高等数学II 2.2 函数极限 极限
大学高等数学教材目录
大学高等数学教材目录1. 导言2. 函数与极限2.1 实数与数轴2.2 函数的概念2.3 函数的极限2.4 极限的性质2.5 极限的计算2.6 无穷小量与无穷大量2.7 极限存在准则3. 导数与微分3.1 导数的定义3.2 微分的定义3.3 高阶导数及其应用3.4 隐函数与参数方程的导数3.5 微分中值定理3.6 泰勒公式与高阶导数的应用4. 微分中值定理与导数的应用4.1 罗尔中值定理4.2 拉格朗日中值定理4.3 柯西中值定理4.4 极值与最值4.5 函数的单调性与曲线的凹凸性4.6 曲线的渐近线与图形的描绘5. 不定积分5.1 基本积分公式5.2 不定积分的计算方法5.3 定积分的概念5.4 反常积分5.5 积分中值定理与平均值定理6. 定积分6.1 可积性及其判定6.2 定积分的计算方法6.3 定积分的应用7. 微分方程7.1 微分方程的基本概念7.2 一阶微分方程7.3 高阶微分方程7.4 微分方程的解法7.5 应用问题8. 多元函数微积分8.1 二元函数的概念8.2 二元函数的极限8.3 偏导数与全微分8.4 多元函数的极值与条件极值 8.5 多元函数积分8.6 可变上限积分与重积分9. 无穷级数9.1 数项级数的概念与性质9.2 收敛级数的判定方法9.3 幂级数及其收敛域9.4 函数展开成幂级数9.5 泰勒级数与麦克劳林级数10. 向量代数与空间解析几何 10.1 基本概念10.2 向量的运算10.3 空间曲线与曲面10.4 向量值函数及其导数10.5 多元函数积分10.6 曲线积分10.7 曲面积分10.8 可变上限积分与重积分。
函数的极限(高等数学课件
极限存在的充分条件
通过研究极限存在的充分条件，我们能够判断函数极限是否存在，从而分析函数的性质。
极限不存在的充分条件
极限不存在的充分条件揭示了函数在某一点无法达到收敛状态的原因，帮助我们理解函数的特性。
极限的计算方法
通过掌握极限的计算方法，我们能够简化复杂函数的分析，快速求得函数在某一点的极限值。
无穷远处的极限研究函数在无穷远处的行为，了解函数在无穷远的趋势和特征。
函数连续的定义
函数连续的定义是描述函数在一个区间内各点之间没有突变，平滑过渡的性质。
极限的性质
通过研究极限的性质，我们能够推导出一些重要的定理和计算方法，深入理解函数的行为。
夹逼定理
夹逼定理是一种重要的判断函数极限存在与计算的方法，让我们能够找到极限或证明其不存在。
极限的唯一性
极限的唯一性告诉我们，函数在某一点的极限只可能有一个确定的值，没有 歧义性。
极限的应用：导数和积分的概念
函数极限的应用非常广泛，例如在微积分中，导数和积分的概念都是基于极限的。
中值定理
中值定理是一组重要的定理，它揭示了函数在某一区间内的行为特点，是函 数研究的重要工具。
极值和最值的定义
极限与无的行为，探讨函数的无限增长和无限减小。
极限与无穷小
极限与无穷小研究函数在某一点附近的变化，帮助我们分析函数的微小变化 和趋势。
L'Hôpital法则
L'Hôpital法则是一种处理函数极限的重要方法，适用于特定的极限计算。
渐近线的定义与分类
渐近线研究函数在无穷远处的趋势，分为水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近 线三种。
函数的极限(高等数学课 件)
探索函数极限的奥秘，从基本的概念到应用、定理和计算方法，打开数学世 界的大门。
高等数学 函数的极限课件
函数极限的定义可以用数学符号表示为：lim f(x) = A，表示当x趋近 于某个值时，f(x)趋近于A。
函数极限的性质
01
唯一性
函数的极限是唯一的，即如果 lim f(x) = A和lim f(x) = B，则
A = B。
02
有界性
函数的极限是有界的，即存在 一个正数M，使得当x在某点附 近时，f(x)的绝对值小于M。
高等数学 函数的极限课件
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的运算性质 • 无穷小与无穷大 • 函数的连续性 • 极限的应用
01
函数极限的基本概念
函数极限的定义
01
02
函数极限的定义是高等数学中的基本概念，它描述了函数在某一点的 变化趋势。具体来说，如果当自变量趋近于某一值时，函数值无限接 近于一个确定的数，则称该数为函数的极限。
求复合函数极限的方法
通过将复合函数分解为基本初等函数或已知极限的函数，利用极限的四则运算性质和已知极限，求得 复合函数的极限。
反函数的极限
反函数极限的定义
设函数y=f(x)在点x0有定义且f'(x0)=1，其反函数为x=g[f(x)]，如果lim(y→y0) x=lim(y→y0) g[f(x)]，则称反函 数在点y0处存在极限。
03
局部保号性
