第八章(阻抗和导纳)
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电路分析第8章 阻抗与导纳
t
i1 i2
0
i2 滞后i1
t
i1
i1与i2反相 i2
t
0
0
i2
i1
i1与i2同相
t
i1
i2 i1与i2正交
t
0
0
8.1 变换方法的概念(变换域方法)
正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除了 用三角函数式和正弦波形表示外，还可用相量来表示同 频率的正弦量。 相量表示法就是用复数来表示同频率的正弦量。 相量法是一种用来表示和计算同频率正弦量的数学 工具，应用相量法可以使正弦量的计算变得很简单。
比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即为 正弦量的幅值（或有效值），复数的辐角即为正弦量的初相位。 为与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并用 在大写字母上打一“•”的符号表示。 • 例如 i (t)= Imcos ( t+ ) 的相量为 (最大值相量)
Im=Im = Imej =Im (cos +jsin ) I=I = Iej =I(cos +jsin )
例如：已知两个支路电流
i1= I1 mcos( t+i1)
正弦电量 （时间函数） 变换
正弦量运算
相量 （复数） 相量运算 （复数运算)
i2= I2 mcos( t+i2)
若求：i = i1 + i2
所求正弦量 反变换 相量结果
8.2 复数
+j
由欧拉公式，得出：
j 1
模
cos +jsin =ej
额定电压纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路ir电压与电流同频率同相位电压与电流大小关系urdidt纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路电流超前电压90dudt纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路电压与电流相量式单一参数的交流电路单一参数的交流电路纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路电压与电流相量表达式电压与电流相量式二二纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路三三纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路97vcr相量形式的统一阻抗和导纳的引入电压与电流相量式欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式称为复数阻抗简称阻抗单位为欧姆
i1 i2
0
i2 滞后i1
t
i1
i1与i2反相 i2
t
0
0
i2
i1
i1与i2同相
t
i1
i2 i1与i2正交
t
0
0
8.1 变换方法的概念(变换域方法)
正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除了 用三角函数式和正弦波形表示外，还可用相量来表示同 频率的正弦量。 相量表示法就是用复数来表示同频率的正弦量。 相量法是一种用来表示和计算同频率正弦量的数学 工具，应用相量法可以使正弦量的计算变得很简单。
比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即为 正弦量的幅值（或有效值），复数的辐角即为正弦量的初相位。 为与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并用 在大写字母上打一“•”的符号表示。 • 例如 i (t)= Imcos ( t+ ) 的相量为 (最大值相量)
Im=Im = Imej =Im (cos +jsin ) I=I = Iej =I(cos +jsin )
例如：已知两个支路电流
i1= I1 mcos( t+i1)
正弦电量 （时间函数） 变换
正弦量运算
相量 （复数） 相量运算 （复数运算)
i2= I2 mcos( t+i2)
若求：i = i1 + i2
所求正弦量 反变换 相量结果
8.2 复数
+j
由欧拉公式，得出：
j 1
模
cos +jsin =ej
额定电压纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路ir电压与电流同频率同相位电压与电流大小关系urdidt纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路电流超前电压90dudt纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路电压与电流相量式单一参数的交流电路单一参数的交流电路纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路电压与电流相量表达式电压与电流相量式二二纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路三三纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路97vcr相量形式的统一阻抗和导纳的引入电压与电流相量式欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式称为复数阻抗简称阻抗单位为欧姆
阻抗和导纳
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳) 阻抗和导纳 基本要求：
阻抗、导纳的概念 阻抗角、导纳角的概念 感性、容性的概念
1
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
在正弦稳态情况下，口电压相量与口电流相量之比称 策动点阻抗或驱动点阻抗（简称阻抗）
Z ( j)
Um Im
Um Im
e j(u i )
1/ jC
IS
I1
I2
R1
R2 U0
U 01
R2 I 2
R1R2 R1 R2
1 jC
IS
9083.16
u01
2[90sin(t 83.16 )]
11
§8.2 正弦稳态分析(相量法)
