第八章 阻抗和导纳
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电路分析第8章 阻抗与导纳
t
i1 i2
0
i2 滞后i1
t
i1
i1与i2反相 i2
t
0
0
i2
i1
i1与i2同相
t
i1
i2 i1与i2正交
t
0
0
8.1 变换方法的概念(变换域方法)
正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除了 用三角函数式和正弦波形表示外，还可用相量来表示同 频率的正弦量。 相量表示法就是用复数来表示同频率的正弦量。 相量法是一种用来表示和计算同频率正弦量的数学 工具，应用相量法可以使正弦量的计算变得很简单。
比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即为 正弦量的幅值（或有效值），复数的辐角即为正弦量的初相位。 为与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并用 在大写字母上打一“•”的符号表示。 • 例如 i (t)= Imcos ( t+ ) 的相量为 (最大值相量)
Im=Im = Imej =Im (cos +jsin ) I=I = Iej =I(cos +jsin )
例如：已知两个支路电流
i1= I1 mcos( t+i1)
正弦电量 （时间函数） 变换
正弦量运算
相量 （复数） 相量运算 （复数运算)
i2= I2 mcos( t+i2)
若求：i = i1 + i2
所求正弦量 反变换 相量结果
8.2 复数
+j
由欧拉公式，得出：
j 1
模
cos +jsin =ej
额定电压纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路ir电压与电流同频率同相位电压与电流大小关系urdidt纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路电流超前电压90dudt纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路电压与电流相量式单一参数的交流电路单一参数的交流电路纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路电压与电流相量表达式电压与电流相量式二二纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路三三纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路97vcr相量形式的统一阻抗和导纳的引入电压与电流相量式欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式称为复数阻抗简称阻抗单位为欧姆
i1 i2
0
i2 滞后i1
t
i1
i1与i2反相 i2
t
0
0
i2
i1
i1与i2同相
t
i1
i2 i1与i2正交
t
0
0
8.1 变换方法的概念(变换域方法)
正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除了 用三角函数式和正弦波形表示外，还可用相量来表示同 频率的正弦量。 相量表示法就是用复数来表示同频率的正弦量。 相量法是一种用来表示和计算同频率正弦量的数学 工具，应用相量法可以使正弦量的计算变得很简单。
比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即为 正弦量的幅值（或有效值），复数的辐角即为正弦量的初相位。 为与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并用 在大写字母上打一“•”的符号表示。 • 例如 i (t)= Imcos ( t+ ) 的相量为 (最大值相量)
Im=Im = Imej =Im (cos +jsin ) I=I = Iej =I(cos +jsin )
例如：已知两个支路电流
i1= I1 mcos( t+i1)
正弦电量 （时间函数） 变换
正弦量运算
相量 （复数） 相量运算 （复数运算)
i2= I2 mcos( t+i2)
若求：i = i1 + i2
所求正弦量 反变换 相量结果
8.2 复数
+j
由欧拉公式，得出：
j 1
模
cos +jsin =ej
额定电压纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路ir电压与电流同频率同相位电压与电流大小关系urdidt纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路电流超前电压90dudt纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路电压与电流相量式单一参数的交流电路单一参数的交流电路纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路电压与电流相量表达式电压与电流相量式二二纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路三三纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路97vcr相量形式的统一阻抗和导纳的引入电压与电流相量式欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式称为复数阻抗简称阻抗单位为欧姆
