第五章 离散时间傅立叶变换.
(1)
4 2
2 4
6. 理想低通滤波器：
H (e j )
h[n] 1 H (e jn )e jnd sinWn
2
n
7. 符号函数:
1 sgn[n] 0
1
n0 n0 n0
sgn(n)
1
n
-1
s
gn[n]
1
1 e
j
1
1 e
j
j sin 1 cos
实、奇序列
虚、奇频谱
5.2 周期信号的DTFT
第五章 离散时间傅立叶变换
重点： 1、掌握傅立叶变换定义及其基本性质； 2、牢记常用典型信号的傅立叶变换； 3、掌握运用傅立叶变换分析LTI系统的方法
难点： 运用傅立叶变换及相关性质分析LTI系统
5.0 引言：( introduction ) CFS ( the Continuous-time Fourier Series ): 连续时 间傅立叶级数
X (e j )
N1
e jn
n N1
s in( N1
1 )
2
sin
2
有同样的结论: 实偶序列
实偶函数
当 N1 2 时,
4.单位冲击信号
[n]
1
如图所示:
X (e j )
0
n
X (e j ) x[n]e jn 1
n
1
0
5. 频域均匀冲激串:
1 2 ( 2k) k
X (e j )
ak
1 N
N2
x[n]e jk( jk(2 / N )n
n
定义：
X (e j )
x[n]e jn
n
则
ak
1 N
X (e jk0 )
~x[n]
k N
1 N
X (e jk0 )e jk0n
1
2
X
(e
jk0
)e
jk0n 0
k N
当 N ,
k
X (e j )
2 02 2 0 0 0 0
2 02 2 0
sin0n
j
k
(
0
2
k)
k
(
0
2
k)
例
x[n] [n kN]
k
ak
1 N
x[n]e jk0n
nN
1 N
N 1
[n]e jk0n
n0
1 N
X (e j ) 2 ( 2 k )
N k
N
穷项级数，当然会存在收敛问题。
收敛条件有两组：
1. | x[n] | N
2.
| x[n] |2
N
三. 常用信号的离散时间傅立叶变换:
1.单边指数信号
x[n]
anu[n]
X
(e
j
)
1
1 ae
j
通常X (e j )是复函数，它的模和相位:
| X (e j ) |
1
1 a2 2a cos
X (e j ) arctan a sin 1 a cos
j
2 N
kN1
j
2 N
(
N1 1) k
j 2 k N
1 N
sin
N
k (2 N1
sin k
1)
k 0, N, 2N,
N
ak
2N1 1 N
k rN 时
N1 2 N 10
N1 2 N 20
周期性方波序列的频谱
k
(2) 傅氏变换 (非周期信号)
x[n] ~x[n]
N1 n N2
~x[n] N x[n]
0
2
N
N d
k0 N
x[n] lim (~x[n]) 1 X (e j )e jndw
N
2 2
离散时间傅立叶变换对：
x[n]
1
2
X (e j )e jnd
2
X (e j ) x[n]e jn
N
傅氏变换 (非周期信号)
二、 DTFT的收敛问题：
当序列是无限长序列时，由于 X（e j )表达式是无
由图可以看到: 0 a 1 时，低通特性, x[n]单调指数衰减
1 a 0 时，高通特性,x[n]摆动指数衰减
2.双边指数信号
x[n] a|n|u[n] X (e j )
1 a2
1 2a cos a2
可以得出结论: 实偶序列
实偶函数
3. 矩形脉冲: x[n] 10
| n | N1; | n | N1;
离散时间信号与系统分析的历史并不比连续时间信 号与系统分析的历史短。但由于模拟器件的制造技术 发展的更早、更快，以致在很长一段时间里，离散时 间信号与系统的分析发展得比较缓慢，主要限于数值 分析和对时间序列的分析。
20世纪四、五十年代，数字技术和计算机的出现极大地 推动了离散时间信号与系统的研究。但由于缺乏快速算法， 其发展仍受到很大制约。六十年代中期，Cooley和Tukey 提出FFT算法后，这一领域得到了飞速的发展。
2 2
可见：
2（ 0 2 k） e j0n
k
对于任一周期的离散信号，其可以表示为傅立叶级数的形式：
x[n]
a e jk (2 / N )n k
k N
则其傅立叶变换为：
X (e j )
2
k
ak (
2
N
k)
例
x[n] cos0n
不一定是周期的，当
0
2
N
k
时才是周期的。
X (e j ) ( 0 2k) ( 0 2k)
x[n]
1
X (e j )
2 N
2N N 0 N 2N n
4 2 0 2 4
N
N
NN
比较:与连续时间均匀冲激串的情况一致.
