第十一章阻抗和导纳-电路分析基础
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阻抗与导纳
+
X L = ωL = 314 × 254 × 10 = 79.8Ω 1 1 XC = = = 39.8Ω −6 ωC 314 × 80 × 10
−3
Z = R + j( X L − X C ) = 30 + j(79.8 - 39.8)
= ( 30 + j40) = 50∠53.1o Ω
ɺ U 220∠20o ɺ I= = = 4.4∠ − 33.1o A Z 50 ∠53o
1 Z= Y
或
1 Y= Z
1、极坐标形式Z、Y之间的等效互换 、极坐标形式 、 之间的等效互换 形式 1 Z= 1 Y 即： ϕ 若 Z = Z ∠ϕ 则 Z∠ = Y∠ ′ ϕ ϕ = −ϕ′ 2、直角坐标形式Z、Y间的等效互换 、直角坐标形式 、 间的等效互换 形式 (1) 已知 Z=R+jX
1 则 Y = =G+ jB ： Z
2
2
Z
ϕ
X
R
阻抗三角形
ɺ U ∵ = Z ɺ I ɺ U ɺ ∴ ɺ = ZI =( R+jX) I
•
+
•
I
U
_
N
ɺ ɺ ɺ ɺ = RI +jXI =UR+UX
UR 与 I 同相
•
•
π UX 与 I 相差 2
•
•
•
I
+
U
U UX ϕ UR
•
•
UX I
•
•
R
jX
•
U
+ ɺ _ UR +
ϕ
UR
_
ɺ UX _
2
+ U – +U – ɺ1 ɺ + U – ɺ
X L = ωL = 314 × 254 × 10 = 79.8Ω 1 1 XC = = = 39.8Ω −6 ωC 314 × 80 × 10
−3
Z = R + j( X L − X C ) = 30 + j(79.8 - 39.8)
= ( 30 + j40) = 50∠53.1o Ω
ɺ U 220∠20o ɺ I= = = 4.4∠ − 33.1o A Z 50 ∠53o
1 Z= Y
或
1 Y= Z
1、极坐标形式Z、Y之间的等效互换 、极坐标形式 、 之间的等效互换 形式 1 Z= 1 Y 即： ϕ 若 Z = Z ∠ϕ 则 Z∠ = Y∠ ′ ϕ ϕ = −ϕ′ 2、直角坐标形式Z、Y间的等效互换 、直角坐标形式 、 间的等效互换 形式 (1) 已知 Z=R+jX
1 则 Y = =G+ jB ： Z
2
2
Z
ϕ
X
R
阻抗三角形
ɺ U ∵ = Z ɺ I ɺ U ɺ ∴ ɺ = ZI =( R+jX) I
•
+
•
I
U
_
N
ɺ ɺ ɺ ɺ = RI +jXI =UR+UX
UR 与 I 同相
•
•
π UX 与 I 相差 2
•
•
•
I
+
U
U UX ϕ UR
•
•
UX I
•
•
R
jX
•
U
+ ɺ _ UR +
ϕ
UR
_
ɺ UX _
2
+ U – +U – ɺ1 ɺ + U – ɺ
阻抗和导纳
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳) 阻抗和导纳 基本要求：
阻抗、导纳的概念 阻抗角、导纳角的概念 感性、容性的概念
1
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
在正弦稳态情况下，口电压相量与口电流相量之比称 策动点阻抗或驱动点阻抗（简称阻抗）
Z ( j)
Um Im
Um Im
e j(u i )
1/ jC
IS
I1
I2
R1
R2 U0
U 01
R2 I 2
R1R2 R1 R2
1 jC
IS
9083.16
u01
2[90sin(t 83.16 )]
11
§8.2 正弦稳态分析(相量法)
②当=10rad/s时
U 02
R2 I 2
R1
R1R2
R2
1 j10C
IS
57639.8
Y ( j)
Im Um
Im Um
e j(i u )
Im Um
i
u
I
Y Y Y cosY j Y sin Y
G jB
U
其中 Y 导纳的模 Y 导纳角，约定 90 剟Y
G 电导，B 电纳。 对同一端口，在同一频率下
90
Y1 Z
jB G
3
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
7
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
阻抗不同于正弦量的复数表示，它不是一个相量，而 是一个复数计算量。
• 对同一端口来说 R 1
G
X1 B
Y1 1
R jX
Z R jX (R jX )(R jX )
阻抗、导纳的概念 阻抗角、导纳角的概念 感性、容性的概念
1
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
在正弦稳态情况下，口电压相量与口电流相量之比称 策动点阻抗或驱动点阻抗（简称阻抗）
Z ( j)
Um Im
Um Im
e j(u i )
1/ jC
IS
I1
I2
R1
R2 U0
U 01
R2 I 2
R1R2 R1 R2
1 jC
IS
9083.16
u01
2[90sin(t 83.16 )]
11
§8.2 正弦稳态分析(相量法)
②当=10rad/s时
U 02
R2 I 2
R1
R1R2
R2
1 j10C
IS
57639.8
Y ( j)
Im Um
Im Um
e j(i u )
Im Um