阻抗和导纳
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳) 阻抗和导纳 基本要求：
阻抗、导纳的概念 阻抗角、导纳角的概念 感性、容性的概念
1
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
在正弦稳态情况下，口电压相量与口电流相量之比称 策动点阻抗或驱动点阻抗（简称阻抗）
Z ( j)
Um Im
Um Im
e j(u i )
1/ jC
IS
I1
I2
R1
R2 U0
U 01
R2 I 2
R1R2 R1 R2
1 jC
IS
9083.16
u01
2[90sin(t 83.16 )]
11
§8.2 正弦稳态分析(相量法)
②当=10rad/s时
U 02
R2 I 2
R1
R1R2
R2
1 j10C
IS
57639.8
Y ( j)
Im Um
Im Um
e j(i u )
Im Um
i
u
I
Y Y Y cosY j Y sin Y
G jB
U
其中 Y 导纳的模 Y 导纳角，约定 90 剟Y
G 电导，B 电纳。 对同一端口，在同一频率下
90
Y1 Z
jB G
3
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
7
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
阻抗不同于正弦量的复数表示，它不是一个相量，而 是一个复数计算量。
• 对同一端口来说 R 1
G
X1 B
Y1 1
R jX
Z R jX (R jX )(R jX )
阻抗、导纳的概念 阻抗角、导纳角的概念 感性、容性的概念
1
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
在正弦稳态情况下，口电压相量与口电流相量之比称 策动点阻抗或驱动点阻抗（简称阻抗）
Z ( j)
Um Im
Um Im
e j(u i )
1/ jC
IS
I1
I2
R1
R2 U0
U 01
R2 I 2
R1R2 R1 R2
1 jC
IS
9083.16
u01
2[90sin(t 83.16 )]
11
§8.2 正弦稳态分析(相量法)
②当=10rad/s时
U 02
R2 I 2
R1
R1R2
R2
1 j10C
IS
57639.8
Y ( j)
Im Um
Im Um
e j(i u )
Im Um
i
u
I
Y Y Y cosY j Y sin Y
G jB
U
其中 Y 导纳的模 Y 导纳角，约定 90 剟Y
G 电导，B 电纳。 对同一端口，在同一频率下
90
Y1 Z
jB G
3
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
7
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
阻抗不同于正弦量的复数表示，它不是一个相量，而 是一个复数计算量。
• 对同一端口来说 R 1
G
X1 B
Y1 1
R jX
Z R jX (R jX )(R jX )
第8章+阻抗和导纳
一、电阻元件VCR的相量形式 .. 电阻元件VCR的相量形式 VCR i(t) +
u(t )
电路分析基础
元 件
u = Ri 时域形式 Um cos(ωt +ψ u ) = RIm cos(ωt +ψ i )
相量形式 Um∠ψ u = RIm∠ψ i
_
即 振幅关系 相位关系
P18 例8-7 .
Um = R I m Um = RIm ψ u =ψ i
& = 1 I = −j 1 I & & Um 或 m jωC ωC m 1 Um = Im 振幅关系 ωC ψ u =ψ i − 900 相位关系
（电容的电压滞后电流900） 电容的电压滞后电流
+j
电路分析基础
+
& Um
& I1m
600 －1200
+1
& I3m
& I 2m = 10∠ 0 A 150
（3） i 3 ( t ) = − 4 cos( 314 t + 60 0 ) A
相量图
& I 3m = −4∠600 A = 4∠ − 1200 A
第八章 阻抗和导纳
§8-3 振幅相量
例 8-3 .
P11
电路分析基础
§8-4 相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式 将相量法推广到K个同频率正弦量相加情况： 将相量法推广到 个同频率正弦量相加情况： 个同频率正弦量相加情况 & 设 u1 (t ) = U1m cos(ωt +ψ1 ) U1m = U1m∠ψ1 & u2 (t) = U2m cos(ωt +ψ 2 ) U2m = U2m∠ψ 2
u(t )
电路分析基础
元 件
u = Ri 时域形式 Um cos(ωt +ψ u ) = RIm cos(ωt +ψ i )
相量形式 Um∠ψ u = RIm∠ψ i
_
即 振幅关系 相位关系
P18 例8-7 .
Um = R I m Um = RIm ψ u =ψ i
& = 1 I = −j 1 I & & Um 或 m jωC ωC m 1 Um = Im 振幅关系 ωC ψ u =ψ i − 900 相位关系
（电容的电压滞后电流900） 电容的电压滞后电流
+j
电路分析基础
+
& Um
& I1m
600 －1200
+1
& I3m
& I 2m = 10∠ 0 A 150
（3） i 3 ( t ) = − 4 cos( 314 t + 60 0 ) A
相量图
& I 3m = −4∠600 A = 4∠ − 1200 A
第八章 阻抗和导纳
§8-3 振幅相量
例 8-3 .
