_学年高中数学第2章数列2.3_2.3.2等比数列的通项公式练习苏教版必修5
数学·必修5(苏教版)练习：第2章2.3-2.3.2等比数列的通项公式
第2章数列2.3 等比数列2.3.1 等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式A级基础巩固一、选择题1．下列说法：①公差为0的等差数列是等比数列；②b2＝ac，则a，b，c成等比数列；③2b＝a＋c，则a，b，c成等差数列；④任意两项都有等比中项．正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：公差为0的非零数列是等比数列，故①不正确；②中只有a，b，c都不为0才正确；④也需要看首项是正还是负．所以只有③正确．答案：B2．在等比数列{a n}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于()A．16 B．16或－16C．32 D．32或－32解析：因为a4＝a1q3＝8·q3＝64，所以q3＝8，q＝2.所以a3＝a1q2＝8×22＝32.答案：C3．等比数列x ，3x ＋3，6x ＋6，…的第四项等于( )A ．－24B ．0C ．12D ．24解析：由(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)⇒x ＝－3(x ＝－1舍去)．该数列为－3，－6，－12，－24，….答案：A4．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为( ) ①{a 2n }也是等比数列；②{ca n }(c ≠0)也是等比数列；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列；④{ln a n }也是等比数列． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个解析：考查等比数列定义，其中①②③为真．答案：B5．已知等差数列{a n }的公差为3，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于( )A ．9B ．3C ．－3D ．－9解析：a 1＝a 2－3，a 3＝a 2＋3，a 4＝a 2＋3×2＝a 2＋6，由于a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 23＝a 1a 4，所以(a 2＋3)2＝(a 2－3)(a 2＋6)，解得a 2＝－9.答案：D二、填空题6．等差数列{a n }的首项为a 1＝1，a 1，a 2，a 5成等比数列，则d ＝________．解析：因为a 1，a 2，a 5成等比数列．所以a 22＝a 1a 5，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )．所以(1＋d )2＝1＋4d .所以d ＝0或d ＝2.答案：0或27．在6和768之间插入6个数，使它们组成共8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是________．解析：由条件得，768＝6×q7，解得q＝2.所以a6＝6×25＝192.答案：1928．某林场的树木每年以25%的增长率增长，则第10年末的树木总量是今年的________倍．解析：设这个林场今年的树木总量是m，第n年末的树木总量为a n，则a n＋1＝a n＋a n·25%＝1.25a n.则a n＋1a n＝1.25.则数列{a n}是公式q＝1.25的等比数列．则a10＝a1q9＝1.259m.所以a10a1＝1.259.答案：1.259三、解答题9．在等比数列{a n}中：(1)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，a n＝12，求n；(2)a5＝8，a7＝2，a n>0，求a n.解：(1)法一：因为a3＋a6＝36，a4＋a7＝18.所以a1q2＋a1q5＝36，①a1q3＋a1q6＝18, ②②①得q＝12，所以14a1＋132a1＝36，所以a1＝128，而a n ＝a 1q n －1，所以12＝128×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以n ＝9.法二：因为a 4＋a 7＝a 3q ＋a 6q ＝(a 3＋a 6)q ，所以q ＝a 4＋a 7a 3＋a 6＝1836＝12，而a 3＋a 6＝a 3(1＋q 3)． 所以a 3＝a 3＋a 61＋q 3＝361＋18＝32. 因为a n ＝a 3q n －3，所以12＝32·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3.所以n ＝9.(2)因为a 5＝a 1·q 4＝8，a 7＝a 1·q 6＝2，所以q 2＝14，q ＝±12. 又a n >0，所以q ＝12. 所以a n ＝a 5q n －5＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －5＝28－n .10．已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．(1)求通项公式a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式．解：(1)因为{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，所以a n ＝19－2(n －1)＝－2n ＋21，即a n ＝－2n ＋21，S n ＝19n ＋n （n －1）2·(－2)＝－n 2＋20n ， 即S n ＝－n 2＋20n .(2)因为{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以b n －a n ＝3n －1，即b n＝3n－1＋a n＝3n－1－2n＋21.B级能力提升一、选择题11．已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于()A．5 B．10 C．15 D．20解析：a2a4＝a23，a4a6＝a25，故得(a3＋a5)2＝25，又a n＞0，所以a3＋a5＝5.答案：A12．设{a n}是由正数组成的等比数列，且a5·a6＝81，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值是()A．5 B．10 C．20 D．40解析：log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2·a3·…·a10)＝log3(a5·a6)5＝log3815＝log3320＝20.