质点系的牛顿运动定律
质点系的牛顿运动定律
n
n
i1 Fi m1a1 m2 a2 m a 质点系的牛i顿1运动定i 律i
质点系的牛顿第二定律
例1：如图，质量为M、倾角为α的 斜面静止在粗糙的水平面上，质量 为m的滑块沿M粗糙的斜面以加速度 a下滑，求： （1）物体M受到地面的摩擦力大小 和方向。 （2）物体M受到地面的支持力大小
质点系的牛顿运动定律
F
1 2
质点系的牛顿运动定律
Fi
质点系各质点受系统以外力 F1、F2、…Fi…
mi
F1i Fi1
m1
F1
F31
F13
质点1
F3
m3
F1 F21 F31 Fi1 m1a1
各质点
… F21
F12
m2
F2 F12 F32 Fi2 m2a2
F2
Fi F1i F2i Fni miai
作用在质点系中的合外力，等于质点系的总质量和质心加 速度的乘积。
推论：
（1）如果一个质点系的质心原来是不动的，那么在无外力作用下，
则它的质心始终不动。
（2）如果一个质点系的质心原来是运动的，那么在无外力作用下，
则它的质心将以原来的速度做匀速直线运动。
（3）如果一个质点系在恒定合外力作用下，且质心的初速度为零
y
y
y
A
A
A
y A
x B
O
y A
B
B
O
O
A
B
B
B
O
O
C
D
质点系的牛顿运动定律
质心的应用
例2：在光滑水平面上，直立一 长度为l的均质杆AB，在如图所 示的坐标系中，(2)求杆从竖直 位置开始无初速倒下到触地的 过程中，端点A的轨迹方程。
质点动力学——牛顿运动定律
4.质点动力学——牛顿运动定律目前为止我们已经根据物理运动学知识创建了一个最基本的物理引擎，只需设置质点的初位置、初速度和加速度，物理引擎就会计算出任意时刻质点的速度和位置，现在我们将要讨论物体的加速度是由什么决定的，这个规律就是大名鼎鼎的牛顿第二定律，这在物理上属于动力学。
物理知识牛顿第二定律的内容为：物体的加速度与所受合外力成正比，与物体的质量成反比，公式为：ΣF＝m a在二维平面上，此方程可以表示成：ΣF x＝ma xΣF y＝ma y其中ΣF x表示x方向上的合力，a x表示x方向上的加速度，其中ΣF y表示y方向上的合力，a y表示y方向上的加速度，这种处理方法在高中物理中叫做正交分解法，其本质就是将矢量运算分解成同方向上的标量运算。
高中物理的知识告诉我们：力学问题通常有两类，一是根据物体的运动情况求它的受力情况，二是根据物体的受力情况求它的运动情况，对于物理引擎来说，我们关注的就是第二种情况，你只需指定物体所受的力，我们就可以根据牛顿第二定律求出物体的加速度，再根据初始速度和初始位移，通过运动学方程就可以解出物体在任意时刻的速度和位置了。
重力若物理只受重力作用，因为重力G＝mg，根据牛二定律，a＝G/m＝g，式中的g称为重力加速度，在地球表面为9.8m/s2，在赤道上这个值要比两极小一些，通常取9.8就可以了，在高中物理计算中通常取10m/s2让计算更加简单。
上面的结论还揭示了一个更重要的事实：若物体只受重力，那么轻重物体下落的快慢是相同的，这一点在几百年前就由伽利略通过比萨斜塔上的实验证明了（虽然比萨斜塔实验的真实性令人怀疑，但伽利略作为物理学的开山鼻祖是无可辩驳的）。
若你想实现卫星的运动，重力加速度就不是一个常量，而是与地球球心的距离成反比。
例如，距地球表面高度正好为地球半径的高空的重力加速度只有地表的四分之一。
在Stun2DPhysics中的实现基于以上物理知识，我们要在引擎中添加新的代码。
大学物理——第2章-质点和质点系动力学
a1 = cot α 方 向: tanθ = ax g
由式④得:
ay
θ 为 a 与 x 正向夹角
FN = m(g + a1) cosα
10
例2-2 阿特伍德机 (1)如图所示滑轮和绳子的质量均不计,滑 轮与绳间的摩擦力以及滑轮与轴间的摩擦力 均不计.且 m > m2 . 求重物释放后,物体 1 的加速度和绳的张力. 解: 以地面为参考系 画受力图,选取坐标如图
ar
ar
m1 m2
a
m g FT = m a1 1 1 m2g + FT = m2a2
a1 = ar a
FT 0
a2 = ar + a
m1 m2 ar = m + m (g + a) 1 2 a1 FT = 2m1m2 (g + a) P 1 m1 + m2
a2
y FT
y
P0 2
12
8
桥梁是加速度 a
例2-1 升降机以加速度a1上升,其中光滑斜面上有一物体m沿 斜面下滑. 求:物体对地的加速度 a ? y 斜面所受正压力的大小? 解: 由于升降机对地有加速度,为一非惯性 系,故选地面为参考系,设坐标如图.
