概率的综合问题
概率综合测试
选修2-3高二数学概率综合测试一、选择题1、 袋中装有2个5分硬币 ，3个二分硬币，5个一分硬币，任意抓取3个，则总面值超过1角的概率是AA 0.4B 0.5C 0.6D 0.7 2、先后抛掷两枚均匀的骰子，骰子朝上的点数分别为X,Y,则满足1log 2=YX 的概率是CA61 B 365 C 121 D 21 3、从甲口袋摸出一个红球的概率是31，从乙口袋中摸出一个红球的概率是21，则32是CA 2个球不都是红球的概率B 2个球都是红球的概率C 至少有一个个红球的概率D 2个球中恰好有1个红球的概率 4、在4次独立试验中，事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率是8165，则事件A 在一次试验中出现的概率是A A31 B 52 C 65 D 32 5、设随机变量X 等可能的取值1，2，3，…，n ，如果3.0)4(=<X P ，那么DA n=3B n=4C n=9D n=106、袋中有10个球，其中7个红球，3个白球，任意取出3个，则其中所含白球的个数是D A 0,1,2 B 1,2,3 C 2,3,4 D 0,1,2,37、将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则 概率)(B A P 等于A A9160 B 21 C 185 D 216918、甲、乙两人独立解同一个问题，甲解决这个问题的概率是1p ，乙解决这个问题的概率是2p ，那么恰好有一人解决这个问题的概率是BA 21p pB )1()1(1221p p p p -+-C 211p p -D )1)(1(121p p --- 9、袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以X 表示取出球的最大号码，则EX 等于CA 4B 5C 4.5D 4.7510、设每门高射炮命中飞机的概率是0.6，今有一架飞机来犯，问需要多少门高射炮射击，才能以至少99%的概率命中它DA 3B 4C 5D 611、某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是BA 32B 16C 8D 20 12、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率是71，现在甲、乙两人从袋中轮流摸出1球，甲先取，乙后取，然后甲在取…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球每一次被取到的机会是等可能的，那么甲取到白球的概率是D A73 B 356 C 351 D 3522 二、填空题13、设随机变量X 的概率分布是kak X P 5)(==，a 为常数，3,2,1=k ，则a=31125_________. 14、在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是95_________. 15、一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次停止，则==)12(X P ______________________. 16、在一次试验中，事件A 发生的概率是31，在n 次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率是不小于8166，则n 的最小值是5______________. 三、解答题 必做题17、某人进行一个试验，若试验成功则停止，若实验失败，再重新试验一次，若试验三次均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为32，求此人试验次数X 的分布列及期望和方差.813818、盒中有9个正品和3个次品零件，每次取出一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 得分布列. 略19、某地区气象台统计，该地区下雨的概率是154，刮三级以上风的概率是152，既刮风又下雨的概率是101，设A=“刮风”，B=“下雨”，求：)(),(B A P A B P 83,4320、已知甲、乙、丙三名射击运动员集中目标的概率分别是0.7，0.8，0.85，若他们分别向目标各发一枪，命中弹数记为X,求X 的分布列及期望.X 0 1 2 3 P0.0090.1080.4070.476EX=2.3521、粒子A 位于数轴0=x 处，粒子B 位于2=x 处，这两棵粒子每隔一秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率是32，向左移动的概率是31 . （1）求3秒后，粒子A 在点1=x 处的概率；（2）求2秒后，粒子A 、B 同时在2=x 处的概率. 8116,9422、有甲、乙两个箱子，甲箱中有6张卡片，其中有2张写有数字0，2张写有数字1，2张写有数字2；乙箱中有6张卡片，其中3张写有数字0，2张写有数字1，1张写有数字2. （1）如果从甲箱中取出1张卡片，乙箱中取出2张卡片，，那么取得的3张卡片都写有数字0的概率是多少？（2）如果从甲、乙两个箱子中各取一张卡片，设取出的2张卡片数字之积为X ，求X 的分布列和期望. （1）151 （2）X 0124P32 91 61 181 32=EX 选做题(以下各题至少选做2题)23、某公司咨询热线电话共有10路外线，经长期统计发现，在8点至10点这段时间内，外线同时使用情况如下表所示：电话同时打入次数X0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 概率0.130.350.270.140.080.020.01若这段时间内，公司只安排2位接线员（一个接线员只能接一部电话）. （1）求至少一路电话号不能一次接通的概率；（2）在一周五个工作日中，如果有三个工作日的这一时间至少一路电话不能一次接通，那么公司形象将受到损害，现在至少一路电话不能一次接通的概率表示公司的“损害度”，，求这种情况下公司形象的“损害度”；（3）求一周五个工作日的时间内，同时打入电话数X 的数学期望. 解：（1）只安排2位接线员则至少一路电话号不能一次接通的概率是 1-0.13-0.35-0.27=0.25； （2）“损害度”51245)43()41(2335=C ； （3）一个工作日内这一时间内同时打入电话数的期望是4.87，所以一周内5个工作日打入电话数的期望是24.35.24、一种赌博游戏：一个布袋内装有6个白球和6个红球，除颜色不同外，6个小球完全一样，每次从袋中取出6个球，输赢规则为：6个全红，赢得100元；5红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元；3红3白，输掉100元；2红4白，赢得20元；1红5白，赢得50元；6全白，赢得100元.而且游戏是免费的.很多人认为这种游戏非常令人心动，现在，请利用我们学过的概率知识解释我们是否该“心动”.25、甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X 和Y ，其分布列如下：Ｘ １ ２ ３ Ｐ ａ 0.1 0.6 Y 1 2 3 P0.3b0.3（1）求a,b 的值；（2）比较两名射手的水平. 