第八章(阻抗和导纳).
阻抗与导纳
X L = ωL = 314 × 254 × 10 = 79.8Ω 1 1 XC = = = 39.8Ω −6 ωC 314 × 80 × 10
−3
Z = R + j( X L − X C ) = 30 + j(79.8 - 39.8)
= ( 30 + j40) = 50∠53.1o Ω
ɺ U 220∠20o ɺ I= = = 4.4∠ − 33.1o A Z 50 ∠53o
1 Z= Y
或
1 Y= Z
1、极坐标形式Z、Y之间的等效互换 、极坐标形式 、 之间的等效互换 形式 1 Z= 1 Y 即： ϕ 若 Z = Z ∠ϕ 则 Z∠ = Y∠ ′ ϕ ϕ = −ϕ′ 2、直角坐标形式Z、Y间的等效互换 、直角坐标形式 、 间的等效互换 形式 (1) 已知 Z=R+jX
1 则 Y = =G+ jB ： Z
2
2
Z
ϕ
X
R
阻抗三角形
ɺ U ∵ = Z ɺ I ɺ U ɺ ∴ ɺ = ZI =( R+jX) I
•
+
•
I
U
_
N
ɺ ɺ ɺ ɺ = RI +jXI =UR+UX
UR 与 I 同相
•
•
π UX 与 I 相差 2
•
•
•
I
+
U
U UX ϕ UR
•
•
UX I
•
•
R
jX
•
U
+ ɺ _ UR +
ϕ
UR
_
ɺ UX _
2
+ U – +U – ɺ1 ɺ + U – ɺ
电路分析第8章 阻抗与导纳
i1 i2
0
i2 滞后i1
t
i1
i1与i2反相 i2
t
0
0
i2
i1
i1与i2同相
t
i1
i2 i1与i2正交
t
0
0
8.1 变换方法的概念(变换域方法)
正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除了 用三角函数式和正弦波形表示外，还可用相量来表示同 频率的正弦量。 相量表示法就是用复数来表示同频率的正弦量。 相量法是一种用来表示和计算同频率正弦量的数学 工具，应用相量法可以使正弦量的计算变得很简单。
比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即为 正弦量的幅值（或有效值），复数的辐角即为正弦量的初相位。 为与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并用 在大写字母上打一“•”的符号表示。 • 例如 i (t)= Imcos ( t+ ) 的相量为 (最大值相量)
Im=Im = Imej =Im (cos +jsin ) I=I = Iej =I(cos +jsin )
例如：已知两个支路电流
i1= I1 mcos( t+i1)
正弦电量 （时间函数） 变换
正弦量运算
相量 （复数） 相量运算 （复数运算)
i2= I2 mcos( t+i2)
若求：i = i1 + i2
所求正弦量 反变换 相量结果
8.2 复数
+j
由欧拉公式，得出：
j 1
模
cos +jsin =ej
额定电压纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路ir电压与电流同频率同相位电压与电流大小关系urdidt纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路电流超前电压90dudt纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路电压与电流相量式单一参数的交流电路单一参数的交流电路纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路电压与电流相量表达式电压与电流相量式二二纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路三三纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路97vcr相量形式的统一阻抗和导纳的引入电压与电流相量式欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式称为复数阻抗简称阻抗单位为欧姆
导纳和阻抗的关系
导纳和阻抗的关系一、导纳和阻抗的概念及定义导纳和阻抗是电路中常见的两个概念，它们分别描述了电路元件对电流和电压的响应。
导纳是指电路元件对电流的响应，通常用 Y 表示，其定义为 Y=I/V，其中 I 表示电路中通过元件的电流，V 表示元件两端的电压；阻抗是指电路元件对电压的响应，通常用 Z 表示，其定义为 Z=V/I，其中 V 表示元件两端的电压，I 表示通过元件的电流。
二、导纳和阻抗之间的关系1. 导纳和阻抗之间存在倒数关系由于导纳和阻抗分别描述了同一电路元件对不同信号（即 I 和 V）的响应，因此它们之间存在倒数关系。