如果lim f(x) = A且A > 0，则 在某点附近存在一个正数δ， 使得当x满足一定条件时，f(x)
> 0。
函数极限的存在性定理
函数极限的存在性定理是高等数学中一个重要的定理，它给出了函数极限存在的 充分条件。根据这个定理，如果函数在某点的左右极限存在且相等，则函数在该 点有极限。
连续性的几何意义
高等数学中函数极限的求法技巧解析
高等数学中函数极限的求法技巧解析
函数极限是高等数学中的重要概念，也是其他数学领域的基础。
在计算函数极限时，有一些常用的技巧和方法，可以帮助我们更快地求解极限问题。
下面是一些常用的函数极限求法技巧。
1. 代入法：当函数极限中存在形如"0/0"或"无穷大/无穷大"的不定型时，可以尝试使用代入法求解。
即将函数中的变量逐渐靠近极限值进行代入，计算出函数在极限点附近的取值，进而得到极限结果。
2. 无穷小代换法：当函数极限中含有无穷大或无穷小的项时，可以使用无穷小代换法进行求解。
即将无穷大或无穷小项替换为相应的无穷小量，对含有无穷大或无穷小的函数进行化简，再进行极限计算。
3. 分子分母除以最高幂次法：当函数极限中含有多项式的幂次较高时，可以尝试使用分子分母除以最高幂次的方法进行化简。
将函数中的每一项均除以该最高幂次，使得函数的分子和分母变为相对较小的多项式，从而更便于求解极限。
4. 辅助函数法：当函数极限较复杂时，可以尝试构造一个辅助函数来辅助求解。
通过适当选择辅助函数，将原函数转化为一个更简单的形式，再求解极限。
5. 夹逼定理：夹逼定理是函数极限求解的重要工具，适用于求解某些特殊的函数极限。
当函数的上下界均存在且极限相等时，可以通过夹逼定理求出函数的极限。
6. 泰勒级数展开法：当函数极限中含有三角函数、指数函数等特殊函数时，可以尝试使用泰勒级数展开法进行求解。
通过将特殊函数展开为无穷级数的形式，可以将原函数转化为一个容易求解的形式，再进行极限计算。
高等数学第2课数列的极限、函数的极限2
课题数列的极限、函数的极限课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）理解数列的极限。
（2）掌握收敛数列的性质。
（3）理解函数的极限，会计算函数的极限，包括函数在某点的左极限、右极限。
（4）理解函数极限的性质。
思政育人目标：通过数学史和数学文化的记载，提出极限思想，让学生充分感觉到我国深厚的文化底蕴，激发学生的爱国情怀；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的教学重难点教学重点：数列极限的定义、收敛数列的性质、函数极限的概念和性质教学难点：计算函数的极限、左极限和右极限教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→问题讨论（10 min）第2节课：知识讲解（30 min）→问题讨论（10min）→课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）⏹【教师】清点上课人数，记录好考勤⏹【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（33 min）⏹【教师】通过庄子的“截杖问题”和刘徽的“割圆术”，引出并讲解数列以及数列的极限案例1“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．分析这是战国时期哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》中的一句话，意思是“一根长为一尺的木棒，每天截去一半，永远取不尽”．我们把每天取后剩下的部分用算式表示可得数列：通过数学史和数学文化的记载，提出极限思想，让学生充分感觉到我国深厚的文化底蕴，激发学生的爱国情怀。
学习数列极限的定义和收敛数列的性质。
边做边讲，及时巩固练习，实现教学211112482n ，，，，，． 随着时间的推移，剩下的木棒长度越来越短，显然，当天数n 无限增大时，剩下的木棒长度将无限缩短，即剩下的木棒长度12n越来越接近于数0． 案例2 刘徽称“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失亦”．分析 “割圆术”求圆面积的作法和思路是：先作圆的内接正六边形，把它的面积记为1A ；再作圆的内接正十二边形，其面积记为2A ；再作圆的内接正二十四边形，其面积记为3A ；照此下去，把圆内接正162n -⨯边形的面积记为n A ，这样得到一个数列：1A ，2A ，3A ，，n A ，如图1-18所示．图1-18由图1-18可以看出，随着圆内接正多边形的边数无限增加，圆内接正多边形的面积与圆的面积越来越接近．当边数n 无限增大时，圆内接正162n -⨯边形的面积n A 会无限接近圆的面积A ．