P11
电路分析基础
§8-4 相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式 将相量法推广到K个同频率正弦量相加情况： 将相量法推广到 个同频率正弦量相加情况： 个同频率正弦量相加情况 & 设 u1 (t ) = U1m cos(ωt +ψ1 ) U1m = U1m∠ψ1 & u2 (t) = U2m cos(ωt +ψ 2 ) U2m = U2m∠ψ 2
第八章 阻抗和导纳(a)
2
重点： 重点： 1. 电路定理的相量形式 2. 阻抗和导纳 3. 正弦稳态电路的分析
3
返 回
§8.1 变换方法的概念
数学中通过 对数对数-反对数 变换， 变换，实现 通过加法运 算完成乘法 运算， 运算，就是 一种变换。 一种变换。
4
§8.1 变换方法的概念
变换方法三部曲： 变换方法三部曲： 变换—变换域中求解 变换域中求解—反变换 变换 变换域中求解 反变换
F = F ejθ1 1 1
F = F ejθ2 2 2
F j(θ1− 2 ) F θ 1 = 1 e F F 2 2
FF = F F e 1 2 1 2
或简写成
j(θ1+ 2 ) θ
F=F 1 1
F =F 2 2
FF = F F 1 2 1 2
F F 1 1 = F F 2 2
10
复数与旋转因子
利用相量线 性性质得
& & Um = RIm
& Im =G &m U
Um = R m I
同 相 位
& UR
ϕu =ϕi
& I
φu=φi
22
2. 电容
时域
duC iC = C dt duC d iC =C =C [Um cos(ω +ϕu )] t dt dt = −C Um sin ω +ϕu ) =ω m cos(ω +ϕu +90o) ω ( t CU t
u(t) =Um cos(ωt +ϕu )
式中的 Um、ω 和
ϕu 称为正弦量的三要素。 称为正弦量的三要素。
16
振幅
的极值。 的极值。
重点： 重点： 1. 电路定理的相量形式 2. 阻抗和导纳 3. 正弦稳态电路的分析
3
返 回
§8.1 变换方法的概念
数学中通过 对数对数-反对数 变换， 变换，实现 通过加法运 算完成乘法 运算， 运算，就是 一种变换。 一种变换。
4
§8.1 变换方法的概念
变换方法三部曲： 变换方法三部曲： 变换—变换域中求解 变换域中求解—反变换 变换 变换域中求解 反变换
F = F ejθ1 1 1
F = F ejθ2 2 2
F j(θ1− 2 ) F θ 1 = 1 e F F 2 2
FF = F F e 1 2 1 2
或简写成
j(θ1+ 2 ) θ
F=F 1 1
F =F 2 2
FF = F F 1 2 1 2
F F 1 1 = F F 2 2
10
复数与旋转因子
利用相量线 性性质得
& & Um = RIm
& Im =G &m U
Um = R m I
同 相 位
& UR
ϕu =ϕi
& I
φu=φi
22
2. 电容
时域
duC iC = C dt duC d iC =C =C [Um cos(ω +ϕu )] t dt dt = −C Um sin ω +ϕu ) =ω m cos(ω +ϕu +90o) ω ( t CU t
u(t) =Um cos(ωt +ϕu )
式中的 Um、ω 和
ϕu 称为正弦量的三要素。 称为正弦量的三要素。
16
振幅
的极值。 的极值。
《电路分析基础》第八章：阻抗和导纳
学 YR = 1 / R = G
YC = jω C
YL =
1 =−j 1
jω L
ωL
容纳: BC = ωC
感纳:
BL
=
−1
ωL
信息学院电子系
14
2 单口网络的阻抗和导纳
无源单口网络在正弦稳态时单口端钮的电压相量与电流相
中量之比为输入阻抗，阻抗的倒数为输入导纳
输入阻抗：Z
=
U I
(在关联参考方向下)
信息学院电子系
3
8.3 振幅相量
中1. 正弦稳态电路 国 ¾ 正弦波 u(t)= Umcos(ωt+θu) i(t)= Imcos(ωt+θi)
三特征: 振幅，角频率ω，初相角θ
海 + uR - + uL - iL 洋 iS
u
uS
uL
uR
o
ωt
大 ¾ 正弦稳态电路各电压电流响应与激励均为同频率正弦波。 学 ¾ 对于正弦稳态电路，只需确定初相位和振幅
Imcos(ωt+θi) =－CωUmsin(ωt+θu)
¾ 相量关系 =CωUmcos(ωt+θu+90º)
Re(Ime jωt ) = Re( jωCUme jωt )
Im = jωCUm
I = jωCU
Im∠θi =ωCUm∠(θu +90°)
电容 Im=ωCUm
I=ωCU
+ ... + + ... +
Z1n In Z2n In
= US11 = US22
⎪...