具体来说，在一个由多个串联或并联元件组成的复杂电路中，每个元件都有自己独立的导纳和阻抗值。
而整个复杂电路则可以看作是由各个单独元件组成，并且这些单独元件之间互相连接。
在这种情况下，整个复杂电路可以看作是一个整体，其总导纳和总阻抗分别等于各个单独元件的导纳和阻抗之和。
因此，整个复杂电路的总导纳值可以表示为各个单独元件的导纳倒数之和，即Y_total = Y1 + Y2 + … + Yn；同样地，整个复杂电路的总阻抗值可以表示为各个单独元件的阻抗倒数之和，即 Z_tota l = Z1 + Z2 + … + Zn。
2. 导纳和阻抗之间存在共轭关系除了倒数关系外，导纳和阻抗还存在着另外一种重要的关系——共轭关系。
在电路中，每个元件都有自己的电阻、电感或电容等参数。
这些参数决定了元件对不同信号（即 I 和 V）的响应方式。
而当一个元件对某一信号做出响应时，在另一信号上则会产生相应的反应。
这种反应就是通过共轭运算得到的。
具体来说，在一个由多个串联或并联元件组成的复杂电路中，每个元件都有自己独立的导纳和阻抗值。
而整个复杂电路则可以看作是由各个单独元件组成，并且这些单独元件之间互相连接。
在这种情况下，整个复杂电路的总导纳值可以表示为各个单独元件的导纳之和，即Y_total = Y1 + Y2 + … + Yn；同样地，整个复杂电路的总阻抗值可以表示为各个单独元件的阻抗之和，即Z_total = Z1 + Z2 + … + Zn。
阻抗与导纳的概念与计算
阻抗与导纳的概念与计算阻抗（Impedance）和导纳（Admittance）是电路中常用的两个概念，用来描述电路元件对电流和电压的响应关系。
阻抗表示电路元件对电流的阻碍程度，而导纳表示电路元件对电流的容许程度。
在电气工程领域，深入理解和准确计算阻抗和导纳对于分析和设计电路至关重要。
一、阻抗的概念与计算阻抗是交流电路中的重要概念，它是电路元件对电流的阻碍程度的度量。
阻抗的单位是欧姆（Ω），用Z表示。
1. 奥姆定律根据奥姆定律可以得出电阻元件的阻抗计算公式，阻抗Z等于电阻R。
即Z = R。
2. 电感元件的阻抗计算电感元件对交流电具有阻抗，其计算公式为Z = jωL，其中j是虚数单位，ω是角频率，L是电感元件的感值。
3. 电容元件的阻抗计算电容元件对交流电也具有阻抗，其计算公式为Z = 1/(jωC)，其中C是电容元件的电容值。
二、导纳的概念与计算导纳是电路元件对电流的容许程度的度量，它是电导的倒数。
导纳的单位是西门子（S），用Y表示。
1. 电导与导纳的关系电导（Conductance）是电路元件对电流的容许程度的度量，是导纳的实部（实数部分）。
导纳Y等于电导G。
即Y = G。
2. 电阻元件的导纳计算电阻元件的导纳计算公式为Y = 1/R，其中R为电阻值。
3. 电感元件的导纳计算电感元件的导纳计算公式为Y = jωL，其中j是虚数单位，ω是角频率，L是电感元件的感值。
4. 电容元件的导纳计算电容元件的导纳计算公式为Y = jωC，其中j是虚数单位，ω是角频率，C是电容元件的电容值。
三、阻抗与导纳之间的关系阻抗和导纳是互为倒数的概念，两者之间满足以下关系：Z = 1/Y 或 Y = 1/Z。
根据该关系可以将阻抗和导纳在复平面上进行变换。
阻抗和导纳在复平面上的表示分别为实部和虚部。
通过这种变换，可以将电路中的阻抗转换为导纳，或者将导纳转换为阻抗，从而便于分析和计算复杂的交流电路。
阻抗和导纳的计算是电气工程中重要的基础知识，它们在电路分析、电力系统和电信系统等方面有广泛的应用。
《电路分析基础》第八章：阻抗和导纳
学 YR = 1 / R = G
YC = jω C
YL =
1 =−j 1
jω L
ωL
容纳: BC = ωC
感纳:
BL
=
−1
ωL
信息学院电子系
14
2 单口网络的阻抗和导纳
无源单口网络在正弦稳态时单口端钮的电压相量与电流相
中量之比为输入阻抗，阻抗的倒数为输入导纳
输入阻抗：Z
=
U I
(在关联参考方向下)
信息学院电子系
3
8.3 振幅相量
中1. 正弦稳态电路 国 ¾ 正弦波 u(t)= Umcos(ωt+θu) i(t)= Imcos(ωt+θi)
三特征: 振幅，角频率ω，初相角θ
海 + uR - + uL - iL 洋 iS
u
uS
uL
uR
o
ωt
大 ¾ 正弦稳态电路各电压电流响应与激励均为同频率正弦波。 学 ¾ 对于正弦稳态电路，只需确定初相位和振幅
Imcos(ωt+θi) =－CωUmsin(ωt+θu)
¾ 相量关系 =CωUmcos(ωt+θu+90º)
Re(Ime jωt ) = Re( jωCUme jωt )
Im = jωCUm
I = jωCU
Im∠θi =ωCUm∠(θu +90°)
电容 Im=ωCUm
I=ωCU
+ ... + + ... +
Z1n In Z2n In
= US11 = US22
⎪...
