第4章-2(阻抗与导纳)
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微波技术原理 第4章 微波网络基础
若已知归一化阻抗矩阵，就可求出散射矩阵。 反之，若知道散射矩阵，也可求出归一化阻抗矩阵。
7. 互易网络和无损网络的散射矩阵的性质
根据广义散射矩阵的定义得到：
(1) 互易网络的 [z]为对称矩阵，即 [z ]=[z ]T 。 可见，互易网络的散射矩阵是对称矩阵 [S]=[S]T 。
(2) 无损网络各端口的总输入能量等于总输出能量。
第4章 微波网络基础
微波系统中除了传输线外，还有各种各样的微波 元件或接头等非均匀区域。因为这些非均匀区域的形 状不规则，在其中的微波传输规律很复杂。因此，要 想通过求解麦克斯韦方程组得出其中的传输规律是不 可能的。
实际上，我们并不需要知道微波在其中的传输规 律，而只需知道这些非均匀区与外电路连接的端口特 性。所以通常将其等效为一个网络，称为微波网络。
微波网络的端口及其参考面举例
对于单模传输系统，微波网络的端口数 = 被等效区 域与外电路的接口数目 = 参考面的数目。
§4.3 微波网络的端口特性参量
1. 阻抗矩阵和导纳矩阵
V
2
I-2
V+2 I+2
I-3 V-3 I+3 V+3
I+1
V+1
I-1
V-1
I-N
I+N
V-N
V+N
2. 微波网络的互易性
从无耗网络的各个端口输入的总能量为 0。
互易网络的阻抗矩阵是对称的，因此，既互易又
无耗的网络满足：
（实部为0）
这说明，互易无耗网络的阻抗矩阵元为纯电抗。
例1 求下图的两端口网络的Z参量
ZA
ZB
端口1，V1
ZC
V2，端口2
根据定义：
7. 互易网络和无损网络的散射矩阵的性质
根据广义散射矩阵的定义得到：
(1) 互易网络的 [z]为对称矩阵，即 [z ]=[z ]T 。 可见，互易网络的散射矩阵是对称矩阵 [S]=[S]T 。
(2) 无损网络各端口的总输入能量等于总输出能量。
第4章 微波网络基础
微波系统中除了传输线外，还有各种各样的微波 元件或接头等非均匀区域。因为这些非均匀区域的形 状不规则，在其中的微波传输规律很复杂。因此，要 想通过求解麦克斯韦方程组得出其中的传输规律是不 可能的。
实际上，我们并不需要知道微波在其中的传输规 律，而只需知道这些非均匀区与外电路连接的端口特 性。所以通常将其等效为一个网络，称为微波网络。
微波网络的端口及其参考面举例
对于单模传输系统，微波网络的端口数 = 被等效区 域与外电路的接口数目 = 参考面的数目。
§4.3 微波网络的端口特性参量
1. 阻抗矩阵和导纳矩阵
V
2
I-2
V+2 I+2
I-3 V-3 I+3 V+3
I+1
V+1
I-1
V-1
I-N
I+N
V-N
V+N
2. 微波网络的互易性
从无耗网络的各个端口输入的总能量为 0。
互易网络的阻抗矩阵是对称的，因此，既互易又
无耗的网络满足：
（实部为0）
这说明，互易无耗网络的阻抗矩阵元为纯电抗。
例1 求下图的两端口网络的Z参量
ZA
ZB
端口1，V1
ZC
V2，端口2
根据定义：
阻抗与导纳
+
X L = ωL = 314 × 254 × 10 = 79.8Ω 1 1 XC = = = 39.8Ω −6 ωC 314 × 80 × 10
−3
Z = R + j( X L − X C ) = 30 + j(79.8 - 39.8)
= ( 30 + j40) = 50∠53.1o Ω
ɺ U 220∠20o ɺ I= = = 4.4∠ − 33.1o A Z 50 ∠53o
1 Z= Y
或
1 Y= Z
1、极坐标形式Z、Y之间的等效互换 、极坐标形式 、 之间的等效互换 形式 1 Z= 1 Y 即： ϕ 若 Z = Z ∠ϕ 则 Z∠ = Y∠ ′ ϕ ϕ = −ϕ′ 2、直角坐标形式Z、Y间的等效互换 、直角坐标形式 、 间的等效互换 形式 (1) 已知 Z=R+jX
1 则 Y = =G+ jB ： Z
2
2
Z
ϕ
X
R
阻抗三角形
ɺ U ∵ = Z ɺ I ɺ U ɺ ∴ ɺ = ZI =( R+jX) I
•
+
•
I
U
_
N
ɺ ɺ ɺ ɺ = RI +jXI =UR+UX
UR 与 I 同相
•
•
π UX 与 I 相差 2
