关于算法多样化与最优化的思考
行走在“算法多样化”与“算法优化”之间
案
行走在 “ 算法多样化 ” 与“ 算法优 化 ” 间 之
陈 美华
例
一
、
研 究 背 景
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１第 一 轮 实 践 与 重 建 — — 倡 导 算 法 多 样 化 ．
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算法多样化及其价值引领
算法多样化及其价值引领——《运算定律和简便计算》教学感想绵竹市齐福学校徐守维电话：6580006 在新课程改革背景下，鼓励算法多样化、个性化，强调计算教学要结合具体情境，培养学生根据具体情况选择算法的意识与能力，发展思维的灵活性，是数学课程标准提出的重要理念之一。
在教学人教版四年级《运算定律和简便计算》时，我分析学生探究、尝试、交流、质疑多种算法的过程，发现“运算定律的应用为培养和发展学生思维的开放性提供了极好的机会”。
得到以下几点初浅的感悟：一、鼓励算法多样化算法多样化的实质不同于一题多解，不需要同一个学生有多种解法。
它是针对“计算过程中，不同的学生会从各自的生活经验和思考角度出发，产生不同的思考方法”而提出的一种教学策略。
算法多样化的思想强调的是尊重学生的独立思考。
鼓励学生探索不同的方法，并不是让学生掌握多种方法，而是教师应该在课堂中鼓励、尊重学生的思维结果，引导学生进行讨论、交流，适时地点拨，肯定有创意的方法，从而培养学生良好的思维习惯和探索精神。
“算法多样化”是实现“不同的人在数学上得到不同的发展”的有效途径，也是尊重学生个性化学习、促进学生个性化发展的有效途径。
新教材在计算教学中，挖掘了许多有利于突出算法多样化的素材，凸显了同一个问题的多样化算法，为学生的多角度思维拓展了空间，也为教师提供了很好的教学指导。
因此我认为，算法多样只是一种手段，绝不是目的。
算法多样化对思维的灵活性、敏捷性的训练十分重要，它是培养创新型人才的重要途径，因为任何独创的思维能力都将有力地促进学生今后的发展。
二、实施算法多样化的过程与策略1、要创设和谐的课堂氛围，搭建学生自主探索的平台个性的发展离不开他生活的环境，师生关系是影响学生个性发展的重要因素，也是与创新能力的培养息息相关的。
新课标指出：要有效地培养学生的创新能力，就必须极大地改善师生关系，充分尊重学生的思想、情感、意志和行为方式，要为学生营造一种生动、活泼、民主、平等、和谐的教学气氛，为学生自主探索搭建平台，使学生形成探求创新的心理愿望和性格特征，形成一种以创新精神吸取知识、运用知识的性格，使学生的个性得到充分的发展。
关于计算教学中算法多样化和算法优化
关于计算教学中算法多样化和算法优化算法多样化和算法优化是计算教学中非常重要的两个方面。
算法多样化强调的是引入不同的算法思想和方法，以培养学生的多样化思维方式，增强问题解决能力；而算法优化则着重于提高算法的效率和性能，让学生学会如何改进和优化已有的算法。
一、算法多样化1.引入不同的算法思想：计算教学应当引入多种算法思想，如分治算法、贪婪算法、动态规划、回溯算法等。
通过学习不同的算法思想，学生可以理解不同问题的解决方法，提高他们的问题解决能力。
2.鼓励学生使用不同的算法：在教学过程中，教师应鼓励学生尝试不同的算法解决同一个问题。
通过比较不同算法的优缺点，学生可以了解到算法的多样性，并学会选择最适合的算法来解决问题。
3.培养创新思维：算法多样化还可以培养学生的创新思维。
教师应通过激发学生的兴趣，引导他们主动尝试不同的算法思路，并鼓励他们针对实际问题提出自己的解决方案。