答案：C13．在正项等比数列{a n}中，a3＝2－1，a5＝2＋1，则a23＋2a2a6＋a3a7＝()A．4 B．6 C．8 D．4 2解析：因为a3a7＝a25，a2a6＝a3a5，所以a33＋2a2a6＋a3a7＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8.答案：C二、填空题14.(2014·安徽卷)如图所示，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝22，过点A作BC的垂线，垂足为A1，过点A1作AC的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3……依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．解析：由题意知数列{a n }是以首项a 1＝2，公比q ＝22的等比数列，所以a 7＝a 1·q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14. 答案：1415．(2014·广东卷)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝____________.解析：因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5. 所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln (a 1a 2…a 20)＝ln[a 1a 20·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.答案：50三、解答题16．已知等比数列{a n }各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.求{a n }的通项公式．解：由⎩⎪⎨⎪⎧a 23＝9a 2a 6，2a 1＋3a 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 23＝9a 24，2a 1＋3a 1q ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧q ＝13，a 1＝13.所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n(n ∈N *)．。
高中数学第2章数列2.3-2.3.2等比数列的通项公式课件苏教版必修5
如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的 比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列， 这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母 q(q≠0)表示．
这一定义常被简述为若aan＋n 1＝q(n∈N*)，则数列{an} 是等比数列．关于定义理解应注意：
题型 1 等比数列的判定 [典例 1] 在数列{an}中，若 an>0，且 an＋1＝2an＋ 3(n∈N*)．证明：数列{an＋3}是等比数列． 证明：法一：因为 an>0，所以 an＋3>0. 又因一项与它的前一项的比都等于同 一个常数，那么这个数列叫等比数列，这个常数叫作等 比数列的公比．
2．等比数列{an}的通项公式 an＝a1·qn－1(q≠0)． 3．如果 a，G，b 三个数满足 G2＝ab.则 G 称为 a 与 b 的等比中项．
知识点 1 等比数列的定义
2018版高中数学 第二章 数列 2.3.2 等比数列的通项公式学案 苏教版必修5
2．3.2 等比数列的通项公式学习目标 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法．知识点一 等比数列通项公式的推广思考1 已知等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，如何表示a n?思考2 我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形： a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d . 等比数列也有类似变形吗？思考3 我们知道等差数列的通项公式可以变形为a n ＝dn ＋a 1－d ，其单调性由公差的正负确定．等比数列的通项公式是否也可做类似变形？梳理 公比为q 的等比数列{a n }中，a n ＝a 1qn －1＝a 1q·q n.{a n }的单调性由a 1，q 共同确定如下：当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＞0，q ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＜0，0＜q ＜1时，{a n }是递增数列；当⎩⎪⎨⎪⎧a 1＜0，q ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0，0＜q ＜1时，{a n }是递减数列；当q ＜0时，{a n }是摆动数列，当q＝1时，{a n}是常数列．知识点二由等比数列衍生的等比数列思考等比数列{a n}的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是(1){3a n}是等比数列；(2){3＋a n}是等比数列；(3){1a n}是等比数列；(4){a2n}是等比数列．梳理(1)在等比数列{a n}中按序号从小到大取出若干项：ak1，ak2，ak3，…，ak n，…，若k1，k2，k3，…，k n，…成等差数列，那么ak1，ak2，ak3，…，ak n，…是等比数列．(2)如果{a n}，{b n}均为等比数列，那么数列{1a n }，{a n·b n}，{b na n}，{|a n|}仍是等比数列．知识点三等比数列的性质思考在等比数列{a n}中，a25＝a1a9是否成立？a25＝a3a7是否成立？a2n＝a n－2a n＋2(n>2，n∈N*)是否成立？梳理一般地，在等比数列{a n}中，若m＋n＝s＋t，则有a m·a n＝a s·a t(m，n，s，t∈N*)．若m＋n＝2k，则a m·a n＝a2k(m，n，k∈N*)．类型一等比数列通项公式的应用命题角度1 方程思想例1 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项．反思与感悟已知等比数列{a n}的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项．