题同真同假，命题的否命题与逆命题是互为逆否命题，∴命题的逆命题，逆否命题都是真12n n n a a a ++<n N +∈{}n a命题．『答案』真、真、真．『技巧点拔』理解命题及四种命题的真假性之间的关系，两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．题型二：充分条件和必要条件『典例2』（2014·北京卷）设a ，b 是实数，则“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的条件．『解析』若，则，故不充分；若，则，而，故不必要．『答案』既不充分也不必要．『技巧点拔』判断充分条件或必要条件时可以举反例，从而确定之间的关系．『当堂演练』（2014·浙江卷）设四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC BD”的条件．『解答过程』『解析』四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”那么菱形的对角线垂直，即“四边形ABCD 为菱形”“AC ⊥BD”，但是“AC ⊥BD”推不出“四边形ABCD 为菱形”，例如对角线垂直的等腰梯形，或筝形四边形；∴四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD”的充分不必要条件．『答案』充分不必要．2,0-==b a 22b a <0,2=-=b a 22a b >b a <⊥⇒专题热点集训（时间：20分钟）1.（2012·湖南文）命题“若4πα=，则1tan =α”的逆否命题是________.2．（南通市2013届一模）已知命题p :“正数a 的平方不等于0”,命题q :“若a 不是正数,则它的平方等于0”,则p 是q 的________.(从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空)3．（南京市、盐城市2015届一模）设向量(sin 2,cos )θθ=a ，(cos ,1)θ=b ，则“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) .4．（南通市2015届一模）在平面直角坐标系xOy 中，“直线b x y +=，R b ∈与曲线21y x -=相切”的充要条件是“ ”．5.（2011·湖南理）设集合M={1,2}，N={a }2，则“a=1”是“M N ⊆”的_______.6．（无锡市2013届一模）已知P:|x -a|<4；q:(x -2)(3-x)>0,若⌝p 是⌝q 的充分不必要条件,则a 的取值范围为________________.7．（南京市2015届三模）记不等式x 2＋x －6＜0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B ．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为．参考答案与解析1．【答案】由逆否命题的概念知，否定原命题的条件“4πα≠”做结论，否定原命题的结论“1tan ≠α”做条件.原命题的逆否命题是“若1tan ≠α则4πα≠”.2．【答案】否命题.3．【答案】必要不充分．4.【答案】2-=b ． 5．【答案】当a=1时，N={1}，可推出“M N ⊆”.当“M N ⊆”时，有22a 1a 2==或.得到21±=±=a a 或不能推出a=1.所以前者是后者的充分不必要条件.6．【答案】16a -≤≤．7．【答案】(－∞，－3]【命题立意】本题旨在考查不等式的求解，函数的定义域，充要条件的判定。

高三数学一轮复习精品学案8：§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件考纲要求1.理解命题的概念.2.了解“若p ，则q ”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.考情分析1.重点考＋命题真假的判断.2.题型以选择题为主，涉及知识广泛，属中低档题.小题热身1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)语句x 2－3x ＋2＝0是命题.( )(2)一个命题的逆命题与否命题，它们的真假没有关系.( )(3)命题“如果p 不成立，则q 不成立”等价于“如果q 成立，则p 成立”.( )(4)“p 是q 的充分不必要条件”与“p 的充分不必要条件是q ”表达的意义相同.( )2．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2＜3B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2＜3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝33．设集合A ＝{x ∈R |x －2＞0}，B ＝{x ∈R |x ＜0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)＞0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．在△ABC 中，“A ＝π4”是“cos A ＝2”的( ) A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件知识重温一、必记3●个知识点1．命题在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以①________________叫做命题.其中②__________的语句叫做真命题，③____________的语句叫做假命题.2．四种命题及其关系(1)四种命题(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假关系(ⅰ)两个命题互为逆否命题，它们有⑩______的真假性；(ⅱ)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性⑪__________.3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，那么p是q的⑫__________，q是p的⑬__________.(2)如果p⇒q且q⇒p，那么p是q的⑭__________.二、必明2●个易误点1．易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论.2．注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A ⇒/B)两者的不同.考点一四种命题及其真假判断典例1 (1)已知命题α：如果x＜3，那么x＜5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是()①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题.②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题.③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题.A．①③B．②C．②③D．①②③(2)以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号).①“若log2a＞0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题.方法总结在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可.对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手.通一类1．已知：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题考点二充分条件、必要条件的判断典例2 (1)设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的() A．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(3)给定两个命题p ，q .若¬p 是q 的必要而不充分条件，则p 是¬q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断.(2)集合法：根据p ，q 成立的对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的何种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的何种条件.通一类2．设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．如果a ＝(1，k )，b ＝(k,4)，那么“a ∥b ”是“k ＝－2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞02x －a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A ．a ≤0或a ＞1 B ．0＜a ＜12 C.12＜a ＜1 D ．a ＜0考点三充分条件、必要条件的应用典例3 已知集合M ＝{x |x ＜－3或x ＞5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}.(1)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的充要条件；(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个充分但不必要条件；(3)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个必要但不充分条件.与充要条件有关的参数问题的求解方法解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系，并由此列出关于参数的不等式(组)求解.5．已知p ：－2≤x ≤10，q ：(x －a )(x －a －1)＞0，若p 是q 成立的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________.高考模拟1.原命题为“若12n n a a ++＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假2．x ＞1”是“log 12(x +2)＜0”的( ) A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，且¬p 是¬q 的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围是________.——★ 参考答案 ★——小题热身1． (1)×(2)×(3)√(4) ×『解析』(1)错误.无法判断真假，故不是命题.(2)错误.一个命题的逆命题与否命题是互为逆否命题，它们的真假性相同.(3)正确.一个命题与其逆否命题等价.(4)错误.“p 是q 的充分不必要条件”即为“p ⇒q 且q ⇒/ p ”，“p 的充分不必要条件是q ”即为“q ⇒p 且p ⇒/ q ”.2．A『解析』a ＋b ＋c ＝3的否定是a ＋b ＋c ≠3，a 2＋b 2＋c 2≥3的否定是a 2＋b 2＋c 2＜3.3．C『解析』A ∪B ＝{x ∈R |x ＜0或x ＞2}，C ＝{x ∈R |x ＜0或x ＞2}，∵A ∪B ＝C ，∴x ∈A ∪B 是x ∈C 的充分必要条件．4．C『解析』在△ABC 中，0＜A ＜π，由“A ＝π4”⇔“cos A ＝2 ”，故选C. 知识重温一、必记3●个知识点1．①判断真假的陈述句②判断为真③判断为假2． (1)④若q 则p ⑤若¬p 则¬q ⑥若¬q 则¬p(2)⑦逆命题⑧否命题⑨逆否命题(3) ⑩相同⑪没有关系3．⑫充分条件⑬必要条件⑭充要条件考点一四种命题及其真假判断典例1 (1) A(2)②『解析』(1)逆命题是互换原命题的条件与结论，否命题是把原命题的条件和结论都否定，逆否命题是把原命题中的条件和结论先否定，然后互换得到.故①正确，②错误，③正确.(2)对于①，若log 2a ＞0＝log 21，则a ＞1，所以函数f (x )＝log a x 在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x ＋y 是偶数，则x ，y 都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇通一类1．D『解析』由f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数，则f ′(x )＝e x －m ≥0恒成立，∴m ≤1.∴命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m ＞1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题.考点二充分条件、必要条件的判断典例2 (1) C(2) B(3)A『解析』(1)依题意，若A ⊆C ，则∁U C ⊆∁U A ，当B ⊆∁U C ，可得A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，不妨令C ＝A ，显然满足A ⊆C ，B ⊆∁U C ，故满足条件的集合C 是存在的.(2)由ln(x ＋1)＜0，得0＜x ＋1＜1，即－1＜x ＜0，由于{x |－1＜x ＜0} {x |x ＜0}，故“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件.(3)因为¬ p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒ ¬ p 但¬ p ⇒/ q ，其逆否命题为p ⇒ ¬ q 但¬ q ⇒/ p ，所以p 是¬ q 的充分不必要条件.2．A『解析』当x ＝2且y ＝－1时，满足方程x ＋y －1＝0，但方程x ＋y －1＝0有无数多个解，不能确定x ＝2且y ＝－1，∴“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l 上”的充分而不必要条件.3．B『解析』因为a ∥b ，所以1×4－k 2＝0，即4＝k 2，所以k ＝±2.所以“a ∥b ”是“k ＝－2”的必要不充分条件.4．D『解析』因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞02x －a ，x ≤0有且只有一个零点的充要条件为a ≤0或a ＞1.由选项可知，使“a ≤0或a ＞1”成立的充分条件为选项D.考点三充分条件、必要条件的应用典例3 解：(1)由M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}，得－3≤a ≤5，因此M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的充要条件是{a |－3≤a ≤5}；(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a |－3≤a ≤5}中取一个值，如取a ＝0，此时必有M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}；反之，M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}未必有a ＝0，故a ＝0是所求的一个充分不必要条件；(3)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个必要不充分条件就是另求一个集合Q ，使{a |－3≤a ≤5}是集合Q 的一个真子集．如果{a |a ≤5}时，未必有M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}，但是M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}时，必有a ≤5，故{a |a ≤5}是所求的一个必要不充分条件.5．(－∞，－3)∪(10，＋∞)『解析』由(x －a )(x －a －1)＞0，得x ＞a ＋1或x ＜a ，由题意，得{x |－2≤x ≤10} {x |x ＞a ＋1或x ＜a }.所以a ＋1＜－2或a ＞10，即a ＜－3或a ＞10.高考模拟1.A『解析』从原命题的真假入手，由于12n n a a ++＜a n ⇔a n ＋1＜a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题和否命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.2．B『解析』由log 12(x +2)＜0，得x ＋2＞1，解得x ＞－1，所以“x ＞1”是“log 12(x +2)＜0”的充分而不必要条件，故选B. 3．B『解析』由指数函数的性质知，若3a ＞3b ＞3，则a ＞b ＞1，由对数函数的性质，得log a 3＜log b 3；反之，取a ＝12，b ＝13，显然有log a 3＜log b 3，此时0＜b ＜a ＜1，于是3＞3a ＞3b ，所以“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的充分不必要条件，选B.4．B『解析』由“m ⊥α且l ⊥m ”推出“l ⊂α或l ∥α”，但由“m ⊥α且l ∥α”可推出“l ⊥m ”，所以“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要而不充分条件，故选B.5『9，＋∞)『解析』方法一：由⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴¬p ：A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}.由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，∴¬q ：B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m ，m ＞0}.∵¬p 是¬q 的必要而不充分条件，∴B A ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞01－m ≤－21＋m ≥10，解得m ≥9.方法二：∵¬p 是¬q 的必要而不充分条件，∴q 是p 的必要而不充分条件，∴p 是q 的充分而不必要条件.由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0).∴q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}.又由⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}.∴P Q ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞01－m ≤－21＋m ≥10，解得m ≥9.。