周期信号的傅立叶变换
周期信号
x[n] ak e jk0 k
其傅立叶变换为：
X (e j ) 2 ak ( k0 ) k
结论：对于周期信号求傅立叶变换，首先展开为傅立叶级 数的形式，然后求傅立叶变换。
对连续时间信号，有 2（ 0） e j0t , 由此
推断对离散时间信号或许有相似的情况。
但由于DTFT一定是以 2 为周期的，因此，频
域的冲激应该是周期性的冲激串:
2（ 0 2 k）
k
2 0
(2 )
0 0 2 0
对其做反变换有：
x[n] 1
X (e j )e jnd e j0n
DFS ( the Discrete-time Fourier Series ): 离散时间 傅立叶级数
CTFT ( the Continuous -Time Fourier Transforms ): 连续时间傅立叶变换
DTFT ( the Discrete -Time Fourier Transforms ): 离 散时间傅立叶变换
5.3 离散时间傅氏变换的性质
5.1 非周期信号的表示：离散时间傅立叶变换
一 、离散时间傅立叶变换的导出
(1) 傅氏级数(周期信号)
~x[n]
a e jk(2 / N )n k
k N
ak
1 N
~x[n]e jk(2 / N )n
n N
傅氏级数 (周期信号)
N1
j 2 kn
1 1 e e N
a e k
N N 1 e n N1
离散时间序列的傅里叶变换
j
( 1) A e
j T
j
e
j
1 Be
j
H (e
A ) B
( )
e
j
( 1) A e
A B
j
e
j
1 Be
j
幅频: H (e j )
相频:
( )
j Im[z]
e
z
j
200 150
100
p
离散系统的频率响应
全同系统和最小相移系统
一、频率 响应定义
H (e ) H ( z ) z e j
j
H ( e j ) H ( e j ) e j ( )
例:单位函数响应为h(k),激励为
e(k ) e jk
稳态响应.
r (k ) h(k )* e
j
jk
j ( k i ) j i jk h(i )e h(i)(e ) e i i 0
j
F (e j )e jk d
DTFT存在的充分必要条件是F(z)的收敛区间包含单位圆。
例1：求离散序列的傅里叶变换。 RN (k ) (k ) (k N )
解：
F (e )
j
k
R
N
(k )e
j k
e jk
k 0
N 1
50
Re[z ]
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
0 -4
e j
0
2
H ( e j )
H (e )
j
A B
k 1 r 1 N
离散傅里叶变换 DFT
数字信号处理第五章离散傅里叶变换授课教师：胡双红联系QQ：79274544长沙理工大学计算机与通信工程学院DFT:离散傅里叶变换引言DFSDFTDFT性质DFT应用快速算法：FFT引言DTFT对绝对可加序列给出了频域（ω）表示 Z变换对任意序列给出了广义频域（z）表示 特点：变换都是对无限长序列定义的；变换都是连续变量（ω或z ）的函数；用MATLAB实现时必须将序列截断然后在有限点上求表达式。
即DTFT和ZT都不是数值可计算的变换数值可计算的变换DFT方法：通过在频域对DTFT采样获得。
步骤：通过分析周期序列来建立傅里叶级数(DFS)将DFS推广到有限长序列得DFT优点：适合计算机实现的数值可计算的变换缺点：对长序列的数值计算费时多改进方法：快速傅里叶变换（FFT）第一次课5.1 离散傅里叶级数定义MATLAB实例与Z变换和DTFT的关系Z域采样与重建~式中：x解：由题设可得基波周期~~令x周期，⎪⎧±±==−,2,,02N Lk j N N k L π"作出L=5和N=20的周期序列图>> x=[1,1,1,1,1,zeros(1,15)];>> xtilde=x'*ones(1,3);>> xtilde=xtilde(:);>> xtilde=xtilde';>> n=[-20:39];>> stem(n,xtilde)>> axis([-20,39,-0.5,1.5]);>> xlabel('n');ylabel('x(n)');title('周期方波序列')2）对L=5和N=20的MATLAB脚本如下------------------------MATLAB脚本--------------------->> L=5;N=20;k=[-N/2:N/2];% 方波参数>> xn=[ones(1,L),zeros(1,N-L)];% 方波序列x(n) >> Xk=dfs(xn,N);% DFS>> magXk=abs([Xk(N/2+1:N) Xk(1:N/2+1)]);% DFS幅度>> subplot(2,2,1);stem(k,magXk);>> axis([-N/2,N/2,-0.5,0.5]);>> subplot(2,2,1);stem(k,magXk);>> axis([-N/2,N/2,-0.5,5.5]);>> xlabel('k');ylabel('Xtilde(k)');>> title('L=5,N=20 