跟踪训练1 在等比数列{a n}中．(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；(2)已知a3＝20，a6＝160，求a n.命题角度2 等比数列的实际应用例2 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长？(精确到1年，放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)反思与感悟等比数列应用问题，在实际应用问题中较为常见，解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a1，项数n所对应的实际含义．跟踪训练2 某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨？(结果保留到个位，lg 6≈0.778，lg 1.2≈0.079)类型二等比数列的性质命题角度1 序号的数字特征例3 已知{a n}为等比数列．(1)若a n>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；(2)若a n>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．反思与感悟抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题．跟踪训练3 在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a3a5＝4，则a1a2a3a4a5a6a7＝________.命题角度2 未知量的设法技巧例4 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．反思与感悟 合理地设出未知数是解决此类问题的技巧．一般地，三个数成等比数列，可设为a q，a ，aq ；三个数成等差数列，可设为a －d ，a ，a ＋d .若四个同号的数成等比数列，可设为a q 3，a q，aq ，aq 3；四个数成等差数列，可设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .跟踪训练4 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．1．在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，则公比q 为________．2．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1·a 10＝27，log 3a 2＋log 3a 9＝________.3．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________． 4．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则a n ＝__________________________________.1．借助通项公式或其推广形式列方程组是求等比数列基本量a 1，q ，n 的常用方法． 2．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．答案精析问题导学 知识点一思考1 a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2…a n a n －1＝a 1·q ·q …q n －1个＝a 1q n －1. 思考2 在等比数列中，由通项公式a n ＝a 1q n －1，得a n a m ＝a 1q n －1a 1qm －1＝q n －m，所以a n ＝a m qn －m(n ，m ∈N *)．思考3 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 则a n ＝a 1qn －1＝a 1q·q n ，其形式类似于指数型函数，但q 可以为负值．由于a n ＋1－a n ＝a 1q n －a 1qn－1＝a 1qn －1(q －1)，所以{a n }的单调性由a 1，q ，q －1的正负共同决定．知识点二思考 由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确． 知识点三思考 ∵a 5＝a 1q 4，a 9＝a 1q 8， ∴a 1a 9＝a 21q 8＝(a 1q 4)2＝a 25， ∴a 25＝a 1a 9成立．同理a 25＝a 3a 7成立，a 2n ＝a n －2a n ＋2也成立． 题型探究例1 解 设这个等比数列的第1项是a 1，公比是q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12， ①a 1q 3＝18， ②②÷①，得q ＝32，将q ＝32代入①，得a 1＝163.因此，a 2＝a 1q ＝163×32＝8.综上，这个数列的第1项与第2项分别是163与8.跟踪训练1 解 (1)由等比数列的通项公式得，a 6＝3×(－2)6－1＝－96.(2)设等比数列的公比为q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝20，a 1q 5＝160，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝5.所以a n ＝a 1qn －1＝5×2n －1.例2 解 设这种物质最初的质量是1，经过n 年，剩余量是a n ， 由条件可得，数列{a n }是一个等比数列． 其中a 1＝0.84，q ＝0.84， 设a n ＝0.5，则0.84n＝0.5.两边取对数，得n lg 0.84＝lg 0.5，用计算器算得n ≈4. 答 这种物质的半衰期大约为4年．跟踪训练2 解 记该糖厂每年制糖产量依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，….则依题意可得a 1＝5，a n a n －1＝1.2(n ≥2且n ∈N *)， 从而a n ＝5×1.2n －1，这里a n ＝30，故1.2n －1＝6，即n －1＝log 1.26＝lg 6lg 1.2＝0.7780.079≈9.85.故n ＝11.答 从2021年开始，该糖厂年制糖量开始超过30万吨．例3 解 (1)a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25，∵a n >0， ∴a 3＋a 5>0，∴a 3＋a 5＝5. (2)根据等比数列的性质，得a 5a 6＝a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝9， ∴a 1a 2…a 9a 10＝(a 5a 6)5＝95， ∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10 ＝log 3(a 1a 2…a 9a 10)＝log 395＝10. 