解：（1）a=0.3,b=0.4;（2）23.034.023.01,3.26.031.023.01=⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯=EY EX6.0,855.0==DY DX 所以说甲射手平均水平比乙好，但甲不如乙稳定.26、某校要组建明星篮球队，需要在各班选拔预备队员，规定投篮成绩A 级的可作为入围选手，选拔过程中每人最多投篮5次，若投中3次则确定为B 级，若投中4次及以上则可确定为A 级，已知某班同学阿明每次投篮投中的概率是0.5. （1）求阿明投篮4次才被确定为B 级的概率； （2）设阿明投篮投中次数为X ，求他入围的期望；（3）若连续两次投篮不中则停止投篮，求阿明不能入围的概率.解：（1）阿明投篮4次才被确定为B 级的概率1632121)21(223=⨯⨯=C P . （2）有已知X 的取值为4，5，且321)21()5(,32521)21()4(555245====⨯==C X P C X P所以X 的数学期望322532153254=⨯+⨯=EX . （3）若连续两次投篮不中则停止投篮，阿明不能入围这一事件有如下几种情况：①5次投中3次，有24C 种投球方式，其概率为163)21()3(524==C P ； ②投中2次，分别是中中否否、中否中否否、否中中否否、否中否中否，概率是325)21(3)21()2(54=⨯+=P ；③投中1次分别有中否否、否中否否，概率为163)21()21()1(43=+=P ； ④投中0次只有否否一种，概率为41)21()0(2==P ； 所以阿明不能入围这一事件的概率是3225)0()1()2()3(=+++=P P P P P27、袋中装有35个球，每个球上都标有1到35的一个号码，设号码为n 的球重15522+-n n 克，这些球等可能的从袋中被取出.（1）如果任取1球，试求其重量大于号码数的概率； （2）如果任意取出2球，试求他们重量相等的概率.解：（1）由15522+-n n >n 可得6666,030122-<+>>+-n n n n 或所以， 由于35,,13,12,11,10,9,3,2,1,*⋅⋅⋅∈可取所以n N n 共30个数，故7635301==P ， （2）由21212221222121),(52,15521552n n n n n n n n n n ≠-=-+-=+-因为得 所以64738291,1021，），（，），（，），（，从而满足条件的球有（=+n n ） 故概率为59542=P28、甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为0.5，乙射击一次命中10环的概率为s ，若他们独立的射击两次，设乙命中10环的次数为X ，则EX=34，Y 为甲与乙命中10环的差的绝对值.求s 的值及Y 的分布列及期望.解：由已知可得),2(~s B X ，故32,342===s s EX 所以． 有Y 的取值可以是0，1，2.甲、乙两人命中10环的次数都是0次的概率是361)31()21(22=⨯，甲、乙两人命中10环的次数都是1次的概率是92)32313132)(21212121(=⨯+⨯⨯+⨯，甲、乙两人命中10环的次数都是2次的概率是91)3232)(2121(=⨯⨯所以36139192361)0(=++==Y P ； 甲命中10环的次数是2且乙命中10环的次数是0次的概率是361)31()21(22=⨯，甲命中10环的次数是0且乙命中10环的次数是2次的概率是91)3232)(2121(=⨯⨯所以36591361)2(=+==Y P ，故21)2()0(1)1(==-=-==Y P Y P Y P 所以Y 的分布列是Y 1 2 3P3613 21 365所以 Y 的期望是EY=9729、一软件开发商开发一种新的软件，投资50万元，开发成功的概率为0.9，若开发不成功，则只能收回10万元的资金，若开发成功，投放市场前，召开一次新闻发布会，召开一次新闻发布会不论是否成功都需要花费10万元，召开新闻发布会成功的概率为0.8，若发布成功则可以销售100万元，否则将起到负面作用只能销售60万元，而不召开新闻发布会则可新销售75万元.（1）求软件成功开发且成功在发布会上发布的概率. （2）求开发商盈利的最大期望值. 解：（1）设A=“软件开发成功”，B=“新闻发布会召开成功” 软件成功开发且成功在发布会上发布的概率是P(AB)=P(A)P(B)=0.72. （2）不召开新闻发布会盈利的期望值是5.189.0)5075()9.01(401=⨯-+-⨯-=E (万元)；召开新闻发布会盈利的期望值是8.249.010)5060()8.01(9.072.0)50100()9.01(402=⨯--⨯-⨯+⨯-+-⨯-=E （万元）故开发商应该召开新闻发布会，且盈利的最大期望是24.8万元.30、现在，一些城市对小型汽车开始解禁，小型轿车慢慢进入百姓家庭，但是另一个问题相继暴露出来——堵车，某先生居住在城市的A 处，准备开车到B 处上班，若该地各路段发生堵车事件是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率为如图，（例如D C A →→算作两个路段：路段AC 发生堵车事件的概率是0.1，路段CD 发生堵车事件的概率是151） （1）请你为他选择一条由A 到B 的路段，使得途中发生堵车的概率最小；（2）若记路线B F C A →→→中遇到堵车的次数为随机变量X ，求X 的期望； 解：（1）路线B D C A →→→用遇到堵车的概率是 )()()(1)(11DB P CD P AC P DB CD AC P P -=⋅⋅-=1036515141091)](1)][(1)][(1[1=⨯⨯-=----=DB P CD P AC P 同理路线B F C A →→→遇到堵车的概率是800239；路线B F E A →→→遇到堵车的概率是30091.因此应选择线路B F C A →→→可使途中发生堵车的概率最小.（2）路线B F C A →→→中遇到堵车的次数X 取值可能是0，1，2，3，所以X 的分布列是X 0 1 2 3P8005612400637240077800131、现有甲、乙两个盒子，甲盒中装有4个白球和4个红球，乙盒中装有3个白球和若干个红球，若从乙盒中任取两个球，取到同色球的概率是2813. （1）求乙盒中红球的个数； （2）若从甲盒中任取两个球，放入乙盒中均匀后，再从乙盒中任意取出2个球放回到甲盒中，求甲盒中白球没有增加的概率； （3）从甲、乙两个盒子中各任取两个球进行交换，若交换后乙盒子中的白球数和红球数相等，就说这次交换是成功的，试求当进行150次交换（都从初始状态交换）时，大约有多少次是成功的.解：（1）设乙盒中有n 个红球，由已知可得281323223=++n n C C C ，解的n=5，即乙盒中含有5个红球.（2）若甲盒中白球增加了，则有以下两种情况：从甲盒中取出了两个红球，放入乙盒中均匀后从乙盒中取出两个白球或一个白球一个红球放入甲盒中，此时的概率是35421017132328241=+⨯=C C C C C C P ； 从甲盒中取出一个红球和一个白球，放入乙盒中均匀后从乙盒中取出2个白球放入甲盒中，此时概率是1058210242814142=⨯=C C C C C P ； 所以甲盒中白球增加了的概率是2141058354=+，所以甲盒中白球没有增加的概率是2117. （3）从甲乙两个盒中各取2个球交换后乙盒中白球数和红球数相等的情况有以下两种：一是从甲盒中取２个白球与乙盒中取１个白球、一个红球进行交换；二是从甲盒中取出１个白球、１个红球与乙盒中取出２个红球进行交换；所以概率是34712528252814142815132824=⨯+⨯=C C C C C C C C C C P。
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第10章 §10.8 概率与统计的综合问题
X012 3
P
27 27 9 64 64 64
1 64
则 E(X)＝3×14＝34.
