函数--递归等
递归函数流程js
递归函数流程js递归函数是一种在编程中常用的技巧，它可以通过调用自身来解决问题。
在JavaScript中，递归函数的流程可以分为三个步骤：基本情况、递归调用和返回结果。
首先，我们需要定义递归函数的基本情况。
基本情况是指在问题规模较小或特殊情况下的处理方式。
在递归函数中，我们通常会使用if语句来判断是否满足基本情况。
如果满足基本情况，递归函数会直接返回结果。
否则，递归函数会进入下一步骤，即递归调用。
递归调用是指在递归函数中调用自身。
通过递归调用，我们可以将原始问题分解为更小的子问题，并通过不断调用自身来解决这些子问题。
在递归调用时，我们通常会改变问题的规模或参数，以便逐步接近基本情况。
递归调用会一直进行，直到满足基本情况为止。
最后，递归函数会返回结果。
在递归调用结束后，递归函数会将最终的结果返回给调用者。
这个结果可以是一个具体的值，也可以是一个数据结构或对象。
通过返回结果，递归函数完成了整个问题的求解过程。
下面是一个简单的例子来说明递归函数的流程。
假设我们要计算一个正整数的阶乘。
我们可以使用递归函数来解决这个问题。
```javascriptfunction factorial(n) {// 基本情况if (n === 0 || n === 1) {return 1;}// 递归调用return n * factorial(n - 1);}// 调用递归函数console.log(factorial(5)); // 输出 120```在这个例子中，递归函数`factorial`用于计算一个正整数的阶乘。
首先，我们判断是否满足基本情况，即`n`等于0或1。
如果满足基本情况，递归函数会直接返回1。
否则，递归函数会调用自身，并将问题的规模减小1。
最后，递归函数会将最终的结果返回给调用者。
通过以上的例子，我们可以看到递归函数的流程。
首先是基本情况，然后是递归调用，最后是返回结果。
递归函数的流程可以帮助我们理解递归的原理，并在编程中灵活运用。
函数知识点总结笔记
函数知识点总结笔记一、函数的定义函数是程序中一段可以被命名和重复调用的代码段。
函数可以接收输入参数，进行某种处理，然后返回输出结果。
在大多数编程语言中，函数的定义都包括函数名、参数列表、函数体和返回值类型。
下面是一个简单的函数定义的示例：```pythondef add(a, b):return a + b```在这个示例中，我们定义了一个名为add的函数，它接收两个参数a和b，并返回它们的和。
函数的定义使用了关键字def，后面是函数名和参数列表，然后是冒号(:)表示函数体的开始。
函数体中使用了return关键字来返回计算结果。
二、函数的特性函数具有以下几个特性：1. 封装性：函数将一系列操作封装到一个整体中，对外部提供一个接口来使用这些操作，隐藏了内部实现的细节。
2. 可重用性：函数可以被多次调用，从而可以重复使用其中的代码片段，提高了代码的复用性。
3. 独立性：函数可以独立于主程序而存在，具有自己的作用域，不会与全局变量产生冲突。
4. 易维护性：函数将相似的操作封装在一起，方便维护和修改，提高了代码的可维护性和可读性。
三、函数的参数传递函数的参数传递是指在调用函数时将实际参数传递给形式参数。
参数传递的方式有值传递、引用传递和指针传递等多种方式，不同的编程语言可能有不同的参数传递方式。
在大多数情况下，函数的参数传递都是值传递的方式，即在调用函数时实际参数的值被传递给形式参数，形式参数接收到的是实际参数的一个副本，对形式参数的修改不会影响实际参数。
有些语言也支持引用传递，即在调用函数时实际参数的引用被传递给形式参数，对形式参数的修改会影响实际参数。
下面是一个简单的参数传递的示例：```pythondef change_value(x):x = 10a = 5change_value(a)print(a) # 输出结果为5```在这个示例中，我们定义了一个函数change_value，它接收一个参数x，并将x的值修改为10。
函数的知识点归纳总结
函数的知识点归纳总结1. 函数的定义和调用- 函数是一段完成特定任务的代码块，可以重复使用。
- 函数的定义一般包括函数名、参数列表和函数体。
- 调用函数时，需要使用函数名和传入参数的值。
2. 函数的参数- 函数可以接收输入参数，用于在函数内部进行操作。