FN
a1
a2
a = a2 + a1
在 x , y 方向上有:
G
α
x
ax = a2 a1 sin α a = a cosα 1 y
m1 m2
FT 0
m g FT = m a 1 1 m2 g + FT = m2a
m1 m2 a= g m1 + m2
2m m2 1 FT = g m + m2 1
质点动力学的三个基本定律
质点动力学的三个基本定律
质点动力学的三个基本定律分别是：牛顿运动定律，动量定理和动量守恒定律，角动量定理和角动量守恒定律。
牛顿运动定律第一定律(惯性定律):任何质点如不受力的作用，则将保持原来静止或匀速直线运动状态。
第二定律:质点的质量与加速度的乘积等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
第三定律:对应每个作用力必有一个与其大小相等、方向相反且在同一直线上的反作用力。
物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量(用字母I表示)，即力与力作用时间的乘积，数学表达式为：
I=FΔt=Δp=mΔv=mv2-mv1
式中F指物体所受的合外力，mv1与mv2为发生Δt的初末态动量。
该式为矢量式，列式前一定要规定正方向！
动量守恒定律是现代物理学中三大基本守恒定律之一，若一个系统不受外力或所受合外力为零时，该系统的总动量保持不变。
角动量守恒定律是物理学的普遍定律之一，反映质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律；反映不受外力作用或所受诸外力对某定点（或定轴）的合力矩始终等于零的质
点和质点系围绕该点（或轴）运动的普遍规律。
角动量守恒定律是对于质点，角动量定理可表述为质点对固定点的角动量对时间的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。
大学物理第2章-质点动力学基本定律
势能的绝对值没有意义，只关心势能的相对值。 势能是属于具有保守力相互作用的系统 计算势能时必须规定零势能参考点。但是势能差是一定的，与零点的选择无关。 如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠，你就不会不关心它。 一块石头放在地面你对它并不关心。
重力势能：以地面为势能零点
01
万有引力势能：以无限远处为势能零点
m
o
θ
设：t 时刻质点的位矢
质点的动量
运动质点相对于参考原点O的角动量定义为：
大小：
方向：右手螺旋定则判定
若质点作圆周运动，则对圆心的角动量：
质点对轴的角动量:
质点系的角动量:
设各质点对O点的位矢分别为
动量分别为
二.角动量定理
对质点:
---外力对参考点O 的力矩
力矩的大小：
力矩的方向:由右手螺旋关系确定
为质点系的动能，
令
---质点系的动能定理
讨论
内力和为零,内力功的和是否为零？
不一定为零
A
B
A
B
S
L
例:炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转化为弹片的动能。
内力做功可以改变系统的总动能
例 用铁锤将一只铁钉击入木板内,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板之深度成正比,如果在击第一次时,能将钉击入木板内 1 cm, 再击第二次时（锤仍以第一次同样的速度击钉）,能击入多深？ 第一次的功 第二次的功 解：
（1）重力的功
重力做功仅取决于质点的始、末位置za和zb，与质点经过的具体路径无关。
（2） 万有引力的功
*
设质量M的质点固定，另一质量m的质点在M 的引力场中从a运动到b。
M
a
b
第二章 质点动力学
第二章 质点动力学质点动力学的任务研究物体之间的相互作用，以及由于这种相互作用所引起的物体运动状态变化的规律，它的研究对象是质点和可以当作质点对待的质点系。
