八年级下册期中考试复习(最新含二次根式_勾股定理_四边形))

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2022-2023学年人教版八年级数学下册阶段性(二次根式+勾股定理)综合练习题(附答案)

2022-2023学年人教版八年级数学下册阶段性（二次根式+勾股定理）综合练习题（附答案）一、选择题（共36分）1．下列式子不是二次根式的是（）A．B．C．D．2．在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（）A．3，5，9B．4，6，8C．1，，2D．3．的化简结果为（）A．25B．5C．﹣5D．﹣254．下列根式中，不是最简二次根式的是（）A．B．C．D．5．下列运算正确的是（）A．B．C．D．6．下列二次根式中，与可以合并的是（）A．B．C．D．7．计算3﹣2的结果是（）A．B．2C．3D．68．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A．+1B．﹣+1C．D．﹣19．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8m，树的顶端离树根6m，则这棵树在折断之前的高度是（）A．18m B．10m C．14m D．24m10．把中根号外面的因式移到根号内的结果是（）A．B．C．D．11．如图，矩形ABCD的对角线AC＝10，边BC＝8，则图中五个小矩形的周长之和为（）A．14B．16C．20D．2812．已知，则的值为（）A．B．±2C．±D．二、填空题（共18分）。

13．使有意义的x的取值范围是．14．已知Rt△ABC两直角边长为5，12，则斜边长为．15．计算：5÷×所得的结果是．16．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为cm2．17．若y＝，则x+y＝．18．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4＝．三、解答题（共46分）19．计算：（1），（2）．20．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝12，BC＝10，DB＝6．（1）求CD的长．（2）求AB的长．21．在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？（假设绳子是直的，结果保留根号）22．如图，在△ABD中，∠A是直角，AB＝3，AD＝4，BC＝13，DC＝12，求四边形ABCD 的面积．23．已知a、b、c满足．（1）求a、b、c的值；（2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长，若不能，请说明理由．24．小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：∵a＝＝＝2﹣，∴a﹣2＝﹣，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1．∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若a＝，求4a2﹣8a﹣3的值．参考答案一、选择题（共36分）1．解：A、是二次根式，故本选项不符合题意；B、是二次根式，故本选项不符合题意；C、是二次根式，故本选项不符合题意；D、不是根式，故本选项符合题意．故选：D．2．解：A、∵3+5＝8＜9，∴不能组成三角形，故A不符合题意；B、∵42+62＝52，82＝64，∴42+62≠82，∴不能组成直角三角形，故B不符合题意；C、∵12+（）2＝4，22＝4，∴12+（）2＝22，∴能组成直角三角形，故C符合题意；D、∵（）2+（）2＝8，（）2＝6，∴（）2+（）2≠（）2，∴不能组成直角三角形，故D不符合题意；故选：C．3．解：＝5．故选：B．4．解：因为＝＝2，因此不是最简二次根式．故选：B．5．解：A、与不能合并，所以A选项错误；B、原式＝6×2＝12，所以B选项错误；C、原式＝＝2，所以C选项准确；D、原式＝2，所以D选项错误．故选：C．6．解：A、＝＝2，与不能合并，本选项不符合题意；B、＝，与可以合并，本选项符合题意；C、＝＝3，与不能合并，本选项不符合题意；D、＝＝，与不能合并，本选项不符合题意；故选：B．7．解：原式＝（3﹣2）＝．故选：A．8．解：图中直角三角形的两直角边为1，2，∴斜边长为＝，那么﹣1和A之间的距离为，那么a的值是：﹣1，故选：D．9．解：如图：∵BC＝8米，AC＝6米，∵∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，∴AB＝10米，∴这棵树在折断之前的高度是18米．故选：A．10．解：根据被开方数非负数得，﹣＞0，解得a＜0，﹣a＝＝．故选：A．11．解：∵矩形ABCD的对角线AC＝10，BC＝8，∴AB＝＝＝6，由平移的性质可知：五个小长方形的周长和＝2×（AB+BC）＝2×14＝28．故选：D．12．解：∵，∴（x+）2＝7∴x2+＝5（x﹣）2＝x2+﹣2＝5﹣2＝3，x﹣＝±．故选：C．二、填空题（共18分）。

山东省济宁市任城区济宁学院附属中学2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试题(解析版)

