(完整word版)数列求和方法(带例题和练习题)

数列的求和

数列求和主要思路：

1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； 数列求和的常用方法

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q a a q

q a q na S n n

n

3、 11123(1)

2

n

n k S k n n n ==

=+++++=+∑L

… 4、

222221

1

123(1)(21)6n

n k S k n n n n ===++++=++∑L

5、 2

3

3

3

3

3

1

(1)1232n

n k n n S k n =+??

===++++=????∑L 公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数n 的值；

（2）等比数列公比q 未知时，运用前n 项和公式要分类。 例1．求和2

2

1-++++n x

x x Λ(0,2≠≥x n )

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.

例2．求和：1

32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S

例3．求数列

??????,2

2,,26,24,2232n n

前n 项的和. 三、倒序相加法

如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n 项和即可用倒序相加发，如等差数列的前n 项和就是此法推导的

例4．求ο

ο

ο

ο

ο

89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2

2

2

2

2++???+++的值

例4变式训练1：求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. 例4变式训练2： 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.

例4变式训练3：在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值.

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

例5．已知数列{}n a 的通项公式321n

n a n =+-，求数列{}n a 的前n 项和n S 。

例5变式训练1： 求3

211

1111111111个n ???+???+++之和. 例5变式训练2：求数列的前n 项和：13,24,35,,(2),n n ???+L L ；

例6．求数列的前n 项和：231

,,71,41,

1112-+???+++-n a

a a n ，…

五、裂项相消法：

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1）

111)1(1+-=+n n n n

（2）

1111

()(2)22n n n n =-++ （3）

)

121

121(21)12)(12(1+--=+-n n n n

若为等差数列，公差为d ，则

；

（4

=

（5）)1

21

121(211)12)(12()2(2+--+=+-=

n n n n n a n (6) ])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=

n n n n n n n a n

(7) n

n

n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1

1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++=-则

)()1(n f n f a n -+=

例7．求数列

???++???++,1

1,

,3

21,

2

11n n 的前n 项和.

例8．在数列{a n }中，1

1211++

???++++=

n n

n n a n ，又12+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 例8变式训练1：求数列的前n 项和：

1111,,,,,132435(2)

n n ???+L L ； 参考答案：

例2解：1x ≠时

132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①

设n

n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位）

①－②得 n

n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减）

n n n x n x

x x S x )12(1121)1(1

----?+=--

∴ 2

1)

1()

1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 1x =时 略

例3解：由题可知，{

n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积 设n n n

S 2226242232+???+++=…………………………………①

14322

226242221++???+++=n n n

S ………………………………② （设制错位） ①－②得14322

22222222222)211(+-+???++++=-n n n n

S （错位相减）

1122212+---=n n n

∴ 12

2

4-+-=n n n S

例4．解：设ο

ο

ο

ο

ο

89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2

2

2

2

2

++???+++=S …………. ①

将①式右边反序得

ο

οοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++???++=S …………..② （倒序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 2

2

=+-=x x x x ο

①+②得 （反序相加）

)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222οοοοοο++???++++=S ＝89

∴ S ＝44.5

例4变式训练1：解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°

∵ )180cos(cos ο

ο

ο

n n --= （找特殊性质项）

∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···

+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）

＝ 0

例4变式训练2：解：设S 2002＝2002321a a a a +???+++

由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得

,2,3,1654-=-=-=a a a

,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a

……

2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a

∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项） ∴ S 2002＝2002321a a a a +???+++ （合并求和） ＝)()()(66261612876321++++???+++???+???+++???+++k k k a a a a a a a a a a

2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++???+++???+

＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5

例4变式训练3：解：设1032313log log log a a a S n +???++=

由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =?+=+ （找特殊性质项） 和对数的运算性质 N M N M a a a ?=+log log log 得

)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++???++++= （合并求和）

＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ?+???+?+? ＝9log 9log 9log 333+???++

＝10

例5．略

例5变式训练1：解：由于)110(91

99999111111

1

-=????=

???k k k 43421321个个 （找通项及特征）

∴ 3

211

1111111111个n ???+???+++ ＝

)110(91

)110(91)110(91)110(91321-+???+-+-+-n （分组求和） ＝

)1111(91)10101010(911

3214434421个n n +???+++-+???+++ ＝9

110)110(1091n

n ---?

