振动和波(北邮版09级)
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2.振动和波考试重点和习题答案
第八章 振动和波下面重点要考试内容：1.掌握简谐振动的基本概念、简谐振动的余弦表达式2.掌握旋转矢量表示法、振幅、相位概念、掌握振动能量的公式3.掌握同方向同频率谐振动的合成4.掌握平面简谐波的表达式及其意义、掌握波的能流密度和波的干涉5.理解机械波的产生和传播、惠更斯原理、波的衰减;；理解拍、相互垂直谐振动的合成8-1 试解释下列名词:简谐振动、振幅、频谱分析、基频、频谱图、波动、横波、纵波、波阵面、波的强度。
答: ①简谐振动:质点在弹性力（或准弹性力）作用下所作的振动叫简谐振动，其加速度与离开平衡位置的位移成正比，且方向相反。
②振幅:振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅。
③频谱分析:将任一周期性振动分解为多个简谐振动之和的过程，称为频谱分析。
④基频:一个复杂的振动可以分解为若干个频率不同的简谐振动之和，这些分振动频率中最低的频率称为基频，它与原振动的频率相同。
⑤频谱图:将组成一个复杂振动的各分振动的频率和振幅找出来，按振幅与频率关系列出谱线，这种图称为频谱图。
⑥波动:振动在介质中的传播现象叫波动，它也是一种重要的能量传播过程。
其中简谐振动在介质中传播所形成的波叫简谐波。
⑦横波:波在介质中传播时，如果介质中各质点振动的方向与波的传播方向垂直，则该波叫做横波。
⑧纵波:如果介质中各质点振动的方向与波的传播方向相互平行，则这种波称为纵波。
⑨波阵面:在波传播的介质中，质点振动相位相同的各点连成的面称为波阵面。
⑩波的强度:单位时间内通过垂直于波的传播方向单位面积上的平均能量，称为波的强度。
8-2 有一质点作简谐振动，试分析它在下列位置时的位移、速度、加速度的大小和方向:①平衡位置，向正方向运动;②平衡位置，向负方向运动;③正方向的端点;④负方向的端点。
解: 设该质点的振动方程为:)cos(ϕω+=t A x将它对时间t 分别求一阶导数、二阶导数，可得到速度v 和加速度a 的表达式:)2cos()sin(πϕωωϕωω++=+-==t A t A dt dx v)cos()cos(2222πϕωωϕωω++=+-==t A t A dtxd a 由此可以看出，速度的相位超前位移2π，加速度与位移的相位相反。
大学物理 振动和波
A cos t
振动的标量和用旋转矢 量和的投影描述
二、不同频率平行简谐振动的合成
问题：物理量同时参与两个不 同频率、相同振幅、相同初相 位的平行简谐振动
1 A 1t) 0 cos( 2 A 2t) 0 cos(
2 1 2 1 2 A cos t cos t 0
4、按波动的明显物理性质来分——光波、声波、水波……
5、按质点的振动行为来分——脉冲波、周期波、简谐波……
三、平面简谐波的波动方程（波函数）
1、波动方程——用已知波源的振动规律，表达出介质中各 点的振动规律 2、平面简谐波 理想化模型 3、建立波动方程的方法： x 写出某质点的振动方程 求出任一质点相对于该质点的相位差 写出波动方程 x A cos[ ( t ) ] 4、波动方程 y v 结论：平面简谐波表达式的关键是波线上任一点的相位比已 知点超前还是落后，这对于横波和纵波都是成立的。
2 2
合振动
A
讨论:合振动振幅的变化规律
A 2 A 0cos
2 1
2
A 2
2 o 1
t
A 1
ψ
讨论:合振动振幅的变化规律
A
A 2
A 2 A 0cos
两平行振动合 成时,由于频率 差别造成其合 振动的振幅时 而加强时而减 弱的现象叫拍 拍频
2 1
三、A 和Ф 的确定
t 0 : 0 A cos , v A sin 0 tt 0
2
v 2 0 A 0
v tan ( 0) w 0
1
注意：Ф一般取值在-π~π（或0 ~ 2π）
振动、波动部分答案(新)