2023−2024学年第二学期期中考试初三数学试题一、选择题（每小题3分，共30分）1.是二次根式，则的值可以是（）A. B. C. 3 D. 【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的被开方数为非负数可得出答案．则a 的值不能是负数，故C 符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．2. 如图，在中，，D 为中点，若，则的长是（）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而可得答案．【详解】解：∵，D 为边的中点，∴，∵，∴，故选C ．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．a 1-6-7-ABC 90ABC ∠=︒AC 2BD =AC 2AC BD =90ABC ∠=︒AC 2AC BD =2BD =224AC =⨯=3. 下列式子中，属于最简二次根式的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，进行判断即可得．【详解】解：A不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意；B是最简二次根式，选项说法正确，符合题意；CD不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了最简二次根式．解题的关键是掌握最简二次根式必须满足两个条件．4. 如图，在菱形中，，，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，邻补角的性质，由菱形的性质得到，再根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质得到，即可求出，掌握菱形的性质是解题的关键．3==ABCD 80ABC ∠= BA BE =AED =∠95o105 100 1101402ABD ABC ∠=∠=︒70BEA BAE ∠=∠=︒AED ∠【详解】解：∵四边形是菱形，∴平分，∴，∵，∴，∴，故选：．5. 下列计算正确的是（）A.B. =﹣2C.=﹣3 D. 【答案】B【解析】【分析】根据算术平方根的定义可判断A、D 两项、根据立方根的定义可判断B 项、根据平方根的定义可判断D 项，进而可得答案．【详解】解：A，所以本选项计算错误，不符合题意；B﹣2，所以本选项计算正确，符合题意；C=3≠﹣3，所以本选项计算错误，不符合题意；D 、，所以本选项计算错误，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，属于基础知识题型，熟练掌握三者的概念是解题的关键．6.用配方法解方程时，配方后正确的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤进行求解即可．【详解】解：，ABCD BD ABC ∠11804022ABD ABC ∠=∠=⨯︒=︒BA BE =18040702BEA BAE ︒-︒∠=∠==︒18070110AED ∠=︒-︒=︒D 5==55=±≠2230x x --=()222x -=-()214x -=()212x -=-()224x +=2230x x --=∴，∴，∴；故选：B ．7. 已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（）A. B. C. 1 D. 【答案】D【解析】【分析】根据数轴上a 点的位置，判断出（a−1）和（a−2）的符号，再根据非负数的性质进行化简．【详解】解：由图知：1＜a ＜2，∴a−1＞0，a−2＜0，原式＝a−1-＝a−1＋（a−2）＝2a−3．故选D ．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a−1＞0，a−2＜0是解题关键．8. 若是方程的根，则的值为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查一元二次方程的解（使方程左右两边相等的未知数的值），根据题意可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可．掌握方程解的定义是解题的关键．也考查了求代数式的值．【详解】解：∵是方程的根，∴，∴，∴．故选：A ．223x x -=2214x x -+=()214x -=a |1|a -32a-1-23a -2a -x m =240x x +-=22024m m ++2028202620242020240m m +-=24m m +=x m =240x x +-=240m m +-=24m m +=22024420242028m m ++=+=9. 如图，在矩形中，对角线交于点O ，过点O 作交于点E ，交于点F ．已知，的面积为5，则的长为（）A. 2B. C. D. 3【答案】D【解析】【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．连接，由题意可得为对角线的垂直平分线，可得，，由三角形的面积则可求得的长，然后由勾股定理求得答案．【详解】解：连接，如图所示：由题意可得，为对角线的垂直平分线，，，．，，，，在中，由勾股定理得，故选：D ．10. 如图，在正方形ABCD 中，E 为对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥DE ，交BC 延长线于点F ，以DE ，EF 为邻边作矩形DEFG ，连接CG ．在下列结论中：①DE ＝EF ；②△DAE ≌△DCG ；③AC ⊥CG ；④CE ＝CF．其中正确的是（）ABCD AC BD ，EFAC ⊥AD BC 4AB =AOE △DECE OE AC AE CE =5AOE COE S S == AE CE OE AC AE CE ∴=5COE AOE S S == 210ACE AOE S S \== 1102AE CD \×=4AB CD == 5AE ∴=5CE ∴=Rt CDE△3DE ===A. ②③④B. ①②③C. ①②④D. ①③④【答案】B【解析】【分析】①过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：根据正方形的性质得到∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，推出四边形EMCN为正方形，由矩形的性质得到EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，根据全等三角形的性质得到ED＝EF，故①正确；②利用已知条件可以推出矩形DEFG为正方形；根据正方形的性质得到AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，推出△ADE≌△CDG（SAS），故②正确；③根据②的结论可得∠ACG＝90°，所以AC⊥CG，故③正确；④当DE⊥AC时，点C与点F重合，得到CE不一定等于CF，故④错误．【详解】解：①过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴NE＝NC，∵∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN ≌△FEM （ASA ），∴ED ＝EF ，故①正确；②∵矩形DEFG 为正方形；∴DE ＝DG ，∠EDC +∠CDG ＝90°，∵四边形ABCD 是正方形，∵AD ＝DC ，∠ADE +∠EDC ＝90°，∴∠ADE ＝∠CDG ，在△ADE 和△CDG 中，，∴△ADE ≌△CDG （SAS ），故②正确；③根据②得∠DAE ＝∠DCG ＝45°，∴∠ACG ＝90°，∴AC ⊥CG ，故③正确；④当DE ⊥AC 时，点C 与点F 重合，∴CE 不一定等于CF ，故④错误，综上所述：①②③正确．故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解（1）的关键．二、填空题（每小题3分，共15分）11.______．【答案】【解析】【分析】本题考查二次根式有意义的条件，注意被开方数大于等于0即可．,所以解得.DNE FME EN EMDEN FEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩AD CD ADE CDG DE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩3a ≥-30a +≥3a ≥-故答案为：．12. 如图，的对角线相交于点O ，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】依据矩形的判定定理进行判断即可．【详解】解：∵四边形为平行四边形，∴当时，四边形为矩形．故答案为(答案不唯一)．【点睛】本题主要考查矩形判定，熟悉掌握矩形判定条件是关键．13. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_______．【答案】且【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的性质计算，即可得到答案．【详解】关于的一元二次方程有实数根∴ ∴，即且．【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义和判别式的性质，从而完成求解．14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为2，，则点的坐标为______．的3a ≥-ABCD Y AC BD ，ABCD Y AC BD =ABCD AC BD =ABCD AC BD =x 2(2)210k x x --+=k 3k ≤2k ≠x 2(2)210k x x --+=()()2202420k k -≠⎧⎪⎨---≥⎪⎩23k k ≠⎧⎨≤⎩3k ≤2k ≠ABCD 60DAO ∠=︒C【答案】##【解析】【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、坐标与图形，勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，由题意可得，，作轴于，证明得到，，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活应用是解此题的关键．【详解】解：∵正方形的边长为2，，，∴，，，，如图，作轴于，则，四边形是正方形，∴，，，在和中，+)11OA=OB =CE y ⊥E ADO DCE≌CE DO ==1DE AO ==ABCD 60DAO ∠=︒90AOD ∠=︒30ADO ∠=︒2AD CD ==1OA ∴=OD ==CE y ⊥E 90CED AOD ∠=∠=︒ ABCD 90ADC ∠=︒90ADO CDE ADO DAO ∴∠+∠=︒=∠+∠CDE DAO ∴∠=∠ADO △DCE △，，，，，点在第一象限，，故答案为：．15. 如图，矩形中，，，点、分别是对角线和边上的动点，且，则的最小值是____________．【答案】【解析】【分析】过点作，使，过点作，交的延长线于点，连接、、，交于点，根据矩形的性质及勾股定理得，，继而得到是等边三角形，证明，得到，继而得到，当、、三点共线时，取“”号，此时有最小值，最小值是线段的长，然后在中，根据角的直角三角形的性质及勾股定理得到，，最后再根据勾股定理计算即可．【详解】解：过点作，使，过点作，交的延长线于点，连接、、，交于点，∴，∵矩形中，，，CDE DAO AOD DEC AD DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ADO DCE ∴≌CE DO ∴==1DE AO ==1OE OD DE ∴=+= C C ∴++ABCD 3AB =AD =E F AC CD AE CF =BE BF +A AG AC ⊥AG AD =G GM BA ⊥GM BA M EG BG BD BD AC O 6AC ==3BO AO AB ===ABO ()SAS AGE CBF ≌GE BF =BE BF BE GE BG +=+≥B E G =BE BF +BG Rt MAG △30︒12MG AG ==92AM ==BG =A AG AC ⊥AG AD =G GM BA ⊥GM BA M EG BG BD BD AC O 90GAE ∠=︒ABCD 3AB =AD =∴，，，∴，∴，∴等边三角形，∴，∴，在和中，∴，∴，∵点、分别是对角线和边上的动点，∴，当、、三点共线时，取“”号，此时有最小值，最小值是线段的长，在中，，，，∴，∴，∴，在中，，∴的最小值是，故答案为：是90ABC G B A F E C ∠=︒=∠∠=BC AD AG ===12BO AO AC ==6AC ===116322BO AO AC AB ===⨯==ABO 60BAO ∠=︒180180609030GAM BAO GAE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒AGE CBF V AG CBGAE BCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS AGE CBF ≌GE BF =E F AC CD BE BF BE GE BG +=+≥B E G =BE BF +BG Rt MAG △90GMA ∠=︒30GAM ∠=︒AG =12MG AG ==92AM ===915322BM BA AM =+=+=Rt MBG △BG ===BE BF +【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角的直角三角形，三角形三边关系，两点之间线段最短等知识点，通过作辅助线构造全等三角形的是解题的关键．三、解答题（共55分）16. 计算（1（2）【答案】（1）1 （2）【解析】【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，（1）根据二次根式乘除运算法则进行计算即可；（2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可．【小问1详解】；【小问2详解】解：30︒((2222+-86⨯÷==÷1=((2222+--((((2222⎡⎤⎡⎤=++-+--⎣⎦⎣⎦．17. 解方程：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）先移项，然后利用因式分解法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可．【小问1详解】解：∵，∴，∴，∴或，解得；【小问2详解】解：∵，∴，∴，∴，解得(2222=-+-+4=⨯=()()242++=+x x x 2310x x --=1223x x =-=-，12x x ==()()242x x x ++=+()()()2420x x x ++-+=()()2410x x ++-=20x +=410x +-=1223x x =-=-，2310x x --=131a b c ==-=-，，()()2Δ3411130=--⨯⨯-=>x ==12x x ==18. 如图，在中，D 是的中点，E 是的中点，过点A 作交的延长线于点F ．（1）求证：；（2）连接，若，求证：四边形矩形．【答案】（1）见解析；（2）见解析；【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出，然后利用“角角边”证明三角形全等，再由全等三角形的性质容易得出结论；（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可．【小问1详解】证明：∵，∴，∵点E 为的中点，∴，在和中，，∴；∴，∵，∴；【小问2详解】是ABC BC AD AF BC ∥CE AF BD =BF AB AC =ADBF AFE DCE ∠=∠AFBD AF BC ∥AFE DCE ∠=∠AD AE DE =AEF △EDC △AFE DCE AEF DEC AE DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝AAS EAF EDC ≌（）AF CD =CD BD =AF BD =证明：，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴平行四边形是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．19. 阅读下面的材料一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在他的代表作《代数学》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法，我国三国时期的数学家赵爽在其所著《勾股圆方图注》中也给出了类似的解法．以为例，花拉子米的几何解法步骤如下：① 如图1，在边长为x 的正方形的两个相邻边上作边长分别为和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形；② 一方面大正方形的面积为(x +)2，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为，可得方程，则方程的正数解是．根据上述材料，解答下列问题．（1）补全花拉子米的解法步骤②；（2）根据花拉子米的解法，在图2的两个构图①②中，能够得到方程的正数解的正确构图是 (填序号)．【答案】（1）5，5，25，3 （2）①【解析】【分析】本题主要考查解一元二次方程−配方法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）根据已知算式和图形可得答案．的AF BD AF BD = ∥，AFBD AB AC BD CD ==，90ADB ∠=︒AFBD 21039x x +=x 21039x x +=()239x +=+x =267x x -=（2）根据“在边长为x 的正方形的两个相邻边上作边长分别为和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形”，可得答案．【小问1详解】解：一方面大正方形的面积为，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为，可得方程，则方程的正数解是．故答案为：5；5；25；3．【小问2详解】解：由题意可得，能够得到方程的正数解的正确构图：在边长为x 的正方形的两个相邻边上作边长分别为和3的矩形，再补上一个边长为3的小正方形，最终把图形补成一个大正方形∴①符合．故答案为：①．20. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠DAC 是△ABC 的一个外角．实践与操作：根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．（1）作∠DAC 的平分线AM ；（2）作线段AC 的垂直平分线，与AM 交于点F ，与BC 边交于点E ，连接AE 、CF ．猜想并证明：判断四边形AECF 的形状并加以证明．【答案】（1）作图见解析；（2）菱形，证明见解析【解析】【详解】解：（1）如图所示，（2）四边形AECF 的形状为菱形．理由如下：∵AB=AC ， ∴∠ABC=∠ACB，x ()25x +21039x x +=()253925x +=+3x =267x x -=x∵AM 平分∠DAC ，∴∠DAM=∠CAM ，而∠DAC=∠ABC+∠ACB ，∴∠CAM=∠ACB ，∴EF 垂直平分AC ，∴OA=OC ，∠AOF=∠COE ，在△AOF 和△COE 中，，∴△AOF ≌△COE ，∴OF=OE ，即AC 和EF 互相垂直平分，∴四边形AECF 的形状为菱形．【点睛】本题考查①作图—复杂作图；②角平分线的性质；③线段垂直平分线的性质．21.的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化；．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化；．FAO ECOOA OC AOF COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩======+=======根据上述知识，请你解答下列问题：（1；（2的大小，并说明理由．【答案】（1）2 （2，理由见解析【解析】【分析】本题考查的是分母有理化：（1）根据分母有理化是要求把分子分母同时乘以，再计算即可得到答案；（2）根据分子有理化的要求把原式变形为同分子的分数，再比较大小即可．【小问1详解】；【小问2详解】，22. 在菱形中，，点E ，F 分别是边，上的点．【尝试初探】<)2+=2=+2=====<<ABCD 60A ∠=︒AB BC（1）如图1，若，求证：；【深入探究】（2）如图2，点G ，H 分别是边，上的点，连接与相交于点O 且，求证：【拓展延伸】（3）如图3，若点E 为的中点，，，．①设，，请用关于x 的代数式表示y ；②若，求的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①；②．【解析】【分析】（1）连接，证明和都等边三角形，可得，证明，即可得出结论；（2）连接，过点D 作交于点P ，交于点Q ，可证，四边形和四边形都是平行四边形，得出，，由（1）可知，即可得证；（3）①过点B 作交于点M ，过点D 作交于点P ，交于点Q ，则四边形和四边形、四边形都是平行四边形，得出，，，，，由（1）可知，则，即可求解；②过点B 作于点N ，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，根据可求，然后在中利用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）如图1，连接，∵菱形、，是60EDF ∠=︒DE DF =CD AD EG FH 60EOF ∠=︒EG FH =AB 6AB =1BF =60EOF ∠=︒DH x =CG y =6CG DH +=EG 4y x =+BD ABD △BCD △ADE BDF ∠=∠ADE BDF ≌V V BD DP EG ∥AB DQ FH ∥BC 60PDQ EOF ∠=∠=︒DPEG DHFQ DP EG =DQ FH =DP DQ =BM EG ∥CD DP EG ∥AB DQ FH ∥BC BPDM BEGM DHFQ DM BP =GM BE =EG BM =HD FQ x ==1BQ x =+ADP BDQ ≌△△1CM AP BQ x ===+BN CD ⊥30︒132CN BC ==BN =6CG DH +=1MN =Rt BMN △BD ABCD 60A ∠=︒，，，，和都是等边三角形，，，，，，；（2）如图2，连接，过点D 作交于点P ，交于点Q则，四边形和四边形都是平行四边形，，，由（1）可知，（3）①如图3，过点B 作交于点M ，过点D 作交于点P ，交于点Q ，则四边形和四边形、四边形都是平行四边形，，，，，∵点E 为的中点，，，，，，AB AD CB CD ∴===60C ∠=︒AD BC ∥AB CD ∥∴ABD △BCD △AD BD ∴=60ADB ∠=︒60DBF ∠=︒60EDF ∠=︒ ADE BDF ∴∠=∠ADE BDF ∴ ≌DE DF ∴=BD DP EG ∥AB DQ FH ∥BC 60PDQ EOF ∠=∠=︒DPEG DHFQ DP EG ∴=DQ FH =DP DQ =EG FH∴=BM EG ∥CD DP EG ∥AB DQ FH ∥BC BPDM BEGM DHFQ DM BP ∴=GM BE =EG BM =HD FQ =AB 6AB =3BE ∴=3GM ∴=1BF = DH x =，，由（1）可知，，，，，，②过点B 作于点N ，，，，，，即，，，，，．【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的化简等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．FQ x ∴=1BQ x =+ADP BDQ ≌△△1AP BQ x ∴==+DM BP = AB CD =1CM AP x ∴==+4y CG CM GM x ∴==+=+BN CD ⊥60C ∠=︒ 30NBC ∴∠=︒132CN BC ∴==BN =6CG DH += 6y x +=46x x ∴++=1x ∴=12CM x =+=∴1MN ∴=EG BM ∴===。

八年级下册数学期中复习资料

八年级下册期中复习资料第一章二次根式知识回顾：1、二次根式的定义：一般地，把形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