i
u
I
Y Y Y cosY j Y sin Y
G jB
U
其中 Y 导纳的模 Y 导纳角，约定 90 剟Y
G 电导，B 电纳。 对同一端口，在同一频率下
90
Y1 Z
jB G
3
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
7
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
阻抗不同于正弦量的复数表示，它不是一个相量，而 是一个复数计算量。
• 对同一端口来说 R 1
G
X1 B
Y1 1
R jX
Z R jX (R jX )(R jX )
阻抗和导纳
若 A1=a1+jb1，A2=a2+jb2 则：A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2) 乘除运算—极坐标形式 1 (3) 乘除运算 极坐标形式 A = A ∠θ1 , A2 = A2 ∠θ2 1
则:
A ⋅ A2 = A e 1 1
jθ1
⋅ A2 e
jθ2
= A A2 e 1
j (θ1 +θ2 )
设 i(t)=Imcos(ω t+φ )
U=
def
1 T
∫
T
0
u ( t )dt
2
1 T 2 I= Im cos2 ( ω t +ϕ ) dt ∫0 T
∵
∫
T
0
cos ( ω t +ϕ ) dt = ∫
2
T
0
1+ cos 2(ω t +ϕ ) 1 dt = t 2 2
T 0
1 = T 2
1 2 T Im Im ⋅ = ∴ I= = 0.707Im T 2 2
i ( t ) = 2 I cos(ωt + ψ i ) u( t ) = 2U cos(ωt + ψ u )
I = I∠ ψ i
•
↑
+j
ɺ U
ɺ I
U = U∠ψ u
0
•
ψu
复平面表示的相量意义： 复平面表示的相量意义：
ω
Ψi
→+1
▲
虚轴上的投影： 虚轴上的投影：
Im 2Ue jωt ] = 2U sin(ωt +ψu ) [ ɺ
已知正弦电流波形如图， rad/s， 已知正弦电流波形如图，ω＝103rad/s， 表达式； （1）写出i(t)表达式； 求最大值发生的时间t （2）求最大值发生的时间t1 t 解: i(t ) = 100cos(103 t +ϕ)
阻抗和导纳相量模型
(b) 这是一个电感和一个电阻串联电路，阻抗为
5/13
jy
Z = ZR + ZL = R + jL
= R2 + 2L2
arctg
L R
Z |Z|
= |Z|
0
x
显然， > 0，当R=0时， = 90，这种阻抗称为感性阻抗；
(c) 这是一个电容和一个电阻并联电路，导纳为
Y = YR + YC = G + jC =
由此可得
I• =
U• s Z
=
=
Us u
R + j(L –
1
)
C
= I i
U• L = (ZU•Rs+ ZL ZR + ZL + ZC
=
Us
R2 +(L
+ –
ZC ) =
R
1 C
I• = ZI• Us
+ jL
u )2
U• s = Us u
u
+
1 jC
(L–
–arctg R
1 C
)
i(t) = 2 I cos(t + i)
电路分析基础——第三部分：11-4
11/13
（c）根据相量写出相应的正弦波
i(t) =3.53 2 cos(2t – 45) A， uL(t) = 14.12 2 cos(2t + 45)V
uR(t) = 7.06 2 cos(2t – 45)V， uC(t) = 7.06 2 cos(2t – 135)V 显然，uR(t) 与 i(t) 同相，uL(t) 比 i(t) 超前 90，uC(t) 比 i(t) 滞 后90。与相量欧姆定律得出的结论一致。
5/13
jy
Z = ZR + ZL = R + jL
= R2 + 2L2
arctg
L R
Z |Z|
= |Z|
0
x
显然， > 0，当R=0时， = 90，这种阻抗称为感性阻抗；
(c) 这是一个电容和一个电阻并联电路，导纳为
Y = YR + YC = G + jC =
由此可得
I• =
U• s Z
=
=
Us u
R + j(L –
1
)
C
= I i
U• L = (ZU•Rs+ ZL ZR + ZL + ZC
=
Us
R2 +(L
+ –
ZC ) =
R
1 C
I• = ZI• Us
+ jL
u )2
U• s = Us u
u
+
1 jC
(L–
–arctg R
1 C
)
i(t) = 2 I cos(t + i)
电路分析基础——第三部分：11-4
11/13
（c）根据相量写出相应的正弦波
i(t) =3.53 2 cos(2t – 45) A， uL(t) = 14.12 2 cos(2t + 45)V
uR(t) = 7.06 2 cos(2t – 45)V， uC(t) = 7.06 2 cos(2t – 135)V 显然，uR(t) 与 i(t) 同相，uL(t) 比 i(t) 超前 90，uC(t) 比 i(t) 滞 后90。与相量欧姆定律得出的结论一致。
阻抗和导纳
哈尔滨理工大学 王竹萍
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哈尔滨理工大学 王竹萍
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哈尔滨理工大学 王竹萍