- 参数可以分为位置参数和关键字参数。
- 可以定义默认参数值，使得参数在调用时变得可选。
3. 函数的返回值- 函数可以返回一个值，用于向调用者传递结果。
- 可以返回多个值，以元组的形式返回。
4. 函数的作用域- 函数内部的变量和函数外部的变量是独立的。
- 函数可以访问外部变量，但是不能修改其值，除非使用`global`关键字。
5. 匿名函数- 匿名函数是一种简单的函数，不需要使用`def`关键字来定义。
- 使用`lambda`关键字来创建匿名函数。
6. 递归函数- 递归函数是一种调用自身的函数。
- 递归函数可以解决一些数学和计算问题。
7. 高阶函数- 高阶函数可以接收函数作为参数或者返回一个函数。
- 可以用于实现函数式编程的一些特性，比如map、filter和reduce。
8. 内置函数- 编程语言提供了一些内置函数，用于完成一些常见的操作。
- 例如，Python中的`print`、`len`、`range`等函数。
9. 函数的重载- 有些编程语言支持函数的重载，允许定义多个同名函数。
- 函数的重载可以根据参数的类型和个数来决定调用哪个函数。
10. 闭包- 闭包是一个函数和其环境变量的组合。
- 闭包可以保存函数的状态，使得函数可以记住之前的操作。
11. 装饰器- 装饰器是一种特殊的函数，用于修改其他函数的行为。
- 可以用于添加日志、认证、性能测试等功能。
12. 函数式编程- 函数式编程是一种编程范式，将计算视为数学函数的求值。
- 函数式编程强调函数的纯度和不可变性。
13. 函数的异常处理- 函数中可能会发生异常，需要使用异常处理机制来应对。
- 可以使用`try`、`except`、`finally`关键字来处理异常。
递归函数python例子
递归函数python例子递归是一种算法，它通过反复调用自身来解决问题。
在计算机科学中，递归函数是一种函数，它在其定义中调用自身。
递归函数可以用于解决许多问题，例如树的遍历、排序、搜索等。
Python是一种支持递归函数的编程语言，本文将介绍递归函数的基本原理和几个Python例子。
递归函数的原理递归函数的原理是将一个大问题分解成若干个小问题，然后通过递归解决每个小问题，最后将结果组合起来得到大问题的解。
递归函数需要满足两个条件：基本情况和递归情况。
基本情况是指递归函数能够直接得到答案的情况，不需要再次递归。
递归情况是指递归函数需要继续递归下去的情况。
在递归函数中，基本情况通常是通过if语句来实现的。
递归函数的基本结构如下：def function_name(parameters):if base_case:return base_case_solutionelse:recursive_case = function_name(modified_parameters)return recursive_case_solution递归函数Python例子下面将介绍几个常见的递归函数Python例子。
1. 阶乘阶乘是指从1到n的所有整数相乘的结果，通常用n!表示。
例如，5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120。
递归函数可以用于计算阶乘，其基本情况是n=1时，阶乘为1，递归情况是n>1时，阶乘为n乘以(n-1)的阶乘。
def factorial(n):if n == 1:return 1else:return n * factorial(n-1)2. 斐波那契数列斐波那契数列是指前两个数为1，之后每个数都是前两个数之和的数列。
例如，斐波那契数列的前10个数为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55。
递归函数可以用于计算斐波那契数列，其基本情况是第一个数和第二个数都是1，递归情况是第n个数等于第n-1个数和第n-2个数之和。
java递归详解
java递归详解递归是一种常见的编程技巧，它在解决问题时通过调用自身来实现。
在Java中，递归是一种强大而灵活的工具，可以用于解决各种问题。
本文将详细介绍Java递归的原理、应用场景以及一些注意事项。
首先，让我们来了解递归的原理。
递归函数是一种特殊的函数，它在执行过程中会调用自身。
递归函数通常包含两个部分：基本情况和递归调用。