＝

)91010(81

1

1n n --+ 例5变式训练2：∵2(2)2n n n n +=+，

∴n S 222(123=+++ (2)

)2(123n ++?+++…)n +(1)(27)

6

n n n ++=

例6．解：设)231

()71()41(

)11(12-++???++++++=-n a

a a S n n 将其每一项拆开再重新组合得

)23741()1

111(12-+???+++++???+++

=-n a

a a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(n

n + （分组求和）

当1≠a 时，2)13(1111n n a

a S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n

-+---

例7．解：设n n n n a n -+=++=

111 （裂项） 则 1

13

212

11+++???+++

+=

n n S n （裂项求和）

＝)1()23()12(n n -++???+-+- ＝11-+n

例8．解： ∵ 2

11211n n n n n a n =++???++++=

∴ )11

1(82

122+-=+?=n n n n b n （裂项）

∴ 数列{b n }的前n 项和

)]1

11(

)41

31()3121()211[(8+-+???+-+-+-=n n S n （裂项求和） ＝)111(8+-n ＝

1

8+n n

例8变式训练1：∵

1111

()(2)22

n n n n =-++，

∴11111111[(1)()()()]2324352n S n n =-+-+-++-+L 1111(1)2212

n n =+--++．

数列求和练习

一、选择题

1 ．设

{}n a 是公差不为0的等差数列,12a =且136,,a a a 成等比数列,则{}n a 的前n 项和n S =

（ ）

A ．2744

n n

+ B ．2533

n n + C ．2324

n n

+ D ．2n n +

2 ．等比数列

{}n a 的前n 项和为n S ,且41a ,22a ,3a 成等差数列?若1a =1,则4S =

（ ）

A ．7

B ．8

C ．15

D ．16

3 ．数列1111

1,2,3,4

24816，……的前n 项和为

（ ）

A ．2122n n n ++

B ．2122n n n +-+

C ．21122n n n +-++

D ．21122

n n n ++-+

4 ．已知等差数列{}n a 中,10795=-+a a a ,记n n a a a S +++=Λ21,则13S 的值为

（ ）

A ．130

B ．260

C ．156

D ．168

5 ．等差数列

{}n a 的前n 项和为n S ,已知2

110m m m

a a a -++-=,2138m S -=,则m = （ ）

A ．38

B ．20

C ．10

D ．9

6 ．等差数列是5,Λ7

4

3,724

中,第n 项到n +6项的和为n T ,则当n T 最小时,n 的值为 （ ）

A ．6

B ．4

C ．5

D ．3

7 ．等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，12008a =，

20072005

220072005

S S -=，则2008S 的值为 ()2006A - ()2006B ()2008C - ()2008D

8 ．将二进制数()

16

11112

L 14243转换成十进制是

（ ）

A ．1722-

B ．1622-

C ．1621-

D ．1521-

9 ．设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,且0n S ≠*

()n N ∈, 则下列等式成立的是

（ ）

A ．23n n n S S S +=

B ．

223n n

n n

S S S S = C ．

223n n n n n n n S S S S S S S -=-- D ．2232n n n

n n n n

S S S S S S S -=--

10．已知二次函数1)12()1(2

++-+=x n x n n y ，当n 依次取10,,4,3,2,1???时，其图像在x 轴上所截得

的线段的长度的总和为 （ ）

A ．1

B ．

11

10

C ．

11

12 D ．

12

11 11．数列???+???+++???+++,2221,,221,21,12

2

n

的前n 项和=n S

（ ）

A ．n

2

B ．n n

-2

C ．n n -+1

2

D ．221

--+n n

12．等差数列｛a n ｝和｛b n ｝的前n 项和分别为S n 与Ｔn ，对一切自然数n ，都有

n n T S =132+n n

，则5

5b a 等于( )

A ．

3

2 B ．

14

9 C ．

31

20 D ．

17

11 13．数列{}n a 的通项公式是1

1++=

n n a n ，若前n 项的和为10，则项数n 为

（ ）

A ．11

B ．99

C ．120

D ．121 14．已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q ，则q 的取值范围是

（ ）

A ．)2

5

1,

0(+ B ．]1,2

1

5(

- C ．)2

5

1,

1[+ D ．)2

5

1,215(

+- 15．数列{

231

2

++n n }的前n 项和为 （ ）

A ．4212++n n

B ．2

212+-n n

C ．

4

2+n n

D ．

2

21

+-n n

二、填空题

16．等差数列{n a }前n 项和为n S ?已知1m a -+1m a +-2m

a

=0,21m S -=38,则m=_______

17．已知1)1 1(=，f ，且对任意正整数n m 、若k n m f =) (，，则1)1 (+=+k n m f ，，则

=)1000 1(，f _____________。

18．数列}{n a 中，100221)

1(12,1S ，a a a a n

n n 则且-+=-==+=__________.

19．列{a n }的通项公式是a n =1-2n ,其前n 项和为S n ,则数列{n

S n }的11项和为_____

20．数列{}n a 的前n 项和 242

+-=n n S n ，则

=+++1021a a a Λ ．

21．已知等差数列{}n a 的前n 次和为n s ，且2510,55S S ==，则过点),(n a n P 和),2(2++n a n Q （*

N n -∈）

的直线方向向量的坐标可以是_____________．

22．已知数列

{}n a 的前n 项和212n S n n =-，则数列{}n a 的前n 项和n T =

23．在数列,2

,11211,}{1

+=++++++=

n n n n n a a b n n n n a a 又中K 则数列{b n }的前n 项和为 ； 24．在等差数列

{}n a 中,n S 是其前n 项的和,且12a =,

20092007

220092007S S -=,则数列1n S ??????

