八年级数学上册 第12章 整式的乘除双休作业五课件 (新版)华东师大版
华师大版八年级数学上册课件-第12章 整式的乘除
练习 下面的计算对不对？若不对，应当怎样改正？
（1） x6 x2 x3； （2） a3 a a3； （3） y5 y2 y3； （4）（-c）4 （-c）2 -c2.
例1 计算:
（1）x8÷x2 ；（2） a4 ÷a ；
（3）(ab) 5÷(ab)2；
思考：当底数是几个因式的积或是一个多项式时,需要 怎么看待? 解: (1) x8 ÷x2=x 8-2=x6.
学习目标
1.理解幂的乘方法则； 2.运用幂的乘方法则进行计算．
合作探究 达成目标
探究点一 幂的乘方法则的推导
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空,看看计算的
结果有什么规律:
(1)（32）3 = 32×32×32 = 3( )
(2)（a2）3 = a2 × a2 × a2 =a( )
(3)（am）3 =
试一试
计算：
(ab)3= (ab)• (ab)•(ab) = (a•a•a)•(b•b•b) = a3b3
(ab)4 = a4b4
由 (ab)3 = a3b3
(ab)4 = a4b4 从左到右的变化
猜想 (ab)n= anbn
(n是正整数)
根据乘方的意义和乘法的运算律，计算：
（ab）（n n是正整数）．
1．下列各式中运算正确的是（ ） A．a2·a5=a20 B. a2+a5=a7 C. a2·a2=2a2 D. a2·a5=a7 2.下列能用同底数幂进行计算的是（ ） A.(x+y)2(x-y)3 B.（-x+y）3（x+y）2
C.(x+y)2(x+y)3 D.-(x-y)2(-x-y)
3.计算：
推广：（abc）n =anbncn.
八年级数学上册第十二章整式的乘除12.5因式分解课件新版华东师大版
编后语
有的同学听课时容易走神，常常听着听着心思就不知道溜到哪里去了；有的学生，虽然留心听讲，却常常“跟不上步伐”，思维落后在老师的讲解后。这两种情况都 不能达到理想的听课效果。听课最重要的是紧跟老师的思路，否则，教师讲得再好，新知识也无法接受。如何跟上老师饭思路呢？以下的听课方法值得同学们学习：
是
(3)x2+1=x(x+
1 x
)
(4)y2+x2-4=y2+(x2-4y2=(x+4y)(x-4y)
是
合作探究 怎样分解多项式: ma+mb+mc ma+mb+mc=m(a+b+c)
公因式： 多项式中的每一项都含有一个相同的因式，我 们称之为公因式.
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把 这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘 积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法.
(3) 25x²-16y² =(5x)²-（4y）² =(5x+4y)(5x-4y) (4) x²+4xy+y² =x²+2∙x∙2y+(2y)² =（x+2y）²
例 2 把下列多项式分解因式： （1）4x³y-4x²y²+xy³ （2）3x³-12xy²
解：（1）4x³y-4x²y²+xy³ =xy(4x²-4xy+y²) =xy(2x-y)² （2）3x³-12xy² =3x(x²-4y²) =3x(x-2y)(x+2y)
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17
利用乘法公式对多项式进行因式分解的这种因式 分解的方法就称为公式法.
