人教版八年级数学上乘法公式应用举例

乘法公式·要点全析
1．平方差公式（formula for the difference of squares ）
（1）表达式：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2．
（2）语言叙述：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
（3）注意事项：
①运用公式要抓住公式的结构特征，左边是两个数的和与这两个数的差相乘，右边正好是这两个数的平方差，对于形如两数和与这两数差相乘，就可运用上述公式计算．
②公式中的字母可表示具体的数，也可表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特征，就可运用该公式．
③在运用公式时，要求分清哪个数相当于公式中的a ，哪个数相当于公式中的b ，按公式的结构相乘．
例如：①（m ＋4）（m －4）＝
②（2a 2＋3b ）（2a 2－3b ）＝．
③（－43xy 3－32x 3）（43
xy 3－32x 3）
＝
2．完全平方公式（formula for the square of the sum ）
（1）字母表达式：
（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2，（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2．
可合写为（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2．
（2）语言叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．右面可说为：“首平方，尾平方，首尾之积的2倍加减在中央”．
（3）注意事项：
①对于形如两数和（或差）的平方运算，可运用完全平方公式计算．利用公式计算时，首先确定将哪个数或式看作a ，将哪个看作b ，再按公式结构展开． ②这两个公式，是据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的． ③公式中的a 、b 可表示具体的一个数或其他的一个代数式． ④可推广：如（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ．
（a ＋b ＋c ＋d ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋2ab ＋2ac ＋2ad ＋2bc ＋2bd ＋2cd ．……
3．平方差公式的灵活运用
有些式子在计算时，不能直接利用平方差公式，需要稍加变形或变式后，才能使用．常用的方法有如下几种：
（1）调换位置．
如：（1＋2a ）（－2a ＋1）＝（1＋2a ）（1－2a ）＝1－4a 2．
（2）提取－1或其他公因式．
如：（－a －b ）（a －b ）＝
又如：（6x ＋2y ）（3x －4y
）＝
（3）分组．
如：（a－b＋c－d）（a＋b－c－d）
＝
（4）运用积的乘方变形．
如：（a－b）2 （a＋b）2
＝
（5）将乘式同时乘以并且同时除以一个适当的因式．
如：（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）
＝
…
又如：（1－m）（1＋m2）（1＋m4）（m≠－1）
＝
（6）把一个因式适当变形．
如：3（22＋1）（24＋1）（28＋1）
＝
（7）将因式多项式拆项或添项．
如：（a－b）（a＋2b）
＝
4．完全平方公式的灵活运用
a2＋b2＝（a＋b）2－2ab，
a2＋b2＝（a－b）2＋2ab，
（a＋b）2＋（a－b）2＝2（a2＋b2），
（a＋b）2－（a－b）2＝4ab．
（1）恒等式a2＋b2＝（a＋b）2－2ab和a2＋b2＝（a－b）2＋2ab的应用．在此恒等式中，有三个量a2＋b2、（a＋b）2或（a－b）2、ab，若已知任意两个，则可求第三个，求得（a＋b）2或（a－b）2，也就求得a＋b或a－b．例如：①若a2＋b2＝3，ab＝1，可求（a＋b）2．
②若a－b＝3，ab＝4，则可求a2＋b2．
（2）恒等式（a＋b）2＋（a－b）2＝2（a2＋b2）的应用．
在恒等式（a＋b）2＋（a－b）2＝2（a2＋b2）中，有三个量a＋b、a－b、a2＋b2，若已知两个量，就可求第三个量．
例如：已知a－b＝－1，a2＋b2＝5．求a＋b．
解：
（3）恒等式（a＋b）2－（a－b）2＝4ab的应用．
在此等式中，有三个量a＋b，a－b，ab．若知任两个量，可求第三个量．例如：已知a－b＝1，ab＝2，求a＋b．
解：
（4）利用完全平方公式，求平方数．
如：152＝ 232＝
672＝．
79.22＝
（5）完全平方数是非负数．
任何一个完全平方数M都能化为n2的形式，即M＝n2，由偶次幂的性质得n2≥0．当n＝0时，n2的最小值是0，并且n2具有非负数的性质，即若n个非负数的和为0，则这几个非负数就同时为0．
因此，（a±b）2≥0．当a±b＝0时，（a±b）2的最小值为0．
例如：①已知（x＋y－1）2＋（x－2）2＝0，则x＝_______，y＝___________．解：
例如：②已知，a、b为自然数，且a＋b＝2，求ab的最大值及a、b的值．解：
5．完全平方公式的逆运用，即a2±2ab＋b2＝（a±b）2
把一个形如a2±2ab＋b2的二次三项式化为（a±b）2的形式，然后运用（a ±b）2的性质求解问题．
例如：已知x2＋4x＋y2－2y＋5＝0，求x、y的值．
解：
再如：已知a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，则a、b、c的关系为_______．
解：
也可以运用公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2把一类二次三项式直接化为（a±b）2的形式．如4x2－4xy＋y2＝（2x）2－2×2x×y＋y2＝（2x－y）2．
6．完全平方式
因为a2±2ab＋b2能化成（a±b）2的形式，所以，形如a2±2ab＋b2的式子叫做完全平方式，其中a、b表示代数式．
例如：①已知x2＋4x＋k是完全平方式，求常数k的值．
解：
②已知x 2＋2kx ＋4是完全平方式，求常数k 的值．
解：
思考题；已知x 2＋M ＋4是一个完全平方式，求代数式M （提示：①当M 为常数项时；②当M 为乘积项，即“一次项式”时；③当M 为“二次项式”时．并分析在三种情况下，M 的值有多少个．）
注意：完全平方数是完全平方式的特例．
总之，完全平方公式，应用广泛，灵活，具有丰富的方法和技巧．
7．平方差公式可变形后运用
（1）可变形为a 2＝（a ＋b ）（a －b ）＋b 2，可快速求两位数的平方． 如：352＝（35＋5）（35－5）＋52＝1 225．
972＝（97＋3）（97－3）＋32＝100×94＋9＝9 409．
（2）在（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2中，有三个多项式，若已知任意两个的值，即可求第三个的值．
如：已知a ＋b ＝3，a 2－b 2＝4，则a －b ＝--------
．
（3）对公式（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2的逆运用，即利用公式a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）求解问题．（其实（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2和a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）都是平方差公式）
如：①x 2－4＝
②1－4a 2b 2＝
③（a ＋b ）2－（a －b ）2＝
④（1－221）（1－231）（1－241）…（1－2101
）
＝。