牛顿在1687年发表著作《自然哲学的数学原理》，在伽利略、开普勒等人工作的基础上，建立了牛顿三定律和万有引力定律，从牛顿运动定律出发可以导出刚体、流体、弹性体等的运动规律，从而建立起整个经典力学的体系。
一、牛顿第一定律 (1) 定律表述任何物体若不受其他物体对它的作用（或所受合力为零）将继续保持其静止的或匀速直线运动的状态。
数学形式：0F =∑ 时，=恒矢量v 。
第一定律是大量观察与实验事实的抽象与概括，它给出了物体机械运动状态改变的原因，即物体受到力的作用（合外力不为零），物体的机械运动状态（瞬时速度矢量）发生改变。
(2) 惯性和力的概念惯性的概念：任何物体保持原有运动状态不变的能力，是物质运动不灭性的表现，物体的惯性大小与参考系有关，或者说与所处时空性质有关。
牛顿第一定律也称为惯性定律。
力的概念：物体间的相互作用，在力的作用下物体的运动状态——瞬时速度矢量v 会发生改变。
(3) 惯性参考系牛顿第一定律的意义在于它表明一定存在着这样一类的参考系，在该系中所有不受力的物体都保持自己的速度不变。
这类参考系，称为惯性参考系，或称惯性系，不能成立的参考系称为非惯性系。
牛顿第一定律可作为判断一个参考系是惯性系还是非惯性系的理论依据。
通过力学实验可以判定一个参考系中牛顿第一定律是否成立，是不是惯性系。
对一般力学现象来说，地面参考系是一个足够精确的惯性系，可以应用牛顿运动定律求解质点动力学问题。
对于大量天文现象，以太阳中心为坐标原点、以指向任一恒星的直线为坐标轴建立的坐标系中，太阳系是一个惯性系。
牛顿定律只有在惯性系中才成立。
二、牛顿第二定律 (1) 定律表述物体受到合外力作用时，它所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，并与物体的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同。
质点系的牛顿运动定律
质点系的牛顿运动定律 The manuscript was revised on the evening of 2021质点系的牛顿运动定律两个或两个以上相关联的质点组成物体系统，称为质点系．高中物理又常称之为连接体。
对于质点系，同样可以运用牛顿运动定律求解。
解答连接体问题的基本方法解答连接体问题的基本技巧和方法主要有整体法和隔离法。
一整体法:将相对位置不变的物体系作为一个整体来研究的方法. 二隔离法:将研究对象与周围物体分隔开来研究的方法.例1、用质量为m 、长度为L 的绳沿着光滑水平面拉动质量为M 的物体，在绳的一端所施加的水平拉力为F ， 如图1所示，求：(1)物体与绳的加速度； (2)绳中各处张力的大小(假定绳的质量分布均匀，下垂度可忽略不计。
)分析与解：(1)以物体和绳整体为研究对象，根据牛顿第二定律可得：F=（M+m ）a,解得a=F/(M+m).(2)以物体和靠近物体x 长的绳为研究对象，如图2所示。
根据牛顿第二定律可得：F x =(M+mx/L)a=(M+x L m )mM F+ .由此式可以看出：绳中各处张力的大小是不同的，当x=0时，绳施于物体M 的力的大小为F mM M+。
连接体问题的类型连接体问题的类型有两类： 一是连接体中各物体加速度相同； 二是连接体中各物体加速度不同。
如果连接体中各物体加速度相同，可以把系统中的物体看成一个整体，先用整体法求出连接体的共同加速度. 若加速度不同，一般采用隔离法. 如果要求连接体中各物体之间的相互作用力，则可采用整体法和隔离法联合使用.图1M 图2M例2.两重叠在一起的滑块，置于固定的、倾角为θ的斜面上，如图所示，滑块A、B质量分别为m1、m2，A与斜面间的动摩擦因数为μ1，B与A之间的动摩擦因数为μ2，已知两滑块都从静止开始以相同的加速度从斜面滑下，滑块B受到的摩擦力（）.A.等于零B.方向沿斜面向上C.大小等于μ1m2gcosθD.大于等于μ2m2gcosθ【解析】把A、B两滑块作为一个整体，设其下滑加速度为a，由牛顿第二定律（m1 +m2）gsinθ-μ1（m 1 +m 2）gcosθ=（m1 +m 2）a，得： a=g（sinθ-μ1 cosθ）.由于a<gsinθ，可见B随A一起下滑过程中，必须受到A 对它沿斜面向上的静摩擦力，设摩擦力为F B（如图所示）.由牛顿第二定律：m 2 gsinθ-F B =m 2 a，得：F B =m 2 gsinθ-m 2 a=m 2 gsinθ-m 2 g（sinθ-μ1 cosθ）=μ1 m2 gcosθ.【答案】 C例3．如图所示，质量为M 的木板放在倾角为θ的光滑斜面上，质量为m 的人在木板上跑，假如脚与板接触处不打滑。