大学物理学——振动和波振 动班级 学号 姓名 成绩内容提要1、简谐振动的三个判据（1）；（2）；（3）2、描述简谐振动的特征量： A 、T 、γ；T1=γ，πγπω22==T3、简谐振动的描述：（1）公式法 ；（2）图像法；（3）旋转矢量法4、简谐振动的速度和加速度：)2cos()sin(v00πϕωϕωω++=+-==t v t A dt dx m ； a=）（）（πϕωϕωω±+=+=0m 0222t a t cos -dtxd A 5、振动的相位随时间变化的关系：6、简谐振动实例弹簧振子：，单摆小角度振动：，复摆：0mgh dt d 22=+θθJ ,T=2mghJπ 7、简谐振动的能量：222m 21k 21A A Eω==系统的动能为：）（ϕωω+==t sin m 21mv 212222A E K ；系统的势能为：）ϕω+==t (cos k 21kx 21222A E P8、两个简谐振动的合成（1）两个同方向同频率的简谐振动的合成合振动方程为：）（ϕω+=t cos x A其中，其中；。
＊(2) 两个同方向不同频率简谐振动的合成拍：当频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动合成时，其合振动的振幅表现为时而加强时而减弱的现象，拍频：12-γγγ=＊（3）两个相互垂直简谐振动的合成合振动方程：）（1221221222212-sin )(cos xy 2y x ϕϕϕϕ=--+A A A A ，为椭圆方程。
练习一一、 填空题1．一劲度系数为k 的轻弹簧，下端挂一质量为m 的物体，系统的振动周期为T 1。
若将此弹簧截去一半的长度，下端挂一质量为m/2的物体，则系统的周期T 2等于 。
2．一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为：A ＝ ；=ω ;=ϕ 。
3．如图，一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，做成一复摆。
已知细棒绕过其一端的轴的转动惯量J ＝3/2ml ，此摆作微小振动的周期为 。
ch2振动与波2009
3、原理应用
已知一个波前求下一个波面
§4 波பைடு நூலகம்干涉 驻波
随着x 随着x位置的推
化上 移，沿t轴延伸，移，沿x轴延伸， 轴延伸， 轴延伸， 看 综述 波形不再改变。 波形随时间改变。 波形不再改变。 波形随时间改变。 振动图表示了 一个振动质点 在不同时刻的 位移 波动图表示波的 传播方向上一系 列质点在同一时 刻的位移
三、惠更斯原理(自学) 三、惠更斯原理(自学)
§3
波动
在弹性媒质中，当任一质点在外界作 用下偏离平衡位置发生振动时，由于质点 间的弹性联系，周围的质点也跟着振动起 来，振动由近而远地传播出去，这种振动 的传播现象叫波动。 理解： 理解：1. 波动过程传播的只是振动状态，媒 质中各质点仅在各自平衡位置附近 振动，并不随波前进。 2. 波是振动的(能量)传播过程，振动 是波动的根源。
3. 给定波动方程，如何求波动传播过程中 某点的振动状况？ 4. 波动方程和振动方程有何关系？
§1 谐振动 SHM） （simple harmonic motion SHM）
一、谐振动方程 1.为什么要研究谐振动 为什么要研究谐振动 2.谐振动 谐振动——在一个位置附近沿固定轨迹进行 谐振动 在一个位置附近沿固定轨迹进行 往复运动， 往复运动，且位移 x 是时间的正弦或余弦函 数。
y=Acos(ωt+φ)
【解】
求波动方程。 求波动方程。
x y=Acos[ω(t−c)+φ]
振动图和波动图的区别
振动图 坐标不同 y 波动图
y t x
描述对象 不同 相邻最大 值间距
一个振动质点 一系列质点在同 位移和时间的 一时刻的位移关 系 关系 振动周期T 振动周期T 波长λ 波长λ
振动和波详述
第二节 波动学基础
惠更斯原理：在波的传播过程中，波阵面上的每一 点都可以看作发射次级子波的波源，在其后的任一 时刻，这些子波的包迹就成为新的波阵面.
