电路分析 第八章阻抗和导纳
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电路分析第8章 阻抗与导纳
t
i1 i2
0
i2 滞后i1
t
i1
i1与i2反相 i2
t
0
0
i2
i1
i1与i2同相
t
i1
i2 i1与i2正交
t
0
0
8.1 变换方法的概念(变换域方法)
正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除了 用三角函数式和正弦波形表示外，还可用相量来表示同 频率的正弦量。 相量表示法就是用复数来表示同频率的正弦量。 相量法是一种用来表示和计算同频率正弦量的数学 工具，应用相量法可以使正弦量的计算变得很简单。
比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即为 正弦量的幅值（或有效值），复数的辐角即为正弦量的初相位。 为与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并用 在大写字母上打一“•”的符号表示。 • 例如 i (t)= Imcos ( t+ ) 的相量为 (最大值相量)
Im=Im = Imej =Im (cos +jsin ) I=I = Iej =I(cos +jsin )
例如：已知两个支路电流
i1= I1 mcos( t+i1)
正弦电量 （时间函数） 变换
正弦量运算
相量 （复数） 相量运算 （复数运算)
i2= I2 mcos( t+i2)
若求：i = i1 + i2
所求正弦量 反变换 相量结果
8.2 复数
+j
由欧拉公式，得出：
j 1
模
cos +jsin =ej
额定电压纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路ir电压与电流同频率同相位电压与电流大小关系urdidt纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路电流超前电压90dudt纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路电压与电流相量式单一参数的交流电路单一参数的交流电路纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路电压与电流相量表达式电压与电流相量式二二纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路三三纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路97vcr相量形式的统一阻抗和导纳的引入电压与电流相量式欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式称为复数阻抗简称阻抗单位为欧姆
i1 i2
0
i2 滞后i1
t
i1
i1与i2反相 i2
t
0
0
i2
i1
i1与i2同相
t
i1
i2 i1与i2正交
t
0
0
8.1 变换方法的概念(变换域方法)
正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除了 用三角函数式和正弦波形表示外，还可用相量来表示同 频率的正弦量。 相量表示法就是用复数来表示同频率的正弦量。 相量法是一种用来表示和计算同频率正弦量的数学 工具，应用相量法可以使正弦量的计算变得很简单。
比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即为 正弦量的幅值（或有效值），复数的辐角即为正弦量的初相位。 为与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并用 在大写字母上打一“•”的符号表示。 • 例如 i (t)= Imcos ( t+ ) 的相量为 (最大值相量)
Im=Im = Imej =Im (cos +jsin ) I=I = Iej =I(cos +jsin )
例如：已知两个支路电流
i1= I1 mcos( t+i1)
正弦电量 （时间函数） 变换
正弦量运算
相量 （复数） 相量运算 （复数运算)
i2= I2 mcos( t+i2)
若求：i = i1 + i2
所求正弦量 反变换 相量结果
8.2 复数
+j
由欧拉公式，得出：
j 1
模
cos +jsin =ej
额定电压纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路ir电压与电流同频率同相位电压与电流大小关系urdidt纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路电流超前电压90dudt纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路电压与电流相量式单一参数的交流电路单一参数的交流电路纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路电压与电流相量表达式电压与电流相量式二二纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路三三纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路97vcr相量形式的统一阻抗和导纳的引入电压与电流相量式欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式称为复数阻抗简称阻抗单位为欧姆