Zii：网孔i自阻抗
Zkj(k≠j)：网孔k与j的互阻抗
8第八章(阻抗和导纳)
+1
i (t ) -5sin( 314t 60° )
的(振幅)相量及相量图。
解 ： (1)振幅相量
+j
o i (t )= -5sin(314t 60 ) o o = 5cos(314t 60 90 ) m =5150 o I
。 5 150 5
。 150 0
+1
(2)相量图
2 s域模型 ②
→适用于线性动态电路的一般分析
模型变换的数学理论基础: 1 欧拉恒等式 2 拉普拉斯 变换。 1 、 2 两种模型均与电阻模型作类比，从而得 类比 以充分利用熟知的电阻电路分析方法。这是一 种手段，较简便地得到客观存在的动态电路时 域响应。
上一章曾求解过简单电路的正弦稳态问题，当时是通过待 定系数法求解微分方程的特解得出答案，即使电路简单，但 也显得麻烦。如果把时间的正弦函数变换为相应的复数(相量) 后，解微分方程特解的问题将可化作解代数方程的问题，且 可运用电阻电路的分析方法来处理正弦稳态分析问题，这就 是本章的主要内容。 本章分为两个部分，第一部分在引入阻抗、导纳的基础上 再引入相量模型，强调类比运用已熟悉的电阻电路的解法， 重点在求解电压、电流的瞬时值；第二部分引入相量图法， 重点在求解电压、电流的有效值和相位。
o o
i3 (t ) i1 (t ) i2 (t ) 37.32 cos wt 24.64 sin wt
24.64 37.32
44.72 cos(wt 33.43 )mA
o
结论：同频率正弦量之和仍为一同频率的正弦量
由此可设想：i1、i2和i3的关系也可用相量表示。
20 30o i1 (t ) I 1m
u(t)属于正弦函数的时域描述，而振幅相量属于复数域描述。 在不引起混淆时可将振幅相量简称为相量。
电路课件第8章阻抗与导纳
阻抗在电子设备中的应用
阻抗在通信系统中的应用
阻抗在音频和视频设备中的应 用
在电力系统中，导纳与阻抗是相互 对应的，用于描述电路中的电学特 性。
导纳的应用
在电力电子领域，导纳的应用也涉 及到开关电源、逆变器等电路的分 析和设计。
添加标题
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添加标题
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导纳的应用主要在于电力系统的分 析和设计，通过计算导纳矩阵，可 以确定电力系统的稳定性和性能。
实验步骤：搭建电路、设置参数、 进行实验、记录数据、分析结果
实验步骤与数据记录
实验目的：研究阻抗与导纳的性质及其影响因素
实验设备：信号发生器、示波器、电阻箱、电容箱、电感箱等
实验步骤：按照电路图连接电路，调整电阻箱、电容箱、电感箱等参数，观察示波器上的波形 变化，记录数据
数据记录：记录不同参数下的波形变化和数据，分析阻抗与导纳的性质及其影响因素
添加标题
添加标题
导纳是电导和电感的矢量和
路中的一个重要参数
阻抗与导纳的物理意义
阻抗的物理意义
阻抗是电路中电压与电流 之间的相位差
阻抗是电路中能量的转换 与传输的物理量
阻抗是电路中元件或系统 对电流的阻碍作用
阻抗是电路中元件或系统 对电压的响应
导纳的物理意义
导纳是阻抗的倒数，表示元件在电路中的导电能力 导纳与阻抗的关系是互为倒数，一个元件的导纳等于其阻抗的倒数 导纳是复数形式，包含实部和虚部，实部表示电阻，虚部表示电感和电容 导纳的大小取决于元件的材料、结构、频率等因素
电路PPT课件第8 章阻抗与导纳
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第8章 阻抗和导纳
f 50Hz
求：U和t=0.1秒时的瞬时值 解：
U m 310 U 220V 2 2
u Um cos 2 ft 310cos(100 0.1)
1V
例2 已知正弦电压源的频率为50Hz，初相为π/6弧度， 由交流电压表测得电源开路电压为220V。求该电源电 压的振幅、角频率，并写出其瞬时值表达式。
300 (1500 ) 1200
i2 ( t ) 3 cos( 100 t 30 )
0
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 号，且在主值范围比较。
4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其 平均效果工程上采用有效值来表示。 物 理 意 义 周期电流、电压有效值(effective value)定义
A |A|
A=a+jb A=|A|ej =|A|
| A | a 2 b 2 b θ arctg a
复数运算
a Re
或
a | A | cosθ b | A | sinθ
图解法
(1)加减运算——采用代数形式 若 则
A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
例
计算下列两正弦量的相位差。 解
