电路(第八章 阻抗与导纳)
电路分析第8章 阻抗与导纳
i1 i2
0
i2 滞后i1
t
i1
i1与i2反相 i2
t
0
0
i2
i1
i1与i2同相
t
i1
i2 i1与i2正交
t
0
0
8.1 变换方法的概念(变换域方法)
正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除了 用三角函数式和正弦波形表示外，还可用相量来表示同 频率的正弦量。 相量表示法就是用复数来表示同频率的正弦量。 相量法是一种用来表示和计算同频率正弦量的数学 工具，应用相量法可以使正弦量的计算变得很简单。
比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即为 正弦量的幅值（或有效值），复数的辐角即为正弦量的初相位。 为与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并用 在大写字母上打一“•”的符号表示。 • 例如 i (t)= Imcos ( t+ ) 的相量为 (最大值相量)
Im=Im = Imej =Im (cos +jsin ) I=I = Iej =I(cos +jsin )
例如：已知两个支路电流
i1= I1 mcos( t+i1)
正弦电量 （时间函数） 变换
正弦量运算
相量 （复数） 相量运算 （复数运算)
i2= I2 mcos( t+i2)
若求：i = i1 + i2
所求正弦量 反变换 相量结果
8.2 复数
+j
由欧拉公式，得出：
j 1
模
cos +jsin =ej
额定电压纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路ir电压与电流同频率同相位电压与电流大小关系urdidt纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路电流超前电压90dudt纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路电压与电流相量式单一参数的交流电路单一参数的交流电路纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路电压与电流相量表达式电压与电流相量式二二纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路三三纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路97vcr相量形式的统一阻抗和导纳的引入电压与电流相量式欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式称为复数阻抗简称阻抗单位为欧姆
阻抗和导纳
阻抗、导纳的概念 阻抗角、导纳角的概念 感性、容性的概念
1
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
在正弦稳态情况下，口电压相量与口电流相量之比称 策动点阻抗或驱动点阻抗（简称阻抗）
Z ( j)
Um Im
Um Im
e j(u i )
1/ jC
IS
I1
I2
R1
R2 U0
U 01
R2 I 2
R1R2 R1 R2
1 jC
IS
9083.16
u01
2[90sin(t 83.16 )]
11
§8.2 正弦稳态分析(相量法)
②当=10rad/s时
U 02
R2 I 2
R1
R1R2
R2
1 j10C
IS
57639.8
Y ( j)
Im Um
Im Um
e j(i u )
Im Um
i
u
I
Y Y Y cosY j Y sin Y
G jB
U
其中 Y 导纳的模 Y 导纳角，约定 90 剟Y
G 电导，B 电纳。 对同一端口，在同一频率下
90
Y1 Z
jB G
3
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
7
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
阻抗不同于正弦量的复数表示，它不是一个相量，而 是一个复数计算量。
• 对同一端口来说 R 1
G
X1 B
Y1 1
R jX
Z R jX (R jX )(R jX )
第八章 阻抗和导纳
& Um = Um & =I Im m
θ → u(t) = Um cos(ωt + θ)
θ → i(t) = Im cos(ωt + θ)
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例1
写出下列正弦量对应的振幅相量 1) i1 = −3sin(ωt + 60o ) → 2) i2 = −3cos(ωt + 60 ) →