阻抗和导纳
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳) 阻抗和导纳 基本要求：
阻抗、导纳的概念 阻抗角、导纳角的概念 感性、容性的概念
1
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
在正弦稳态情况下，口电压相量与口电流相量之比称 策动点阻抗或驱动点阻抗（简称阻抗）
Z ( j)
Um Im
Um Im
e j(u i )
1/ jC
IS
I1
I2
R1
R2 U0
U 01
R2 I 2
R1R2 R1 R2
1 jC
IS
9083.16
u01
2[90sin(t 83.16 )]
11
§8.2 正弦稳态分析(相量法)
②当=10rad/s时
U 02
R2 I 2
R1
R1R2
R2
1 j10C
IS
57639.8
Y ( j)
Im Um
Im Um
e j(i u )
Im Um
i
u
I
Y Y Y cosY j Y sin Y
G jB
U
其中 Y 导纳的模 Y 导纳角，约定 90 剟Y
G 电导，B 电纳。 对同一端口，在同一频率下
90
Y1 Z
jB G
3
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
7
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
阻抗不同于正弦量的复数表示，它不是一个相量，而 是一个复数计算量。
• 对同一端口来说 R 1
G
X1 B
Y1 1
R jX
Z R jX (R jX )(R jX )
阻抗、导纳的概念 阻抗角、导纳角的概念 感性、容性的概念
1
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
在正弦稳态情况下，口电压相量与口电流相量之比称 策动点阻抗或驱动点阻抗（简称阻抗）
Z ( j)
Um Im
Um Im
e j(u i )
1/ jC
IS
I1
I2
R1
R2 U0
U 01
R2 I 2
R1R2 R1 R2
1 jC
IS
9083.16
u01
2[90sin(t 83.16 )]
11
§8.2 正弦稳态分析(相量法)
②当=10rad/s时
U 02
R2 I 2
R1
R1R2
R2
1 j10C
IS
57639.8
Y ( j)
Im Um
Im Um
e j(i u )
Im Um
i
u
I
Y Y Y cosY j Y sin Y
G jB
U
其中 Y 导纳的模 Y 导纳角，约定 90 剟Y
G 电导，B 电纳。 对同一端口，在同一频率下
90
Y1 Z
jB G
3
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
7
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
阻抗不同于正弦量的复数表示，它不是一个相量，而 是一个复数计算量。
• 对同一端口来说 R 1
G
X1 B
Y1 1
R jX
Z R jX (R jX )(R jX )
导纳角和阻抗角关系
导纳角和阻抗角关系
导纳角和阻抗角是在电路分析中经常涉及的概念。
导纳角是指电路中的元件或者整个电路的导纳所对应的角度，而阻抗角则是指电路中的元件或者整个电路的阻抗所对应的角度。
这两个角度之间存在着一定的关系。
在交流电路中，元件的导纳可以用复数形式表示，即导纳=1/阻抗，而阻抗可以表示为复数形式。
当我们将一个复数表示的导纳或者阻抗转换为极坐标形式时，其幅值对应于电路中的电阻或者导纳的大小，而相角对应于导纳角或者阻抗角。
具体来说，假设一个元件的导纳为Y=|Y|∠θ，对应的阻抗为
Z=|Z|∠φ，那么导纳角θ与阻抗角φ之间的关系可以表示为φ= -θ，也就是说，导纳角和阻抗角之间存在着180度的相位差。
这个关系可以通过复数的运算规则来证明。
当我们将导纳和阻抗表示为复数形式时，导纳可以表示为Y= G + jB，其中G为导纳的实部，B为导纳的虚部。
而阻抗可以表示为Z= R + jX，其中R为阻抗的实部，X为阻抗的虚部。
根据复数的运算规则，导纳与阻抗的关系可以表示为Z=1/Y，即R + jX = 1/(G + jB)。
通过复数的倒
数运算，我们可以得到R = G/(G^2 + B^2)，X = -B/(G^2 + B^2)。
可以看出，阻抗的实部与导纳的实部G有关，而阻抗的虚部与导纳
的虚部B有关，而且存在着负号的关系，这也就是导致导纳角和阻
抗角之间存在180度相位差的原因。
因此，导纳角和阻抗角之间的关系可以总结为，阻抗角等于导
纳角的相反数加上180度。
这个关系在电路分析和设计中具有一定
的重要性，特别是在谐振电路、阻抗匹配等方面的应用中。
8第八章(阻抗和导纳)
+1
i (t ) -5sin( 314t 60° )
的(振幅)相量及相量图。
解 ： (1)振幅相量
+j
o i (t )= -5sin(314t 60 ) o o = 5cos(314t 60 90 ) m =5150 o I
。 5 150 5
。 150 0
+1
(2)相量图
2 s域模型 ②
→适用于线性动态电路的一般分析
模型变换的数学理论基础: 1 欧拉恒等式 2 拉普拉斯 变换。 1 、 2 两种模型均与电阻模型作类比，从而得 类比 以充分利用熟知的电阻电路分析方法。这是一 种手段，较简便地得到客观存在的动态电路时 域响应。