•
•
•
I
+
U
U UX ϕ UR
•
•
UX I
•
•
R
jX
•
U
+ ɺ _ UR +
ϕ
UR
_
ɺ UX _
2
+ U – +U – ɺ1 ɺ + U – ɺ
X L = ωL = 314 × 254 × 10 = 79.8Ω 1 1 XC = = = 39.8Ω −6 ωC 314 × 80 × 10
−3
Z = R + j( X L − X C ) = 30 + j(79.8 - 39.8)
= ( 30 + j40) = 50∠53.1o Ω
ɺ U 220∠20o ɺ I= = = 4.4∠ − 33.1o A Z 50 ∠53o
1 Z= Y
或
1 Y= Z
1、极坐标形式Z、Y之间的等效互换 、极坐标形式 、 之间的等效互换 形式 1 Z= 1 Y 即： ϕ 若 Z = Z ∠ϕ 则 Z∠ = Y∠ ′ ϕ ϕ = −ϕ′ 2、直角坐标形式Z、Y间的等效互换 、直角坐标形式 、 间的等效互换 形式 (1) 已知 Z=R+jX
1 则 Y = =G+ jB ： Z
2
2
Z
ϕ
X
R
阻抗三角形
ɺ U ∵ = Z ɺ I ɺ U ɺ ∴ ɺ = ZI =( R+jX) I
•
+
•
I
U
_
N
ɺ ɺ ɺ ɺ = RI +jXI =UR+UX
UR 与 I 同相
•
•
π UX 与 I 相差 2
•
•
•
I
+
U
U UX ϕ UR
•
•
UX I
•
•
R
jX
•
U
+ ɺ _ UR +
ϕ
UR
_
ɺ UX _
2
+ U – +U – ɺ1 ɺ + U – ɺ
阻抗和导纳
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳) 阻抗和导纳 基本要求：
阻抗、导纳的概念 阻抗角、导纳角的概念 感性、容性的概念
1
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
在正弦稳态情况下，口电压相量与口电流相量之比称 策动点阻抗或驱动点阻抗（简称阻抗）
Z ( j)
Um Im
Um Im
e j(u i )
1/ jC
IS
I1
I2
R1
R2 U0
U 01
R2 I 2
R1R2 R1 R2
1 jC
IS
9083.16
u01
2[90sin(t 83.16 )]
11
§8.2 正弦稳态分析(相量法)
②当=10rad/s时
U 02
R2 I 2
R1
R1R2
R2
1 j10C
IS
57639.8
Y ( j)
Im Um
Im Um
e j(i u )
Im Um
i
u
I
Y Y Y cosY j Y sin Y
G jB
U
其中 Y 导纳的模 Y 导纳角，约定 90 剟Y
G 电导，B 电纳。 对同一端口，在同一频率下
90
Y1 Z
jB G
3
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
7
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
阻抗不同于正弦量的复数表示，它不是一个相量，而 是一个复数计算量。
• 对同一端口来说 R 1
G
X1 B
Y1 1
R jX
Z R jX (R jX )(R jX )
阻抗、导纳的概念 阻抗角、导纳角的概念 感性、容性的概念
1
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
在正弦稳态情况下，口电压相量与口电流相量之比称 策动点阻抗或驱动点阻抗（简称阻抗）
Z ( j)
Um Im
Um Im
e j(u i )
1/ jC
IS
I1
I2
R1
R2 U0
U 01
R2 I 2
R1R2 R1 R2
1 jC
IS
9083.16
u01
2[90sin(t 83.16 )]
11
§8.2 正弦稳态分析(相量法)
②当=10rad/s时
U 02
R2 I 2
R1
R1R2
R2
1 j10C
IS
57639.8
Y ( j)
Im Um
Im Um
e j(i u )
Im Um
i
u
I
Y Y Y cosY j Y sin Y
G jB
U
其中 Y 导纳的模 Y 导纳角，约定 90 剟Y
G 电导，B 电纳。 对同一端口，在同一频率下