基本情况是递归函数停止调用自身的条件，而递归调用是递归函数在满足基本情况之前一直调用自身。
递归函数的执行过程可以用一个栈来模拟。
每次递归调用时，函数的局部变量和参数都会被保存在栈中，直到满足基本情况时才会逐个弹出栈。
这种栈的结构被称为递归栈。
递归在解决问题时具有很大的灵活性。
它可以用于解决各种问题，如计算阶乘、斐波那契数列、二叉树遍历等。
下面我们以计算阶乘为例来说明递归的应用。
计算阶乘是一个经典的递归问题。
阶乘的定义是n的阶乘等于n乘以(n-1)的阶乘，其中0的阶乘定义为1。
我们可以使用递归函数来计算阶乘。
```javapublic class Factorial {public static int factorial(int n) {if (n == 0) {return 1;} else {return n * factorial(n - 1);}}public static void main(String[] args) {int n = 5;int result = factorial(n);System.out.println("The factorial of " + n + " is " + result);}}```在上面的代码中，factorial函数是一个递归函数。
当n等于0时，满足基本情况，函数返回1。
否则，函数调用自身，并将n减1作为参数传递给递归调用。
最终，递归函数的返回值是n乘以(n-1)的阶乘。
递归函数的使用需要注意一些问题。
离散数学知识点
离散数学知识点摘要：离散数学是计算机科学和数学的一个分支，它专注于非连续结构的研究。
本文旨在概述离散数学的核心知识点，包括集合论、逻辑、关系、函数、图论、组合数学和递归等。
1. 集合论- 集合的基本概念：集合是离散数学的基础，它是一组明确的、无重复的对象的集合。
- 集合运算：包括并集、交集、差集、补集等。
- 幂集：一个集合所有子集的集合。
- 笛卡尔积：两个集合所有可能的有序对的集合。
2. 逻辑- 命题逻辑：研究命题（声明的真值）和它们之间的关系，如合取、析取、否定等。
- 谓词逻辑：使用量词（如全称量词和存在量词）来表达更复杂的逻辑关系。
- 逻辑推理：包括直接证明、间接证明和归谬法等。
3. 关系- 关系的定义：一个集合到另一个集合的有序对的集合。
- 关系的类型：自反性、对称性和传递性等。
- 关系的闭包：在给定关系下，集合的最小闭包。
4. 函数- 函数的定义：一个集合到另一个集合的映射，每个元素有唯一的像。
- 函数的类型：单射、满射和双射。
- 复合函数：两个函数可以组合成一个新的函数。
5. 图论- 图的基本概念：由顶点（节点）和边组成的结构。
- 图的类型：无向图、有向图、连通图、树等。
- 图的算法：如最短路径、最小生成树、图的着色等。
6. 组合数学- 排列和组合：从n个不同元素中取出r个元素的不同排列和组合的数量。
- 二项式定理：描述了二项式的幂展开的系数。
- 生成函数：一种编码序列的方法，用于解决复杂的计数问题。
7. 递归- 递归定义：一个对象通过引用比自己更小的版本来定义。
- 递归函数：在计算机程序中，一个函数调用自身来解决问题。
结论：离散数学为理解和设计计算机系统提供了基础工具和理论。
它的知识点广泛应用于算法设计、数据结构、编程语言理论和数据库等领域。
掌握离散数学对于任何希望在计算机科学领域取得进展的人来说都是至关重要的。
本文提供了一个简洁的离散数学知识点概述，每个部分都直接针对一个主题，避免了不必要的背景信息和解释。
递归函数是指函数定义中调用函数自身的函数
递归函数是指函数定义中调用函数自身的函数递归函数是计算机科学中的一种重要概念，指的是在函数定义中调用函数自身的函数。
通俗的说，递归函数就是一个能够反复调用自己的函数。
递归函数的思想源于自然界中的许多事物，例如树、分形等等。
在数学中，递归函数已被广泛应用，尤其是在离散数学、计算机科学和逻辑学等领域。
在编程中，递归函数可以帮助我们建立更加简洁、可读性更好的程序。
在编程中，递归函数通常需要遵循以下两个条件：1. 递归基本情况：即递归函数需要有一个返回条件。
通俗的说，就是当满足某些条件时，递归需要停止。
2. 递归步骤：即递归函数需要在每次调用自己时，逐渐向递归基本情况靠近。