第7章 质点运动定律
7.1.3 牛顿第三运动定律
• 力的本质是什么? • 牛顿在《自然哲学的数学原理》中又提出了牛顿第三定律 ： • “每个作用总有一个大小相等而方向相反的反作用，或者 说，两个物体的相互作用总是大小相等而方向相反。” • 这里的“作用”和“反作用”指的是两个物体间相互作用 的力，即一个物体对另一个物体施加作用力，受力物体也 必然对施力物体施加反作用力。 • 因此第三定律又称为作用力和反作用力定律。
7.2 质点和质点系的动量定理
• 7-2-1 质点的动量和动量定理 • 1 动量 • 2 动量定理 • 7-2-2 质点系的动量定理 • 1 质点系 • 2 内力和外力 • 3 质点系的动量定理
7.2.1
•
• •
质点的动量和动量定理
1、动量
定义：质点的质量和它的速度的乘积称为该质点的动量。 动量是矢量，它的方向与质点速度的方向相同。
• • • • • • 牛顿运动定律；质点和质点系的动量定理； 动量守恒定律；功、动能定理； 保守力与非保守力、势能； 功能原理、机械能守恒定律； 弹性碰撞与非弹性碰撞； 相对论动量和能量。
教学基本要求
• • • • • 教学重点：牛顿运动定律；动量守恒定律； 机械能守恒定律 教学难点：相对论动量和能量 教学目的： 1. 重点掌握牛顿运动定律、动量守恒定律和 机械能守恒定律； • 2. 掌握质点和质点系的动量定理、动能定理 、功能原理、势能和功的计算； • 3. 理解相对论动量和能量。
d (mv ) F k dt
国际单位制下，k=1 mv——动量
m——质量；单位：千克，符号：kg v——速度；单位：米/秒，符号：m/s
7.1.2 牛顿第二运动定律
• 如果物体的质量 m 不随时间改变，牛顿第二运动定律可 写作 a为物体的加速度， F ma • 单位：米/秒2 • 即物体的加速度与作用于该物体上的力成正比，与物体的 质量成反比，力与加速度的方向相同。 • 加速度概念是伽利略提出的。 • 伽利略把它同作用力联系起来，但是未能进一步弄清楚力 和加速度的关系。 • 牛顿继承和发展了伽利略的工作，定量地揭示了力是如何 克服物体的惯性的，如何改变物体的运动状态的，也揭示 了力的独立性和力的迭加原理。
质点运动基本定律
研究对象：质点、质点系研究内容：质点运动状态变化的原因及遵循规律研究基础：以牛顿三定律为基础的经典力学理论提出提出定义了dt公式是瞬时关系，公式中的运动量定义1式在相对论力学中仍然有效，定义2公式定义的质量F=12二力同时存在、同时消失、相互依存；分别作用在两个物体上，不是平衡力；作用力和反作用力具有相同性质。
=G这里定义的物体质量反映了引力性质，称为引力质量重力是地球对其表面物体的引力引起的，有弹性力、张力、压力、摩擦力等都是原子、分子之间电磁力的宏观表现。
（1）弹簧中的弹性力弹性力可由虎克定律（Hooke law）确定。
即=−F kx（2）正压力接触是产生正压力的前提，挤压发生形变是产生正压力的关键。
（3）绳中的张力一般说来绳中各处的张力不一定相同，与绳子各处的形变、绳子的质量分布及运动状态有关。
（4）摩擦力是一种接触力，当两相互接触的物体之间有相对运动（或运动趋势）时，在接触面处产生一种切向力，其方向总是与相对运动（或运动趋势）的方向相反。
万有引力和电磁力都是长程力（与距离平方成反比），在宏观现象中起着重要作用。
3.强力存在于基本粒子之间的一种相互作用，力程短，作用范围在10-15米至10-16米。
强度大。
4.弱力粒子之间的另一种作用力，力程更短、强度很弱。
电弱相互作用已经统一，正在努力建立4种二、牛顿定律的适用范围1.牛顿定律只适用于惯性系牛顿定律成立的参照系叫做惯性系。