高三数学一轮复习精品学案5：1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件

1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件导学目标：1.能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．自主梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用¬p和¬q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是原命题：若p则q(p⇒q)；逆命题：若q则p(q⇒p)；否命题：若¬p则¬q(¬p⇒¬q)；逆否命题：若¬q则¬p(¬q⇒¬p)．(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假性①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件若p⇒q，则p叫做q的充分条件；若q⇒p，则p叫做q的必要条件；如果p⇔q，则p 叫做q的充要条件．自我检测1．(2010·湖南)下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，lg x＝0 B．∃x∈R，tan x＝1C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>02．(2010·陕西)“a>0”是“|a|>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．(2009·浙江)“x>0”是“x≠0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的() A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题5．(2011·宜昌模拟)与命题“若a∈M，则b∉M”等价的命题是()A．若a∉M，则b∉MB．若b∉M，则a∈MC．若a∉M，则b∈MD．若b∈M，则a∉M探究点一四种命题及其相互关系例1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．变式迁移1有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题的序号为________．探究点二充要条件的判断例2给出下列命题，试分别指出p是q的什么条件．(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0.(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等．(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．(4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．变式迁移2(2011·邯郸月考)下列各小题中，p是q的充要条件的是()①p ：m <－2或m >6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点；②p ：f －x f x＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数； ③p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β；④p ：A ∩B ＝A ；q ：∁U B ⊆∁U A .A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④探究点三充要条件的证明例3 设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.变式迁移3 已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.转化与化归思想的应用例 (12分)已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且m ∈Z .求两方程的根都是整数的充要条件．1．研究命题及其关系时，要分清命题的题设和结论，把命题写成“如果……，那么……”的形式，当一个命题有大前提时，必须保留大前提，只有互为逆否的命题才有相同的真假性．2．在解决充分条件、必要条件等问题时，要给出p 与q 是否可以相互推出的两次判断，同时还要弄清是p 对q 而言，还是q 对p 而言．还要分清否命题与命题的否定的区别．3．本节体现了转化与化归的数学思想．答案自我检测1．『答案』C『解析』对于C选项，当x＝0时，03＝0，因此∀x∈R，x3>0是假命题．2．『答案』A『解析』a>0⇒|a|>0，|a|>0 a>0，∴“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件．3．『答案』A『解析』对于“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立，因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．4．『答案』C『解析』由四种命题逆否关系知，s是p的逆命题t的否命题．5．『答案』D『解析』因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可探究点一四种命题及其相互关系例1『答案』(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．变式迁移1『答案』①③『解析』①的逆命题是“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真；②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，假；③若q ≤1，则Δ＝4－4q ≥0，所以x 2＋2x ＋q ＝0有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假．探究点二充要条件的判断例2『答案』(1)∵x －2＝0⇒(x －2)(x －3)＝0；而(x －2)(x －3)＝0x －2＝0.∴p 是q 的充分不必要条件．(2)∵两个三角形相似两个三角形全等；但两个三角形全等⇒两个三角形相似．∴p 是q 的必要不充分条件．(3)∵m <－2⇒方程x 2－x －m ＝0无实根；方程x 2－x －m ＝0无实根m <－2.∴p 是q 的充分不必要条件．(4)∵矩形的对角线相等，∴p ⇒q ；而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴qp .∴p 是q 的充分不必要条件．变式迁移2『答案』D『解析』①q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点⇔q ：Δ＝m 2－4(m ＋3)>0⇔q ：m <－2或m >6⇔p ；②当f (x )＝0时，由q p ；③若α，β＝k π＋π2，k ∈Z 时，显然cos α＝cos β，但tan α≠tan β；④p ：A ∩B ＝A ⇔p ：A ⊆B ⇔q ：∁U A ⊇∁U B .故①④符合题意．探究点三充要条件的证明例3证明 (1)必要性：设方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根x 0，则x 20＋2ax 0＋b 2＝0，x 20＋2cx 0－b 2＝0，两式相减可得x 0＝b 2c －a，将此式代入x 20＋2ax 0＋b 2＝0，可得b 2＋c 2＝a 2，故∠A ＝90°，(2)充分性：∵∠A ＝90°，∴b 2＋c 2＝a 2，b 2＝a 2－c 2.①将①代入方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，可得x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0，即(x ＋a －c )(x ＋a ＋c )＝0.将①代入方程x 2＋2cx －b 2＝0，可得x 2＋2cx ＋c 2－a 2＝0，即(x ＋c －a )(x ＋c ＋a )＝0.故两方程有公共根x ＝－(a ＋c )．所以方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.变式迁移3证明 (1)必要性：∵a ＋b ＝1，∴a ＋b －1＝0.∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.(2)充分性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，即(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.又ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0.∵a 2－ab ＋b 2＝(a －b 2)2＋34b 2>0. ∴a ＋b －1＝0，即a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.转化与化归思想的应用例『答题模板』『答案』∵mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，∴m ≠0. 『2分』另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，两方程都要有实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1＝161－m ≥0，Δ2＝16m 2－44m 2－4m －5≥0，解得m ∈『－54，1』．『6分』∵两根为整数，故和与积也为整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ∈Z 4m ∈Z 4m 2－4m －5∈Z ，∴m 为4的约数，『8分』∴m ＝－1或1，当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数，而当m ＝1时，两方程均为整数根，∴两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1. 『12分』『突破思维障碍』本题涉及到参数问题，先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决，两方程有实根易想Δ≥0.求出m 的范围，要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与两根之积都是整数．『易错点剖析』易忽略一元二次方程这个条件隐含着m ≠0，不易把方程的根都是整数转化为两根之和与两根之积都是整数．1．研究命题及其关系时，要分清命题的题设和结论，把命题写成“如果……，那么……”的形式，当一个命题有大前提时，必须保留大前提，只有互为逆否的命题才有相同的真假性．2．在解决充分条件、必要条件等问题时，要给出p 与q 是否可以相互推出的两次判断，同时还要弄清是p 对q 而言，还是q 对p 而言．还要分清否命题与命题的否定的区别．3．本节体现了转化与化归的数学思想．。

