1.2.1测量距离问题课件(人教A版必修5)
2020版数学人教A版必修5课件：第一章 1.2 第1课时 距离、高度问题
第一章§1.2 应用举例第1课时 距离、高度问题学习目标XUEXIMUBIAO1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角.目标视线在水平视线时叫仰角，目标视线在水平视线 时叫俯角，如图所示.下方上方(2)方位角正北方向指从顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为140°(如图所示).(3)方向角①正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角.②东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图所示).类似还有东北方向、西南方向等.知识点二 距离问题类型图形方法两点间不可到达的距离余弦定理两点间可视不可到达的距离正弦定理两个不可到达的点之间的距离先用正弦定理，再用余弦定理知识点三 高度问题类型简图计算方法底部可达测得BC ＝a ，∠BCA ＝C ，AB ＝a ·tan C .底部不可达点B 与C ，D 共线测得CD ＝a 及C 与∠ADB 的度数. 先由正弦定理求出AC 或AD ，再解三角形得AB 的值.点B 与C ，D 不共线测得CD ＝a 及∠BCD ，∠BDC ，∠ACB 的度数.在△BCD 中由正弦定理求得BC ，再1.南偏东30°指正南为始边，在水平面内向东旋转30°.( )2.两点间不可通又不可视问题的测量方案实质是构造已知两边及夹角的三角形并求解.( )3.两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解.( )4.高度问题大多通过仰角转化为水平面内的距离问题来解决.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√√√2题型探究PART TWO解析 因为A ，B 间是湖泊，可视不可达，故三个方案涉及的量均可测，并能用这些量解三角形求出AB .题型一 距离问题命题角度1 不可通又不可视的两点间距离多维探究例1 (1)如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学首先选定了与A ，B 不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案：(△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c )：①测量A ，B ，b ；②测量a ，b ，C ；③测量A ，B ，a .则一定能确定A ，B 间距离的所有方案的个数为A .3B .2C .1 D .0√(2)A，B两地之间隔着一个山岗如图，现选择另一点C，测得CA＝7 km，CB＝5 km，C＝60°，则A，B两点之间的距离为 km.解析 由余弦定理，得反思感悟 解实际应用题，通常要把实际问题抽象为数学问题，然后解决.命题角度2 可视不可达的两点间的距离例2 如图所示，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则BC为 m.解析 由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，反思感悟 求可视不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形.命题角度3 测量两个不可到达点间的距离例3 如图，为了测量正在海面匀速行驶的某船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观察点C，D，在某天10：00观察到该船在A处，此时测得∠ADC＝30°，2分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，则船速为千米/分钟.解析 在△ACD中，CD＝1，∠ADC＝30°，∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝105°，∴∠CAD＝180°－30°－105°＝45°.同理，在△BCD中，在△ADB中，AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB反思感悟 本方案的实质是把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为例1中的题型.题型二 高度问题命题角度1 在同一铅垂面内的高度问题例4 某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m 后到达D 处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为 m .(精确到1 m)多维探究811解析 如图，过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝20°，所以∠ADE＝160°，于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°.在△ABD中，由正弦定理，得在Rt△ABC中，BC＝AB sin 35°≈811(m).所以山的高度为811 m.反思感悟 (1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形.(2)底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进.命题角度2 不在同一铅垂面内的高度问题例5 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是√解析 在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，反思感悟 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题.核心素养之数学抽象三角形测量中的数学抽象HEXINSUYANGZHISHUXUECHOUXIANG典例 如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝ .求索道AB的长.从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C所以索道AB的长为1 040 m.素养评析 数学抽象指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象.在本例中，我们舍去A，B，C三处的景致、海拔、经度、纬度等非本质属性，得到纯粹的三个点，舍掉步行、乘缆车、速度等表征，直接抽象出线段AC，AB的长，都属于数学抽象.3达标检测PART THREE√解析 ∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，2.(2018·河南南阳八校联考)如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山腰A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为√解析 由题图，可得∠B＝45°，∠BAC＝30°，3.如图，某人向正东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了34千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值是.解析 由余弦定理，得x2＋9－3x＝13，整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4(舍负).4.如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，7A，B，C，D四点共圆，则AC的长为 km.解析 因为A，B，C，D四点共圆，所以D＋B＝π.在△ABC和△ADC中，由余弦定理可得82＋52－2×8×5×cos(π－D)＝32＋52－2×3×5×cos D，课堂小结KETANGXIAOJIE1.测量距离和高度问题都可以转化成利用正弦、余弦定理求解三角形边的问题.2.正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图.(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型.(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解.(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.。
2020-2021学年高中人教A版数学必修五课件-1.2.1-解三角形的实际应用举例-距离问题
C.南偏西35°
D.南偏西55°
【解析】选D.根据题意和方向角的概念画出草图, 如图所示α=55°,则β=α=55°.所以B在A的南偏西55°.
