第八章阻抗和导纳
乘法：模相乘，角相加。
A1 | A1 | θ 1 | A1 | e | A1 | j( θ 1θ 2 ) e jθ 2 A2 | A2 | θ 2 | A2 | e | A2 | | A1 | θ 1 θ 2 | A2 |
除法：模相除，角相减。
例1. 解
547 10 25 ?
Im 2I
i(t ) Im cos( w t Ψ ) 2I cos( w t Ψ )
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
U
1 2
Um
或
U m 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；
注 （1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设
备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指 的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大 值考虑。
I
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4. 相量法的应用
(1) 同频率正弦量的加减
u1 ( t ) 2 U 1 cos( w t Ψ 1) Re( 2 U 1 e jw t ) u2 ( t ) 2 U 2 cos( w t Ψ 2 ) Re( 2 U 2 e jw t ) jwt u( t ) u1 ( t ) u2 ( t ) Re( 2 U 1 e ) Re( 2 U 2 e jwt )
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
u( t ) 2U cos( w t θ ) U Uθ
例1 已知
i 141.4 cos(314t 30o )A u 311.1cos(3 14t 60o )V
试用相量表示i, u .
解
I 10030o A U 220 60o V
（2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一 般为有效值。 （3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
i , Im , I
U=380V，
Um537V。
8.2 正弦量的相量表示
1. 问题的提出：
电路方程是微分方程： +i u R C L
d uC duC LC RC uC u( t ) dt dt
相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。
w 2 f 2 T
单位： rad/s ，弧度 / 秒 i Im O T 2
(3) 初相位(initial phase angle) y 反映正弦量的计时起点， 常用角度表示。
y /w y
twt
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。 i
一般规定：|y | 。
, e
j
cos( ) j sin( ) 1
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
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3. 正弦量的相量表示
造一个复函数
无物理意义
j( wt )
A(t ) 2Ie
2Icos(wt ) j 2Isin( wt Ψ )
def
T
0
u ( t )dt
2
1 I T
T
0
2 Im cos2 ( w t Ψ ) dt
T
T
0
cos ( w t Ψ ) dt
2
0
1 cos 2(w t Ψ ) 1 dt t 2 2
T 0
1 T 2
1 2 T Im I Im 0.707I m T 2 2
对A(t)取实部：
是一个正弦量 有物理意义
Re[A(t )] 2Icos( w t Ψ ) i(t)
对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数
i 2Icos(w t Ψ) A(t ) 2Ie
A(t)还可以写成
j(w t Ψ)
A(t )
2 Ie e jwt
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5 225.536
(3) 旋转因子： 复数 ej =cos +jsin =1∠ Im
若两个复数实部相等，虚部数值相等，符号相反，称为共轭复数。
A• ej
A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，
8.1 正弦量的基本概念
1. 正弦量
瞬时值表达式： 波形：
i
T O
i(t)=Imcos(w t+y)
正弦量为周期函数
y/w
t
f(t)=f ( t+kT)
周期T (period)和频率f (frequency) : 周期T ：重复变化一次所需的时间。 频率f ：每秒重复变化的次数。
1 f T
单位：s，秒
j ＝ 0， 同相：
u, i u i
0
0 j= /2：
wt
u, i u
i 0
u 领先 i /2, 不说 u 落后 i 3/2； i 落后 u /2, 不说 i 领先 u 3/2。
wt
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
例
计算下列两正弦量的相位差。 解
(1) i1 (t ) 10cos( 100 t 3 4) i2 (t ) 10cos( 100 t 2)
Re( 2 U 1 e
可得其相量关系为：
单位：Hz，赫(兹)
正弦电流电路
激励和响应均为正弦量的电路 （正弦稳态电路）称为正弦电路 或交流电路。
研究正弦电路的意义： （1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重 要的地位。 优点： 1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分 运算后仍是同频率的正弦函数 2）正弦信号容易产生、传送和使用。
j = y u- y i j >0， u超前ij 角，或i 落后u j 角(u 比i先到达最大值)；
u, i u i
yu yi j j <0， i 超前 uj 角，或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。
O
wt
特殊相位关系
j = (180o ) ，反相：
u, i u iw t
0
j 3 4 ( 2) 5 4 0 j 2 5 4 3 4
i2 (t ) 10cos( 100 t 1050 )
j 300 (1050 ) 1350
不能比较相位差
w1 w 2
i2 (t ) 3 cos( 100 t 1500 )
i (t ) 100 cos(103 t
3
3
3
)
t1
当 10 t1 3 有最大值
3
10
3
1.047ms
3. 相位差
规定： |j | (180°)
设 u(t)=Umcos(w u t+y u), i(t)=Imcos(w i t+y i) 则 相位差 ：j = (wu t+y u)- (w i t+y i) 同频率正弦量的相位差等于初相位之差
（2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号 可以分解为按正弦规律变化的分量。
f ( t ) Ak cos(kwt k )
k 1
n
对正弦电路的分析研究具有重要的理论 价值和实际意义。
2. 正弦量的三要素
i(t)=Imcos(w t+y)
(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im 反映正弦量变化幅度的大小。 (2) 角频率(angular frequency)ω
j
两种表示法的关系：
Im b
直角坐标表示 极坐标表示 0
A |A|
A=a+jb A=|A|ej =|A|
| A | a 2 b 2 b θ arctg a
复数运算
a
Re
或
a | A | cosθ b | A | sinθ
Im A2
图解法
(1)加减运算——采用代数形式 若 则
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例2
已 知I 5015 A, f 50Hz.