上一章曾求解过简单电路的正弦稳态问题，当时是通过待 定系数法求解微分方程的特解得出答案，即使电路简单，但 也显得麻烦。如果把时间的正弦函数变换为相应的复数(相量) 后，解微分方程特解的问题将可化作解代数方程的问题，且 可运用电阻电路的分析方法来处理正弦稳态分析问题，这就 是本章的主要内容。 本章分为两个部分，第一部分在引入阻抗、导纳的基础上 再引入相量模型，强调类比运用已熟悉的电阻电路的解法， 重点在求解电压、电流的瞬时值；第二部分引入相量图法， 重点在求解电压、电流的有效值和相位。
o o
i3 (t ) i1 (t ) i2 (t ) 37.32 cos wt 24.64 sin wt
24.64 37.32
44.72 cos(wt 33.43 )mA
o
结论：同频率正弦量之和仍为一同频率的正弦量
由此可设想：i1、i2和i3的关系也可用相量表示。
20 30o i1 (t ) I 1m
u(t)属于正弦函数的时域描述，而振幅相量属于复数域描述。 在不引起混淆时可将振幅相量简称为相量。
电路课件第8章阻抗与导纳
阻抗在电子设备中的应用
阻抗在通信系统中的应用
阻抗在音频和视频设备中的应 用
在电力系统中，导纳与阻抗是相互 对应的，用于描述电路中的电学特 性。
导纳的应用
在电力电子领域，导纳的应用也涉 及到开关电源、逆变器等电路的分 析和设计。
添加标题
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导纳的应用主要在于电力系统的分 析和设计，通过计算导纳矩阵，可 以确定电力系统的稳定性和性能。
实验步骤：搭建电路、设置参数、 进行实验、记录数据、分析结果
实验步骤与数据记录
实验目的：研究阻抗与导纳的性质及其影响因素
实验设备：信号发生器、示波器、电阻箱、电容箱、电感箱等
实验步骤：按照电路图连接电路，调整电阻箱、电容箱、电感箱等参数，观察示波器上的波形 变化，记录数据
数据记录：记录不同参数下的波形变化和数据，分析阻抗与导纳的性质及其影响因素
添加标题
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导纳是电导和电感的矢量和
路中的一个重要参数
阻抗与导纳的物理意义
阻抗的物理意义
阻抗是电路中电压与电流 之间的相位差
阻抗是电路中能量的转换 与传输的物理量
阻抗是电路中元件或系统 对电流的阻碍作用
阻抗是电路中元件或系统 对电压的响应
导纳的物理意义
导纳是阻抗的倒数，表示元件在电路中的导电能力 导纳与阻抗的关系是互为倒数，一个元件的导纳等于其阻抗的倒数 导纳是复数形式，包含实部和虚部，实部表示电阻，虚部表示电感和电容 导纳的大小取决于元件的材料、结构、频率等因素
电路PPT课件第8 章阻抗与导纳
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第八章-阻抗和导纳
A(t ) 1A1 ( t ) 2 A 2 (t ) A 1A1 2 A 2
定理三
微分定理
e jt ] 若 A( t ) e [A
则：
Ae j A
e jt ] d Ae jt [ jAe jt ] e [ A e e dt dt d
问题，且可进一步设法运用电阻电路的分析方
法来处理正弦稳态分析问题。
8-2 复数
1、复数的定义:
A a1 ja 2
其中 ： j 1 直角坐标形式 亦称代数形式
2、复数的几何意义——在复平面上的一个点 +j A a2 a1 +1
O
3、复数的另一种几何意义 —— 在复平面上 的一个有向线段。
一、KCL：
i 0 0 I
I 0
或：
m
二、KVL：
u 0 U 0 或：
U
m
0
例 1. i1 i3
已知
i1 3 2 cos t A i2 4 2 cos( t 90 ) A
i2 解：
求 i3
结果： i 3 5 2 cos(t 53.1 ) A
5.用相量法分析正弦稳态电路响应；
6.相量模型的网孔分析法、节点分析法；
7.有效值、有效值相量。
8-1 变换方法的概念
1、变换方法的思路
原来的 问题 变换域中较 容易的问题 原来问题 的解答 变换域中问 题的解答
2、变换方法的三个步骤
1）把原来的问题变换为一个较容易处理的问题； 2）在变换域中求解问题； 3）把变换域中求得的解答反变换为原来问题的 解答。
+j a2
第八章 阻抗和导纳
注意
U=380V 其最大值为 Um311V Um537V
① 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如 设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐 压水平时应按最大值考虑。
②测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读 数一般为有效值。 ③区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的 符号。
j1
j 2
F1 F2 e
jθ1
j(1 2 )
F1 F2 1 2
1
模相乘 角相加
2
F1 | F1 | θ1 | F1 | e | F1 | j( θ θ ) e jθ 2 F2 | F2 | θ2 | F2 | e | F2 | |F1| θ1 θ2 |F2|
三.同频率正弦量的相位差
设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i) 相位差 ：j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i
规定： |j | (180°)
等于初相位之差
j >0， u超前i j 角，或i 滞后 u j 角, (u 比 i 先
.