二、算法优化1.理解算法的时间复杂度和空间复杂度：学生需要理解算法的时间复杂度和空间复杂度，明确算法在时间和空间上的开销，从而在实际问题中选择合适的算法。
2.利用数据结构优化算法：数据结构是算法的基础，学生应学会使用不同的数据结构，如数组、链表、树、堆等，来优化算法的效率和性能。
3.考虑实际问题的特点：在进行算法优化时，学生需要根据实际问题的特点来选择和设计算法。
例如，可以利用问题的特殊性质来剪枝，减少计算量。
4.学习常见的算法优化技巧：学生应了解一些常见的算法优化技巧，如分支限界、动态规划、贪婪算法等。
通过学习这些技巧，可以在解决问题时寻找更加优化的算法。
算法多样化和算法优化在计算教学中具有重要意义。
算法多样化可以培养学生的创新思维、问题解决能力和多样化的思维方式；算法优化可以提高算法的效率和性能，培养学生的优化思维和工程实践能力。
通过充分发挥算法多样化和算法优化的作用，可以提高学生的计算能力，培养他们成为有创新能力和解决实际问题能力的计算人才。
如何处理算法多样化与算法优化的问题
如何处理算法多样化与算法优化的问题
1、不能急于择优，要注意优化时机。
让学生舍去自己的方法而接受别人的方法，
这需要一个过程，每个学生对自己思考过的方法要比老师引导的方法印象深刻。
教师要给学生主动比较的机会，只有将自己的方法与别人的算法比较，认识到自己的不足，从而产生自我修正的内需时进行优化，才能收到水到渠成的效果。
2、优化的主体是学生。
算法优化是学生的主体行为，决不是教师主观的指定与
包办代替得了的。
优化算法是相对而言的，优化的过程应该是学生自我完善的过程，是一个逐步领悟、自我体验、自我选择的过程。
我们应该肯定学生每人创造的方法都是好方法，至于那种方法好理解，好应用，不是教师告诉的，而是学生在不断解决问题、不断交流中比较、鉴别的，自己体会到“他的方法的确比我的方法好”，使学生产生对自己算法进行改进的强烈愿望，有了这种需要，相信在以后的计算中，他会接受其他方法。
3、优化不能搞一刀切。
推荐理由或读后心得
在平时的计算教学中我们经常会遇到算法多样化与优化两者的矛盾，如何才能比较处理好多样化与优化的关系，一直是我们讨论的热点，今天看到了这篇文章给我眼前一亮，很有学习价值，因此记载下来。
学生之间存在着差异，每种算法学生都有不同程度的理解与认识，我们所说的最优化的方法并不是统一的
方法，优化的过程是学生寻找更好方法的过程。
对算法多样化的几点思考
对算法多样化的几点思考计算是小学数学教学的一个重要内容。
倡导和鼓励算法多样化是新课程在计算教学改革上的一个重要举措。
然而在实际的计算教学中，笔者发现，很多教师在算法多样化的问题上存在着认识与教学行为上的偏差，下面谈一谈自己对算法多样化的几点思考：思考之一：算法多样化就是算法越多越好吗?有些数学教师认为：倡导和鼓励算法多样化就是算法越多越好。
因此在实际的计算教学中，这些教师会千方百计地追求计算方法的数量，在课堂上花很多时间去挖掘各种各样的计算方法。
笔者曾经听到过一位教师这样教学《两位数减一位数的退位减法》：首先，教师通过问题情境引出例题23—8。
然后，教师花了将近一节课的时间“引导”学生说出了下列多样化的算法：(1)23－1－1－1－1－1－1－1－1＝15(2)23－3＝20，20－5＝15(3)23－10＝13，13＋2＝15(4)13－8＝5，10＋5＝15(5)10－8＝2，13＋2＝15(6)23－13＝10，10＋5＝15(7)23－5＝18，18－3＝15真的有必要让学生绞尽脑汁弄出那么多算法吗?答案显然是否定的。
笔者认为：作为问题解决策略多样化的一种重要思想，倡导和鼓励算法多样化是从培养学生数学素养、发展学生数学思维的角度提出的，其更深层次的目的是逐步培养学生的创新意识和自我价值观念，而绝不是单纯的数量上的越多越好。