试写出电流的瞬时值表达式。
解
i 50 2cos(314t 15 ) A
在复平面上用向量表示相量的图
相量图
i(t ) 2 Icos(ω t ) I I
U
u (t ) 2Ucos(w t θ ) U Uθ
直流I
R
交流i
R
W RI T
2
W Ri (t )dt
2 0
T
电流有效 值定义为
1 T 2 I i (t )dt T 0
def
有效值也称均方根值 (root-meen-square)
同样，可定义电压有效值：
正弦电流、电压的有效值 设 i(t)=Imcos(w t+ )
1 U T
j 300 (1500 ) 1200
i2 ( t ) 3 cos( 100 t 30 )
0
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 号，且在主值范围比较。
4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平 均效果工程上采用有效值来表示。 周期电流、电压有效值(effective value)定义 物 理 意 义
547 10 25 (3.41 j 3.657) (9.063 j4.226)
12.47 j 0.569 12.48 2.61
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A1 | A1 | θ 1 | A1 | e | A1 | j( θ 1θ 2 ) e jθ 2 A2 | A2 | θ 2 | A2 | e | A2 | | A1 | θ 1 θ 2 | A2 |
除法：模相除，角相减。
例1. 解
547 10 25 ?
Im 2I
i(t ) Im cos( w t Ψ ) 2I cos( w t Ψ )
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
U
1 2
Um
或
U m 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；
注 （1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设
备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指 的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大 值考虑。
I
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4. 相量法的应用
(1) 同频率正弦量的加减
u1 ( t ) 2 U 1 cos( w t Ψ 1) Re( 2 U 1 e jw t ) u2 ( t ) 2 U 2 cos( w t Ψ 2 ) Re( 2 U 2 e jw t ) jwt u( t ) u1 ( t ) u2 ( t ) Re( 2 U 1 e ) Re( 2 U 2 e jwt )
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
u( t ) 2U cos( w t θ ) U Uθ
例1 已知
i 141.4 cos(314t 30o )A u 311.1cos(3 14t 60o )V
试用相量表示i, u .
解
I 10030o A U 220 60o V
（2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一 般为有效值。 （3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
i , Im , I
U=380V，
Um537V。
8.2 正弦量的相量表示
1. 问题的提出：
电路方程是微分方程： +i u R C L
d uC duC LC RC uC u( t ) dt dt
相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。
w 2 f 2 T
单位： rad/s ，弧度 / 秒 i Im O T 2
(3) 初相位(initial phase angle) y 反映正弦量的计时起点， 常用角度表示。
y /w y
twt
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。 i
一般规定：|y | 。
, e
j
cos( ) j sin( ) 1
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
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3. 正弦量的相量表示
造一个复函数
无物理意义
j( wt )
A(t ) 2Ie
2Icos(wt ) j 2Isin( wt Ψ )
def
T
0
u ( t )dt
2
1 I T
T
0
2 Im cos2 ( w t Ψ ) dt
T
T
0
cos ( w t Ψ ) dt
2
0
1 cos 2(w t Ψ ) 1 dt t 2 2
T 0
1 T 2
1 2 T Im I Im 0.707I m T 2 2
对A(t)取实部：
是一个正弦量 有物理意义
Re[A(t )] 2Icos( w t Ψ ) i(t)
对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数
i 2Icos(w t Ψ) A(t ) 2Ie
A(t)还可以写成
j(w t Ψ)
A(t )
2 Ie e jwt
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5 225.536
(3) 旋转因子： 复数 ej =cos +jsin =1∠ Im
若两个复数实部相等，虚部数值相等，符号相反，称为共轭复数。
A• ej
A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，
8.1 正弦量的基本概念
1. 正弦量
瞬时值表达式： 波形：
i
T O
i(t)=Imcos(w t+y)
正弦量为周期函数
y/w
t
f(t)=f ( t+kT)
周期T (period)和频率f (frequency) : 周期T ：重复变化一次所需的时间。 频率f ：每秒重复变化的次数。
1 f T
单位：s，秒
j ＝ 0， 同相：
u, i u i
0
0 j= /2：
wt
u, i u
i 0
u 领先 i /2, 不说 u 落后 i 3/2； i 落后 u /2, 不说 i 领先 u 3/2。
wt