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8-6 +
& Um
& Im
阻抗与导纳 +
& Im
+
1 jωC
& Im
R _
& Um
& Um
jωL
_
& Um =R & Im
_
& Um = jωL & Im
& Um 1 = & Im jωC
概括
& Um =Z & Im
+ 阻抗
& Um
& Im
Z
_
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一、阻 抗 定义： 二端元件(网络) 电压相量与电流相量之比。
第三篇 动态电路的相量分析法 和s域分析法
上 页
下 页
相量分析法：正弦稳态电路 在单一频率正弦电压、电流激励下， 线性非时变渐近稳定电路中各支路电流 和电压，均为与激励同频率的正弦波。 s域分析法：线性非时变动态电路 激励不仅只是正弦波，研究的对象 可以是稳态，也可以是暂态。
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第八章 阻 抗 与 导 纳
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例 已知A=6+j8=10∠53.1o ， B=-4.33+j2.5=5∠150o 计算A+B,A-B,A·B,A/B
阻抗与导纳的概念与计算
阻抗与导纳的概念与计算阻抗（Impedance）和导纳（Admittance）是电路中常用的两个概念，用来描述电路元件对电流和电压的响应关系。
阻抗表示电路元件对电流的阻碍程度，而导纳表示电路元件对电流的容许程度。
在电气工程领域，深入理解和准确计算阻抗和导纳对于分析和设计电路至关重要。
一、阻抗的概念与计算阻抗是交流电路中的重要概念，它是电路元件对电流的阻碍程度的度量。
阻抗的单位是欧姆（Ω），用Z表示。
1. 奥姆定律根据奥姆定律可以得出电阻元件的阻抗计算公式，阻抗Z等于电阻R。
即Z = R。
2. 电感元件的阻抗计算电感元件对交流电具有阻抗，其计算公式为Z = jωL，其中j是虚数单位，ω是角频率，L是电感元件的感值。
3. 电容元件的阻抗计算电容元件对交流电也具有阻抗，其计算公式为Z = 1/(jωC)，其中C是电容元件的电容值。
二、导纳的概念与计算导纳是电路元件对电流的容许程度的度量，它是电导的倒数。
导纳的单位是西门子（S），用Y表示。
1. 电导与导纳的关系电导（Conductance）是电路元件对电流的容许程度的度量，是导纳的实部（实数部分）。
导纳Y等于电导G。
即Y = G。
2. 电阻元件的导纳计算电阻元件的导纳计算公式为Y = 1/R，其中R为电阻值。
3. 电感元件的导纳计算电感元件的导纳计算公式为Y = jωL，其中j是虚数单位，ω是角频率，L是电感元件的感值。
4. 电容元件的导纳计算电容元件的导纳计算公式为Y = jωC，其中j是虚数单位，ω是角频率，C是电容元件的电容值。
三、阻抗与导纳之间的关系阻抗和导纳是互为倒数的概念，两者之间满足以下关系：Z = 1/Y 或 Y = 1/Z。
根据该关系可以将阻抗和导纳在复平面上进行变换。
阻抗和导纳在复平面上的表示分别为实部和虚部。
通过这种变换，可以将电路中的阻抗转换为导纳，或者将导纳转换为阻抗，从而便于分析和计算复杂的交流电路。
阻抗和导纳的计算是电气工程中重要的基础知识，它们在电路分析、电力系统和电信系统等方面有广泛的应用。
《电路分析基础》第八章：阻抗和导纳
学 YR = 1 / R = G
YC = jω C
YL =
1 =−j 1
jω L
ωL
容纳: BC = ωC
感纳:
BL
=
−1
ωL
信息学院电子系
14
2 单口网络的阻抗和导纳
无源单口网络在正弦稳态时单口端钮的电压相量与电流相
中量之比为输入阻抗，阻抗的倒数为输入导纳
输入阻抗：Z
=
U I
(在关联参考方向下)
信息学院电子系
3
8.3 振幅相量
中1. 正弦稳态电路 国 ¾ 正弦波 u(t)= Umcos(ωt+θu) i(t)= Imcos(ωt+θi)
三特征: 振幅，角频率ω，初相角θ
海 + uR - + uL - iL 洋 iS
u
uS
uL
uR
o
ωt
大 ¾ 正弦稳态电路各电压电流响应与激励均为同频率正弦波。 学 ¾ 对于正弦稳态电路，只需确定初相位和振幅
Imcos(ωt+θi) =－CωUmsin(ωt+θu)
¾ 相量关系 =CωUmcos(ωt+θu+90º)
Re(Ime jωt ) = Re( jωCUme jωt )
Im = jωCUm
I = jωCU
Im∠θi =ωCUm∠(θu +90°)
电容 Im=ωCUm
I=ωCU
+ ... + + ... +
Z1n In Z2n In
= US11 = US22
⎪...