90
Y1 Z
jB G
3
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
7
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
阻抗不同于正弦量的复数表示，它不是一个相量，而 是一个复数计算量。
• 对同一端口来说 R 1
G
X1 B
Y1 1
R jX
Z R jX (R jX )(R jX )
微波工程-第4章微波网络分析
2Z0d 0.694 Z0d Z0a
电阻与耗散功率有关
4 Wm We I
2
电抗与储能有关
* 端口阻抗和反射系数的奇偶性
Z R jX Z 0 1 1
j
T=
波导模式的波阻抗——与传输线的形状、材料、频率和模式有关
Et 1 120 Zw H t Yw e Z TE or Z TM TEM quasi-TEM TE or TM
U , H
需满足条件三：人为指定特征阻抗（三种定义原则） 1. 特征阻抗等于波阻抗 （特定模式的波阻抗） 2. 特征阻抗等于1
特性之间的关系时，可以采用类似于低频时的网络理论对微 波传输线或元器件进行分析。
取定参考面 ti ，参考面以内是不均匀的，参考面以外是均匀传输线； 将参考面以内的不均匀性等效成 N 端口网络； 将参考面以外的均匀传输线等效成双导线。
微波工程基础 第四章 微波网络分析
微波工程基础 第四章 微波网络分析 非TEM模的等效电压和电流（没有唯一解!!!）
I1 0
Z12
V1 I2
I1 0
V2 ZC ZC Z21 I2 ZB Z C
V1 S11 V2 S 21 SN1 VN
S12 S 22 SN 2
S1N V1 S2 N V2 S NN VN
Y0 iY0 j
P
n 1
N
n
0
单位矩阵——只有对角线上元素为1， 其余元素均为0 * 广义散射矩阵与归一化阻抗矩阵的关系
S Z U
电阻与耗散功率有关
4 Wm We I
2
电抗与储能有关
* 端口阻抗和反射系数的奇偶性
Z R jX Z 0 1 1
j
T=
波导模式的波阻抗——与传输线的形状、材料、频率和模式有关
Et 1 120 Zw H t Yw e Z TE or Z TM TEM quasi-TEM TE or TM
U , H
需满足条件三：人为指定特征阻抗（三种定义原则） 1. 特征阻抗等于波阻抗 （特定模式的波阻抗） 2. 特征阻抗等于1
特性之间的关系时，可以采用类似于低频时的网络理论对微 波传输线或元器件进行分析。
取定参考面 ti ，参考面以内是不均匀的，参考面以外是均匀传输线； 将参考面以内的不均匀性等效成 N 端口网络； 将参考面以外的均匀传输线等效成双导线。
微波工程基础 第四章 微波网络分析
微波工程基础 第四章 微波网络分析 非TEM模的等效电压和电流（没有唯一解!!!）
I1 0
Z12
V1 I2
I1 0
V2 ZC ZC Z21 I2 ZB Z C
V1 S11 V2 S 21 SN1 VN
S12 S 22 SN 2
S1N V1 S2 N V2 S NN VN
Y0 iY0 j
P
n 1
N
n
0
单位矩阵——只有对角线上元素为1， 其余元素均为0 * 广义散射矩阵与归一化阻抗矩阵的关系
S Z U
节点导纳和阻抗矩阵
Z ii—节点i的自阻抗或输入阻抗
Z ij—节点i和j之间的互阻抗
∑ Zij I j = Vi
j =1
n
—节点方程第i行
≠ 0, 如果令 I k
=V 则有 Z ik I k i
= I 0 j
或
1, 2,..., n, j ≠ k ) (j=
V Z ik = i I k
0, j ≠ k I = j
Z1q Z 2q Z iq Z pq Z qq
阻抗矩阵中对应于网络 原有部分的全部元素保 持原有数值不变
Z qq = ziq + Z ii
2. 追加连枝
叠加原理和替代定理
= Z I V i i1 1 + Z i 2 I 2 + + Z ik ( I k − I km ) + + Z im ( I m + I km ) + + Z ip I p =
YZ j = e j
Zj
ej
物理意义：当节点j注入单位电流，其余节点的注入电流都等于零时，网络各 节点的电压在数值上就同阻抗矩阵的第j列的对应元素相等。