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
例
计算下列两正弦量的相位差。 解
(1) i1 (t ) 10cos( 100 t 3 4) i2 (t ) 10cos( 100 t 2)
Re( 2 U 1 e
可得其相量关系为：
单位：Hz，赫(兹)
正弦电流电路
激励和响应均为正弦量的电路 （正弦稳态电路）称为正弦电路 或交流电路。
研究正弦电路的意义： （1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重 要的地位。 优点： 1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分 运算后仍是同频率的正弦函数 2）正弦信号容易产生、传送和使用。
j = y u- y i j >0， u超前ij 角，或i 落后u j 角(u 比i先到达最大值)；
u, i u i
yu yi j j <0， i 超前 uj 角，或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。
O
wt
特殊相位关系
j = (180o ) ，反相：
u, i u iw t
0
j 3 4 ( 2) 5 4 0 j 2 5 4 3 4
i2 (t ) 10cos( 100 t 1050 )
j 300 (1050 ) 1350
不能比较相位差
w1 w 2
i2 (t ) 3 cos( 100 t 1500 )
i (t ) 100 cos(103 t
3
3
3
)
t1
当 10 t1 3 有最大值
3
10
3
1.047ms
3. 相位差
规定： |j | (180°)
设 u(t)=Umcos(w u t+y u), i(t)=Imcos(w i t+y i) 则 相位差 ：j = (wu t+y u)- (w i t+y i) 同频率正弦量的相位差等于初相位之差
（2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号 可以分解为按正弦规律变化的分量。
f ( t ) Ak cos(kwt k )
k 1
n
对正弦电路的分析研究具有重要的理论 价值和实际意义。
2. 正弦量的三要素
i(t)=Imcos(w t+y)
(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im 反映正弦量变化幅度的大小。 (2) 角频率(angular frequency)ω
j
两种表示法的关系：
Im b
直角坐标表示 极坐标表示 0
A |A|
A=a+jb A=|A|ej =|A|
| A | a 2 b 2 b θ arctg a
复数运算
a
Re
或
a | A | cosθ b | A | sinθ
Im A2
图解法
(1)加减运算——采用代数形式 若 则
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例2
已 知I 5015 A, f 50Hz.
试写出电流的瞬时值表达式。
解
i 50 2cos(314t 15 ) A
在复平面上用向量表示相量的图
相量图
i(t ) 2 Icos(ω t ) I I
U
u (t ) 2Ucos(w t θ ) U Uθ
直流I
R
交流i
R
W RI T
2
W Ri (t )dt
2 0
T
电流有效 值定义为
1 T 2 I i (t )dt T 0
def
有效值也称均方根值 (root-meen-square)
同样，可定义电压有效值：
正弦电流、电压的有效值 设 i(t)=Imcos(w t+ )
1 U T
j 300 (1500 ) 1200
i2 ( t ) 3 cos( 100 t 30 )
0
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 号，且在主值范围比较。
4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平 均效果工程上采用有效值来表示。 周期电流、电压有效值(effective value)定义 物 理 意 义
547 10 25 (3.41 j 3.657) (9.063 j4.226)
12.47 j 0.569 12.48 2.61
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电路分析第8章 阻抗与导纳
t
i1 i2
0
i2 滞后i1
t
i1
i1与i2反相 i2
t
0
0
i2
i1
i1与i2同相
t
i1
i2 i1与i2正交
t
0
0
8.1 变换方法的概念(变换域方法)
正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除了 用三角函数式和正弦波形表示外，还可用相量来表示同 频率的正弦量。 相量表示法就是用复数来表示同频率的正弦量。 相量法是一种用来表示和计算同频率正弦量的数学 工具，应用相量法可以使正弦量的计算变得很简单。
比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即为 正弦量的幅值（或有效值），复数的辐角即为正弦量的初相位。 为与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并用 在大写字母上打一“•”的符号表示。 • 例如 i (t)= Imcos ( t+ ) 的相量为 (最大值相量)
Im=Im = Imej =Im (cos +jsin ) I=I = Iej =I(cos +jsin )
例如：已知两个支路电流
i1= I1 mcos( t+i1)
正弦电量 （时间函数） 变换
正弦量运算
相量 （复数） 相量运算 （复数运算)
i2= I2 mcos( t+i2)
若求：i = i1 + i2
所求正弦量 反变换 相量结果
8.2 复数
+j
由欧拉公式，得出：
j 1
模
cos +jsin =ej
额定电压纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路ir电压与电流同频率同相位电压与电流大小关系urdidt纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路电流超前电压90dudt纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路电压与电流相量式单一参数的交流电路单一参数的交流电路纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路电压与电流相量表达式电压与电流相量式二二纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路三三纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路97vcr相量形式的统一阻抗和导纳的引入电压与电流相量式欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式称为复数阻抗简称阻抗单位为欧姆