Zii：网孔i自阻抗
Zkj(k≠j)：网孔k与j的互阻抗
阻抗和导纳
阻抗和导纳阻抗：在具有电阻、电感和电容的电路里，对交流电所起的阻碍作用叫做阻抗。
单位是欧，常用Z表示。
电阻：交流电中，阻抗是一个复数,实部称为电阻,用R表示；虚部称为电抗，用X表示。
在直流电中，物体对电流阻碍的作用叫做电阻。
Z=R+jX。
电抗：电容和电感在电路中对交流电引起的阻碍作用总称为电抗。
X=XL-XC。
感抗：电感在电路中对交流电所起的阻碍作用称为感抗。
感抗(XL)一般是因为电路中存在电感电路（如线圈），由此产生的变化的电磁场，会产生相应的阻碍电流流动的电动力。
电流变化越大，即电路频率越大，感抗越大；当频率变为0，即成为直流点时，感抗也变为0。
感抗会引起电流与电压之间的相位差。
电感说明：当交流电通过电感线圈的电路时，电路中产生自感电动势，阻碍电流的改变，形成了感抗。
自感系数越大则自感电动势也越大，感抗也就越大。
如果交流电频率大则电流的变化率也大，那么自感电动势也必然大，所以感抗也随交流电的频率增大而增大。
交流电中的感抗和交流电的频率、电感线圈的自感系数成正比。
在实际应用中，电感是起着“阻交、通直”的作用，因而在交流电路中常应用感抗的特性来旁通低频及直流电，阻止高频交流电。
感抗可由下面公式计算而来：XL=ωL=2πfLXL就是感抗，单位为欧姆Ωω是角频率，单位为弧度/每秒rad/sf是频率，单位为赫兹HzL是线圈电感，单位为亨利H容抗：电容在电路中对交流电所起的阻碍作用称为容抗。
容抗(XC)的概念反映了交流电可以通过电容这一特性，交流电频率越高，容抗越小，即电容的阻碍作用越小。
容抗同样会引起电流与电容两端电压的相位差。
电容说明：在纯电容电路中，接通电源时，电源的电压使导线中自由电荷向某一方向作定向运动，由于电容器两极板上在此过程中电荷积累而产生电势差，因而反抗电荷的继续运动，这样就形成容抗。
对于带同样电量的电容器来说，电容越大，两板的电势差越小，所以容抗和电容成反比。
交流电频率越高，充、放电进行得越快，容抗就越小。
《电路理论》李瀚荪第4版第八章(阻抗和导纳)
U m cos(t ) U m U m
U m
—称为u(t)的（振幅）相量。
（2）正弦稳态电路的特点(续)
8-5
直流电阻电路中，在规定参考方向后所有 响应、激励均可用一个实数（正数、负数或零） 来表示。实数可以用直线上的点来表示；复数 则要用复平面上的点来表示。故复数可用以表 示物理量的两个“特征”。
1
由此例可知： （a）变换方法可使运算简化； （b）与直接求解不同，需经三个步骤； （c）要知道如何“变换”和“反变换”。
§2
相量（解析）法
8-3
相量法可分为解析法和图解法，前者是主要 的，后者只是子方法。基础在于把正弦函数变换 为相量，相量实际上就是一个复数。
§2-1 正弦函数与相量的互换 §2-2 KCL、KVL的相量形式 §2-3 阻抗(impedance)—相量法的核心 §2-4 相量模型（phasor model）
解二
U U 运用KVL相量形式， U ac ab bc
省略下标m。分三步： (a)、 (b)、 (c)。
(a) 把已知正弦量变换为对应的相量。
若选定以cos为标准, sin必须先化为cos，即
8-10
A sin( t ) A 90
得
u ab U ab 1060 (5 j8.66)V ubc U bc 8120 90 (6.93 j4)V
同频率正弦量之和仍为一同频率的正弦量
由此可设想：i1、i2和i3的关系也可用相量表示，即
8-8
i1
I I I 1m 2m 3m
37.32 j 24.64 44.7233.43 I 3m
电路中的阻抗与导纳
电路中的阻抗与导纳电路中的阻抗（Impedance）和导纳（Admittance）是电学中非常重要的两个概念。
阻抗是电路对交流电（AC）的抵抗能力，和电阻（Resistance）一样，单位是欧姆（Ohm），但是阻抗是一个复数。
导纳是电路对交流电的导电能力，和电导（Conductance）一样，单位是西门子（Siemens），也是一个复数。
1. 阻抗的定义和计算阻抗是电路对交流电的阻力，包括电容（Capacitance）、电感（Inductance）和电阻三种形式。
以电容为例，如果向电容放入交流电，首先会充电，然后在自身两极之间建立电场，导致电流的变化速度越来越慢，最后达到平衡状态。
因此，电容对交流电的阻力，和电流的相位差为90度。
电容的阻抗可以用以下公式计算：Z_c = 1/ jωC其中，Z_c 是电容的阻抗，j是虚数单位，ω是角频率（radians per second），C是电容的电容值（Farads）。
同理，电感的阻抗为：Z_l = jωL其中，Z_l 是电感的阻抗，L是电感的感抗值（Henries）。
电阻的阻抗为：Z_r = R其中，Z_r是电阻的阻抗，R是电阻的阻值（Ohms）。
将三种元件的阻抗按照欧姆定律叠加，可以得到整个电路的阻抗。
2.导纳的定义和计算导纳是对阻抗的倒数，“导纳”这个词在中文中的用法并不广泛，可能大家比较熟悉“电导”这个词，但是它们的意思是类似的。
导纳的计算方法如下：Y = 1/Z其中，Z是电路的阻抗，Y是电路的导纳。