ut
平 面 波
球 面 波
R1
O
R2
第二节 波动学基础
二、 波动方程（平面简谐波的波函数）
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的
位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y(x,t) 称
G 切变模量
E 弹性模量
K体积模量
横波 纵波
343 m s 空气，常温
如声音的传播速度
4000 m s 左右，混凝土
第二节 波动学基础
例1 在室温下，已知空气中的声速 u1为340 m/s， 水中的声速 u2 为1450 m/s ，求频率为200 Hz和2000 Hz
的声波在空气中和水中的波长各为多少？
x/m
-1.0
t 1.0 s 时刻波形图
第二节 波动学基础
3） x 0.5m 处质点的振动规律并做图 . y (1.0m) cos[2 π( t - x ) - π] 2.0s 2.0m 2
x 0.5m 处质点的振动方程
y (1.0m) cos[(πs-1)t - π]
y
y/m
3
1.0
3*
Tλ
y(x,t) Acos(t - kx )
➢ 质点的振动速度，加速度
角波数 k 2π
v y -Asin[(t - x) ]
t
u
a
2 y t 2
-
2
A cos[ (t
-
x) u
]
第二节 波动学基础
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
第9章-振动和波
恢复力与弹性力
图中的“弹簧振子”有一个平衡位置 O，在那个位 置，弹簧既没有伸长也没有缩短，对物体不施加作用力， 物体得以平衡。试把物体从平衡位置移开，例如移到P点， 然后放手，拉长的弹簧有收缩的趋势，它施加于物体的 作用力驱使物体向平衡位置移动。这种驱使物体向平衡 位置移动的力叫作恢复力。
恢复力和惯性这一对矛盾 不断斗争，它们的作用交替消 长，力学系统就在平衡位置左 右一定范围内来回振动。
(2) 2 1 (2k 1) , k 0, 1, 2,
则 A | A1 A2 |
(3) 2 1 为一般值
则 | A1 A2 | A A1 A2
2. 方向相同，频率不同的两个简 谐振动的合成
设
x1 x2
A1 cos(1 t 1) A2 cos(2 t 2
)
为简单起见，设
A1 A2 A
2. 因为 F 的数值大小正比于位移 x 的大小，所以物体 偏离平衡位置越远，则它受到的拉回平衡点的力也 越大。
恢复力与弹性力
重力也可以成为恢复力。如 图所示的单摆，如将小球从 平衡位置拉到P点再松手，小 球将在平衡位置O点附近往 复摆动。它的结构虽与上述 弹簧振子完全不同，但它们 的运动性质是十分相似的。
的质量为 m，弹簧的倔强系
数为 k，选取 x 轴，以平衡
位置 O 为原点，则振子的运
动方程为：
mx kx
令：
2 k
m
解为： x A cos( t 0 )
其中 A, 0 为待定常数，由初始条件确定。称这种运
动为简谐振动。
简谐振动的描述
2. 简谐振动的特征参量
x A cos( t 0 )
描绘一个简谐振动的特征参量有三个：振幅、角频 率和相位。
振动和波
★ x − t 曲线法
用曲线图表示
（简谐振动与参考圆）
★ 旋转振幅矢量
的初矢位量相Ar，与Ar 以x 轴角的速夹度角逆等时于针振方动
r A
向旋转，则矢量在 x 轴上的投影
就是振动的位移.