i1 i2
0
i2 滞后i1
t
i1
i1与i2反相 i2
t
0
0
i2
i1
i1与i2同相
t
i1
i2 i1与i2正交
t
0
0
8.1 变换方法的概念(变换域方法)
正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除了 用三角函数式和正弦波形表示外，还可用相量来表示同 频率的正弦量。 相量表示法就是用复数来表示同频率的正弦量。 相量法是一种用来表示和计算同频率正弦量的数学 工具，应用相量法可以使正弦量的计算变得很简单。
比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即为 正弦量的幅值（或有效值），复数的辐角即为正弦量的初相位。 为与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并用 在大写字母上打一“•”的符号表示。 • 例如 i (t)= Imcos ( t+ ) 的相量为 (最大值相量)
Im=Im = Imej =Im (cos +jsin ) I=I = Iej =I(cos +jsin )
例如：已知两个支路电流
i1= I1 mcos( t+i1)
正弦电量 （时间函数） 变换
正弦量运算
相量 （复数） 相量运算 （复数运算)
i2= I2 mcos( t+i2)
若求：i = i1 + i2
所求正弦量 反变换 相量结果
8.2 复数
+j
由欧拉公式，得出：
j 1
模
cos +jsin =ej
额定电压纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路ir电压与电流同频率同相位电压与电流大小关系urdidt纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路电流超前电压90dudt纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路电压与电流相量式单一参数的交流电路单一参数的交流电路纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路电压与电流相量表达式电压与电流相量式二二纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路三三纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路97vcr相量形式的统一阻抗和导纳的引入电压与电流相量式欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式称为复数阻抗简称阻抗单位为欧姆
阻抗和导纳
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳) 阻抗和导纳 基本要求：
阻抗、导纳的概念 阻抗角、导纳角的概念 感性、容性的概念
1
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
在正弦稳态情况下，口电压相量与口电流相量之比称 策动点阻抗或驱动点阻抗（简称阻抗）
Z ( j)
Um Im
Um Im
e j(u i )
1/ jC
IS
I1
I2
R1
R2 U0
U 01
R2 I 2
R1R2 R1 R2
1 jC
IS
9083.16
u01
2[90sin(t 83.16 )]
11
§8.2 正弦稳态分析(相量法)
②当=10rad/s时
U 02
R2 I 2
R1
R1R2
R2
1 j10C
IS
57639.8
Y ( j)
Im Um
Im Um
e j(i u )
Im Um
i
u
I
Y Y Y cosY j Y sin Y
G jB
U
其中 Y 导纳的模 Y 导纳角，约定 90 剟Y
G 电导，B 电纳。 对同一端口，在同一频率下
90
Y1 Z
jB G
3
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
7
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
阻抗不同于正弦量的复数表示，它不是一个相量，而 是一个复数计算量。
• 对同一端口来说 R 1
G
X1 B
Y1 1
R jX
Z R jX (R jX )(R jX )
阻抗、导纳的概念 阻抗角、导纳角的概念 感性、容性的概念
1
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
在正弦稳态情况下，口电压相量与口电流相量之比称 策动点阻抗或驱动点阻抗（简称阻抗）
Z ( j)
Um Im
Um Im
e j(u i )
1/ jC
IS
I1
I2
R1
R2 U0
U 01
R2 I 2
R1R2 R1 R2
1 jC
IS
9083.16
u01
2[90sin(t 83.16 )]
11
§8.2 正弦稳态分析(相量法)
②当=10rad/s时
U 02
R2 I 2
R1
R1R2
R2
1 j10C
IS
57639.8
Y ( j)
Im Um
Im Um
e j(i u )
Im Um
i
u
I
Y Y Y cosY j Y sin Y
G jB
U
其中 Y 导纳的模 Y 导纳角，约定 90 剟Y
G 电导，B 电纳。 对同一端口，在同一频率下
90
Y1 Z
jB G
3
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
7
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
阻抗不同于正弦量的复数表示，它不是一个相量，而 是一个复数计算量。
• 对同一端口来说 R 1
G
X1 B
Y1 1
R jX
Z R jX (R jX )(R jX )
第8章+阻抗和导纳
一、电阻元件VCR的相量形式 .. 电阻元件VCR的相量形式 VCR i(t) +
u(t )
电路分析基础
元 件
u = Ri 时域形式 Um cos(ωt +ψ u ) = RIm cos(ωt +ψ i )
相量形式 Um∠ψ u = RIm∠ψ i
_
即 振幅关系 相位关系
P18 例8-7 .