的方波的DFS');3）结论：方波DFS的DFT包络为抽样函数"sinc"函数k=0时幅度为L，函数的零点在N/L的整数倍点 方波持续时间相同时，周期越大，其频谱越密设x(n)是一有限长的序列，长度为N,即：那么它的z 变换和DTFT 为：,01()0,n N x n n ≤≤−⎧=⎨⎩非零其余()()()()∑∑−=−−=−==1010N n jwnjw N n n e n x e X zn x z X 与Z 变换和DTFT 的关系（了解）~现在以周期3）在4）在解：序列x(n)不是周期的，但是有限长的在设x(n)任意序列N−∞1上式表明：单位圆上对X(z)采样，时域将得到一个周期序列，是原序列x(n)和它的无穷多个移位±rN 的副本的线性组合。
离散时间傅里叶变换
X
(e
j
)
sin
N1
sin
1 2
2
连续时间非周期矩形脉冲傅里叶变换： X(j)2sinT1
4. x[n][n]
X(ej) 1
Xej xnejn nejn1
n
n
20
三、离散时间傅里叶变换的收敛性
例5.1，5.2是无限长序列
x[n]a|n|,|a|1; 其傅里叶变换存在。 x[n]anu[n]|,a|1
X * ( e j ) X ( e j )即,X * ( e j ) X ( e j )
因此:
X (ej)X (e j) RX ( e ej) RX ( e e j) X (ej) X (e j) Im X (ej) Im X (e j)
❖ 若 x[n] 是实偶信号,则 x[n]x[n],
x% [n]X(ej)
ak2(k02l) kN l
23
如图P263 Fig5.9:下页
X (e j ) 2 a 0 ( 2 l) 2 a 1 (0 2 l)
l
l
.. .2aN1 ((N1)02l) ,02/N l
如果周期函数中包含连续相继的N次谐波，则有：
X(ej)2k ak(2N k)
调制特性在信息传输中是极其重要的。
一定是以 2 为周期的,因此,频域的冲激应该是周
期性的冲激串:
2（0 2k）
k
对其作反变换有
xn 1 X ej ejnd
2 2
0 ejnd ej0n
2
22
可见, 2（ 02k） F 1 ej0n k
由DFS ,有 ~ xnkNakejk0n,02N
因此,周期信号 ~xn 可表示为DTFT
§5-6 离散时间傅里叶变换----DTFT
《信号与系统》
Electronic Technology Teaching & Research Section
二、离散时间傅里叶变换的举例
1、单边指数序列 于是
X (e ) =
jω ∞ n = −∞
x ( n)
a>0 0
1 2 3 45
x ( n) = a n u ( n)
− jω n
a <1
n − jωቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn
π
《信号与系统》
Electronic Technology Teaching & Research Section
于是，我们得到一对变换关系：
X ( e ) = DTFT { x ( n )} =
jω − jω n x ( n ) e -------DTFT变换式 ∑ ∞
n = −∞
π
1 jω jω jωn x(n) = IDTFT{X (e )} = X ( e ) e dω -------DTFT反变换式 ∫ 2π −π
5、奇、偶、虚、实性 设
DTFT x ( n ) = x r ( n ) + jx i ( n ) ←⎯ ⎯→ X ( e jω ) = X R ( ω) + jX I ( ω)
= X ( e jω ) e jϕ ( ω )
当x(n)是实序列，即 则
x(n) = x* (n)
X ( e jω ) = X * ( e − jω )
ω
0
π
2π
ω
《信号与系统》
Electronic Technology Teaching & Research Section
DTFT x ( n ) ← ⎯ ⎯→ X ( e jω ) 例题：设
离散时间傅里叶变换
离散时间傅⾥叶变换1. 离散时间傅⾥叶变换的导出针对离散时间⾮周期序列，为了建⽴它的傅⾥叶变换表⽰，我们将采⽤与连续情况下完全类似的步骤进⾏。
考虑某⼀序列x[n]，它具有有限持续期；也就是说，对于某个整数N1和N2，在 −N1⩽以外，x[n]=0。
下图给出了这种类型的⼀个信号。
由这个⾮周期信号可以构成⼀个周期序列\tilde x[n]，使x[n]就是\tilde x[n]的⼀个周期。
随着N的增⼤，x[n]就在⼀个更长的时间间隔内与\tilde x[n]相⼀致。
⽽当N\to \infty，对任意有限时间值n⽽⾔，有\tilde x[n]=x[n]。