（振幅矢量） 8
4. 简谐振动的能量
以弹簧振子作简谐振动为例，动能和势能互相转化，总 机械能保持不变．
x = Acos(ωt + ϕ0 )
+ ω02x =
f0 cos ω t
—— 二阶非齐次线性常微分方程 22
★
齐次方程
d2x dt 2
+
2β
dx dt
+ ω02x
=
0
的通解为：x
=
A0 e −β t cos(ω f t + ϕ0 )
★
非齐次方程
d2x dt 2
+
2β
dx dt
+
ω0 2
x
=
f0 cosω t
的特解:
用振幅矢量法求得: x* = B cos(ω t − ϕ )
Ax
o
x
o
x
o
x
- Ay
ν x :ν y = 2 :1
- Ay
ν x :ν y = 3 : 2
- Ay
ν x :ν y = 4 : 3
16
（5）非简谐振动的简谐分解（Fourier频谱分析）
★ 周期振动的分立谱：一次谐波；二次谐波；…….；n次谐波
周期振动： f (t) = f (t + T )
∑ ∑ f
Ek
>=
1 T
T 0
Ek dt
用曲线图表示
（简谐振动与参考圆）
★ 旋转振幅矢量
的初矢位量相Ar，与Ar 以x 轴角的速夹度角逆等时于针振方动
r A
向旋转，则矢量在 x 轴上的投影
就是振动的位移.
（振幅矢量） 8
4. 简谐振动的能量
以弹簧振子作简谐振动为例，动能和势能互相转化，总 机械能保持不变．
x = Acos(ωt + ϕ0 )
+ ω02x =
f0 cos ω t
—— 二阶非齐次线性常微分方程 22
★
齐次方程
d2x dt 2
+
2β
dx dt
+ ω02x
=
0
的通解为：x
=
A0 e −β t cos(ω f t + ϕ0 )
★
非齐次方程
d2x dt 2
+
2β
dx dt
+
ω0 2
x
=
f0 cosω t
的特解:
用振幅矢量法求得: x* = B cos(ω t − ϕ )
Ax
o
x
o
x
o
x
- Ay
ν x :ν y = 2 :1
- Ay
ν x :ν y = 3 : 2
- Ay
ν x :ν y = 4 : 3
16
（5）非简谐振动的简谐分解（Fourier频谱分析）
★ 周期振动的分立谱：一次谐波；二次谐波；…….；n次谐波
周期振动： f (t) = f (t + T )
∑ ∑ f
Ek
>=
1 T
T 0
Ek dt
大学物理-振动和波
t0
（静止）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
tT 4
12
3
4
5
67
8
（振动状态传 9 10 11 12 13 至4）
tT 2
（振动状 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 态传至7）
t 3T 4
（振动状
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 态传至10 )
各类波的本质不同, 但都伴有能量的传播, 都能产生 反射、折射、干涉和衍射等现象, 且有相似的数学描述。
基本内容:
机械波的产生与传播 机械波的几个特征量 波动方程
波的叠加原理—（特例）波的干涉。
§16.1 机械波的产生与传播
一、产生机械波的条件
1、波源 2. 弹性媒质
二、机械波的分类
横波: 质点的振动方向和波的传播方向垂直 特点: 具有波峰和波谷（如绳子上的波）
( k =0 、+ 1、+ 2 ...)
A1
A = A2+A1
相位相同
A2
（2）若φ 2 φ 1 =(2k+1)π 合振动减弱
( k =0 、+ 1、+ 2 ...)