Y = LDU
LF = e j fi = =F DH UZ = H j
n
i< j 0 1 i j = i −1 l f i> j − ∑ k = j ik k
三、节点导纳矩阵的修改
根据原始节点导纳矩阵和修改的网络接线方式，快速形成修改后 的节点导纳矩阵
(0) Y y + ii ik Y = − yik
− yik yik
阻抗和导纳
2006-1-1
！
3
阻抗和导纳(3)
İ
+
V
N0
−
İR
+
V
jX
−
İ + V G jB
−
İ + 或V
−
Z=R+jX
İ + 或V
−
Y=G+jB
图5.11 二端无源网络及其串联与并联等效电路
2006-1-1
！
4
阻抗和导纳(4)
在串联等效电路中，若X > 0，即ΨZ > 0，则电路具有电感特性，呈现感性；若X < 0，即ΨZ < 0，则电路具有电容特性，呈现容性。在并联等效电路中，若B > 0，即ΨY > 0，则电路具有电容特性，呈现容性；若B < 0，即ΨY < 0，则电 路具有电感特性，呈现感性。
例 电路如图5.10(a)所示。请问其等效阻抗和等效导纳。
解 由于已知端电流为、端电压为，则
Z
V I
16
245 40
4
245 4 j4()
Y
I V
40 16 245
2 45 1 j 1 (S)
8
88
2006-1-1
！
5
阻抗和导纳(5)
并可按照图5.11画出其等效电路，且可以看出，该电路呈感性。 当然，该例题也可直接根据电路的相量模型，写出等效阻抗为
这里，G为电Y导分VI量、VI B为(Ψ电i Ψ纳v分) 量G、 jΨB Y 为Y 导纳Y 角。
(5.27)
可以看出，对于同一网络有 |Z| = 1/|Y| 和 ΨZ = −ΨY的关系存在。根据式(5.26)和 式(5.27)可知，一个二端无源网络可以等效为一个电阻与一个电抗串联或一个 电导与一个电纳并联的形式，如图5.11所示。
电路中的阻抗与导纳
电路中的阻抗与导纳电路中的阻抗（Impedance）和导纳（Admittance）是电学中非常重要的两个概念。
阻抗是电路对交流电（AC）的抵抗能力，和电阻（Resistance）一样，单位是欧姆（Ohm），但是阻抗是一个复数。
导纳是电路对交流电的导电能力，和电导（Conductance）一样，单位是西门子（Siemens），也是一个复数。
1. 阻抗的定义和计算阻抗是电路对交流电的阻力，包括电容（Capacitance）、电感（Inductance）和电阻三种形式。
以电容为例，如果向电容放入交流电，首先会充电，然后在自身两极之间建立电场，导致电流的变化速度越来越慢，最后达到平衡状态。
因此，电容对交流电的阻力，和电流的相位差为90度。
电容的阻抗可以用以下公式计算：Z_c = 1/ jωC其中，Z_c 是电容的阻抗，j是虚数单位，ω是角频率（radians per second），C是电容的电容值（Farads）。
同理，电感的阻抗为：Z_l = jωL其中，Z_l 是电感的阻抗，L是电感的感抗值（Henries）。
电阻的阻抗为：Z_r = R其中，Z_r是电阻的阻抗，R是电阻的阻值（Ohms）。
将三种元件的阻抗按照欧姆定律叠加，可以得到整个电路的阻抗。
2.导纳的定义和计算导纳是对阻抗的倒数，“导纳”这个词在中文中的用法并不广泛，可能大家比较熟悉“电导”这个词，但是它们的意思是类似的。
导纳的计算方法如下：Y = 1/Z其中，Z是电路的阻抗，Y是电路的导纳。
导纳的好处在于，它更适合于串联和并联电路的计算。
将电路分解成元件，然后按照电路图的框架计算总的导纳，可以很方便地计算整个电路的电流和电压。
通过计算单元件的导纳，我们可以得到电路的传输特性，从而更好地理解电路的工作原理。
3.阻抗和导纳的应用阻抗和导纳在电路设计中有广泛的应用。
在RF电路中，阻抗匹配是非常重要的，它可以让信号在电路中以最大功率传输，从而减小反射损耗。
阻抗与导纳
Z12 Z 23 Z2 Z12 Z 23 Z 31
Z 23 Z 31 Z3 Z12 Z 23 Z 31
使用以上公式时注意以下几点：
熟记基本元件的阻抗和导纳。 同一元件或同一端口的阻抗和导纳互为倒数。
一般来讲，以上各公式中的阻抗和导纳用各 自的模表示时，各等式不成立。 例： Z Z1 Z 2 Z 3 Z n 和电阻电路中的分压、分流公式相同，在使 用时，要注意符号与参考方向的关系。