i(t ) I m cos(wt yi )
2I cos(wt yi )
I m I m y
有效值相量
u (t ) U m cos(w t Ψ ) 2U cos(w t Ψ )
U m U m y 2Uy
有效值相量：
.
U Uy
.
振幅相量与有效值相量的关系：
i、 Im 、 I
u、 Um 、 U
8.2 振幅相量、有效值相量
电路分析第八章阻抗和导纳
+j
(2) 8cos(ωt+135º ); 8∠135º (3) 6cos(ωt-30º ) 相量图为 6∠-30º
8∠135º
+1 6∠-30º
5∠-60º
8-4 相量线性性质和基尔霍夫定律相量形式
(1) KCL 在任一节点，Σi k( t ) = 0 注 意
I km 0
k
在单一频率正弦激励下的线性非时变电路,
8-1 变换方法的概念
基本思路
原来的 问题 直接求解 原来问 题的解 答
变换
反变换
变换域 中较易 的问题
求解
变换域 中问题 的解答
8-3振幅相量
1.正弦稳态电路 正弦波 u(t)= Umcos(ωt+θu) i(t)= Imcos(ωt+θi)
三特征:振幅，角频率ω，初相角θ
������
正弦稳态电路各电压电流响应与激励均为同频率正弦波。 对于正弦稳态电路，只需确定初相位和振幅 变换的思想 正弦量 复数
6.2∠36.20 +1 5∠-900
例8-6 已知：uab=-10cos(ωt+600) V，ubc=8sin(ωt+1200) V 求uac。 解：由于各电压为频率相同有正弦波，且uac=uab+ubc 故其电压相量关系为：Úacm=Úabm+Úbcm 其中：Úabm=10∠600+1800=10∠2400=10∠-1200 V， Úbcm=8∠1200-900=8∠300 V
Ú=RÍ 即:Um∠θu = RIm∠θi Um=RIm, θu= θi
此为电阻元件VCR的相量形式， 表明电压、电流的幅度和相位 关系。
即电阻两端的正弦电压与流过的正弦电流同相
(2) 8cos(ωt+135º ); 8∠135º (3) 6cos(ωt-30º ) 相量图为 6∠-30º
8∠135º
+1 6∠-30º
5∠-60º
8-4 相量线性性质和基尔霍夫定律相量形式
(1) KCL 在任一节点，Σi k( t ) = 0 注 意
I km 0
k
在单一频率正弦激励下的线性非时变电路,
8-1 变换方法的概念
基本思路
原来的 问题 直接求解 原来问 题的解 答
变换
反变换
变换域 中较易 的问题
求解
变换域 中问题 的解答
8-3振幅相量
1.正弦稳态电路 正弦波 u(t)= Umcos(ωt+θu) i(t)= Imcos(ωt+θi)
三特征:振幅，角频率ω，初相角θ
������
正弦稳态电路各电压电流响应与激励均为同频率正弦波。 对于正弦稳态电路，只需确定初相位和振幅 变换的思想 正弦量 复数
6.2∠36.20 +1 5∠-900
例8-6 已知：uab=-10cos(ωt+600) V，ubc=8sin(ωt+1200) V 求uac。 解：由于各电压为频率相同有正弦波，且uac=uab+ubc 故其电压相量关系为：Úacm=Úabm+Úbcm 其中：Úabm=10∠600+1800=10∠2400=10∠-1200 V， Úbcm=8∠1200-900=8∠300 V
Ú=RÍ 即:Um∠θu = RIm∠θi Um=RIm, θu= θi
此为电阻元件VCR的相量形式， 表明电压、电流的幅度和相位 关系。
即电阻两端的正弦电压与流过的正弦电流同相
电路分析第8章阻抗和导纳
一、电阻元件 + u i R
在正弦稳态中：
i u
2 I cos(t i ) 2U cos(t u )
_
u Ri RI 相量形式为： U