A = A2 A1
相位相反
A2 A1
一般情形: 二分振动既不同相位也不反相位，合振动 振幅在A1+A2与|A1-A2| 之间。
二、同方向、不同频率的两个谐振动的合成
x x1 x2 (A1Cos1 A2Cos2 )Cost (A1Sin1 A2Sin2 )Sint
令 A1Cos1 A2Cos2 ACos A1Sin1 A2Sin2 ASin
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p
O
x
X
2
x y A co s[ ( t ) ] u
或
y A cos[ t
( x ） ]
2、左行波的波动方程： 如图，已知 P 点的振动方程：
y P A cos(t )
y
px
O
u
X
2
x y A cos[ ( t＋ ) ] u
旋转矢量的端点在X轴上的投影点的坐标为
x ( t ) A cos( t )
1、2象限 v<0 ;
3、4象限 v>0 。
A2
O
A1
X
O
A1
X O
A1
A2
X
A2
同相
振 反相 动 2 X(m) 例1：一简谐振 比 0.04 振 动曲线如图所 动 示，则以余弦 1 O 函数表示的振 超 动方程什么样？ 前 -0.04
X(t)为质点离开平衡位置的位移；物体
所受合外力为零的位置定为平衡位置。
二.描述简谐振动的三个重要物理量 1. 振幅A(米）：表示质点离开平衡位置的
最大位移的绝对值。
2. 振动的周期﹑频率﹑圆频率
A. 振动周期T（秒）：完成一次全振动所 需时间。
1 B. 频率 （赫兹） ：单位时间内完
x2 (t ) A2 cos( t 2 )
t ) x(t ) x1 (t ) x2 (t ) A cos(
结论:同方向、同频率的简谐振动合成后仍然是
同频率的简谐振动。
旋转矢量法方法
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
二、波动方程的物理意义 1、t 一定时的波形图
x y A cos[ (t ) ] u
y
O
u t
x1
u
X
x2
t时刻
t+ t 时刻
2 1 2 ( x2 x1 )
•波线上两质点之间的位相差
•讨论各质点在给定时刻的振动方向
2、波的周期T：波前进一个波长的距离所需要的
3、波速 u ：在波动过程中，某一振动状
T
态在单位时间内传播的距离称为波速 ，也 称之相速。 u λ
机械波的传播速度完全取决于介质。（决
于介质的弹性性质和惯性性质。即介质的弹 性模量和介质的密度。）
第二节 平 面 简 谐 波 的 波 动 方 程 一、平面简谐波的波动方程的推导 1、右行波的波动方程
或
2 y A cos （ t x）
照抄已知点的振动方程，再将任一点
振动超前于或落后于已知点振动的位相 补上，就得任一点的振动方程，即为波 动方程。（超前就“ ＋ ” ，落后就 “ － ” 。）
（2）如图，已知 P 点的振动方程：
y P A cos( t ) y u
2 1 2 2
A
A1
A2
X
（ 1 ） 2k
A A1 A2
k 0,1,2,
振动加强
（2） (2k 1)
A | A1 A2 |
k 0,1,2,
振动减弱
A2
A1
A
X
二、 同方向、不同频率的简谐振动的合成 x2 (t ) A cos( 2t ) x1 (t ) A cos( 1t )
O
X
X(m) 2
例3： 求振动方程
t=1s
1
o
t(s)
O X
t=0
解题思路：作旋转矢量图
3 x 2 cos t (m) 4 4
例 4. 一质点在 x 轴上作简谐振动，振辐 A=4 cm，周期T= 2 s，其平衡位置取作坐标原 点．若t = 0时刻质点第一次通过x = -2 cm 处，且向x轴负方向运动，则质点第二次通 过x = -2 cm处的时刻为 (A) 1 s． (B) (2/3) s． [B] (C) (4/3) s． (D) 2 s．
x(cm)
2 1 5
(1)
0 -0.5 -1
t(s)
(2)
波 第一节
动 学 基 础
机械波的形成和传播
一、机械波的产生
1、机械波：振动状态在弹性面媒质中的 传播过程。 2、机械波产生的条件：弹性介质和波源。
波动（或行波)是振动状态的传播，
是能量的传播，而不是质点的传播。
后面质点的振动规律与前面质点的振
1 2 1 解：（1） E kA f max A 2 2
（2）取平衡位置未势能零点，由旋转矢量图，行至一半 时的相位60.