（一个正数有两个平方根；在实数范围内，负数没有平方根。

） 2、二次根式的性质：（a ）2=a （a ≥0），==a a 23、因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面4、二次根式的乘法法则：a ×b =ab （a ≥0,b ≥0）二次根式的乘法法则逆用：ab =a ×b （a ≥0,b ≥0） 5、二次根式的除法法则：ba =ba（a ≥0,b ＞0）二次根式的除法法规逆用：b a =ba（a ≥0,b ＞0） 6、最简二次根式：必须同时满足下列条件： ①被开方数不含分母；a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； ③分母中不含根式。

7、二次根式加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

8、同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

9、有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．第二章勾股定理1、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边在⊿ABC 中，∠C=90 º，则c=22b a ，a=22b -c ，b=22a -c（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2、勾股定理的逆定理 (直角三角形的判定)如果三角形的三边长a 、b 、c ，满足a 2+b 2=c 2那么这个三角形是直角三角形要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若a2+b2=c2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2> a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2﹤a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。

人教版八年级数学下册期中复习知识点

二次根式知识点复习【知识点1】二次根式的概念：一般地，我们把形如a0(a0)的式子叫做二次根式。

二次根式的实质是一个非负数数a的算数平方根。

【注】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。

【知识点2】二次根式的性质：（1）二次根式的非负性，a0(a0)的最小值是0；也就是说a（）是一个非负数，即a0(a0)。

注：因为二次根式a0(a0)表示a的算术平方根，这个性质在解答题目时应用较多，如若a b0，则a=0,b=0；若a b0，则a=0,b=0；若20a b，则a=0,b=0。

（2）2(a)a（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式2(a)a（）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若，则2a ( a)，如： 2 ( 2)2专题二二次根式的乘除【知识点1】二次根式的乘法法则： a b ab (a 0,b 0)。

将上面的公式逆向运用可得：ab a ? b(a 0,b 0) 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

【知识点2】二次根式的除法：（1）一般地，对于二次根式的除法规定ab ab(a0, b 0).【注】分母有理化二次根式的除法运算，通常是采用化去分母中的根号的方法来进行的。

分母有理化：（1）定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

（2）关键：把分子、分母都乘以一个适当的式子，化去分母中的根号。

【知识点3】最简二次根式：（1）被开放数不含分母；（2）被开放数中不含开得尽方的因数或因式。

专题三二次根式的加减【知识点1】同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式。

.【知识点2】二次根式的加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简的二次根式，A aD b aa bcc再将被开放数相同的根式进b行合并。

2023-2024学年安徽省芜湖市八年级(下)期中数学试卷+答案解析

2023-2024学年安徽省芜湖市八年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列各式中，计算正确的是()A.B.C.D.2.下列各式中属于最简二次根式的是()A. B. C.D.3.估计的值应在()A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间4.如图，一架靠墙摆放的梯子长5米，底端离墙脚的距离为3米，则梯子顶端离地面的距离为米.A.5B.4C.3D.25.勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，人们对这个定理的证明找到了很多方法.我国数学家刘徽利用“出入相补”原理一个平面图形从一处移到另一处，面积不变；又若图形分成若干块，则各部分的面积和等于原来图形的面积也证明了勾股定理，如图所示，这种证法体现的数学思想是()A.数形结合思想B.分类思想C.函数思想D.归纳思想6.在一个三角形地块中分出一块阴影部分种植花草，尺寸如图，则PQ 的长度是()A.1mB.2mC.3mD.4m7.如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，下列条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是()A.，B.，C.，D.，8.如图，在“V”字形图形中，，，，，，若要求出这个图形的周长，则需添加的一个条件是()A.BE的长B.DE的长C.AB的长D.AB与BE的和9.如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边AB翻折，使得点B恰好落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为()A.2cmB.C.D.5cm10.如图，在中，，，，D为AB边上一动点不与点A重合，为等边三角形，过点D作DE的垂线，F为垂线上任意一点，连接EF，G为EF的中点，连接BG、CG，则的最小值是()A.B.C.D.10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

11.请写出一组勾股数______三个数都要大于12.如果，，那么的值是______.13.我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”三斜求积术：若一个三角形的三边长分别为a，b，c，则这个三角形的面积若一个三角形的三边长a，b，c分别为，，，则这个三角形的面积为______.14.如图，C为平行四边形ABDG外一点，连接BC，DC，分别交边AG于点F，E，使，，，若，，则的长为______；的长为______.三、解答题：本题共9小题，共90分。

2022-2023学年福建省福州市晋安区八年级(下)期中数学试卷+答案解析(附后)

2022-2023学年福建省福州市晋安区八年级（下）期中数学试卷1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )A. B. C. D.2. 下列运算正确的是( )A. B.C. D.3. 在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是( )A. ：：：4：5B.C.a：b：：4：5 D.4. 如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，，，则菱形的面积为( )A. B. C. D.5. 在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是( )A. B. C. D.6. 下列逆命题成立的是( )A. 两条直线平行，内错角相等B. 全等三角形的对应角相等C. 如果，那么D. 如果，那么7. 如图，在中，点E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF，如果，那么EF的长是( )A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm8. 如图，菱形ABCD的顶点C在直线MN上，若，，则的度数为( )A. B. C. D.9. 一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为( )A. B. C. D.10. 在平行四边形ABCD中，O为AC的中点，点E，M为平行四边形ABCD同一边上任意两个不重合的动点不与端点重合，EO，MO的延长线分别与平行四边形ABCD的另一边交于点F，下面四个判断：①四边形ABFM是平行四边形；②四边形ENFM是平行四边形；③若平行四边形ABCD是矩形正方形除外，则至少存在一个四边形ENFM是正方形；④对于任意的平行四边形ABCD，存在无数个四边形ENFM是矩形.其中，正确的个数有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是__________.12. 在中，，，，D为AB的中点，则______.13.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边，则______14. 如图，在矩形ABCD中，的平分线交AD于点E，连接若，，则______.15. 如图，已知菱形ABCD的边长为4，，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则的最小值为______ .16. 如图，在四边形ABCD中，，，且，以AB，BC，DC为边向外作正方形，其面积分别为，，，若，，则的值为______ .17. 计算：；18. 先化简，再求值：，其中19. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，求证：四边形BEDF是平行四边形.20. 如图，在中，，，，AM为的高，求AM的长.21. 证明四个角相等的四边形是矩形．22. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形.尺规作图：按下列要求完成作图；保留作图痕迹，请标注字母①连接BD；②作BD的垂直平分线EF交AB，CD于E，F；③连接DE，BF；判断四边形DEBF的形状，并说明理由.23. 在一个数学活动中，若身旁没有量角器或者三角尺，又需要作，，的角，可以采用如下的方法：【操作感知】：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开.第二步；再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段如图【猜想论证】：写出图1中一个的角：______ .若延长MN交BC于点P，如图2所示，试判断的形状，并证明.【迁移探究】：小华将矩形纸片换正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照“操作感知”的方式操作，并延长MN交CD于点Q，连接当点N在EF上时，，求正方形的边长.24. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值，他是这样解答的：，，，，请你根据小明的解题过程，解决如下问题：______ ；化简：；若，求的值.25. 已知：菱形ABCD的边长为6，把一个含的三角尺与这个菱形叠合，如果使三角形的顶点与点A重合，三角尺的两边与菱形的两边BC，CD分别相交于点E，点E，F不与端点重合如图1，求证：；如图2，连接EF，求面积的最大值；如图3，连接BD，与AE，AF相交于点M，若以线段BM，MN，ND为边组成的三角形是直角三角形，求BM的值.答案和解析1.【答案】A【解析】解：，故B不是最简二次根式；C.，故C不是最简二次根式；D.，故D不是最简二次根式；故选：根据最简二次根式的定义即可判断．本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．2.【答案】D【解析】解：，故该选项不正确，不符合题意；B. ，故该选项不正确，不符合题意；C. ，故该选项不正确，不符合题意；D. ，故该选项正确，符合题意；故选：根据二次根式的性质进行化简即可求解．本题考查了二次根式的性质进行化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：A、：：：4：5，，故不是直角三角形；B 、，且，，故为直角三角形；C、：b：：4：5，，故为直角三角形；D、，故为直角三角形．故选：根据三角形内角和定理可得A、B是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出C、D是否是直角三角形．本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．【解析】解：四边形ABCD是菱形，对角线，，则菱形的面积为，故选：由菱形面积公式即可得出答案．本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：A、▱ABCD中，，不能判定▱ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、▱ABCD中，，▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；C、▱ABCD中，，▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意；D、▱ABCD中，，▱ABCD是矩形，故选项D符合题意；故选：由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：A、两条直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，成立；B、全等三角形的对应角相等的逆命题是：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等，不成立；C、如果，那么逆命题是如果，那么；也可能是，不成立；D、如果，那么的逆命题是如果，那么也可能是，不成立；故选：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．本题考查命题与定理，平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，实数的性质，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．【解析】解：点E，F分别是AB，BC边上的中点，，，故选：根据三角形中位线定理即可求解．本题考查了三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：，，，四边形ABCD为菱形，，，故选：先求出，根据菱形性质得出，即得到，可得的度数．本题考查了菱形的性质求角度，熟知菱形的性质是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：如图可知第四个顶点为：即：故选：本题可在画出图后，根据矩形的性质，得知第四个顶点的横坐标应为3，纵坐标应为本题考查学生的动手能力，画出图后可很快得到答案．10.【答案】B【解析】解：设点E，M为AD边上任意两个不重合的动点，如图，连接BD，四边形ABCD是平行四边形，O为AC的中点，也经过点O，，，在和中，，≌，，同理可得，四边形EMFN是平行四边形，与BF不一定相等，故①错误，②正确；若四边形ABCD是矩形，当、时，则、，又四边形ENFM是平行四边形，四边形ENFM是正方形，故③正确，当时，则，又四边形ENFM是平行四边形，四边形ENFM是矩形，故④正确，正确的为：②③④．故选：由ASA可证≌，可得，可证四边形EMFN是平行四边形，可得AM与BF不一定相等，故①错误，②正确，由正方形的判定和性质和矩形的判定可判断③正确，④正确，即可求解．本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明四边形ENFM是平行四边形是解题的关键．11.【答案】【解析】解：由题意得：，解得：，故答案为：根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．此题主要考查了二次根式的意义．关键是二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．12.【答案】5【解析】解：如图，在中，，，，，又为AB的中点，故答案是：先运用勾股定理求出斜边AB的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CD的长．本题考查了勾股定理及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，比较简单．13.【答案】45【解析】解：四边形ABCD为正方形，为等边三角形，，，，，又，，，故答案为：由四边形ABCD为正方形，三角形ADE为等边三角形，可得出正方形的四条边相等，三角形的三边相等，进而得到，且得到为直角，为，由求出的度数，进而利用等腰三角形的性质可求出的度数．此题考查了正方形的性质以及等边三角形的性质，熟练掌握正方形以及等边三角形的性质是解本题的关键．等边三角形的三个内角都相等，且都等于14.【答案】5【解析】解：四边形ABCD是矩形，，，，，，，，在中，故答案为5首先证明，在中，根据计算即可．本题考查矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15.【答案】【解析】解：如图，连接CP，AC，CE，交BD于，四边形ABCD是菱形，，，，≌，，，，，是等边三角形，又是AB的中点，菱形ABCD的边长为4，，，，中，，当点E，P，C在同一直线上时，即点P在点处时，的最小值为CE的长，的最小值为，故答案为：连接CP，AC，CE，交BD于，依据≌，可得，依据是等边三角形，即可得到，当点E，P，C在同一直线上时，即点P在点处时，的最小值为CE的长，的最小值为本题考查轴对称-最短问题、菱形的性质，等边三角形的判定与性质、勾股定理，轴对称求线段和的最值问题，解题的关键是学会添加常用辅助线．16.【答案】48【解析】解：，，，，过A作交BC于E，则，，四边形AECD是平行四边形，，，，，，，，，，，故答案是：根据已知条件得到，，过A作交BC于E，则，根据平行四边形的性质得到，，由已知条件得到，根据勾股定理得到，于是得到结论．本题考查了勾股定理，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．17.【答案】解：；【解析】二次根式化简、合并，然后由二次根式的除法运算即可完成计算；利用平方差公式和完全平方差公式，进行二次根式的加减法运算即可．本题考查了二次根式混合运算，涉及二次根式的化简，平方差公式与完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．18.【答案】解：，当时，原式【解析】先算括号内的减法，再算括号外的除法即可化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则．19.【答案】证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：四边形ABCD是平行四边形，，，又，，即，四边形BEDF是平行四边形．【解析】连接BD，交AC于点O，根据四边形ABCD是平行四边形可得，，再由，可得，即可得出结论．此题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．20.【答案】解：在中，，，，，，，是直角三角形，且，为的高，，【解析】根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后根据等面积法即可求解．本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的高的定义，证明是直角三角形是解题的关键．21.【答案】已知：四边形ABCD，，求证：四边形ABCD是矩形．证明：，，，四边形ABCD是平行四边形，，，，平行四边形ABCD是矩形．【解析】本题考查了四边形内角和定理，平行四边形的判定，矩形的判定的应用，注意：有一个角是直角的平行四边形是矩形．先画出图形，写出已知、求证，先求出四边形是平行四边形，再求出，根据矩形的判定推出即可．22.【答案】解：如图，EF、DE、BF为所作；四边形DEBF为菱形．理由如下：如图，垂直平分BD，，，，四边形ABCD为平行四边形，，，在和中，，≌，，，四边形DEBF为菱形．【解析】根据题意连接BD，作BD的垂直平分线EF，连接DE，BF；先根据线段垂直平分线的性质得到，，，再证明≌得到，所以，于是可判断四边形DEBF为菱形．本题考查了作垂直平分线，菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，段垂直平分线的性质，掌握尺规作图的方法，作图中的条件就是第二问中的已知条件，正确进行尺规作图是解题的关键．23.【答案】【解析】解：设BM交EF与点H，连接AH，由折叠可知，，，，，，，，，，又，，，，，，故答案为：是等边三角形，证明：如图所示，由可知，，，是等边三角形，解：由可得，在中，，，，，是由翻折得到，，，在和中，，，，，，设BM交EF与点H，连接AH，由折叠可知，，，，，证明，得出，则；由可知，根据平行线的性质得出，则，即可证明是等边三角形；由可得，则在中，，，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，，证明，得出，进而根据，可得，即可求解．本题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．24.【答案】【解析】解：；故答案为：；原式；，，，即根据所给的解答方式进行求解即可；把各式的分母进行有理化，即可求解；先进行分母有理化的运算，再代入相应的式子运算即可．本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．25.【答案】证明：菱形ABCD的边长为6，，，，和为等边三角形，，，，又，且，，，在和中，，≌，；≌，，，又等边的边长为6，且，，，又，，为等边三角形，三角尺运动过程中，当时，最小，最大，当时，，此时；将绕点A逆时针旋转得到，其中，，，≌，，，又，，，，，，，，，≌，，在中，，，即为以MN，BM，ND为边的三角形，，所以为直角三角形的情况分为两种：①，如图4所示，在中，，，，，即，，②，如图5所示，在中，，，，，，即，，综上所述，或【解析】①，利用ASA证明≌，利用全等三角形的对应边相等即可得证；由三角形ABE与三角形ACF全等，得到两三角形面积相等，，根据等边三角形ABC 的边长为6，求出四边形AECF的面积，即为三角形ABC的面积，表示出三角形ECF的面积，当AE垂直于BC时，三角形AEF面积最小时，三角形ECF面积最大，求出此时AE的长，确定此三角形AEF的面积，即可求出三角形ECF面积的最大值；将绕点A逆时针旋转得到，其中，，，由三角形ADP全等于三角形ABM，得到对应角，再由，，利用等式的性质得到一对角相等，利用SAS得到三角形ADP与三角形ABM全等，利用全等三角形的对应边相等得到，又在中，，，故即为以MN，BM，ND为边的三角形，则，所以为直角三角形的情况分为两种：①，如图4所示，求出此时BM的长；②，如图5所示，求出此时BM的长即可．本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，分类讨论是解题的关键．。