高三数学一轮复习-命题及其关系、充分条件与必要条件学案

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件【考纲下载】 1．理解命题的概念．2．了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．【知识梳理】1．命题在数学中，可以判断真假的用文字或符号表达的语句叫作命题．其中判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件前提：条件为p ，结论为q .定义：(1)若p ⇒q ，称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．(2)若p ⇔q ，称p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件． (3)若p ⇒/ q ，且q ⇒/ p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件．【牛刀小试】1．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2．命题“若x 2＞y 2，则x ＞y ”的逆否命题是( )A ．“若x ＜y ，则x 2＜y 2” B ．“若x ＞y ，则x 2＞y 2” C ．“若x ≤y ，则x 2≤y 2” D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2” 3．命题“如果b 2－4ac ＞0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．34．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数5．下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是( )A ．a ＞b ＋1B ．a ＞b －1C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3【热点题型】考点一、四种命题的关系[例1] (1)命题“若x ＞1，则x ＞0”的否命题是( )A ．若x ＞1，则x ≤0B ．若x ≤1，则x ＞0C ．若x ≤1，则x ≤0D ．若x ＜1，则x ＜0(2)命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数【互动探究】试写出本例(2)中命题的逆命题和否命题，并判断其真假性．1．命题p ：“若a ≥b ，则a ＋b ＞2 012且a ＞－b ”的逆否命题是 ( )A ．若a ＋b ≤2 012且a ≤－b ，则a ＜bB ．若a ＋b ≤2 012且a ≤－b ，则a ＞bC ．若a ＋b ≤2 012或a ≤－b ，则a ＜bD ．若a ＋b ≤2 012或a ≤－b ，则a ≤b 2．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题 B ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若x 2＞0，则x ＞1”的逆否命题．考点二、命题的真假判断[例2] (1)下列命题是真命题的是( ) A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x ＜y ，则x 2＜y 2(2)(2014·济南模拟)在空间中，给出下列四个命题： ①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面；③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线； ④两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线．其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④给出下列命题：①函数y ＝sin(x ＋k π)(k ∈R)不可能是偶函数； ②已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n－1(a ∈R ，a ≠0)，则数列{a n }一定是等比数列；③若函数f (x )的定义域是R ，且满足f (x )＋f (x ＋2)＝3，则f (x )是以4为周期的周期函数；④过两条异面直线外一点能作且只能作出一条直线和这两条异面直线同时相交．其中所有正确的命题有________(填正确命题的序号)．考点三、充要条件[例3] (1)(北京高考)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 (2)(2012·四川高考)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a|＝b|b|成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a∥bC ．a ＝2bD ．a∥b 且|a|＝|b| （3）随堂练习：1．“若b 2－4ac ＜0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”，其否命题是 ( )A ．若b 2－4ac ＞0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根 B ．若b 2－4ac ＞0，则ax 2＋bx ＋c ＝0有实根 C ．若b 2－4ac ≥0，则ax 2＋bx ＋c ＝0有实根 D ．若b 2－4ac ≥0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根2．f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )＋g (x )，则“f (x )，g (x )均为偶函数”是“h (x )为偶函数”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．(延安模拟)与命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”等价的命题是( )A ．若a ，b ，c 成等比数列，则b 2≠ac B ．若a ，b ，c 不成等比数列，则b 2≠ac C ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列 D ．若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列4．设a ＞0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．(南昌模拟)下列选项中正确的是( ) A ．若x ＞0且x ≠1，则ln x ＋1ln x≥2 B ．在数列{a n }中，“|a n ＋1|＞a n ”是“数列{a n }为递增数列”的必要不充分条件C ．命题“所有素数都是奇数”的否定为“所有素数都是偶数”D ．若命题p 为真命题，则其否命题为假命题6．已知p ：2x －1≤1，q ：(x －a )(x －a －1)≤0.若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞7．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝x 2－32x＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．答案：1．(福建高考)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当a ＝3时，A ＝{1,3}，A ⊆B ；反之，当A ⊆B 时，a ＝2或3，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分而不必要条件．2．命题“若x 2＞y 2，则x ＞y ”的逆否命题是( ) A ．“若x ＜y ，则x 2＜y 2” B ．“若x ＞y ，则x 2＞y 2” C ．“若x ≤y ，则x 2≤y 2” D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2” 解析：选C 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x 2＞y 2，则x ＞y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”．3．(教材习题改编)命题“如果b 2－4ac ＞0，则方程ax2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 原命题为真，则它的逆否命题为真，逆命题为“若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根，则b 2－4ac ＞0”，为真命题，则它的否命题也为真．4．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是 ( )A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数解析：选B 原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是B 选项．5．下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是 ( )A ．a＞b ＋1 B ．a ＞b －1 C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b3解析：选A 由a ＞b ＋1，且b ＋1＞b ，得a ＞b ；反之不成立.A ．若x ＞1，则x ≤0B ．若x ≤1，则x ＞0C ．若x ≤1，则x ≤0D ．若x ＜1，则x ＜0(2)命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数[自主解答] (1)因为“x ＞1”的否定为“x ≤1”，“x ＞0”的否定为“x ≤0”，所以命题“若x ＞1，则x ＞0”的否命题为：“若x ≤1，则x ≤0”．(2)由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数”．[答案] (1)C (2)C【互动探究】试写出本例(2)中命题的逆命题和否命题，并判断其真假性．解：逆命题：若x ＋y 是偶数，则x ，y 都是偶数．是假命题．否命题：若x ，y 不都是偶数，则x ＋y 不是偶数．是假命题．【方法规律】判断四种命题间关系的方法(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．(2)原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用．1．命题p ：“若a ≥b ，则a ＋b ＞2 012且a ＞－b ”的逆否命题是 ( )A ．若a ＋b ≤2 012且a ≤－b ，则a ＜bB ．若a ＋b ≤2 012且a ≤－b ，则a ＞bC ．若a ＋b ≤2 012或a ≤－b ，则a ＜bD ．若a ＋b ≤2 012或a ≤－b ，则a ≤b解析：选C “且”的否定是“或”，根据逆否命题的定义知，逆否命题为“若a ＋b ≤2 012或a ≤－b ，则a ＜b ”．2．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题 B ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若x 2＞0，则x ＞1”的逆否命题解析：选A A 中逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”是真命题；B 中否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”是假命题； C 中否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”是假命题； D 中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题． [例2] (1)下列命题是真命题的是( ) A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x ＜y ，则x 2＜y 2(2)(2014·济南模拟)在空间中，给出下列四个命题： ①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面；③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线； ④两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线．其中正确的是()A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④[自主解答] (1)取x ＝－1排除B ；取x ＝y ＝－1排除C ；取x ＝－2，y ＝－1排除D ，故选A.(2)对于①，由线面垂直的判定可知①正确；对于②，若点在平面的两侧，则过这两点的直线可能与该平面相交，故②错误；对于③，两条相交直线在同一平面内的射影可以为一条直线，故③错误；对于④，两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面内的无数条与交线垂直的直线，故④正确．综上可知，选D.[答案] (1)A (2)D 【方法规律】命题的真假判断方法(1)给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．(2)由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假．给出下列命题：①函数y ＝sin(x ＋k π)(k ∈R )不可能是偶函数； ②已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n－1(a ∈R ，a ≠0)，则数列{a n }一定是等比数列；③若函数f (x )的定义域是R ，且满足f (x )＋f (x ＋2)＝3，则f (x )是以4为周期的周期函数；④过两条异面直线外一点能作且只能作出一条直线和这两条异面直线同时相交．其中所有正确的命题有________(填正确命题的序号)．解析：①当k ＝12时，y ＝sin(x ＋k π)就是偶函数，故①错；②当a ＝1时，S n ＝0，则a n 的各项都为零，不是等比数列，故②错；③由f (x )＋f (x ＋2)＝3，则f (x ＋2)＋f (x ＋4)＝3，相减得f (x )－f (x ＋4)＝0，即f (x )＝f (x ＋4)，所以f (x )是以4为周期的周期函数，③正确；④过两条异面直线外一点，有时没有一条直线能与两条异面直线都相交，故④错．综上所述，正确的命题只有③.答案：③1．充分条件、必要条件是每年高考的必考内容，多以选择题的形式出现，难度不大，属于容易题．2．高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度： (1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；(3)与命题的真假性相交汇命题．[例3] (1)(2013·北京高考)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 (2)(2012·四川高考)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a|＝b|b|成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a∥bC ．a ＝2bD ．a∥b 且|a|＝|b|(3)给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件；④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真．命题的序号是________． [自主解答] (1)当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ，则曲线y ＝－sin 2x 过坐标原点，所以“φ＝π”⇒“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”；当φ＝2π时，y ＝sin(2x ＋2π)＝sin 2x ，则曲线y ＝sin 2x 过坐标原点，所以“φ＝π”⇐/“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”，所以“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．(2)a |a |，b |b |分别是与a ，b 同方向的单位向量，由a |a |＝b|b |，得a 与b 的方向相同．而a ∥b 时，a 与b 的方向还可能相反．故选C.(3)对于①，当数列{a n }为等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列，但当数列{a n a n ＋1}为等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m ＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m ＝3，也可能m ＝0.因此③不正确；对于④，由题意得b a ＝sin Bsin A＝3，若B ＝60°，则sin A ＝12，注意到b ＞a ，故A ＝30°，反之，当A ＝30°时，有sin B ＝32，由于b ＞a ，所以B ＝60°或B ＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④.[答案] (1)A (2)C (3)①④1．“若b 2－4ac ＜0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”，其否命题是 ( )A ．若b 2－4ac ＞0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根 B ．若b 2－4ac ＞0，则ax 2＋bx ＋c ＝0有实根 C ．若b 2－4ac ≥0，则ax 2＋bx ＋c ＝0有实根 D ．若b 2－4ac ≥0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根解析：选C 由原命题与否命题的关系可知，“若b 2－4ac ＜0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”的否命题是“若b 2－4ac ≥0，则ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”．2．f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )＋g (x )，则“f (x )，g (x )均为偶函数”是“h (x )为偶函数”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 因为f (x )，g (x )均为偶函数，可推出h (x )为偶函数，反之，则不成立．3．(2014·延安模拟)与命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”等价的命题是( )A ．若a ，b ，c 成等比数列，则b 2≠ac B ．若a ，b ，c 不成等比数列，则b 2≠ac C ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列 D ．若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列解析：选D 因为原命题与其逆否命题是等价的，所以与命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”等价的命题是“若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列”．4．设a ＞0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A “函数f (x )＝a x在R 上是减函数”的充要条件是p ：0＜a ＜1.因为g ′(x )＝3(2－a )x 2，而x 2≥0，所以“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充要条件是2－a ＞0，即a ＜2.又因为a ＞0且a ≠1，所以“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充要条件是q ：0＜a ＜2且a ≠1.显然p ⇒q ，但q ⇒/ p ，所以p 是q 的充分不必要条件，即“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件．5．(2014·南昌模拟)下列选项中正确的是( ) A ．若x ＞0且x ≠1，则ln x ＋1ln x≥2B ．在数列{a n }中，“|a n ＋1|＞a n ”是“数列{a n }为递增数6、 4、列”的必要不充分条件C ．命题“所有素数都是奇数”的否定为“所有素数都是偶数”D ．若命题p 为真命题，则其否命题为假命题解析：选B 当0＜x ＜1时，ln x ＜0，此时ln x ＋1ln x ≤－2，A 错；当|a n ＋1|＞a n 时，{a n }不一定是递增数列，但若{a n }是递增数列，则必有a n ＜a n ＋1≤|a n ＋1|，B 对；全称命题的否定为特称命题，C 错；若命题p 为真命题，其否命题可能为真命题，也可能为假命题，D 错．6．已知p ：2x －1≤1，q ：(x －a )(x －a －1)≤0.若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析：选A 令A ＝{x |2x －1≤1}，得A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1，令B ＝{x |(x －a )(x －a －1)≤0}，得B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若p 是q 的充分不必要条件，则A B ，需⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1⇒0≤a ≤12.7．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝x 2－32x＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.。