对于一些数列，如1123nn n n ⎧⎫+⎪⎪⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭，，，若当n 无限增加时，一般项无限接近于某一个常数，则这个常数称为数列的做一体化3极限．在数学上，需要从定量角度定义数列的极限． 给定一个数列{}n a 和常数a ，为证明{}n a 的极限为a ，需要证明n 越来越大时，||n a a -越来越趋于0．为了定量描述随n 增大||n a a -逐渐接近于0，{}n a 与a 的接近程度可用||n a a ε-<（ε为任意小的正数）代替．ε越小，{}n a 越接近于a ，满足||n a a ε-<成立的n a 的项数n 越大．因此，给定一个正数ε，就存在一个正整数N +∈Z ，当n N >时，||n a a ε-<，ε越小，N 就越大，如图1-19所示．图1-19定义1 设{}n a 是数列，a 为常数，若对任意给定的正数ε，总可以找到正整数N ，使得所有满足n N >的自然数n ，都有||n a a ε-<成立，则称数列{}n a 收敛于a ，a 称为数列{}n a 的极限，记为lim n n a a →∞=．例1 对数列(1)n n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，当取10.1ε=，20.01ε=，求满足1(1)0n n ε--<，2(1)0nnε--<的n 的范围，并证明(1)lim 0n n n→∞-=． 解 因为(1)10n n n--=，所以要使1(1)00.1n n ε--<=，只要10.1n<，即10n >即可．同理，要满足2(1)00.01,nnε--<=，只要100n >即可． 现证明(1)lim 0nn n→∞-=．4对任意给定的0ε>，要使(1)10n n n ε--=<，只要1n ε>，因此，可以取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦（1ε⎡⎤⎢⎥⎣⎦可能为0）．当n N >时，就有(1)0n n ε--<，故(1)lim 0nn n→∞-=．如果数列{}n a 没有极限，则称该数列发散．我们还可以用数列极限的定义证明如下重要极限：lim n C C →∞=（C 为常数），1lim 0n n →∞=，lim 0(||1)n n a a →∞=<，1lim 1(0)nn a a →∞=>，lim 1n n n →∞=．⏹ 【学生】理解数列及数列的极限⏹ 【教师】讲解收敛数列的性质定理1（极限的唯一性） 如果数列{}n a 收敛，那么它的极限唯一．证明 用反证法．假设同时有lim n n a a →∞=和lim n n a b →∞=，且a b <，取2b aε-=． 因为lim n n a a →∞=，故∃正整数1N ，当1n N >时，不等式||2n b aa a --<（1） 成立．同理，因为lim n n a b →∞=，故∃正整数2N ，当2n Ν>时，不等式||2n b aa b --<（2） 也成立．取12max{}N N N =，（表示N 是1N 和2N 中较大的5那个数），则当n N >时，（1）式及（2）式同时成立．但由（1）式有2n a b a +<，由（2）式有2n a ba +>，这是矛盾的，故假设不成立．定义2 对于数列{}n a ，如果存在正数M ，使得对于一切n a 都满足不等式||n a M ，则称数列{}n a 是有界的；否则称数列{}n a 是无界的．定理2（收敛数列的有界性） 如果数列{}n a 收敛，那么数列{}n a 一定有界．证明 设数列{}n a 收敛于a ，根据数列极限的定义，对于1ε=，存在正整数N ，当n N >时，不等式||1n a a -<成立．于是，当n N >时，有||||||||1||n n n a a a a a a a a =-+-+<+．取12max{||||||1||}N n M a a a a =+，，，，，则数列{}n a 中的一切n a 都满足不等式||n a M ．这就证明了数列{}n a 是有界的．定理3（收敛数列的保号性） 如果数列{}n a 收敛于a ，且0a >（或0a <），那么存在正整数N ，当n N >时，有0n a >（或0n a <）．当0a >时，根据极限定义，只要取02aε=>，即可证明结论．推论 如果数列{}n a 从某项起有0n a （或0na ），且数列{}n a 收敛于a ，则0a （或0a ）．证明 就0na 情形证明．设数列{}n a 从1N 项起，即当1n N >时有0na ．现在用反证法证明，若0a <，则由定理3知，2N +∃∈Z ，当2n N >时，有0n a <，取12max()N N N =，，则当n N >时，有0na 与0n a <同时成立，矛盾，所以0a．