Zii：网孔i自阻抗
Zkj(k≠j)：网孔k与j的互阻抗
阻抗和导纳
2006-1-1
！
3
阻抗和导纳(3)
İ
+
V
N0
−
İR
+
V
jX
−
İ + V G jB
−
İ + 或V
−
Z=R+jX
İ + 或V
−
Y=G+jB
图5.11 二端无源网络及其串联与并联等效电路
2006-1-1
！
4
阻抗和导纳(4)
在串联等效电路中，若X > 0，即ΨZ > 0，则电路具有电感特性，呈现感性；若X < 0，即ΨZ < 0，则电路具有电容特性，呈现容性。在并联等效电路中，若B > 0，即ΨY > 0，则电路具有电容特性，呈现容性；若B < 0，即ΨY < 0，则电 路具有电感特性，呈现感性。
例 电路如图5.10(a)所示。请问其等效阻抗和等效导纳。
解 由于已知端电流为、端电压为，则
Z
V I
16
245 40
4
245 4 j4()
Y
I V
40 16 245
2 45 1 j 1 (S)
8
88
2006-1-1
！
5
阻抗和导纳(5)
并可按照图5.11画出其等效电路，且可以看出，该电路呈感性。 当然，该例题也可直接根据电路的相量模型，写出等效阻抗为
这里，G为电Y导分VI量、VI B为(Ψ电i Ψ纳v分) 量G、 jΨB Y 为Y 导纳Y 角。
(5.27)
可以看出，对于同一网络有 |Z| = 1/|Y| 和 ΨZ = −ΨY的关系存在。根据式(5.26)和 式(5.27)可知，一个二端无源网络可以等效为一个电阻与一个电抗串联或一个 电导与一个电纳并联的形式，如图5.11所示。
导纳和阻抗
导纳和阻抗
导纳和阻抗是电信领域中两个非常重要的概念。
它们分别可以描
述电路元件和传输线的电学特性，帮助工程师们更好地设计和分析电路。
导纳是一个电路元件或系统对电流和电压之间相互作用程度的描述。
通俗来说，它是电路的响应能力指数，越大表示电路的响应能力
越好，越小表示电路的响应速度越慢。
导纳可以分为实部和虚部两个部分。
实部描述电路对电流的能力，而虚部则描述电路对电压的能力。
因此，导纳的单位是西门子（S），
其中1西门子等于1安培/伏特。
阻抗则是用来描述电路对电流和电压之间产生阻力的特性。
它由
实部和虚部组成，在电路中扮演着非常重要的角色。
当我们需要利用
电路传输信号时，阻抗的匹配非常重要。
例如，如果我们需要将信号
从一个电路传输到另一个电路，必须确保两个电路的阻抗匹配，否则
将会产生反射并降低传输效率。
阻抗的单位是欧姆（Ω），表示电路对电流的阻力。
阻抗也可以
被看作导纳的倒数，即Z=1/Y。
因此，当导纳较大时，阻抗较小，反之亦然。
总而言之，导纳和阻抗是电路和传输线中非常关键的概念。
它们
可以帮助我们更好地设计和分析电路，在电信领域中有着广泛的应用。
因此，当我们需要进行电路分析时，需要重视导纳和阻抗的作用，并确保它们在电路中的匹配性。
电路中的阻抗与导纳
电路中的阻抗与导纳电路中的阻抗（Impedance）和导纳（Admittance）是电学中非常重要的两个概念。
阻抗是电路对交流电（AC）的抵抗能力，和电阻（Resistance）一样，单位是欧姆（Ohm），但是阻抗是一个复数。
导纳是电路对交流电的导电能力，和电导（Conductance）一样，单位是西门子（Siemens），也是一个复数。
1. 阻抗的定义和计算阻抗是电路对交流电的阻力，包括电容（Capacitance）、电感（Inductance）和电阻三种形式。
以电容为例，如果向电容放入交流电，首先会充电，然后在自身两极之间建立电场，导致电流的变化速度越来越慢，最后达到平衡状态。
因此，电容对交流电的阻力，和电流的相位差为90度。
电容的阻抗可以用以下公式计算：Z_c = 1/ jωC其中，Z_c 是电容的阻抗，j是虚数单位，ω是角频率（radians per second），C是电容的电容值（Farads）。
同理，电感的阻抗为：Z_l = jωL其中，Z_l 是电感的阻抗，L是电感的感抗值（Henries）。
电阻的阻抗为：Z_r = R其中，Z_r是电阻的阻抗，R是电阻的阻值（Ohms）。
将三种元件的阻抗按照欧姆定律叠加，可以得到整个电路的阻抗。
2.导纳的定义和计算导纳是对阻抗的倒数，“导纳”这个词在中文中的用法并不广泛，可能大家比较熟悉“电导”这个词，但是它们的意思是类似的。