Um = R I m Um = RIm ψ u =ψ i
& = 1 I = −j 1 I & & Um 或 m jωC ωC m 1 Um = Im 振幅关系 ωC ψ u =ψ i − 900 相位关系
（电容的电压滞后电流900） 电容的电压滞后电流
+j
电路分析基础
+
& Um
& I1m
600 －1200
+1
& I3m
& I 2m = 10∠ 0 A 150
（3） i 3 ( t ) = − 4 cos( 314 t + 60 0 ) A
相量图
& I 3m = −4∠600 A = 4∠ − 1200 A
第八章 阻抗和导纳
§8-3 振幅相量
例 8-3 .
P11
电路分析基础
§8-4 相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式 将相量法推广到K个同频率正弦量相加情况： 将相量法推广到 个同频率正弦量相加情况： 个同频率正弦量相加情况 & 设 u1 (t ) = U1m cos(ωt +ψ1 ) U1m = U1m∠ψ1 & u2 (t) = U2m cos(ωt +ψ 2 ) U2m = U2m∠ψ 2
u(t )
电路分析基础
元 件
u = Ri 时域形式 Um cos(ωt +ψ u ) = RIm cos(ωt +ψ i )
相量形式 Um∠ψ u = RIm∠ψ i
_
即 振幅关系 相位关系
P18 例8-7 .
Um = R I m Um = RIm ψ u =ψ i
& = 1 I = −j 1 I & & Um 或 m jωC ωC m 1 Um = Im 振幅关系 ωC ψ u =ψ i − 900 相位关系
（电容的电压滞后电流900） 电容的电压滞后电流
+j
电路分析基础
+
& Um
& I1m
600 －1200
+1
& I3m
& I 2m = 10∠ 0 A 150
（3） i 3 ( t ) = − 4 cos( 314 t + 60 0 ) A
相量图
& I 3m = −4∠600 A = 4∠ − 1200 A
第八章 阻抗和导纳
§8-3 振幅相量
例 8-3 .
P11
电路分析基础
§8-4 相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式 将相量法推广到K个同频率正弦量相加情况： 将相量法推广到 个同频率正弦量相加情况： 个同频率正弦量相加情况 & 设 u1 (t ) = U1m cos(ωt +ψ1 ) U1m = U1m∠ψ1 & u2 (t) = U2m cos(ωt +ψ 2 ) U2m = U2m∠ψ 2
第八章 阻抗和导纳(a)
2
重点： 重点： 1. 电路定理的相量形式 2. 阻抗和导纳 3. 正弦稳态电路的分析
3
返 回
§8.1 变换方法的概念
数学中通过 对数对数-反对数 变换， 变换，实现 通过加法运 算完成乘法 运算， 运算，就是 一种变换。 一种变换。
4
§8.1 变换方法的概念
变换方法三部曲： 变换方法三部曲： 变换—变换域中求解 变换域中求解—反变换 变换 变换域中求解 反变换
F = F ejθ1 1 1
F = F ejθ2 2 2
F j(θ1− 2 ) F θ 1 = 1 e F F 2 2
FF = F F e 1 2 1 2
或简写成
j(θ1+ 2 ) θ
F=F 1 1
F =F 2 2
FF = F F 1 2 1 2