思维升华
高考常将独立性检验与分布列等交汇在一起进行考查，解决独立性检 验问题，要注意过好“三关”：假设关、公式关、对比关.解决概率 问题要准确地把握题中所涉及的事件，明确所求问题所属的事件类型.
跟踪训练3 (2023·昆明模拟)2022年，举世瞩目的冬奥会在北京举行，冬 奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”有着可爱的外表和丰富的寓意，自 亮相以来就好评不断，深受各国人民的喜爱.某市一媒体就本市小学生是 否喜爱这两种吉祥物对他们进行了一次抽样调查，列联表如下(单位：人)：
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
§10.8 概率与统计 的综合问题
题型一 频率分布直方图与分布列的综合问题
例1 2022年是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年 重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识 竞赛，现从中随机抽取了100名学生的 成绩组成样本，并将得分分成以下6组： [40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100]， 统计结果如图所示. (1)试估计这100名学生得分的平均数；
^
^
，a＝ y －b x .
n
x2i －n x 2
i＝1
由题意得， x ＝1＋2＋3＋10…＋9＋10＝5.5，
10
10
又 y ＝1.5，xiyi＝89.1，x2i ＝385，
i＝1
i＝1
10
xiyi－10 x y
^ i＝1
所以b＝
10
＝89.318－5－101×0×5.55×.521.5＝0.08，
八年级数学下册综合算式专项练习题应用题概率问题
八年级数学下册综合算式专项练习题应用题概率问题概率问题一直是数学中的重要内容之一，在八年级数学下册中也有一些综合算式专项练习题涉及到了概率问题。
下面我们将通过几个应用题来详细介绍和解答这些概率问题。
应用题一：投掷骰子小明和小华一起玩投掷骰子的游戏，他们决定先出现6的人胜利。
如果小明先投掷，那么小明胜利的概率是多少？解析：我们先列举小明投掷的可能结果：小明投掷到6，小明胜利，记为A；小明投掷到1、2、3、4、5，小明未胜利，记为B。
因此，小明胜利的概率可以表示为：P(小明胜利) = P(A) = 1/6应用题二：抽取扑克牌一副标准的扑克牌共有52张，其中有4张A、4张K、4张Q、4张J和40张数字牌。
现在从中随机抽取一张牌，问抽到A的概率是多少？解析：我们先列举抽取的可能结果：抽到A，记为A；抽到K、Q、J或数字牌，记为B。
因此，抽到A的概率可以表示为：P(抽到A) = P(A) = 4/52 = 1/13应用题三：购买彩票某彩票公司发行的彩票总共有200万张，其中有20张是一等奖，80张是二等奖，300张是三等奖，其他为安慰奖。
小李购买了一张彩票，问小李获得安慰奖的概率是多少？解析：我们先列举购买彩票的可能结果：获得安慰奖，记为A；获得一等奖、二等奖或三等奖，记为B。
因此，小李获得安慰奖的概率可以表示为：P(获得安慰奖) = 1 - P(B) = 1 - (20 + 80 + 300)/2000000 = 1 -400/2000000 = 1 - 1/5000 = 4999/5000综上所述，小李获得安慰奖的概率为4999/5000。
应用题四：从盒子中取球有一个盒子里有红球5个、黄球3个和蓝球2个，现从中无放回地随机取出两个球，问取出的两个球颜色不同的概率是多少？解析：我们先列举取出两个球的可能结果：取出一红一黄，记为A；取出一红一蓝，记为B；取出一黄一蓝，记为C。
因此，取出两个球颜色不同的概率可以表示为：P(颜色不同) = P(A) + P(B) + P(C)先计算取出一红一黄的概率，即P(A)：P(A) = (5/10) * (3/9) = 15/90再计算取出一红一蓝的概率，即P(B)：P(B) = (5/10) * (2/9) = 10/90再计算取出一黄一蓝的概率，即P(C)：P(C) = (3/10) * (2/9) = 6/90因此，取出两个球颜色不同的概率为：P(颜色不同) = P(A) + P(B) + P(C) = (15 + 10 + 6)/90 = 31/90综上所述，取出两个球颜色不同的概率为31/90。
概率论综合测试题a卷
综合测试题A 卷一、填空题（每小题4分，共20分）1、设A,B,C 为随机事件，1()()(),()()0,4P A P B P C P AB P BC ===== 1(),8P AC =则A,B,C 至少出现一个的概率为 . 2、袋中有7 只红球，5只白球，不放回地陆续取3只，则顺序为红、白、红的概率p = .3、在n 阶行列式的展开式中任取一项，此项不含第一行、第一列元素11a 的概率为8,9则此行列式的阶数n = .4、设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%,10%,现从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为 .5、设两个相互独立的事件A B 和都不发生的概率为1,9A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A = .二、选择题（每小题4分，共20分）1、设,A B 是样本空间S 中的随机事件，则()()A B A B 表示 [ ]. (A) 不可能事件 (B) ,A B 恰有一个发生(C) 必然事件 (D) ,A B 不同时发生2、对于任意二事件A 和B ，与A B B =不等价的是[ ] . (A) A B ⊂ (B) B A ⊂ (C) AB =∅ (D) AB =∅3、设,A B 为任意两个事件，且,()0,A B P B ⊂>，则下列选项必然成立的是 [ ].(A) ()()P A P A B < (B) ()()P A P A B ≤(C) ()()P A P A B > (D) ()()P A P A B ≥4、设n 张奖券中含m 张有奖奖券，k 个人购买，每人一张，其中至少有1个人中奖的概率是[ ].(A) k n m C (B) 1k n m k n C C -- (C) 11k m n m k n C C C -- (D) 1i k m k i nC C =∑ 5、设,,A B C 三个事件两两相互独立，则,,A B C 相互独立的充要条件是 [ ].(A) A BC 与独立 (B) AB A C 与独立 (C) AC BC 与独立 (D) AB AC 与独立 三、解答题（60分）1、（6分）有n 个人，每个人都以同样的概率1N被分配在N （n N ≤）个房间，试求“某个指定房间中恰有()m m N ≤个人”这一事件A 的概率.2、(12分)某国经济可能面临三个问题：1A =“高通胀”， 2A =“高失业”， 2A =“低增长”，假设123P()0.12,P()0.07,P()0.05A A A ===12P()0.13,A A =13P()A A =0.14,23P()0.10A A =，123()0.01,P A A A =求：（1）该国不出现高通胀的概率；（2）该国同时面临高通胀、高失业的概率；（3）该国出现滞涨（即低增长且高通胀）的概率；（4）该国出现高通胀、高失业但却高增长的概率；（5）该国至少出现两个问题的概率；（6）该国最多出现两个问题的概率.3、（8分）一个家庭中有两个小孩，（1）已知其中有一个是女孩，求另一个也是女孩的概率；（2）已知第一胎是女孩，求第二胎也是女孩的概率.4、（12分）玻璃杯成箱出售，每箱20只，设各箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1和0.1，一顾客欲买一箱玻璃杯，而顾客开箱随机地查看4只；若无次品则买下，否则退回.试求：（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；（2）在顾客买的这箱玻璃杯中，确实没有次品的概率.5、(14分) 设有来自三个地区的各10名，15名，和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份，7份，5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.(1) 求先抽到的一份是女生表的概率；(2) 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率.四、（8分）设,A B 使任意二事件，其中A 的概率不等于0和1，证明：()()P B A P B A =是事件,A B 独立的充分必要条件.综合测试题B 卷一、填空题（20分）1、设事件,,A B C 都是某个随机试验中的随机事件，事件E 表示,,A B C 至少有一个发生，则对E 的构造正确的有 个.(A) AB C (B) ABC Ω- (C) ()[()]A B C C A B -- (D) ABC ABC ABC2、设A,B 为随机事件， ()0.7,()0.3,P A P A B =-=则P()=AB .3、一间宿舍内住有6位同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一月份的概率为.4、在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于21的概率为__________. 5、事件,A B 相互独立，已知()0.4,()0.7,P A P A B ==则()P B A = .二、选择题（20分） 1、以A 表示事件 “甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为[ ] .(A) “甲种产品滞销，乙种产品畅销” (B) “甲、乙两种产品均畅销”(C) “甲种产品滞销” (D) “甲种产品滞销或乙种产品畅销”2、假设,B A ⊂则下列命题正确的是 [ ].