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ª Z1 Z2 I + + -+ U1 U 2 U (a)
Zn n+U
+ U -
ª I Z (b)
串联各阻抗上的电压相量为：
Zk U k = Zk I = U，k=1,2,…n ——电压分配公式 Z
2 2
Z =R+jX
一端口内仅含单一元件R、L或 C, 其对应阻抗为： 1 Z R = R, Z L = jωL, Z C = − j ωC
哈尔滨理工大学 王竹萍
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阻抗和导纳
二、一端口内为 R 、 、 C 串联 二、一端口内为 R 、L L 、 C 串联 1 U Iª = R + jω L + = Z + jω C I j ω L R 1 1 U = R + j ωL − jω C ωC = R + j ( X L + X C ) = R + jX 1 XC = − 其中 X=XL+XC ， XL= ωL—感抗， —容抗 ωC Z = Z ∠ϕ Z 1 ωL − X 2 2 ωC Z = R + X ,ϕ Z = arctan = arctan R R 1 1 , Z呈感性， X < 0, ω L < , Z呈容性 当 X > 0, ω L > ωC ωC
导纳和阻抗
导纳和阻抗
导纳和阻抗是电信领域中两个非常重要的概念。
它们分别可以描
述电路元件和传输线的电学特性，帮助工程师们更好地设计和分析电路。
导纳是一个电路元件或系统对电流和电压之间相互作用程度的描述。
通俗来说，它是电路的响应能力指数，越大表示电路的响应能力
越好，越小表示电路的响应速度越慢。
导纳可以分为实部和虚部两个部分。
实部描述电路对电流的能力，而虚部则描述电路对电压的能力。
因此，导纳的单位是西门子（S），
其中1西门子等于1安培/伏特。
阻抗则是用来描述电路对电流和电压之间产生阻力的特性。
它由
实部和虚部组成，在电路中扮演着非常重要的角色。
当我们需要利用
电路传输信号时，阻抗的匹配非常重要。
例如，如果我们需要将信号
从一个电路传输到另一个电路，必须确保两个电路的阻抗匹配，否则
将会产生反射并降低传输效率。
阻抗的单位是欧姆（Ω），表示电路对电流的阻力。
阻抗也可以
被看作导纳的倒数，即Z=1/Y。
因此，当导纳较大时，阻抗较小，反之亦然。
总而言之，导纳和阻抗是电路和传输线中非常关键的概念。
它们
可以帮助我们更好地设计和分析电路，在电信领域中有着广泛的应用。
因此，当我们需要进行电路分析时，需要重视导纳和阻抗的作用，并确保它们在电路中的匹配性。
电路中的阻抗与导纳
电路中的阻抗与导纳电路中的阻抗（Impedance）和导纳（Admittance）是电学中非常重要的两个概念。
阻抗是电路对交流电（AC）的抵抗能力，和电阻（Resistance）一样，单位是欧姆（Ohm），但是阻抗是一个复数。
导纳是电路对交流电的导电能力，和电导（Conductance）一样，单位是西门子（Siemens），也是一个复数。
1. 阻抗的定义和计算阻抗是电路对交流电的阻力，包括电容（Capacitance）、电感（Inductance）和电阻三种形式。
以电容为例，如果向电容放入交流电，首先会充电，然后在自身两极之间建立电场，导致电流的变化速度越来越慢，最后达到平衡状态。
因此，电容对交流电的阻力，和电流的相位差为90度。
电容的阻抗可以用以下公式计算：Z_c = 1/ jωC其中，Z_c 是电容的阻抗，j是虚数单位，ω是角频率（radians per second），C是电容的电容值（Farads）。
同理，电感的阻抗为：Z_l = jωL其中，Z_l 是电感的阻抗，L是电感的感抗值（Henries）。
电阻的阻抗为：Z_r = R其中，Z_r是电阻的阻抗，R是电阻的阻值（Ohms）。
将三种元件的阻抗按照欧姆定律叠加，可以得到整个电路的阻抗。
2.导纳的定义和计算导纳是对阻抗的倒数，“导纳”这个词在中文中的用法并不广泛，可能大家比较熟悉“电导”这个词，但是它们的意思是类似的。
导纳的计算方法如下：Y = 1/Z其中，Z是电路的阻抗，Y是电路的导纳。
导纳的好处在于，它更适合于串联和并联电路的计算。
将电路分解成元件，然后按照电路图的框架计算总的导纳，可以很方便地计算整个电路的电流和电压。
通过计算单元件的导纳，我们可以得到电路的传输特性，从而更好地理解电路的工作原理。
3.阻抗和导纳的应用阻抗和导纳在电路设计中有广泛的应用。
在RF电路中，阻抗匹配是非常重要的，它可以让信号在电路中以最大功率传输，从而减小反射损耗。
阻抗与导纳
Z12 Z 23 Z2 Z12 Z 23 Z 31
Z 23 Z 31 Z3 Z12 Z 23 Z 31
使用以上公式时注意以下几点：
熟记基本元件的阻抗和导纳。 同一元件或同一端口的阻抗和导纳互为倒数。
一般来讲，以上各公式中的阻抗和导纳用各 自的模表示时，各等式不成立。 例： Z Z1 Z 2 Z 3 Z n 和电阻电路中的分压、分流公式相同，在使 用时，要注意符号与参考方向的关系。
o
C
注意： U U U U R L C
例2 如图所示电路。已知R1=3、 R2=8， o u 220 2 sin( 314 t 10 )V XC=6 、XL=4 ， 求：各支路电流及总电流的瞬时值表达式。 I i 解: U 22010 o V