②当=10rad/s时
U 02
R2 I 2
R1
R1R2
R2
1 j10C
IS
57639.8
Y ( j)
Im Um
Im Um
e j(i u )
Im Um
i
u
I
Y Y Y cosY j Y sin Y
G jB
U
其中 Y 导纳的模 Y 导纳角，约定 90 剟Y
G 电导，B 电纳。 对同一端口，在同一频率下
90
Y1 Z
jB G
3
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
7
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
阻抗不同于正弦量的复数表示，它不是一个相量，而 是一个复数计算量。
• 对同一端口来说 R 1
G
X1 B
Y1 1
R jX
Z R jX (R jX )(R jX )
阻抗、导纳的概念 阻抗角、导纳角的概念 感性、容性的概念
1
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
在正弦稳态情况下，口电压相量与口电流相量之比称 策动点阻抗或驱动点阻抗（简称阻抗）
Z ( j)
Um Im
Um Im
e j(u i )
1/ jC
IS
I1
I2
R1
R2 U0
U 01
R2 I 2
R1R2 R1 R2
1 jC
IS
9083.16
u01
2[90sin(t 83.16 )]
11
§8.2 正弦稳态分析(相量法)
②当=10rad/s时
U 02
R2 I 2
R1
R1R2
R2
1 j10C
IS
57639.8
Y ( j)
Im Um
Im Um
e j(i u )
Im Um
i
u
I
Y Y Y cosY j Y sin Y
G jB
U
其中 Y 导纳的模 Y 导纳角，约定 90 剟Y
G 电导，B 电纳。 对同一端口，在同一频率下
90
Y1 Z
jB G
3
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
7
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
阻抗不同于正弦量的复数表示，它不是一个相量，而 是一个复数计算量。
• 对同一端口来说 R 1
G
X1 B
Y1 1
R jX
Z R jX (R jX )(R jX )
第八章 阻抗和导纳
2、由振幅相量求正弦量：
& Um = Um & =I Im m
θ → u(t) = Um cos(ωt + θ)
θ → i(t) = Im cos(ωt + θ)
上 页 下 页
例1
写出下列正弦量对应的振幅相量 1) i1 = −3sin(ωt + 60o ) → 2) i2 = −3cos(ωt + 60 ) →
上 页
下 页
8-6 +
& Um
& Im
阻抗与导纳 +
& Im
+
1 jωC
& Im
R _
& Um
& Um
jωL
_
& Um =R & Im
_
& Um = jωL & Im
& Um 1 = & Im jωC
概括
& Um =Z & Im
+ 阻抗
& Um
& Im
Z
_
上 页 下 页
一、阻 抗 定义： 二端元件(网络) 电压相量与电流相量之比。
第三篇 动态电路的相量分析法 和s域分析法
上 页
下 页
相量分析法：正弦稳态电路 在单一频率正弦电压、电流激励下， 线性非时变渐近稳定电路中各支路电流 和电压，均为与激励同频率的正弦波。 s域分析法：线性非时变动态电路 激励不仅只是正弦波，研究的对象 可以是稳态，也可以是暂态。
上 页
下 页
第八章 阻 抗 与 导 纳
上 页 下 页
例 已知A=6+j8=10∠53.1o ， B=-4.33+j2.5=5∠150o 计算A+B,A-B,A·B,A/B
& Um = Um & =I Im m
θ → u(t) = Um cos(ωt + θ)
θ → i(t) = Im cos(ωt + θ)
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例1
写出下列正弦量对应的振幅相量 1) i1 = −3sin(ωt + 60o ) → 2) i2 = −3cos(ωt + 60 ) →
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8-6 +
& Um
& Im
阻抗与导纳 +
& Im
+
1 jωC
& Im
R _
& Um
& Um
jωL
_
& Um =R & Im
_
& Um = jωL & Im
& Um 1 = & Im jωC
概括
& Um =Z & Im
+ 阻抗
& Um
& Im
Z
_
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一、阻 抗 定义： 二端元件(网络) 电压相量与电流相量之比。
第三篇 动态电路的相量分析法 和s域分析法
上 页
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相量分析法：正弦稳态电路 在单一频率正弦电压、电流激励下， 线性非时变渐近稳定电路中各支路电流 和电压，均为与激励同频率的正弦波。 s域分析法：线性非时变动态电路 激励不仅只是正弦波，研究的对象 可以是稳态，也可以是暂态。
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第八章 阻 抗 与 导 纳
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例 已知A=6+j8=10∠53.1o ， B=-4.33+j2.5=5∠150o 计算A+B,A-B,A·B,A/B
第八章 正弦稳态电路分析
( 3) I m j CU m U m
(6) U L j LI L
di L (7) u C dt
例
解
图示为RC选频网络，试求u1和u0同相位的条 U1 件及 ? 设：Z1=R－jXC, Z2=R//(-jXC)
U1 Z 2 Uo Z1 Z 2 Z1 Z 2 Z1 1 Z2 Z2
i ( t ) 11.18 2 cos( t 10.3 )
0
例2 图示电路，已知：
u1 ( t ) 6 2 cos(t 300 )
u2 ( t ) 4 2 cos(t 600 )
求 u3(t)
+ u1(t) -
u2(t) +
u3 (t )
U 1 6 30 0
A0 ＝I0min=?