高考数学一轮复习学案：1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件(含答案)

高考数学一轮复习学案：1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件（含答案）1.2命题及其关系命题及其关系..充分条件与必要条件充分条件与必要条件最新考纲考情考向分析1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题.否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件.充分条件与充要条件的含义.命题的真假判断和充分必要条件的判定是考查的主要形式，多与集合.函数.不等式.立体几何中的线面关系相交汇，考查学生的推理能力，题型为选择.填空题，低档难度.1命题用语言.符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其相互关系1四种命题间的相互关系2四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系3充分条件.必要条件与充要条件的概念若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件pq且qpp是q的充要条件pqp是q的既不充分也不必要条件pq且qp知识拓展从集合的角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即Ax|px，Bx|qx，则关于充分条件.必要条件又可以叙述为1若AB，则p是q的充分条件；2若AB，则p是q的必要条件；3若AB，则p是q的充要条件；4若AB，则p是q的充分不必要条件；5若AB，则p是q的必要不充分条件；6若AB且AB，则p是q的既不充分也不必要条件题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1“对顶角相等”是命题2命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”3当q是p的必要条件时，p是q的充分条件4当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立5若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q 的必要不充分条件题组二教材改编2P8T3下列命题是真命题的是A矩形的对角线相等B 若ab，cd，则acbdC若整数a是素数，则a是奇数D命题“若x20，则x1”的逆否命题答案A3P12T22“x30”是“x3x40”的________条件填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”答案充分不必要题组三易错自纠4命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是A若xy2D 若xy，则x2y2答案B解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是“若xy，则x2y2”5“sin0”是“是第一象限角”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析由sin0，可得是第一或第二象限角及终边在y轴正半轴上；若是第一象限角，则sin0，所以“sin0”是“是第一象限角”的必要不充分条件故选B.6已知集合Ax122.题型一题型一命题及其关系命题及其关系1下列命题是真命题的是A若1x1y，则xyB若x21，则x1C若xy，则xyD若xy，则x2y2答案A2某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是A不拥有的人们会幸福B幸福的人们不都拥有C拥有的人们不幸福D不拥有的人们不幸福答案D3xx青岛调研下列命题“若a20的解集为R”的逆否命题；“若3xx0为有理数，则x为无理数”的逆否命题其中正确的命题是ABCD答案A解析对于，否命题为“若a2b2，则ab”，为假命题；对于，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，为假命题；对于，当a1时，12a1或xx2，则綈p是綈q的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析由5x6x2，得20.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为__________答案0,2解析由|2x1|0，得m0，m1212，0m2.2设nN*，一元二次方程x24xn0有整数根的充要条件是n________.答案3或4解析由164n0，得n4，又nN*，则n1,2,3,4.当n1,2时，方程没有整数根；当n3时，方程有整数根1,3，当n4时，方程有整数根2.综上可知，n3或4.等价转化思想在充要条件中的应用典例已知p1x132，qx22x1m20m0，綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________思想方法指导等价转化思想是指在解题中将一些复杂的.生疏的问题转化成简单的.熟悉的问题本题中既有对题目中条件的化简，又有充分必要条件和集合间关系的转化解析綈p是綈q的必要不充分条件，q是p的必要不充分条件即p是q的充分不必要条件，由x22x1m20m0，得1mx1mm0q对应的集合为x|1mx1m，m0设Mx|1mx1m，m0又由1x132，得2x10，p对应的集合为x|2x10设Nx|2x10由p是q的充分不必要条件知，NM，m0，1m2，1m10或m0，1m2，1m10，解得m9.实数m的取值范围为9，答案9，。

高考数一轮复习精品案：1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

2013版高考数学一轮复习精品学案：第一章集合与常用逻辑用语第二节命题及其关系、充分条件与必要条件【高考新动向】一、考纲点击1、理解命题的概念；2、了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。

二、热点、难点提示1、充分必要条件的判断和四种命题及其关系是本节考查的热点；2、多以选择题、填空题的形式出现，由于知识载体丰富，具有较强的综合性，属于中、低档题目；有时也在解答题中出现，考查对概念的理解与应用，难度不会太大。

【考纲全景透析】1、命题定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

2、四种命题及其关系（3）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为命题，它们的真假性没有关系；注：否命题是命题的否定吗？答：不是。

命题的否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定只否定命题的结论。

3、充分条件与必要条件（1）“若p，则q”为真命题，记p q⇒，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。

（2）如果既有p q⇒，又有q p⇒，记作p q⇔，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件。

【热点难点全析】一、命题的关系与真假的判断1、相关链接（1）对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假。

