内蒙古赤峰市宁城县高二数学上学期期末考试试题理

2016-2017学年度上学期期末素质测试试卷高二数学（必修③⑤，选修2-1.理科卷）（全卷满分150分,考试时间为120分钟）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分）1．已知集合{}{}2230,430M x x x N x x x =->=-+>,则M N =(A)()0,1 (B)()1,3 (C)()0,3 (D)()3,+∞2. 抛物线26y x =的焦点到准线的距离为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）43．甲、乙两位同学本学期几次数学考试的平均成绩很接近，为了判断甲、乙两名同学成绩哪个稳定，需要知道这两个人的（A ）中位数 （B ）众数 （C ）方差 （D ）频率分布4．若实数a b c ，，满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项中不一定成立的是 （Ａ）ab ac > （Ｂ）22cb ab <（Ｃ）()0c b a -> （Ｄ）()0ac a c -<5．双曲线的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为（A ） 2 （B ）3（C ）2 （D ）23 6．已知5432()54321f x x x x x x =+++++，若用秦九韶算法求(5)f 的值，下面说法正确的是（A ）至多4乘法运算和5次加法运算 （B ）15次乘法运算和5次加法运算 （C ）10次乘法运算和5次加法运算 （D ）至多5次乘法运算和5次加法运算7．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）978．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ，B 点表示四月的平均最低气温约为5 C.下面叙述不正确的是(A) 各月的平均最低气温都在0C 以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均最高气温高于20C 的月份有5个9．ABC △的两边长为23，，其夹角的余弦为13，则其外接圆半径为 （Ａ）922 （Ｂ）924 （Ｃ）928 （Ｄ）22910．设()n f x 是等比数列21,,,,()nx x x --的各项和，则()20162f 等于（A ）2016213+ （B ）2016213- （C ）2017213+ （D ）2017213-11．已知方程0,,0(022>≠≠=++=+c b a ab c by ax ab by ax 其中和，它们所表示的曲线可能是（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若点P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是 （A ）直线 （B ）圆（C ）双曲线（D ）抛物线第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分） 13. 执行如图所示的程序框图，若输入2x =， 则输出y 的值为______________;14．△ABC 的两个顶点为A(-1,0)，B(1,0)，△ABC 周长为6，则C 点轨迹为__________;15．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值=______________;16. 设方程()0f x y =，的解集非空．如果命题“坐标满足方程()0f x y =，的点都在曲线C 上”是不正确的，有下面5个命题: ①坐标满足()0f x y =，的点都不在曲线C 上； ②曲线C 上的点的坐标都不满足()0f x y =，； ③坐标满足()0f x y =，的点不都在曲线C 上； ④一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足()0f x y =，；⑤坐标满足()0f x y =，的点有些在曲线C 上，有些不在曲线C 上。

则上述命题正确的是_____________________.（填上所有正确命题的序号）三、解答题（共6小题，满分70分） 17. （本题满分10分）已知命题p ：02082≤--k k ，q ：方程11422=-+-ky k x 表示焦点在x 轴上的双曲线. （Ⅰ）若命题q 为真命题，求实数k 的取值范围；（Ⅱ）若命题“q p ∨”为真，命题“q p ∧”为假，求实数k 的取值范围.18.（本题满分12分）在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A ． (Ⅰ)确定角C 的大小；(Ⅱ)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．19．（本题满分12分）设{}n a 是公差为d 的等差数列．（Ⅰ）推导{}n a 的前n 项和n S 公式（用1,a d 表示）； （Ⅱ）证明数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等差数列．1频数（天）步数(千步)2319181716P MD CBA20. （本题满分12分）小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”, 并用计步器进行统计.小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（图1）及相应的消耗能量数据表（表1）如下：图1 表1 （Ⅰ）求小王这8天 “健步走”步数的平均数；（Ⅱ）从步数为17千步，18千步,19千步的几天中任选2天，求小王这2天通过“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里的概率.21．（本题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ∆为等边三角形,12AB AD CD ==,AB AD ⊥,//AB CD ,点M 是PC 的中点．（I ）求证://MB 平面PAD ；（II ）求二面角P BC D --的余弦值；22．（本题满分12分）已知椭圆C2222:1(0)x ya ba b+=>>的离心率为3,点1(3,)2在椭圆C上．直线l过点(1,1)，且与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点O为坐标原点，延长线段OM与椭圆C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求出此时直线l的方程，若不能，说明理由．2016-2017学年度上学期期末素质测试试卷高二理科数学参考答案一、选择题：ACC B ADCD BCBD二、13、23；14、()221043x y y +=≠；15、3；16、③④ 三、解答题17、解：由02082≤--k k ，得102≤≤-k ，即p ：102≤≤-k .----------------------2分 由⎩⎨⎧<->-0104k k ，得41<<k ，即q ：41<<k .--------------4分（1）由命题q 为真命题，得实数k 的取值范围为(1,4).----------------------6分（2）由题意知命题p ，q 一真一假.