6对于0na 的情形，可以类似地证明．定义3 在数列{}n a 中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列{}n a 中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列{}n a 的子数列（或子列）．设在数列{}n a 中，第一次抽取1n a ，第二次在1n a 后抽取2n a ，第三次在2n a 后抽取3n a ，，这样无休止的抽取下去，得到一个数列1n a ，2n a ，，k n a ，，这个数列{}k n a 就是数列{}n a 的一个子数列．⏹ 【学生】掌握收敛数列的性质问题讨论 （10 min ）⏹ 【教师】组织学生讨论以下问题1．若lim n n a a →∞=，能否得到结论：对任意给定的正数ε，总可以找到正整数N ，使得所有满足n N >的自然数n ，都有||2n a a ε-<（或2ε）成立？2．在数列极限定义的N ε-语言中对任意给定的正数ε，可否规定01ε<<？3．有界数列是否一定收敛？发散的数列是否一定无界？ 4．如果数列{}n a 收敛于a ，且n ∀∈N ，有0n a >（或0n a <），则是否一定有0a >（或0a <）？5．若数列的任何子数列都收敛，那么此数列是否一定收敛？发散数列的子数列都发散吗？⏹ 【学生】发言通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解第二节课知识讲解（30 min）【教师】讲解函数极限的概念，并通过例题讲解介绍其应用1．自变量趋于无穷时函数的极限当x→+∞时，函数()f x的极限定义与数列极限定义相似，因此可以给出当x→+∞时，()f x极限的Mε-定义．定义1设()f x在()a+∞，上有定义，A为实常数，若对ε∀>，0(||)M M a∃>>，当x M>时，有|()|f x Aε-<，则称函数()f x当x趋于+∞时，以A为极限，记为+lim()xf x A→∞=或()()f x A x→→+∞．定义1'设()f x在()a-∞，上有定义，A为实常数，若对ε∀>，0()M M a∃>-<，当x M<-时，|()|f x Aε-<，则称函数()f x当x→-∞时，以A为极限，记为lim()xf x A→-∞=或()()f x A x→→-∞．定义1"设()f x在()()a a-∞+∞，，上有定义，A为实常数，若对0ε∀>，0M∃>(||)M a>，当||x M>时，|()|f x Aε-<，则称函数()y f x=在x→∞时，以A为极限，记为lim()xf x A→∞=．定理1lim()xf x A→∞=lim()xf x→+∞⇔lim()xf x→-∞=A=．证明必要性显然．下证充分性．lim()lim()x xf x f x A→+∞→-∞==时，0ε∀>，1M∃>，使当1x M>时|()|f x Aε-<；2M∃>，使当2x M<-时|()|f x Aε-<．取12max{}M M M=，，则当x M>或x M<-，即||x M>时，同时有|()|f x Aε-<，所以lim()xf x A→∞=．例1求21lim1x x→∞⎛⎫+⎪⎝⎭．78解 考察函数21()1f x x =+，如图1-21所示．图1-21当x →+∞时，函数211x +无限趋于常数1；当x →-∞时，函数211x +同样无限趋于1，所以 21lim 11x x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 例2 考察函数()arctan f x x =当x →+∞和x →-∞时的极限，并说明它在x →∞时的极限是否存在．解 如图1-22所示，当x →+∞时，函数()arctan f x x =无限趋于常数2π，所以 lim arctan 2x x →+∞π=． 当x →-∞时，函数()arctan f x x =无限趋于常数2π-，所以 lim arctan 2x x →-∞π=-． 由于lim arctan lim arctan x x x x →+∞→-∞≠，所以limarctan x x →∞不存在．9图1-222．自变量趋于有限值时函数的极限对于函数21()1x f x x -=-，()f x 在1x =无意义．当1x ≠时，()1f x x =+，如图1-23和表1-2所示，当1x →时，()2f x →．这样对0ε∀>，要使|()2||1|f x x ε-=-<，定有|1|x -在确定的范围内，即0δε=>，0|1|x δ<-<．ε越小，δ越小，δ由ε确定．这样我们可以得到，当0x x →时，函数()f x 极限的εδ-定义．