（2）四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假。

注：当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动。

2、例题解析〖例1〗】(1)(2012·苏州模拟)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是______.(2)(2012·岳阳模拟)命题“若a＞b，则a-1＞b-1”的否命题是______.(3)给出命题：若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是______.【解题指导】(1)、(2)先分清原命题的条件和结论，再根据四种命题的概念，写出逆命题、否命题.(3)在判断四种命题的真假时，可根据原命题与其逆否命题、原命题的逆命题与否命题的等价性来判断.【解析】(1)逆命题是将原命题的结论与条件互换位置，故该命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”.(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题，故该命题的否命题是“若a≤b，则a-1≤b-1”.(3)原命题与逆否命题等价，而原命题为真，所以逆否命题为真命题；原命题的逆命题为：若y=f(x)的图象不过第四象限，则函数y=f(x)是幂函数，此命题为假命题，又因为逆命题与否命题同真同假，所以否命题为假命题，故真命题的个数是1.答案：(1)若一个数的平方是正数，则它是负数(2)若a≤b，则a-1≤b-1(3)1〖例2〗以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题．①内接于圆的四边形的对角互补；②已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d；分析：首先应当把原命题改写成“若p则q”形式，再设法构造其余的三种形式命题．解析：对①：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”；逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”；否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”．对②：原命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“a＝b，c＝d”是条件，“a＋c＝b＋d”是结论．所以：逆命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d”；否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d”(注意“a＝b，c＝d”的否定是“a≠b或c≠d”只需要至少有一个不等即可)；逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a≠b或c≠d”．逆否命题还可以写成：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a＝b，c＝d两个等式至少有一个不成立”说明：要注意大前题的处理．试一试：写出命题“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假．二、充分条件与必要条件的判定1、相关链接（1）利用定义判断①若p q⇒，则p是q的充分条件；注：“p是q的充分条件”是指有p就有q，但无p也可能有q．如“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的一个充分(不必要)条件，但无“两个三角形全等”也可推出“两个三角形面积相等”，如“两个三角形同底等高”就又是“两个三角形面积相等”的另一个充分(不必要)条件．②若q p⇒，则p是q的必要条件；注：ⅰ “q是p的必要条件”是指有q才能有p，但有q未必有p．如，一个偶数未必能被6整除(q：为偶数，p：能被6整除)．ⅱp q⇒⇔q p⌝⇒⌝，即无q必然无p，可见q对于p来说必不可少。

(通用版)高考数学一轮复习 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件学案理-人教版高三全册数学学案