(1) i1 (t ) 10cos( t 3 4) 100 i2 (t ) 10cos( t 2) 100
( 2) i1 ( t ) 10 cos( 100 t 30 0 ) i2 ( t ) 10 sin(100 t 15 0 ) ( 3) u1 ( t ) 10 cos( 100 t 30 0 ) u2 ( t ) 10 cos( 200 t 45 0 ) (4) i1 ( t ) 5 cos( 100 t 30 )
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2、由振幅相量求正弦量：
& Um = Um & =I Im m
θ → u(t) = Um cos(ωt + θ)
θ → i(t) = Im cos(ωt + θ)
上 页 下 页
例1
写出下列正弦量对应的振幅相量 1) i1 = −3sin(ωt + 60o ) → 2) i2 = −3cos(ωt + 60 ) →
上 页
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8-6 +
& Um
& Im
阻抗与导纳 +
& Im
+
1 jωC
& Im
R _
& Um
& Um
jωL
_
& Um =R & Im
_
& Um = jωL & Im
& Um 1 = & Im jωC
概括
& Um =Z & Im
+ 阻抗
& Um
& Im
Z
_
上 页 下 页
一、阻 抗 定义： 二端元件(网络) 电压相量与电流相量之比。
第三篇 动态电路的相量分析法 和s域分析法
上 页
下 页
相量分析法：正弦稳态电路 在单一频率正弦电压、电流激励下， 线性非时变渐近稳定电路中各支路电流 和电压，均为与激励同频率的正弦波。 s域分析法：线性非时变动态电路 激励不仅只是正弦波，研究的对象 可以是稳态，也可以是暂态。
上 页
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第八章 阻 抗 与 导 纳
上 页 下 页
例 已知A=6+j8=10∠53.1o ， B=-4.33+j2.5=5∠150o 计算A+B,A-B,A·B,A/B
上 页
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8-3
一、振幅相量： 欧拉公式： e
jθ
振幅相量
= cosθ + j sinθ θ = ωt
e = cosωt + j sinωt (e jωt ) cosωt = Re
u = 5cosωt V 1 u2 = 5sinωt V
求 u3
结果： 3 = 5 2 cos(ωt − 45o ) V u
上 页
下 页
8 - 5 三种基本电路元件VCR的相量形式 一、电阻元件 + u _ i 在正弦稳态中： R
i = Im cos(ωt +θi )
u = Um cos(ωt +θu )
C
B A θa
θb
O
模扩大a倍 辐角逆时针 旋转 θa +1
上 页 下 页
5.复数的除法——两种形式都可以
A a1 + ja 2 (a1 + ja 2 )(b1 − jb2 ) = = 2 2 B b1 + jb2 b1 + b2
(a1b1 + a2b2 ) + j(a2b1 − a1b2 ) = 2 2 b1 + b2
jωt
sinωt = Im e
( )
jωt
上 页 下 页
说明：正弦量可以看成一个复数的实部或虚部。
设： u (t) = Um cos(ωt + θ)
u(t ) = Re Ume
[
j (ω t +θ ) jθ
]
)
= U m∠θ
= Re(Ume ⋅ e & e jωt ) = Re(U
m
jω t
U 其中： & m = U m e 意义：
i = Im cos(ωt +θi )
u = Um cos(ωt +θu )
相量形式为：
du i =C dt & & I = jωCU
m
m
上 页
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含义
Im
θi = jωCUm
即
θu = ωCU m
θu + 90
o
Im = ωCUm
θi = θu + 90o
说明 1）电流超前电压90°； +j &
+j
A B –B –B
C
+1
上 页
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4. 复数的乘法——两种形式都可以
A⋅ B = (a1 + ja 2 )(b1 + jb2 ) = (a1b1 − a2b2 ) + j(a2b1 + a1b2 )
A = ae
+j
θa
jθa
B = be
j(θa +θb )
jθb
A⋅ B = abe
= ce
jθc
1 2
jθ
& Um与时间无关，是复值常数，称为振幅相量。 & 含有正弦量振幅和初相角两个要素,可 Um
以代表或表征正弦波，并不等于正弦波。
上 页 下 页
