实验三 离散傅立叶变换

0 3 0 3 3 3
X (1) x(n)W41n x (n)( j ) n 2 2 j
0 3 0 3
X (2) x( n)W42 n x( n)( j ) 2 n 2
0 0 3 n 4
X (3) x(n)W
从上图可以看出，信号序列的周期数越多，则频谱越
是向几个频点集中，当信号周期数趋于无穷大时 ，频 谱转化为离散谱。
离散傅立叶变换（DFT）
有限长序列x(n)表示为
x(n),0 n N 1 x ( n) 0,n为其他值
x(n)是非周期序列，但可以理解为周期序列 x ( n) 的
nk=n’*k;


WNnk=WN.^(-nk);
xn=（xk*WNnk）/N;
xn=idfs(xk',4) x=xn'
周期重复次数对序列频谱的影响
理论上讲 ，周期序列不满足绝对可积条件，要对周期
序列进行分析，可以先取K个周期进行处理，然后让K
无限增大，研究其极限情况。这样可以观察信号序列
WNnk=WN.^nk; xk=xn* WNnk;
例：xn=[0,1,2,3]，N=4
xn=[0,1,2,3]; N=4; xk=dfs(xn,N)’
逆运算IDFS
function xn=idfs(xk,N)


n=[0:1:N-1];
k=n;


WN=exp(-j*2*pi/N);
例：已知信号由15Hz幅值0.5的正弦信号和40Hz
幅值2的正弦信号组成，数据采样频率为100Hz,
试绘制N=128点DFT的幅频图。
由题目可得
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t)
fs=100 N=128/1024
fs=100;
N=128;
由非周期到周期变换时 ，频谱由连续谱逐渐向离散谱 过渡的过程。
例：已知一个矩形序列的脉冲宽度占整个周期的1/2，一 个周期的采样点数为10，用傅立叶级数变换求信号的重 复周期数分别为1、4、7、10时的幅度频谱。