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1.理解命题的概念．2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．突破点一命题及其关系[基本知识]1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)“x2＋2x－8<0”是命题．( )(2)一个命题非真即假．( )(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.( )(4)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．( )答案：(1)×(2)√(3)√(4)×二、填空题1．命题“若x2<4，则－2<x<2”的否命题为________________，为________(填“真”或“假”)命题．答案：若x 2≥4，则x ≥2或x ≤－2 真2．设m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是____________________．答案：若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0 3．有下列几个命题：(1)“若a >b ，则1a >1b”的否命题；(2)“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； (3)“若|x |<4，则－4<x <4”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：(1)原命题的否命题为“若a ≤b ，则1a ≤1b”，假命题；(2)原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题；(3)原命题为真命题，故逆否命题为真命题．答案：(2)(3)[全析考法]考法一命题真假的判断[例1] 下面的命题中是真命题的是( ) A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则c a>0 C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若AB ―→·BC ―→>0，则B 为锐角[解析] y ＝sin 2x ＝1－cos 2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题；当M ⊆N 时，M ∪N ＝N ，故C 为假命题；在三角形ABC 中，当AB ―→·BC ―→>0时，向量AB ―→与BC ―→的夹角为锐角，B 应为钝角，故D 为假命题，故选B.[答案] B [方法技巧]判断命题真假的思路方法(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断．(2)当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这个命题真假的方法：①若由“p”经过逻辑推理，得出“q”，则可判定“若p，则q”是真命题；②判定“若p，则q”是假命题，只需举一反例即可．考法二四种命题的关系[例2] (1)(2019·长春质监)命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( )A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1(2)(2019·广东中山一中第一次统测)下列命题中为真命题的是( )A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题[解析] (1)命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q，则綈p”的形式，所以“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．故选D.(2)命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，是真命题，故A正确；命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，是假命题，故B错误；命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，是假命题，故C错误；命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题为“若x≤1，则x2≤0”，是假命题，故D错误．选A.[答案] (1)D (2)A[方法技巧]四种命题的关系及真假判断(1)判断关系时，先分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，注意四种命题间关系的相对性．(2)命题真假的判断方法①直接判断法：若判断一个命题为真，需经过严格的推理证明；若说明为假，只需举一反例．②间接判断法：转化成等价命题，再判断．[集训冲关]1.[考法二]命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：选C 否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知C 正确．2.[考法一、二]原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假解析：选B 因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z 1|＝|z 2|，当z 1＝1，z 2＝－1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题为假，故否命题也为假．故选B.3.[考法一]定义“正对数”：ln ＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x <1，ln x ，x ≥1.现有四个命题：①若a >0，b >0，则ln ＋(a b )＝b ln ＋a ； ②若a >0，b >0，则ln ＋(ab )＝ln ＋a ＋ln ＋b ； ③若a >0，b >0，则ln ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ≥ln ＋a －ln ＋b ；④若a >0，b >0，则ln ＋(a ＋b )≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. 其中的真命题有________(写出所有真命题的编号)．解析：对于①，当a ≥1时，a b≥1，则ln ＋(a b )＝ln a b ＝b ln a ＝b ln ＋a ；当0<a <1时，0<a b <1，则ln ＋(a b )＝0，b ln ＋a ＝0，即ln ＋(ab )＝b ln ＋a ，故①为真命题．同理讨论a ，b 在(0，＋∞)内的不同取值，可知③④为真命题．对于②，可取特殊值a ＝e ，b ＝1e，则ln ＋(ab )＝0，ln ＋a ＋ln ＋b ＝1＋0＝1，故②为假命题．综上可知，真命题有①③④. 答案：①③④突破点二充分条件与必要条件[基本知识]1．充分条件与必要条件的概念若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件p 是q 的充分不必要条件 p ⇒q 且q pp 是q 的必要不充分条件 pq 且q ⇒p p 是q 的充要条件 p ⇔qp 是q 的既不充分也不必要条件p q 且q p2.p 成立的对象构成的集合为A ，q 成立的对象构成的集合为Bp 是q 的充分条件 A ⊆B p 是q 的必要条件 B ⊆A p 是q 的充分不必要条件 A B p 是q 的必要不充分条件 B A p 是q 的充要条件A ＝B一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( )(2)当p 是q 的充要条件时，也可说成q 成立当且仅当p 成立．( ) (3)“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的必要不充分条件．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× 二、填空题1．“x ＝3”是“x 2＝9”的________条件(填“充分不必要”或“必要不充分”)．答案：充分不必要2．“ab >0”是“a >0，b >0”的________条件．答案：必要不充分3．xy ＝1是lg x ＋lg y ＝0的________条件．解析：lg x ＋lg y ＝lg(xy )＝0， ∴xy ＝1且x >0，y >0.所以“lg x ＋lg y ＝0”成立，xy ＝1必成立，反之无法得到x >0，y >0.因此“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件．答案：必要不充分4．设p ，r 都是q 的充分条件，s 是q 的充要条件，t 是s 的必要条件，t 是r 的充分条件，那么p 是t 的________条件，r 是t 的________条件(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空)．解析：由题知p ⇒q ⇔s ⇒t ，又t ⇒r ，r ⇒q ，故p 是t 的充分不必要条件，r 是t 的充要条件．答案：充分不必要充要[全析考法]考法一充分条件与必要条件的判断[例1] (1)(2018·北京高考)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·天津高考)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)a ，b ，c ，d 是非零实数，若a <0，d <0，b >0，c >0，且ad ＝bc ，则a ，b ，c ，d 不成等比数列(可以假设a ＝－2，d ＝－3，b ＝2，c ＝3)．若a ，b ，c ，d 成等比数列，则由等比数列的性质可知ad ＝bc .所以“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件．(2)由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12，得0＜x ＜1，则0＜x 3＜1，即“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”；由x 3＜1，得x ＜1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12≥12，即“x 3＜1”“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”．所以“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件．[答案] (1)B (2)A[方法技巧] 充分、必要条件的判断方法利用定义判断直接判断“若p ，则q ”“若q ，则p ”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么从集合的角度判断利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题利用等价转化法条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假考法二根据充分、必要条件求参数范围[例2] (2019·大庆质检)已知p ：x ≤1＋m ，q ：|x －4|≤6.若p 是q 的必要不充分条件，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，9]C ．[1,9]D ．[9，＋∞)[解析] 由|x －4|≤6，解得－2≤x ≤10，因为p 是q 的必要不充分条件，所以m ＋1≥10，解得m ≥9.故选D.[答案] D [方法技巧]根据充分、必要条件求参数范围的思路方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[集训冲关]1.[考法一]已知m ，n 为两个非零向量，则“m ·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 设m ，n 的夹角为θ，若π2<θ<π，则cos θ<0，所以m ·n <0；若θ＝π，则m ·n ＝－|m |·|n |<0.故“m ·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的必要不充分条件．故选B.2.[考法一]已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D α＝7π3，β＝π3均为第一象限角，满足α>β，但sin α＝sin β，因此不满足充分性；α＝－5π3，β＝π6均为第一象限角，满足sin α>sin β，但α<β，因此不满足必要性．故选D.3.[考法二]设M 为实数区间，a >0且a ≠1，若“a ∈M ”是“函数f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上单调递增”的充分不必要条件，则区间M 可以是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(0,1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析：选D 由函数f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上单调递增可知0<a <1，由题意及选项知区间M 可以是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.故选D.4.[考法二]已知p ：(x －m )2>3(x －m )是q ：x 2＋3x －4<0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________________．解析：p 对应的集合A ＝{x |x <m 或x >m ＋3}，q 对应的集合B ＝{x |－4<x <1}．由p 是q 的必要不充分条件可知B A ， ∴m ≥1或m ＋3≤－4，即m ≥1或m ≤－7. 答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)[课时跟踪检测] 1．(2019·合肥模拟)命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是( ) A ．若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0 B ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0或b ≠0 C ．若a ＝0或b ＝0，则a 2＋b 2≠0 D ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0且b ≠0解析：选A 原命题的逆否命题为“若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0”．故选A. 2．(2018·天津高考)设x ∈R ，则“x 3＞8”是“|x |＞2”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由x 3＞8⇒x ＞2⇒|x |＞2，反之不成立，故“x 3＞8”是“|x |＞2”的充分而不必要条件． 3．下列命题中为真命题的是( ) A ．mx 2＋2x －1＝0是一元二次方程B ．抛物线y ＝ax 2＋2x －1与x 轴至少有一个交点 C ．互相包含的两个集合相等 D ．空集是任何集合的真子集解析：选C A 中，当m ＝0时，是一元一次方程，故是假命题；B 中，当Δ＝4＋4a <0，即a <－1时，抛物线与x 轴无交点，故是假命题；C 是真命题；D 中，空集不是本身的真子集，故是假命题．4．(2019·合肥调研)“a >1”是“3a>2a”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 是增函数，又a >1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32a >1，所以3a >2a ；若3a >2a，则⎝ ⎛⎭⎪⎫32a >1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫320，所以a >0，所以“a >1”是“3a >2a”的充分不必要条件，故选A. 5．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号为( ) A ．①②③ B ．①② C ．①③D ．②③解析：选C 对于命题①，设球的半径为R ，则43π⎝ ⎛⎭⎪⎫R 23＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．6．(2019·咸阳模拟)已知p ∶m ＝－1，q ：直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由题意得直线x ＋m 2y ＝0的斜率是－1，所以－1m2＝－1，m ＝±1.所以p 是q 的充分不必要条件．故选A.7．(2019·重庆调研)定义在R 上的可导函数f (x )，其导函数为f ′(x )，则“f ′(x )为偶函数”是“f (x )为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 B ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴[f (－x )]′＝[－f (x )]′＝－f ′(x )， ∴f ′(－x )＝f ′(x )，即f ′(x )为偶函数；反之，若f ′(x )为偶函数，如f′(x)＝3x2，f(x)＝x3＋1满足条件，但f(x)不是奇函数，所以“f′(x)为偶函数”是“f(x)为奇函数”的必要不充分条件．故选B.8．(2019·抚州七校联考)A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是( )A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C 根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.9．(2019·济南模拟)原命题：“a，b为两个实数，若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是( )A．逆命题为：a，b为两个实数，若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，为假命题B．否命题为：a，b为两个实数，若a＋b<2，则a，b都小于1，为假命题C．逆否命题为：a，b为两个实数，若a，b都小于1，则a＋b<2，为真命题D．a，b为两个实数，“a＋b≥2”是“a，b中至少有一个不小于1”的必要不充分条件解析：选D 原命题：a，b为两个实数，若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1；逆命题：a，b为两个实数，若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2；否命题：a，b为两个实数，若a＋b<2，则a，b都小于1；逆否命题：a，b为两个实数，若a，b都小于1，则a＋b<2.逆否命题显然为真，故原命题也为真；若a＝1.2，b＝0.5，则a＋b≥2不成立，逆命题为假命题，所以否命题为假命题．所以“a＋b≥2”是“a，b中至少有一个不小于1”的充分不必要条件．故选D.10．已知：p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)<0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( )A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]解析：选B 由q：(x＋1)(2－x)<0，得x<－1或x>2，又p是q的充分不必要条件，所以k>2，即实数k的取值范围是(2，＋∞)，故选B.11．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．解析：逆命题为“若A ∩B ≠A ，则A ∪B ≠B ”；否命题为“若A ∪B ＝B ，则A ∩B ＝A ”；逆否命题为“若A ∩B ＝A ，则A ∪B ＝B ”．全为真命题．答案：412．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．解析：由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≤1，m ＋1≥2.∴1≤m ≤2.答案：[1,2]13．条件p ：1－x <0，条件q ：x >a ，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：p ：x >1，若p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q ，但qp ，也就是说，p 对应的集合是q 对应的集合的真子集，所以a <1.答案：(－∞，1)14．(2019·湖南十校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }为等比数列”的____________条件．解析：若A ＝B ＝0，则S n ＝0，数列{a n }不是等比数列．如果{a n }是等比数列，由a 1＝S 1＝Aq ＋B ，得a 2＝S 2－a 1＝Aq 2－Aq ，a 3＝S 3－S 2＝Aq 3－Aq 2， ∴a 1a 3＝a 22，从而可得A ＝－B ，故“A ＝－B ”是“数列{a n }为等比数列”的必要不充分条件．答案：必要不充分15．(2019·湖南长郡中学模拟)已知函数f (x )＝4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －23cos 2x －1，p ：π4≤x ≤π2，q ：|f (x )－m |<2，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：化简解析式，得f (x )＝4·1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 2－23cos 2x －1＝2sin 2x －23cos2x ＋1＝4sin ( 2x －π3)＋1. 当π4≤x ≤π2时，π6≤2x －π3≤2π3，则12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，所以f (x )∈[3,5]．当|f (x )－m |<2时，f (x )∈(m －2，m ＋2)．又p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m －2<3，m ＋2>5，所以3<m <5.即实数m 的取值范围为(3,5).。

