2019年华约自主招生能力测试数学试题(纯word版,含详细答案)

高水平大学自主选拔学业能力测试数学与逻辑（华约）一、（本小题满分10分）1x ,2x ,3x ,4x ,5x 为五个正整数，任取四个其和组成的集合为{}44,45,46,47，求i x （1i =，2， (5)． 【解析】记51ii S x==∑，若12345,,,,x x x x x 两两不等，那么对{}(),1,2,3,4,5i j i j ∀∈≠都有i j S x S x -≠-，这样12345,,,,x x x x x 任取四个数求和一共有5个不同的值，这与条件矛盾。

于是12345,,,,x x x x x 中必有两个数相等，据对称性，不妨设12x x a ==，3x b =，4x c =，5x d =，则问题变为对正整数,,,a b c d ，集合{}{},2,2,244,45,46,47a b c d a b c a b d a c d +++++++++=，注意到集合元素的表达形式关于a 对称，于是据对称性，只需要讨论a 在序列,,,a b c d 中的大小。

情形一：a b c d <<<，这时候由集合的对应原则得47244245246a b c d a b c a b d a c d +++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，于是得到441a =，矛盾。

情形二：b a c d <<<，同情形一的证明可得11101213a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩。

情形三：b c a d <<<，同情形一亦有439b =，矛盾。

情形四：b c d a <<<，同情形一亦有438b =，矛盾。

综上所述，12345,,,,x x x x x 的值为1234511,10,12,13x x x x x =====及其轮换。

二、（本小题满分15分）乒乓球比赛，甲胜的概率是1()2p p >，若采用五局三胜制，甲获胜的概率是q ，求p 为多少时，p q -取得最大值．【解析】设比赛用了ξ局，当甲用3局取胜，则()33q p ξ==；当甲用4局取胜，则()()13341q C p p ξ==-当甲用5局取胜，则()()223451q C p p ξ==-。

于是()()()233332316110156q p p p p p p p p=+-+-=-+，令()f p q p =-，由q 的表达式，我们有()54361510f p p p p p =-+-，则())22'11f p =-+，又因为112p <≤，故2110-+≥>，因此我们得到()f p 的极大值点为0p =，所以()()04130f p f p ≤=-，即当p =时，q p -取最大值3413030-三、（本小题满分15分）1()f x -是()f x 的反函数，定义：()()(())f g x f g x =．（Ⅰ）求证：11()()()()fg x f g x --=；（Ⅱ）()()F x f x =-，1()()G x f x -=-，若1()()F x G x -=，求证：()f x 为奇函数．【解析】证明：我们的证明用到反函数这样的性质：()()1y f x x f y -=⇔=（1）由上述性质知()()()()1y fg x x f g y -=⇔=（视()g y 为一个整体）()()1f x g y -⇔=（视()1f x -为整体）()()()()1111g f x g f x y ----⇔==，所以()()()()111f g x g f x ---=成立。

（2）由性质知()()()()()11y G x f x G y f y x y f x --==-⇔=-=⇔-=()()1y f x G x -⇔=-=，又由题设知()()1F x G x -=，于是()()f x f x -=-，即f 是奇函数，成立。

四、（本小题满分15分）函数1()sin )sin()2sin 42f x x x x a x b π=-+-+-的最大值为1，最小值为4-，求a ，b ．【解析】()()()211cos sin cos sin 2sin sin 2sin 22f x x x x x a x b x a x b =-+-+=--++，记sin t x =，则[]1,1t ∈-，令()2122g t t at b =--++，则由题意知()()max min 1,4g t g t ==-。

若(]0,1a ∈，那么()()2max 112g t g a a b =-=++=，故212a b +=①，再由二次函数的性质，()()(){}min 1min 1,0242g t g g a b ==-+-=-，故722a b -=②。

①+②得224a a -=，解出11a =>，这与(]0,1a ∈矛盾。

下设()1,a ∈+∞，再由二次函数性质可知()()max 11212g t g a b =-=+-=，()()min11242g t g a b ==-+-=-，由此解出541a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩综上，所求的()5,,14a b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭。