广东省珠海市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(解析版)

2023-2024学年广东省珠海市八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题10小题，每题3分，共30分）1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，进行判断即可得．【详解】解：A不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意；B是最简二次根式，选项说法正确，符合题意；CD不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了最简二次根式．解题的关键是掌握最简二次根式必须满足两个条件．2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A. 4，5，6B. 1，1C. 6，8，11D. 5，12，23【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理逆定理：，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．【详解】解：A 、∵，∴不能构成直角三角形，故A 错误；B 、∵B 正确；C 、∵，∴不能构成直角三角形，故C 错误；D 、∵，∴不能构成直角三角形，故D 错误．3==222+=a b c 222456+≠2211+=2226811+≠22251223+≠故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．3. 下列计算正确的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的加减乘除计算法则分别计算并判断．【详解】解：A，故原计算错误；BCD故选：C ．【点睛】此题考查了二次根式的运算，正确掌握二次根式的加减乘除计算法则是解题的关键．4. 如图，A ，B 两地被池塘隔开，为了测出A ，B 两地间的距离，小明先在AB 外选一点C ，连接AC ，BC ，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，测得DE ＝15米，由此他知道了A ，B 两地间的距离为（）A. 15米B. 20米C. 25米D. 30米【答案】D【解析】【分析】根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：∵点D ，E 是AC ，BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴AB ＝2DE ＝30（米），故选：D ．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．2===2======5. 如图，已知在□ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上的两点，则以下条件不能判断四边形AECF 为平行四边形的是（）A. BE ＝DFB. AF ⊥BD ，CE ⊥BDC. ∠BAE ＝∠DCFD. AF ＝CE【答案】D【解析】【分析】连接AC 与BD 相交于O ，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA =OC ，OB =OD ，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE =OF 即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．【详解】解：如图，连接AC 与BD 相交于O ，在▱ABCD 中，OA =OC ，OB =OD ，要使四边形AECF 为平行四边形，只需证明得到OE =OF 即可；A 、若BE =DF ，则OB -BE =OD -DF ，即OE =OF ，故本选项不符合题意B 、若AF ⊥BD ，CE ⊥BD ，则可以利用“角角边”证明△ADF 和△CBE 全等，从而得到DF =BE ，然后同A ，故本选项不符合题意；C 、∠BAE =∠DCF 能够利用“角角边”证明△ABE 和△CDF 全等，从而得到DF =BE ，然后同A ，故本选项不符合题意；D 、AF =CE 无法证明得到OE =OF ，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．6. 下列命题的逆命题成立的是（）A. 若，则 B. 矩形的对角线互相垂直C. 对角线相等的四边形是菱形D. 对应角相等的两个三角形全等【答案】D 0a b >>a b>【解析】【分析】首先写出各个命题的逆命题，然后在进一步判断逆命题的真假．【详解】解：A、逆命题是若则，不符合题意；B 、逆命题是对角线互相垂直的四边形是矩形，不符合题意；C 、逆命题是菱形对角线相等，不符合题意；D 、逆命题是两个三角形全等对应角相等，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查逆命题的真假性，是易错题，学生易错易混点在于本题要求判断的是逆命题真假性，学生容易混淆只判断原命题的真假．7. 的结果是（）A. 3﹣πB. ﹣3﹣π C. π﹣3 D. π+3【答案】C【解析】【分析】直接利用二次根式的性质化简即可．，故选：C ．是解题的关键．8. 如图，数轴上的点A 表示的数是，点B 表示的数是1，于点B ，且，以点A 为圆心，的长为半径画弧交数轴正半轴于点D ，则点D 表示的数为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先运用勾股定理求得线段的长，再计算出此题结果即可．【详解】由题意得，∴，的a b >0a b >>33ππ=-=-a =1-CB AB ⊥2BC =AC 1-1AC A C ===AC AD ==∴点D 表示的数，故答案为：C ．【点睛】此题考查了用数轴上的点表示实数的能力，关键是能准确理解并运用该知识和勾股定理进行求解．9. 如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】C【解析】【分析】本题考查的是矩形的性质、翻转变换的性质．根据矩形的性质得到，由折叠的性质得到，得到，根据等腰三角形的判定定理得到，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：四边形是矩形，，，由折叠的性质可知，，，，在中，，即，解得，，则的面积，故选：C ．10. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则周长的最小值为1-ABCD 8AB =4BC =AC D D ¢AFC △DCA BAC ∠=∠DCA D CA '∠=∠CAF D CA '∠=∠FA FC =AF ABCD AB CD ∴∥DCA BAC ∴∠=∠DCA D CA '∠=∠CAF D CA '∴∠=∠FA FC ∴=Rt BFC △222B F B C C F +=2224(8)AF AF +-=5AF =AFC △11541022AF BC =⨯⨯=⨯⨯=PBQ ()A. B. 3 C. D. 【答案】C【解析】【分析】由于点B 与点D 关于AC 对称，所以如果连接DQ ，交AC 于点P ，那么的周长最小，此时的周长在中，由勾股定理先计算出DQ 的长度，再得出结果即可．【详解】连接DQ ，交AC 于点P ，连接PB 、BD ，BD 交AC 于O ．四边形ABCD 是正方形，，，，点B 与点D 关于AC 对称，，．在中，，的周长的最小值为：．故选C ．【点睛】此题考查轴对称问题，根据两点之间线段最短，确定点P 的位置是解题关键．二、填空题（本大题6小题，每题3分，共18分）11.有意义的条件是____________．1+PBQ PBQ BP PQ BQ DQ BQ.=++=+Rt CDQ AC BD ∴⊥BO OD =CD 2cm =∴BP DP ∴=BP PQ DP PQ DQ ∴+=+=Rt CDQ DQ ===PBQ ∴ BP PQ BQ DQ BQ 1++=+=+【答案】【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可．∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．12. 已知平行四边形中，，则的度数为______．【答案】70°##70度【解析】【分析】由平行四边形的性质可得∠A=∠C，结合∠A+∠C=140°，即可求∠A的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，又∵∠A+∠C=140°，∴∠A=70°，故答案为：70°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．13. 如图所示的是丽丽家正方形后院的示意图，丽丽家打算在正方形后院打造一个的正方形游泳池和一个的正方形花园，剩下阴影部分铺满瓷砖，则阴影部分的面积为_____________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查图形的变化规律，利用勾股定理找出的规律是解题的关键．首先求出、、的长度，然后归纳命题中隐含的数学规律，即可解决问题．1a≥10a-≥1a≥1a≥ABCD140A C∠+∠=︒A∠215m26m2na AC AE HE【详解】解：由题意得：大正方形的边长为，∴阴影部分面积故答案为：14. 如图，有一艘轮船位于灯塔P 的南偏东方向，距离灯塔60海里的A 处，它沿正北方向航行到达位于灯塔正东方向上的B 处，那么此时轮船与灯塔P 的距离为__________海里．【答案】【解析】【分析】由含角的直角三角形的性质求出的长，再由勾股定理求出的长即可．本题考查了勾股定理的应用、含角的直角三角形的性质以及方向角等知识，熟练掌握勾股定理和含角的直角三角形的性质是解题的关键．详解】解：由题意可知，，海里，，（海里），（海里），即此时轮船与灯塔的距离为故答案为：．15. 中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，，直线交两对边于E 、F ，则的长为______cm ．【m )22156m =--=260︒30︒AB PB 30︒30︒90ABP ∠=︒60P A =906030APB ∠=︒-︒=︒11603022AB PA ∴==⨯=PB ∴===P ABCD 12cm BD ＝16cm AC ＝EF AB ⊥EF【答案】9.6【解析】【分析】根据菱形的性质得到根据勾股定理得到，根据菱形的面积公式即可得到结论．【详解】解：∵四边形是菱形，∵∴∴，故的长为,故答案为：9.6．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．16. 如图，设四边形是边长为1正方形，以对角线为边作第二个正方再以对角线为边作第三个正方形，如此下去，则第n 个正方形的边长为________________．【答案】【解析】的,AC BD ⊥18cm,2AO AC ==16cm,2BO BD ==10(cm)AB ==ABCD 11,8cm,6cm,22AC BD AO AC BO BD ∴⊥====10(cm),AB ∴==12ABCD S AC BD AB EF =⋅=⋅菱形，11612102EF ⨯⨯=，9.6EF =EF 9.6cm ABCD AC ACEF AE AEGH 1n -【分析】首先求出、、长度，然后归纳命题中隐含的数学规律，即可解决问题．本题主要考查图形的变化规律，利用勾股定理找出的规律是解题的关键．【详解】解：四边形是正方形，，，，即同理可求：，，．第个正方形的边长为，故答案为：．三、解答题一（本大题3小题，每题7分，共21分）17.【答案】【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先二次根式乘除法则计算，再化简计算．18. 小莉在白莲洞公园划船结束后，如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以一定的速度收绳．当绳长为8米时船移动到点D 的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）的AC AE HE n a ABCD 1AB BC ∴==90B Ð=°222AC AB BC ∴=+AC ==2AE =3HE =..∴n 1n n a -=1n -2+-32+-2=+2=+322=-+-3=5m BC 13m【答案】船向岸边移动了【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是关键；在和中，分别利用勾股定理求得，，再利用求解即可．【详解】解：在中，，，，∴，在中，，∴，答：船向岸边移动了．19. 已知：如图，在平行四边形中，点E 、F 在对角线上，且，．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意证明，推出四边形是平行四边形，即可证明．【详解】证明：四边形是平行四边形，，，，(12mRt ABC Rt ACD 12m AB=AD =BD AB AD =-Rt ABC 90CAB ∠=︒5m AC =13m BC=12m AB ===Rt ACDAD ===)12m BD AB AD =-=-(12m ABCD BD CE BD ⊥AF BD ⊥CFD AEB =∠∠(AAS)CDE ABF ≌CEAF ABCD ,CD AB CD AB ∴=∥CDE ABF ∴∠=∠,CE BD AF BD ⊥⊥，在和中，，．，，四边形是平行四边形，，．四、解答题二（本大题3小题，每题9分，共27分）20. 已知，．（1）求的值．（2）求的值．【答案】（1）20（2）【解析】【分析】（1）根据二次根式的加法法则求出，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；（2）根据二次根式的减法法则求出，根据二次根式的乘法法则求出，根据分式的减法法则把原式变形，代入计算即可．本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加减法法则、乘法法则是解题的关键．【小问1详解】解：，，，；【小问2详解】90CED AFB ∴∠=∠=︒CDE ABF△CED AFB CDEABF CD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS)CDE ABF ∴ ≌CE AF ∴=,CE BD AF BD ⊥⊥ CE AF∴∥∴CEAF CF AE ∴∥CFD AEB ∴∠=∠2x =2y =+222x xy y ++y x x y-x y +x y -xy 2x = 2y =+2)2)x y ∴+=++=22222()20x xy y x y ∴++=+==解：，，，∴，．21. 如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．（1）求四边形的面积；（2）判断线段和的位置关系，并说明理由．【答案】（1）17.5（2），理由见解析【解析】【分析】本题考查了四边形的面积，三角形的面积，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．（1）根据四边形的面积等于长方形的面积减去四个直角三角形的面积和一个小长方形的面积计算即可；（2）根据勾股定理的逆定理判断即可．【小问1详解】解：四边形的面积为：；【小问2详解】解：，理由：如图，连接，2x =-2y =+2)2)4x y ∴-=-+=-2)541xy =-+=-=∴22y x y x x y xy --===ABCD ABCD BC CD BC CD ⊥ABCD ABCD 11117542174312132222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯354 3.5613=-----17.5=BC CD ⊥BD，，，，是直角三角形且，即．22. 如图1，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接（1）求证：四边形是菱形；（2）如图2，若交于点，且，，求菱形边长．【答案】（1）见解析（2）5【解析】【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．（1）由平行线的性质及角平分线的定义证出，得出四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理可得出结论；（2）由直角三角形的性质，由勾股定理可得出答案．【小问1详解】证明：平分，，又，，的2224220BC =+= 222215CD =+=2223425BD =+=222BC CD BD ∴+=BCD ∴△90BCD ∠=︒BC CD ⊥AE BF ∥AC BAD ∠BF C BD ABC ∠AE D CDABCD DM BF ⊥BF M 6AC =4OM =AD BC =ABCD 4OD =AC BAD ∠BAC DAC ∴∠=∠AE BF ∥DAC ACB BAC ∴∠=∠=∠，同理，平分，，又，，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形；【小问2详解】解：菱形中，，，，，，，．五、解答题三（本大题2小题，每题12分，共24分）23. 秦九韶（1208～1268年），字道古，南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦-秦九韶公式”．它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是，，，记，为三角形的面积，那么．（1）在中，，，请用上面的公式计算的面积．（2）如图1，在中，，，，，垂足为，求的长；AB BC ∴=BD ABC ∠ABD CBD ∴∠=∠AE BF ∥CBD ADB ABD ∴∠=∠=∠AB AD ∴=AB BC = AB AD =AD BC ∴=AD BC ∴ABCD AB AD = ∴ABCD ABCD 6AC =4OM =DM BF ⊥OD OC ∴⊥3OC =4OB OD OM ===5CD ∴===a b c 2a b c p ++=S S =ABC 4BC =3AC AB ==ABC ABC 9AB =10AC =7BC =BD AC ⊥D BD（3）如图2，在中，，，，垂足为，的平分线交于点．求的长．【答案】（1）（2（3【解析】【分析】本题考查了勾股定理解直角三角形，角平分线的性质定理，以及等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，熟悉掌握海伦秦九韶公式求三角形的面积．（1）依据题意，了解海伦秦九韶公式，根据具体的数字先计算的值，然后再代入公式，计算三角形的面积即可；（2）依据题意，由海伦秦九韶公式求得的面积，再由的面积求出；（3）根据角平分线的性质的到，在中，，，由海伦秦九韶公式求得的面积．再根据，即可求，根据勾股定理求出．【小问1详解】解：由题意得，，．【小问2详解】解：由题意，，．又，，；【小问3详解】解：如图，过点作，，垂足为，，连接，ABC 6BC =7AC AB ==AD BC ⊥D ABC ∠AD EBE--p -ABC ABC 12BD AC =⋅BD ED EH EF ==ABC 6BC =7AC AB ==-ABC 1()2ABC S AB BC CA DE =++⋅△DE BE 433522BC AC AB p++++===S ∴====91071322BC AC AB p ++++===ABC S ∴===△12ABC S BD AC =⋅△7AC =2ABC S BD AC ∴===△E EF AC ⊥EH AB ⊥F H CE∵，，∴平分，∴，∵的平分线交于点，，，∴，∴，在中，，，由海伦—秦九韶公式：求得，的面积为：．∵，，即；又，，垂足为，，在中，由勾股定理得：．24.已知，如图，在长方形ABCD 中，AB=4，AD=6．延长BC 到点E ，使CE=3，连接DE ．（1）DE 的长为．7AC AB ==AD BC ⊥AD BAC ∠EH EF =ABC ∠AD E AD BC ⊥EH AB ⊥EDEH =ED EH EF==ABC 6BC =7AC AB ==7761022AB AC BC p ++++===ABC ABC S ==△ABC ABE BEC CAE S S S S =++△△△△1()2ABC S AB BC CA DE ∴=++⋅△10DE =DE =7AC AB == AD BC ⊥D 116322BD BC ∴==⨯=∴Rt BDE △BE ===（2）动点P 从点B 出发，以每秒1个单位的速度沿BC ﹣CD ﹣DA 向终点A 运动，设点P 运动的时间为t 秒，求当t 为何值时，△ABP 和△DCE 全等？（3）若动点P 从点B 出发，以每秒1个单位的速度仅沿着BE 向终点E 运动，连接DP ．设点P 运动的时间为t 秒，是否存在t ，使△PDE 为等腰三角形？若存在，请直接写出t 的值；否则，说明理由．【答案】（1）5；（2）当t 为3秒或13秒时，△ABP 和△DCE 全等；（3）t 的值为3或4或．【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得CD ＝4，根据勾股定理可求DE的长；（2）若△ABP 与△DCE 全等，可得AP ＝CE ＝3或BP ＝CE ＝3，根据时间＝路程÷速度，可求t 的值；（3）分PD ＝DE ，PE ＝DE ，PD ＝PE 三种情况讨论，分别利用等腰三角形的性质和勾股定理求出BP ，即可得到t 的值．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝4，AD ＝BC ＝6，CD ⊥BC ，在Rt △DCE 中，DE ＝5，故答案为 5；（2）若△ABP 与△DCE 全等，则BP ＝CE 或AP ＝CE ，当BP ＝CE ＝3时，则t ＝＝3秒，当AP ＝CE ＝3时，则t ＝＝13秒，∴当t 为3秒或13秒时，△ABP 和△DCE 全等；（3）若△PDE 为等腰三角形，则PD ＝DE 或PE ＝DE 或PD ＝PE ，当PD ＝DE 时，∵PD ＝DE ，DC ⊥BE ，∴PC ＝CE ＝3，∵BP ＝BC−PC ＝3，∴t ＝＝3；当PE ＝DE ＝5时，∵BP ＝BE−PE ，∴BP ＝6+3−5＝4，∴t ＝＝4；当PD ＝PE 时，296=3164631++-3141∴PE ＝PC ＋CE ＝3＋PC ，∴PD ＝3＋PC ，在Rt △PDC 中，PD 2＝CD 2＋PC 2，∴（3＋PC ）2＝16＋PC 2，∴PC＝，∵BP ＝BC−PC ＝，∴，综上所述：t 的值为3或4或．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、勾股定理的应用、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质等知识点，利用分类思想解决问题是本题的关键．762962929616t ==296。