跟踪训练3 128解析 ∵a 3a 5＝a 24＝4，a n >0，∴a 4＝2.∴a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 1a 7)·(a 2a 6)·(a 3a 5)·a 4＝43×2＝128.例4 解 设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋d 2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝－6.所以当a ＝4，d ＝4时，所求的四个数为0,4,8,16； 当a ＝9，d ＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1. 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.跟踪训练4 解 设这四个数分别为x ，y,18－y,21－x ， 则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x －y ，－y ＝y ＋－x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝754，y ＝454.故所求的四个数为3,6,12,18或754，454，274，94.当堂训练1．2 2.3 3.8 4.4·(－13)n －1。
高中数学 第2章2.3.12.3.2等比数列的概念等比数列的通项公式(二)配套训练 苏教版必修5
2.3.1 等比数列的概念(二)2．3.2 等比数列的通项公式(二)一、基础过关1．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝________.2．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为________．3．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为___．4．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝________.5．首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项是192，则n ＝________.6．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________.7．已知数列{a n }成等比数列．(1)若a 2＝4，a 5＝－12，求数列{a n }的通项公式； (2)若a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．8．已知正项等比数列{a n }中，a 1a 5＋2a 2a 6＋a 3a 7＝100，a 2a 4－2a 3a 5＋a 4a 6＝36.求数列{a n }的通项公式．二、能力提升9．已知在等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，则等比数列{a n }的通项a n ＝________. 10．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝________.11．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝________. 12．等比数列{a n }同时满足下列三个条件：①a 1＋a 6＝11；②a 3·a 4＝329；③三个数23a 2，a 23，a 4＋49依次成等差数列，试求数列{a n }的通项公式．三、探究与拓展13．从盛满a (a >1)升纯酒精的容器里倒出1升然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n 次操作后溶液的浓度是多少？若a ＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?答案1．64 2.27 3.434.5 25.56.－6 7．解 (1)由a 5＝a 2q 3，得－12＝4·q 3， 所以q ＝－12.a n ＝a 2q n －2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2. (2)由a 3a 5＝a 24，得a 3a 4a 5＝a 34＝8.解得a 4＝2.又因为a 2a 6＝a 3a 5＝a 24，所以a 2a 3a 4a 5a 6＝a 54＝25＝32.8．解 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 21q 4＋2a 21q 6＋a 21q 8＝100， ①a 21q 4－2a 21q 6＋a 21q 8＝36. ② 由①－②，得4a 21q 6＝64.所以a 21q 6＝16.③代入①，得16q 2＋2×16＋16q 2＝100.解得q 2＝4或q 2＝14.又数列{a n }为正项数列，所以q ＝2或12.代入③，得a 1＝12或32.所以a n ＝12×2n －1＝2n －2或a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝26－n.9．24－n 10.32 11.3＋2 212．解 由等比数列的性质知a 1a 6＝a 3a 4＝329，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 6＝11a 1·a 6＝329，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝13a 6＝323或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝323a 6＝13. 当⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13a 6＝323时q ＝2，∴a n ＝13·2n －1. 23a 2＋a 4＋49＝329，2a 23＝329∴23a 2，a 23，a 4＋49成等差数列，∴a n ＝13·2n －1.当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝323a 6＝13时q ＝12，a n ＝13·26－n，23a 2＋a 4＋49≠2a 23，∴不符合题意，故数列{a n }的通项公式为a n ＝13·2n －1.13．解 设开始的浓度为1，操作一次后溶液浓度 a 1＝1－1a ，设操作n 次后溶液的浓度为a n . 则操作n ＋1次后溶液的浓度为a n ＋1＝a n (1－1a )，从而建立了递推关系．∴{a n }是以a 1＝1－1a 为首项，公比为q ＝1－1a 的等比数列． ∴a n ＝a 1q n －1＝(1－1a )n ，即第n 次操作后酒精的浓度是(1－1a )n .当a ＝2时，由a n ＝(12)n ＜110，解得n ≥4.故至少应操作4次后才能使酒精浓度低于10%.。
