离散傅里叶变换及其快速算法.
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第2章 离散傅里叶变换和快速算法.ppt
真正的傅里叶变换有4种： CTFS给连续周期信号用， CTFT给连续非周期信号用， DTFS给离散周期信号用， DTFT给离散非周期信号用。
杨毅明 第2章 离散傅里叶变换和快速算法
2.1.1 离散傅里叶级数
离散傅里叶级数的定义：
X~ (k )
N 1 ~x (n)e
j 2 N
kn
n0
~x (n)
杨毅明 第2章 离散傅里叶变换和快速算法
2.2 利用DFT做连续信号的频谱分析
离散傅里叶变换可以用来分析连续时间信号的频谱，其 原理如下：
这种方法存在如下问题： 混叠，泄漏，栅栏效应，分辨率，周期效应。 根据例6（书上63页）说明上面5个问题。
杨毅明 第2章 离散傅里叶变换和快速算法
clear;close all; f=10;a=4;T=1/(a*f);t=0:T:3; x=sin(2*pi*f*t); subplot(211);plot(t,x);xlabel('t/s');ylabel('x(t)'); N=length(t);n=0:N-1;k=n; W=exp(-j*2*pi/N*k'*n); X=W*conj(x'); subplot(212);stem(k,abs(X),'.');xlabel('k');ylabel('X(k)');
N 1 ~x1 (m) ~x2 (n rL m) RN (n)
m0
r
yL (n rL) RN (n) r
杨毅明 第2章 离散傅里叶变换和快速算法
yL(n)和yC(n) 的关系
yC (n) yL (n rL) RN (n) r
杨毅明 第2章 离散傅里叶变换和快速算法
2.1.1 离散傅里叶级数
离散傅里叶级数的定义：
X~ (k )
N 1 ~x (n)e
j 2 N
kn
n0
~x (n)
杨毅明 第2章 离散傅里叶变换和快速算法
2.2 利用DFT做连续信号的频谱分析
离散傅里叶变换可以用来分析连续时间信号的频谱，其 原理如下：
这种方法存在如下问题： 混叠，泄漏，栅栏效应，分辨率，周期效应。 根据例6（书上63页）说明上面5个问题。
杨毅明 第2章 离散傅里叶变换和快速算法
clear;close all; f=10;a=4;T=1/(a*f);t=0:T:3; x=sin(2*pi*f*t); subplot(211);plot(t,x);xlabel('t/s');ylabel('x(t)'); N=length(t);n=0:N-1;k=n; W=exp(-j*2*pi/N*k'*n); X=W*conj(x'); subplot(212);stem(k,abs(X),'.');xlabel('k');ylabel('X(k)');
N 1 ~x1 (m) ~x2 (n rL m) RN (n)
m0
r
yL (n rL) RN (n) r
杨毅明 第2章 离散傅里叶变换和快速算法
yL(n)和yC(n) 的关系
yC (n) yL (n rL) RN (n) r
第三章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法-庄
域 时域 连续性 离散 周期性 周期
频域
离散
周期
时域的离散造成频域的延拓（周期性）。根据 对偶性，频域的离散也会造成时域的延拓（周 期散化，
令 d 0 从而 k 0
k 2F0 , N
j 0 kT N 1 n 0
s 0
n 0
N 1
j
2 kn N
0 k N 1
N称为DFT变换区间长度， N M
令
WN e
j
2 N
，记作旋转因子
傅里叶变换与逆变换对为：
kn X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WN n 0 N 1 N 1
0 k N 1 0 n N 1
N
示周期序列的频谱特性，即DFT能够描述FT的特征
24
2.DFT与FT、ZT之间的关系
有限长序列
x(n) n 0,1, 2, M 1
N M
DFT与ZT、FT、DFS
X ( z ) ZT [ x(n)] X (e ) FT [ x(n)]
j j
n
x(n) z
7
2 时域：以Ts 采样，频域延拓周期 s Ts 2 频域：以0 采样，时域延拓周期T0 0
x(n)
T0 1 F0
Ts
1 fs
t n
| X (e
jk0T
)|
s
2 Ts
0
2 T0
k
8
四种形式归纳
类型
傅里叶变换 傅里叶级数
时间函数
连续 非周期
频率函数
N
(1)
1-z -8 X(z)= , -1 1-z
频域
离散
周期
时域的离散造成频域的延拓（周期性）。根据 对偶性，频域的离散也会造成时域的延拓（周 期散化，
令 d 0 从而 k 0
k 2F0 , N
j 0 kT N 1 n 0
s 0
n 0
N 1
j
2 kn N
0 k N 1