勾股定理及二次根式综合复习（含答案）

勾股定理及⼆次根式综合复习（含答案）勾股定理及⼆次根式复习⼀、知识梳理：（⼀）勾股定理：1、勾股定理定义：如果直⾓三⾓形的两直⾓边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.即直⾓三⾓形两直⾓边的平⽅和等于斜边的平⽅勾：直⾓三⾓形较短的直⾓边股：直⾓三⾓形较长的直⾓边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三⾓形的三边长a ，b ，c 有下⾯关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形。

2. 勾股数：满⾜a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。

） *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15；5,12,13 3. 判断直⾓三⾓形：如果三⾓形的三边长a 、b 、c 满⾜a 2+b 2=c 2 ，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形。

（经典直⾓三⾓形：勾三、股四、弦五）其他⽅法：（1）有⼀个⾓为90°的三⾓形是直⾓三⾓形；（2）有两个⾓互余的三⾓形是直⾓三⾓形。

⽤它判断三⾓形是否为直⾓三⾓形的⼀般步骤是：（1）确定最⼤边（不妨设为c ）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直⾓的三⾓形；若a 2＋b 2＜c 2，则此三⾓形为钝⾓三⾓形（其中c 为最⼤边）；若a 2＋b 2＞c 2，则此三⾓形为锐⾓三⾓形（其中c 为最⼤边）4.注意：（1）直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边的⼀半（2）在直⾓三⾓形中，如果⼀个锐⾓等于30°，那么它所对的直⾓边等于斜边的⼀半。

（3）在直⾓三⾓形中，如果⼀条直⾓边等于斜边的⼀半，那么这条直⾓边所对的⾓等于30°。

5. 勾股定理的作⽤：（1）已知直⾓三⾓形的两边求第三边；（2）已知直⾓三⾓形的⼀边，求另两边的关系；（3）⽤于证明线段平⽅关系的问题；（4）利⽤勾股定理，作出长为n 的线段. （⼆）⼆次根式：1.⼆次根式的概念：形如a （a≥0）的式⼦叫做⼆次根式（⼆次根式中，被开⽅数⼀定是⾮负数，否则就没有意义，并且根式a ≥0）2.最简⼆次根式：同时满⾜：①被开⽅数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开⽅数中不含能开得尽⽅的因数或因式．这样的⼆次根式叫做最简⼆次根式． 3. 同类⼆次根式：⼏个⼆次根式化成最简⼆次根式后，如果被开⽅数相同，这⼏个⼆次根式就叫同类⼆次根式． 4．⼆次根式的性质：①a a ≥≥00（）②()a a a 20=≥（）③a aa aaa a200==>=-<||（）（）（）④ab a b a b=?≥≥（，）00⑤babaa b=>≥（，）005．分母有理化及有理化因式：把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有⼆次根式的代数式相乘，?若它们的积不含⼆次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．6.⼆次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开⽅数中有的因式能够开得尽⽅，那么，就可以⽤它的算术根代替⽽移到根号外⾯；如果被开⽅数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外⾯，反之也可以将根号外⾯的正因式平⽅后移到根号⾥⾯．（2）⼆次根式的加减法：先把⼆次根式化成最简⼆次根式再合并同类⼆次根式．（3）⼆次根式的乘除法：⼆次根式相乘（除），将被开⽅数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开⽅数并将运算结果化为最简⼆次根式．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适⽤于⼆次根式的运算．7.使分母不带根号（分母有理化）常⽤⽅法：①化去分母中的根号关键是确定与分母相乘后，其结果不再含根号的因式。

八年级下册数学期中考试复习题型

八年级下册数学期中考试复习题型一、选择题1. 下列哪个选项是二次根式？A. \( \sqrt{4} \)B. \( \sqrt{2x} \)C. \( \sqrt{x^2} \)D. \( \sqrt{-1} \)2. 若 \( a \) 和 \( b \) 是直角三角形的两条直角边，\( c \) 是斜边，根据勾股定理，下列哪个等式是正确的？A. \( a^2 + b^2 = c \)B. \( a^2 + b^2 = c^2 \)C. \( a^2 - b^2 = c \)D. \( a^2 + c^2 = b^2 \)3. 一个数的立方根是 \( 2 \)，这个数是：A. \( 8 \)B. \( -8 \)C. \( 4 \)D. \( -4 \)4. 若 \( x \) 和 \( y \) 互为相反数，下列哪个等式是正确的？A. \( x + y = 0 \)B. \( x - y = 0 \)C. \( x \times y = 0 \)D. \( x / y = 0 \)5. 一个圆的半径是 \( 5 \) 厘米，它的面积是：A. \( 78.5 \) 平方厘米B. \( 25 \) 平方厘米C. \( 50 \) 平方厘米D. \( 100 \) 平方厘米二、填空题6. 一个数的平方根是 \( 3 \)，这个数是 ______ 。