二、正弦量的振幅相量表示： 1、由正弦量求振幅相量：
u(t) = Um cos(ωt + θ) → Um = Umejθ = Um θ & i(t) = Im cos(ωt + θ) →&m = Imejθ = Im θ I
KVL：
∑u
k
=0
& Ukm = 0 ∑
上 页
下 页
例 1. 已知 i1 i3 i2
i1 = 3 2 cos ωt A i2 = 4 2 cos(ωt − 90 ) A
o
求 i3
o 结果： i3 = 5 2 cos(ωt + 53.1 ) A
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例2 + u3 _ + u1 _ + u2 _ 已知
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三、相量图 相量在复平面上的有向线段。
& Um = Um
+j
θ
& Um
Um
θ
O
+1
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例：画出 i1 =10cos(ωt + 30o )A
o
i2 = 5cos(ωt − 45 )A 和 o i3 =12.5cos(ωt +120 )A
对应的相量图，判断相位关系 . +j
& I3m
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含义 U θu = jωLIm m 即
θi = ωLIm
o
θi + 90
o
Um = ωLIm
θu = θi + 90
1）电流滞后电压90°；
说明
+j
& Um
u i
O
ω t
O
& Im
+1
2）电流电压关系与ω有关。 ω=0，相当于直流激励，Um=0，电感短路。
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例1：R=4Ω，
o
例2 写出下列振幅相量对应的正弦量 2 1) 2)
8
15
o o
5 − 30
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正误判断练习
& u = Um
& u → Um & u → Um i → &m I
& u = um
i →&m i
√ √ √
复数
实数瞬时值
& = 50 ej15° = 50 cos(ωt +150 ) Um
& = 50 e j15° ⇒50 cos(ωt +15o ) Um
& A ⇔ f1(t ) 1
& A ⇔ f2 (t ) 2
α1 , α2 为实数
& & & 则A(t ) = α1 A (t ) ±α2 A2 (t ) ⇔ A = α1 A ±α2 A2 1 1
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在正弦稳态中（具有相同频率）基尔霍夫定 律的相量形式
KCL：
∑i
k
=0
& I km = 0 ∑
直接求解 原来 问题 变换 变换域 中较易 问题 求解 原来问 题解答 反变换
变换域 中问题 解答
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8-2 一、复数的定义:
复数
A = a1 + ja2
其中 ： j = − 1
直角坐标形式 亦称代数形式 Re Im
二、复数的几何意义——在复平面上的一个点 +j A a2 a1 +1
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θa
O
θb
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复数j的物理意义： 复数j的物理意义： 一个复数乘以 j
jA
o
jA = 1∠90 ⋅ a∠θ = a∠θ + 90
o
θ
A
结论： 结论：
任一个复数乘以+j后 任一个复数乘以+j后，逆时针旋转 +j 90度 乘以- 顺时针旋转90度 90度；乘以-j顺时针旋转90度，故称 j 90 为90度旋转因子。 90度旋转因子。
jθ
jθ
直角坐标形式(直接展开)
∴A = ae = a(cos θ + jsin θ) = a cos θ + ja sin θ = a1 + ja2
a1 = a cos θ ∴ a2 = a sin θ
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2. 直角坐标形式 +j a2 a θ
O
极坐标形式（解直角△）
A
a = a 2 + a 2 1 2 a2 θ = arctg a1
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例2：C=0.5F，i =
2 cos(100t − 30 )A ，求u 。
& Um = Um & =I Im m
θ → u(t) = Um cos(ωt + θ)