思考之二：算法多样化就是要求学生掌握每一种算法吗?数学新课程实验教材中常常出现一道计算题多种计算方法的编排现象(北师大版数学教材尤其如此)。
有些数学教师认为：教学时应该将教材上编排的每一种算法都逐一向学生展示，最好是让每一位学生都掌握展示的每一种算法。
笔者不赞同这一观点。
理由有两点。
首先，教师在使用教材时应该从学生的认识状况出发，对教材中编写的多样化算法进行有选择地调整加工，以创建适合学生学习的教学内容。
以教学“15－7”为例，虽然教材编排了以下四种算法：(1)15－1－1－1－1－1－1－1＝8(2)10－7＝3 5＋3＝8(3)15－5＝10 10－2＝8(4)因为7＋8＝15，所以15－7＝8第一种算法，对学生来说这种算法不但属于“低思维层次算法”，而且书写还很麻烦，教师就没有必要走回头路，再出示这种算法。
算法多样化
“算法多样化”的背后——兼论数学教学的真实意义吴亚萍随着社会的进步和人们对数学教学观念认识的发展，许多教师已然能够认识到传统的数运算教学的不足。
这种传统的教学观念就是一味地强调通过大题量的操练，以达到学生运算技能和考试分数双重提高的目的。
在传统教学观念的影响下，学生被淹没在大量重复操练的题海之中。
机械枯燥的练习成为影响学生思维发展和提升的主要障碍。
为了改变这种状况，国家数学课程标准提出了大幅度调整教学内容和改进数运算教学的实施要求。
具体地说，就是删减繁琐运算的教学内容，以及在数学运算教学中提倡“算法多样化”。
教学内容的调整在一定程度上确实为师生进行数运算教学的改革探索提供了时间和空间的保证。
对于教师来说，他们有可能从仅仅关注教案完成的教学转换到关注和针对学生学习状态教学；对于学生来说，他们有可能从大题量和高密度的机械运算中解放出来，有时间来思考和分析问题解决的各种条件、不同方案，以及在多种方案中作出恰当的选择。
教学内容的减少意味着教学时间的相对增加，那么这部分相对增加的教学时间是否得到了高效的利用？教师又是怎样来理解认识和实施“算法多样化”的教学呢？时下的数运算教学中的算法是否当真“多样”了？怎样才能让学生从掌握一种统一的标准化的算法真正转变为掌握灵活多样的算法呢？这种“算法多样化”的教学是否起到了促进学生逻辑推理发展和思维品质提升的作用？这些问题既是绕不过去也是改革必然遇到的，更是我们必须做出回答的。
为此，本文围绕这些问题展论述，揭示算法表面“多样”的背后所掩藏的真实问题，对这些问题提出重建的设想，进一步探讨如何真正地实现教学的“算法多样化”，以及面对学生“多样”的算法，我们的教学应选择怎样的价值追求，与此相应又该做出怎样的积极回应。
（一）数运算教学中的“算法多样化”可以说是一个“仁者见仁，智者见智”的问题。
然而，现实中对“算法多样化”的实践却表现出基本趋同的教学状态。
下面的“百以内加法”的教学过程是其典型代表的反映：首先，教师提出问题：29+17这一题你们是怎样计算的？学生围绕问题或独立思考，或小组讨论，形成问题解决的方案。
算法多样化的教学思考及其策略把握
出的位 置 。算 法 多样 化 已得 到广 降低 了计 算要 求 ） ；更重要 的是 ， “ 知识再发现”的要求，这对培养 大 教 师 的 极 大 关 注 和 积 极 实 践 ， 计 算教 学的价值是 突 出算法 思维 ， 学生 的创新 精神 和 探 索意 识是 极
但在 算 化 多样 化 的理 解和 把握 上 在 倡 导算 法 多样 化 的过 程 中 ，培 其有 利的。
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维普资讯