7. 如果一个三角形的底边长为 \( 6 \) 厘米，高为 \( 4 \) 厘米，那么它的面积是 ______ 平方厘米。

8. 一个数的绝对值是 \( 5 \)，这个数可以是 ______ 或 ______ 。

9. 若 \( x \) 的倒数是 \( \frac{1}{2} \)，则 \( x \) 的值是______ 。

10. 一个数的立方是 \( 27 \)，这个数是 ______ 。

三、解答题11. 解方程 \( ax + b = 0 \)，其中 \( a \neq 0 \)。

最新人教版八年级下册数学《期中测试题》及答案解析

2021年人教版数学八年级下册期中测试学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择(每小题3分，共24分)1. 下列二次根式中属于最简二次根式的是( ) A. 14 B. 48 C. a b D. 44a +2. 二次根式3x +有意义的条件是( )A. x>3B. x>-3C. x≥3D. x≥-3 3. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )A . 1.5，2，3 B. 7，24，25C. 6，8，10D. 9，12，15 4. 顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是【】A 正方形 B. 矩形C. 菱形D. 等腰梯形 5. 下列计算正确的是( )A. 23325+=B. 822÷=C. 114222=D. 535256⨯= 6. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若AB ＝15cm ，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积之和为( ) A. 150cm 2B. 200cm 2C. 225cm 2D. 无法计算7. 如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行A. 8米B. 10米C. 12米D. 14米二．填空题(每小题3分，共24分)8. 如图，菱形ABCD的边长为2，60DAB︒∠=，点E为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，则PB+PE的最小值为_____．9. 在实数范围因式分解：25a-＝________．10. 下列四个等式：2222(1) (4)4;(2)(4)16;(3)(4)4;(4)(4)4-=--=-==；正确的是____________11. 下列三个命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正数，它们的积是正数．它们的逆命题成立的个数是_____．12. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，则∠AOF ＝_____度．13. 如图，每个小正方形的边长为1．在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为__________；14. 如图，菱形ABCD的对角线AC＝32cm，BD＝42cm，则菱形ABCD的面积是_____．15. 如图所示，将四根木条组成的矩形木框变成▱ABCD 的形状，并使其面积变为原来的一半，则这个平行四边形的一个最小的内角的度数是_____．16. 按如图所示的程序计算,若开始输入的n 值为2,则最后输出的结果是 _______三．解答题(本小题满分10分)17. (1)27－1183－12；(2) 321252⨯÷ 18. 先化简，再求值：232()224x x x x x x -÷-+-，其中34x =-． 19. 如图平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，E ．F 是AC 上的两点，并且AE ＝CF ,求证：四边形BFDE 是平行四边形20. 已知：如图，四边形ABCD 四条边上的中点分别为E ．F ．G ．H ，顺次连接EF ．FG ．GH ．HE ，得到四边形EFGH (即四边形ABCD 的中点四边形)．(1)四边形EFGH 的形状是，证明你的结论．(2)当四边形ABCD 的对角线满足条件时，四边形EFGH 是矩形；(3)结合问题(2)，请做出图形并且证明21. 课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．(1)求证：△ADC≌△CEB；(2)从三角板的刻度可知AC=25cm ，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a 的大小(每块砖的厚度相等)．22. 如图在△ABC 中，∠ACB=90°，点D ，E 分别是AC 、AB 的中点，点F 在BC 的延长线上，且∠CDF=∠A. 求证：四边形DECF 是平行四边形.23. 如图，在ABC 中，,,AB AC AD BC =⊥垂足为点,D AN 是ABC 外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ．()1求证：四边形ADCE 为矩形；()2当ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．24. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB 由点A 行驶向点B ，已知点 C 为一海港，且点 C 与直线AB 上两点A,B 的距离分别为300km 和400km ，又AB=500km ，以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域．(1)海港C受台风影响吗？为什么？(2)若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？25. 如图，矩形OABC的边OA，OC分别与坐标轴重合，并且点B的坐标为(8,4)．将该矩形沿OB折叠，使得点A落在点E处，OE与BC的交点为D．为等腰三角形；(1)求证：OBD(2)求点E的坐标；(3)坐标平面内是否存在一点F，使得以点B，E，F，O为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．答案与解析一、选择(每小题3分，共24分)1. 下列二次根式中属于最简二次根式的是( )A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】根据最简二次根式定义和化简方法将二次根式化简成最简二次根式即可.【详解】如果一个二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式.那么，这个根式叫做最简二次根式.只有A 符合定义.故答案选A【点睛】本题主要考查二次根式的化简和计算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的化简方法. 2. ( )A. x>3B. x>-3C. x≥3D. x≥-3 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式被开方数大于等于0即可得出答案．【详解】根据被开方数大于等于0有意义的条件是+30≥x解得：-3≥x故选：D 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 3. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( ) A. 1.5，2，3B. 7，24，25C. 6，8，10D. 9，12，15【答案】A【解析】【详解】由勾股定理的逆定理可以判断能不能构成直角三角形．A 、由2221.523+≠，所以不能作为直角三角形的三边长，故本选项正确；B 、由22272425+=，所以能作为直角三角形的三边长，故本选项错误；C 、由2226810+=，所以能作为直角三角形的三边长，故本选项错误；D 、由22291215+=，所以能作为直角三角形的三边长，故本选项错误；故选A ．考点：勾股定理的逆定理4. 顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是【】A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 等腰梯形【答案】C【解析】矩形的性质，三角形中位线定理，菱形的判定．【分析】如图，连接AC ．BD ，在△ABD 中，∵AH=HD ，AE=EB ，∴EH=12BD ．同理FG=12BD ，HG=12AC ，EF=12AC ．又∵在矩形ABCD 中，AC=BD ，∴EH=HG=GF=FE ．∴四边形EFGH 为菱形．故选C ．5. 下列计算正确的是( ) A. 23325= B. 822÷= C. 11422= D. 535256=【答案】B【解析】【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B进行判断；根据二次根式的性质对C 进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．【详解】A、2332+不能计算，所以A选项错误；B、原式＝822÷=，所以B选项正确；C、原式＝32，所以C选项错误；D、原式＝2532256⨯=，所以D选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．6. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积之和为()A. 150cm2B. 200cm2C. 225cm2D. 无法计算【答案】C【解析】【分析】小正方形的面积为AC的平方，大正方形的面积为BC的平方．两正方形面积的和为AC2＋BC2，对于Rt△ABC，由勾股定理得AB2＝AC2＋BC2．AB长度已知，故可以求出两正方形面积的和．【详解】解：正方形ADEC的面积为AC2，正方形BCFG的面积为BC2；在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，AB＝15，则AC2＋BC2＝225cm2．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理．勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．7. 如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行A. 8米B. 10米C. 12米D. 14米【答案】B【解析】【详解】试题分析：根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．如图，设大树高为AB=10米，小树高为CD=4米，过C 点作CE ⊥AB 于E ，则EBDC 是矩形，连接AC ，∴EB=4米，EC=8米，AE=AB ﹣EB=10﹣4=6米，在Rt △AEC 中，(米)．故选B ．二．填空题(每小题3分，共24分)8. 如图，菱形ABCD 的边长为2，60DAB ︒∠=，点E 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，则PB+PE 的最小值为_____．【答案】 3【解析】【分析】根据ABCD 是菱形，找出B 点关于AC 的对称点D ，连接DE 交AC 于P ，则DE 就是PB+PE 的最小值，根据勾股定理求出即可.【详解】解：如图，连接DE 交AC 于点P ，连接DB ，∵四边形ABCD 是菱形，∴点B 、D 关于AC 对称(菱形的对角线相互垂直平分)，∴DP=BP ，∴PB+PE 的最小值即是DP+PE 的最小值(等量替换)，又∵ 两点之间线段最短，∴DP+PE 的最小值的最小值是DE ，又∵60DAB ︒∠=，CD=CB,∴△CDB 是等边三角形，又∵点E 为BC 边的中点，∴DE ⊥BC (等腰三角形三线合一性质)，菱形ABCD 的边长为2，∴CD=2，CE=1, 由勾股定理得22(1) DE=213-=， 3.【点睛】本题主要考查轴对称、最短路径问题、菱形的性质以及勾股定理(两直角边的平方和等于斜边的平方)，确定P 点的位置是解题的关键.9. 在实数范围因式分解：25a -＝________．【答案】(5)(5)a a【解析】【分析】将5改成25，然后利用平方差进行分解即可. 【详解】25a - =2a -25 =(55a a +，故答案为(a a .【点睛】本题考查了在实数范围内分解因式，把5写成2是利用平方差公式进行分解的关键．10. 下列四个等式：2224;(2)(16;(3)(4=-===；正确的是____________【答案】(3)、(4)【解析】【分析】分别验证四个等式的正确性，并数出其正确的个数即可得到答案.【详解】(1)∵4==，∴(1)错误；(2)∵2(4=，∴(2)错误；(3)∵22 ((2)4=-=，∴(3)正确；(4)∵2224==，∴(4)正确．故正确的有(3)、(4)两个，故答案为：(3)、(4)．【点睛】本题主要考查了平方根的计算，掌握负数在实数范围内不能开平方；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根，就是这个数的算术平方根；任何数的平方都不会是负数．11. 下列三个命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正数，它们的积是正数．它们的逆命题成立的个数是_____．【答案】1【解析】【分析】先把每个命题的逆命题写出来，再判断逆命题是否成立，数出逆命题成立的个数即可得到答案．【详解】解：①对顶角相等的逆命题为：相等的角是对顶角，不成立(例如：等边三角形中的三个角都相等，但不是对顶角)；②全等三角形的对应边相等的逆命题为：对应边相等的三角形是全等三角形，成立(SSS);③如果两个实数是正数，它们的积是正数的逆命题为：乘积是正数的两个实数是都是正数，不成立，因为两个负数的乘积也是正数；因此，只有②正确，故答案是1.【点睛】本题主要考查了命题的逆命题的定义(把一个命题的题设和结论互换可得到其逆命题)，能正确写出逆命题是解题的关键．12. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，则∠AOF ＝_____度．【答案】90【解析】【详解】∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∴OA=OD，OE=OF，∠2=∠3，∵AD是△ABC的角平分线，∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AE=DE．∴▱AEDF为菱形．∴AD⊥EF，即∠AOF=90°．13. 如图，每个小正方形边长为1．在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为__________；【答案】262 【解析】【分析】根据勾股定理分别求出AB 、BC 、AC 的长度，用勾股定理的逆定理验证△ABC 是直角三角形，然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到答案．【详解】解：∵每个小正方形的边长为1，∴根据勾股定理得：22 2222CB =+=，22 3332CA =+=，22 A 5126B =+=，∴222 26CB CA AB +==，∴△ABC 是直角三角形(勾股定理的逆定理)，又∵点D 为AB 的中点∴12622CD AB ==(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半). 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质、勾股定理(222+=a b c ，c 为斜边的长度)、勾股定理的逆定理的应用，判断△ABC 是直角三角形是解题的关键．