（A ）()1()P AB P A =- （B ） ()()()P A B P A P B -=-（C ） ()()P B A P B = （D ）()()P A B P A =3、设,A B 为随机事件，且()0,()1,P B P A B >=则必有 [ ].(A) ()()P AB P A > (B) ()()P A B P B > (C) ()()P A B P A = (D) ()()P A B P B =4、从数1,2,3,4中任取一个数，记为X ，再从1,,X 中任取一个数，记为Y ，则 {2}P Y == [ ].（A ）14 （B ）1348 （C ）38 （D ）35485、将一枚硬币独立地掷两次：1{}A =掷第一次出现正面，2{A =掷第二次出现 }正面，3{}A =正、反面各出现一次，4{}A =正面出现两次，则事件 [ ]. (A) 123A A A ，，相互独立 (B) 234A A A ，，相互独立(C) 123A A A ，，两两独立 (D) 234A A A ，，两两独立三、计算题（60分）1、（10分）设,A B 是两个事件，且()()0.9,()0.5,P A P B P A B +=+=求：()().P AB P AB +2、（10分）口袋中有两个5角，三个2角，五个1角的硬币共10枚，从中任取5枚，求总值超过1元的概率.3、（10分）甲、乙两人独自地向同一目标射击一次，其命中率分别为0.60.5和，现已知目标被击中，求它是甲射中的概率.4、（10分）无线电通讯中，由于随机干扰，当发出信号“A ”时，收到“A ”、“不清”和“B ”的概率分别是0.7,0.20.1和；当发出信号“B ”时，收到“B ”、“不清”和“A ”的概率分别是0.9,0.10.和 假设发报台发出信号A 与B 的频繁程度是3:2,问收到“不清”时，求原发信号是“A ”的概率5、（12分）在n 只袋中有4个白球，6个黑球，而另一袋中有5个白球5个黑球，今从这1n +只袋中任选一袋，从中随即取出两球，都是白球，在这种情况下，有5个黑球和3个白球留在选出的袋中的概率是17，求.n 四、（8分）设,,A B C 三事件相互独立，证明：,,AB AB A B 分别与C 相互独立.。
2020高考数学解答题核心素养题型《专题11 概率与统计综合问题》+答题指导)(解析版)
专题11 概率与统计综合问题【题型解读】几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件、互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列、期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式．【例1】 (2018·天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16，现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查． ①用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；②设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率． 【答案】见解析【解析】(1)由题意得，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2.由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人、2人、2人． (2)①随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. P (X ＝k )＝C k 4C 3－k3C 37(k ＝0,1,2,3)．所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×35＋1×35＋2×35＋3×35＝7.②设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A ＝B ∪C ，且B 与C 互斥． 由①知，P (B )＝P (X ＝2)，P (C )＝P (X ＝1)， 故P (A )＝P (B ∪C )＝P (X ＝2)＋P (X ＝1)＝67.所以事件A 发生的概率为67.【素养解读】本题考查分层抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式，考查分析问题和解决问题的能力，体现了数学运算和数据分析等核心素养．试题难度：中．【突破训练1】 (2017·天津卷)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 【答案】见解析【解析】(1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×14＝1124，P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×13×14＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以随机变量X 的分布列为所以E (X )＝0×4＋1×24＋2×4＋3×24＝12.(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0)＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0) ＝14×1124＋1124×14＝1148. 所以这2辆车共遇到了1个红灯的概率为1148.▶▶题型二 离散型随机变量的分布列、均值与方差离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一大热点，常有解答题的考查，属于中档题．复习中应强化应用类习题的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值，它是正确求随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率模型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中应强化解答题的规范性训练．【例2】 (2018·北京卷)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：假设所有电影是否获得好评相互独立．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk ＝1”表示第k 类电影得到人们喜欢，“ξk ＝0”表示第k 类电影没有得到人们喜欢(k ＝1,2,3,4,5,6)．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．【答案】见解析【解析】 (1)设“从电影公司收集的电影中随机选取1部，这部电影是获得好评的第四类电影”为事件A . 因为第四类电影中获得好评的电影有200×0.25＝50(部)， 所以P (A )＝50140＋50＋300＋200＋800＋510＝502 000＝0.025.(2)设“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”为事件B ，则P (B )＝0.25×(1－0.2)＋(1－0.25)×0.2＝0.35.(3)由题意可知，定义随机变量如下：ξk ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，第k 类电影没有得到人们喜欢，1，第k 类电影得到人们喜欢，则ξk 显然服从两点分布，故Dξ1＝0.4×(1－0.4)＝0.24，Dξ2＝0.2×(1－0.2)＝0.16， Dξ3＝0.15×(1－0.15)＝0.127 5，Dξ4＝0.25×(1－0.25)＝0.187 5， Dξ5＝0.2×(1－0.2)＝0.16， Dξ6＝0.1×(1－0.1)＝0.09.综上所述，Dξ1>Dξ4>Dξ2＝Dξ5>Dξ3>Dξ6.【素养解读】本题考查统计中的概率计算、随机变量的方差计算，考查运算求解能力，体现了数据分析、数学运算等核心素养．试题难度：中．【突破训练2】 (2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列．(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 【答案】见解析【解析】(1)由题意知，X 所有可能取值为200,300,500， 由表格数据知P (X ＝200)＝2＋1690＝0.2，P (X ＝300)＝3690＝0.4， P (X ＝500)＝25＋7＋490＝0.4， 因此X 的分布列为当300≤n ≤500时，若最高气温不低于25，Y ＝6n －4n ＝2n ； 若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，因此E(Y)＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.当200≤n<300时，若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.所以当n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．▶▶题型三概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点．主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键．