己的 教 学 困 惑 （即 文 中 的 “ 六 期以来，我 国的小学数 学教 学把 个体在知 觉、思维 、 忆和 解决 问 记 急 ” 。回顾 我 区实施 新课程 的起 培养学生的计算能力作为小学数 题 等认 知 活 动 中加 工和 组 织信 息 ） 步阶段 ， ｎ ｚ 老师的 “ ￣ ｇｉ ｌ 六急” ，我 学基础的核心 ，但面对计算机信 时所 显 示 出来 的独特 而稳 定的风 区基 层教 师在进 行 算 法 多样化 教 息 技 术的迅 猛 发展 以及 国际数 学 格 。 知 方式没 有优 劣之分 ， 认 只是
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有一定的普遍 意义 。 下面就 结合 我 础 不 能仅仅 停 留在 “ 练的计 算 种 偏爱 。 学 中， 熟 教 特别是在 新知识 区在算 法 多样化 上 的研 究和 实践 ， 能力上” 。对于计算教 学， 当从 的探索阶段 ，理应 尊重每一个学 应 谈谈 我们 对 算 法 多样 化的教 学认 传 统 的 “ 法 统 一 和 过 分 强 调 计 生 的个 性特征 ，允许 不 同 的学 生 方 识 以及 毓略把握 。 算技能” 转变为 “ 尊重学生的个性 从 不 同的 角度认 识 问题 ，采 用 不
怎样理解“算法多样化”“一题多解”和“算法最优化”
怎样理解“算法多样化”“一题多解”和“算法最优化”现代教育的基本理念是“以学生的发展为本”，既要面向全体，又要尊崇差异。
在数学教学中，教师要促进学生的全面发展，就要尊崇学生的个性，不搞一刀切，要创造促进每个学生得到长足发展的数学教育。
因此，针对过去计算教学中往往只有一种算法的弊端，在新课程中提出了“算法多样化”。
比如人教版小学数学实验教材一年级下册“20以内退位减法”，教材提示了用“破十法”“想加算减”“点数”“持续减”等方法都可以。
因此这些算法对一年级学生而言，很难说孰优孰劣，学生完全可以按自己的经验采用和选择例外的方法进行计算，教师不对各种算法进行评价，要尊崇学生自主的选择，保护学生自主发现的积极性，提倡和鼓励算法多样化。
“一题多解”与“算法多样化”是有区别的。
一般来说“一题多解”是面向个体，尤其是中等以上水平的学生，遇到同一道题可有多种思路多种解法，目的是发展学生思维的灵活性。
而“算法多样化”是面向群体，每人可以用自己最喜欢或最能理解的一种算法，同时在算法多样化时，通过交流、评价可以吸取别人的优势或改变自己原有的算法。
因此，在教学中不应要求学生对同一题说出几种算法，减轻学生不必要的负担。
但是数学是讲究“最优化”的，数学中“算法最优化”的含义是要求寻找最简便、最简易、速度快的方法。
这一点，教师在课堂教学中要十分明确，要负责任地引导学生去比较、去评价，并使学生掌握那些公认的最佳的、最优的、最基本的算法。
曾经看到一些计算课，讨论一道计算题，出现了十多种算法，教师还一个劲地催问：还有什么方法？占用了大量的课堂教学时间，直到临下课时才说：可以用自己喜欢的方法计算。
结果班级一些思维慢的学生搞得眼花缭乱、无所适从，最终也不知道哪个方法最佳。
这种教学效益是不是太低了？1/ 1。
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关于算法多样化与最优化的思考
时海燕（宁夏回族自治区中卫市中宁一小，宁夏中卫75510）
数学课程标准指出：由于学生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多样的，教师应尊重学生的想法，鼓励学生独立思考，提倡计算方法的多样化。
算法多样化是新课程倡导的理念，但在落实这一新课程理念的过程中，许多教师在对算法多样化的认识和操作上存在这样或那样的不足，影响了新理念的实施，降低了教学效果。
本文谈一谈自己在教学实践中对算法多样化和算法最优化的几点认识。
