九年级数学下册 27.1.2 圆心角 弧 弦之间的关系(第1课时)课件 (新版)华东师大版
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沪科版九年级下册数学 课时3 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 教学PPT课件
AB与弦CD，弦心距OE与OF有怎样的数量关系？
由圆的旋转不变性，我们发现：
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD， 那么，⌒AB=⌒CD，弦AB=弦CD，OE=OF
C
E
B
D
F
·
O
A
新课讲解
2.在等圆中探究
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你 发现的等量关系是否依然成立？为什么？
C
F
B
E
D
新课导入
情境导入
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？
新课导入
把圆绕圆心旋转任意一个角度，仍与原来的圆重合吗？
·
新课讲解
典例分析
例 1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC 于点E，则 BD 的度数为________． 解：连接CD，∵∠C＝90°，
O·
A
O·'
新课讲解
圆心角、弧、弦与弦心距的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对弦的弦心距相等．
这个条件能去掉吗？ 为什么？
①∠AOB=∠COD
②A⌒B=C⌒D ③AB=CD ④OE=OF
CB
DE
F
O
A
新课讲解
圆心角、弧、弦与Βιβλιοθήκη 心距间关系定理的推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角
所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相
等，那么其余各组量都分别相等．
圆心角 相等
弦 相等
弧 相等
弦心距 相等
新课讲解
典例分析
例 2 已知：如图,点O是∠ A平分线上的一点， ⊙O分别 交∠ A
由圆的旋转不变性，我们发现：
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD， 那么，⌒AB=⌒CD，弦AB=弦CD，OE=OF
C
E
B
D
F
·
O
A
新课讲解
2.在等圆中探究
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你 发现的等量关系是否依然成立？为什么？
C
F
B
E
D
新课导入
情境导入
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？
新课导入
把圆绕圆心旋转任意一个角度，仍与原来的圆重合吗？
·
新课讲解
典例分析
例 1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC 于点E，则 BD 的度数为________． 解：连接CD，∵∠C＝90°，
O·
A
O·'
新课讲解
圆心角、弧、弦与弦心距的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对弦的弦心距相等．
这个条件能去掉吗？ 为什么？
①∠AOB=∠COD
②A⌒B=C⌒D ③AB=CD ④OE=OF
CB
DE
F
O
A
新课讲解
圆心角、弧、弦与Βιβλιοθήκη 心距间关系定理的推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角
所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相
等，那么其余各组量都分别相等．
圆心角 相等
弦 相等
弧 相等
弦心距 相等
新课讲解
典例分析
例 2 已知：如图,点O是∠ A平分线上的一点， ⊙O分别 交∠ A
沪教版数学九年级第二学期- 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 课件优秀课件资料
即OH平分∠AHC. 如何求EO=FO？
由适A时B小 C结D：得，OE=OF 作弦心距是圆中的常添辅助线.
1. 已知：如图，⊙O的弦AB与CD相较于点P，
OM⊥AB，ON⊥DC，垂足分别是点M、N，
且 AD BC . 求证：OM=ON.
证明:∵ AD BC
用到弦心距的时候， 一定要指明垂直.
∴ AD AC BC AC
圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理:
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.
上面三个小题得到推论： 在同圆或等圆中，
猜测圆心角、弧、 弦、弦心距之间 还存在哪些关系？
如果弧相等，弧所对的圆心角相等.
如果弦相等，弦所对的圆心角相等.
如果弦心距相等，弦心距所对弦的圆心角相等.
？
性质，可得∠AOB＝∠COD.
同圆中，如果弦心距相等，所对的
D
圆心角相等.
C
F
图（1）
通过上面三个小题的探究，我们可以得到
怎样的结论？
A
E
B
A E B
A
E
B
O
O
O
D
C
F
图（1）
D
C
F
图（1）
D
C
F
图（1）
图1：如果弧相等，所对的圆心角相等.
图2：如果弦相等，所对的圆心角相等.
图3：如果弦心距相等，所对的圆心角相等.
问题2：如图，同圆中，若AB＝CD，能否得到
∠AOB＝ ∠COD？
由图题中意还可有得什，么半径已O知A条=O件B=？OC=OD，A E
且AB＝CD
ห้องสมุดไป่ตู้
B
由适A时B小 C结D：得，OE=OF 作弦心距是圆中的常添辅助线.
1. 已知：如图，⊙O的弦AB与CD相较于点P，
OM⊥AB，ON⊥DC，垂足分别是点M、N，
且 AD BC . 求证：OM=ON.
证明:∵ AD BC
用到弦心距的时候， 一定要指明垂直.
∴ AD AC BC AC
圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理:
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.
上面三个小题得到推论： 在同圆或等圆中，
猜测圆心角、弧、 弦、弦心距之间 还存在哪些关系？
如果弧相等，弧所对的圆心角相等.
如果弦相等，弦所对的圆心角相等.
如果弦心距相等，弦心距所对弦的圆心角相等.
？
性质，可得∠AOB＝∠COD.
同圆中，如果弦心距相等，所对的
D
圆心角相等.
C
F
图（1）
通过上面三个小题的探究，我们可以得到
怎样的结论？
A
E
B
A E B
A
E
B
O
O
O
D
C
F
图（1）
D
C
F
图（1）
D
C
F
图（1）
图1：如果弧相等，所对的圆心角相等.
图2：如果弦相等，所对的圆心角相等.
图3：如果弦心距相等，所对的圆心角相等.