华东师大版数学八年级上册第12章整式的乘除复习课件
17．对于任何实数，我们规定符号ab
c 的意义是：a
d
bx＋1＝0 时，x3＋x 1x－x－ 1 2的值．。
解：xx＋－12 3xx－1＝(x＋1)(x－1)－3x(x－2)＝x2－1－3x2＋6x＝－2x2＋ 6x－1，∵x2－3x＋1＝0，∴x2－3x＝－1，∴原式＝－2(x2－3x)－1＝2
检测练习
一、选择题 1.下列运算正确的是( D ) A．(x－2)2＝x2－4 B．x3·x4＝x12 C．x6÷x3＝x2 D．(x2)3＝x6 2.下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是( D ) A．(x－2y)(2y＋x) B．(2y－x)(－x－2y) C．(x－2y)(－x－2y) D．(－2y－x)(x＋2y)
多项 式的 乘法
单项 式的 除法
单项式与 多项式的 除法
乘法公 式（因 式分解）
同底数幂的乘法
am •an=am+n (m、n都是正整数) 幂的乘方 (am)n=amn (m、n都是正整数) 积的乘方
(ab)=an bn (n是正整数)
同底数幂的除法
1.am ÷an=am－n
(a≠0，m、n都是正整数，m>n)
4.反向思考法：如逆用乘法公式解题等。
中考考向分析 热点：整式的乘除法、整式乘法的应 用。
冷点：整式乘除法中技能性解题方法。
本章知识在中考中主要以选择、填空 题予以考查，少数中档题考查乘法公式的 应用，约占中考试卷的7%左右。
知识体系表解
整 式 的 乘 除
幂 的 运 算 性 质
单项 式的 乘法
单项式与 多项式的 乘法
（3）利用（2）猜想的结论计算： 29－28＋27－……＋23－22＋2。 解：在(a－b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1)＝an－bn中，取a＝2，b＝ －1，n＝10，得(2＋1)(29－28＋27－…＋23－22＋2－1)＝210－(－1)10， 即3(29－28＋27－…＋23－22＋2－1)＝1023，29－28＋27－…＋23－22＋2 －1＝341，∴29－28＋27－…＋23－22＋2＝342。
八年级数学上册第12章整式的乘除章末复习课件华东师大版
单项式乘以
多项式
a(b+c)=ab+ac
不要漏项
多项式乘以 (a+b)(c+d)=ac
多项式
+ad+bc+bd
注意符号
重点和难点： 重点：
同底数幂的乘法法则；
整式乘法的法则； 难点：
单项式乘法的运算法则
数学思想： 1）整体的思想 2）转化的思想
计算（1）(ab2)3(ab2)4 解：(ab2)3(ab2)4 =(ab2)3+4 =(ab2)7 =a7b14
求（1）a2+b2 ; (2)ab
解（1）a2+b2=
1 2
[(a+b)2+(a-b)2]
= 1 (324+16) =170
2
(2)ab = 1 [(a+b)2-(a-b)2]
4
= 1 (324-16)
4
=77
计算： (1)（5x+6y-7z)(5x-6y+7z) =[5x+(6y-7z)][5x-(6y-7z)]
相加
幂的乘方 (am)n=amn
底数不变指数 相乘
积的乘方 （ab)n=anbn
将积中每个因 式分别乘方， 再相乘
a既可以是数， 也可以是“式”
与同底数幂的 乘法不要混淆
积中每个因式 都要乘方，不 要丢项
例：比较大小：3555，4444，5333 解：3555=（35）111=243111 4444=（44）111=256111 5333=（53）111=125111 256﹥243﹥125 4444﹥3555﹥5333
计算（1）(5a-3b)(4a+7b)
华东师大版(新版)八年级数学上册：第12章整式的乘除小结与复习课件
8．因式分解的步骤 如果多项式的各项有公因式，那么先 提取公因式； 在各项提出公因式后或各项没有公因式的情况下，视察多项 式的次数：二项式可以尝试运用 平方差公式分解因式；三项 式可以尝试运用 两数和(差)公的式分解因式； 分解因式必须分解到每一个因式在指定的范围内都不能
再分解 为止．
9．图形面积与代数恒等式
整体思想
例6 若2a+5b-3=0，则4a·32b= 8 . 【解析】已知条件是2a+5b-3=0，无法求出a，b的值因此可以 逆用积的乘方先把4a·32b.化简为含有与已知条件相关的部分， 即4a·32b=22a·25b=22a+5b.把2a+5b看做一个整体，因为2a+5b3=0，所以2a+5b=3，所以4a·32b=23=8.
[注意] 其中的a、b代表的不仅可以是单独的数、单独的字
母，还可以是一个任意的代数式；这几个法则容易混淆，计算 时必须先搞清楚该不该用法则、该用哪个法则．
2．整式的乘法 单项式与单项式相乘，把它们的 系数 、 相同字母的幂 分别 相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一 起作为积的一个 因式 . 单项式与多项式相乘，用 单项式 和 多项式 的每一项分别相 乘，再把所得的积 相加 . 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 每一项 与另一个 多项式的 每一项 相乘，再把所得的积 相加 .