通俗的说，就是每次调用自己时，需要使得问题规模逐渐缩小，直到达到递归基本情况。
下面是一个经典的递归函数示例，计算斐波那契数列的第n个数：```def fibonacci(n):if n == 0:return 0elif n == 1:return 1else:return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)```在上述代码中，递归基本情况是当n等于0或者1时，递归停止；递归步骤是每次将问题规模缩小为n-1和n-2，直到满足递归基本情况为止。
递归函数的优点是代码简洁、可读性好、易于实现等等。
但使用递归函数也有一定的缺点。
具体来说，递归调用带来的函数调用开销、内存占用等等可能会影响程序的性能。
特别是当递归深度过大时，可能导致栈溢出等问题。
在使用递归函数时，也需要注意以下几个常见问题：1. 递归深度：在编写递归函数时，需要预估递归深度，避免出现栈溢出等问题。
2. 递归效率：在编写递归函数时，需要尽可能避免重复计算，提高递归效率，例如通过记忆化搜索等技术。
3. 递归终止条件：在编写递归函数时，需要确定好递归终止条件，避免出现死循环等问题。
递归函数是编程中的一种重要工具，能够帮助我们简化代码、提高程序可读性。
但也需要注意递归深度、递归效率等问题，以确保程序的正确性和性能。
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结1. 集合论- 集合的基本概念：集合、元素、子集、幂集、并集、交集、差集、补集。
- 集合的运算：德摩根定律、分配律、结合律、交换律。
- 有限集合和无限集合：可数与不可数集合、阿列夫零、阿列夫一。
2. 数理逻辑- 命题逻辑：命题、联结词、真值表、逻辑等价、逻辑蕴含、逻辑独立。
- 一阶谓词逻辑：量词、谓词、解释、满足、逻辑公式、全称量词、存在量词。
- 证明方法：直接证明、间接证明、反证法、数学归纳法。
3. 递归关系和函数- 递归定义：递归方程、初始条件、递归函数。
- 递归函数的例子：阶乘、斐波那契数列。
- 函数的性质：单射、满射、双射、复合函数。
4. 图论- 图的基本概念：顶点、边、路径、回路、图的同构。
- 图的类型：无向图、有向图、简单图、多重图、连通图、强连通图。
- 图的算法：欧拉路径、哈密顿回路、最短路径（Dijkstra算法）、最小生成树（Prim算法、Kruskal算法）。
5. 组合数学- 排列与组合：排列数、组合数、二项式定理。
- 组合恒等式：Pascal三角形、组合恒等式。
- 组合问题：计数原理、Inclusion-Exclusion原理。
6. 布尔代数- 布尔运算：AND、OR、NOT、XOR、NAND、NOR、XNOR。
- 布尔表达式的简化：卡诺图、奎因-麦克拉斯基方法。
- 布尔函数的表示：真值表、卡诺图、逻辑表达式。
7. 关系论- 关系的基本概念：笛卡尔积、自反性、对称性、传递性。
- 关系的类型：等价关系、偏序关系、全序关系。
- 关系的闭包：自反闭包、对称闭包、传递闭包。
8. 树和森林- 树的基本概念：节点、边、根、叶、子树、兄弟、祖先、子孙。
- 特殊类型的树：二叉树、平衡树、B树、B+树。
- 树的遍历：前序遍历、中序遍历、后序遍历、层次遍历。
9. 算法复杂度- 时间复杂度：最好情况、最坏情况、平均情况、大O表示法。
- 空间复杂度：算法空间需求的分析。
- 渐进分析：渐进紧确界、大Θ表示法、小o和大O的非正式描述。
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第 七 章
函
调f
说明
数
调f2
调f1
C编译系统对递归函数的自调用次数没有限制 每调用函数一次，在内存堆栈区分配空间，用于存放函数变 量、返回值等信息，所以递归次数过多，可能引起堆栈溢出
C 程 序 设 计
想一想： 想一想：
函数的递归调用一般用于什么情况？ 你能举出几个例子吗？
第 七 章
函 数
C 程 序 设 计
第 七 章
函 数
C 程 序 设 计
7.8 局部变量与全局变量
第 七 章
一、局部变量 凡在函数(含main 函数)内部定义的变量称为局部变量。 凡在函数 含 函数 内部定义的变量称为局部变量。 内部定义的变量称为局部变量
函 数
局部性: 局部变量仅在函数内部有效。 局部性 局部变量仅在函数内部有效。