五、（本小题满分15分）已知椭圆22221x y a b+=与圆222x y b +=，过椭圆上一点P 作圆的两条切线，切点弦所在直线与x 轴，y 轴分别交于点E ，F ，求EOF ∆面积的最小值．【解析】首先我们推导解析几何中一个性质：平面上有圆222:O x y r +=，圆外有点()00,P x y ，过P 做圆O 的切线，切点为()()1122,,,A x y B x y ，那么由圆上点的切线公式，，我们有P 在直线211222xx yy r xx yy r ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩的交点上，于是有20112022x x yy rx x yy r⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，所以据方程组及两点确定一条直线，我们有,A B 在直线200xx yy r +=上。

回到本题，因为M 在椭圆上，可设()cos ,sin M a b θθ，由上述性质我们有直线PQ 的方程为2cos sin a x b y b θθ+=，于是我们得到2,0,0,cos sin b b E F a θθ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以EOF 的面积33sin 2b b S a aθ=≥，所以EOF 的面积最小值为3b a 。

六、（本小题满分15分）已知数列{}n a 满足：10a =，1nn n a np qa +=+．（Ⅰ）若1p =，求n a ；（Ⅱ）若1p <，1q <，求证：数列{}n a 有界． 【解析】若1p =，则()()()1111112n n n n a a n a n --=+-==+-++=，若1p ≠，则()()11111111n n n n a a n pa n p p ---=+-==+-++，即()1111n n a n p p -=-++ ①，则()211nn pa n p p =-++ ②，由错位相减法的知识，②-①得()()2111n n nn p p pa p p --=---。

综上，()()()()()21,121,111n n n n n p a n p p p p p p -⎧=⎪⎪=⎨--⎪-≠⎪--⎩。

（2）为表述方便，记[)0,1t p =∈，注意到1n n n n n n n a np qa np qa nt a +=+≤+<+依次递推就有()()11111111n n n n a n ta n t t a ---<-+<<-+++利用（1）的计算我们得到()()2111n n nn t t ta t t --<---。

注意到，()()2211nt t tA t t -<=--（其中A 是一个常数），下面证明数列(){}1n n t -有最大项。

记()1n n b n t =-，则11n n b n t b n +=-。

注意到数列1n n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递减，且lim 11n n n →∞⎛⎫= ⎪-⎝⎭，所以存在0N ∈使得对0n N ≥，11n n t <-成立，于是n b 在0n N >时单调递减，于是数列(){}1n n t -有最大项，我们设最大项为kb ，那么()111n kn t b B t t -<=--（其中B 是一个常数）。

所以()()()21111n nn nn t n t t ta A B t t it ---<-<<+---是常数，所以{}n a 是有界数列。

七、（本小题满分15分）已知n N +∈，x n ≤，求证：2(1)n x xn n e x n--≤．【证明】记()21nx x f x x n e n n ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭那么()11'21121n n n x x xx x x f x x n e n e x e n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+---=-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，我们证明，对(],x n ∈-∞及12,210n x x n e n -⎛⎫≥--> ⎪⎝⎭。

令()121n xx g x e n -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以()12211'111n n n xxx x n x x x g x e e e n n n n n -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以(],x n ∈-∞时，01x =是()g x 的极小值点，所以()()11121n g x g e n -⎛⎫≥=-- ⎪⎝⎭，故要证1210n xx e n -⎛⎫--> ⎪⎝⎭，只需要证明11210n e n -⎛⎫--> ⎪⎝⎭对2n ≥成立。

由e 的定义，我们有lim 1nn n e n →+∞⎛⎫= ⎪-⎝⎭且1nn e n ⎛⎫> ⎪-⎝⎭对2n ≥成立，于是1111111n n n ne e e n n e n ---⎛⎫⎛⎫-=<⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，而121ne e n ≤-就等价于2n ≥，所以2n ≥时结论成立，据此结论f 的极小值点是10x =，所以()()00f x f ≥=。

当1n =时，()'2xf x x xe =-，故ln 2为f 的极大值点，所以()()(){}min 0,10f x f f ≥=。

综上，对所有n +∈，原不等式均成立。