问题2：如图，同圆中，若AB＝CD，能否得到
∠AOB＝ ∠COD？
由图题中意还可有得什，么半径已O知A条=O件B=？OC=OD，A E
且AB＝CD
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B
华师版九年级数学下册第27章圆PPT教学课件1
A
· O
B
三 关系定理及推论的运用
典例精析
» =CD » = DE »， 例1 如图，AB是⊙O 的直径， BC
∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
E D C A · O
» =CD » = DE »， 解： ∵ BC
BOC COD DOE =35，
B
75 .
⌒ ⌒ 例2 如图，在⊙O中， AB=AC ,∠ACB=60°, 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. ⌒ ⌒ 证明：∵AB=CD ， ∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°， · O C A
⌒ ⌒ 果∠AOB=∠COD，那么，AB =CD ，弦AB=弦CD.
要点归纳 弧、弦与圆心角的关系定理
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对
的弧相等，所对的弦相等．
①∠AOB=∠COD
C D O B A
⌒ ⌒ ②AB=CD ③AB=CD
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所 对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件 “在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 不可以，如图.
» 的中点E,连接OE.那么 不是，取 CD
A O
B C E D
» ∠AOB=∠COE=∠DOE,所以 » AB = CE
= DE » .
» =2 » AB，弦AB=CE=DE,在 CD
△CDE中，CE+DE>CD,即CD＜2AB.
课堂小结
圆心角
概念：顶点在圆心的角 在同圆或等圆中
弦、弧、圆心角 的 关 系 定 理
圆心角相等，所对的弦相等． 在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的
圆心角相等，所对的弧相等．
圆心角弧弦 弦心距之间的关系教学课件PPT
的弧相等，所对的弦相等，所对的弦
弦的弦心距相等。
(1) 圆心角
(2) 弧
知 一
(3) 弦
得
三
(4) 弦心距
B
α
A
Oα
A′ B ′
题设
结论
()
前 提
在 同（ 圆条 或件 等） 圆
圆 心 角 相 等
圆心角所对的弧相等， 圆心角所对的弦相等， 圆心角所对弦的弦心距 相等。
中 推论 在同圆或等圆中，
如果两个圆心角、两条弧、
求证：CD=EF
CE
A
MN B
FG
O
D
F
∠A︵OB=2 ∠COD, 则有
AB
=2 CD,AB=2CD,你同意他的说法吗?
C
D
O．
A B
17、如图所示，CD为⊙O的弦，在CD上 取CE=DF，连结OE、OF，并延长交 ⊙O于点A、B。
（1）判断△OEF的形状，并说明理由；
（2）求证：弧AC=弧BD
E C
A
O
F D
B
⌒⌒
18、如图，A、B分别为CD和EF的中 点，AB分别交CD、EF于点M、N， 且AM=BN。
两条弦或两条弦的弦心距中有
一组量相等，那么它们所对应
的其余各组量都分别相等。
判断： 1、等弦所对的弧相等。
（ ×）
2、等弧所对的弦相等。 （ √ ）
3、圆心角相等，所对的弦相等。 ×
4、弦相等，所对的圆心角相等。（×
５、圆心角与它所对的弧相等。 （×）
6、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧
相等。
（× ）
C
B O
D A
5 如图，在⊙O
九年级数学圆心角弧弦的关系课件人教版
_相__等___．
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心 角___相_等____，所对的弦也____相_等___．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心
角__相__等____，所对的弧也__相__等____．
第五页，共24页。
合作探究
一、概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距
学习目标
1．理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称 性和旋转不变性 ； 2、掌握圆心角、弧、弦之间的相等关系定 理及推论，并初步学会运用这些关系进行有 关的计算和证明.
第三页，共24页。
课前自主预习
（一）知识链接
1． ————————————是中心对称图形.
2．要证明两条弧相等，到目前为止有哪两种方法？ （1）—————— （2）——————————
N O
第九页，共24页。
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N' N
O
第十页，共24页。
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N' N
O
第十一页，共24页。
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， 由此可以看出，点N'仍落在圆上。
N'
N
圆特有的性质：
圆的旋转不变性
O
⊙0绕圆心旋转任意一个角度后总能与原图形重 合。
O·
B
C
∴ △ABC是等边三角形. ∴ AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
第十九页，共24页。
练习五
1.下列命题中真命题是（ ）
A。相等的弦所对的圆心角相等。
B、相等的 弦所对的弧相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心 角___相_等____，所对的弦也____相_等___．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心
角__相__等____，所对的弧也__相__等____．
第五页，共24页。
合作探究
一、概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距
学习目标
1．理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称 性和旋转不变性 ； 2、掌握圆心角、弧、弦之间的相等关系定 理及推论，并初步学会运用这些关系进行有 关的计算和证明.
第三页，共24页。
课前自主预习
（一）知识链接
1． ————————————是中心对称图形.
2．要证明两条弧相等，到目前为止有哪两种方法？ （1）—————— （2）——————————
N O
第九页，共24页。
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N' N
O
第十页，共24页。
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N' N
O
第十一页，共24页。
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， 由此可以看出，点N'仍落在圆上。
N'
N
圆特有的性质：
圆的旋转不变性
O
⊙0绕圆心旋转任意一个角度后总能与原图形重 合。
O·
B
C
∴ △ABC是等边三角形. ∴ AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
第十九页，共24页。
练习五
1.下列命题中真命题是（ ）
A。相等的弦所对的圆心角相等。
B、相等的 弦所对的弧相等。