高考数学统考一轮复习第1章第2节命题及其关系充分条件与必要条件教师用书教案理新人教版

命题及其关系、充分条件与必要条件[考试要求] 1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．提醒：在四种形式的命题中，真命题的个数只能是0,2,4.3．充分条件、必要条件与充要条件的概念p⇒q p是q的充分条件，q是p的必要条件p⇒q，且q p p是q的充分不必要条件p q，且q⇒p p是q的必要不充分条件p⇔q p是q的充要条件p q，且q p p是q的既不充分也不必要条件提醒：A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A，A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，弄清它们区别的关键是分清谁是条件，谁是结论．[常用结论]1．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．其他情况依次类推．2．充分、必要条件与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”．( )(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”． ( )[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材习题衍生1．下列命题是真命题的是()A．矩形的对角线相等B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若整数a是素数，则a是奇数D．命题“若x2＞0, 则x＞1”的逆否命题A[令a＝c＝0，b＝d＝－1，则ac＜bd，故B错误；当a＝2时，a是素数但不是奇数，故C错误；取x＝－1，则x2＞0，但x＜1，故D错误．]2．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是()A．“若x＜y，则x2＜y2”B．“若x＞y，则x2＞y2”C．“若x≤y，则x2≤y2”D．“若x≥y，则x2≥y2”C[根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”．故选C ．]3．“(x －1)(x ＋2)＝0”是“x ＝1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [若x ＝1，则(x －1)(x ＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x －1)(x ＋2)＝0，则x 的值也可能为－2.故选B ．]4．命题“若α＝π3，则sin α＝32”的逆命题为________命题，否命题为________命题．(填“真”或“假”)假假 [若α＝π3，则sin α＝32的逆命题为“若sin α＝32，则α＝π3”是假命题；否命题为“若α≠π3，则sin α≠32”是假命题．]考点一命题及其关系判断命题真假的两种方法A ．若x ≠y ≠0(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2＝0B ．若x ＝y ≠0(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2≠0C ．若x ≠0且y ≠0(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2≠0D ．若x ≠0或y ≠0(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2≠0D [x 2＋y 2＝0的否定为x 2＋y 2≠0，x ＝y ＝0的否定为x ≠0或y ≠0，因此逆否命题为“若x ≠0或y ≠0(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2≠0，”故选D ．]2．给出命题：若a ＞－3，则a ＞6.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A．3 B．2 C．1 D．0B[原命题是假命题，则其逆否命题也是假命题．其逆命题“若a＞6，则a＞－3”是真命题，则其否命题为真命题，因此真命题的个数为2，故选B．]3．下列命题为假命题的是()A．命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的否命题C．命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题D．命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题D[对于A，逆命题“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题．对于B，逆命题“若x＞|y|，则x＞y”为真命题，从而否命题也为真命题．对于C，由Δ＝4－4m≥0知，原命题正确，从而逆否命题正确．对于D，由A∩B＝B知，B⊆A，则原命题错误，从而逆否命题错误，故选D．]点评：在判断一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的真假时，只需判断原命题和它的逆命题的真假即可．考点二充分、必要条件的判定判断充分、必要条件的三种方法A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件(2)(2019·浙江高考)若a＞0，b＞0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(3)设a ，b ∈R ，则“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)B (2)A (3)B [(1)p ：x <3，q ：－1<x <3，可得q ⇒p ，而p 推不出q .则q 是p 成立的充分不必要条件．故选B ．(2)由a ＞0，b ＞0，若a ＋b ≤4，得4≥a ＋b ≥2ab ，即ab ≤4，充分性成立；当a ＝4，b ＝1时，满足ab ≤4，但a ＋b ＝5＞4，不满足a ＋b ≤4，必要性不成立．故“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件，选A ．(3)(等价转化法)问题转化为判断“a ＋b ＝3”是“a ＝1且b ＝2”的什么条件．由a ＋b ＝3a ＝1且b ＝2，反之，a ＝1且b ＝2⇒a ＋b ＝3，因此“a ＋b ＝3”是“a ＝1且b ＝2”的必要不充分条件，从而“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的必要不充分条件，故选B ．]点评：判断充要条件时，要双向推导，说明推不出时，可恰当取特殊值作反例．[跟进训练]1．已知a ，b 都是实数，那么“3a ＞3b ”是“a 3＞b 3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C [3a ＞3b ⇒a ＞b ⇒a 3＞b 3，反之a 3＞b 3⇒a ＞b ⇒3a ＞3b ，因此3a ＞3b 是a 3＞b 3的充要条件，故选C ．]2．设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [由⎪⎪⎪⎪x －12＜12得0＜x ＜1，由x 3＜1得x ＜1，因为0＜x ＜1⇒x ＜1，但x ＜10＜x ＜1，所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分不必要条件，故选A ．] 考点三充分条件、必要条件的探求与应用1．充分、必要条件的探求方法(与范围有关)先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推大”的方法确定符合题意的条件．2．利用充要条件求参数的两个关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．[典例2－1]不等式x(x－2)＜0成立的一个必要不充分条件是()A．x∈(0,2) B．x∈[－1，＋∞)C．x∈(0,1) D ．x∈(1,3)B[解不等式x(x－2)＜0得0＜x＜2，因此x∈(0,2)是不等式x(x－2)＜0成立的充要条件，则所求必要不充分条件应包含集合{x|0＜x＜2}，故选B．]利用充分、必要条件求参数的取值范围[典例2－2]已知P＝{x|－2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S 的必要条件，则m的取值范围为________．[0,3] [由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.又S为非空集合，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤1＋m，1－m≥－2，1＋m≤10，∴0≤m≤3.即所求m的取值范围是[0,3]．][母题变迁]把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m的取值范围．[解]由x∈P是x∈S的充分条件，知P⊆S，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤1＋m，1－m≤－2，1＋m≥10，解得m≥9，即所求m的取值范围是[9，＋∞)．[跟进训练]1．命题“∀x ∈[1,3]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥9B ．a ≤9C ．a ≥10D ．a ≤10C [由题意知，a ≥x 2对x ∈[1,3]恒成立，则a ≥9.因此a ≥10是命题“∀x ∈[1,3]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件，故选C ．]2．使a ＞0，b ＞0成立的一个必要不充分条件是( )A ．a ＋b ＞0B ．a －b ＞0C ．ab ＞1D ．a b ＞1 A [a ＞0，b ＞0⇒a ＋b ＞0，但a ＋b ＞0a ＞0，b ＞0.因此a ＋b ＞0是a ＞0，b ＞0的一个必要不充分条件，故选A ．]3．设p ：1＜x ＜2；q ：(x －a )(x －1)≤0.若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．[2，＋∞) [由题意知{x |1＜x ＜2}{x |(x －a )(x －1)≤0}，则a ＞1，即{x |1＜x ＜2}{x |1≤x ≤a }，从而a ≥2.]。

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高考数学一轮复习 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件精品学案【高考目标导航】一、考纲点击 1、理解命题的概念；2、了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。

【考纲知识梳理】 1、命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

2、四种命题及其关系（1）四种命题命题表述形式原命题若p ，则q 逆命题若q ，则p 否命题若p ⌝，则q ⌝ 逆否命题若q ⌝，则p ⌝（3）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为命题，它们的真假性没有关系；注：否命题是命题的否定吗？答：不是。

命题的否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定只否定命题的结论。

3、充分条件与必要条件（1）“若p ，则q ”为真命题，记p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

（2）如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，记作p q ⇔，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件。

【要点名师透析】一、命题的关系与真假的判断 1、相关链接（1）对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假。

注：当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动。

2、例题解析〖例1〗设原命题是“已知p 、q 、m 、n 是实数，若p=q ，m=n ，则p ＋m=q ＋n”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．解：逆命题：“已知p 、q 、m 、n∈R，若p ＋m=q ＋n ，则p=q ，m=n(假)．原命题：“已知p 、q 、m 、n∈R，若p≠q，m≠n，则p ＋m≠q＋n”(假) 逆否命题：“已知p 、q 、m 、n∈R，若p ＋m≠q＋n ，则p≠q 或m≠n”(真) 注，否命题“若p≠q，m≠n”应理解为“p≠q 或m≠n”即是指：①p≠q，但m=n ，②p=q 但m≠n，而不含p≠q 且m≠n．因为原命题中的条件：“若p=q ，m=n ．”应理解为“若p=q 且m=n ，”而这一语句的否定应该是“p≠q 或m≠n”．〖例2〗以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题． ①内接于圆的四边形的对角互补；②已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d ；分析：首先应当把原命题改写成“若p 则q ”形式，再设法构造其余的三种形式命题．解析：对①：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”；逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”；否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”．对②：原命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d ”，其中“已知a 、b 、c 、d 是实数”是大前提，“a ＝b ，c ＝d ”是条件，“a ＋c ＝b ＋d ”是结论．所以：逆命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ＝b ＋d ，则a ＝b ，c ＝d ”；否命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ≠b 或c ≠d ，则a ＋c ≠b ＋d ”(注意“a ＝b ，c ＝d ”的否定是“a ≠b 或c ≠d ”只需要至少有一个不等即可)；逆否命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ≠b ＋d 则a ≠b 或c ≠d ”．逆否命题还可以写成：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ≠b ＋d 则a ＝b ，c ＝d 两个等式至少有一个不成立”说明：要注意大前题的处理．试一试：写出命题“当c ＞0时，若a ＞b ，则ac ＞bc ”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假．二、充分条件与必要条件的判定 1、相关链接（1）利用定义判断①若p q ⇒，则p 是q 的充分条件；注：“p 是q 的充分条件”是指有p 就有q ，但无p 也可能有q ．如“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的一个充分(不必要)条件，但无“两个三角形全等”也可推出“两个三角形面积相等”，如“两个三角形同底等高”就又是“两个三角形面积相等”的另一个充分(不必要)条件．②若q p ⇒，则p 是q 的必要条件；注：ⅰ “q 是p 的必要条件”是指有q 才能有p ，但有q 未必有p ．如，一个偶数未必能被6整除(q ：为偶数，p ：能被6整除)．ⅱ③若p q ⇒且q p ⇒，p 是q 的充要条件； ④⑤p 是q 的必要而不充分条件．⑥（2）利用集合判断记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B ，则：若,A B ⊆则p 是q 的充分条件; 若AB ，则p 是q 的充分不必要条件；若,A B p q ⊇则是的必要条件；若BA ，则p 是q 的必要不充分条件；若A=B ，则p 是q 的充要条件；注：p 与q 之间的关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆。