5．因式分解的意义 把一个多项式化成几个整式的 积 的情势，叫做多项式的 因式分解．
因式分解的过程和 整式乘法 的过程正好相反．
6．用提公因式法分解因式 公因式的确定：公因式的系数应取多项式各项整数系数的 最大公约数 ；字母取多项式各项 相同 的字母；各字母 指数取次数最 低 的． 一般地，如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公 因式提到 括号 外面，将多项式写成 因式乘积 的情势，这 种分解因式的方法叫做提公因式法． [注意] 提公因式法是因式分解的首选方法，在因式分解时 先要考虑多项式的各项有无公因式．
八年级数学上册第12章整式的乘除12.3乘法公式1两数和乘以这两数的差课件(新版)华东师大版
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1．(孝感中考)下列计算正确的是( B ) A．b3· b3＝2b3 B．(a＋2)(a－2)＝a2－4 C．(ab2)3＝ab8 D．(8a－7b)－(4a－5b)＝4a－12b 2．计算：(x－y)(－y－x)的结果是( A ) A．－x2＋y2 C．x2－y2 B．－x2－y2 D．x2＋y2
解：原式＝9；
(2)(4m－3n)(4m＋3n)；
解：原式＝16m2－9n2；
1 1 (3)(－2x2＋ )(－2x2－ )； 2 2 1 4 解：原式＝4x － ； 4 2 3 2 3 (4)( x－ y)(－ x－ y)． 3 4 3 4 4 9 解：原式＝－ x2＋ y2. 9 16
7．边长为 acm 的正方形(a＞1)，一组对边的边长增加 1cm，另一组对边的 边长减少 1cm，得到的长方形的面积与原正方形的面积比较，有没有发生 变化？说明你的理由．
14．(青海中考)观察下列各式规律： (x－1)(x＋1)＝x2－1； (x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1； (x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1…
8 x 可得到(x－1)(x ＋x ＋x ＋x ＋x ＋x ＋x＋1)＝ －1
7
6
5
4
3
2
； .
n＋1 一般地(x－1)(xn＋xn－1＋x5＋…x2＋x＋1)＝ x －1
10．(x＋2)(x－2)(x2＋4)的计算结果是( C ) A．x4＋16 C．x4－16 B．－x4－16 D．16－x4
11．已知 m2－n2＝4.那么(m＋n)2(m－n)2 的结果是( C ) A．4 C．16 B．8 D．32
八年级数学上册 第十二章 整式的乘除 12.5 因式分解作业 (新版)华东师大版
12.5因式分解一、填空题1.若m 2+2m +n 2-6n +6=0，则m =，n =.2.分解因式y 4+2y 2+81=.3.多项式x 4-2x 2+ax +b 有因式x 2-x +1，试将这多项式分解因式,则x 4-2x 2+ax +b =,其中a =.b =.4.若(x 2+y 2)(x 2+y 2-1)-12=0，则x 2+y 2=.5.分解因式a 2(b -c )+b 2(c -a )+c 2(a -b )=.6.如果m =31a (a +1)(a +2),n =31a (a -1)(a +1)，那么m -n =. 7. 分解因式7x n +1-14x n +7x n -1（n 为不小于1的整数）=. 8. 已知a -b ＝1，ab ＝2，则a 2b -2a 2b 2+ab 2的值是9. 观察下列算式，32-12＝852-32＝16 72-52＝24 92-72＝32 ……根据探寻到的规律，请用n 的等式表示第n 个等式10．若x -1是x 2-5x +c 的一个因式，则c =.二、选择题11．下列从左边到右边的变形①15x 2y ＝3x ·5xy ②（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2③a 2-2a +1=(a -1)2④x 2+3x +1=x (x +3+x 1)其中因式分解的个数为（） A ．0个B ．2个C ．3个D ．1个 12．在多项式①x 2+2y 2，②x 2-y 2，③-x 2+y 2，④-x 2-y 2中能用两数和乘以它们的差的公式进行因式分解的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．下列各式中不能分解因式的是（）A ．4x 2+2xy +41y 2 B ．4x 2-2xy +41y 2 C ．4x 2-41y 2 D ．-4x 2-41y 2 14．下列能用两数和的平方公式进行因式分解的是（） A ．m 2-9n 2B ．p 2-2pq +4q 2C ．-x 2-4xy +4y 2D ．9（m +n ）2-6（m +n ）+115．若25x 2+kxy +4y 2可以解为（5x -2y ）2，则k 的值为（）A ．-10B ．10C ．-20D ．20 16．下列多项式中不能用提公因式进行因式分解的是（）A ．