牛顿定律不成立参照系叫做非惯性系。
2.牛顿定律只适用于低速宏观平动物体低速：物体速度远低于光速.宏观：物体尺寸远大于原子的尺度.三、利用牛顿定律解题步骤选惯性系，取隔离体。
受力分析，列矢量方程。
建立坐标，写投影方程。
求解分析。
ROt F f nF N分析受力，列出矢量方程：选地面参照系和隔离体：选择坐标求解分析：ROt F f nF N经典时空观综述：θiF mgTF引入平均冲力动量定理由牛顿第二定律导出，它适用于惯性在应用中一般采用分量形式：F 12F21m2F 1 F 2m10()0n n n t i i i i i t i 1i 1i 1F dt m m υυ====−∑∑∑∫∫−==tt 0P P dt F I或可写为2.动量守恒定律当满足:0F i=∑由动量定理得i i m υ=∑恒矢量对n 个质点构成系统有作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量。
质点运动的基本定律
r r r b r r F dr = ∫ ( F1 + F2 + L) dr
a
v v d A F d r v r (4)功率 (4)功率 P = = = Fυ dt dt
= ∑ Ai
21
r r [ e .g 2 4 ]已知: m = 2 kg , F = 12 t i , υ 0 = 0 已知: (1 内变力的功; 求: )前 2 s 内变力的功; (2)第1s末和第 2 s 末的功率. 末的功率. xb b r tb r A 解: = ∫ F dr = ∫ Fx dx = ∫ 12 t υ d t
2 0
2
2 0
= 140( N.S)
I = mυ mυ0
∴υ = 24(, F = t i ( sI ),当t = 0 时 已知: m r r 且通过坐标原点, υ0 = 2 j m / s,且通过坐标原点, r r υ 求: ( t ) = ? r ( t ) = ? r
υ
υ =
1+
υ0 υ0
R
6
t
第二节 力学相对性原理和非惯性系
一,伽利略相对性原理
结论1: 结论1:在相对于惯性系做匀速直线运动 1:在相对于惯性系做匀速直线运动 的参照系中所总结的力学规律与 惯性系中相同. 惯性系中相同. 结论2: 2:相对于惯性系作匀速直线运动的 结论2:相对于惯性系作匀速直线运动的 一切参照系都是惯性系. 一切参照系都是惯性系.
5
v m P22——[ P22——[例2-1] f R 已知: 已知:m ,R , ,υ 0 o N 求:υ(t),s(t) 2 υ 解: N = m R dυ fr = N = m dt t = 1 1 2 dυ υ R υ υ0 m = m
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得：F=cosθ.
解法二．设绳中张力为FT，A、B运动的加速度的大小为a，
对A在沿斜面方向由牛顿第二定律有：mAgsinθ-FT=mAa
对B在竖直方向由牛顿第二定律有：FT-mBg=mBa
联立上两式得：a=
对系统由牛顿第二定律：
水平方向：F=Ｍa1x+mAa2x+mBa3x=0+mAacos+0=cosθ
(2)以物体和靠近物体x长的绳为研究对象，如图2所示。根据牛顿第二定律可得：Fx=(M+mx/L)a=(M+ ) .
由此式可以看出：绳中各处张力的大小是不同的，当x=0时，绳施于物体M的力的大小为 。
连接体问题的类型
连接体问题的类型有两类：
一是连接体中各物体加速度相同；
二是连接体中各物体加速度不同。
如果连接体中各物体加速度相同，可以把系统中的物体看成一个整体，先用整体法求出连接体的共同加速度.若加速度不同，一般采用隔离法.如果要求连接体中各物体之间的相互作用力，则可采用整体法和隔离法联合使用.
例2.两重叠在一起的滑块，置于固定的、倾角为θ的斜面上，如图所示，滑块A、B质量分别为m1、m2，A与斜面间的动摩擦因数为μ1，B与A之间的动摩擦因数为μ2，已知两滑块都从静止开始以相同的加速度从斜面滑下，滑块B受到的摩擦力（）.