R U I
含义： U 即u = RI i 模相等
U RI
u = i
幅角相等
u i t
+j
U
I
含义
I C i jCUC
u CU C
u 90
即
I C CUC
i u 90
j 190
说明： 1）电流超前电压90°；
IC
+j
U C
u
i
t
+1
O 2）电流与ω有关。
O
ω=0，相当于直流激励，电容开路。
三、电感元件 +
uL iL
L
在正弦稳态中 i L 2I L cos(t i )
Y > 0时，称为容性 Y < 0时，称为感性 Y = 0时，称电阻性
1 3.阻抗与导纳的关系: Y Z
1 )直角坐标形式
Z R jX Y G jB
1 1 R jX Y 2 Z R jX R X 2
2)极坐标形式 Z Z Z
Y Y
y
1 Y Z
1、画出电路的相量模型；（正变换）
2、仿照直流电路的分析方法对相量进行 分析运算；
3、把求得的相量变换成对应的正弦函数。 （反变换） 包括： 直接利用两类约束计算、网孔法、节点法、 戴维南定理、叠加定理、等效化简法
三、用相量法（相量解析法）分析简单电路
例1 + us1 _ i + uL _ + us2 _
在正弦稳态中：
i u
2 I cos(t i ) 2U cos(t u )
_
u Ri RI 相量形式为： U
R U I
含义： U 即u = RI i 模相等
U RI
u = i
幅角相等
u i t
+j
U
I
含义
I C i jCUC
u CU C
u 90
即
I C CUC
i u 90
j 190
说明： 1）电流超前电压90°；
IC
+j
U C
u
i
t
+1
O 2）电流与ω有关。
O
ω=0，相当于直流激励，电容开路。
三、电感元件 +
uL iL
L
在正弦稳态中 i L 2I L cos(t i )
Y > 0时，称为容性 Y < 0时，称为感性 Y = 0时，称电阻性
1 3.阻抗与导纳的关系: Y Z
1 )直角坐标形式
Z R jX Y G jB
1 1 R jX Y 2 Z R jX R X 2
2)极坐标形式 Z Z Z
Y Y
y
1 Y Z
1、画出电路的相量模型；（正变换）
2、仿照直流电路的分析方法对相量进行 分析运算；
3、把求得的相量变换成对应的正弦函数。 （反变换） 包括： 直接利用两类约束计算、网孔法、节点法、 戴维南定理、叠加定理、等效化简法
三、用相量法（相量解析法）分析简单电路
例1 + us1 _ i + uL _ + us2 _
第八章_阻抗和导纳
即几个复数相加或相减就是把它们的实部和虚部分别相加减. 即几个复数相加或相减就是把它们的实部和虚部分别相加减.
复数与复平面上的有向线段( 复数与复平面上的有向线段(向 量)对应,复数的加减与表示复数 对应, 的有向线段(向量)的加减相对应, 的有向线段(向量)的加减相对应, 并且复平面上向量的加减可用对应 的复数相加减来计算. 的复数相加减来计算. 图2 向量和与向量差
j 5 sin 48° = 3.35 + j 3.72
j sin 90° = j
5
5 (3) .5∠ 90° = 5.5 cos(90°) + j5.5 sin(90°) = j5.5
第八章 阻抗和导纳
8-2 相量法
正弦量: 正弦量: 随时间按正弦规律变化的电流 或电压或功率等. 或电压或功率等. 正弦稳态电路: 正弦稳态电路: 激励为正弦量, 激励为正弦量,且加入激励的 时间为t=- 时的电路. 时间为t=-∞时的电路. t=
8-3 基尔霍夫定律的相量形式 一,KCL: :
时域: 时域 对于任一集总参数电路,在任一时刻,流出(或流入) 对于任一集总参数电路,在任一时刻,流出(或流入) 任一节点的电流代数和等于零. 任一节点的电流代数和等于零.