（2） Z 2为电阻，I 0max 8 6 14 A （3） Z 2 jX C , I 0min 8 6 2 A
I2
I0
U , I1
8-3 正弦稳态电路的分析--相量模型 413页
相量模型： 是一种运用相量能方便地对正弦稳态电路进行分析、 计算的假想模型；它和原正弦电路有相同的拓扑结构， 但愿电路中各个元件要用阻抗（或导纳）表示，即：
例
解
RL串联电路如图，求在＝106rad/s时的等效并 联电路。 50 RL串联电路的阻抗为：
X L L 106 0.06 103 60
0.06mH
Z R jX L 50 j60 78.150.2 0 Ω 1 1 Y 0.0128 50.20 Z 78.150.20 0.0082 j 0.0098 S 1 1 ' R ' 122Ω G 0.0082 1 ' L 0.102mH 0.0098
(6) U L j LI L
di L (7) u C dt
例
解
图示为RC选频网络，试求u1和u0同相位的条 U1 件及 ? 设：Z1=R－jXC, Z2=R//(-jXC)
U1 Z 2 Uo Z1 Z 2 Z1 Z 2 Z1 1 Z2 Z2
i ( t ) 11.18 2 cos( t 10.3 )
0
例2 图示电路，已知：
u1 ( t ) 6 2 cos(t 300 )
u2 ( t ) 4 2 cos(t 600 )
求 u3(t)
+ u1(t) -
u2(t) +
u3 (t )
U 1 6 30 0
A0 ＝I0min=?
（2） Z 2为电阻，I 0max 8 6 14 A （3） Z 2 jX C , I 0min 8 6 2 A
I2
I0
U , I1
8-3 正弦稳态电路的分析--相量模型 413页
相量模型： 是一种运用相量能方便地对正弦稳态电路进行分析、 计算的假想模型；它和原正弦电路有相同的拓扑结构， 但愿电路中各个元件要用阻抗（或导纳）表示，即：
例
解
RL串联电路如图，求在＝106rad/s时的等效并 联电路。 50 RL串联电路的阻抗为：
X L L 106 0.06 103 60
0.06mH
Z R jX L 50 j60 78.150.2 0 Ω 1 1 Y 0.0128 50.20 Z 78.150.20 0.0082 j 0.0098 S 1 1 ' R ' 122Ω G 0.0082 1 ' L 0.102mH 0.0098
《电路分析基础》第八章：阻抗和导纳
学 YR = 1 / R = G
YC = jω C
YL =
1 =−j 1
jω L
ωL
容纳: BC = ωC
感纳:
BL
=
−1
ωL
信息学院电子系
14
2 单口网络的阻抗和导纳
无源单口网络在正弦稳态时单口端钮的电压相量与电流相
中量之比为输入阻抗，阻抗的倒数为输入导纳
输入阻抗：Z
=
U I
(在关联参考方向下)
信息学院电子系
3
8.3 振幅相量
中1. 正弦稳态电路 国 ¾ 正弦波 u(t)= Umcos(ωt+θu) i(t)= Imcos(ωt+θi)
三特征: 振幅，角频率ω，初相角θ
海 + uR - + uL - iL 洋 iS
u
uS
uL
uR
o
ωt
大 ¾ 正弦稳态电路各电压电流响应与激励均为同频率正弦波。 学 ¾ 对于正弦稳态电路，只需确定初相位和振幅
Imcos(ωt+θi) =－CωUmsin(ωt+θu)
¾ 相量关系 =CωUmcos(ωt+θu+90º)
Re(Ime jωt ) = Re( jωCUme jωt )
Im = jωCUm
I = jωCU
Im∠θi =ωCUm∠(θu +90°)
电容 Im=ωCUm
I=ωCU
+ ... + + ... +
Z1n In Z2n In
= US11 = US22
⎪...