高中数学苏教版必修5 2.3.2 等比数列的通项公式 作业
[学业水平训练] 一、填空题1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，则{a n }的通项公式为________．解析：由等比数列的定义可知{a n }是等比数列，且q ＝2，∴a n ＝2n .答案：a n ＝2n2．在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 6＝6，则a 9＝________．解析：易知a 3，a 6，a 9也成等比数列，所以a 26＝a 3a 9，解得a 9＝18.答案：183．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝________．解析：∵a 3＝3，a 10＝384，设公比为q (q ≠0)，∴a 10＝a 3·q 7，即384＝3·q 7，∴q ＝2，a 1＝34， 即等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1·q n －1＝3·2n －3.答案：3·2n －34．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为________．解析：∵a 4a 6＝a 25，∴a 4a 5a 6＝a 35＝3，解得a 5＝313.∵a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，∴log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3a 1a 2a 8a 9＝log 3a 45＝log 3343＝43. 答案：435．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________．解析：法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 答案：－76．等比数列{a n }是递增数列，若a 5－a 1＝60，a 4－a 2＝24，则公比q 为________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4－a 1＝60 ①a 1q 3－a 1q ＝24 ②， ①②得a 1（q 4－1）a 1q （q 2－1）＝52，即q 2＋1q ＝52， 解得q ＝12或2， 当q ＝2时代入①得a 1＝4，{a n }是递增数列；当q ＝12时，得a 1＝－64，{a n }也是递增数列． 答案：2或127．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝________．解析：由等比数列的性质得a 3a 11＝a 27，∴a 27＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 7＝a 7＝4.再由等差数列的性质知b 5＋b 9＝2b 7＝8.综上可知，q 为2或12. 答案：8二、解答题8．数列{a n }中a 2n ＋1＝4a n ，a 1＝1，a n >0，求其通项公式．解：∵a n >0，对a 2n ＋1＝4a n ，两边取对数，得2log 2a n ＋1＝log 2a n ＋2.令b n ＝log 2a n ，则2b n ＋1＝b n ＋2，即2(b n ＋1－2)＝b n －2.令C n ＝b n －2，则C n ＋1＝12C n ，且a 1＝1， ∴b 1＝0，C 1＝－2，∴{C n }为等比数列，∴C n ＝－2⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n －2.∴b n ＝2－⎝⎛⎭⎫12n －2，a n ＝22－(12)n －2. 9．三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．解：法一：按等比数列设三个数为：a ，aq ，aq 2，则a ，aq ＋4，aq 2成等差数列，即2(aq ＋4)＝a ＋aq 2.①又a ，aq ＋4，aq 2＋32成等比数列，即(aq ＋4)2＝a (aq 2＋32)⇒aq ＋2＝4a .②①②两式联立解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝29q ＝－5， ∴这三个数为：2，6，18或29，－109，509. 法二：按等差数列设三个数为b －d ，b ，b ＋d ，则原数列为b －d ，b －4，b ＋d .由已知：三个数成等比数列，即(b －4)2＝(b －d )(b ＋d )⇒8b －d 2＝16，①又b －d ，b ，b ＋d ＋32成等比数列，即b 2＝(b －d )(b ＋d ＋32)⇒32b －d 2－32d ＝0.②①②两式联立，解得⎩⎨⎧b ＝269d ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝10d ＝8， ∴这三个数为29，－109，509或2，6，18. [高考水平训练]一、填空题1．某轿车的售价为36万元，年折旧率约为10%(就是说这辆车每年减少它的价格的10%)，那么从购买当年算起，大约在购车后的第________年，价格是原来的一半．(其中97＝4.7×106，98＝4.3×107)解析：设轿车每年的价值构成数列{a n }，根据题意分析可知数列{a n }是首项为36，公比为0.9的等比数列，则a n ＝36·(0.9)n －1，根据题意有a n ≤18，则36·(0.9)n －1≤18，即(0.9)n ≤0.45，∵y ＝(0.9)n 关于n 单调递减，又0.97>0.45，0.98<0.45，故n ＝8. 答案：82．已知数列{a n }是公比q ≠1的等比数列，给出下列六个数列：①{ka n }(k ≠0)；②{a 2n －1}；③{a n ＋1－a n }；④{a n a n ＋1}；⑤{na n }；⑥{a 3n }．其中仍能构成等比数列的有________(填序号)．解析：因为数列{a n }是公比q ≠1的等比数列，所以a n ＝a 1q n －1.