o
C
注意： U U U U R L C
例2 如图所示电路。已知R1=3、 R2=8， o u 220 2 sin( 314 t 10 )V XC=6 、XL=4 ， 求：各支路电流及总电流的瞬时值表达式。 I i 解: U 22010 o V
Z1 R1 jX L 3 j4 Z 2 R2 jX c 8 j6
3
Z R j( X L X C ) 30 j(79.8 - 39.8)
(30 j40) 5053.1o
22020o U o I 4.4 33 . 1 A o Z 5053
u R – + u u L – + u – C –
R L C
+ i1 u
。
2 1 I I
R1
XL
i2
R2
Xc
+
U
R1
R2
22010o 22010o U – – 1 I Z1 3 j4 553o 44 43 o A 相量模型 o o U 220 10 220 10 o 2 I 22 47 A o Z2 8 j6 10 37 o i 44 2 sin( 314 t 43 )A 1 o o I 1 I 2 44 43 2247 A I o
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UN 1102 R' 202 PN 60
2
白炽灯和电阻串联，电阻阻值R=202Ω时白炽灯 可正常工作， 直流电路中电感元件相当于短路，所以无论接多 大的电感，220V电压都会全部加在白炽灯上，白 炽灯就会因过电压而烧损； 电容元件在直流电路中相当于开路，因此无论接 多大的电容，白炽灯中均无电流。
实部G：电导分量 （ 正值） 虚部B：电纳分量 （可正可负）
Y G jB Y Y
导纳模
导纳角
导纳Y的几种表达式之间的关系 B 2 2 Y G B Y arctan G G Y cos Y B Y sin Y
I I Y （ i u ) U U
+
U
Z + 解： Z1 U 1
+ Z2 U 2
I
Z1 Z 2 (6.16 2.5) j(9 4) 8.66 j5 10 30Ω
-
-
-
22030 U I 22 0A Z 1030
Z I U 1 1 (6.16 j9) 220 10.955.6 220 239.855.6V Z I (2.5 j4) 220 103.6 58V 同理：U
XL |Z|
|Z| R
R
RL串联电路
XC RC串联电路 XL-XC
|Z| R RLC串联电路
串联电路的相量模型分析
I U UR UL U I UR UC RC串相量模型 U I UR UL UC
RL串相量模型
RLC串相量模型
串联电路中，各元件上通过的电流相同，因此在相量分析 中，应以电流为参考相量（参考相量画在正向实轴位置上）。 UL U
电阻 电抗
2 2
阻抗模
X z arctg R X | Z | sin z
阻抗角
| Z | R X
R | Z | cos z
U U U u Z ( u i ) I i I I
U Um | Z | I Im
z 0 电压超前电流，感性
z u i
z 0 电压滞后电流，容性
z 0 电压电流同相，阻性
4.3.2
用阻抗法分析串联电路
相量模型将所有元件以相量形式表示：
C jX C的阻抗
R R的阻抗
i + uR － R L － uC
L jX L 的阻抗 ， I 相量 u，i U
+ U R － I
Z R j( X L X C )
5
1 5 j (2 10 6 10 ) 5 6 2 10 0.001 10
3
5 j 3.8 6.28 37.2 k
z 0 ，电路呈容性。
如果几个理想元件相串联时，阻抗的模和幅角 可由以下三角形求出：
1 1 解： G 0.2 S R 5 1 1 BL 6 0.2 S 6 L 10 5 10
BC C 106 0.4 106 0.4 S
Y G j ( BC BL ) 0.2 j (0.4 0.2) 0.2 j 0.2 0.2 245 S
阻抗串联电路分析
由KVL: U = U1+U2 U = Z1I + Z2I = ( Z1 +Z2 ) I U=ZI
I
+ +
Z1 Ｕ1
Ｕ
－
+
Z2 Ｕ2
－
－
Z = Z1+Z2 = (R1+R2) + j (X1+X2)