Z1 R1 jX L 3 j4 Z 2 R2 jX c 8 j6
3
Z R j( X L X C ) 30 j(79.8 - 39.8)
(30 j40) 5053.1o
22020o U o I 4.4 33 . 1 A o Z 5053
u R – + u u L – + u – C –
R L C
+ i1 u
。
2 1 I I
R1
XL
i2
R2
Xc
+
U
R1
R2
22010o 22010o U – – 1 I Z1 3 j4 553o 44 43 o A 相量模型 o o U 220 10 220 10 o 2 I 22 47 A o Z2 8 j6 10 37 o i 44 2 sin( 314 t 43 )A 1 o o I 1 I 2 44 43 2247 A I o
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结束 12
结束
第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
从相量图研究相位关系 更直观
2019年9月2日星期一信息学院
结束 13
结束
第8章 阻抗和导纳
例8-6：已知
电路分析基础
其中：uab 10cos(t 60 ) 10cos(t 60 180 )
10cos(t 240 )
2) 利用相量关系式进行计算
Um jL I m
Im
Um
j 8 50 0.02 140
jL
100 4
3) 根据所得相量写出对应的正弦量
i(t) 0.02 cos(100t 140 ) A
2019年9月2日星期一信息学院
结束 24
结束
第8章 阻抗和导纳
相量图为
由图可知，电流超前电压 90 。
2019年9月2日星期一信息学院
结束 23
结束
第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
例8-9：流过4H电感的电压为 u(t) 8cos(100t 50 ) A 。
试求电感电流i(t) 。
解：用相量关系解 1) 写出已知正弦量的相量
U m 8 50V
二、复数的四则运算
8-3 振幅相量
正弦激励下电路的稳定状态称为正弦稳态。
正弦波，以正弦电压为例，可表示为
u(t) Um cos(t )
2f 2
T
正弦波的三特征：振幅、角频率（频率、周期）和初相。
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结束
3
结束
第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
在正弦激励的交流动态电路中，其各电压、电流均为与激励 同频率的正弦波。 电力系统中，正弦稳态分析很重要。理论上，掌握了线性时不 变电路的正弦稳态响应，也即掌握了它对任何信号的响应。
结束 16
结束
第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
由线性性质得：
Um RIm
即
Um u RI m i
电阻元件伏安关系的相 量形式
可得：
Um RIm
振幅符合欧姆定律
u i
电压、电流同相
相量图
用相量关系求解的三个步骤
（1）写出已知正弦信号的相量；
（2）利用相量关系式进行计算；
（3）根据相量写出对应的正弦量。
U abm 10240
ubc 8sin(t 120 ) 8cos(t 120 90 )
8cos(t 30 ) U bcm 830
则：
U acm 5 j8.66 6.93 j4 1.93 j4.66
5.04 67.5
uac 5.04 cos(t 67.5 )
2019年9月2日星期一信息学院
结束 14
结束
第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
2019年9月2日星期一信息学院
结束 15
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第8章 阻抗和导纳
§8-5 三种基本电路元件VCR的相量形式
电路分析基础
设元件接在正弦稳态电路中，两端的电压和流过的电流为关
C
d dt
Um
cos(t
u
)
CUm sin(t u )
CUm cos(t u 90 ) Im cos(t i )
可得：
Im CUm
讨论
i u 90 电流超前电压90。
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结束 18
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第8章 阻抗和导纳
Im CUm
i u 90
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第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
三、电感元件
u(t) Um cos(t u )
i(t) Im cos(t i )
电感元件VCR的时域关系推导 亦可由对偶关系直接得出
U m u
I1m 560
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结束
6
结束
第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