从而ka n ＝ka 1q n －1，且k ≠0，故数列{ka n }是首项为ka 1，公比为q 的等比数列． 因为a 2n －1＝a 1q (2n －1)－1＝a 1(q 2)n －1，故数列{a 2n －1}是首项为a 1，公比为q 2的等比数列．因为a n ＋1－a n ＝a 1q n －a 1q n －1＝(a 1q －a 1)q n －1，故数列{a n ＋1－a n }是首项为a 1q －a 1，公比为q 的等比数列．因为a n a n ＋1＝a 21q 2n －1＝a 21q (q 2)n －1，故数列{a n a n ＋1}是首项为a 21q ，公比为q 2的等比数列．因为na n ＝na 1q n －1，故数列{na n }不是等比数列．因为a 3n ＝a 31(q 3)n －1，故数列{a 3n }是首项为a 31，公比为q 3的等比数列．答案：①②③④⑥二、解答题3．若数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝1－23a n ，求a n . 解：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝1－23a n －(1－23a n －1) ＝－23a n ＋23a n －1， 则53a n ＝23a n －1，所以a n a n －1＝25， 所以数列{a n }为等比数列．令n ＝1，则S 1＝1－23a 1，即a 1＝1－23a 1， 所以a 1＝35，所以a n ＝35·(25)n －1. 4．在等比数列{a n }中，若a 1＝128，a 8＝1.(1)求公比q 和a 12；(2)证明：依次取出数列{a n }中的第1项，第4项，第7项，…，第3n －2项，…，所得的新数列{a 3n －2}(n ∈N *)仍然是一个等比数列．解：(1)∵a 8＝a 1q 8－1，∴1＝128q 7.∴q 7＝1128. ∴q ＝12，a 12＝a 1q 11＝128×(12)11＝116. (2)证明：∵a n ＝a 1q n －1＝128×(12)n －1， ∴a 3n －2＝128×(12)(3n －2)－1＝128×(12)3n －3＝128×(18)n －1. ∴数列{a 3n －2}是一个以128为首项，18为公比的等比数列．。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.3.2 等比数列的通项公式》
等比数列的通项公式公主岭市第一中学校毕洪波教材分析本节课是苏教版必修5第二章第二课时的内容，此前，学生已经学习了等比数列的定义，已掌握等差数列及通项公式，同时也学习了等差数列通项公式与函数的关系，这为研究等比数列的通项公式做了充分的准备。
本节通过类比的方法介绍了等比数列的通项公式，使学生理解等比数列的通项公式，并能利用等比数列的通项公式解决实际问题，同时，本节内容将为后续研究等比数列的前n项和奠定的基础，起到承前启后的作用。
教学目标1．知识与技能：理解等比数列的通项公式，能利用等比数列的通项公式解决简单的实际问题；2．过程与方法：培养类比的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题的能力；3．情态与价值：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。
教学重点等比数列的通项公式，通项公式的实际应用。
教学难点等比数列通项公式与指数型函数的关系。
学法与教学用具启发学生联系之前所学内容，运用类比的思想理解掌握相关内容。
以学生探究为主，老师点拨为辅。
学生讨论，交流心得，分享成果。
同时可借助计算机等媒体工具来进行演示。
直尺、投影仪（多媒体教室）教学过程一、复习回顾1等差数列定义；2等比数列定义；3等差数列通项公式：通项公式的推导方法：累加法，不完全归纳法；通项公式的特点：是一个关于n的“一次函数”形式。
（设计意图：从已经研究过的问题出发创设情境，巩固上节课所学知识，引出本节所要研究的问题，为研究等比数列的通项公式做准备。
） 二、讲授新课1、问题情景问题1观察等比数列{n a }：1，2，4，8，16，……，如何写出它的第10项10a 呢？问题2设{n a }是一个首项为1a ，公比为q 的等比数列，你能写出它的第n 项n a 吗？师：我们知道对于等差数列给定首项和公差的时候就可以求出这个数列的任意指定项和通项公式，类比等差数列对于给定的等比数列，当我们知道他的首项和公比的时候，能不能来求这个数列的指定项和通项公式呢？请看多媒体展示。
苏教版高中数学必修五第2章数列2.3等比数列的概念、性质(学生版)
等比数列的概念、性质__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________教学重点： 掌握并理解等比数列的概念及性质，通项公式的求解，等比数列与指数函数的关系 教学难点： 理解等比数例性质及与指数函数的关系1. 等比数列的概念一般地，如果一个数列从第_______项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_________，公比通常用__________表示。
2. 等比数列的通项公式____________________3. 等比中项如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，其中___________4. 等比数列的性质（1）公比为q 的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m ，所得数列仍是等比数列，公比仍为q（2）若,,,,m n p q m n p q N ++=+∈，则__________________（3）若等比数列{}n a 的公比为q ，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以_________为公比的等比数列 （4）等比数列{}n a 中，序号成等差数列的项构成等比数列（5）若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则{}n n a b 也为等比数列5. 等比数列与指数函数的关系等比数列{}n a 的通项公式111n n n a a a q q q-== 当0q >且1q ≠时，x y q =是一个指数函数，设1a c q=则n n a cq =，等比数列{}n a 可以看成是函数x y cq =，因此，等比数列{}n a 各项所对应的点是函数x y cq =的图像上的一群孤立的点。
高中数学第2章数列2.3.2等比数列的通项公式教案苏教版必修5(2021学年)