N称为DFT变换区间长度， N M
令
WN e
j
2 N
，记作旋转因子
傅里叶变换与逆变换对为：
kn X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WN n 0 N 1 N 1
0 k N 1 0 n N 1
N
示周期序列的频谱特性，即DFT能够描述FT的特征
24
2.DFT与FT、ZT之间的关系
有限长序列
x(n) n 0,1, 2, M 1
N M
DFT与ZT、FT、DFS
X ( z ) ZT [ x(n)] X (e ) FT [ x(n)]
j j
n
x(n) z
7
2 时域：以Ts 采样，频域延拓周期 s Ts 2 频域：以0 采样，时域延拓周期T0 0
x(n)
T0 1 F0
Ts
1 fs
t n
| X (e
jk0T
)|
s
2 Ts
0
2 T0
k
8
四种形式归纳
类型
傅里叶变换 傅里叶级数
时间函数
连续 非周期
频率函数
N
(1)
1-z -8 X(z)= , -1 1-z
第2章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)
电信系信息技术教研室
2.1.1 离散傅里叶级数DFS
信号特性的时频域对应关系 连续 离散 周期
非周期 周期 离散
电信系信息技术教研室
2.1.1 离散傅里叶级数DFS
？如何对周期为N的周期序列进行频域分析……
如： ~(n) ~(n kN ) x x 周期序列不能进行Z变换，因为其在 n=-到+ 都 周而复始永不衰减，即 z 平面上没有收敛域，所以 其DTFT亦不存在。但是，如同连续时间周期信号可用 傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级数来表 示。
2 1 2 1
X (2) 0 X (6) 0
X (3) 1 j X (7 ) 1 j
2 1 2 1
电信系信息技术教研室
解法二：公式解
N 1 j 2 N 7 j 2 8 kn
X
k
DFS x n
mk
ki mk ~ ~ x (i ) wN wN X ( k ) i 0
N 1
电信系信息技术教研室
3）共轭对称性
x 对于复序列 ~n ，其共轭序列为
~* ~* DFS x n X k
* *
~* x n
，则：
~ ~ DFSx n X k
解：上述序列的基本周期为 N=4，因而
W4 = e-j2π /4 = -j，
~ X (k )
~ X (0) ~ X (1 ) ~ X (2) ~ X (3)
n0
3
nk ~ x ( n )W 4
3
n0
3
~ ( n )W x 4
离散傅里叶变换及其快速算法
N
1
~x (i)wNki
wmk N
X~
(k
)
i0
由于 ~x (n) 与 X~(k ) 对称的特点，同样可证明
IDFS X~(k l) wNnl ~x(n)
3）共轭对称性
对于复序列~x n 其共轭序列~x *n 满足
DFS ~x * n X~ * k
•时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个 周期序列。
X~(k) ~x (n) 是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS) 变换对，这种对称关系可表为：
~x (n) IDFS [ X~ (k )] 1 N 1 X~ (k )e j2 / N nk
N n0
X~ (k ) DFS [~x (n)] N 1 ~x (n)e j2 / N kn n0
证:
DFS ~x * n N1 ~x * (n)WNnk
n0
N
(
1
~x (n)WNnk
)*
X~ *
k
n0
同理:
DFS ~x * n X~*k
进一步可得
DFSRe{~x n} 1 DFS[~x n ~x * n]
§2.1 离散傅里叶变换（DFT）
为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及其 离散傅里叶级数（DFS）表示。
§2.1.1 离散傅里叶级数（DFS） 一个周期为N的周期序列，即
~x(n) ~x(n kN)
， k为任意整数，N为周期
周期序列不能进行Z变换，因为其在 n=-到+ 都周而 复始永不衰减，即 z 平面上没有收敛域。但是，正象连 续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散 的傅氏级数来表示，也即用周期为N的正弦序列来表示。
离散傅里叶变换及其快速算法
离散傅里叶变换及其快速算法离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是一种将离散信号转换为频域表示的数学工具。
它在信号处理、图像处理、通信等领域有广泛的应用。
而快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种能够高效计算DFT的算法，大大减少了计算量。