k =1 n
n
∑ ik (t ) = 0
k =1
∑
2 I k cos( ω t + ik ) = 0
L
= 2 IωL sin(ωt + i )
= 2 IωL cos(ωt + i + 90°)
= 2U cos(ωt + u )
∴ U= ωL I
I = I∠ i
= jω LI ∠ i
U = jωL I = jX L I
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Zii：网孔自阻抗 Zkj： (k≠j)网孔k与j的互阻抗 Úsii：网孔i中电源电压相量的代 数和，电压升为正。
2. 节点分析法
回顾：电阻电路的节点分析法
G11u1 G12 u2 ... G1( n 1) u( n 1) is11 G u G u ... G 21 1 22 2 2 ( n 1) u( n 1) is 22 ...... G( n 1)1u1 ... G( n 1)( n 1) u( n 1) is ( n 1)( n 1)
相量是与t无关的复值常数，模为正弦波振幅，幅角为初相 相量只能代表正弦波，并不等于正弦波 正弦激励下动态电路中求微分方程特解的方法：相量法
8-11 有效值有效值相量
1. 有效值(effective value) U，I
i(t) I R R
从平均做功能力，这两个电流是等效的
1 T 1 T 2 2 周期电流(压)有效值的定义式: I i ( t ) dt U u ( t ) dt 0 0 T T i (t ) I m cos(t i ) 正弦波的有效值 I I m 0.707I m 2 2. 有效值相量
Z Um Im
. .
或
Z
U I
.
.
正弦稳态下三种元件VCR相量统一形式为：
Úm=Z Í m 电阻阻抗 ZR=R 1 1 j 电容阻抗 Z C jC C 电感阻抗 ZL=jωL 导纳(admittance)：阻抗的倒数，用Y表示，单位西门子S。 Y = 1/ Z = Í /Ú������ (在关联参考方向下) 电阻导纳 YR=1/R=G 电容导纳 YC=jωC 1 1 j 电感导纳 YL jL L
8-1 变换方法的概念
基本思路
原来的 问题 直接求解 原来问 题的解 答
变换
反变换
变换域 中较易 的问题
求解
变换域 中问题 的解答
8-3振幅相量
1.正弦稳态电路 正弦波 u(t)= Umcos(ωt+θu) i(t)= Imcos(ωt+θi)
三特征:振幅，角频率ω，初相角θ
������
正弦稳态电路各电压电流响应与激励均为同频率正弦波。 对于正弦稳态电路，只需确定初相位和振幅 变换的思想 正弦量 复数
故得：Úacm= 10∠-1200 +8∠300
=-5-j8.66+6.93+j4 =1.93-j4.66 =5.04∠-67.50 V
8-5 三种基本元件VCR的相量形式
1. 电阻元件
i R u Í m + R Úm +j Í m Úm θu= θi +1 -
+
-
时域关系 u(t)=R i(t) Umcos(ωt+θu)=R Imcos(ωt+θi) 相量关系 jωt )= Re(R Í e jωt ) Re(Úm e jωt ) = RRe(Í me m 其中：Úm=Um∠θu Í m=Im∠θi 且θu= θi； Úm=RÍ m
Ú=RÍ 即:Um∠θu = RIm∠θi Um=RIm, θu= θi
此为电阻元件VCR的相量形式， 表明电压、电流的幅度和相位 关系。
即电阻两端的正弦电压与流过的正弦电流同相
2. 电容元件
i + Í m + C u C Úm -
时域关系 i ( t ) C
du( t ) dt Imcos(ωt+θi) =－CωUmsin(ωt+θu) =CωUmcos(ωt+θu+90º )
Í m
0 i ( t ) 2 cos( 100 t 30 ) A。 例8-8 流过0.5F电容的电流为 试求电容的电压u(t)，并绘相量图。
用相量关系求解，应注意如下几个步骤 解（a）写出已知正弦量i(t)的相量
I m 2 300 （b）利用相量关系进行运算
.
Im I Um j m 0.02 2 1200 V jC C （c）根据算得的相量写出对应的正弦量 O u(t ) 0.02 2 cos(100t 1200 ) V
6.2∠36.20 +1 5∠-900
例8-6 已知：uab=-10cos(ωt+600) V，ubc=8sin(ωt+1200) V 求uac。 解：由于各电压为频率相同有正弦波，且uac=uab+ubc 故其电压相量关系为：Úacm=Úabm+Úbcm 其中：Úabm=10∠600+1800=10∠2400=10∠-1200 V， Úbcm=8∠1200-900=8∠300 V
Rii：网孔自电阻
Rkj： (k≠j)网孔k与j的互电阻
Usii：网孔i中电源电压升代数和
相量模型的网孔分析法
. . . . Z I 2 ... Z1n I n U s11 11 . 1 Z12 I . . . Z I 1 Z I 2 ... Z I n U s 22 22 2n 21 ...... . . . . Z n1 I 1 Z n 2 I 2 ... Z nn I n U snn
输入阻抗： Z������
U
.