1 2 2 Ek kA sin ( wt ) 2
E p E Ek
第五节
同方向的简谐振动的合成
一、 同方向、同频率的简谐振动的合成
x1 (t ) A1 cos( t 1 )
yo A cos( t ) （1）已知O点振动表达式： y （O点不一定是波源） u
p
O
X
x
x y A cos[ (t ) ] u
将 t 理解为已知点振动了的时间，求
出任一点实际振动的时间，以此代替已知 点振动方程中的 t，就可得到任一点的振 动方程，即为波动方程。
第三节 无阻尼自由振动、谐振子 一、弹簧振子： k f m X ma= = f =-kx o x
d x m 2 kx dt
2
k 2 w (令 ) m
d x 2 w x0 2 dt
2
(简谐振动的动力学方程)
故弹簧振子的无阻尼自由振动是简谐振动。
k ＝ m
m T 2 k
二、微振动的简谐近似 1.单摆
g /l
三. 已知简谐振动的初始条件(x0 A和
、v0)，求
x0 A cos
A x
2 0
V0 A sin
V0 tg x0
V
2 0 2
（最好求出A后，再作旋转矢量图，由x0 、v0画出 旋转矢量的位置而求出初位相）
第四节、简谐振动的能量
1 1 2 2 动能: E k mv kA sin 2 ( t ) 2 2
或 y A cos[ t ＋
( x ） ]
平面简谐波波动方程的一般形式
x y A cos[ (t ) ] u
或
y A cos[ t
2
x ]
x前为“+”号，表明波向x轴负向传， x前为“-”号，表明波向x轴正向传。
思考题: 一平面简谐波在媒质中以速度
振动
第一节 振动的一般概念
一. 机械振动：物体在一定位置（平衡位置） 附近作重复往返运动称为机械振动。 二.机械振动的原因：
k
m
o
x
X
物体受到回复力作用以及物体具有惯性。
第二节 简谐振动
一、简谐振动的定义式(或:简谐振动的运动学方程)
m o x
X x ( t ) A cos( t )
1 2 1 2 2 势能: E p kx kA cos ( t ) 2 2
简谐振动能量:
E
1 2 E E k E p kA 2
Ek
E=(1/2)kA2
Ep
E p Ek
t
o
例：弹簧振子水平放置，克服弹簧拉力将质点自 平衡位置移开0.04cm,弹簧拉力为24N，随即释放， 形成简谐振动。计算：（1）弹簧振子的总能； （2）求质点被释放后，行至振幅一半时，振子的 动能和势能。
1
2
t(s)
例2：一物体沿X轴作简谐振动，振幅为0.12m，周期为 2s 。当 t=0 时位移为0.06m，且向X轴正方向运动。求： （1）初相，(2)在 x=－0.06m 处，且向X轴负方向运动时， 物体的速度和加速度，以及从这一位置回到平衡位置所需 的时间。 (1)由图可知：
解题思路：
作旋转矢量图
成全振动的次数。
C. 圆频率 2
3. 位相和初位相
：它是反映质点在t时刻
振动状态的物理量。（相同的振动状态对 应相位差为 2 的整数倍。） B. 初位相 ： t＝0 时刻的位相。
三、简谐振动的速度和加速度
1. 速度 dx v A sin( t ) dt
A cos( t v m cos( t ) 2
2
)
其中
v m A 叫速度振幅
•速度的位相比位移超前 2. 加速度
2
dv 2 a A cos( t ) dt 2 A cos( t ) a m cos( t )
解题思路：
2、合振幅最小，两分振动应反相，故 2＝－ 4 A1 3. x 11cos(10t 3 ) cm 4 X
4. x cos(10t - ) cm 4
4 A2
思考题1: 一质点作简谐振动,其运动速度
与时间的曲线如图所示。若质点的振动规 律用余弦函数描述，求其初位相。
C
f mg sin mg （当 sin 时）
d 2 (l ) m mg 2 dt
T
d 2 2 w 0 2 dt
g 2 （令 w ） O l
mg
结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。角频 率,振动的周期分别为：