复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算．【例3】(2017·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下．(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；附：K 2＝(a ＋b)(c ＋d)(a ＋c)(b ＋d).【答案】见解析【解析】(1)记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”． 由题意知P (A )＝P (BC )＝P (B )P (C )． 旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62， 故P (B )的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg 的频率为 (0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66， 故P (C )的估计值为0.66.因此，事件A 的概率估计值为0.62×0.66＝0.409 2. (2)根据箱产量的频率分布直方图得如下列联表.K 2＝100×100×96×104≈15.705.由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，箱产量低于55 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5， 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 50＋0.5－0.340.068≈52.35(kg)．【素养解读】本题考查频率分布直方图、独立性检验、中位数、相互独立事件的概率，考查学生的阅读理解能力、数据处理能力．主要体现了数据分析，数学运算等核心素养．【突破训练3】 (2017·北京卷)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；(2)从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)；(3)试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小(只需写出结论)． 【答案】见解析【解析】(1)由题图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人． 所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y 的值小于60的概率为1550＝0.3.(2)由题图知，A ，B ，C ，D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C . 所以ξ的所有可能取值为0,1,2.P (ξ＝0)＝C 22C 24＝16，P (ξ＝1)＝C 12C 12C 24＝23，P (ξ＝2)＝C 22C 24＝16.所以ξ的分布列为故ξ的期望E (ξ)＝0×6＋1×3＋2×6＝1.(3)在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据方差． 题型四 统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差等)的考查，解答题中也有所考查．【例4】 (2018·全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，17)建立模型①：y ^＝－30.4＋13.5t ；根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，7)建立模型②：y ^＝99＋17.5t . (1)分析利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？请说明理由． 【答案】见解析【解析】(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施资源额的预测值为y ^＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)． (2)利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y ＝－30.4＋13.5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势，2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y ^＝99＋17.5t 可以较好地描述2010年的数据建立基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠． (以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．)【素养解读】本题以统计图为背景，考查线性回归方程，考查运算求解能力和数形结合思想，体现了数学运算的核心素养．【突破训练4】 下图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝17t i y i ＝40.17，∑i ＝17(y i －y)2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n（t i －t）（y i －y ）∑i ＝1n（t i －t ）2∑i ＝1n（y i －y）2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑i ＝1n（t i －t）（y i －y ）∑i ＝1n（t i －t ）2，a ^＝y －b ^t .【答案】见解析【解析】(1)由折线图中数据和附注中参考数据得t ＝4，∑i ＝17(t i －t )2＝28，∑i ＝17(y i －y －)2＝0.55，∑i ＝17(t i －t －)(y i －y －)＝∑i ＝17t i y i －t －∑i ＝17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，r ≈2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y －＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝∑i ＝17(t i －t －)(y i －y －)∑i ＝17(t i －t －)2＝2.8928≈0.103，a ^＝y －－b ^t －＝1.331－0.103×4≈0.92.所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t .将2019年对应的t ＝9代入回归方程，得y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2019年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．。
概率四年级练习题
概率四年级练习题1. 硬币抛掷问题小明有一枚硬币，他将硬币抛掷5次。
假设硬币是均匀的，请回答以下问题：a) 小明连续抛掷5次，正面朝上的概率是多少？解析：每次抛掷硬币，正面朝上和反面朝上的概率都是1/2。
由于连续抛掷5次，每次抛掷是独立的，所以正面朝上的概率和反面朝上的概率都是1/2。
因此，小明连续抛掷5次，正面朝上的概率是1/2。
b) 小明连续抛掷5次，至少有3次是正面朝上的概率是多少？解析：为了计算至少有3次是正面朝上的概率，我们可以计算小明连续抛掷5次，正面朝上的次数为3、4或者5的概率，然后相加。
正面朝上3次的概率：C(5, 3) * (1/2)^3 * (1/2)^2 = 10/32 = 5/16正面朝上4次的概率：C(5, 4) * (1/2)^4 * (1/2)^1 = 5/32正面朝上5次的概率：C(5, 5) * (1/2)^5 * (1/2)^0 = 1/32因此，小明连续抛掷5次，至少有3次是正面朝上的概率是 (5/16) + (5/32) + (1/32) = 11/32。
2. 扑克牌问题小红从一副标准扑克牌（52张）中随机抽取1张牌。
查找以下问题的答案：a) 小红抽到黑桃 A 的概率是多少？解析：标准扑克牌中共有4张黑桃 A，所以小红抽到黑桃 A 的概率是 4/52 = 1/13。
b) 小红抽到红色（红桃或者方块）的概率是多少？解析：标准扑克牌中红桃和方块各有13张，所以小红抽到红色的概率是 (13+13)/52 = 26/52 = 1/2。
c) 小红抽到数值为 7 的概率是多少？解析：标准扑克牌中每个花色都有一个数值为 7 的牌，所以小红抽到数值为 7 的概率是 4/52 = 1/13。
3. 骰子问题小华有一个六面骰子，他将骰子投掷3次。
假设骰子是均匀的，请回答以下问题：a) 小华投掷3次，至少有一次点数为3的概率是多少？解析：为了计算至少有一次点数为3的概率，我们可以计算小华投掷3次，没有一次点数为3的概率，然后用1减去这个概率。
高一数学必修三,概率与统计的综合问题知识点及题型