θ → i(t) = Im cos(ωt + θ)
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例1
写出下列正弦量对应的振幅相量 1) i1 = −3sin(ωt + 60o ) → 2) i2 = −3cos(ωt + 60 ) →
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8-6 +
& Um
& Im
阻抗与导纳 +
& Im
+
1 jωC
& Im
R _
& Um
& Um
jωL
_
& Um =R & Im
_
& Um = jωL & Im
& Um 1 = & Im jωC
概括
& Um =Z & Im
+ 阻抗
& Um
& Im
Z
_
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一、阻 抗 定义： 二端元件(网络) 电压相量与电流相量之比。
第三篇 动态电路的相量分析法 和s域分析法
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相量分析法：正弦稳态电路 在单一频率正弦电压、电流激励下， 线性非时变渐近稳定电路中各支路电流 和电压，均为与激励同频率的正弦波。 s域分析法：线性非时变动态电路 激励不仅只是正弦波，研究的对象 可以是稳态，也可以是暂态。
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第八章 阻 抗 与 导 纳
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例 已知A=6+j8=10∠53.1o ， B=-4.33+j2.5=5∠150o 计算A+B,A-B,A·B,A/B
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8-3
一、振幅相量： 欧拉公式： e
jθ
振幅相量
= cosθ + j sinθ θ = ωt
e = cosωt + j sinωt (e jωt ) cosωt = Re
u = 5cosωt V 1 u2 = 5sinωt V
求 u3
结果： 3 = 5 2 cos(ωt − 45o ) V u
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8 - 5 三种基本电路元件VCR的相量形式 一、电阻元件 + u _ i 在正弦稳态中： R
i = Im cos(ωt +θi )
u = Um cos(ωt +θu )
C
B A θa
θb
O
模扩大a倍 辐角逆时针 旋转 θa +1
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5.复数的除法——两种形式都可以
A a1 + ja 2 (a1 + ja 2 )(b1 − jb2 ) = = 2 2 B b1 + jb2 b1 + b2
(a1b1 + a2b2 ) + j(a2b1 − a1b2 ) = 2 2 b1 + b2
jωt
sinωt = Im e
( )
jωt
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说明：正弦量可以看成一个复数的实部或虚部。
设： u (t) = Um cos(ωt + θ)
u(t ) = Re Ume
[
j (ω t +θ ) jθ
]
)
= U m∠θ
= Re(Ume ⋅ e & e jωt ) = Re(U
m
jω t
U 其中： & m = U m e 意义：
i = Im cos(ωt +θi )
u = Um cos(ωt +θu )
相量形式为：
du i =C dt & & I = jωCU
m
m
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含义
Im
θi = jωCUm
即
θu = ωCU m
θu + 90
o
Im = ωCUm
θi = θu + 90o
说明 1）电流超前电压90°； +j &
+j
A B –B –B
C
+1
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4. 复数的乘法——两种形式都可以
A⋅ B = (a1 + ja 2 )(b1 + jb2 ) = (a1b1 − a2b2 ) + j(a2b1 + a1b2 )
A = ae
+j
θa
jθa
B = be
j(θa +θb )
jθb
A⋅ B = abe
= ce
jθc
1 2
jθ
& Um与时间无关，是复值常数，称为振幅相量。 & 含有正弦量振幅和初相角两个要素,可 Um
以代表或表征正弦波，并不等于正弦波。
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二、正弦量的振幅相量表示： 1、由正弦量求振幅相量：
