2013届高三第二轮复习讲义及专题训练 (11)三角函数的化简与求值

2013届数学(第 二 轮)专 题 训 练
第九讲: 三角函数的化简与求值
学校 学号 班级 姓名
知能目标
1. 掌握同角的三角函数的基本关系式: 掌握正弦,余弦的诱导公式;掌握两角和与两角 差的正弦,余弦,正切公式;掌握二倍角的在正弦，余弦,正切公式.
2. 能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简,求值和恒等式证明.
综合脉络
三角变换是运算化简过程中运用较多的变换, 也是历年高考命题的热点. 提高三 角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简的方法和技能. 常 用的数学思想方法技巧如下:
1. 角的变换: 在三角化简、求值、证明中, 表达式往往出现较多的相异角, 可根据角与角之 间的和差、倍半、互补、互余的关系, 运用角的变换, 沟通条件与结论中的差异, 使问题 获解.对角的变形如下:
)2()2()(,2304560304515α
-β-β+α=β-β+α=α=-=-=
,
)4()4()()(2α-π-α+π=β-α+β+α=α,)4
(24α-π
-π=α+π
特别地, α+π4与α-π
4
为互余角, 它们之间可以互相转化, 在三角变形中使用频率高.
2. 函数名称变换: 三角变形中, 常常需要变函数名称为同名函数. 如在三角函数中正余弦是
基础, 通常化切、割为弦, 变异名为同名.
3. 常数代换: 在三角函数运算、求值、证明中, 有时需要将常数转化为三角函数值, 例如常 数“1”的代换变形有: α-α=α-α=α+α=2
2
2
2
2
2
cot csc tan sec cos sin 1.
4. 幂的变换: 降幂是三角变换时常用方法, 对次数较高的三角函数式, 一般采用降幂处理的
方法. 常用降幂公式有: 1cos sin ,2
2cos 1cos ,22cos 1sin 2222
=α+αα
+=αα-=
α 等, 三角变换时, 有时需要升幂, 如对无理式α+cos 1常用升幂化为有理式, 升幂公式与降幂
公式是相对而言的.
5. 公式变形式: 三角公式是变换的依据, 应熟练掌握三角公式的直接应用, 逆用以及变形式 的应用. 如: )tan tan 1)(tan(tan tan ,sin 22sin cos β⋅αβ±α=β±αα
α
=α 等.
(一) 典型例题讲解:
例1. (1)当2x 0π
<<时，函数x
2sin x sin 8x 2cos 1)x (f 2++=的最小值为 ( )
A. 2
B. 32
C. 4
D. 34
(2) 已知=α=α
cos ,32
tan 则 .
例2. 已知22tan =α, 求: (1) )4tan(π+α的值; (2) α
-αα+αcos 2sin 3cos sin 6的值.
例3. 已知A 、B 、C 的坐标分别为A )0,3( , B )3,0( , C )sin ,(cos αα , )2
3,2(ππ
∈α
. (1) 若|AC ||BC | =, 求角α的值; (2) 若1C B AC -=⋅, 求α
+α
+αtan 12sin sin 22的值.
例4. 已知,0x 2<<π-
5
1
x cos x sin =+. (1) 求x cos x sin -的值; (2) 求
x
cot x tan 2x cos 2x cos 2x sin 22x sin 32
2++-的值.
(二) 专题测试与练习: 一. 选择题
1. =-15cot 15tan ( ) A. 2 B. 32+ C. 4 D. 32-
2. 若,x 2sin )x (tan f = 则)1(f -的值为 ( ) A. 2sin - B. 1- C. 2
1
D. 1
3. 已知=π-β=π+α=
β+α)4
tan(,223)4tan(,52)tan(那么 ( ) A. 51 B. 1813 C. 41 D. 22
13
4. 若βα，均是锐角，且)cos(sin 2β-α=α, α与β的关系是 ( ) A. β>α B. β<α C. β=α D. 2
π>β+α
5. 化简
: = .
A. 0
B.