2 l T 2 g
A
A2
2
A2 sin 2
A1 sin 1 A 2 sin 2 tg A1 cos 1 A 2 cos 2
O
x
X
2
x y A co s[ ( t ) ] u
或
y A cos[ t
( x ） ]
2、左行波的波动方程： 如图，已知 P 点的振动方程：
y P A cos(t )
y
px
O
u
X
2
x y A cos[ ( t＋ ) ] u
旋转矢量的端点在X轴上的投影点的坐标为
x ( t ) A cos( t )
1、2象限 v<0 ;
3、4象限 v>0 。
A2
O
A1
X
O
A1
X O
A1
A2
X
A2
同相
振 反相 动 2 X(m) 例1：一简谐振 比 0.04 振 动曲线如图所 动 示，则以余弦 1 O 函数表示的振 超 动方程什么样？ 前 -0.04
X(t)为质点离开平衡位置的位移；物体
所受合外力为零的位置定为平衡位置。
二.描述简谐振动的三个重要物理量 1. 振幅A(米）：表示质点离开平衡位置的
最大位移的绝对值。
2. 振动的周期﹑频率﹑圆频率
A. 振动周期T（秒）：完成一次全振动所 需时间。
1 B. 频率 （赫兹） ：单位时间内完
x2 (t ) A2 cos( t 2 )
t ) x(t ) x1 (t ) x2 (t ) A cos(
结论:同方向、同频率的简谐振动合成后仍然是
同频率的简谐振动。
旋转矢量法方法
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
二、波动方程的物理意义 1、t 一定时的波形图
x y A cos[ (t ) ] u
y
O
u t
x1
u
X
x2
t时刻
t+ t 时刻
2 1 2 ( x2 x1 )
•波线上两质点之间的位相差
•讨论各质点在给定时刻的振动方向
2、波的周期T：波前进一个波长的距离所需要的
3、波速 u ：在波动过程中，某一振动状
T
态在单位时间内传播的距离称为波速 ，也 称之相速。 u λ
机械波的传播速度完全取决于介质。（决
于介质的弹性性质和惯性性质。即介质的弹 性模量和介质的密度。）
第二节 平 面 简 谐 波 的 波 动 方 程 一、平面简谐波的波动方程的推导 1、右行波的波动方程
或
2 y A cos （ t x）
照抄已知点的振动方程，再将任一点
振动超前于或落后于已知点振动的位相 补上，就得任一点的振动方程，即为波 动方程。（超前就“ ＋ ” ，落后就 “ － ” 。）
（2）如图，已知 P 点的振动方程：
y P A cos( t ) y u
2 1 2 2
A
A1
A2
X
（ 1 ） 2k
A A1 A2
k 0,1,2,
振动加强
（2） (2k 1)
A | A1 A2 |
k 0,1,2,
振动减弱
A2
A1
A
X
二、 同方向、不同频率的简谐振动的合成 x2 (t ) A cos( 2t ) x1 (t ) A cos( 1t )
O
X
X(m) 2
例3： 求振动方程
t=1s
1
o
t(s)
O X
t=0
解题思路：作旋转矢量图
3 x 2 cos t (m) 4 4
例 4. 一质点在 x 轴上作简谐振动，振辐 A=4 cm，周期T= 2 s，其平衡位置取作坐标原 点．若t = 0时刻质点第一次通过x = -2 cm 处，且向x轴负方向运动，则质点第二次通 过x = -2 cm处的时刻为 (A) 1 s． (B) (2/3) s． [B] (C) (4/3) s． (D) 2 s．
x(cm)
2 1 5
(1)
0 -0.5 -1
t(s)
(2)
波 第一节
动 学 基 础
机械波的形成和传播
一、机械波的产生
1、机械波：振动状态在弹性面媒质中的 传播过程。 2、机械波产生的条件：弹性介质和波源。
波动（或行波)是振动状态的传播，
是能量的传播，而不是质点的传播。
后面质点的振动规律与前面质点的振
1 2 1 解：（1） E kA f max A 2 2
（2）取平衡位置未势能零点，由旋转矢量图，行至一半 时的相位60.