图1-23表1-2x … 0.9 0.99 0.999 … 1 … 1.001 1.01 1.1 … y… 1.91.991.999… 2 … 2.0012.012.1…定义2 设()f x 在0x 的某个去心邻域o01()U x δ，上有定义，A 为实常数，若对0ε∀>，10()δδδ∃><，当00||x x δ<-<时，|()|f x A ε-<，则称函数()f x 当x 趋于0x 时，以A 为极限，记作lim ()x x f x A →=或0()()f x A x x →→．定义2' 设()f x 在0x 的某个去心右邻域o01()U x δ+，上有定义．A 为一实常数，若对0ε∀>，10()δδδ∃><，当1000||x x δ<-<时，|()|f x A δ-<，则称A 为函数()f x 在x趋于0x +时的右极限，记作lim ()x x f x A +→=或0()()f x A x x +→→．定义2" 设()f x 在0x 的某个去心左邻域o01()U x δ-，上有定义，A 为一实常数，若对0ε∀>，10()δδδ∃><，当00||x x δ<-<时，|()|f x A δ-<，则称A 为函数()f x 在x趋于0x -时的左极限，记作lim ()x x f x A -→=或0()()f x A x x -→→．定理2 0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==．证明与定理1类似．例3 设21()31x x f x x x +⎧=⎨<⎩，，，，试判断1lim ()x f x →是否存在．解 先分别求()f x 当1x →时的左、右极限，11lim ()lim33x x f x x --→→==，11lim ()lim(2)3x x f x x ++→→=+=， 因为左、右极限各自存在且相等，所以1lim ()x f x →存在，且1lim ()3x f x →=．⏹ 【学生】理解函数的极限，会计算函数的极限，包括函数在某点的左极限、右极限⏹ 【教师】讲解函数极限的性质定理3（极限的唯一性） 如果0lim ()x x f x →存在，则极限lim ()x x f x →是唯一的．定理4（局部有界性） 如果0lim ()x x f x A →=，则存在常数0M >和0δ>，使得当00||x x δ<-<时，有|()|f x M <．2数列的极限、函数的极限 第 课 11 局部有界性是指函数在0x 的去心邻域o 0()U x δ，内有界．定理5（局部保号性） 设0lim ()x x f x A →=，如果0A >（或0A <），则0δ∃>，使当00||x x δ<-<时，()0f x >（或()0f x <）．推论 如果在0x 的某去心邻域内()0f x （或()0f x ），且0lim ()x x f x A →=，则0A （或0A ）．⏹ 【学生】理解函数极限的性质问题讨论（10 min ） ⏹ 【教师】组织学生讨论以下问题1．证明如下函数极限，并指出这些函数的极限有什么特点？（1）0lim x x C C →=（C 为常数）； （2）00lim x x x x →=； （3）00lim sin sin x x x x →=； （4）00lim cos cos x x x x →=． 2．从函数极限定义的角度考虑，若令()n f n a =，数列极限还可以怎样叙述？3．若对o0()U x δ，，()0f x >，且0lim ()x x f x A →=，是否一定有0A >⏹ 【学生】讨论、发言课堂小结（5 min ） ⏹ 【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了数列极限的定义、收敛数列的性质、函数极限的概念、函数极限的性质的相关知识及其应用。
高等数学极限知识点讲解
高等数学极限知识点讲解在数学的学习过程中，极限是一项非常重要且基础的概念。
它是研究函数和数列的性质时经常用到的一个数学工具。
本文将对高等数学中的极限知识点进行系统的讲解，帮助读者更好地理解和掌握这一部分内容。
极限的概念在数学中，极限是研究函数在某一点附近的性质时的重要概念。
简而言之，当自变量趋于某一值时，函数的取值趋于一个确定的值或者无穷大，这个值就是极限。
通常用符号$\\lim$表示，表示当自变量趋于某一点时，函数的极限值。
一元函数的极限对于一元函数f(f)而言，其在f=f处的极限定义如下：$$ \\lim_ {x \\to a} f(x) = L $$其中f是一个常数，表示当f接近f时，f(f)的值趋近于f。
极限的性质重要性质1.极限的唯一性：函数在某一点的极限值唯一。
2.有界性：如果函数在某一点有极限，那么该函数在该点附近是有界的。
3.保号性：如果函数在某一点的左右极限值不相等，那么函数在该点不连续。
极限的运算1.一元函数极限的四则运算法则：两个可导函数的极限和、差、积、商的性质。
2.复合函数的极限：复合函数的极限等于内层函数的极限乘以外层函数的极限。