C. 1±
D. 1
6. 已知,10
2
7)4sin(=π-
α且432π<
α<π, 求)42tan(π+α的值． A. 3217 B. 17
31 C. 1731- D. 3117-
二. 填空题 7. 若,31)6sin(=α-π 则=α+π
)23
2cos( .
8. 设α为第四象限的角, 若
5
13
sin 3sin =αα, 则=α2tan ___________.
9. 已知α、β均为锐角, 且),sin()cos(β-α=β+α 则=αtan .
10. 若7
1
cos =α, )2,0(π∈α, 则=π+α)3cos(________ __.
三. 解答题
11. 已知α为第二象限的角, 53sin =α, β为第一象限的角, 13
5
cos =β, 求)2tan(
β-α的值.
12. 化简:
.)
4
(sin )4tan(21
cos 222α+π
⋅α-π-α .
13. 已知向量)sin ,(cos θθ= m , 和),
2,(),cos ,sin 2(ππ∈θθθ-= n
且.5
2
8||=+ n m 求)82cos(π+θ的值.
三角函数的化简与求值解答
(一) 典型例题
例1. 解：1. (1) D ; (2) －
5
4. 例2. 解：(1) ∵22tan =α, ∴ 3
441222tan 12tan
2tan 2
-=-⨯=α-α
=
α; 所以7
13
41134tan 11tan 2tan tan 14tan
tan )4tan(=+
+-=α-+α=πα-π
+α=π+α.
(2) 由(1)34tan -=α, 所以672
)3
4(31
)34(62tan 31tan 6cos 2sin 3cos sin 6=--+-=-α+α=α-αα+α
例3. 解：(1)∵|||| =, ∴点C 在x y =上, 则α=αcos sin .
),23,2(ππ∈α .4
5π
=α∴
(2) ),sin ,3(cos AC α-α=),3sin ,(cos BC -αα=
,1)3(sin sin )3(cos cos -=-αα+-αα∴ 则3
2
cos sin =
α+α 原式＝.9
5cos sin 2-=αα
例4. 解：(1) 25241251x cos x sin 251x cos x sin -=-=⇒=+， 254925241)x cos x (sin 2=+=- ，又0x cos x sin 0x 2<-⇒<<π
- ，
57
x cos x sin -=-∴．
(2) 原式125108)2512(59x cos x sin )]x sin x (cos 2[x
cos x sin 1x
sin 12x
sin 22-
=-⨯=+-=-+=．
(二) 专题测试与练习 一.
二. 填空题
7. 97-; 8. 43-; 9. 1 ; 10. 14
11-.
三. 解答题
11. 解：α是第二象限角，7
242tan 43tan 54cos 53sin -=α⇒-=α⇒-=α⇒=
α， β是第一象限角，253
204
)2tan(512tan 135cos =β-α⇒=
β⇒=β
12. 解：原式＝12cos 2cos )
4
cos()4sin(22cos )]4(2[sin )4tan(22cos 2=αα
=α-πα-πα=α-π-πα-πα
13. 解法一:
)sin cos ,2sin (cos θ+θ+θ-θ=+ n m
22)sin (cos )2sin (cos θ+θ++θ-θ=+ n m )sin (cos 224θ-θ+=
)4cos(44π+θ+=)4
cos(12π
+θ+=
由已知5
2
8||=+ n m ，得257)4cos(=π+θ
又1)8
2(cos 2)4cos(2-π+θ=π+θ 所以25
16)82(cos 2=π+θ 0)82cos(898285,2<π+θ∴π<π+θ<π∴π<θ<π 5
4
)82c o s (-=π+θ∴
解法二:
n m n m n n m m n m n m ⋅++=+⋅+=+=+22)(2
2222
]cos sin )sin 2([cos 2)cos )sin 2(()sin cos (2222222θθ+θ-θ+θ+θ-+θ+θ=
)8
2(cos 8)]4cos(1[4)sin (cos 2242π
+θ=π+θ+=θ-θ+=
由已知5
2
8||=+ n m ，得54|)82cos(|=π+θ
0)8
2cos(898285,2<π
+θ∴π<π+θ<π∴π<θ<π
5
4)82cos(-=π+θ∴。