分压 U 1 公式：
Z1 U Z1 Z 2
Z2 U Z1 Z 2
3、阻抗与导纳的等效互换 对于同一无源网络Z与Y互为倒数，即
1 Z Y
若 Z Z Z
或
1 Y Z
（1）极坐标形式Z、Y之间的等效互换
1 Z Y 即：
1 则 Z Z Y Y
Z Y
（2）代数形式Z、Y间的等效互换 ① 已知 Z=R+jX
1 则：Y G jB Z
Cm C m
i sin( 10 t 45) ｍA u R 5 sin( 106 t 45) V u L 6 sin( 10 t 45) V uC sin(106 t 135) V
6
U C
U R
6
U L
U
I
（2）当角频率变为2×105 rad/s 时，电路阻抗为：
103.6 58V
U 1 U 2 注意： U
U U1 U 24.ຫໍສະໝຸດ .3导纳+
如果无源网络端口上电压相量和电流相量参考方 向一致，其导纳定义为
Y I U
I
U
Y
其中导纳Y的单位是西门子（S） 对导纳说明以下几点： 1、导纳Y是一个复数
_
Y G jB
② 已知 Y=G+jB
G
R R2 X 2
B
X R2 X 2
1 Z R jX Y
注意：
一般
G R 2 G B2
B X 2 G B2
1 G R
1 B X
4.3.4
用导纳法分析并联电路
G — 电导（电阻的倒数） BL — 感纳（感抗的倒数） BC — 容纳（容抗的倒数）
UR I UC U
UL
ULC
U
UR I UC RL串相量图 RC串相量图
UR I
UC RLC串相量图
UL
U
I U C
UR U
I
UC
UL ULC U
UC
UR I
UR
RL串相量图
RC串相量图
RLC串相量图
由相量图可以看出： RL串联电路中总电压超前电流一个φ角； RC串联电路中总电压滞后电流一个φ角； RLC串联电路中， 若UL>UC，则总电压超前电流一个φ角， 若UL<UC，则总电压滞后电流一个φ角， 若UL=UC时，总电压与电流同相，相位差φ=0， 电路出现串联谐振。
－
－jXC
－
由KVL： U U U U R L C
ZI [ R j ( X L X C )]I
Z R j ( X L X C ) R jX
X XL XC
1 （1）当L 时，X > 0， z 0 ，电路呈感性。 C 1 （2）当L 时，X < 0， z 0 ，电路呈容性。 C 1 （3）当L 时，X = 0， z 0 ，电路呈电阻性。 C
2 2
I
+
或利用分压公式：
U
+ Z1 6.16 j9 Z1 U 1 U 220 30 - U1 Z1 Z 2 8.66 j5 + Z2 U 239.8 55.6V 2
-
-
U 2
Z2 2.5 j4 U 220 30 Z1 Z 2 8.66 j5
Z R j( X L X C ) 5 j (6 1) 5 245 kΩ
z 0 ，电路呈感性。
5 20V 电压相量为： U m
U 5 20 m Im 1 45mA Z 5 245
RI 5 1 45 5 45V U Rm m jX I j 6 1 45 645V U Lm L m jX I j1 1 45 1 135V U
式中：
Y i u
I Y U
2、由于电路结构、参数或电源频率的不同导纳角 Y 会出现以下三种情况：
（1） Y 0 电流超前电压，电路呈容性。 （2） Y 0 电流滞后电压，电路呈感性。 （3） Y 0
(B 0
Y G)
电流与电压同相，电路呈阻性， 电路发生并联谐振。
导纳的又可表示为：
Y G j ( BC BL )
B BC BL
单一元件R、L、C的导纳分别为： 1 YR G R 1 1 1 YL j jBL BL jL L L
YC 1 1 j c jc jBC BC C
例：RLC并联电路中，R=5Ω，L=5μH，C=0.4μF， 电压有效值U=10V，ω=106rad/s， 求：总电流i，并说明电路的性质。
(47.2 j13.9) 49.2 -16.4 A
i1 44 2 sin( 314t 43o )A
i2 22 2 sin( 314t 47 o )A
i 49.2 2 sin( 314t 16.4o )A
思考 练习
1. 一个110V、60W的白炽灯，用一个电阻、一个电 感或一个电容分别和它串联，接到220V直流电源 上，结果如何？ 白炽灯的灯丝电阻为：