例6．如图所示，静止于粗糙的水平面上的斜劈Ｍ的斜面上，一物体ｍ沿斜面向上匀减速运动，那么，斜劈受到的水平面给的静摩擦力的方向怎样？
分析与解：把Ｍ和ｍ看作一个系统，这个系统在竖直方向受到向下的重力和竖直向上的支持力；在水平方向受到摩擦力ｆ的方向待定．
斜劈Ｍ的加速度ａ１＝０，物体ｍ的加速度ａ２沿斜面向下．将 分解成水平分量和竖直分量，对整体的水平方向运用牛顿第二定律：
【解】设开始时弹簧压缩量为x1，t=0.2s时弹簧的压缩量为x2，物体P的加速度为a，则有
kx1=（m1+m2）g.①
kx2-m2g=m2a.②
x1-x2= at2.③
由①式，
解②③式，a=6m/s2，则
系统的牛顿第二定律
内容：若系统内有几个物体，这几个物体的质量分别为m1、m2、m3…，加速度分别为a1、a2、a3…，这个系统受到的合外力为F合，则这个系统的牛顿第二定律的表达式为：
分析与解：当滑块具有向左的加速度a时，小球受重力mg、绳的拉力T和斜面的支持力N作用，如图所示。
在水平方向有：Tcos450-Ncos450=ma;
在竖直方向有：Tsin450-Nsin450-mg=0.
由上述两式可解出：
由此两式可看出，当加速度a增大时，球受支持力N减小，绳拉力T增加。当a=g时，N=0，此时小球虽与斜面有接触但无压力，处于临界状态。这时绳的拉力T=mg/cos450= .
由以上二方程联立求解得 ，方向沿斜面向下。
（2）对人，沿x轴方向受力和运动情况如图所示。视人为质点，根据牛顿第二定律得：mgsinθ-f2=0
对板，由牛顿第三定律知f2/和f2等值反向。所以板沿x正方向受Mgsinθ和f2/的作用。据牛顿第二定律得：f2+Mgsinθ=Ma
由上述二式解得 ，方向沿斜面向下。
质点系的牛顿运动定律
两个或两个以上相关联的质点组成物体系统，称为质点系．高中物理又常称之为连接体。对于质点系，同样可以运用牛顿运动定律求解。
解答连接体问题的基本方法
解答连接体问题的基本技巧和方法主要有整体法和隔离法。
一整体法:将相对位置不变的物体系作为一个整体来研究的方法.
二隔离法:将研究对象与周围物体分隔开来研究的方法.
（1）计算B在2.0s的加速度。
（2）求t=2.0s末A的速度大小。
（3）求t=2.0s内A在B上滑动的距离。
5．如图所示，质量M=8kg的小车放在水平光滑的平面上，在小车左端加一水平恒力F，F= 8N，当小车向右运动的速度达到1.5m/s时，在小车前端轻轻地放上一个大小不计，质量为m=2kg的小物块，物块与小车间的动摩擦因数μ= 0.2，小车足够长．求从小物块放上小车开始，经过t= 1.5s小物块通过的位移大小为多少？（取g=10m/s2）．
例1、用质量为m、长度为L的绳沿着光滑水平面拉动质量为M的物体，在绳的一端所施加的水平拉力为F，如图1所示，求：
(1)物体与绳的加速度；
(2)绳中各处张力的大小(假定绳的质量分布均匀，下垂度可忽略不计。)
分析与解：(1)以物体和绳整体为研究对象，根据牛顿第二定律可得牛顿第二定律：
m2gsinθ-FB=m2a，
得：FB=m2gsinθ-m2a
=m2gsinθ-m2g（sinθ-μ1cosθ）
=μ1m2gcosθ.
【答案】C
例3．如图所示，质量为M的木板放在倾角为θ的光滑斜面上，质量为m的人在木板上跑，假如脚与板接触处不打滑。
（1）要保持木板相对斜面静止，人应以多大的加速度朝什么方向跑动？
竖直方向：取向下为正方向，
所以：
练习
1．雨滴在下落过程中，由于水汽的凝聚，雨滴质量将逐渐增大，同时由于下落速度逐渐增大，所受阻力也将越来越大，最后雨滴将以某一速度匀速下降，在雨滴下降的过程中，下列说法中正确的是（C）
A．雨滴受到的重力逐渐增大，重力产生的加速度也逐渐增大
B．雨滴质量逐渐增大，重力产生的加速度逐渐减小
A.等于零
B.方向沿斜面向上
C.大小等于μ1m2gcosθ
D.大于等于μ2m2gcosθ
【解析】把A、B两滑块作为一个整体，设其下滑加速度为a，由牛顿第二定律
（m1+m2）gsinθ-μ1（m1+m2）gcosθ=（m1+m2）a，
得：a=g（sinθ-μ1cosθ）.
由于a<gsinθ，可见B随A一起下滑过程中，必须受到A对它沿斜面向上的静摩擦力，设摩擦力为FB（如图所示）.