Zii：网孔i自阻抗
Zkj(k≠j)：网孔k与j的互阻抗
阻抗矩阵和导纳矩阵的定义
阻抗矩阵和导纳矩阵的定义阻抗矩阵和导纳矩阵是电路分析中常用的工具，用于描述电路中各个元件之间的关系。
阻抗矩阵描述了电路中各个节点之间的阻抗关系，而导纳矩阵则描述了电路中各个节点之间的导纳关系。
本文将分别介绍阻抗矩阵和导纳矩阵的定义和应用。
一、阻抗矩阵的定义阻抗矩阵是描述电路中各个节点之间的阻抗关系的一种矩阵表示方法。
在电路分析中，将电路中的每个元件看作一个节点，节点之间的连接线看作一个支路。
根据欧姆定律和基尔霍夫定律，可以得到各个节点之间的电流和电压之间的关系。
通过整理这些关系，可以得到一个由节点电压和节点电流表示的方程组。
将这个方程组整理成矩阵形式，就得到了阻抗矩阵。
阻抗矩阵的元素由电路中各个元件的阻抗决定。
对于电路中的每个节点，阻抗矩阵的对角元素表示该节点的自阻抗，非对角元素表示节点之间的互阻抗。
阻抗矩阵是一个对称矩阵，因为互阻抗是相互关联的。
阻抗矩阵的应用非常广泛。
在电路分析中，可以通过求解阻抗矩阵来得到电路中各个节点的电压和电流。
此外，阻抗矩阵还可以用于电路的拓扑分析、电路的稳定性分析等方面。
二、导纳矩阵的定义导纳矩阵是描述电路中各个节点之间的导纳关系的一种矩阵表示方法。
导纳矩阵是阻抗矩阵的逆矩阵，用于描述电路中各个节点之间的导纳关系。
导纳矩阵的元素由电路中各个元件的导纳决定。
导纳矩阵的元素由电路中各个元件的导纳决定。
对于电路中的每个节点，导纳矩阵的对角元素表示该节点的自导纳，非对角元素表示节点之间的互导纳。
导纳矩阵是一个对称矩阵，因为互导纳是相互关联的。
导纳矩阵的应用也非常广泛。
在电路分析中，可以通过求解导纳矩阵来得到电路中各个节点的电压和电流。
此外，导纳矩阵还可以用于电路的拓扑分析、电路的稳定性分析等方面。
三、阻抗矩阵和导纳矩阵的关系阻抗矩阵和导纳矩阵是电路分析中常用的工具，它们之间存在着密切的关系。
阻抗矩阵是导纳矩阵的逆矩阵。
也就是说，如果我们已知一个电路的阻抗矩阵，那么我们可以通过求逆来得到该电路的导纳矩阵。
阻抗和导纳
哈尔滨理工大学 王竹萍
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哈尔滨理工大学 王竹萍
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哈尔滨理工大学 王竹萍
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 Ì
ª Z1 Z2 I + + -+ U1 U 2 U (a)
Zn n+U
+ U -
ª I Z (b)
串联各阻抗上的电压相量为：
Zk U k = Zk I = U，k=1,2,…n ——电压分配公式 Z
2 2
Z =R+jX
一端口内仅含单一元件R、L或 C, 其对应阻抗为： 1 Z R = R, Z L = jωL, Z C = − j ωC
哈尔滨理工大学 王竹萍
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阻抗和导纳
二、一端口内为 R 、 、 C 串联 二、一端口内为 R 、L L 、 C 串联 1 U Iª = R + jω L + = Z + jω C I j ω L R 1 1 U = R + j ωL − jω C ωC = R + j ( X L + X C ) = R + jX 1 XC = − 其中 X=XL+XC ， XL= ωL—感抗， —容抗 ωC Z = Z ∠ϕ Z 1 ωL − X 2 2 ωC Z = R + X ,ϕ Z = arctan = arctan R R 1 1 , Z呈感性， X < 0, ω L < , Z呈容性 当 X > 0, ω L > ωC ωC
4.9.4 阻抗和导纳关系
Z
Y 1=则L R ωj 1+=222222j j R L G B L R L R ωωω=-=+++R L R R G 1222≠+=ω2221L B L R L
ωωω=-≠+j Z R L ω=+若说明：Y 与 Z 等效是在某一频率下求出的，故等效的 Z 或 Y 与频率有关。
阻抗与导纳之间的关系
Y
Z 1=阻抗和导纳
解：GCL 并联电路的导纳为 j[1/()]Y G C L ωω=+-其等效阻抗