3.(教材二次开发:习题改编)如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距
离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,
∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,则BC为
m.
【思路导引】在△ABC中,知两角和一边,可以用正弦定理解三角形,求BC的长.
【解析】由题意知,∠ACB=180°-30°-75°=75°,
由正弦定理得,BC= AB ·sin ∠CAB=
sinACB
120 ·sin 30°=
sin 75
则灯塔A与灯塔B的距离为
()
A.a km
B. 3 a km
C. 2 a km
D.2a km
【解析】选B.由题意得∠ACB=120°,
AB2=a2+a2-2a2cos 120°=3a2,所以AB3 = a.
关键能力·合作学习
类型一 用正弦定理或余弦定理求距离(数学建模)
角度1 用正弦定理求距离
【典例】如图所示,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得
4
所以AC= 15sin 120 3 2 6×15(n mile).
sin 15
2
AC AB ， sinABC sinACB
,3 ,
2
在△ACD中,因为∠A=∠D=45°,所以△ACD是等腰直角三角形,所以AD= 2 AC= 15(3+ 3) (n mile). 答:A,D两处的距离为15(3+ 3 ) n mile.
高中数学 1-2-1距离问题课件 新人教A版必修5
思路方法技巧
命题方向 正、余弦定理在生产、生活中不易到达点测 距中的应用 [例 1] 要测量河对岸两个建筑物 A、B 之间的距离，
选取相距 3 km 的 C、D 两点，并测得∠ACB＝75° ，∠ BCD＝45° ，∠ADC＝30° ，∠ADB＝45° ，求 A、B 之间的距 离．
[解析] 30° ，
21 AD 在△ACD 中，sin60° sinα， ＝ 21×sinα ∴AD＝ sin60° ＝15(千米)． 答：这个人再走 15 千米就可以到达 A 城．
课堂巩固训练
在一个很大的湖边(可视湖岸为直线)停放着一只小船，由 于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与河岸成 15° 角，速 度为 2.5 km/h，同时岸上一人从同一地点开始追小船，已知他 在岸上跑的速度为 4 km/h，水中游的速度为 2 km/h，问此人能 否追上小船？若小船速度改变，则小船能被追上的最大速度是 多少？
学习要点点拨
1．解三角形应用题的基本思路 (1)建模思想 解三角形应用问题时，通常都要根据题意，从实际问题中 抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出三角 形边角的大小，从而得出实际问题的解．这种数学建模思想， 从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数 学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实 际问题的解，用流程图可表示为：
[解析]
在△ABC 中，BC＝30，B＝30° ，∠ACB＝135° ，
∴∠BAC＝15° ， BC AC 30 AC 由正弦定理 ＝ 即： ＝ ， sinA sinB sin15° sin30° ∴AC＝60cos15° ＝60cos(45° －30° ) ＝60(cos45° cos30° ＋sin45° sin30° )＝15( 6＋ 2) ∴A 到 BC 的距离为 d＝ACsin45° ＝15( 3＋1)， ≈40.98 海里>38 海里， 所以继续向南航行， 没有触礁危险．
高中数学 (1.2.1 解决有关测量距离的问题)示范教案 新人教A版必修5
1.2 应用举例1.2.1 解决有关测量距离的问题从容说课解斜三角形知识在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识．对于解斜三角形的实际问题，我们要在理解一些术语（如坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等）的基础上，正确地将实际问题中的长度、角度看成三角形相应的边和角，创造可解的条件，综合运用三角函数知识以及正弦定理和余弦定理来解决．学习这部分知识有助于增强学生的数学应用意识和解决实际问题的能力．本节的例1、例2是两个有关测量距离的问题.例1是测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，例2是测量两个不可到达的点之间距离的问题.对于例1可以引导学生分析这个问题实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，从而可以用正弦定理去解决．对于例2首先把求不可到达的两点A、B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题，然后把求未知的BC和AC的问题转化为例1中测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．教学重点分析测量问题的实际情景，从而找到测量距离的方法.教学难点实际问题向数学问题转化思路的确定，即根据题意建立数学模型，画出示意图．教具准备三角板、直尺、量角器等三维目标一、知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语，如:坡度、俯角、方向角、方位角等.二、过程与方法1.首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫．其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题．对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，引导学生从多角度发现问题并进行适当的指点和矫正．2.通过解三角形的应用的学习,提高解决实际问题的能力.三、情感态度与价值观1.