Fx合=Ｍa1x+ma2x
得： ．
因为 与 同方向，所以Ｍ受到的摩擦力水平向左．
例7．如图所示，质量分别为mA、mB的两个物体A、B，用细绳相连跨过光滑的滑轮，将A置于倾角为θ的斜面上，B悬空．设A与斜面、斜面与水平地面间均是光滑的，A在斜面上沿斜面加速下滑，求斜面受到高出地面的竖直挡壁的水平方向作用力和地面对斜面体的支持力的大小．
【分析】（1）P做匀加速运动，它受到的合外力一定是恒力.P受到的外力共有3个:重力、向上的力F及Q对P的支持力N，其中重力m1g为恒力，N为变力，题目说0.2s以后F为恒力，说明t=0.2s的时刻，正是P与Q开始脱离接触的时刻，即临界点.
（2）t=0.2s的时刻，是Q对P的作用力N恰好减为零的时刻，此时刻P与Q具有相同的速度及加速度.因此，此时刻弹簧并未恢复原长，即不能认为此时刻弹簧的弹力为零.
连接体的临界问题
在应用牛顿定律解决动力学问题中，当物体运动的加速度不同时，物体有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语时，往往会有临界现象.此时要采用极限分析法，看物体在不同加速度时，会有哪些现象发生，尽快找出临界点，求出临界条件。
例4、如图所示，细线的一端固定于倾角为450的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球。当滑块至少以加速度a=向左运动时，小球对滑块的压力等于零；当滑块以a=2g的加速度向左运动时，线中拉力T=。
（2）要保持人相对于斜面的位置不变，人在原地跑而使木板以多大的加速度朝什么方向运动？
解：（1）对板，沿坐标x轴的受力和运动情况如图所示，视为质点，由牛顿第二定律可得：f1-Mgsinθ=0
对人，由牛顿第三定律知f1/与f1等大反向，所以沿x正方向受mgsinθ和f1/的作用。由牛顿第二定律可得：f1+mgsinθ=ma
（3）当t=0时刻，应是力F最小的时刻，此时刻F小=（m1+m2）a（a为它们的加速度）.
随后，由于弹簧弹力逐渐变小，而P与Q受到的合力保持不变，因此力F逐渐变大，至t=0.2s时刻，F增至最大，此时刻F大=m1（g+a）.
以上三点中第（2）点是解决此问题的关键所在，只有明确了P与Q脱离接触的瞬间情况，才能确定这0.2s时间内物体的位移，从而求出加速度a，其余问题也就迎刃而解了.
C．由于雨滴受空气阻力逐渐增大，雨滴下落的加速度将逐渐减小
D．雨滴所受重力逐渐增大，雨滴下落的加速度不变
2．如图所示，质量相同的木块A、B，用轻质弹簧连接处于静止状态，现用水平恒力推木块A，则弹簧在第一次压缩到最短的过程中（）
A．A、B速度相同时，加速度aA=aB
B．A、B速度相同时，加速度aA>aB
C．A、B加速度相同时，速度υA<υB
D．A、B加速度相同时，速度υA>υB
3、如图，在光滑水平面上放着紧靠在一起的ＡＢ两物体，Ｂ的质量是Ａ的2倍，Ｂ受到向右的恒力ＦB=2N，Ａ受到的水平力ＦA=(9-2t)N，(t的单位是s)。从t＝0开始计时，则：（）
A．Ａ物体在3s末时刻的加速度是初始时刻的5／11倍；
B．t＞４s后,Ｂ物体做匀加速直线运动；
C．t＝4.5s时,Ａ物体的速度为零；
D．t＞4.5s后,ＡＢ的加速度方向相反。
4．如图所示，在质量为mB=30kg的车厢B内紧靠右壁，放一质量mA=20kg的小物体A（可视为质点），对车厢B施加一水平向右的恒力F，且F=120N，使之从静止开始运动。测得车厢B在最初t=2.0s内移动s=5.0m,且这段时间内小物块未与车厢壁发生过碰撞。车厢与地面间的摩擦忽略不计。
6．如图所示，物体B放在物体A的水平表面上，已知A的质量为M，B的质量为m，物体B通过劲度系数为k的弹簧跟A的右侧相连当A在外力作用下以加速度a0向右做匀加速运动时，弹簧C恰能保持原长l0不变，增大加速度时，弹簧将出现形变．求：
（1）当A的加速度由a0增大到a时，物体B随A一起前进，此时弹簧的伸长量x多大?