11j[1/()]Z Y G C L ωω==+-rad/s
π100π2==f ω361210S j[100π101/(100π1)]S Z --=⨯+⨯-⨯阻抗虚部为正，呈电感性质，等效电感
H 747.0s π)100(2351-≈Ω==ωL
X L (a)
Ω164H 747.0例 3 GCL 并联电路中G =2mS , L =1H , C =1μF 。
试在频率为50Hz 和 400Hz 两种情况下求其串联等效电路的参数。
(164j235)≈+Ω f =50Hz 时 阻抗和导纳 例题
f =400Hz 时 =ωrad/s
π800⨯+⨯-⨯=≈-Ω--Z 1)]
π101/(800π210S j[800(236j250)136阻抗虚部为负，呈电容性质，等效电容为
⨯Ω==≈ωX C C s 250π800F μ1.5911-1F μ1.59236Ω)b (一个实际电路在不同频率下的等效，不仅其电路参数不同，甚至连元件类型也可能发生改变。
这说明经过等效变换求得的等效电路只是在一定频率下才与变换前的电路等效。
阻抗和导纳 例题
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②2 s域模型 →适用于线性动态电路的一般分析
模型变换的数学理论基础: 1 欧拉恒等式 2 拉普拉斯变换
类比 1 、2 两种模型均与电阻模型作类比，从而
得以充分利用熟知的电阻电路分析方法。这 是一种手段，较简便地得到客观存在的动态 电路时域响应。
第八章 阻抗和导纳
8-1
§1 变换方法的概念 §2 相量（解析）法 §3 相量图（解）法
（3） 例题
求 i(t) 5cos(314t 60)A
的(振幅)相量及相量图示。
8-6
解 ： 5cos(314t 60)A 560A +j
注意
即 i(t) Im
相量图（示）如右。
(a) 解中“→”不得写作“=”。
5 60。
5
。
60
0
+1
(b)ω=314rad/s，相量本身并不包含ω这一因素。sss电路 中所有正弦量的ω都是一样的，毋需表明。必要时，可 以把它视为相量以逆时针方向旋转的角速度。
同频率正弦量之和仍为一同频率的正弦量
由此可设想：i1、i2和i3的关系也可用相量表示，即
I1m I2m I3m
i1
检验：20 30 4060 (17.32 j10) (20 j34.64)
37.32 j24.64 44.7233.43 I3m
因此，对sss电路KCL可表为
Ikm 0
第三篇 动态电路的相量分析法和s域分析法
重提基本结构
一个假设→集总模型（电阻电路和动态电路） 两类约束→VCR + KCL、KVL 三大基本方法
1.叠加方法 2.分解方法
模型的化简
3.变换域方法 ---模型的类比(第三篇)
变换与类比
变换
动态电路的时域模型 变 换为
①1 相量模型 →适用于正弦稳态分析
§1 变换方法的概念
8-2
变换方法举例----并不陌生！
求解 x 2.35 5
解： ⑴ 取对数（变换） 2.35 lg x = lg 5 ⑵ 运算（除法） lg x lg 5 0.6989 0.2974 2.35 2.35
⑶答案（反变换） x lg 1 0.2974 1.983
由此例可知： （a）变换方法可使运算简化； （b）与直接求解不同，需经三个步骤； （c）要知道如何“变换”和“反变换”。
i1(t) 20 cost cos 30 20sin t sin 30 i2 (t) 40 cost cos 60 40sin t sin 60
i3 (t) i1(t) i2 (t) 37.32cost 24.6sin t 44.72cos(t 33.43)mA
❖ sss电路的主定理（main theorem） 8-8
(b)复数运算
Uac Uab Ubc 1.93 j4.66 5.04 67.3V
(c) 反变换
5.04 67.3V 5.04cos(t 67.3)V
变换与反变换均极为容易！原来的三角运算→复数的代数运算。
更大的好处还在后面！！！
§2-3 阻抗（impedance）—相量法的核心 8-11
m
② u i （相位关系）
包含①、②两关系
①、②—R在sss电路的特点来自u与i成比例
(b) C
VCR时域形式
8-12
在sss电路中，设 u U m cos(t u )