江苏省泰兴市高中数学第２章数列2.３．２等比数列的通项公式教案苏教版必修５编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（江苏省泰兴市高中数学第２章数列 2．3．2 等比数列的通项公式教案苏教版必修５)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步，以下为江苏省泰兴市高中数学第2章数列 2.3.２等比数列的通项公式教案苏教版必修5的全部内容。
2。
3。
2 等比数列的通项公式教学目标:１. 掌握通项公式，并能应用公式解决有关问题;2。
理解等比数列的性质,并学会其简单应用;3。
会求两个正数的等比中项,能利用等比中项的概念解决有关问题，提高分析、计算能力；4．通过学习推导等比数列的通项公式,掌握“叠乘法” .教学重点:等比数列的通项公式.教学难点：等比数列的有关性质及灵活应用．教学方法：采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法．教学过程：一、问题情境问题1:观察等比数列{}n a:1,2,4,8,16,,如何写出它的第1０项a呢？10问题2:设{}n a是一个首项为1a，公比为q的等比数列，你能写出它的第n项n a吗？二、学生活动通过讨论，发现：1．2321321431,,,,a a q a a q a q a a q a q =====可以总结出11-=n n q a a . ２．如果类比等差数列通项公式的求法，3241231,,,,nn a a a aq q q q a a a a -====，可以将这1-n 个等式的左右两边分别相乘,就可以得到11-=n nq a a ． 三、建构教学1. 归纳总结学生的方法，等到等比数列的通项公式, 并且由学生讨论的第二种情况等到总结“叠乘法＂的方法．不过要提醒学生,按照等差数列通项公式的推导方法,也必须检验1=n 时，公式也是成立的．2. 问题1:已知等比数列{}n a 的通项公式为n n a 23⨯=，求首项1a 和公比q ,并画出相应的函数图象．问题2：观察等比数列{}n a 的通项公式11-=n n q a a ，n a 和n 的函数关系是什 么？问题３:类比等差数列的性质(,,,,m n p q a a a a m n p q m n p q +=++=+∈N ﹡),等比数列具备什么样的性质?（学生讨论回答） 答 问题1:16,2a q ==;问题2:n a 和n 的函数关系是指数型的函数关系; 问题3：(,,,,m n p q a a a a m n p q m n p q ⋅=⋅+=+∈N ﹡). 四、数学应用1. 例题．思考:类比等差数列通项公式的一般性结论d m n a a m n )(-+=,观察例1中第2个问题231363561,a a q a a q a a q ⎧=⎪⇒=⎨=⎪⎩．，你能得到更加一般性的结论吗? （学生讨论) 结论：m n m n n n mnq a a q a a --=⇒=，特别地，11,1-==n n q a a m ． 例2 已知数列c b a ,32243,,23,--这5个数成等比数列,求c b a ,,． 变式：等比数列{}n a 中，,9,484==a a 求6a . 分析:（１）注意方法的多样性;（2）注意等比中项ab G =2,所以等比中项有两个且互为相反数;（３）要注意等比数列中,间隔项符号相同,所以06>a .例3 等比数列{}n a 满足：252425382=++a a a a a a ，求53a a +． 分析:等比数列的性质的简单运用： (,,,,m n p q a a a a m n p q m n p q ⋅=⋅+=+∈N ﹡).2．练习．（1)在等比数列{}n a 中,若24a =,532a =，则公比应为______＿_______; (2)在等比数列{}n a 中，若____________,60,40874321=+=+=+a a a a a a 则；（３)已知1,,,921--a a 四个实数成等差数列,1,b ,b ,b ,9321--五个实数成等比数列,则()122a a b -的值等于_＿_＿___＿_＿___＿__;(4）在等比数列{}n a 中，20,2742321=+=⋅⋅a a a a a ，求首项1a 和公比q ．五、 要点归纳与小结1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.3.2等比数列的通项公式
A 级 基础巩固
一、选择题
1．下列说法：①公差为0的等差数列是等比数列；②b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列；③2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 成等差数列；④任意两项都有等比中项．正确的有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
解析：公差为0的非零数列是等比数列，故①不正确；②中只有a ，b ，c 都不为0才正确；④也需要看首项是正还是负．所以只有③正确．
答案：B
2．在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 3等于( )
A ．16
B ．16或－16
C ．32
D ．32或－32 解析：因为a 4＝a 1q 3＝8·q 3＝64，所以q 3＝8，q ＝2.
所以a 3＝a 1q 2＝8×22
＝32.
答案：C
3．等比数列x ，3x ＋3，6x ＋6，…的第四项等于( )
A ．－24
B ．0
C ．12
D ．24
解析：由(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)⇒x ＝－3(x ＝－1舍去)．该数列为－3，－6，－12，－24，…. 答案：A
4．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为( )
①{a 2n }也是等比数列；②{ca n }(c ≠0)也是等比数列；
③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列；④{ln a n }也是等比数列． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
解析：考查等比数列定义，其中①②③为真．
答案：B
5．已知等差数列{a n }的公差为3，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于( )
A ．9
B ．3
C ．－3
D ．－9
解析：a 1＝a 2－3，a 3＝a 2＋3，a 4＝a 2＋3×2＝a 2＋6，
由于a 1，a 3，a 4成等比数列，
则a 2
3＝a 1a 4，
所以(a 2＋3)2＝(a 2－3)(a 2＋6)，解得a 2＝－9.