导纳的计算方法如下：Y = 1/Z其中，Z是电路的阻抗，Y是电路的导纳。
导纳的好处在于，它更适合于串联和并联电路的计算。
将电路分解成元件，然后按照电路图的框架计算总的导纳，可以很方便地计算整个电路的电流和电压。
通过计算单元件的导纳，我们可以得到电路的传输特性，从而更好地理解电路的工作原理。
3.阻抗和导纳的应用阻抗和导纳在电路设计中有广泛的应用。
在RF电路中，阻抗匹配是非常重要的，它可以让信号在电路中以最大功率传输，从而减小反射损耗。
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(b)复数运算
U U 1.93 j4.66 5.04 67.3V U ac ab bc
(c) 反变换
5.04 67.3V 5.04 cos(t 67.3)V
更大的好处还在后面！！！
变换与反变换均极为容易！原来的三角运算→复数的代数运算。
§2-3 阻抗（impedance）—相量法的核心
（电容隔直流；电容的表现，与频率有关！）
90 ② i （相位关系） u
8-14
就 u的一周期看，u达极大值时， du 0, i也为零；
du u临近其零值时， 最大，i也达极值。 dt dt
两者极值不在同一时刻，有90°的相位差。
u,i 90
o
i超前u 90
u
+j
Im
ωt
i
1 1 Z Z R ZC R R j jC C
③上例RC并联电路： Z 9.38 51.3 5.86 j7.32Ω
注意本题
Z R 15
1 ZC j12Ω jC
15( j12) Z Z R // Z C 9.38 5.13Ω 15 j12
(2)
例题
8-24
U 12090 m Im 12.8141.3A Z 9.38 51.3
i(t ) 12.8 cos(1000t 141.3)A
I km 0
(8—13)
(2) 对sss电路KVL可表为
U km 0
(8—14)
8-9
(3)
例题
已知 u ab 10 cos(t 60 )V,
求： 解一
u ac u ac u ab ubc
u bc 8 sin( t 120 )V,
运用三角方法求解，类似(1)，从略。 解二
（3） 例题
求 i(t ) 5 cos(314t 60)A 的(振幅)相量及相量图示。
8-6
解 ： 5 cos(314t 60 )A 560 A +j
即
注意
i(t ) I m
0
。 5 60 。 60
相量图（示）如右。
5
(a) 解中“→”不得写作“=”。
+1
(b)ω=314rad/s，相量本身并不包含ω这一因素。sss电路 中所有正弦量的ω都是一样的，毋需表明。必要时，可 以把它视为相量以逆时针方向旋转的角速度。 (c)相量图代替波形图，表明振幅和初相，简便直观！ （4）正弦函数变换为相量的理论根据是欧拉恒等式。
（1）基本元件VCR的相量形式 (a) R u=Ri 在sss电路中，设 i VCR时域形式
8-11
I m cos(t i )
时域特点：
VCR相量形式：
u Ri RI m cos(t i )
u、i同频率正弦波，且
（振幅关系） U m RI m ② u i （相位关系） ①
ICm+ ILm
+1
得
i 10cos(1000 t 127 )A
相量图表明了①相位关系，②KCL。
8-18
记忆三个基本元件VCR 的相量形式甚感不便，亟需 解决！
(3)阻抗 Z的引入 (a) 对sss电路中任一元件，定义阻抗
8-19
Im
+
元件
-
U Z m I m
Um
亦即元件VCR统一表为： Z视具体元件而定（需记住！）
8-21
sss电路分析的典型问题：给定电路的结构、元件 参数以及激励的瞬时值，求响应的瞬时值。 （1）两类约束的类比： 电阻电路的时域形式
i 0 u 0
u Ri
sss电路的相量形式 I 0
m
U
m
0
ZI U m m
两类约束是分析集总电路的基本依据。引用相量并引用 阻抗(导纳)，上述典型问题可以仿照电阻电路处理方法来 进行。为便于仿照，引入相量模型。
同频率正弦量之和仍为一同频率的正弦量
由此可设想：i1、i2和i3的关系也可用相量表示，即
8-8
i1
I I I 1m 2m 3m
37.32 j 24.64 44.7233.43 I 3m
检验：20 30 4060 (17.32 j10) (20 j34.64) 因此，对sss电路KCL可表为
变换为