现在我们来考虑⼀下\tilde x[n]的傅⾥叶级数表⽰式\tag{1}\tilde x[n] = \sum_{k=(N)}a_ke^{jk{(2\pi/N)}n}\tag{2}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=(N)} \tilde x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}因为在-N_1 \leqslant N \leqslant N_2区间的⼀个周期上\tilde x[n]=x[n]，因此我们将上式的求和区间就选在这个周期上\tag{3}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=-N_1}^{N_2} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n} = \frac{1}{N} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}现定义函数\tag{4}X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n}可见这些系数a_k正⽐于X(e^{j\omega})的各样本值，即\tag{5}a_k = \frac{1}{N}X(e^{jk\omega_0})式中，\omega_0=2\pi/N⽤来记作在频域中的样本间隔。
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。
同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。
1. 离散时间傅里叶变换1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展n j e ω-开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中是实频率ω变量。
时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换定义如下：)(ωj e X （1.1）∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω][)(通常是实变量的复数函数同时也是周期为的周期函数，并且)(ωj e X ωπ2的幅度函数和实部是的偶函数，而其相位函数和虚部是的奇函数。
)(ωj e X ωω这是由于：（1.2）)()()(tan )()()()(sin )()()(cos )()(222ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X =+===由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从中算出：)(ωj e X 1（1.3）ωπωππωd e eX n x n j j )(21][⎰-=故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT ），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。
上述定义给出了计算DTFT 的方法，对于大多数时间序列其DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]=,此时其傅里叶变换可以写成简单n α的封闭形式。
离散时间序列的傅里叶变换
傅里叶变换： 傅里叶反变换：
F ( j ) f ( t )e jt dt
1 f (t ) 2
F ( j )e jt d
一、离散序列傅里叶变换DTFT公式
F (e j ) F ( z )
T
z e jT
F (e j )
围内。
四、几种特殊的离散时间系统：
低通、高通、带通、带阻
全通系统
最小相位系统 最小相位系统：极零点全部在单位圆内。
全通
1) m=n;
2)
H (e j ) H 0 H ( z) |z 1
全通系统：对任意频率的离散正弦时间信号都有相同的幅
频响应，除了在z=0处的极点外，其余的极点和零点关于单
r (k )
i
k i k h ( i )( 1 ) ( 1 )
i
( 1) k H ( z ) z 1
H(-1)=32/3
32 r (k ) ( 1) k 3
k
作业：8.17 (2) , (3);
8.18(1)(5)
解：
F (e )
j
k
R
N
(k )e
j k
e jk
k 0
N 1
1 e 1 e j
j N
N sin j N 1 2 e 2 sin 2
| F (e j ) | e j ( )
|F(e j)| 幅频特性曲线 ()相频特性曲线
位圆镜像对称（即两者相角相等，幅度互为倒数, 或 zi
