【精品】2020中考数学复习点拨34讲专题22 正方形(学生版)

专题22 正方形
1．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2．正方形的性质：
（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；
（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴；
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3．正方形的判定
判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
先证它是矩形，再证有一组邻边相等。

即有一组邻边相等的矩形是正方形
先证它是菱形，再证有一个角是直角。

即有一个角是直角的菱形是正方形。

4．正方形的面积：设正方形边长为a，对角线长为b ，S正方形=
2
2
2
b
a
【例题1】（2019湖南郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF的边长是（）
A．√2B．2 C．√3D．4
【例题2】（2019•四川省凉山州）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接E B．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．
专题知识回顾
专题典型题考法及解析
专题典型训练题
一、选择题
1．（2019内蒙古包头）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是（）
A．B．C．﹣1 D．
2．（2019湖南张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺
时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形
OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（）
A．（，﹣）B．（1，0）C．（﹣，﹣）D．（0，﹣1）
3.（2019•四川省广安市）把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（）
()A 61 ()B 31 ()C 51 ()D 4
1 4.（2019•贵州省铜仁市）如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，E 为AB 的中点，将△ADE 沿DE 翻折得到△FDE ，延长EF 交BC 于G ，FH ⊥BC ，垂足为H ，连接BF 、DG ．以下结论：①BF ∥ED ；②△DFG ≌△DCG ；③△FHB ∽△EAD ；④tan ∠GEB ＝；⑤S △BFG ＝2.6；其中正确的个数是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5\
5．（2019黑龙江省绥化）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两个动点，P 是正方形四边上的任意一点，且AB ＝4，EF ＝2，设AE ＝x ．当△PEF 是等腰三角形时，下列关于P 点个数的说法中，一定正确的是（ ）
①当x ＝0（即E 、A 两点重合）时，P 点有6个
②当0＜x ＜2时，P 点最多有9个
③当P 点有8个时，x ＝ 2
④当△PEF 是等边三角形时，P 点有4个
A ．①③
B ．①④
C ．②④
D ．②③
二、填空题 6．（2019湖南邵阳）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a =6，弦c =10，则小正方形ABCD 的面积是 .
7．（2019湖南张家界）如图：正方形ABCD 的边长为1，点E ，F 分别为BC ，CD 边的中点，
连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD＝．
8.（2019•湖北省随州市）如图，已知正方形ABCD的边长为a，E为CD边上一点（不与端点重合），将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．给出下列判断：
①∠EAG=45°；
②若DE=a，则AG∥CF；
③若E为CD的中点，则△GFC的面积为a2；
④若CF=FG，则DE=（-1）a；
⑤BG•DE+AF•GE=a2．
其中正确的是______．（写出所有正确判断的序号）
9．（2019福建）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA 的延长与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）
10.（2019•四川省凉山州）如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B、C 重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为．
11. （2019•广东广州）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM
＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论：
①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；
③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值a2．
其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）
12.（2019·广西贺州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，AF平分∠BAE交BC于点F，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，则CF的长为．
13．（2019•山东青岛）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为cm．
14.（2019江苏镇江）将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置（如图），使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD＝．（结果保留根号）
15．（2019辽宁抚顺）如图，在2×6的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，网格中小正方形的顶点叫格点，点A ，B ，C 在格点上，连接AB ，BC ，则tan ∠ABC ＝ ．
三、解答题
16．（2019湖南湘西州）如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边CD ，AD 上，且AF
＝CE ．
（1）求证：△ABF ≌△CBE ；
（2）若AB ＝4，AF ＝1，求四边形BEDF 的面积．
17. (2019海南)如图,在边长为1的正方形ABCD 中,E 是边CD 的中点,点P 是边AD 上一点(与点A,D 不重合),射线PE 与BC 的延长线交于点Q.
(1)求证:△PDE ≌△QCE;
(2)过点E 作EF ∥BC 交PB 于点F,连接AF,当PB ＝PQ 时,①求证:四边形AFEP 是平行四边形;②请判断四边形AFEP 是否为菱形,并说明理由.
18．（2019湖南株洲）如图所示，已知正方形OEFG 的顶点O 为正方形ABCD 对角线AC 、BD 的交点，连接CE 、DG ．
第10题图 H G
F
E D C B
A
（1）求证：△DOG≌△COE；
（2）若DG⊥BD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM＝1
2
，求正方形OEFG
的边长．
19.（2019•湖北省仙桃市）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF．求证：
（1）AE⊥BF；
（2）四边形BEGF是平行四边形．
20．（2019•山东泰安）如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF ＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．
（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；
（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．
21．（2019湖北襄阳）（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．
①求证：DQ＝AE；
②推断：的值为；
（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的长．。