u(t) = Um cos(ωt + θ) → Um = Umejθ = Um θ & i(t) = Im cos(ωt + θ) →&m = Imejθ = Im θ I
KVL：
∑u
k
=0
& Ukm = 0 ∑
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例 1. 已知 i1 i3 i2
i1 = 3 2 cos ωt A i2 = 4 2 cos(ωt − 90 ) A
o
求 i3
o 结果： i3 = 5 2 cos(ωt + 53.1 ) A
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例2 + u3 _ + u1 _ + u2 _ 已知
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三、相量图 相量在复平面上的有向线段。
& Um = Um
+j
θ
& Um
Um
θ
O
+1
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例：画出 i1 =10cos(ωt + 30o )A
o
i2 = 5cos(ωt − 45 )A 和 o i3 =12.5cos(ωt +120 )A
对应的相量图，判断相位关系 . +j
& I3m
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含义 U θu = jωLIm m 即
θi = ωLIm
o
θi + 90
o
Um = ωLIm
θu = θi + 90
1）电流滞后电压90°；
说明
+j
& Um
u i
O
ω t
O
& Im
+1
2）电流电压关系与ω有关。 ω=0，相当于直流激励，Um=0，电感短路。
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例1：R=4Ω，
o
例2 写出下列振幅相量对应的正弦量 2 1) 2)
8
15
o o
5 − 30
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正误判断练习
& u = Um
& u → Um & u → Um i → &m I
& u = um
i →&m i
√ √ √
复数
实数瞬时值
& = 50 ej15° = 50 cos(ωt +150 ) Um
& = 50 e j15° ⇒50 cos(ωt +15o ) Um
& A ⇔ f1(t ) 1
& A ⇔ f2 (t ) 2
α1 , α2 为实数
& & & 则A(t ) = α1 A (t ) ±α2 A2 (t ) ⇔ A = α1 A ±α2 A2 1 1
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在正弦稳态中（具有相同频率）基尔霍夫定 律的相量形式
KCL：
∑i
k
=0
& I km = 0 ∑
直接求解 原来 问题 变换 变换域 中较易 问题 求解 原来问 题解答 反变换
变换域 中问题 解答
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8-2 一、复数的定义:
复数
A = a1 + ja2
其中 ： j = − 1
直角坐标形式 亦称代数形式 Re Im
二、复数的几何意义——在复平面上的一个点 +j A a2 a1 +1
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θa
O
θb
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复数j的物理意义： 复数j的物理意义： 一个复数乘以 j
jA
o
jA = 1∠90 ⋅ a∠θ = a∠θ + 90
o
θ
A
结论： 结论：
任一个复数乘以+j后 任一个复数乘以+j后，逆时针旋转 +j 90度 乘以- 顺时针旋转90度 90度；乘以-j顺时针旋转90度，故称 j 90 为90度旋转因子。 90度旋转因子。
jθ
jθ
直角坐标形式(直接展开)
∴A = ae = a(cos θ + jsin θ) = a cos θ + ja sin θ = a1 + ja2
a1 = a cos θ ∴ a2 = a sin θ
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2. 直角坐标形式 +j a2 a θ
O
极坐标形式（解直角△）
A
a = a 2 + a 2 1 2 a2 θ = arctg a1
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例2：C=0.5F，i =
2 cos(100t − 30 )A ，求u 。