F F 1 1 = F F 2 2
10
复数与旋转因子
利用相量线 性性质得
& & Um = RIm
& Im =G &m U
Um = R m I
同 相 位
& UR
ϕu =ϕi
& I
φu=φi
22
2. 电容
时域
duC iC = C dt duC d iC =C =C [Um cos(ω +ϕu )] t dt dt = −C Um sin ω +ϕu ) =ω m cos(ω +ϕu +90o) ω ( t CU t
u(t) =Um cos(ωt +ϕu )
式中的 Um、ω 和
ϕu 称为正弦量的三要素。 称为正弦量的三要素。
16
振幅
的极值。 的极值。
重点： 重点： 1. 电路定理的相量形式 2. 阻抗和导纳 3. 正弦稳态电路的分析
3
返 回
§8.1 变换方法的概念
数学中通过 对数对数-反对数 变换， 变换，实现 通过加法运 算完成乘法 运算， 运算，就是 一种变换。 一种变换。
4
§8.1 变换方法的概念
变换方法三部曲： 变换方法三部曲： 变换—变换域中求解 变换域中求解—反变换 变换 变换域中求解 反变换
F = F ejθ1 1 1
F = F ejθ2 2 2
F j(θ1− 2 ) F θ 1 = 1 e F F 2 2
FF = F F e 1 2 1 2
或简写成
j(θ1+ 2 ) θ
F=F 1 1
F =F 2 2
FF = F F 1 2 1 2
F F 1 1 = F F 2 2
10
复数与旋转因子
利用相量线 性性质得
& & Um = RIm
& Im =G &m U
Um = R m I
同 相 位
& UR
ϕu =ϕi
& I
φu=φi
22
2. 电容
时域
duC iC = C dt duC d iC =C =C [Um cos(ω +ϕu )] t dt dt = −C Um sin ω +ϕu ) =ω m cos(ω +ϕu +90o) ω ( t CU t
u(t) =Um cos(ωt +ϕu )
式中的 Um、ω 和
ϕu 称为正弦量的三要素。 称为正弦量的三要素。
16
振幅
的极值。 的极值。
《电路分析基础》第八章：阻抗和导纳
学 YR = 1 / R = G
YC = jω C
YL =
1 =−j 1
jω L
ωL
容纳: BC = ωC
感纳:
BL
=
−1
ωL
信息学院电子系
14
2 单口网络的阻抗和导纳
无源单口网络在正弦稳态时单口端钮的电压相量与电流相
中量之比为输入阻抗，阻抗的倒数为输入导纳
输入阻抗：Z
=
U I
(在关联参考方向下)
信息学院电子系
3
8.3 振幅相量
中1. 正弦稳态电路 国 ¾ 正弦波 u(t)= Umcos(ωt+θu) i(t)= Imcos(ωt+θi)
三特征: 振幅，角频率ω，初相角θ
海 + uR - + uL - iL 洋 iS
u
uS
uL
uR
o
ωt
大 ¾ 正弦稳态电路各电压电流响应与激励均为同频率正弦波。 学 ¾ 对于正弦稳态电路，只需确定初相位和振幅
Imcos(ωt+θi) =－CωUmsin(ωt+θu)
¾ 相量关系 =CωUmcos(ωt+θu+90º)
Re(Ime jωt ) = Re( jωCUme jωt )
Im = jωCUm
I = jωCU
Im∠θi =ωCUm∠(θu +90°)
电容 Im=ωCUm
I=ωCU
+ ... + + ... +
Z1n In Z2n In
= US11 = US22
⎪...