首先，我们来看一下DFT的原理。
给定一个有限长度的离散信号序列x(n)，DFT将其转换为频谱X(k)，其中k为频率索引，取值范围为0到N-1，N为序列的长度。
DFT的定义公式如下：X(k) = Σ x(n) * exp(-j * 2π * nk / N)其中，exp为自然指数函数，j为虚数单位。
DFT将信号分解为了N个复数的和，这些复数代表了不同频率分量在信号中的贡献。
然而，直接计算DFT的时间复杂度非常高，为O(N^2)。
为了提高计算效率，Cooley和Tukey于1965年提出了FFT算法。
FFT算法基于以下性质：若N为2的整数次幂，则DFT可以被分解为两个较小长度的DFT的线性组合。
具体来说，将N个点的DFT拆分为长度为N/2的两个DFT，然后再对这两个子序列进行DFT，最后将两个子序列的结果组合起来。
这个过程可以递归地进行，直到序列长度为1，即可得到最终的DFT结果。
FFT算法的时间复杂度为O(NlogN)，远远小于直接计算DFT的复杂度。
这使得FFT成为了处理大规模数据的首选方法之一、此外，FFT还有其他一些优点，如可并行化计算、对称性质等。
FFT算法可以采用不同的实现方式，最著名的是基于蝶形运算的Cooley-Tukey算法。
这种实现方式将FFT过程分为了两个阶段：置换阶段和蝶形运算阶段。
置换阶段通过将信号重新排序，将原始序列分为奇偶两个子序列，并计算每个子序列的DFT。
这个过程可以递归地应用于子序列，直到长度为1蝶形运算阶段是FFT算法的核心部分。
蝶形运算是指将两个频域上的复数进行运算，得到新的复数。
离散傅里叶变换及快速算法
（5-5）
W e N
j
2 N
的性质:
正交性，周期性，
共轭对称性（偶序列），可约性。
§5．离散傅里叶变换及快速算法
1.离散傅里叶级数
1.2离散傅里叶级的计算
例5-1 求出下面周期序列的DFS
x(n) 0 ,1,2,3, 0 ,1,2,3, 0,1,2,3
n0
为改进嵌套循环计算的效率，将循环结构改为矩阵形式计算
§5．离散傅里叶变换及快速算法
0.概述
离散时间傅里叶变换(DTFT)是通过周期频谱 来描述一个离散信号序列，即DTFT是连续变 量w的连续函数。离散傅里叶变换(DFT)则是 针对有限长序列，是对DTFT采样后得到的离 散序列。 此种表示方法非常有利于数值计算以及数字信 号处理算法的DSP硬件实现。 本章将研究离散傅里叶级数，离散傅里叶变换 (DFT)，及离散傅里叶变换的快速算法FFT。
（5-3）
n0
称之为离散傅里叶级数DFS的系数。是一个基波周期为N的 周期序列。
X (k) X (k N)
§5．离散傅里叶变换及快速算法
W e 在DFS变换中引入复数 N
j
2 N
将DFS正反变换描述为
N 1
X (k) x(n)WNnk
n0
x (n)
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
n0
x(n)
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
x
1 N
WN* X
WN WNkn 0
k,n
N
1
1 1
1
WN1
1
W ( N 1) N
1
W ( N 1) N
《数字信号处理》C3离散傅里叶变换及快速算法
2 k ) / 2 sin N ( 2 j ( k )( N 1) 1 N N e 2 N 内插函数 k ) / 2 sin ( N N sin 1 2 e j ( N 1) / 2 2 ( ) k ( ) ( k) N sin N 2
j
n
x(n) z n
M 1 n 0
n x ( n ) z jn
X ( e ) DTFT [ x ( n )]
n
x ( n )e
M 1 n 0
jn ( ) x n e
2 j X ( e ) FT [ x N ( n )] N ( k ) DFS [ x N ( n )] X X ( k ) DFT [ x ( n )]N
n 0
N 1
n
1 n0 N
N 1
X (k )W
k 0
N 1
nk N
n z
1 N 1 N 1 nk n X (k ) WN z N k 0 n 0
N 1 1 N 1 k 1 n X (k ) WN z N k 0 n 0
(n) ak e x
k 0 N 1 j 2 kn N
2 2 T 0 0T NT N
为什么是有限项之和？ 如何求系数？
( n )e x
n 0
N 1
j
2 mn N
2 2 j kn j mn ak e N e N n 0 k 0 N 1 N 1
N 1
ak ak lN
周期
3.1 周期序列的傅里叶级数
j
n
x(n) z n
M 1 n 0
n x ( n ) z jn
X ( e ) DTFT [ x ( n )]
n
x ( n )e
M 1 n 0
jn ( ) x n e