第四节概率与统计的综合问题考点一概率与统计图表的综合问题[典例]学校将高二年级某班级50位同学期中考试的数学成绩(均为整数)分为7组进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中信息，回答下列问题．(1)试估计该班级同学数学成绩的平均分；(2)现准备从该班级数学成绩不低于130分的同学中随机选出两人参加某活动，求选出的两人在同一组的概率．[解](1)由频率分布直方图可知，所求数学成绩的平均分为85×0.06＋95×0.1＋105×0.24＋115×0.28＋125×0.2＋135×0.08＋145×0.04＝113.6，故该班级同学数学成绩的平均分约为113.6.(2)由频率分布直方图可知，数学成绩不低于130分的人数为50×0.08＋50×0.04＝4＋2＝6，其中，分数在[130,140)的有4人，分别记作a，b，c，d，分数在[140,150]的有2人，分别记作m，n.从该班级数学成绩不低于130分的同学中选出2人共有15个基本事件，列举如下：ab，ac，ad，am，an，bc，bd，bm，bn，cd，cm，cn，dm，dn，mn.其中，选出的两人在同一组的有7个基本事件，分别是：ab，ac，ad，bc，bd，cd，mn.故选出的两人在同一组的概率P＝715.[对点训练]如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，其中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率． 解：(1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组四名同学的植树棵数分别是8,8,9,10，故x ＝8＋8＋9＋104＝354，s 2＝14×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫8－3542×2＋⎝⎛⎭⎫9－3542＋⎝⎛⎭⎫10－3542＝1116. (2)当X ＝9时，记甲组四名同学分别为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学分别为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，其包含的基本事件为{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，B 4}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 2，B 4}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 3，B 4}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 4，B 4}，共16个．设“选出的两名同学的植树总棵数为19”为事件C ，则事件C 中包含的基本事件为{A 1，B 4}，{A 2，B 4}，{A 3，B 2}，{A 4，B 2}，共4个．故P (C )＝416＝14.考点二 概率与随机抽样的综合问题[典例] 已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩统计，先将800人按001,002,003，…，800进行编号．(1)如果从随机数表的第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先抽取到的3个人的编号． (2)所抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如表中数学成绩为良好的人数为20＋18＋4＝42.若在该样本中，数学成绩优秀率为30%，求a ，b 的值．(3)若a ≥10，b ≥8，求“在地理成绩为及格的学生中，数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的概率．附：(下面摘取了随机数表的第7行至第9行)84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 [解] (1)依题意，最先抽取到的3个人的编号依次为785,567,199. (2)由题意可得7＋9＋a100＝0.3，解得a ＝14.因为7＋9＋a ＋20＋18＋4＋5＋6＋b ＝100，所以b ＝17. (3)由题意知a ＋b ＝31，且a ≥10，b ≥8，则满足条件的(a ，b )有(10,21)，(11,20)，(12,19)，(13,18)，(14,17)，(15,16)，(16,15)，(17,14)，(18,13)，(19,12)，(20,11)，(21,10)，(22,9)，(23,8)，共14组．其中满足“在地理成绩为及格的学生中，数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的(a ，b )有(10,21)，(11,20)，(12,19)，(13,18)，(14,17)，(15,16)，共6组．故所求概率P ＝614＝37.[对点训练]某大型手机连锁店为了解销售价格在区间[5,30](单位：百元)内的手机的利润情况，从2018年度销售的一批手机中随机抽取75部，按其价格分成5组，频数分布表如下：[20,25)内的有几部？(2)从(1)中抽出的6部手机中任意抽取2部，求价格在区间[10,15)内的手机至少有1部的概率．解：(1)因为在区间[5,10)，[10,15)和[20,25)内的手机的数量之比为5∶10∶15＝1∶2∶3，所以抽取的6部手机中价格在区间[20,25)内的有6×36＝3(部)．(2)这6部手机中价格在区间[5,10)内的有1部记为a ，在区间[10,15)内的有2部，分别记为b 1，b 2，在区间[20,25)内的有3部，分别记为c 1，c 2，c 3，从中任取2部，可能的情况有(a ，b 1)，(a ，b 2)，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(a ，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15种；设“价格在区间[10,15)内的手机至少有1部”为事件A ，则事件A 包含的情况有(a ，b 1)，(a ，b 2)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，共9种．故P (A )＝915＝35.考点三 概率与数字特征的综合问题[典例] (2019·重庆六校联考)2019年高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(文、理科试卷满分均为100分)，并对整个高三年级的学生进行了测试．现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于50分)．(1)求频率分布直方图中x 的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)用样本估计总体，若高三年级共有2 000名学生，试估计高三年级这次测试成绩不低于70分的人数；(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的分析会，试求成绩在[80,100]的学生至少有1人被抽到的概率．[解] (1)由频率分布直方图可得第4组的频率为1－(0.01＋0.03＋0.03＋0.01)×10＝0.2，则x ＝0.02. 故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为(55×0.01＋65×0.03＋75×0.03＋85×0.02＋95×0.01)×10＝74(分)．由于前两组的频率之和为0.1＋0.3＝0.4，前三组的频率之和为0.1＋0.3＋0.3＝0.7，故中位数在第3组中．设中位数为t 分，则有(t －70)×0.03＝0.1，得t ＝2203，即所求的中位数为2203分．(2)由(1)可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，用样本估计总体，可以估计高三年级2 000名学生中成绩不低于70分的人数为2 000×0.6＝1 200.(3)由(1)可知，后三组中的人数分别为15,10,5，由分层抽样的知识得这三组中所抽取的人数分别为3,2,1. 记成绩在[70,80)的3名学生分别为a ，b ，c ，成绩在[80,90)的2名学生分别为d ，e ，成绩在[90,100]的1名学生为f ，则从中随机抽取3人的所有可能结果为(a ，b ，c )，(a ，b ，d )，(a ，b ，e )，(a ，b ，f )，(a ，c ，d )，(a ，c ，e )，(a ，c ，f )，(a ，d ，e )，(a ，d ，f )，(a ，e ，f )，(b ，c ，d )，(b ，c ，e )，(b ，c ，f )，(b ，d ，e )，(b ，d ，f )，(b ，e ，f )，(c ，d ，e )，(c ，d ，f )，(c ，e ，f )，(d ，e ，f )，共20种．其中成绩在[80,100]的学生没人被抽到的可能结果为(a ，b ，c )，只有1种， 故成绩在[80,100]的学生至少有1人被抽到的概率P ＝1－120＝1920.[解题技法]本题主要考查概率与数字特征，涉及频率分布直方图，平均数、中位数、分层抽样、古典概型的概率计算等知识．解决此类问题的关键是正确理解图表中各个量的意义，牢记相关定义和公式，在利用频率分布直方图，求平均值时，不要与求中位数，众数混淆．[对点训练](2019·唐山五校联考)某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如下：(1)求甲在比赛中得分的均值和方差；(2)从甲比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到2场都不超过均值的概率．解：(1)甲在比赛中得分的均值x ＝18×(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，方差s 2＝18×[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.(2)甲得分在20分以下的6场比赛分别为：7,8,10,15,17,19. 