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Z =∑Z i = ∑R i + ∑j X i
对于阻抗模一般 注意：
U 2
Z Z1 Z 2
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例: 有两个阻抗 Z1 6.16 j9Ω Z 2 2.5 j4Ω 220 30V 的电源; 它们串联接在 U 和U 、U 求: I 1 2
求：各支路电流及总电流的瞬时值表达式。
i
I
+ i1
u –
R1
XL
i2
R2
Xc
+
U
R1
1 I
R2
2 I
2
白炽灯和电阻串联，电阻阻值R=202Ω时白炽灯 可正常工作， 直流电路中电感元件相当于短路，所以无论接多 大的电感，220V电压都会全部加在白炽灯上，白 炽灯就会因过电压而烧损； 电容元件在直流电路中相当于开路，因此无论接 多大的电容，白炽灯中均无电流。
实部G：电导分量 （ 正值） 虚部B：电纳分量 （可正可负）
Y G jB Y Y
导纳模
导纳角
导纳Y的几种表达式之间的关系 B 2 2 Y G B Y arctan G G Y cos Y B Y sin Y
I I Y （ i u ) U U
+
U
Z + 解： Z1 U 1
+ Z2 U 2
I
Z1 Z 2 (6.16 2.5) j(9 4) 8.66 j5 10 30Ω
-
-
-
22030 U I 22 0A Z 1030
Z I U 1 1 (6.16 j9) 220 10.955.6 220 239.855.6V Z I (2.5 j4) 220 103.6 58V 同理：U
XL |Z|
|Z| R
R
RL串联电路
XC RC串联电路 XL-XC
|Z| R RLC串联电路
串联电路的相量模型分析
I U UR UL U I UR UC RC串相量模型 U I UR UL UC
RL串相量模型
RLC串相量模型
串联电路中，各元件上通过的电流相同，因此在相量分析 中，应以电流为参考相量（参考相量画在正向实轴位置上）。 UL U
电阻 电抗
2 2
阻抗模
X z arctg R X | Z | sin z
阻抗角
| Z | R X
R | Z | cos z
U U U u Z ( u i ) I i I I
U Um | Z | I Im
z 0 电压超前电流，感性
z u i
z 0 电压滞后电流，容性
z 0 电压电流同相，阻性
4.3.2
用阻抗法分析串联电路
相量模型将所有元件以相量形式表示：
C jX C的阻抗
R R的阻抗
i + uR － R L － uC
L jX L 的阻抗 ， I 相量 u，i U
+ U R － I
Z R j( X L X C )
5
1 5 j (2 10 6 10 ) 5 6 2 10 0.001 10
3
5 j 3.8 6.28 37.2 k
z 0 ，电路呈容性。
如果几个理想元件相串联时，阻抗的模和幅角 可由以下三角形求出：
1 1 解： G 0.2 S R 5 1 1 BL 6 0.2 S 6 L 10 5 10
BC C 106 0.4 106 0.4 S
Y G j ( BC BL ) 0.2 j (0.4 0.2) 0.2 j 0.2 0.2 245 S
阻抗串联电路分析
由KVL: U = U1+U2 U = Z1I + Z2I = ( Z1 +Z2 ) I U=ZI
I
+ +
Z1 Ｕ1
Ｕ
－
+
Z2 Ｕ2
－
－
Z = Z1+Z2 = (R1+R2) + j (X1+X2)
分压 U 1 公式：
Z1 U Z1 Z 2
Z2 U Z1 Z 2
3、阻抗与导纳的等效互换 对于同一无源网络Z与Y互为倒数，即
1 Z Y
若 Z Z Z
或
1 Y Z
（1）极坐标形式Z、Y之间的等效互换
1 Z Y 即：
1 则 Z Z Y Y
Z Y
（2）代数形式Z、Y间的等效互换 ① 已知 Z=R+jX
1 则：Y G jB Z
Cm C m
i sin( 10 t 45) ｍA u R 5 sin( 106 t 45) V u L 6 sin( 10 t 45) V uC sin(106 t 135) V
6
U C
U R
6
U L
U
I