-41x 2-xy +y 2B ．x -xyC ．-m 3+mn 2D ．-3x 2+9 17.81-xk =(9+x 2)(3+x )(3-x )，那么k 的值是( )A.k =2B.k =3C.k =4D.k =618.9x 2+mxy +16y 2是一个完全平方式，那么m 的值是（）A.12B.24C.±12.D.±24三、解答题19.把下列各式分解因式(1)8a 2-2b2 (2)4xy 2-4x 2y -y3 (3)4x 2y 2-(x 2+y 2)2 (4)9x 2+16(x +y )2-24x (x +y )(5)（a -b ）3-2(b -a )2+a -b20.已知xy =5,a -b =6，求证xya 2+xyb 2-2abxy 的值.21.若x 2+2(m -3)x +16是一个整式的完全平方，求m 的值.22.求证32002-4×32001+10×32000能被7整除. 23.已知a 2+b 2+a 2b 2+1=4ab ，求a ，b 的值.四、综合探索题24.已知A.B.c 为三角形三边，且满足0ac bc ab c b a 222=---++．试说明该三角形是等边三角形．参考答案：一、1.-3 32.(y2+4y+9)(y2-4y+9)3 .(x2-x+1)(x+2)(x-1)3 -24. 45. (a-b)(b-c)(a-c)6.a(a+1)7. 7x n-1（x-1）28. 2【解析】解这种题型比较简便而常用的方法是先对所给的代数式进行因式分解，使之出现ab，a-b的式子，代入求值．简解如下：∵a-b＝1，ab＝2∴a3b-2a2b2+ab3＝ab（a2-2ab+b2）＝ab（a-b）2＝2×1＝2.9.（2n+1）2-（2n-1）2＝8n【解析】等式的左边是两个连续的奇数的平方差，右边是8×1，8×2，8×3，8×4，……，8×n．10. 4【解析】令x＝1，则x-1＝0，这时x2-5x+c＝0即1-5+c＝0，c＝4.二、11．D12．B13．D14．D15．C 【解析】（5x-2y）2＝25x2-20xy+4y2故k＝-20.16．A17.C18.D三、19.(1)2(2a+b)(2a-b)(2)-y(2x-y)2(3) 4x2y2-（x2+y2）2＝（2xy）2-（x2+y2）2＝（2xy+x2+y2）（2xy-x2-y2）＝-（x2+2xy+y2）（x2-2xy+y2）＝-（x+y）2（x-y）2(4)9x2+16（x+y）2-24x（x+y）=[4（x +y ）]2-2×4（x +y ）·3x +（3x ）2=[4（x +y ）-3x ]2＝（x +4y ）2(5)（a -b ）3-2（b -a ）2+a -b＝（a -b ）3-2（a -b ）2+a -b ＝（a -b ）[（a -b ）2-2（a -b ）+1] ＝（a -b ）［（a -b ）2-2（a -b ）+12］=（a -b ）（a -b -1）220. 18021．解：∵x 2+2（m -3）x +16=x 2+2（m -3）x +42∴ 2（m -3）x ＝±2×4x ∴m ＝7或m ＝-122．证明：32002-4×32001+10×32000=32×32000-4×3×32000+10×3200=32000（32-12+10）＝7×32000∴32002-4×32001+10×32000能被7整除.23.a =1,b =1或a =-1,b =-1.四、24.解：0ac bc ab c b a 222=---++，0)ac bc ab c b a (2222=---++，0ac 2c a bc 2c b ab 2b a 222222=-++-++-+，0)c a ()c b ()b a (222=-+-+-，∴a －b ＝0，b －c ＝0，a －c ＝0，∴a ＝b ＝c ．∴此三角形为等边三角形．。
八年级数学上册 第十二章 整式的乘除 12.5 因式分解作业 (新版)华东师大版
—————————— 教育资源共享 步入知识海洋 ————————12.5因式分解一、填空题1.若m 2+2m +n 2-6n +6=0，则m =，n =.2.分解因式y 4+2y 2+81=.3.多项式x 4-2x 2+ax +b 有因式x 2-x +1，试将这多项式分解因式,则x 4-2x 2+ax +b =,其中a =.b =.4.若(x 2+y 2)(x 2+y 2-1)-12=0，则x 2+y 2=.5.分解因式a 2(b -c )+b 2(c -a )+c 2(a -b )=.6.如果m =31a (a +1)(a +2),n =31a (a -1)(a +1)，那么m -n =. 7. 分解因式7x n +1-14x n +7x n -1（n 为不小于1的整数）=. 8. 已知a -b ＝1，ab ＝2，则a 2b -2a 2b 2+ab 2的值是9. 观察下列算式，32-12＝852-32＝16 72-52＝24 92-72＝32 ……根据探寻到的规律，请用n 的等式表示第n 个等式10．若x -1是x 2-5x +c 的一个因式，则c =.二、选择题11．