若p 真q 假， 则⎩⎨⎧≥≤≤≤-41102k k k 或，解得21k -≤≤或410k ≤≤；若p 假q 真，则21014k k k <->⎧⎨<<⎩或，此时无解.-----------------8分∴实数k 的取值范围为[2,1][4,10]-.-----------------------10分18. 解：(1)由3a ＝2c sin A 及正弦定理得，3sin A ＝2sin C sin A ．-----------2分∵sin A ≠0，∴sin C ＝32，∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝π3.------------------4分(2)∵C ＝π3，△ABC 面积为332，∴12ab sin π3＝332，即ab ＝6.①--------------------6分 ∵c ＝7，∴由余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7.②----------------------------9分 由②变形得(a ＋b )2＝3ab ＋7.③将①代入③得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5.----------------12分 19.解：（Ⅰ）因为1(1)n a a n d =+-，且123n n S a a a a =++++H z y xK O A BCDM P即()()()111121n S a a d a d a n d =++++++-⎡⎤⎣⎦ ①----------2分 121n n n S a a a a -=++++()()()21n n n n n S a a d a d a n d =+-+-++--⎡⎤⎣⎦ ②-----------4分①+②得()12n n S n a a =+ ∴()()()1111111222n n n a a n n S n a a n d na d +-==++-=+⎡⎤⎣⎦-------------7分 （Ⅱ）∵11(1)2n S a n d n =+-----------------------8分 ∴当2n ≥时,11111(1)(2)1222n n S S da n d a n d n n -⎡⎤⎡⎤-=+--+-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-----------------11分∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1a 为首项,2d 为公差的等差数列.-------------12分20、解: (I) 小王这8天 每天“健步走”步数的平均数为16317218119217.258⨯+⨯+⨯+⨯=（千步） . ……………………6分（II ）设小王这2天通过“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里为事件.A“健步走”17千步的天数为2天，记为12,,a a “健步走”18千步的天数为1天，记为1,b “健步走”19千步的天数为2天，记为12,.c c5天中任选2天包含基本事件有：12111112212122111212,,,,,,,,,,a a a b a c a c a b a c a c b c b c c c 共10个.事件A 包含基本事件有：111212,,b c b c c c 共3个.所以3().10P A = ……………………12分21．（Ⅰ）证明:取PD 中点H ,连结,MH AH . 因为 M 为PC 中点 ,所以 1//,2HM CD HM CD =.因为1//,2AB CD AB CD =. 所以//AB HM 且AB HM =.所以四边形ABMH 为平行四边形,-----------------------------2分所以 //BM AH .因为 BM PAD ⊄平面,AH ⊂平面PAD ,所以//BM 平面PAD . …………………………..4分（Ⅱ） 取AD 中点O ,连结.PO因为 PA PD =, 所以PO AD ⊥.因为 平面PAD ⊥平面ABCD , 平面PAD平面ABCD AD =,PO ⊂平面PAD ,所以PO ABCD ⊥平面.-----------------------------------------------6分取BC 中点K ,连结OK ,则//.OK AB 以O 为原点,如图建立空间直角坐标系, 设2,AB =则 (1,0,0),(1,2,0),(1,4,0),(1,0,0),(0,0,3),A B C D P --(2,2,0),(1,2,3)BC PB =-=-.平面BCD 的法向量(0,0,3)OP =,--------------------------8分 设平面PBC 的法向量(,,)n x y z =,由0,0,BC n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得220,230.x y x y z -+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩令1x =，则(1,1,3)n =.----------------------------------9分15cos ,5||||OP n OP n OP n ⋅<>==.------------------------10分 由图可知，二面角P BC D --是锐二面角， 所以二面角P BC D --的余弦值为155. …………………………..12分 22．解：（I ）由题意得222223311,4.c e a ab a bc ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得224,1a b ==.所以椭圆C 的方程为22 1.4x y += …………………………..4分（Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形．（1）当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为1x = 满足题意；----------5分 （2）当直线l 与x 轴不垂直时，设直线:l y kx m =+， 显然0,0k m ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．将y kx m =+代入22 1.4x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=，------------6分2221228(8)4(41)(44)0,.41kmkm k m x x k -=-+->+=+ 故1224241M x x km x k +==-+，241M M my kx m k =+=+. 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2,2.P M P M x x y y =⎧⎨=⎩．则2222()()82114441km m k k -++=+. ---------------------9分由直线:l y kx m =+(0,0)k m ≠≠，过点(1,1)，得1m k =-. 则2222(164)(1))1(41k k k +-+=，则2(41)(83)0k k +-= . 即35,.88k m == 满足0.>所以直线l 的方程为3588y x =+时，四边形OAPB 为平行四边形．综上所述：直线l 的方程为3588y x =+或1x = . ………………..12分。