1 pi*
）
快速离散傅里叶变换.wps
第5 章快速离散傅里叶变换 5 . 1 引言DFT 是离散时间信号分析和处理中的一种重要变换，应用广泛。
但因直接计算DFT 的计算量与变换区间长度N 的平方成正比，当N 较大时，计算量太大，从而限制了DFT 在信号频谱分析和实时信号处理中的应用。
1965 年库利（J , W 。
Cooley ）和图基（J . W . Tukey ）在《 计算机数学》 （Math . computation , Vol . 19 , 1965 ）杂志上发表了著名的《 机器计算傅里叶级数的一种算法》 论文后，桑德（G . Sallde ）一图基等快速算法相继出现，又经人们进行改进，很快形成一套DFT 的高效算法，这就是快速傅里叶变换，简称FFT ( fast Fourier transform ）。
FFT 算法使DFT 的运算效率提高了很多，为数字信号处理技术应用于各种实时处理创造了条件，大大推动了数字信号处理技术的发展。
DFT 快速算法的类型很多，但其基本数学原理是相似的。
本章主要介绍基2 时域抽取和基2 频域抽取FFT 快速算法原理，并在此基础上介绍基4 时域抽取FFT 算法。
还将介绍简称为IFFT ( inverse fast Fourier transform ）的离散傅里叶逆变换快速算法。
5 . 2 基2FFT 算法5.2.1 直接计算D 畔的运算量及减少运算量的基本途径长度为N 的有限长序列x （n),其DFT 和IDFT 分别定义为()10N-10(),01(5.2.1)1()X ,01(5.2.2)N N knN n knN k X x n W k N x n k W n N -=-==≤≤-=≤≤-∑∑ 考虑x(n)为复序列的一般情况，对每一个k 值，直接按（5.2.1）式计算X(k)值，需要N 次复数乘法,( N 一1 ）次复数加法。
因此，对所有N 个k 值，共需2N 次复数乘法和N ( N 一1 ）次复数加法运算。
数字信号处理之离散傅里叶变换
共轭对称性
对于实数输入信号，DFT 的结果X[k]满足共轭对称 性，即X[-k] = X[k]*。
离散傅里叶变换的矩阵表示
DFT可以表示为一个矩阵运算， 即X = W * x，其中X是DFT的输 出，x是输入信号，W是DFT的
权重矩阵。
权重矩阵W是一个复数矩阵，具 有特殊的结构，可以通过快速傅 里叶变换（FFT）算法进行高效
03
其他信号处理方法还包括短时 傅里叶变换、Wigner-Ville分 布等，可根据具体应用场景选 择合适的信号处理方法。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 06
结论
离散傅里叶变换的重要性和应用价值
离散傅里叶变换（DFT）是数字信号处理领域 中的重要工具，它能够将信号从时域转换到频 域，从而揭示信号的频率成分和特征。
DFT在通信、雷达、声呐、图像处理、语音识 别等领域有着广泛的应用，是实现信号分析和 处理的关键技术之一。
图像压缩
通过对图像进行DFT变换，将图像从空间域变换到频域，可以提取出图像的主要频率成分 ，从而实现图像压缩。常见的图像压缩算法有JPEG和JPEG2000等。
05
离散傅里叶变换的局限性和改进方法
离散傅里叶变换的局限性
计算量大
离散傅里叶变换需要进行大量复杂的复数运算，对于大数据量信 号处理效率较低。
方式。
离散傅里叶变换的编程实现
01
编程语言如Python、C等提供了离散傅里叶变换的库函数，可 以直接调用进行计算。
02
编程实现时需要注意数据的输入输出、内存管理、异常处理等
问题，以保证程序的正确性和稳定性。
编程实现离散傅里叶变换时，可以根据实际需求选择不同的库
03
函数和算法，以达到最优的计算效果。
第5章离散时间傅里叶变换DTFT
2 W
1
复指数和的离散时间傅里叶变换（DTFT）
回顾连续时间的结果：xt e j0t X j 2 0 离散时间会怎样？ x n e j0n X e j ?
a）我们期待在 0 处有一个脉冲（面积为2π ）
b）但是X ej 必须是以2π 为周期的
1
1 ae
j
1
1 a cos
ja sin
X e j
1
1 2a cos a2
0 : X e j
1
1
1 2a a2 1 a
: X e j
1
1
1 2a a2 1 a
4）离散时间矩形脉冲
N1 2
e j
1
1e
j
1
1
e
j
：Y e j
A
1 e j
1
B
e j
A(1 e j ) B(1 e j ) (1 e j )(1 e j )
x[n] X e j
X e j x n e jn —分析方程
n
—DTFT
x[n] 1 X e j e jnd —综合方程
2 2
—DTFT逆变换
收敛问题
综合方程：没有，因为是有限区间上的积分 分析方程：需要条件，类推于连续时间傅里叶变换， 如：
X e j 和Re X e j 是偶函数
X e j 和Im X e j 是奇函数