(c)相量图代替波形图，表明振幅和初相，简便直观！
（4）正弦函数变换为相量的理论根据是欧拉恒等式。
§2-2 KCL、KVL的相量形式
8-7
（1）sss电路的i1
i1 (t) 20 cos(t 30)mA, i2 (t) 40 cos(t 60)mA,
未知量i3可根据KCL求得。
（1）基本元件VCR的相量形式
(a) R
u=Ri
VCR时域形式
在sss电路中，设 i I m cos(t i )
时域特点：
VCR相量形式：
u Ri RI m cos(t i )
U m cos(t u )
u、i同频率正弦波，且
RI m i U m u
即 Um RIm
①
Um
RI
（振幅关系）
(8—13)
(2) 对sss电路KVL可表为
Ukm 0 (8—14)
8-9
(3) 例题 已知 uab 10 cos(t 60)V, ubc 8sin( t 120)V,
求： u ac
解一 uac uab ubc
运用三角方法求解，类似(1)，从略。
解二 运用KVL相量形式， Uac Uab Ubc
§2-1 正弦函数与相量的互换
（1）复数的两种形式
A a1 ja2 直角坐标形式
+j
A ae j a 极坐标形式
a2
A
a
θ
0
a1
+1
例1
解
例2
解
（2）正弦稳态电路的特点
8-4
正弦稳态(sinusoidal steady state，简作sss)电路的 特点—振幅相量的引入
所有电压、电流均为与激励同频率的正弦函数， 因此在sss电路中所有响应与激励仅在振幅、初相方面 有差别。在规定参考方向后，所有响应、激励均可用一 个极坐标形式的复数来表征---模a表明正弦量的振幅；
省略下标m。分三步： (a)、 (b)、 (c)。
(a) 把已知正弦量变换为对应的相量。
8-10
若选定以cos为标准, sin必须先化为cos，即
Asin( t ) A 90
得 uab Uab 1060 (5 j8.66)V ubc Ubc 8120 90 (6.93 j4)V
辐角θ表明正弦量的初相。赋予这一物理意义的复数，
称为表征正弦函数的（振幅）相量。以电压u(t)为例
Um cos(t ) Um Um
Um —称为u(t)的（振幅）相量。
（2）正弦稳态电路的特点(续)
8-5
直流电阻电路中，在规定参考方向后所有 响应、激励均可用一个实数（正数、负数或零） 来表示。实数可以用直线上的点来表示；复数 则要用复平面上的点来表示。故复数可用以表 示物理量的两个“特征”。
§2 相量（解析）法
8-3
相量法可分为解析法和图解法，前者是主要 的，后者只是子方法。基础在于把正弦函数变换 为相量，相量实际上就是一个复数。
§2-1 正弦函数与相量的互换
§2-2 KCL、KVL的相量形式 §2-3 阻抗(impedance)—相量法的核心
§2-4 相量模型（phasor model）
模型变换的数学理论基础: 1 欧拉恒等式 2 拉普拉斯变换
类比 1 、2 两种模型均与电阻模型作类比，从而
得以充分利用熟知的电阻电路分析方法。这 是一种手段，较简便地得到客观存在的动态 电路时域响应。
第八章 阻抗和导纳
8-1
§1 变换方法的概念 §2 相量（解析）法 §3 相量图（解）法
（3） 例题
求 i(t) 5cos(314t 60)A
的(振幅)相量及相量图示。
8-6
解 ： 5cos(314t 60)A 560A +j
注意
即 i(t) Im
相量图（示）如右。
(a) 解中“→”不得写作“=”。
5 60。
5
。
60
0
+1
(b)ω=314rad/s，相量本身并不包含ω这一因素。sss电路 中所有正弦量的ω都是一样的，毋需表明。必要时，可 以把它视为相量以逆时针方向旋转的角速度。
同频率正弦量之和仍为一同频率的正弦量
由此可设想：i1、i2和i3的关系也可用相量表示，即
I1m I2m I3m
i1
检验：20 30 4060 (17.32 j10) (20 j34.64)
37.32 j24.64 44.7233.43 I3m
因此，对sss电路KCL可表为
Ikm 0
第三篇 动态电路的相量分析法和s域分析法
重提基本结构
一个假设→集总模型（电阻电路和动态电路） 两类约束→VCR + KCL、KVL 三大基本方法
1.叠加方法 2.分解方法
模型的化简
3.变换域方法 ---模型的类比(第三篇)
变换与类比
变换
动态电路的时域模型 变 换为