说明： 说明：
函 数
说明： 一般省略， 说明：auto一般省略，所以以前用到的大多数变 一般省略 量均为auto型 型 量均为
C 程 序 设 计
int max(int x,int y) {int t; t=(x>y)?x:y; auto变量 变量
第 七 章
return(t);}
main()
函 数
{int i,j; scanf("%d,%d",&i,&j); printf("The max is %d",max(i,j));}
C 程 序 设 计
2. 形参为局部变量。 形参为局部变量。 3. 在复合语句中可定义仅复合语句中有效的临时变量。 在复合语句中可定义仅复合语句中有效的临时变量。 main() {int a,b; . . {int c; 复合语句 c=a+b; . . } }
第 七 章
函 数
C 程 序 设 计
二、全局变量
C 程 序 设 计
递归函数的优缺点讨论
优点： 优点： 1、递归算法解题通常显得很简洁 。 、 2、递归程序比较易写。 、递归程序比较易写。 缺点： 缺点： 1、递归算法解题的运行效率较低。所以一般不提倡用递归 、递归算法解题的运行效率较低。 算法设计程序。 算法设计程序。 2、在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点、局部量 、在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点、 等开辟了栈来存储。递归次数过多容易造成栈溢出等。 等开辟了栈来存储。递归次数过多容易造成栈溢出等。所 以一般不提倡用递归算法设计程序。 以一般不提倡用递归算法设计程序。 3、有些语言本身不能采用递归，这是就要用别的方法来处 、有些语言本身不能采用递归， 理递归问题了。 理递归问题了。
7.10 内部函数和外部函数
函 数
C 程 序 设 计
本次课程讨论的问题
递归的概念 递归程序举例
第 七 章
递归程序写法总结 进一步应用 优缺点探讨
函 数
C 程 序 设 计
§7.6
函数的递归调用
第 七 章
印度古老传说
函 数
开天辟地的神勃拉玛在一个庙里留下了三根金刚石的 第一根上面套着64个圆金片 最大的一个在底下， 个圆金片， 棒，第一根上面套着 个圆金片，最大的一个在底下， 依次叠上去一个比一个小。规定： 依次叠上去一个比一个小。规定：可用中间的一根棒作 为帮助，每次只能搬一个，且小压大。 个金片移动次 为帮助，每次只能搬一个，且小压大。64个金片移动次 数为： ， 数为：18，446，744，073，709，551，615 ， ， ， ， ，
！
C 程 序 设 计
定义：函数直接或间接的调用自身叫函数的递归调用
int f(int x) { int y,z; …… z=f(y); ……. return(2*z); } f( ) int f1(int x) { int y,z; …… z=f2(y); ……. return(2*z); } f1( ) f2( ) int f2(int t) { int a,c; …… c=f1(a); ……. return(3+c); }
第 七 章
函 数
例 Hanoi塔 塔 问题
1
void hanoi(int n,char h1,char h2,char h3) { if(n==1) printf("%c--->%c\n",h1,h3); else hanoi(n-1,h1,h3,h2); { printf("%c--->%c\n",h1,h3); hanoi(n-1,h2,h1,h3); } } main() { int m; printf("Input the number of disks:"); scanf("%d",&m); printf("The steps to moving %3d disks:\n",m); hanoi(m,'A','B','C'); }