Zii：网孔i自阻抗
Zkj(k≠j)：网孔k与j的互阻抗
8第八章(阻抗和导纳)
+1
i (t ) -5sin( 314t 60° )
的(振幅)相量及相量图。
解 ： (1)振幅相量
+j
o i (t )= -5sin(314t 60 ) o o = 5cos(314t 60 90 ) m =5150 o I
。 5 150 5
。 150 0
+1
(2)相量图
2 s域模型 ②
→适用于线性动态电路的一般分析
模型变换的数学理论基础: 1 欧拉恒等式 2 拉普拉斯 变换。 1 、 2 两种模型均与电阻模型作类比，从而得 类比 以充分利用熟知的电阻电路分析方法。这是一 种手段，较简便地得到客观存在的动态电路时 域响应。
上一章曾求解过简单电路的正弦稳态问题，当时是通过待 定系数法求解微分方程的特解得出答案，即使电路简单，但 也显得麻烦。如果把时间的正弦函数变换为相应的复数(相量) 后，解微分方程特解的问题将可化作解代数方程的问题，且 可运用电阻电路的分析方法来处理正弦稳态分析问题，这就 是本章的主要内容。 本章分为两个部分，第一部分在引入阻抗、导纳的基础上 再引入相量模型，强调类比运用已熟悉的电阻电路的解法， 重点在求解电压、电流的瞬时值；第二部分引入相量图法， 重点在求解电压、电流的有效值和相位。
o o
i3 (t ) i1 (t ) i2 (t ) 37.32 cos wt 24.64 sin wt
24.64 37.32
44.72 cos(wt 33.43 )mA
o
结论：同频率正弦量之和仍为一同频率的正弦量
由此可设想：i1、i2和i3的关系也可用相量表示。
20 30o i1 (t ) I 1m
u(t)属于正弦函数的时域描述，而振幅相量属于复数域描述。 在不引起混淆时可将振幅相量简称为相量。
电路课件第8章阻抗与导纳
阻抗在电子设备中的应用
阻抗在通信系统中的应用
阻抗在音频和视频设备中的应 用
在电力系统中，导纳与阻抗是相互 对应的，用于描述电路中的电学特 性。
导纳的应用
在电力电子领域，导纳的应用也涉 及到开关电源、逆变器等电路的分 析和设计。
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导纳的应用主要在于电力系统的分 析和设计，通过计算导纳矩阵，可 以确定电力系统的稳定性和性能。
实验步骤：搭建电路、设置参数、 进行实验、记录数据、分析结果
实验步骤与数据记录
实验目的：研究阻抗与导纳的性质及其影响因素
实验设备：信号发生器、示波器、电阻箱、电容箱、电感箱等
实验步骤：按照电路图连接电路，调整电阻箱、电容箱、电感箱等参数，观察示波器上的波形 变化，记录数据
数据记录：记录不同参数下的波形变化和数据，分析阻抗与导纳的性质及其影响因素
添加标题
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导纳是电导和电感的矢量和
路中的一个重要参数
阻抗与导纳的物理意义
阻抗的物理意义
阻抗是电路中电压与电流 之间的相位差
阻抗是电路中能量的转换 与传输的物理量
阻抗是电路中元件或系统 对电流的阻碍作用
阻抗是电路中元件或系统 对电压的响应
导纳的物理意义
导纳是阻抗的倒数，表示元件在电路中的导电能力 导纳与阻抗的关系是互为倒数，一个元件的导纳等于其阻抗的倒数 导纳是复数形式，包含实部和虚部，实部表示电阻，虚部表示电感和电容 导纳的大小取决于元件的材料、结构、频率等因素
电路PPT课件第8 章阻抗与导纳
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第八章 阻抗和导纳
一、有效值 二、有效值相量
有效值： 无论是交流电，还是直流电，通过电阻时都要消耗能量。如果在相同的时间里，同等条件下，消耗的能量相等，那么我们就可以用直流电的数值来表征周期电流的大小，并把它定义为有效值。
注：1.所涉及的正弦量为同频率，同函数； 2. 有效值不满足基尔霍夫定律。
§8-5 三种基本电路元件伏 安关系的相量形式 The phasor pattern of Three Basic circuit elements VCR
电阻
电阻元件伏安关系的相量形式
电容元件伏安关系的相量形式
u
i
电感元件伏安关系的相量形式
i(t)
u(t)
第八章 总结
一、线性性质 二、基尔霍夫定律的相量形式
§9-2 基尔霍夫定律的相量形式
一、线性性质： 表示若干个同频率正弦量(可带有实系数)线性组合的相量等于表示各个正弦量的相量的同一线性组合。
KCL相量形式
KVL相量形式二、基尔霍来自定律的相量形式说明：1.同频率，同函数； 2.振幅不满足KCL 、KVL。
解：
作业
相量法 应用相量法计算正弦稳态电路的步骤： 第一步 画出相量模型； 第二步 解复变量的代数方程； 第三步 把所得结果相量还原为正弦函数。 相量图法 一般相量图的画法： 通常是从最复杂的电路部分人手，遇到并联支路就以支路电压为局部参考相量画电流的相量图；遇到串联支路就以支路的电流为局部参考相量画电压的相量图，同时作相量的加减运算，最后得到总的相量图。
§8-9 相量模型的等效 The equivalent of the phasor model