极限存在的条件极限存在的条件包括分式函数在极限点处不为零、边界点无穷远点等情况。
极限的计算方法无穷小与无穷大的比较当f趋于无穷大时，无穷小量与无穷大量的比较的方法。
夹逼准则夹逼准则是求解一些复杂极限的有效方法，通过找到比所求函数更简单的两个函数界，求出极限。
单调有界准则单调有界准则是判断函数是否有极限的一种方法，如果函数单调有界，那么函数一定有极限。
结语通过本文的讲解，读者应该对高等数学中极限的一些重要知识点有所理解。
极限是数学中的基础概念，对于理解函数的性质和数列的收敛性都有重要的意义。
希望读者能够认真学习并掌握这些知识，为后续的学习打下坚实的基础。
极限的公式总结
极限的公式总结极限是高等数学中的重要概念，它在数学、物理和工程等领域中都有着广泛的应用。
极限的公式可以帮助我们求解一些复杂的问题和优化计算。
在本文中，我们将总结一些常见的极限公式，包括函数极限、无穷极限和级数极限等。
一、函数极限公式1. 一次函数极限：若 f(x) = ax + b（a≠0），则当x→a 时，f(x) 的极限为f(a)=a*a+b。
2. 二次函数极限：若 f(x) = ax² + bx + c（a≠0），则当x→a 时，f(x) 的极限为f(a)=a*a²+b*a+c。
3. 幂函数极限：若 f(x) = x^a（a为实数），则当x→∞ 或x→-∞ 时，f(x) 的极限为：- 若 a > 0，则极限为∞ 或 -∞，具体取决于 x 的正负；- 若 a = 0，则极限为 1；- 若 a < 0，则极限为 0。
4. 指数函数极限：α 为常数，若f(x) = α^x，则当x→∞ 或x→-∞ 时，f(x) 的极限为：- 若α > 1，则极限为∞ 或 0，具体取决于 x 的正负；- 若0 < α < 1，则极限为 0 或∞，具体取决于 x 的正负； - 若α = 1，则极限为 1。
5. 对数函数极限：若f(x) = logₐ(x)（a>0 且a≠1），则当x→0 或x→∞ 时，f(x) 的极限为：- 当 a > 1 时，极限为 -∞ 或∞，具体取决于 x 的趋势；- 当 0 < a < 1 时，极限为∞ 或 -∞，具体取决于 x 的趋势。
6. 三角函数极限：- sin(x) 的极限为 1，当x→0 时；- cos(x) 的极限为 1，当x→0 时；- tan(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→(nπ/2)(n为整数) 时；- cot(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→nπ(n为整数) 时；- sec(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→(2n+1)(π/2)(n为整数) 时； - csc(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→nπ(n为整数) 时。
高等数学系列经典学习资料2.2函数的极限2
x
lim 无穷小：若 x→ x f ( x ) = 0
0
特点: (1+ “ f(x)” )的“ f(x) 的倒数”次方， 则其极限为e.
华东师范大学软件学院xlq
15
计算此类极限问题中常使用指数公式
(i)
a xy = a
( )
x y
= a kx
( )
y k
(ii)
a x = a x + k − k = a x −k ⋅ a k
1 1 = 1 ⋅ ⋅1 = 2 2
华东师范大学软件学院xlq
6
例.
1 求 lim x sin . x x →∞
解:
1 sin 1 x =1 lim x sin = lim x x →∞ 1 x →∞ x
1 lim x sin = 1 x→∞ x
比较:
1 lim x sin = 0 x→0 x
和
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x ⋅k ⎞k
=e
k
17
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例. 解:
求 lim (1 −
x→0
k x) x . k x) x
lim (1 −
x→0
=
k lim (1 + (− x)) x x →0
=
1 − ⋅( − k ) lim (1 + (− x)) x x →0
=
1 −k ⎡ − ⎤ lim ⎢(1 + (− x)) x ⎥ x →0
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3
sin 3 x 例. 求 lim x →0 x
解:
sin 3 x sin 3 x lim = lim 3 ⋅ x →0 x →0 x 3x