一、算法多样化可以培养学生的创新、求异思维和主动探索精神
建构主义学习理论告诉我们，学生学习数学的过程不是被动接受的过程，而是在自身经验基础上积极主动的建构过程。
因为每个学生的生活经验和思维方式不同，对相同的数学内容往往表现出个性化的认识和理解，所使用的计算方法也必然是多样的。
多样化的算法，使他们在与同伴合作交流、比较的过程中取长补短，感受到成功的愉悦，体味到独立思考、自主探索学习的乐趣。
多样化的算法，不但关注了学生知识技能的获得，同时也关注了学生个体化的发展。
解决这一问题的过程会使数学课堂变得丰富多彩、生动活泼。
在“乘法的初步认识”的“做一做”练习中，教科书的插图是一架秋千上有四个座位，每个座位上有两个小朋友。
求一共有多少个小朋友。
按成人的思维应该是4个2相加，所列加法算式是：2＋2＋2＋2＝8，乘法算式是2×4＝8或4×2＝8。
而学生对图意的理解方式则各不相同，算法也是多样的：
（1）一架秋千上有8个人，是1个8，用1×8或8×1表示。
（2）有8个同学是8个1，用加法算式1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＝8表示，用乘法算式1×8＝8或8×1＝8表示。
（3）有4个男生，4个女生，是2个4，用4＋4＝8，2×4＝8或4×2＝8表示。
（4）秋千中间有一根立柱，把大秋千分成了两个小秋千，每个小秋千上有4个小朋友，就是2个4。
一幅简单的图画，教师充分调动学生的积极性，放手让学生去理解，解答方法各不相同，又各有道理。
这些不同的解答方法，是学生求异、创新的结果。
学生从不同的角度思考问题，找到了解决问题的方法，有利于不同层次的学生体验成功，树立学习自信心。
多样化的解答方式，使学生感受到数学的独特魅力，有利于激发他们的创新、求异思维，培养他们独立思考的能力。
二、算法多样化是学生独立思考的结果
教学“两位数减一位数”时，我引导学生拿出36根小棒，先自己想一想、摆一摆，怎样从36根小棒里拿走8根，然后把自己的想法在小组内交流。
在全班汇报时，学生交流了如下几种算法。
汇报完了，却没有一个学生说出教师想要的那种方法，也就是教科书上提供的算法16－8＝8，8＋20＝28。
这种算法的掌握为后面学习笔算退位减做好准备，也就是教科书上提供的最基本的方法。
于是我对学生说：“老师还有一种方法，你们愿意学吗？”接着讲述了这种方法的计算过程，并带领他们边动手摆边口述。
在巩固练习时，我出示了45－7＝，叫了两个学习成绩偏上的学生上台板演。
我满以为学生会认为教师提供的方法是最好的，会用这种方法来计算。
可是结果出乎我的意料，板演的两个学生写出的计算过程却是他们自己思考的方法。
我问他们为什么不用老师教的方法算，他们认为从整捆小棒里拿走7根小棒很方
便。
为了保护学生求异、创新的萌芽，我
肯定了他们的算法。
而且我看到这两个学
生得到教师的肯定时面露喜色、非常得
意。
成人认为最优化、最高效的方法，没
有经过学生的思考和感悟，并不能对他们
起作用。
学生的方法看似拐弯抹角，令人
费解，但这是他们思考的结果。
他们会对
自己的计算方法津津乐道、情有独钟，因
为这是用他们自己的头脑想出来的，是他们经过努力得到的。
第二节课上，我想验证一下到底有多少学生掌握了教师所讲的方法，又有多少学生仍用自己的方法。
我出示了两道练习题，每人发一张纸计算，并写出计算的过程。
交上来后，我大致统计了一下，中等、中等偏上的学生大多用自己思考的方法计算，只有少数优等生用教师讲的方法计算。
三、算法需要优化，它可以培养学生独立思考、反思辨析的习惯，提高口算速度
在多样化的算法中，很大一部分学生的思维是凌乱无序的，有些方法并不高效，甚至有些不合理。