一、由串联 →并联，已知: Z = R+jX，求 Y
二、由并联 →串联，已知: Y = G+jB，求 Z
有效值： 无论是交流电，还是直流电，通过电阻时都要消耗能量。如果在相同的时间里，同等条件下，消耗的能量相等，那么我们就可以用直流电的数值来表征周期电流的大小，并把它定义为有效值。
注：1.所涉及的正弦量为同频率，同函数； 2. 有效值不满足基尔霍夫定律。
§8-5 三种基本电路元件伏 安关系的相量形式 The phasor pattern of Three Basic circuit elements VCR
电阻
电阻元件伏安关系的相量形式
电容元件伏安关系的相量形式
u
i
电感元件伏安关系的相量形式
i(t)
u(t)
第八章 总结
一、线性性质 二、基尔霍夫定律的相量形式
§9-2 基尔霍夫定律的相量形式
一、线性性质： 表示若干个同频率正弦量(可带有实系数)线性组合的相量等于表示各个正弦量的相量的同一线性组合。
KCL相量形式
KVL相量形式二、基尔霍来自定律的相量形式说明：1.同频率，同函数； 2.振幅不满足KCL 、KVL。
解：
作业
相量法 应用相量法计算正弦稳态电路的步骤： 第一步 画出相量模型； 第二步 解复变量的代数方程； 第三步 把所得结果相量还原为正弦函数。 相量图法 一般相量图的画法： 通常是从最复杂的电路部分人手，遇到并联支路就以支路电压为局部参考相量画电流的相量图；遇到串联支路就以支路的电流为局部参考相量画电压的相量图，同时作相量的加减运算，最后得到总的相量图。
§8-9 相量模型的等效 The equivalent of the phasor model
一、由串联 →并联，已知: Z = R+jX，求 Y
二、由并联 →串联，已知: Y = G+jB，求 Z
第8章 阻抗和导纳
f 50Hz
求：U和t=0.1秒时的瞬时值 解：
U m 310 U 220V 2 2
u Um cos 2 ft 310cos(100 0.1)
1V
例2 已知正弦电压源的频率为50Hz，初相为π/6弧度， 由交流电压表测得电源开路电压为220V。求该电源电 压的振幅、角频率，并写出其瞬时值表达式。
300 (1500 ) 1200
i2 ( t ) 3 cos( 100 t 30 )
0
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 号，且在主值范围比较。
4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其 平均效果工程上采用有效值来表示。 物 理 意 义 周期电流、电压有效值(effective value)定义
A |A|
A=a+jb A=|A|ej =|A|
| A | a 2 b 2 b θ arctg a
复数运算
a Re
或
a | A | cosθ b | A | sinθ
图解法
(1)加减运算——采用代数形式 若 则
A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
例
计算下列两正弦量的相位差。 解
(1) i1 (t ) 10cos( t 3 4) 100 i2 (t ) 10cos( t 2) 100
( 2) i1 ( t ) 10 cos( 100 t 30 0 ) i2 ( t ) 10 sin(100 t 15 0 ) ( 3) u1 ( t ) 10 cos( 100 t 30 0 ) u2 ( t ) 10 cos( 200 t 45 0 ) (4) i1 ( t ) 5 cos( 100 t 30 )
阻抗与导纳
Z12 Z 23 Z2 Z12 Z 23 Z 31
Z 23 Z 31 Z3 Z12 Z 23 Z 31
使用以上公式时注意以下几点：
熟记基本元件的阻抗和导纳。 同一元件或同一端口的阻抗和导纳互为倒数。
一般来讲，以上各公式中的阻抗和导纳用各 自的模表示时，各等式不成立。 例： Z Z1 Z 2 Z 3 Z n 和电阻电路中的分压、分流公式相同，在使 用时，要注意符号与参考方向的关系。
o
C
注意： U U U U R L C
例2 如图所示电路。已知R1=3、 R2=8， o u 220 2 sin( 314 t 10 )V XC=6 、XL=4 ， 求：各支路电流及总电流的瞬时值表达式。 I i 解: U 22010 o V
Z1 R1 jX L 3 j4 Z 2 R2 jX c 8 j6
3
Z R j( X L X C ) 30 j(79.8 - 39.8)
(30 j40) 5053.1o
22020o U o I 4.4 33 . 1 A o Z 5053
u R – + u u L – + u – C –
R L C
+ i1 u
。
2 1 I I
R1
XL
i2
R2
Xc
+
U
R1
R2
22010o 22010o U – – 1 I Z1 3 j4 553o 44 43 o A 相量模型 o o U 220 10 220 10 o 2 I 22 47 A o Z2 8 j6 10 37 o i 44 2 sin( 314 t 43 )A 1 o o I 1 I 2 44 43 2247 A I o