激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；2.通过解斜三角形在实际中的应用,要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题,以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用.同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力．教学过程导入新课师前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施．如因为没两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在AC的距离是55 m，∠BAC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较恰当？：运用该定理解题还需要哪些边和角呢？请学生回答．，所以角B就可以知道，又因为两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题．首先需要构造两点．根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边即可和BC，再利用余弦定理可以计算出用实物模型或多媒体动画演示，让学生观察到B与B0重合时，A与＝425 mm，且A0A=A0C-AC．通过观察你能建立一个数学模型吗？问题可归结为：已知△ABC中，BC＝85 mm AB＝34 mm，∠C＝80°，求AC 呢？AB、∠C、BC，可先由正弦定理求出∠最后由正弦定理求出AC．≈0.246 2.C）＝85°45′.≈344.3( mm ).=(340+85)-344.3=80.7≈81(mm).，用余弦定理解之，课后完成.相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西时的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用解斜三角形应用题常见的会有哪几种情况？实际问题经抽象概括后，已知与未知量全部集中在一个三角形中，一次可用正弦定理或实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形中，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解．实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理．汽车站的北偏西20°的方向上的A处，观察到点。
高中数学人教A版必修五课件1.2 第1课时 距离和高度问题2
分别是45°和30°,且∠CBD=30°,求塔高AB.
分析:先在Rt△ABC和Rt△ABD中,用AB表示BC和BD,再在△BCD中,
由余弦定理建立方程求解.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
解:在 Rt△ABC 中,∠ACB=45°,设 AB=h,则 BC=h.在 Rt△ABD 中,∠
第1课时
距离和高度问题
-1-
课标阐释
思维脉络
1.掌握基线、坡角、视角、仰角、俯角 应用举例
有关概念
等测量问题中常用的概念.
2.能够运用正弦定理和余弦定理解决
距离问题
实际应用
与距离、高度等有关的实际问题.
高度问题
课前篇自主Leabharlann 习一、常用概念1.基线
(1)定义:在测量上,根据测量需要适当确定的线段叫做基线.
=
,得
13 5 13 5
65
sin
sin
1 260
4
AB=
·sin C= 63 × =1 040(m).所以索道 AB 的长为 1 040 m.
sin
5
65
(2)假设乙出发 t min 后,甲、乙两游客距离为 d,此时甲行走了
(100+50t)m,乙距离 A 处 130t m,所以由余弦定理,得
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
解:在△ACD 中,∵∠ADC=30°,∠ACD=120°,
∴∠CAD=30°,∴AC=CD=√3 km.
在△BDC 中,∠CBD=180°-(45°+30°+45°)=60°.
第一章 1.2 第1课时 距离测量问题(优秀经典公开课比赛课件)
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[自我检测]
1．轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时同时离开海港 O，两船航行方向的夹角为 120°，两船
的航行速度分别为 25 n mile/h,15 n mile/h，则 14 时两船之间的距离是( )
A．50 n mile
B．70 n mile
C．90 n mile
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探究二 测量不可到达的两点间的距离 [阅读教材 P11 例 1]测量器材：米尺、测角仪 方法步骤： (1)选基线 CD，并测量长度． (2)测角度∠BCA，∠ACD，∠CDB，∠BDA. (3)用正弦定理计算 AC，BC. (4)用余弦定理计算 AB.
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[阅读教材 P11 例 1]测量器材：米尺、测角仪 方法步骤： (1)在河的一岸选基线 AC. (2)测出基线长 AC. (3)测量角度∠BAC 和∠ACB. (4)利用正弦定理计算 AB.
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[例 1] 如图，一名学生在河岸紧靠岸边笔直行走，开始在 A 处， 经观察，在河的对岸有一参照物 C，与学生前进方向成 30°角， 学生前进 200 m 后到达点 B，测得该参照物与前进方向成 75° 角．求点 A 与参照物 C 的距离．
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[解析] 由题意得 AB＝200 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°.
由正弦定理得sinAB45°＝sinA1C05°，
∴AC＝ABs·isnin451°05°＝200×
2＋ 4
2
6 ＝100(1＋
3)，
1.2第1课时 距离问题 秋学期高中数学必修5(人教A版)PPT课件
[变式训练] 如图所示，为了测量隧道口 AB 的长度，测 量时应选用数据( )
A．α，a，b B．α，β，a C．a，b，γ D．α，β，b 解 析 ： 选 择 a ， b ， γ 可 直 接 利 用 余 弦 定 理 AB ＝ a2＋b2－2abcos γ 求解． 答案：C
解：在△ACD 中，由正弦定理得： AC＝sin[180D°－Cs（in∠（A∠CDC＋DB∠＋C∠DBB＋DA∠）BDA）]
＝400sisnin451°05°＝200( 3＋1)(米)．
在△BCD 中，由正弦定理得：
BC
＝
400sin 45° sin[180°－（∠ACD＋∠ACB＋∠BDC）]
3．方向角：从指定方向到目标方向线所成的水平角， 如南偏西 60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋 转 60°，如图②所示．
图①
图②
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知三角形的三个角，能够求其三条边．( ) (2)两个不可到达的点之间的距离无法求得．( ) (3)东偏北 45°的方向就是东北方向．( ) (4)仰角与俯角所在的平面是铅垂面．( ) 解析：已知三角形中至少知道一条边才能解三角形， 故(1)错．两个不可到达的点之间的距离可以用解三角形 的方法求出，故(2)错． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
答案：D
[迁移探究] (变换条件)在典例 1 中，若“从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75°的视角”改为“A，C 两岛相距 20 海里”， 其他条件不变又如何求 B，C 间的距离呢？
高中数学必修5课件(1.2应用举例——测距离(第1课时))
东60 ° ,则A、B之间的距离为多少？ 2a
二、应用举例
例1.设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离。
测量者在A的同侧,在其所在的河岸边选定一点C,测出
AC的距离是55m,∠BAC＝51o, ∠ACB＝75o,求A、
练习2.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计 算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°,油泵 顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间 的夹角为6°20’,AC长为1.40m,计算BC的长(精确到 0.01m)．
已 知 △ ABC 中 AB＝1.95m,AC＝ 1.40m, 夹 角 ∠ CAB＝66°20′, 求 BC．
C
BC
a sin
sin180 (
)
a sin sin(
)
AB AC 2 BC 2 2 AC BC cos
三、练习
为了测定河对岸两点A、B间的距离,在岸边选定1公里长 的基线CD,并测得∠ACD=90o, ∠BCD=60o,∠BDC=75o,∠ADC=30o,求A、B两点的距离.
解：在ASB中，SBA＝115，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
S 45，由正弦定理得
SB AB sin 20 16.1sin 20 7.787(n mile)
sin 45
sin 45
设点S到直线AB的距离为h, 则
h SB sin 65 7.06(n mile)
h 6.5n mile 此船可以继续沿正北方向航行
答：此船可以继续沿正北方向航行
最大角度
解：由余弦定理,得
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第一章 §1.2 第一课时
分析 所求的边AB的对角β是已知的，又已知三角形的 一边AC的长，根据三角形内角和定理计算出边AC的对角， 由正弦定理计算出边AB.
AB AC 解 在△ABC中，由正弦定理，得sinC＝sinB， ACsinC asinβ ∴AB＝ ＝ . sinB sin180° －α－β
第一章 §1.2 第一课时
2 则CD＝ACsin∠CAB＝ 2 AC＝20( 3＋3)． ∴河的宽度为20( 3＋3)米．
第14页
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第一章 §1.2 第一课时
题型二 测量两个不可到达的点间的距离 例2 如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边 选取距离相距 3 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75° ，∠
BCD＝45° ，∠ADC＝30° ，∠ADB＝45° ，(A，B，C，D在同 一平面内)，求 A，B之间的距离．
第15页
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第一章 §1.2 第一课时
分析 要求出A，B之间的距离，把AB放在△ABC(或△ ADB)中，但不管在哪个三角形中，AC，BC(或AD，BD)这些 量都是未知的．再把AC，BC(或AD，BD)放在△ACD，△ BCD中求出它们的值．
第19页
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第一章 §1.2 第一课时
解 在△ADC中，∵∠ADC＝30° ＋30° ＝60° ，∠ACD＝ 60° ，故△ADC为等边三角形， 3 ∴AC＝ 2 a. 在△BCD中，∠DBC＝180° －30° －60° －45° ＝45° ， DC BC 由正弦定理，得 ＝ ， sin∠DBC sin∠BDC 3 1 DCsin∠BDC 2 a· 2 6 ∴BC＝ ＝ ＝ 4 a. sin∠DBC 2 2
第6页
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第一章 §1.2 第一课时
这一思路描述如下：
第7页
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第一章 §1.2 第一课时
典 例 剖 析
（学生用书P12）
第8页
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第一章 §1.2 第一课时
题型一 测量一个点可以到达而另一个点不可到达的点 之间的距离问题 例1 如图所示，设A(可达到)，B(不可达到)是地面上两 点，要测量A，B两点之间的距离，测量者在A点的附近选定 一点C，测出AC的距离为a m，∠A＝α，∠C＝β.求A，B两点 间的距离．
第12页
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第一章 §1.2 第一课时
解 在△ABC中，∵∠CAB＝45° ，∠CBA＝75° ， ∴∠ACB＝60° . 由正弦定理，可得 AB· sin∠CBA 120sin75° AC＝ ＝ sin60° ＝20(3 2＋ 6)． sin∠ACB 设C到AB的距离为CD，
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解 在△ACD中，∠ADC＝30° ，∠ACD＝120° ， ∴∠CAD＝30° . ∴AC＝CD＝ 3. 在△BCD中，∠CBD＝180° －(45° ＋30° ＋45° )＝60° .
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第一章 §1.2 第一课时
在△BCD中，由正弦定理，得 3sin75° 6＋ 2 BC＝ ＝ ， sin60° 2 则在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC· BC· cos∠BCA ＝( 3) ＝5. ∴AB＝ 5. ∴两目标A，B之间的距离为 5km.
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2
＋
6＋ 2 6＋ 2 2 －2 3× cos75° 2 2
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第一章 §1.2 第一课时
规律技巧 测量两个不可到达的点之间的距离问题，一 般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题，然后把未知 的另外边长转化为只有一点不能到达的两点距离测量问 题．测量长度、距离是解三角形应用题的一种基本题型，在 解这类问题时，首先要分析题意，确定已知与所求，然后画 好示意图，通过解三角形确定实际问题的解．
§ 1.2 应用举例
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第一章
解三角形
第一课时
测量距离问题
名师讲解
典例剖析
易错探究
技能演练
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第一章 §1.2 第一课时
自学导引
(学生用书P12)
1.熟练掌握正弦定理及余弦定理． 2．能够应用正、余弦定理等知识和方法求距离问题.
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第一章 §1.2 第一课时
课前热身
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第一章 §1.2 第一课时
变式训练2 2003年，伊拉克战争初期，美英联军为了 准确分析战场的形势，由分别位于科威特和沙特的两个相距 3 a的军事基地C和D，测得伊拉克两支精锐部队分别在A处 2 和B处，且 ∠ADB＝30° ，∠BDC＝30° ，∠DCA＝60° ，∠ ACB＝45° ，如图所示，求伊军这两支精锐部队间的距离．
(学生用书P12)
正弦定理和余弦定理在实际测量中有许多应用，例如在 测量________、________、________、________等问题中的 应用.
答案 距离 高度 角度 面积
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第一章 §1.2 第一课时
名师讲解
（学生用书P12）
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第一章 §1.2 第一课时
解三角形应用题的一般思路 (1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求， 理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成三角形模 型． (3)选择正弦定理和余弦定理求解． (4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单 位和近似计算要求．
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第一章 §1.2 第一课时
规律技巧 此类问题的关键是确定基线(可测量长度)的 位置．如本题中，点C不能在直线AB上，否则不能构造出三 角形．
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第一章 1.2 第一课时
变式训练1 如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定 两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45° ，∠CBA＝ 75° ，AB＝120米， 求河的宽度．
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第一章 §1.2 第一课时
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－
2AC· BC· cos∠ACB＝ 3 6 2 6 2 3 2 6 2 a ＋ a －2·2 a·4 a·2 ＝16a ， 2 4
6 ∴AB＝ a. 4 6 ∴伊军这两支精锐部队间的距离为 a. 4