#include "stdio.h" long tower(n) { long num_tower; switch (n) { case 1: {num_tower =1;break;} case 2: {num_tower =2;break;} case 3: {num_tower =4;break;} default: num_tower =tower(n-1)+tower(n-2)+tower(n-3); } return num_tower; } main( ) { int n; for(n=1;n<=30;n++) { printf(" n=%2d number=%10ld",n,tower(n)); if(n%2==0) printf("\n"); } }
C 程 序 设 计
以上为两大类,又分为四种具体形式： 以上为两大类 又分为四种具体形式： 又分为四种具体形式 1. 自动型变量 自动型变量(auto)
第 七 章
2. 静态变量 静态变量(static) 3. 寄存器型变量 寄存器型变量(register)（了解） （了解） 4. 外部变量 外部变量(extern)
例: 用递归方法求n！。 用递归方法求 ！。 n！= 1 n=0，1 ！ ， n *(n-1)! n>1 double fac(int n) { double f; if(n==0||n==1) f=1; else f=fac(n-1)*n; return(f); } main( ) { int i; for(i=1;i<=25;i++) printf("%d!=%-24.0f\n",i,fac(i)); }
此处并不是重 新定义变量， 新定义变量， 而是要使用． 而是要使用．
第 七 章
局部变量， 局部变量， 从属主函数
函 数
C 程 序 设 计
7.9
变量的存储类别和生存期
一、动态存储方式和静态存储方式
第 七 章
程序区 内存分配 静态存储区
存放பைடு நூலகம்序
存放数据、变量值 存放数据、 动态存储区
函 数
C 程 序 设 计
2
3
C 程 序 设 计
总结： 总结：
递归函数程序如何编写？ 类型 函数名（参数） { 定义变量； 判断是否满足结束条件 是：产生结束值； 不是：产生递归调用； 返回结束值； }
第 七 章
函 数
C 程 序 设 计
第 七 章
函 数
有一n级台阶的楼梯 上楼时可一步跨一级、 级台阶的楼梯， 例 有一 级台阶的楼梯，上楼时可一步跨一级、 两级、三级。 两级、三级。 问登上这n级楼梯共有多少种跨级的方法 级楼梯共有多少种跨级的方法？ 问登上这 级楼梯共有多少种跨级的方法？ 分析：是一个递推数列的问题， 表示n级楼 分析：是一个递推数列的问题，设A(n)表示 级楼 表示 梯的跨级方法数， 梯的跨级方法数，有： A(1)=1 总共只有一种方法 A(2)=2 共有一步跨两级(记为 和走两步一级 共有一步跨两级 记为 2)和走两步一级 (记为 ，1)两种方法 记为1， 两种方法 记为 A(3)=4 共有(1，1，1)，(1，2)，(2，1)， 共有(1，1，1)，(1，2)，(2，1)，(3) 等4种方法 种方法 n>3，考虑最后一步有一级、两级、三级等三种 ，考虑最后一步有一级、两级、 不同的方法 最后一步跨三级，前面n-3级有 级有A(n-3)种方法； 种方法； 最后一步跨三级，前面 级有 种方法 最后一步跨两级，前面已有A(n-2)种方法； 种方法； 最后一步跨两级，前面已有 种方法 最后一步跨一级，前面有A(n-1)种方法 最后一步跨一级，前面有 种方法 A(n)=A(n-1)+A(n-2)+A(n-3)
函 数
C 程 序 设 计
1） 用auto声明的局部变量 自动型变量 ） 声明的局部变量 自动型变量(auto)} 声明的局部变量{自动型变量 形式 auto int a, b;
第 七 章
为自动型变量， 则: a, b为自动型变量，存入动态区；在该函数 为自动型变量 存入动态区； 被调用时才分配单元，函数调用结束时释放空间。 被调用时才分配单元，函数调用结束时释放空间。
轻轻松松学习 程序设计
C 程 序 设 计
本次课程讨论的问题
如何将程序设计“自顶向下、逐层分解”的设计理念， 如何将程序设计“自顶向下、逐层分解”的设计理念， 融入到程序设计当中？ 融入到程序设计当中？ 重点 7.6 函数的递归调用 局部变量与全局变量 变量的存储类别 重点、难点 重点、
第 七 章
7.8 7.9
第 七 章
静态存储变量: 存放于静态存储区,在程序整个运行 静态存储变量 存放于静态存储区 在程序整个运行 过程中，始终占据固定的内存单元， 过程中，始终占据固定的内存单元， 全局变量）。 （如全局变量）。