从中随机抽取2场，这2场比赛的得分如下：(7,8)，(7,10)，(7,15)，(7,17)，(7,19)，(8,10)，(8,15)，(8,17)，(8,19)，(10,15)，(10,17)，(10,19)，(15,17)，(15,19)，(17,19)，共15种，其中抽到2场都不超过均值的情形是：(7,8)，(7,10)，(7,15)，(8,10)，(8,15)，(10,15)，共6种，所以所求概率P ＝615＝25.考点四 概率与统计案例的综合问题[典例] 里约奥运会中国女排勇夺金牌，某校高一课外小组为了解金牌争夺战现场直播时同学们的观看情况，从本年级500名男生、400名女生中按分层抽样的方式抽取45名学生进行了问卷调查，观看情况分成以下三类：全程观看、部分观看、没有观看，调查结果统计如下：(1)①求出表中x ，y ②从没有观看的同学中随机选取2人进一步了解情况，求恰好男生、女生各1人的 概率； (2)根据表格统计的数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为全程观看与性别有关.附：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .[解] (1)①由分层抽样知抽取的男生人数为500900×45＝25，抽取的女生人数为45－25＝20，因而x ＝25－20＝5，y ＝20－16＝4.②从表中数据可以得出，没有观看的同学共6人，2名男生分别记为A 1，A 2,4名女生分别记为B 1，B 2，B 3，B 4，则从中随机选取2人，有A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 1B 4，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，A 2B 4，B 1B 2，B 1B 3，B 1B 4，B 2B 3，B 2B 4，B 3B 4，共15种情况，记“男生、女生各1人”为事件M ，其包含的情况有A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 1B 4，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，A 2B 4，共8种，所求概率P (M )＝815.(2)由题意得列联表如下：K 2＝45×(180－70)228×20×17×25≈2.288＜2.706，因而没有90%的把握认为全程观看与性别有关．[对点训练]某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1月份至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下数据：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月份与6月份的两组数据，请根据2月份至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？参考公式：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .参考数据：11×25＋13×29＋12×26＋8×16＝1 092， 112＋132＋122＋82＝498.解：(1)设选到相邻两个月的数据为事件A .因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，且每种情况都是等可能的，其中，选到相邻两个月的数据的情况有5种，所以P (A )＝515＝13.(2)由表中2月份至5月份的数据可得x ＝11，y ＝24，∑i ＝14x i y i ＝1 092，∑i ＝14x 2i ＝498，所以b ^＝∑i ＝14x i y i －4 x y∑i ＝14x 2i －4 x2＝187， 则a ^＝y －b ^x ＝－307，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝187x －307.(3)当x ＝10时，y ^＝1507，⎪⎪⎪⎪1507－22＜2； 当x ＝6时，y ^＝787，⎪⎪⎪⎪787－12＜2. 所以该小组所得线性回归方程是理想的．[课时跟踪检测]1．(2019·太原八校联考)为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制图如下：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．(1)根据图中数据写出甲公司员工A 在这10天投递的快递件数的平均数和众数；(2)为了解乙公司员工B 每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X (单位：元)，求X ＞182的概率；(3)根据图中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．解：(1)甲公司员工A 在这10天投递的快递件数的平均数为110(32＋33＋33＋38＋35＋36＋39＋33＋41＋40)＝36，众数为33.(2)设a 为乙公司员工B 每天的投递件数，则 当a ＝35时，X ＝140，当a ＞35时，X ＝35×4＋(a －35)×7，令X ＝35×4＋(a －35)×7＞182，得a ＞41，则a 的取值为44,42，所以X ＞182的概率P ＝410＝25.(3)根据题图中数据，可估算甲公司的每位员工该月所得劳务费为4.5×36×30＝ 4 860(元)，易知乙公司员工B 每天所得劳务费X 的可能取值为136,147,154,189,203，所以乙公司的每位员工该月所得劳务费约为110×(136＋147×3＋154×2＋189×3＋203)×30＝165.5×30＝4 965(元)．2．(2018·湖北五校联考)通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：(1)能否有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关？请说明理由．(2)利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”，现从“运动达人社”中选派2人参加某项校际挑战赛，求选出的2人中恰有1名女大学生的概率．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)∵K 2＝100×(40×25－20×15)255×45×60×40≈8.249＞6.635，∴有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关．(2)由题意，抽取的6人中，有男生4名，分别记为a ，b ，c ，d ；女生2名，分别记为m ，n . 则抽取的结果共有15种：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，m )，(a ，n )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，d )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )，(m ，n )，设“选出的2人中恰有1名女大学生”为事件A ，事件A 所包含的基本事件有8种：(a ，m )，(a ，n )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )．则P (A )＝815.故选出的2人中恰有1名女大学生的概率为815.3．(2019·西安八校联考)某工厂有25周岁以上(含25周岁)的工人300名，25周岁以下的工人200名．为了研究工人的日平均生产件数是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据“25周岁以上(含25周岁)组”的频率分布直方图，求25周岁以上(含25周岁)组工人日平均生产件数的中位数的估计值(四舍五入保留整数)；(2)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(3)规定日平均生产件数不少于80的工人为生产能手，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：采用分层抽样，“25周岁以上(含25周岁)组”应抽取工人100×300300＋200＝60(名)，“25周岁以下组”应抽取工人100×200300＋200＝40(名)．(1)由“25周岁以上(含25周岁)组”的频率分布直方图可知，其中位数为70＋10×0.5－0.05－0.350.35＝70207≈73(件)． 综上，25周岁以上(含25周岁)组工人日平均生产件数的中位数的估计值为73件．(2)由频率分布直方图可知，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上(含25周岁)的工人共有60×0.005×10＝3(名)，设其分别为m 1，m 2，m 3；25周岁以下的工人共有40×0.005×10＝2(名)，设其分别为n 1，n 2，则从中抽取2人的所有基本事件为(m 1，m 2)，(m 1，m 3)，(m 1，n 1)，(m 1，n 2)，(m 2，m 3)，(m 2，n 1)，(m 2，n 2)，(m 3，n 1)，(m 3，n 2)，(n 1，n 2)，共10个．记“至少抽到一名‘25周岁以下组’的工人”为事件A ，事件A 包含的基本事件共7个． 故P (A )＝710.(3)由频率分布直方图可知，25周岁以上(含25周岁)的生产能手共有60×[(0.02＋0.005)×10]＝15(名)，25周岁以下的生产能手共有40×[(0.032 5＋0.005)×10]＝15(名)，则2×2列联表如下：K 2＝100×(15×25－15×45)60×40×30×70≈1.786＜2.706.