答案：D
二、填空题
6．等差数列{a n }的首项为a 1＝1，a 1，a 2，a 5成等比数列，则d ＝________． 解析：因为a 1，a 2，a 5成等比数列．
所以a 22＝a 1a 5，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )．
所以(1＋d )2＝1＋4d .所以d ＝0或d ＝2.
答案：0或2
7．在6和768之间插入6个数，使它们组成共8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是________．
解析：由条件得，768＝6×q 7，解得q ＝2.
所以a 6＝6×25＝192.
答案：192
8．某林场的树木每年以25%的增长率增长，则第10年末的树木总量是今年的________倍．
解析：设这个林场今年的树木总量是m ，第n 年末的树木总量为a n ，则a n ＋1＝a n ＋a n ·25%＝1.25a n .
则a n ＋1a n
＝1.25.则数列{a n }是公式q ＝1.25的等比数列． 则a 10＝a 1q 9＝1.259m .
所以a 10a 1
＝1.259. 答案：1.259
三、解答题
9．在等比数列{a n }中：
(1)已知a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18，a n ＝12
，求n ； (2)a 5＝8，a 7＝2，a n >0，求a n .
解：(1)法一：因为a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18.
所以a 1q 2＋a 1q 5
＝36，① a 1q 3＋a 1q 6＝18, ②
②①得q ＝12，所以14a 1＋132
a 1＝36，所以a 1＝128， 而a n ＝a 1q n －1，所以12＝128×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以n ＝9.
法二：因为a 4＋a 7＝a 3q ＋a 6q ＝(a 3＋a 6)q ，
所以q ＝a 4＋a 7a 3＋a 6＝1836＝12
，而a 3＋a 6＝a 3(1＋q 3)． 所以a 3＝
a 3＋a 61＋q 3＝361＋18
＝32. 因为a n ＝a 3q n －3，所以12＝32·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －3.所以n ＝9. (2)因为a 5＝a 1·q 4＝8，a 7＝a 1·q 6＝2，
所以q 2＝14，q ＝±12
. 又a n >0，所以q ＝12
. 所以a n ＝a 5q n －5＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －5＝28－n .
10．已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．
(1)求通项公式a n 及S n ；
(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式． 解：(1)因为{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，
所以a n ＝19－2(n －1)＝－2n ＋21，即a n ＝－2n ＋21，
S n ＝19n ＋n （n －1）2
·(－2)＝－n 2＋20n ， 即S n ＝－n 2＋20n .
(2)因为{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以b n －a n ＝3
n －1， 即b n ＝3n －1＋a n ＝3n －1－2n ＋21.
B 级 能力提升
一、选择题
11．已知{a n }是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5的值等于( )
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
解析：a 2a 4＝a 23，a 4a 6＝a 25，故得(a 3＋a 5)2
＝25，又a n ＞0，所以a 3＋a 5＝5. 答案：A
12．设{a n }是由正数组成的等比数列，且a 5·a 6＝81，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值是( )
A ．5
B ．10
C ．20
D ．40
解析：log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2·a 3·…·a 10)＝log 3(a 5·a 6)5＝log 3815＝log 3320＝20.
答案：C
13．在正项等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 2
3＋2a 2a 6＋a 3a 7＝( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．4 2
解析：因为a 3a 7＝a 25，a 2a 6＝a 3a 5，
所以a 33＋2a 2a 6＋a 3a 7＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8. 答案：C
二、填空题
14.(2014·安徽卷)如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1，过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3……依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．
解析：由题意知数列{a n }是以首项a 1＝2，公比q ＝22
的等比数列，所以a 7＝a 1·q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14
. 答案：14
15．(2014·广东卷)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝____________.
解析：因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.
所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln (a 1a 2…a 20)＝ln[a 1a 20·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.
答案：50
三、解答题
16．已知等比数列{a n }各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.求{a n }的通项公式．
解：由⎩
⎪⎨⎪⎧a 23＝9a 2a 6，2a 1＋3a 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 23＝9a 24，2a 1＋3a 1q ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧q ＝13
，a 1＝13. 所以a n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13n (n ∈N *)．。