下列从左边到右边的变形①15x 2y ＝3x ·5xy ②（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2③a 2-2a +1=(a -1)2④x 2+3x +1=x (x +3+x 1)其中因式分解的个数为（） A ．0个B ．2个C ．3个D ．1个 12．在多项式①x 2+2y 2，②x 2-y 2，③-x 2+y 2，④-x 2-y 2中能用两数和乘以它们的差的公式进行因式分解的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．下列各式中不能分解因式的是（）A ．4x 2+2xy +41y 2 B ．4x 2-2xy +41y 2 C ．4x 2-41y 2 D ．-4x 2-41y 2 14．下列能用两数和的平方公式进行因式分解的是（） A ．m 2-9n 2 B ．p 2-2pq +4q 2C ．-x 2-4xy +4y 2D ．9（m +n ）2-6（m +n ）+1 15．若25x 2+kxy +4y 2可以解为（5x -2y ）2，则k 的值为（）A ．-10B ．10C ．-20D ．2016．下列多项式中不能用提公因式进行因式分解的是（）A ．-41x 2-xy +y 2B ．x -xyC ．-m 3+mn 2D ．-3x 2+9 17.81-xk =(9+x 2)(3+x )(3-x )，那么k 的值是( )A.k =2B.k =3C.k =4D.k =618.9x 2+mxy +16y 2是一个完全平方式，那么m 的值是（）A.12B.24C.±12.D.±24三、解答题19.把下列各式分解因式(1)8a 2-2b2 (2)4xy 2-4x 2y -y3 (3)4x 2y 2-(x 2+y 2)2 (4)9x 2+16(x +y )2-24x (x +y )(5)（a -b ）3-2(b -a )2+a -b20.已知xy =5,a -b =6，求证xya 2+xyb 2-2abxy 的值.21.若x 2+2(m -3)x +16是一个整式的完全平方，求m 的值.22.求证32002-4×32001+10×32000能被7整除. 23.已知a 2+b 2+a 2b 2+1=4ab ，求a ，b 的值.四、综合探索题24.已知A.B.c 为三角形三边，且满足0ac bc ab c b a 222=---++．试说明该三角形是等边三角形．参考答案：一、1.-3 32.(y2+4y+9)(y2-4y+9)3 .(x2-x+1)(x+2)(x-1)3 -24. 45. (a-b)(b-c)(a-c)6.a(a+1)7. 7x n-1（x-1）28. 2【解析】解这种题型比较简便而常用的方法是先对所给的代数式进行因式分解，使之出现ab，a-b的式子，代入求值．简解如下：∵a-b＝1，ab＝2∴a3b-2a2b2+ab3＝ab（a2-2ab+b2）＝ab（a-b）2＝2×1＝2.9.（2n+1）2-（2n-1）2＝8n【解析】等式的左边是两个连续的奇数的平方差，右边是8×1，8×2，8×3，8×4，……，8×n．10. 4【解析】令x＝1，则x-1＝0，这时x2-5x+c＝0即1-5+c＝0，c＝4.二、11．D12．B13．D14．D15．C 【解析】（5x-2y）2＝25x2-20xy+4y2故k＝-20.16．A17.C18.D三、19.(1)2(2a+b)(2a-b)(2)-y(2x-y)2(3) 4x2y2-（x2+y2）2＝（2xy）2-（x2+y2）2＝（2xy+x2+y2）（2xy-x2-y2）＝-（x2+2xy+y2）（x2-2xy+y2）＝-（x+y）2（x-y）2(4)9x 2+16（x +y ）2-24x （x +y ）=[4（x +y ）]2-2×4（x +y ）·3x +（3x ）2=[4（x +y ）-3x ]2＝（x +4y ）2(5)（a -b ）3-2（b -a ）2+a -b＝（a -b ）3-2（a -b ）2+a -b ＝（a -b ）[（a -b ）2-2（a -b ）+1] ＝（a -b ）［（a -b ）2-2（a -b ）+12］=（a -b ）（a -b -1）220. 18021．解：∵x 2+2（m -3）x +16=x 2+2（m -3）x +42∴ 2（m -3）x ＝±2×4x ∴m ＝7或m ＝-122．证明：32002-4×32001+10×32000 =32×32000-4×3×32000+10×3200=32000（32-12+10）＝7×32000 ∴32002-4×32001+10×32000能被7整除.23.a =1,b =1或a =-1,b =-1.四、24.解：0ac bc ab c b a 222=---++，0)ac bc ab c b a (2222=---++，0ac 2c a bc 2c b ab 2b a 222222=-++-++-+，0)c a ()c b ()b a (222=-+-+-，∴a －b ＝0，b －c ＝0，a －c ＝0，∴a ＝b ＝c ．∴此三角形为等边三角形．。