新课标的基本理念是要让不同的学生在数学上得到不同的发展，对于学习有困难的学生，教师要充分利用其他学生的不同算法，为这些学生提供模仿、学习的范例，引导他们掌握最基本的方法，使他们的算法逐步优化，思维得到逐步发展，只有这样，“不同的人在数学上得到不同的发展”才不至于
是一句空话。
课标在分阶段内容里明确指出：“应重视口算，加强估算，提倡算法多样化。
”课标提倡算法多样化，也强调要重视口算，而且在口算的速度上有一定的要求。
要提高口算速度，算法必须优化，学生只有掌握了高效的计算方法，才会有一定的口算速度，为后面的笔算打好基础，为后续学习打牢基本功，才能实现学生在数学学习中的可持续发展。
所以，算法多样化，应该有评论，有选择，选择出最佳方法，让学生从小学会择优而用。
在进行20以内进位加法“9加几”的教学中，计算9＋5，学生想出了很多种算法，例如：（1）从9往后数，再数5个是14；（2）9＋1＝10，10＋4＝14；（3）把9分成5和4，5＋5＝10，10＋4＝14；（4）9＋4＝13，13＋1＝14；（5）9＋2＝11，11＋3＝14；等等。
（1）是通过数数来计算，（2）、（3）是利用“凑十法”计算，运用算法（4）、（5）的学生并没有真正理解算法（2）中的“凑十法”，而是为了迎合教师，为多样化而多样化，看到算法（2）中的5可以分成1和4，算法（3）中的9可以分成5和4，就得出5可以分成4和1，5可以分成2和3来计算。
如果这时教师不加以引导，任由学生用自己喜欢的方法去计算，可以想象会有很大一部分学生对到底如何进行20以内的进位加法计算感到迷茫，有的学生会用一个一个去加的低水平的方法计算，口算速度难以提高，这会为以后学习多位数加法埋下隐患。
所以我们要有意识地引导学生对他们的方法进行简单的反思、比较、归类，大部分学生都会选择“凑十法”这种高效的算法进行进位加法的计算，并在不断用自己的算法和别人的算法进行比较中，认识到差距，形成迫切需要将算法最优化的内需。
在这个过程中，他们会自觉地对解题方法进行回顾、反思、总结、比较、自我调节。
这个过程本身也是一个思维不断发散的过程。
通
过比较，使学生的思维得到发展，优化意识得到培养。
而且学生一旦在反思、比较过程中掌握了最优化的方法，口算速度就会大大提高。
所以，算法的多样化和最优化之间并不矛盾，两者是统一的，都是学生主动探索的过程。
当然，在引导学生进行算法优化的过程中，不能过早地进行分析、归类、择优，应让学生在不断的练习中，在教师的引导下逐步感悟。
四、算法的优化需要教师教学策略的引导
在算法的优化过程中，如果我们过早地把各种方法展示出来比较，让学生择优，他们会失去很多。
每个学生对自己的方法比对教师引导的方法印象要深，过急地让学生择优，在一定程度上会对他们今后的独立思考、积极探索精神起到扼杀作用，应该想办法引导他们通过体验和感悟后，选择最佳的方法。
在进行“两位数减一位数”退位减的教学时，我设计了这样一组练习：34－8，44－8，54－8，64－8。
让学生先自己计算，再汇报结果，然后引导学生比较每道题什么没变，什么变了，它们的变化有没有规律。
学生发现：减数没变，被减数与差变了；前一道题的被减数比后一道题的被减数多10，差也多10；每道题差的十位上的数都比被减数的十位上的数少1；每道题差的个位上都是6（这是因为14－8＝6）。
通过引导比较，学生很快发现了两位减一位数退位减算得最快的方法就是只想：14－8＝6，差的个位上的数就是6，十位上的数比被减数的十位上的数少1。
学生在教师创设的情境中，逐渐感悟了最优化的计算方法。
所以，在算法的优化过程中，教师不能强制性地把自己认为最优的方法传授给学生，而应选择适当的教学策略，创设情境，引导学生在自我感悟的基础上达到优化。
所以，算法的优化需要教师采用一定的教学策略来引导。