2 j X ( e ) FT [ x N ( n )] N ( k ) DFS [ x N ( n )] X X ( k ) DFT [ x ( n )]N
n 0
N 1
n
1 n0 N
N 1
X (k )W
k 0
N 1
nk N
n z
1 N 1 N 1 nk n X (k ) WN z N k 0 n 0
N 1 1 N 1 k 1 n X (k ) WN z N k 0 n 0
(n) ak e x
k 0 N 1 j 2 kn N
2 2 T 0 0T NT N
为什么是有限项之和？ 如何求系数？
( n )e x
n 0
N 1
j
2 mn N
2 2 j kn j mn ak e N e N n 0 k 0 N 1 N 1
N 1
ak ak lN
周期
3.1 周期序列的傅里叶级数
第3章 离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)
1 x(n) IDFT [ X (k )]N N
k 0
N 1
X (k )WN k n , n 0, 1, , N 1
也可以表示为矩阵形式: x DN1 X
DN1
称为N点IDFT矩阵，定义为：
1 1 1 1 W 1 WN 2 N 1 1 WN 2 WN 4 N ( N 1) WN 2( N 1) 1 WN 1 WN ( N 1) 2( N 1) WN WN ( N 1)( N 1)
3.1.3 DFT的矩阵表示
X (k ) DFT [ x(n)]N
n 0
N 1
k x(n)WN n , k 0, 1, , N 1
也可以表示成矩阵形式: X DN x 式中，X是N点DFT频域序列向量:
X [ X (0) X (1) X ( N 2) X ( N 1)]T
2
N 1
k
DFT与DTFT变换
DFT所表示的不是序列的频谱，而是对序列频谱的一个采样! 采样间隔为2/N;N越大，X(k)越能反映X()的形状。
(2)序列的N点DFT是序列的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样， 频率采样间隔为2/N。
X (k ) X ( z )
z e
j 2 k N
M 1
n 0
比较前面三式，得到：X (k ) X (e j )
结论：
2 k N
, k 0, 1, 2,, N 1
(1)序列的N点DFT是序列的傅里叶变换(DTFT)在频率区间 [0,2]上的N点等间隔采样，采样间隔为2/N。
X (e j )
X (k )
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DFS的几个主要特性：
假设~x(n)、~y(n) 都是周期为 N 的两个周期序列，各自的 离散傅里叶级数为：
1）线性
X~(k ) DFS~x(n) Y~(k ) DFS~y(n)
a , b为任意常数DFS a~x (n) b~y(n) aX~(k ) bY~(k )
2）序列移位
DFS~x(n
3） X~ (k ) 为周期序列，周期为N。
X~ (k mN ) N 1 ~x (n)e j2 / N (kmN)n n0 N 1 ~x (n)e j2 / N kn X~ (k ) n0
•时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列
X~ (k ) ~x (n) 是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换
§2.1 离散傅里叶变换（DFT）
为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及其离散傅里 叶级数（DFS）表示。
§2.1.1 离散傅里叶级数（DFS）
一个周期为N的周期序列，即
~x (n) ~x (n kN) ， k为任意整数，N为周期
周期序列不能进行Z变换，因为其在 n=-到+ 都周而复始永不 衰减，即 z 平面上没有收敛域。但是，正象连续时间周期信号可 用傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级数来表示，也即用
DFS ~x * n X~ * k
证: 同理:
DFS ~x * n N1 ~x * (n)WNnk n0
N
(
1
~x (n)WNnk
)*
X~ *
k
n0
DFS ~x * n X~*k
进一步可得
DFSRe{~x n} 1 DFS[~x n ~x * n]
2 1 [ X~(k) X~ * (N k)]
对，这种对称关系可表为：
~x (n) IDFS [ X~ (k )] 1 N 1 X~ (k )e j2 / N nk
N n0
X~ (k ) DFS [~x (n)] N 1 ~x (n)e j2 / N kn n0
习惯上：记
WN e j 2， / N
则DFS变换对可写为
X~(k) N 1 ~x (n)WNkn DFS~x (n) n0
第二章 离散傅里叶变换及其快速算法