14. 如图，菱形ABCD 的对角线AC ＝32cm ，BD ＝42cm ，则菱形ABCD 的面积是_____．【答案】12cm 2【解析】【分析】利用菱形的面积公式可求解．【详解】解：因为菱形的对角线互相垂直平分，∵AC＝32cm，BD＝42cm，则菱形ABCD的面积是13242122⨯⨯=cm2．故答案为12cm2．【点睛】此题主要考查菱形的面积计算，关键是掌握菱形的面积计算方法．15. 如图所示，将四根木条组成的矩形木框变成▱ABCD的形状，并使其面积变为原来的一半，则这个平行四边形的一个最小的内角的度数是_____．【答案】30°【解析】【分析】过A作AE⊥BC于点E，由四根木条组成的矩形木框变成▱ABCD的形状，面积变为原来的一半，可得AE＝12AB，由此即可求得∠ABE＝30°，即平行四边形中最小的内角为30°．【详解】解：过A作AE⊥BC于点E，如图所示：由四根木条组成的矩形木框变成▱ABCD的形状，面积变为原来的一半，得到AE＝12AB，又△ABE为直角三角形，∴∠ABE＝30°，则平行四边形中最小的内角为30°．故答案为30°【点睛】本题考查了平行四边形的面积公式及性质，根据题意求得AE＝12AB是解决问题的关键．16. 按如图所示的程序计算,若开始输入的n值为2,则最后输出的结果是_______【答案】8+52【解析】【分析】根据程序框图的流程逐步进行计算,判断根式的大小即可解题.【详解】解：输入<15,输入, n(n+1)= 8+>15,∴输出结果为8+【点睛】本题考查了根式的大小判断,程序框图的应用,中等难度,读懂流程图,会判断根式的大小是解题关键.三．解答题(本小题满分10分)17.；(2) 4÷【答案】【解析】【分析】(1)把每一个二次根式都化成最简二次根式，然后再对同类二次根式进行合并即可得；(2)根据二次根式乘除法的法则进行计算即可.【详解】(1)原式=13⨯ ；(2)原式=11245⨯⨯⨯=110【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.18. 先化简，再求值：232()224x x x x x x -÷-+-，其中4x =．【解析】【分析】首先计算括号内的分式，通分相减，然后把除法转化为乘法，约分．即可化简式子，最后代入数值计算即可.【详解】解： 232224x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭ 3(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)2x x x x x x x x x x x ⎡⎤+-+-=-⋅⎢⎥-++-⎣⎦228(2)(2)(2)(2)2x x x x x x x++-=⋅+- 2282x x x+= =x+4.当34x =-时，原式3443=-+=．【点睛】考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．19. 如图平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，E ．F 是AC 上的两点，并且AE ＝CF ,求证：四边形BFDE 是平行四边形【答案】见解析【解析】【分析】要证明四边形BFDE 是平行四边形，可以证四边形BFDE 有两组对边分别相等，即证明BF=DE ，EB=DF 即可得到.【详解】证明：∵ABCD 是平行四边形，∴AB=DC ，AB ∥DC ，∴∠BAF=∠DCE ，又∵对角线AC 与BD 相交于O ，E ．F 是AC 上的两点，并且AE ＝CF ，所以在△ABF 和△DCE 中，BA DC BAF DCE AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△CDE (SAS )，∴BF=DE ，同理可证：△ADF ≌△CBE (SAS )，∴DF=BE,∴四边形BFDE是平行四边形.【点睛】本题主要考查平行四边形的判定(两组对边分别平行，两组对边分别相等，有一组对边平行且相等)，掌握判定的方法是解题的关键，在解题过程中，需要灵活运用所学知识，掌握三角形全等的判定或者两直线平行的判定对证明这道题目有着至关重要的作用.20. 已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E．F．G．H，顺次连接EF．FG．GH．HE，得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形)．(1)四边形EFGH的形状是，证明你的结论．(2)当四边形ABCD的对角线满足条件时，四边形EFGH是矩形；(3)结合问题(2)，请做出图形并且证明【答案】(1)平行四边形，证明见解析；(2)互相垂直；(3)见解析；【解析】【分析】(1)先观察四边形EFGH的形状，利用中位线，发现可以证明四边形有一组对边平行且相等，即可得到答案；(2)考虑平行四边形变到矩形的条件，即可得到答案；(3)利用等量关系由AC⊥BD证EH⊥HG即可得到答案．【详解】解：(1)四边形EFGH的形状是平行四边形，理由如下：如图，连接BD，∵E、F是AB、AD的中点，∴EH∥BD，12EH BD=，同理可得：FG∥BD，12FG BD=，∴EF∥FG，EH FG=(等量替换)，∴四边形EFGH的形状是平行四边形(由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).(2)当四边形ABCD的对角线相互垂直时，四边形EFGH是矩形；(3)证明(2)，理由如下，作图如下：如图，连接AC、BD，∵四边形ABCD四条边上的中点分别为E．F．G．H，∴EH∥BD，HG∥AC，又∵四边形ABCD的对角线相互垂直，即AC⊥BD，∴EH⊥HG，又∵四边形EFGH的形状是平行四边形，∴四边形EFGH的形状是矩形(有个一角是直角的平行四边形是矩形)．【点睛】本题主要考查对三角形中位线定理、平行四边形的性质、矩形的判定、菱形的性质等知识点的理解与掌握，熟练掌握各定理是解题的关键．21. 课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．(1)求证：△ADC≌△CEB；(2)从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小(每块砖的厚度相等)．【答案】(1)证明见解析；(2)5cm．【解析】【分析】(1)根据题意可知AC=BC ，∠ACB=90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC ，从而得到结论；(2)根据题意得：AD=4a ，BE=3a ，根据全等可得DC=BE=3a ，由勾股定理可得(4a )2+(3a )2=252，再解即可．【详解】(1)根据题意得：AC=BC ，∠ACB=90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC ，在△ADC 和△CEB 中，ADC CEB DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB (AAS )；(2)由题意得：AD=4a ，BE=3a ，由(1)得：△ADC ≌△CEB ，∴DC=BE=3a ，在Rt △ACD 中：AD 2+CD 2=AC 2，∴(4a )2+(3a )2=252，∵a ＞0，解得a=5，答：砌墙砖块的厚度a 为5cm ．考点1.：全等三角形的应用2.勾股定理的应用．22. 如图在△ABC 中，∠ACB=90°，点D ，E 分别是AC 、AB 的中点，点F 在BC 的延长线上，且∠CDF=∠A. 求证：四边形DECF 平行四边形.【答案】证明见解析.【解析】【详解】∵D ，E 分别为AC ，AB 的中点，∴DE 为△ACB 的中位线．∴DE ∥BC ．∵CE 为Rt △ACB 的斜边上的中线，∴CE=12AB=AE ． ∴∠A=∠ACE ．又∵∠CDF=∠A ，∴∠CDF=∠ACE ．∴DF ∥CE ．又∵DE ∥BC ，∴四边形DECF 为平行四边形．23. 如图，在ABC 中，,,AB AC AD BC =⊥垂足为点,D AN 是ABC 外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ．()1求证：四边形ADCE 为矩形；()2当ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．【答案】(1)证明见解析；(2)当ABC 满足90BAC ∠=︒时，四边形ADCE 是一个正方形，证明见解析．【解析】【分析】(1)先根据等腰三角形的三线合一可得BAD CAD ∠=∠，再根据角平分线的定义可得MAE CAE ∠=∠，从而可得90DAE ∠=︒，然后根据垂直的定义可得90ADC AEC ∠=∠=︒，最后根据矩形的判定即可得证；(2)先根据等腰直角三角形的性质可得45ACB B ∠=∠=︒，再根据直角三角形的性质可得45CAD ACD ∠=∠=︒，然后根据等腰三角形的定义可得CD AD =，最后根据正方形的判定即可得．【详解】(1)在ABC 中，,=⊥AB AC AD BC ，12BAD CAD BAC ∴∠=∠=∠(等腰三角形的三线合一)， AN 是ABC 外角CAM ∠的平分线，12MAE CA CA E M ∴∠∠=∠=， 11118090222DAE CAD CAE BA CA C M ∴∠=∠+∠=∠+=⨯︒=∠︒，又,AD BC CE AN ⊥⊥，90ADC AEC ∴∠=∠=︒，∴四边形ADCE 为矩形；(2)当ABC 满足90BAC ∠=︒时，四边形ADCE 是一个正方形，证明如下：,90AB AC BAC ∠==︒，45ACB B ∴∠=∠=︒，AD BC ⊥，45CAD ACD ∴∠=∠=︒，CD AD ∴=，四边形ADCE 为矩形，∴矩形ADCE 是正方形，故当90BAC ∠=︒时，四边形ADCE 是一个正方形．【点睛】本题考查了正方形与矩形的判定、等腰三角形的三线合一、角平分线的定义等知识点，熟练掌握正方形与矩形的判定方法是解题关键．24. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB 由点A 行驶向点B ，已知点 C 为一海港，且点 C 与直线AB 上两点A,B 的距离分别为300km 和400km ，又AB=500km ，以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域．(1)海港C 受台风影响吗？为什么？(2)若台风的速度为20km/h ，台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】(1)海港C 受台风影响，理由见解析；(2) 7小时【解析】【详解】试题分析：(1)利用勾股定理的逆定理得出△ABC 是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD 的长，进而得出海港C 是否受台风影响；(2)利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间；试题解析：(1)海港C受台风影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，∴AC2+BC2=AB2∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC=CD×AB∴300×400=500×CD∴CD=300400500⨯=240(km)∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C受到台风影响．(2)当EC=250km，FC=250km时，正好影响C港口，∵22EC CD-∴EF=140km∵台风的速度为20km/h，∴140÷20=7(小时)即台风影响该海港持续的时间为7小时．25. 如图，矩形OABC的边OA，OC分别与坐标轴重合，并且点B的坐标为(8,4)．将该矩形沿OB折叠，使得点A落在点E处，OE与BC的交点为D．(1)求证：OBD ∆为等腰三角形；(2)求点E 的坐标；(3)坐标平面内是否存在一点F ，使得以点B ，E ，F ，O 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析；(2) E 点坐标为2432,55⎛⎫ ⎪⎝⎭；(3)存在三点，11612,55F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，21612,55F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，36452,55F ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)分析题目，证明OD=BD 即可证明OBD ∆为等腰三角形，根据折叠的性质即可得到；(2)根据矩形的性质先把OD 的长度计算出来，再证明DE=CD ，根据面积公式即可得到答案；(3)分情况讨论点F 所在的象限，根据平行四边形的性质计算即可得到．【详解】解：(1)∵OBE ∆是由OBA ∆折叠所得，∴OBE ∆≌OBA ∆，∴12∠=∠，又∵四边形OABC 是矩形，∴OA ∥BC ，∴13∠=∠，∴OD=BD∴OBD ∆为等腰三角形(2)过点E 作EF ⊥x 轴于F 交BC 于G ，设CD 的长为x ，则BD=BC-CD=8-x ，由(1)知OD=BD=8-x ， ∵四边形ABCD 是矩形，,∴∠OCD=∠OAB=90°，CA=AB ，∴在Rt OCD ∆中，222OC CD OD +=,即2223(8)x x +=-，解得3x =，即CD=3，OD=BD=8-x =5，由(1)知，OBE ∆≌OBA ∆，∴∠OEB=∠OAB=90°∴∠OCD=∠BED=90°，在OCD ∆和BED ∆中，OCD BED ODC BDE OD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴OCD ∆≌BED ∆(AAS )，∴DE=CD=3 ，BE=OC=4，∵EF ⊥x 轴，∴∠OFB=90°，∵OA ∥BC ，∴∠CGE=∠OFB=90°,∴CG ⊥BD ， ∴1122BDE S DE BE BD EG ∆=⨯=⨯，即125EG =， ∴在Rt DEG ∆中，95DG ===， ∵∠OCG=∠OFE=∠CGF =90°，∴四边形OFGC 是矩形，∴OF=CG=CD+DG=3+95=245， ∴EF=GE+GF=125+4=325，故E 点坐标为2432,55⎛⎫ ⎪⎝⎭； (3) 存在三点11612,55F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，21612,55F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，36452,55F ⎛⎫ ⎪⎝⎭(附答案)可分三种情况：1．点F 在第二象限，如图1：∵2432,55E⎛⎫⎪⎝⎭，()8,4B，()0,0O，∴124328,4 55F ⎛⎫--⎪⎝⎭，即11612,55F⎛⎫-⎪⎝⎭；2．点F在第四象限，如图2：∵2432,55E⎛⎫⎪⎝⎭，()8,4B，()0,0O，∴22432 8,455F ⎛⎫--⎪⎝⎭，即21612,55F⎛⎫-⎪⎝⎭；3．点F在第一象限，如图3：∵2432,55E⎛⎫⎪⎝⎭，()8,4B，()0,0O，∴324328,4 55F ⎛⎫++⎪⎝⎭，即36452,55F⎛⎫⎪⎝⎭；故存在三点11612, 55F ⎛⎫-⎪⎝⎭，21612,55F⎛⎫-⎪⎝⎭，36452,55F⎛⎫⎪⎝⎭使得以点B，E，F，O为顶点的四边形是平行四边形．【点睛】本题主要考查矩形、勾股定理、全等三角形的判定、平行四边形的性质和点的坐标的综合应用，重点考查了对性质的联合应用，要特别注意的是点E的位置的确定，要根据平行四边形的性质考虑全面一些．。