MATLAB程序： xn=[ones(1,5),zeros(1,5)]; Nx=length(xn); Nw=1000;dw=2*pi/Nw; k=floor((-Nw/2+0.5):(Nw/2+0.5)); for r=0:3; K=3*r+1; nx=0:(K*Nx-1); x=xn(mod(nx,Nx)+1); Xk=x*(exp(-j*dw*nx'*k))/K; subplot(4,2,2*r+1); stem(nx,x) axis([0,K*Nx-1,0,1.1]); ylabel('x(n)'); subplot(4,2,2*r+2); plot(k*dw,abs(Xk)) axis([-4,4,0,1.1*max(abs(Xk))]); ylabel('X(k)'); end
j
2 kn N
比较正、逆变换的定义式可以看出，只要把DFT公式中
的系数
e DFT的计算程序就可以用来计算IDFT。
e
j
2 nk N
改为
j
2 nk N
，并最后乘以1/N，那么，
DFT与DFS的关系
比较两者的变换对，可以看出两者的区别仅仅是将周
期序列换成了有限长序列。
有限长序列x(n)可以看作是周期序列 x ( n ) 的一个周期；
利用FFT进行功率谱的噪声分析
已知带有测量噪声信号 x(t ) sin(2 f1t ) sin(2 f 2t ) 2(t )
实验三 离散傅立叶变换
一、实验目的
加深对离散傅立叶变换(DFT)的理解。 掌握利用MATLAB语言进行离散傅立叶变换和逆变换的
方法。
加深对离散傅立叶变换基本性质的理解。 掌握离散傅立叶变换快速算法的应用。
二、实验原理及方法
傅里叶变换
建立以时间t为自变量的“信号”与以频率f为 自变量的“频率函数”(频谱)之间的某种变换关系。
n=0:N-1;
t=n/fs;
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); y=fft(x,N); f=(0:length(y)-1)'*fs/length(y); mag=abs(y);
stem(f,mag);
title(‘N=128点’)
n=0:N-1;
xk=dft(xn,N);
x=idft(xk,N); subplot(2,2,1);
stem(n,xn) subplot(2,2,2); stem(n,abs(x)) subplot(2,2,3); stem(n,abs(xk)) subplot(2,2,4); stem(n,angle(xk))
n 0 N 1
例：求出下面周期序列的DFS
x(n)={……,0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3,……}
基本周期为N=4，WN=W4=-j，
X (k ) x(n)W
n 0 3 nk 4
因而
X (0) x( n)W40 n x( n) x(0) x(1) x(2) x(3) 6
列，因而对输入要进行“变址”计算（即码位倒置计算）。 “变址”实际上是一种“整序”的行为，目的是保证“同
址”。
FFT的应用
凡是利用付里叶变换来进行分析、综合、变换的
地方，都可以利用FFT算法来减少其计算量。
FFT主要应用在
1、快速卷积
2、快速相关
3、频谱分析
快速傅立叶变换的MATLAB实现
0
3
x(n)( j ) 3n 2 2 j
0
3
MATLAB实现
矩阵-向量相乘运算来实现。
由于x(n)和 X (k )均为周期函数，周期为N，可设 x 和 X
x(n 代表序列 )
和 X (k )
的主值区间序列，则前面的两个表
1 WN X N
快速傅立叶逆变换（IFFT）
函数调用格式
y=ifft(x)
y=ifft(x,N)
当N小于x长度时，对x进行截断，当N大于x长
度时，对x进行补零。
fftshift函数
功能：
对fft的输出进行重新排列，将零频分量移到频谱的中
心。
调用格式
y=fftshift(x)
当x为向量时，fftshift(x)直接将x中左右两半交换而 产生y。 当x为矩阵时，fftshift(x)直接将x中左右、上下进行 交换而产生y。
n 0 N 1 j 2 nk N
,k 0, 1,......
注意 X (k )也是一个基本周期为N的周期序列。
上面两式称为周期序列的傅立叶级数变换对。 令 WN e
j 2 N
表示复指数，可以得到以下：
N 1 n 0
X ( k ) DFS [ x( n)] x( n)WN nk (k )] 1 x(n) DFS [ X N X (k )WN nk
提供fft函数计算DFT 格式
X=fft(x)
X=fft(x,N)
如果x的长度小于N，则在其后填零使其成为N点序列，
反之对x进行截断，若省略变量N，则DFT的长度即为x 的长度。
如果N为2的幂，则得到高速的基-2FFT算法；若N不是2
的乘方，则为较慢的混合算法。
如果x是矩阵，则X是对矩阵的每一列向量作FFT。
利用MATLAB实现傅立叶级数计算
编写函数实现DFS计算
function xk=dfs(xn,N)
n=[0:1:N-1]; k=n; WN=exp(-j*2*pi/N); nk=n’*k;
%n的行向量 %k的行向量 %WN因子
%产生一个含nk值的N乘N维矩阵 %DFS矩阵 %DFS系数行向量
达式可写成：
X WN x x
式中，矩阵WN为方阵——DFS矩阵。
WN [WNkn 0 (k , n) N 1] 11n1 1 1WN WNN 1 k N 1 ( N 1)2 WN ...WN
离散傅里叶级数(DFS)
离散时间序列x(n)满足x(n)=x(n+rN)，称为离散周期
序列，其中N为周期，x(n)为主值序列。
由傅立叶分析知道周期函数可由复指数的线性组合叠
加得到。其频率为基本频率的倍数。从离散时间傅立
叶变换的频率周期性，我们知道谐波次数是有限的，
其频率为 { 2
N k , k 0,1,......, N 1}
所以“时间”或“频率”取连续还是离散值, 就形成
各种不同形式的傅里叶变换对。
四种不同傅里叶变换对
傅里叶级数(FS)：连续时间, 离散频率的傅里叶变换。
周期连续时间信号傅里叶级数(FS)得到非周期离散频 谱密度函数。
傅里叶变换(FT)：连续时间, 连续频率的傅里叶变换。
非周期连续时间信号通过连续付里叶变换(FT)得到非
DFT的快速算法—FFT是数字信号处理的基本方法和基
本技术，是必须牢牢掌握的。
时间抽选FFT算法的理论推导和流图详见《数字信号处
理》教材。该算法遵循两条准则： （1）对时间奇偶分；（2）对频率前后分。
这种算法的流图特点是：
（1）基本运算单元都是蝶形 任何一个长度为N=2M的序列，总可通过M次分解最后 成为2点的DFT计算。如图所示：