离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT
他更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由 于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量 较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅 里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大 功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来， 计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领 域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散 傅里叶变换及其快速算法。
~x(n)
1 N
N
1
X~
(k
)W
N
kn
k 0
IDFS
X~ (k )
DFS[·] ——离散傅里叶级数变换
IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换。
DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列， 但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情 况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际 上只有N个序列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序 列有着本质的联系。
2
共轭偶对称分量
DFSRe~x n
X~e
k
1 2
[
X~
(k)
X~ *
(N
k
)]
共轭奇对称分量
DFS
j
Im~x n
X~o
k
1 2
[
X~
(k
)
X~ * ( N
k
)]
4）周期卷积
若 F~(k ) X~(k )Y~(k ) 频域乘积,时域卷积
则 ~f (n) IDFS F~(k) N1 ~x (m)~y(n m) m0
将周期序列展成离散傅里叶级数时，只需取 k=0 到(N-1) 这 N个独立的谐波分量，所以一个周期序列的离散傅里叶级数只 需包含这N个复指数，
~x (n) 1 N 1 X~ (k )e j2 / N kn
N K 0
利用正弦序列的周期性可求解系数 X~ (k ) 。
e 将上式两边乘以
j(2 / N )rn
eN
n0
1 0
k r sN kr
上式中[ ]部分显然在0~N-1中只有当k=r时才有值为1,其他任意
k值时均为零,所以有
N
1
~x (
n)e
j
2
N
rn
X~(r)
n0
或写为
X~ (k )
N 1
~x (n)e
j
2
N
k n
n0
0 k N 1
1) 可求 N 次谐波的系数
X~ (k )
2） X~ (k ) 也是一个由 N 个独立谐波分量组成的傅立叶级数
wmk N
N
1
~x (i)wNki
wmk N
X~
(k
)
i0
由于 ~x (n) 与 X~(k ) 对称的特点，同样可证明
IDFS X~(k l) wNnl ~x(n)
时域的移位等于频域乘一个旋转因子,即一个系数; 频移也一样,只是相差一个符号
3)共轭对称性
对于复序列 ~x n 其共轭序列~x *n 满足
IDFS X~
m) wNmk X~(k
(k l) wNnl ~x (n)
)
证因为~x (n) 及 wNkn 都是以N为周期的函数，所以有
DFS
~x (n m)
N 1 ~x (n
m)wNkn
N
1
m~x (i)
wNki
wkm N
n0
im
wmk N
N 1m~x (i)wNki
imLeabharlann 或N 1 ~y (m)~x (n m)
m0
两者 N必须相同
周期卷积
证：~f (n) IDFS
周期为N的正弦序列来表示。
周期为N的正弦序列其基频成分为：
e1 (n) e j2 / N n e K次谐波序列为：k (n) e j 2 / N kn
但离散级数所有谐波成分中只有N个是独立的，这是与连 续傅氏级数的不同之处，
即
e j2 / N (kN )n e j2 / N kn
因此 ekN (n) ek (n)
，并对一个周期求和
N
1
~x (n)e
j
2 N
rn
1
N
1
N
1
X~
(k
)e
j
2 N
(
k
r
)n
1
N
1
X~
(k
N
)
1
e
j
2 N
(k
r
)
n
n0
N n0 k0
N k0
n0
N 1 k 0
X~ (k )[
1 N
1 e j 2 (k r ) 1 e j 2 (k r ) / N
]
1
N
N 1 j( 2 )(k r )n