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数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．若m -3为二次根式，则m 的取值为（）
A ．m≤3
B ．m ＜3
C ．m≥3
D ．m ＞3
2、已知平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线a 的取值范围为
（）
A ．4<a<16
B ．14<a<26
C ．12<a<20
D ．以上答案都不正确 3．化简二次根式352⨯-)(得（）
A ．35-
B ．35
C ．35±
D ．30 4．对于二次根式92+x ，以下说法不正确的是（） A ．它是一个正数 B ．是一个无理数 C ．是最简二次根式 D ．它的最小值是3 5．下列二次根式中，最简二次根式是（）A ．23a B ．
3
1
C ．153
D ．143 6．计算：
ab ab b a 1⋅÷等于（）A ．ab ab 21
B ．ab ab 1
C ．ab b
1
D ．
ab b 7.在△ABC 中，∠A=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边长分别为a 、b 、c ，则下列结论错误的是（）A.a 2+b 2=c 2 B.b 2+c 2=a 2 C.a 2-b 2=c 2 D.a 2-c 2=b 2 8. 在直角坐标系中，点P （2-，3）到原点的距离是（）
D.2
9.把长为10cm 的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形，如果剪掉部分的面积为122cm ，则打开后梯形的周长是
A 22cm
B 20cm
C （10+cm
D （12+cm
10.如下图所示：是一段楼梯，高BC 是3m ，斜边AC 是5m ，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）
A.5m
B.6m
C.7m
D.8m
11.在△ABC 中, AB =15, AC =13, BC 边上的高AD =12, 则BC =（）
A. 14
B. 4
C. 14或9
D. 14或4
二、填空题（每小题3分，共18分）
12、过矩形ABCD 的对角线BD 上一点K 分别作矩形两边的平行线MN 与PQ ，那么图中矩形AMKP 的面积S 1与矩形QCNK 的面积S 2的大小关系是S 1 S 2（填“＞”或“＜”或“＝”）.
13.如下图，已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以ABC ∆的各边为边在ABC ∆外作三
个正方形，123,,S S S
分别表示这三个正方形的面积，1281,225S S ==，则
3_____.
S =
二、填空题（每小题3分，共18分）
14、①=-2
)3.0( ；②=-2
)52( ； a=3时，则=+215a ____．
15、若a ＜1
1＝（）
16.如图，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和的面积为（）
17、△ABC 中，有一点P 在AC 上移动．若AB=AC=5，BC=6，AP+BP+CP 的最小值为（）。

18
=
=
=， ……根据你猜想得到的规律，写出第10个等式为 .
19、如图, Rt △ACB 中, AC =BC , ∠ACB =90°, D 、E 为AB 上两点, 且∠DCE =45°,
F 为△ABC 外一点, 且FB ