2.5 计算解的精度估计和迭代改进

∂f ( x0 ) ∂f ( x0 ) ∂f ( x0 ) T 因此 ∇f ( x0 ) = , ,L, = B v. ∂x2 ∂xn ∂x1 其中v 其中 = (ξ1 , ξ2 , ... , ξn )T, 再令
w = Bx0 , z = BTv . 则有如下定理
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ˆ || x − x ||∞ || r ||∞ || r ||∞ −1 ≤|| A ||∞ || A ||∞ = κ ∞ ( A) . 故 || x ||∞ || b ||∞ || b ||∞
使用l 范数是由于该范数计算简单. 易于计算, 使用 ∞范数是由于该范数计算简单 || A ||∞易于计算 给 出相对误差界的关键是估计|| 出相对误差界的关键是估计 A－1 ||∞ .
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ˆ || x − x ||∞ || r ||∞ || r ||∞ −1 ≤|| A ||∞ || A ||∞ = κ ∞ ( A) . || x ||∞ || b ||∞ || b ||∞
|| A ||∞易于计算, 给出相对误差界的关键是估计 A－1 ||∞ . 易于计算 给出相对误差界的关键是估计|| 方法一：求解Ay 方法一：求解 i = ei , i = 1, 2, … , n, 则 || A－1 ||∞= || Y ||∞ , 其中Y 从而Y 其中 = (y1 , y2 , … , yn). 事实上 AY = I , 从而 = A－1 , 故上式成立. 故上式成立 由于 A = LU 已计算, 故方程 Ayi = ei , i = 1, 2, … , n 容易 已计算 求解, 容易计算. 求解 也就是 Y 容易计算
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ˆ || x − x ||∞ || r ||∞ || r ||∞ −1 ≤|| A ||∞ || A ||∞ = κ ∞ ( A) . || x ||∞ || b ||∞ || b ||∞
|| A ||∞易于计算 给出相对误差界的关键是估计 A－1 ||∞ . 易于计算, 给出相对误差界的关键是估计|| 即可. 因 || A－1 ||∞ = || A－T ||1 , 故令 B = A－T, 计算 || B ||1 即可 方法二：优化法(P68-70) 方法二：优化法 设 B = (bij)∈Rn×n, 计算 || B ||1 . 为此定义 ∈ ×
§2.5 计算解的精度估计和迭代改进 2.5.1 精度估计
^ 设用某种方法求解 Ax = b 得计算解 x , 令 r = b－Ax (残量 剩余量 残量, － ^ 残量 剩余量) 则r = Ax－Ax = A(x－x) . － ^ －^ 从而 || x－^ || = || A－1r || ≤ || A－1 || || r ||. －x 又|| b || = || Ax || ≤ || A || || x || , 即 || x ||∞≥ || b ||∞/|| A ||∞ ,
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x为初值 为初值, 这里 f (x) = Ax – b, ▽f (x) = A, 取^为初值 则 ^－ x = ^ – A－1(Ax－b). x ^ ^ 记r = b – Ax, z = A－1r, 则 x = x + z.
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n n
f ( x) = Bx 1 = ∑ ∑bij x j , D = {x ∈ R n : || x ||1 ≤ 1}.
i =1 j =1
是有界闭凸集D上的凸函数 则f (x)是有界闭凸集 上的凸函数 且 是有界闭凸集 上的凸函数, 求解maxx∈D f (x). 求||B||1 求解 ∈ 在凸集D上的最大值问题 上的最大值问题. 求||B||1的问题 凸函数 f 回 结束
设 x0
∈Rn 且
bij x(0) ≠ 0, i =1, 2,…, n. 令 || x0 ||1 = 1, 使得 ∑ j
n
ξi = sgn
则在 x0 附近有 f ( x) =
n
(∑
n
j =1
n
j =1 ij
bx
j
(0) j
).
T
∑∑ξ b x .
i =1 j =1 i ij
定理2.5.1】假定 B , x0 , v , w , z 如上所述 则有 如上所述, 【定理 】 (1) 若 ||z||∞≤ zTx0 , 则 || w ||1 = || Bx0 ||1 是 f (x) = || Bx ||1 在D 中的极大值; 中的极大值 (2) 若 || z ||∞> zTx0, 则 || Bej ||1 > || Bx0 ||1 , 其中 j 满足 | zj | = || z ||∞ . 证明: (1)在x0附近 f (x)是线性函数 故 是线性函数, 证明 在 附近, 是线性函数 f (x) = f (x0) +▽f (x0)T(x-x0). ▽ 对∀x∈D, 有 ∈ ▽f (x0)T(x-x0) = (BTv)T(x- x0) = zT(x- x0) = zTx- zTx0 ≤ ||z||∞ - zTx0 ≤ 0 即∀x∈D, f (x) ≤ f (x0). ∈
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~ (2) 取 x = sng (zj)ej , 则 ~ ~ ~ = f (x) ≥ f (x ) +▽f (x )T(x-x ) ||Bej||1 = ||Bx||1 ▽ 0 0 0 ~ = ||Bx0||1 + zTx - zTx0 = ||Bx0||1 + |zj| - zTx0 = ||Bx0||1 + ||z||∞ - zTx0 > ||Bx0||1 算法2.5.1(P70)优化法求 优化法求||B||1. 算法 优化法求 2.5.2 迭代改进 x 的精度太低, 可应用Newton迭代法改进 迭代法改进. 若计算解 ^ 的精度太低 可应用 迭代法改进 Newton法(切线法 求解 (x) = 0, 步骤 切线法)求解 步骤: 法 切线法 求解f 一维(n=1), 迭代公式 一维 x(k+1) = x(k) – f ’ (x(k))－1 f (x(k)), k = 0, 1, … . n维, 迭代公式 维 x(k+1) = x(k) – ▽f (x(k))－1 f (x(k)), k = 0, 1, … .