2、例题解析〖例1〗 “21=m ”是“直线03)2()2(013)2(=-++-=+++y m x m my x m 与直线相互垂直”的（） A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案：B ；解析：当12m =时两直线斜率乘积为1-从而可得两直线垂直,当2m =-时两直线一条斜率为0一条斜率不存在,但两直线仍然垂直.因此12m =是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件。

注：对于两条直线垂直的充要条件①12,k k 都存在时12.1k k =-②12,k k 中有一个不存在另一个为零对于②这种情况多数考生容易忽略。

〖例2〗已知p ：x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根，q ：x 1＋x 2＝－5，则p 是q 的[ ]A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件分析：利用韦达定理转换．解析：∵x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根， ∴x 1，x 2的值分别为1，－6， ∴x 1＋x 2＝1－6＝－5．因此选A ．说明：判断命题为假命题可以通过举反例三、充要条件的证明〖例1〗（12分）求证方程ax 2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a ≤0或a=1. 分析：（1）讨论a 的不同取值情况；（2）利用根的判别式求a 的取值范围.解答：充分性：当a=0时，方程变为2x+1=0,其根为x=12-,方程只有一个负根；当a=1时，方程为x2+2x+1=0.其根为x=-1, 方程只有一个负根。

当a<0时，Δ=4（1-a）>0,方程有两个不相等的根，且1a<0,方程有一正一负根。

必要性：若方程ax2+2x+1=0有且仅有一个负根。

当a=0时，适合条件。

当a≠0时，方程ax2+2x+1=0有实根，则Δ=4（1-a）≥0，∴a≤1,当a=1时，方程有一个负根x=-1.若方程有且仅有一负根，则11aa<⎧⎪⎨<⎪⎩∴a<0综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为a≤0或a=1注：（1）条件已知证明结论成立是充分性，结论已知证明条件成立是必要性；（2）证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性。

证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件下的两次证明；（3）证明条件时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论。

〖例1〗给出下列各组条件：(1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有实根；(4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1．其中p是q的充要条件的有[ ]A．1组 B．2组 C．3组 D．4组分析：使用方程理论和不等式性质．解析： (1)p是q的必要条(2)p是q充要条件(3)p是q的充分条件(4)p是q的必要条件．选A．说明：ab＝0指其中至少有一个为零，而a2＋b2＝0指两个都为零．【感悟高考真题】〖例1〗（2011·安徽高考理科·Ｔ7）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定．．是（A ）所有不能被2整除的整数都是偶数（B ）所有能被2整除的整数都不是偶数（C ）存在一个不能被2整除的整数是偶数（D ）存在一个不能被2整除的整数不是偶数【思路点拨】此命题为全称命题，全称命题的否定为相应的特称命题.【精讲精析】选D. 全称命题的否定为相应的特称命题，即将所有变为存在，并且将结论进行否定.〖例2〗（2011·福建卷理科·Ｔ2）若a ∈R ，则“a =2”是“（a -1）（a -2）”=0的( ) (A).充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C).充要条件 (D).既不充分又不必要条件【思路点拨】解决本题的关键是判断“a =2”与“（a -1）（a -2）=0”两者之间满足怎样的推出关系. 【精讲精析】选A .由(1)(2)0a a --=得1a =或2a =，所以2(1)(2)0a a a =⇒--= 而(1)(2)a a --=0 ⇒2a =，故2a =是(1)(2)0a a --=的充分而不必要条件.〖例3〗（2011·江西高考理科·Ｔ8）已知123,,ααα是三个相互平行的平面，平面12,αα之间的距离为1d ，平面23,a α之前的距离为2d ，直线l 与123,,ααα分别相交于123,,P P P .那么“1223P P P P =”是“12d d =”的( )A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件【思路点拨】先根据面面平行的性质定理得出，线线平行，再根据平行线分线段成比例这一性质，易得两者之间的关系.【精讲精析】选C.如图所示，由于231323121122312232//,P P N P M //P N,P P d,P P P P d d .P P d ==αα=⇔同时被第三个平面所截，故有再由平行线分线段成比例易得，因此〖例4〗（2011·山东高考理科·Ｔ5）对于函数y=f （x ），x ∈R ，“y=|f(x)|的图像关于y 轴对称”是“y=f（x ）是奇函数”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【思路点拨】考察充分必要条件【精讲精析】选B.“y=f （x ）是奇函数”，图象关于原点对称，所以“y=|f(x)|的图像关于y 轴对称” “y=|f(x)|的图像关于y 轴对称”， y=f （x ）的图象关于y 轴对称或者关于原点对称，所以y=f （x ）不一定为奇函数〖例5〗（2010湖南文数）2. 下列命题中的假命题．．．是 A. ,lg 0x R x ∃∈= B. ,tan 1x R x ∃∈= C. 3,0x R x ∀∈> D. ,20x x R ∀∈> 【答案】C【解析】对于C 选项x ＝1时，()10x -2=，故选C 〖例6〗（2010陕西文数）6.“a ＞0”是“a ＞0”的[A](A)充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件解析：本题考查充要条件的判断00,00>⇒>>⇒>a a a a ，∴ a ＞0”是“a ＞0”的充分不必要条件〖例7〗（2010浙江文数）（6）设0＜x ＜2π，则“x sin 2x ＜1”是“x sinx ＜1”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件解析：因为0＜x ＜2π，所以sinx ＜1，故xsin 2x ＜xsinx ，结合xsin 2x 与xsinx 的取值范围相同，可知答案选B ，本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力，属中档题【考点模拟演练】（1）（（2011届·成都高三摸底（理）））已知命题p ：若x ＝y x y =(A )命题p 正确，其逆命题也正确 (B )命题p 正确，其逆命题不正确 (C )命题p 不正确，其逆命题正确 (D )命题p 不正确，其逆命题也不正确答案：C（2）（2011届·湖南省长沙市一中高三月考（理））5．若命题“2,(1)10x R x a x ∃∈+-+<使”是假命题，则实数a 的取值范围为（）A ．13a ≤≤B ．11a -≤≤C ．33a -≤≤D ．13a -≤≤答案：D（3）记等比数列{}n a 的公比为q ，则“1q >”是“*1()n n a a n N +>∈”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案：D解析：可以借助反例说明：①如数列：1,2,4,8,---- 公比为2，但不是增数列；②如数列：1111,,,,248---- 是增数列，但是公比为112<．（4）（2011届·长沙市一中高三月考（文））已知命题p ：关于x 的函数234y x ax =-+在[1，+∞）上是增函数，命题q ：关于x 的函数(21)xy a =-在R 上为减函数，若p 且q 为真命题，则a 的取值范围是（）A ．23a ≤B ．102a <<C ．1223a <≤ D ．112a << 答案：C（5）（2011届·湖南嘉禾一中高三学情摸底）“x>1”是“x x >2”成立的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分又不必要条件答案：C（6）（2011届·湖南省长沙市一中高三月考（理））若集合2{1,},{2,4},"2"A m B m ===则是"{4}"A B ⋂=的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A（7）2011届·温州市高三八校联考（文） “2a =”是“直线2()0a a x y -+=和直线210x y ++=互相平行”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A（8）已知a ，b ，c ，d 为实数，且c ＞d .则“a ＞b ”是“a －c ＞b －d ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】显然，充分性不成立.又，若a －c ＞b －d 和c ＞d 都成立，则同向不等式相加得a ＞b即由“a －c ＞b －d ”⇒“a ＞b ”（9）”“22≤≤-a 是“实系数一元二次方程012=++ax x 有虚根”的（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件答案：A解析：△＝2a －4＜0时，－2＜a ＜2，因为”“22≤≤-a 是“－2＜a ＜2”的必要不充分条件，故选A （10）2011届·汕头华侨中学高三摸底（理）已知1a >，22xxf (x )a +=，则1f (x )<成立的一个充分不必要条件是( ) A ．01x <<B ．10x -<<C ．20x -<<D ．21x -<<答案：B（11）（2011届·怀柔区一模(理)）若a ＝(1,2,－3)，b ＝(2,a －1,a 2－31)，则“a ＝1”是“a ⊥b ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案:A（12）（2011届·东城区一模（文））给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，则这两个平面互相平行； ②若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行；③若两个平面互相垂直，则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面；④若两个平面互相平行，则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面.其中为真命题的是（）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④答案：D 二、填空题（1）若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-34,21 （2）（2011届·湖北监利一中高三月考（文））若:(3)(1)0p x x -+< ，:12q x -<，则p 是q 的______________ 条件。