（2）当角频率变为2×105 rad/s 时，电路阻抗为：
103.6 58V
U 1 U 2 注意： U
U U1 U 24.ຫໍສະໝຸດ .3导纳+
如果无源网络端口上电压相量和电流相量参考方 向一致，其导纳定义为
Y I U
I
U
Y
其中导纳Y的单位是西门子（S） 对导纳说明以下几点： 1、导纳Y是一个复数
_
Y G jB
② 已知 Y=G+jB
G
R R2 X 2
B
X R2 X 2
1 Z R jX Y
注意：
一般
G R 2 G B2
B X 2 G B2
1 G R
1 B X
4.3.4
用导纳法分析并联电路
G — 电导（电阻的倒数） BL — 感纳（感抗的倒数） BC — 容纳（容抗的倒数）
UR I UC U
UL
ULC
U
UR I UC RL串相量图 RC串相量图
UR I
UC RLC串相量图
UL
U
I U C
UR U
I
UC
UL ULC U
UC
UR I
UR
RL串相量图
RC串相量图
RLC串相量图
由相量图可以看出： RL串联电路中总电压超前电流一个φ角； RC串联电路中总电压滞后电流一个φ角； RLC串联电路中， 若UL>UC，则总电压超前电流一个φ角， 若UL<UC，则总电压滞后电流一个φ角， 若UL=UC时，总电压与电流同相，相位差φ=0， 电路出现串联谐振。
－
－jXC
－
由KVL： U U U U R L C
ZI [ R j ( X L X C )]I
Z R j ( X L X C ) R jX
X XL XC
1 （1）当L 时，X > 0， z 0 ，电路呈感性。 C 1 （2）当L 时，X < 0， z 0 ，电路呈容性。 C 1 （3）当L 时，X = 0， z 0 ，电路呈电阻性。 C
2 2
I
+
或利用分压公式：
U
+ Z1 6.16 j9 Z1 U 1 U 220 30 - U1 Z1 Z 2 8.66 j5 + Z2 U 239.8 55.6V 2
-
-
U 2
Z2 2.5 j4 U 220 30 Z1 Z 2 8.66 j5
Z R j( X L X C ) 5 j (6 1) 5 245 kΩ
z 0 ，电路呈感性。
5 20V 电压相量为： U m
U 5 20 m Im 1 45mA Z 5 245
RI 5 1 45 5 45V U Rm m jX I j 6 1 45 645V U Lm L m jX I j1 1 45 1 135V U
式中：
Y i u
I Y U
2、由于电路结构、参数或电源频率的不同导纳角 Y 会出现以下三种情况：
（1） Y 0 电流超前电压，电路呈容性。 （2） Y 0 电流滞后电压，电路呈感性。 （3） Y 0
(B 0
Y G)
电流与电压同相，电路呈阻性， 电路发生并联谐振。
导纳的又可表示为：
Y G j ( BC BL )
B BC BL
单一元件R、L、C的导纳分别为： 1 YR G R 1 1 1 YL j jBL BL jL L L
YC 1 1 j c jc jBC BC C
例：RLC并联电路中，R=5Ω，L=5μH，C=0.4μF， 电压有效值U=10V，ω=106rad/s， 求：总电流i，并说明电路的性质。
(47.2 j13.9) 49.2 -16.4 A
i1 44 2 sin( 314t 43o )A
i2 22 2 sin( 314t 47 o )A
i 49.2 2 sin( 314t 16.4o )A
思考 练习
1. 一个110V、60W的白炽灯，用一个电阻、一个电 感或一个电容分别和它串联，接到220V直流电源 上，结果如何？ 白炽灯的灯丝电阻为：
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Z =∑Z i = ∑R i + ∑j X i
对于阻抗模一般 注意：
U 2
Z Z1 Z 2
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例: 有两个阻抗 Z1 6.16 j9Ω Z 2 2.5 j4Ω 220 30V 的电源; 它们串联接在 U 和U 、U 求: I 1 2
求：各支路电流及总电流的瞬时值表达式。
i
I
+ i1
u –
R1
XL
i2
R2
Xc
+
U
R1
1 I
R2
2 I