1 2 2 Ek kA sin ( wt ) 2
E p E Ek
第五节
同方向的简谐振动的合成
一、 同方向、同频率的简谐振动的合成
x1 (t ) A1 cos( t 1 )
yo A cos( t ) （1）已知O点振动表达式： y （O点不一定是波源） u
p
O
X
x
x y A cos[ (t ) ] u
将 t 理解为已知点振动了的时间，求
出任一点实际振动的时间，以此代替已知 点振动方程中的 t，就可得到任一点的振 动方程，即为波动方程。
第三节 无阻尼自由振动、谐振子 一、弹簧振子： k f m X ma= = f =-kx o x
d x m 2 kx dt
2
k 2 w (令 ) m
d x 2 w x0 2 dt
2
(简谐振动的动力学方程)
故弹簧振子的无阻尼自由振动是简谐振动。
k ＝ m
m T 2 k
二、微振动的简谐近似 1.单摆
g /l
三. 已知简谐振动的初始条件(x0 A和
、v0)，求
x0 A cos
A x
2 0
V0 A sin
V0 tg x0
V
2 0 2
（最好求出A后，再作旋转矢量图，由x0 、v0画出 旋转矢量的位置而求出初位相）
第四节、简谐振动的能量
1 1 2 2 动能: E k mv kA sin 2 ( t ) 2 2
或 y A cos[ t ＋
( x ） ]
平面简谐波波动方程的一般形式
x y A cos[ (t ) ] u
或
y A cos[ t
2
x ]
x前为“+”号，表明波向x轴负向传， x前为“-”号，表明波向x轴正向传。
思考题: 一平面简谐波在媒质中以速度
振动
第一节 振动的一般概念
一. 机械振动：物体在一定位置（平衡位置） 附近作重复往返运动称为机械振动。 二.机械振动的原因：
k
m
o
x
X
物体受到回复力作用以及物体具有惯性。
第二节 简谐振动
一、简谐振动的定义式(或:简谐振动的运动学方程)
m o x
X x ( t ) A cos( t )
1 2 1 2 2 势能: E p kx kA cos ( t ) 2 2
简谐振动能量:
E
1 2 E E k E p kA 2
Ek
E=(1/2)kA2
Ep
E p Ek
t
o
例：弹簧振子水平放置，克服弹簧拉力将质点自 平衡位置移开0.04cm,弹簧拉力为24N，随即释放， 形成简谐振动。计算：（1）弹簧振子的总能； （2）求质点被释放后，行至振幅一半时，振子的 动能和势能。
1
2
t(s)
例2：一物体沿X轴作简谐振动，振幅为0.12m，周期为 2s 。当 t=0 时位移为0.06m，且向X轴正方向运动。求： （1）初相，(2)在 x=－0.06m 处，且向X轴负方向运动时， 物体的速度和加速度，以及从这一位置回到平衡位置所需 的时间。 (1)由图可知：
解题思路：
作旋转矢量图
成全振动的次数。
C. 圆频率 2
3. 位相和初位相
：它是反映质点在t时刻
振动状态的物理量。（相同的振动状态对 应相位差为 2 的整数倍。） B. 初位相 ： t＝0 时刻的位相。
三、简谐振动的速度和加速度
1. 速度 dx v A sin( t ) dt
A cos( t v m cos( t ) 2
2
)
其中
v m A 叫速度振幅
•速度的位相比位移超前 2. 加速度
2
dv 2 a A cos( t ) dt 2 A cos( t ) a m cos( t )
解题思路：
2、合振幅最小，两分振动应反相，故 2＝－ 4 A1 3. x 11cos(10t 3 ) cm 4 X
4. x cos(10t - ) cm 4
4 A2
思考题1: 一质点作简谐振动,其运动速度
与时间的曲线如图所示。若质点的振动规 律用余弦函数描述，求其初位相。
C
f mg sin mg （当 sin 时）
d 2 (l ) m mg 2 dt
T
d 2 2 w 0 2 dt
g 2 （令 w ） O l
mg
结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。角频 率,振动的周期分别为：
2 l T 2 g
A
A2
2
A2 sin 2
A1 sin 1 A 2 sin 2 tg A1 cos 1 A 2 cos 2