的前n 项的和是__________?

25．在小时候，我们就用手指练习过数数. 一个小朋友按如图所示的规则

练习数数，数到2008时对应的指头是 。

(填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指).

三、解答题 26．设等差数列

{}n a 的前n 项和为n S

,若

15a =-,且它的前11项的平均值是5.

(1)求等差数列的公差d ;

(2)求使0n S >成立的最小正整数n .

27．已知数列{}n a 是等差数列，且355,9a a ==，n S 是数列{}n a 的前n 项和．

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ； (Ⅱ) 若数列{}n b

满足n b =

，且n T 是数列{}n b 的前n 项和，求n b 与n T ．

28．已知正项数列}{n a 中，前n 项和8

)2(2

+=n n a S 。

（1）求证：数列}{n a 是等差数列； （2）若302

1

-=

n n a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T 的最小值。 29．在等比数列{a n }中，)(0*

N n a n ∈>，公比)1,0(∈q ，且252825351=++a a a a a a ，a 3与a 5的等比中

项为2。

（1）求数列{a n }的通项公式；

（2）设n n a b 2log =，数列{b n }的前n 项和为S n ，当

n

S S S n +++Λ212

1最大时，求n 的值。 30．已知等差数列0,1}{1>=d a a n 公差的首项，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第

二项、第三项、第四项. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设,,),()

3(121*t b b b S N n a n b n n n n 是否存在最大的整数+++=∈+=

Λ使得对任意的

t t

S n n 求出若存在总成立均有,?36

>

；若不存在，请说明理由.

专题24 数列求和参考答案

一、选择题

1 ．A

2 ．C

3 ．C

4 ．A

5 ．C

6 ．C

7 ．C

8 ．C

9 ．D 10．B 11．D 12．B

13．C 14．D

15．C

二、填空题 16．10 17．1000 18．2600

19．-66 20．66 21．2

22．()

()

221216,12727,n n n n n N T n n n n N

+

+?-≤≤∈?

=?-+≥∈?? 23．18+n n 24．1n n + 25．食指

三、解答题

26．解:(1)6

121116115,

51111

a a a a a a +++=-===L Q 61

261

a a d -∴=

=- (2)∵()211602

n n n S na d n n -=+

=->

∴6n >且*n N ∈,∴使0n S >成立的最小正整数n 为7

27．解：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，由题意可知：31512549

a a d a a d =+=??

=+=?,解得:11,2a d == ∴1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=- 21()(121).22

n n a a n n n

S n ++-=

== (Ⅱ

)111

(1)1n b n n n n =

==-

++Q 123111111111()()()()1.122334111

n n

T b b b b n n n n n =+++???+=-+-+-+???+-=-=+++∴

28．解：（1）当2≥n 时，()()2

1218

28

2+-

+=

-=--n n n n n a a S S a ，

整理得：()()0411=--+--n n n n a a a a ，∵数列}{n a 是正项数列，∴01≠+-n n a a ， ∴041=---n n a a ， ∴41=--n n a a （2≥n ）， ∴数列}{n a 是等差数列。

（2）∵211==s a ，24,4-=∴=n a d n ，312-=∴n b n

()22515302

2

21+-=-=?+=

∴n n n n b b T n n ,∴当15=n 时，()225min =n T 。 29．解：（1）252,2522

5532

3825151=++∴=++a a a a a a a a a a Θ，

又5,053=+∴>a a a n ，

又53a a 与的等比中项为2，453=∴a a ， 而1,4,),1,0(5353==∴>∴∈a a a a q ，

n n n a a q --=?=∴==

∴5112)2

1

(16,16,21 ， （2）n a b n n -==5log 2， 11-=-∴+n n b b ，

4}{1=∴b b n 是以为首项，－1为公差的等差数列。

2

9,2)9(n

n S n n S n n -=∴-=

∴， 0,

8>≤∴n S n n 时当；当0,9==n S n n 时；当0,9<>n

S

n n 时， n

S S S S n n ++++=∴Λ321,

983

21时或当最大。 30．解：（I ）由题意得2

111)4()13)((d a d a d a +=++，

整理得.22

1d d a =.2),0(,11===d d a 舍解得Θ ).(12*

N ∈-=∴n n a n

（II ）),1

1

1(21)1(21)

3(1+-=+=

+=

n n n n a n b n n

)]1

1

1()3121()211[(2121+-++-+-=+++=∴n n b b b S n n ΛΛ

.)

1(2)111(21+=+-=

n n

n 假设存在整数36

t

S t n >满足总成立。 又0)

1)(2(21

)1(2)2(211>++=+-++=

-+n n n n n n S S n n ，

}{n S 数列∴是单调递增的。 .9,4

1

36,411<<=∴t t S S n 即故的最小值为

又,*

N ∈t Θt 适合条件的∴的最大值为8。