导纳的好处在于，它更适合于串联和并联电路的计算。
将电路分解成元件，然后按照电路图的框架计算总的导纳，可以很方便地计算整个电路的电流和电压。
通过计算单元件的导纳，我们可以得到电路的传输特性，从而更好地理解电路的工作原理。
3.阻抗和导纳的应用阻抗和导纳在电路设计中有广泛的应用。
在RF电路中，阻抗匹配是非常重要的，它可以让信号在电路中以最大功率传输，从而减小反射损耗。
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1 f1(t ) 2 f2 (t )
称为相量的线性性质。
A 1 A 1 2 2
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电路分析基础
i ？ 0
m e jt ) Re( I m ) e jt Re( I
m 0 I
m ( 2 I ) 0 I
0 I
cos 1U m Im I 0cos .707 I U 0.707U m m 2 2 2 2
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电路分析基础
m I m 2I 2 I I
I 称为有效值相量。 I
有效值相量的模值等于正弦量的有效值，幅角等 于正弦量的初相位。
m 0 U
0 U
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电路分析基础
例8-5 下图所示为电路中的一个节点，已知：
i1 10cos(t 60) A i2 5 sint A
求i3。
i3 i2
i1
1m 1060 A 5 j 5 3 解： I i2 5 cos(t 90) A 2m 5 90 A j 5 I
A A cos j A sin （三角式）
A A e （指数式）
A A （极坐标式）
欧拉公式： e j cos j sin
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电路分析基础
二、复数运算（熟记公式） A1 a1 jb1
A2 a2 jb2
A1 A1 1
A1 A2 a1 a2 jb1 b2
A2 A2 2
A1 A2 A1 A2 1 2
A1 A1 1 2 A2 A2
A2 ?
A ?
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电路分析基础
§8-3 振幅相量
u(t ) Um cos(t )
振幅
角频率 ω =2 /T=2 f f =1/ T
初相位
相位差：两个同频率正弦量的相位之差或是初相 之差，称为相位差，用 表示。
3m I 1m I 2m (5 j 5 3 ) j 5 I 5 j3 .66 6.236.2 A I 0 A 2m 5 i3 6.2cos(t 36.2) A
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电路分析基础
例8-6 已知：
uab 10cos(t 60)V
电路分析基础
一、复数及其表示
设A为复数，则： A = a + jb
实部
j 1 称为虚数单位。
虚部 +j b 称为复数的模
a A cos
b A sin
A a b
2 2
A
A
a +1
b tan a
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0 幅角
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电路分析基础
A = a + jb
（代数式）
jHale Waihona Puke m I m I称为最大值相量。
振幅值相量的模值等于正弦量的振幅值，幅角等 于正弦量的初相位。
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电路分析基础
相量是一个复数，但它是代表一个正弦波的，为 了与一般复数的区别，在这相量的字母上方加一点。
i ( t ) 10 cos(t 45) A 1045 A I
i
u
C
d du C [U m cos(t u )] i C dt dt CUm sin(t u ) 直流稳态 CUm cos(t u 90) （ω=0）时， Im=0，则电容 CUm cos(t u 90) 相当于开路。 Im cos(t i )
周期性交流电流i通过电阻R在一个周期T内产生的 热量等于一直流电流I通过同一电阻R、在相等的时间T 内产生的热量，则直流电流I称为交流电流i的有效值。 I R i R
pdt = i Rdt = R i dt 0 0
T
T
2
T
2
0
2 PT = I RT
I RT R i 2 dt
2 0
T
ψi ψu 0
其特点是：两个正弦量同时到达最大值，也同时到达零 值。
ψi ψu 900 称i与u正交。
其特点是：当一正弦量的值达到最大时，另一正弦量的 值刚好是零。 i u 180o 称i与u反相。 其特点是：当一正弦量到达正的最大时，另一正弦量正 好为负的最大。
电路分析基础
第八章 阻抗与导纳