综上，没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．4．某商店为了更好地规划某种商品进货的量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如下表所示(x (吨)为该商品进货量，y (天)为销售天数)：(1)根据上表数据在网格中绘制散点图；(2)根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)在该商品进货量x (吨)不超过6吨的前提下任取2个值，求该商品进货量x (吨)恰有一个值不超过3吨的概率．参考公式和数据：b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x)2，a ^＝y －b ^ x .∑i ＝18x 2i ＝356，∑i ＝18x i y i ＝241.解：(1)散点图如图所示：(2)依题意，得x ＝18(2＋3＋4＋5＋6＋8＋9＋11)＝6，y ＝18(1＋2＋3＋3＋4＋5＋6＋8)＝4，b ^＝∑i ＝18 (x i －x )(y i －y )∑i ＝18(x i －x)2＝∑i ＝18x i y i －8x y∑i ＝18x 2i －8x2＝241－8×6×4356－8×62＝4968， ∴a ^＝4－4968×6＝－1134，∴y 关于x 的线性回归方程为y ^＝4968x －1134.(3)由题意知，该商品进货量不超过6吨的有2,3,4,5,6共有5个，任取2个有(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共10种情况，故该商品进货量恰有一次不超过3吨的有(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共6种情况，故该商品进货量恰有一次不超过3吨的概率P ＝610＝35.。
数列和概率结合的题目
数列和概率结合的题目以下是20个结合数列和概率的题目：1.在一个等差数列中，第1项为3，公差为4。
从该数列中随机选择一个数字，求选到的数字是奇数的概率。
2.在一个等比数列中，第1项为2，公比为0.5。
从该数列中随机选择一个数字，求选到的数字小于1的概率。
3.在一个递增的整数数列中，从中随机选择一个数字，求选到的数字大于10且是偶数的概率。
4.在一个斐波那契数列中，从中随机选择一个数字，求选到的数字是素数的概率。
5.在一个等差数列中，第1项为5，公差为2。
从该数列中随机选择两个数字相加，求和为偶数的概率。
6.在一个等比数列中，第1项为3，公比为2。
从该数列中随机选择两个数字相乘，求积小于100的概率。
7.在一个递减的整数数列中，从中随机选择两个数字相加，求和为负数的概率。
8.在一个斐波那契数列中，从中随机选择两个数字相乘，求积为完全平方数的概率。
9.在一个等差数列中，第1项为1，公差为3。
从该数列中随机选择一个数字，再从中随机选择一个数字，求两个数字的和为负数的概率。
10.在一个等比数列中，第1项为2，公比为0.5。
从该数列中随机选择一个数字，再从中随机选择一个数字，求两个数字的积小于1的概率。
11.在一个递增的整数数列中，从中随机选择一个数字，再从中随机选择一个数字，求两个数字的和大于20的概率。
12.在一个斐波那契数列中，从中随机选择一个数字，再从中随机选择一个数字，求两个数字的积是质数的概率。
13.在一个等差数列中，第1项为4，公差为5。
从该数列中随机选择三个数字相加，求和为奇数的概率。
14.在一个等比数列中，第1项为2，公比为3。
从该数列中随机选择三个数字相乘，求积小于100的概率。
15.在一个递减的整数数列中，从中随机选择三个数字相加，求和为负数的概率。
16.在一个斐波那契数列中，从中随机选择三个数字相乘，求积为完全平方数的概率。
17.在一个等差数列中，第1项为3，公差为2。
从该数列中随机选择四个数字相加，求和为偶数的概率。
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概率的综合问题
（习题课
）
☆主干知识整合
1、古典概型的特征：有限性、等可能性。
解决问题的关键：正确求出基本事件总数和事件A包含的基本事件数。
2、几何概型的特征：无限性、等可能性。
解决问题的关键：正确求出基本事件空间可表示成可度量的区域和事件A所对应的区域。
☆课前练习
1．把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一张，事件
“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”是 ( )
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．以上答案均不对
2．若书架上放有中文书5本，英文书3本，日文书2本，由书架上抽出一本外文书的概率为
3． 如图所示，a，b，c，d是四处处于断开状态的开关，任意将其中两个闭合，则电路被接通
的概率为 .
4. 某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过(假设每一辆带走站上的所有乘
客)，乘客到达汽车站的时间是任意的，则乘客候车时间不超过3分钟的概率为
5.在△ABC中，D是BC的中点，向△ABC内任投一点．那么点落在△ABD内的概为
☆例题展示
6．设A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6，x，y∈N*}．
(1)求从A中任取一个元素是(1,2)的概率；
(2)从A中任取一个元素，求x＋y≥10的概率；
变式1：4. 两个骰子的点数分别为b、c，则方程x2＋bx＋c＝0有两个实根的概率为
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7．投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的
数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一
面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．
(1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10内的概率；
(2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒
豆子，求豆子落在区域M上的概率．
8．如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝8，M、N、
P是将半圆圆周四等分的三个分点．
(1)从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；
(2)在半圆内任取一点S，求三角形SAB的面积大于82的概率．
☆课堂小结
：1、理解古典概型和几何概型及其概率计算公式。
2、会用概率知识解决一些应用问题和综合问题。
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☆课后练习
：
1．有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，他应当选择的游
戏盘为 ( )
2．若A、B为一对对立事件，其概率分别为P(A)＝4x，P(B)＝1y，则x＋y的最小值为
3.一块各面均涂有油漆的正方体被据成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地
搅混在一起，则任意取出一个，其两面涂有油漆的概率是
4．在区域 x＋y－2≤0，x－y＋2≥0，y≥0内任取一点P，则点P落在单位圆x2＋y2＝1内的概率为
5．已知直线y＝x＋b的横截距在[－2,3]范围内，则直线在y轴上的截距b大于1的概率是
6．若书架上放有中文书5本，英文书3本，日文书2本，由书架上抽出一本外文书的概率为
7．一个坛子里有编号为1,2„，12的12个大小相同的球，其中1至6号球是红球，其余的是
黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为
8．若－1≤a≤1，－1≤b≤1，则方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的概率等于
9．在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中有放回地先后抽得两张
卡片的标号分别为x、y，记z＝|x－2|＋|y－x|.求z的所有可能的取值，并求出z取相应值时的概
率．
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10．甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙
赢．
(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)；
(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与
C是否为互斥事件？为什么？
(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．
11．一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)骰子四个面上分别标有1,2,3,4
这四个数字，抛掷这颗正四面体骰子，观察抛掷后能看到的数字．
(1)若抛掷一次，求能看到的三个面上数字之和大于6的概率；
(2)若抛掷两次，求两次朝下面上的数字之积大于7的概率；
(3)若抛掷两次，以第一次朝下面上的数字为横坐标a，第二次朝下面上的数字为纵坐标b，
求点(a，b)落在直线x－y＝1下方的概率．