①1 相量模型 →适用于正弦稳态分析
§1 变换方法的概念
8-2
变换方法举例----并不陌生！
求解 x 2.35 5
解： ⑴ 取对数（变换） 2.35 lg x = lg 5 ⑵ 运算（除法） lg x lg 5 0.6989 0.2974 2.35 2.35
⑶答案（反变换） x lg 1 0.2974 1.983
由此例可知： （a）变换方法可使运算简化； （b）与直接求解不同，需经三个步骤； （c）要知道如何“变换”和“反变换”。
i1(t) 20 cost cos 30 20sin t sin 30 i2 (t) 40 cost cos 60 40sin t sin 60
i3 (t) i1(t) i2 (t) 37.32cost 24.6sin t 44.72cos(t 33.43)mA
❖ sss电路的主定理（main theorem） 8-8
(b)复数运算
Uac Uab Ubc 1.93 j4.66 5.04 67.3V
(c) 反变换
5.04 67.3V 5.04cos(t 67.3)V
变换与反变换均极为容易！原来的三角运算→复数的代数运算。
更大的好处还在后面！！！
§2-3 阻抗（impedance）—相量法的核心 8-11
m
② u i （相位关系）
包含①、②两关系
①、②—R在sss电路的特点来自u与i成比例
(b) C
VCR时域形式
8-12
在sss电路中，设 u U m cos(t u )
(c)相量图代替波形图，表明振幅和初相，简便直观！
（4）正弦函数变换为相量的理论根据是欧拉恒等式。
§2-2 KCL、KVL的相量形式
8-7
（1）sss电路的i1
i1 (t) 20 cos(t 30)mA, i2 (t) 40 cos(t 60)mA,
未知量i3可根据KCL求得。
（1）基本元件VCR的相量形式
(a) R
u=Ri
VCR时域形式
在sss电路中，设 i I m cos(t i )
时域特点：
VCR相量形式：
u Ri RI m cos(t i )
U m cos(t u )
u、i同频率正弦波，且
RI m i U m u
即 Um RIm
①
Um
RI
（振幅关系）
(8—13)
(2) 对sss电路KVL可表为
Ukm 0 (8—14)
8-9
(3) 例题 已知 uab 10 cos(t 60)V, ubc 8sin( t 120)V,
求： u ac
解一 uac uab ubc
运用三角方法求解，类似(1)，从略。
解二 运用KVL相量形式， Uac Uab Ubc
§2-1 正弦函数与相量的互换
（1）复数的两种形式
A a1 ja2 直角坐标形式
+j
A ae j a 极坐标形式
a2
A
a
θ
0
a1
+1
例1
解
例2
解
（2）正弦稳态电路的特点
8-4
正弦稳态(sinusoidal steady state，简作sss)电路的 特点—振幅相量的引入
所有电压、电流均为与激励同频率的正弦函数， 因此在sss电路中所有响应与激励仅在振幅、初相方面 有差别。在规定参考方向后，所有响应、激励均可用一 个极坐标形式的复数来表征---模a表明正弦量的振幅；
省略下标m。分三步： (a)、 (b)、 (c)。
(a) 把已知正弦量变换为对应的相量。
8-10
若选定以cos为标准, sin必须先化为cos，即
Asin( t ) A 90
得 uab Uab 1060 (5 j8.66)V ubc Ubc 8120 90 (6.93 j4)V
辐角θ表明正弦量的初相。赋予这一物理意义的复数，
称为表征正弦函数的（振幅）相量。以电压u(t)为例
Um cos(t ) Um Um
Um —称为u(t)的（振幅）相量。
（2）正弦稳态电路的特点(续)
8-5
直流电阻电路中，在规定参考方向后所有 响应、激励均可用一个实数（正数、负数或零） 来表示。实数可以用直线上的点来表示；复数 则要用复平面上的点来表示。故复数可用以表 示物理量的两个“特征”。
§2 相量（解析）法
8-3
相量法可分为解析法和图解法，前者是主要 的，后者只是子方法。基础在于把正弦函数变换 为相量，相量实际上就是一个复数。
§2-1 正弦函数与相量的互换
§2-2 KCL、KVL的相量形式 §2-3 阻抗(impedance)—相量法的核心
§2-4 相量模型（phasor model）