2、i2 (t) 10 sin(314 t 60 ) A
给定正弦波不是标准形式，按照三角函数的变换关系，化成 标准形式后再写其振幅相量。
i2 (t) 10sin(314t 60 )A 10cos(314t 60 90 )
I 3m 4240
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结束
7
结束
第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
例8-3，写出各振幅相量对应的正弦电压。已知f=50HZ
解：已知f=50HZ，则角频率 2f 100
1、U1m 50 30V
根据给定振幅相量直接写出其对应的正弦波。
u1(t) 50 cos(100t 30 )V
电路分析基础
8-6 VCR相量形式的统一——阻抗和导纳的引入
一、阻抗
1、定义：正弦稳态时，元件电压相量与电流相量的比值定
义为元件阻抗，用Z表示。
即：
Z
U m Im
三种元件的相量关系可归结为
欧姆定律的 相量形式
U m ZIm
三种元件的阻抗分别为： ZR R
ZC
1
jC
j
C
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设正弦量为
f1(t) Re( A1 e jt )
f2 (t) Re( A2 e jt )
且 A1 f1(t)
A2 f2 (t)
则
f1(t) f2 (t) A1 A2
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结束
9
结束
第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
二、KCL的相量形式
联参考方向，可表示为
u(t) Um cos(t u )
U m u
i(t) Im cos(t i )
I m i
一、电阻元件
由欧姆定律得，电阻元件时域VCR关系是：
Um cos(t u ) RIm cos(t i )
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由KCL的相量形式得
I1m I 2m I 3m 0
则：
I 3m 1060 A 5 90 A
5 j8.66 j5 5 j3.66
6.236.2 A
i3(t) 6.2 cos(t 36.2 ) A
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电路分析基础
Im cos(t i ) CU m cos(t u 90 )
电容元件伏安关系的相
若
U m U m u
量形式
由线性性质得： I m CU m 90 jCU m
即 CU m( u 90 ) Im i
亦可得： 相量图
Um
Im j
jC
2 30 2 120 0.02 100 0.5 50
2 120
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结束 22
结束
第8章 阻抗和导纳
3) 根据所得相量写出对应的正弦量
电路分析基础
u(t) 0.02 2 cos(100 t 120 ) A
两者之间用
表示
三、相量图
相量在复平面上的图，称为相量图。
相量与 e jt 的乘积在复平面上表示，该相量以恒定的角速
度 逆时针旋转。
例8-2，写出各电流的振幅相量，并绘相量图
1、i1(t) 5cos(314 t 60 ) A
给定正弦波的标准形式，可根据振幅和初相直接写出其振幅相量
10cos(314t 150 )
I 2m 10150
3、i3(t) 4 cos(314 t 60 ) A
化成标准形式后再写其振幅相量。
i3(t) 4 cos(314t 60 ) A 4 cos(314t 60 180 )
4 cos(314t 240 )
第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
第三篇 动态电路的相量分析法和s域分析法
引入“变换”的思路，可用电阻电路的分析方 法解决正弦稳态分析问题。
第一部分：引入阻抗和导纳、相量模型，类比 运用已经很熟悉的电阻电路解法。
第二部分：只求有效值和只求相位两类特殊问 题，引入相量图法。
相量分析法是正弦稳态分析的基础。
求i3 (t )
解：为了利用KCL的相量形式，应首先写出i1、i2的振幅相量
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结束
第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
i1(t) 10cos(t 60 ) A I1m 1060 A
i2 (t) 5sin(t)A 5cos(t 90 ) I 2m 5 90 A
纯电阻电路 含动态元件、电阻的电路
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结束
第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
二、电容元件
u(t) Um cos(t u )
U m u
i(t) Im cos(t i )
I m i
电容元件VCR的时域关系
i
C
du dt
相量分析法是一种专门用以分析正弦稳态电路的方法。