N0ω
R
8-7 相量模型(phasor model)
������
型 ������ 和原电路有相同的拓扑结构，各元件用阻抗或导纳表示 电阻R ⇒ R；电容C ⇒ -j/(ωC)；电感L ⇒ jωL； 电压电流用相量表示，其参考方向仍与原电路相同
������
电路模型N：以R、L、C等参数来表征元件的模型 相量模型Nω：运用相量对正弦电路进行分析计算的假想模
+
+
uL L
-+
uR R
-+
uC
+
+
ÚLm ÚRm
-+
-+
ÚCm
-
ust
-
C i(t)
jωL
R -j/(ωC) Í m
Úsm
-
原电路时域模型N
相量模型Nω
8-8正弦稳态混联电路的分析
相量分析法：以相量模型为分析对象，两类约束相量形式 为基本依据，仿照直流电阻电路的分析方法分析正弦稳态电 路。 （1）时域变频域 时域模型N (原电路图) ⇒ 相量模型Nω （2）频域分析 参考电阻电路分析方法。基于相量阻抗，分 析正弦稳态电路 （3）频域变时域 把相量化为正弦波表示
欧姆定律的相量 形式
由上面分析研究可知，电容电感的阻抗和导纳均为虚数， 即： 故X为： X=Im[Z] Z=jX
称为电抗。
容抗： 感抗： 同理：
1 X C Im[ Z C ] C XL=Im[ZL]=ωL
Y=jB B=Im[Y]
称为电纳。
容纳： 感纳： BC=Im[YC]=ωC
BL Im[YL ] 1 L
第八章 阻抗和导纳
§ 8-1
§ 8-3
变换方法的概念
振幅相量
§8-4
§8-5 §8-6 §8-7 §8-8 §8-9 §8-10 §8-11 §8-12
相量线性性质和基尔霍夫定律相量形式
三种基本元件VCR的相量形式 阻抗和导纳 相量模型(phasor model) 正弦稳态电路的分析 相量模型的网孔分析法和节点分析法 相量模型的等效 有效值有效值相量 两类特殊问题相量图法 本章重点: 阻抗和导纳、 两类约束的 相量形式、 相量法 本章难点： 相量模型
2 单口网络的阻抗和导纳 无源单口网络在正弦稳态时单口端钮的电压相量与电流相 量之比为输入阻抗，阻抗的倒数为输入导纳
U ( u i ) . I I (在关联参考方向下) R jX | Z | . 输入导纳： Y I (在关联参考方向下) . U Í + |Z| Ú X 阻抗三角形 Z -
+j
(2) 8cos(ωt+135º ); 8∠135º (3) 6cos(ωt-30º ) 相量图为 6∠-30º
8∠135º
+1 6∠-30º
5∠-60º
8-4 相量线性性质和基尔霍夫定律相量形式
(1) KCL 在任一节点，Σi k( t ) = 0 注 意
I km 0
k
在单一频率正弦激励下的线性非时变电路,
Gii：节点i自电导 Gkj： (k≠j)节点k与j的互 电导 isii：流入节点i电流源电 流代数和，流入为正
注意：如相邻节点1、2间电导为G1， 则G12=G21=-G1
2. 电感元件
时域关系 u ( t ) L
di( t ) dt
由此根据电路的对偶关系，可得到电感谢 的VCR相量形式：
+j
Ú m= jωLÍm������
Úm
+1
电感元件VCR相量形式
Ú = jωLÍ U m ∠θ u =ωLI m ∠(θi + 90 ° ) U m= ωLIm θ u= θi + 90 ° 电流滞后电压90º
k 1
k
.
k 1
k 1
U km 0
k
正弦稳态电路中基尔霍夫定律可直接用电压电流相量表示。 在相量图中，电流( 电压)的相量和构成闭合多边形。
例8-5 图8-9所示为电路中的一个节点，已知： i1(t)=10cos(ωt+600) A i2(t)=5sin(ωt) A i3 求i3(t)。 i1 解 1、电流i1和i2的振幅相量为：
0 A，Í =5∠-900 A Í = 10∠60 1m 2m
i2
+j 10∠600
2、由KCL的相量形式可得i3的振幅相量： Í 3m=Í 1m+Í 2m= 10∠600 + 5∠-900