→适用于正弦稳态分析
→
适用于线性动态电路的一般分析
模型变换的数学理论基础: 1 欧拉恒等式 2 拉普拉斯变换
类比
、2 两种模型均与电阻模型作类比，从而 得以充分利用熟知的电阻电路分析方法。这 是一种手段，较简便地得到客观存在的动态 电路时域响应。
1
第八章
阻抗和导纳
8-1
§1 变换方法的概念 §2 相量（解析）法
答： Z 为负，表明 u< i , 故 i 超前 u 。
（3）单口相量模型的 Z (Y)
8-26
Z不仅用于单个元件，也可用于单口网络。如上例。 （a）一般情况，Z为复数。 表示为直角坐标形式，既有实部，还有虚部。例如 ① RL串联电路： ② RC串联电路：
Z Z R Z L R jL
第三篇 动态电路的相量分析法和s域分析法
重提基本结构
一个假设→集总模型（电阻电路和动态电路） 两类约束→VCR + KCL、KVL 三大基本方法 1.叠加方法 2.分解方法 3.变换域方法
模型的化简
---模型的类比(第三篇)
变换与类比
变换 动态电路的时域模型
① 1 相量模型
2 s域模型 ②
§2-2 KCL、KVL的相量形式
（1）sss电路的某节点如图所示，已知
i2 i1 i3
8-7
i1 (t ) 20 cos(t 30 )mA , i2 (t ) 40 cos(t 60 )mA ,
未知量i3可根据KCL求得。
i1 (t ) 20 cos t cos 30 20 sin t sin 30
U U 运用KVL相量形式， U ac ab bc
省略下标m。分三步： (a)、 (b)、 (c)。
(a) 把已知正弦量变换为对应的相量。
若选定以cos为标准, sin必须先化为cos，即
8-10
A sin( t ) A 90
得
u ab U ab 1060 (5 j8.66)V ubc U bc 8120 90 (6.93 j4)V
R 15Ω、L 30mH 、C 83.3μF，求i(t )。 解： 利用时域或相量方法，即根据
(a) i u 、i C du 、u L di L KCL时域形式 R C
R
dt
dt
或(b) I Rm
i (t) i
R
U jCU 、U jLI ， m 、I Cm m m Lm R
(2)
例题
8-22
已知 u(t ) 120 cos(1000t 90)V, R 15Ω, C 83.3μF, 求i(t )。
i (t)
+
u(t) R
Im
+
C
Um
zR
zC
原电路
相量模型
(2)
例题
8-23
电阻模型中 R1、R2 并联：
R1 R2 等效电阻= R1 R2
Z R ZC 相量模型中 Z1、Z 2 并联： 等效阻抗= Z R ZC
1
由此例可知： （a）变换方法可使运算简化； （b）与直接求解不同，需经三个步骤； （c）要知道如何“变换”和“反变换”。
§2
相量（解析）法
8-3
相量法可分为解析法和图解法，前者是主要 的，后者只是子方法。基础在于把正弦函数变换 为相量，相量实际上就是一个复数。
§2-1 正弦函数与相量的互换 §2-2 KCL、KVL的相量形式 §2-3 阻抗(impedance)—相量法的核心 §2-4 相量模型（phasor model）
0 Ψ u
Um
ψ
u
时域的波形图便于解释；相量图便于表明、记忆 。
+i
(c) L 利用对偶关系可得
VCR时域形式
8-15
jLI U m m
包含：
+j
U m LI m u i 90
Um
Im
ψi
+j
i滞电路如图，已知 u (t ) 120 cos(1000t 90)V,
U m cos(t u )
RI m i U m u
即
RI U m m
包含①、②两关系
①、②—R在sss电路的特点来自u与i成比例
(b) C 在sss电路中，设 时域特点：
VCR时域形式
8-12
u U m cos(t u )
VCR相量形式：
du iC CU m cos(t u 90) CU m u 90 I m i dt I m cos(t i ) jCU m u I m i
§2-1 正弦函数与相量的互换
（1）复数的两种形式
A a1 ja2 直角坐标形式
+j a2
0
A ae
A a
j
a 极坐标形式
θ
a1
+1
例1
解
例2
解
（2）正弦稳态电路的特点 正弦稳态(sinusoidal steady state，简作sss)电路的 特点—振幅相量的引入