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4 §8-5 §8-6 §8-7 §8-8 §8-9 §8-10 §8-11 §8-12 变换方法的概念 复数 振幅相量 相量的线性性质和KCL、KVL的相量形式 三种基本电路元件VCR的相量形式 VCR相量形式的统一—阻抗与导纳的引入 相量模型的引入 正弦稳态混联电路的分析 相量模型的网孔分析和节点分析 相量模型的等效 有效值 有效值相量 两类特殊问题 相量图法
m
100 30V U m u( t ) 100cos(t 30)V
i (t ) I m cos(t )
m I m I
注意
正弦量与相量是对应关系，而不是相 等关系。
m i (t ) I
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电路分析基础
§8-11
有效值
有效值相量
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电路分析基础
一个复数由模和幅角两个特征量确定。 一个正弦量有幅值、频率和初相位三个要素。 在正弦稳态电路中，各个电压和电流都是与电源 同频率的正弦量，因此，在计算时可不必考虑频率。 已知频率的情况下，计算过程中一个正弦量可用 幅值和初相角两个特征量来确定。
欧拉公式： e j cos j sin 复指数函数： e j (t ) cos(t ) j sin( t )
1 T 2 也称方均根值。 I i dt T 0
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电路分析基础
i (t ) I m cos(t )
1 T 2 2 I I m cos (t ) d t 0 T
1 T
T 0
2 Im [cos 2(t ) 1]d t 2
2 1 Im T T cos 2 ( t ) d t d t 0 0 T 2
sin cos( 90) I 2m 10150 A 4 120 A I
3m
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电路分析基础
（1）将正弦转换成余弦：sin cos( 90) （2）将表达式前的负号转换成角度： cos cos( 180) （3）若角度值大于180°，则： 360
i (t ) I m cos(t )
Re[I m e j (t ) ]
j (t )
Re[I m e j e jt ]
e j t ] Re[I m
I m e j (t ) I m cos(t ) jI m sin(t )
§8-2 复数
i1 I m1 sin( t 1 )
i2 I m2 sin( t 2 )
i i1 i2 I m1 sin( t 1 ) Im2 sin(t 2 ) Im sin( t )
Im=?
Ψ=?
计算很复杂
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例8 3 已 知 振 幅 值 相 量 U 1m 50 30V , U 100150V
2m
频率f=50Hz，试写出它们所代表的正弦电压。 解：ω=2πf=2π×50=100π rad/s u1(t ) 50cos(100t 30)V u2 (t ) 100cos(100t 150)V
i(t ) 10 2 cos(t 45) A u(t ) 10 2 cos(t 60)V
10 I 45 0 A
10 60 0 V U
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电路分析基础
相量和复数一样，可以在复平面上用有向线段来 表示，称为相量图。
i 20 2 cos( t 30 ) A
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电路分析基础
§8-1 变换方法的概念
所有变换方法的基本思路和步骤是： （1）把原来的问题变换为一个较易处理的问题。 原来的问题
原来问题的解答
直接求解
变换
变换域中较 易的问题 求解
反变换 变换域中问题 的解答
（2）在变换域中求解。
（3）把变换域中求得的解答反变换为原来问题 的解答。
i(t ) Im cos(t i ) u(t ) Um cos(t u )
(t i ) (t u ) i u
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电路分析基础
i u 0 i u 0
称i 超前u 角。 称i 滞后u 角。 称i与u同相位，简称同相。
i2 (t ) 10sin(314t 60) A, i3 (t ) 4 cos(314t 60) A。
试写出代表这三个电流的各振幅相量，并画相量图。 解 i1 ( t ) 5 cos(314t 60) A， 560) A I 1m
i2 (t ) 10cos(314t 60 90) 10 cos(314t 60 90 180) 10cos(314t 150)
20 30 A I
0
0
j
U 60 0
0
I
30 0
u 10 2 cos( t 60 )V
10 60 0 V U
注意
0
+1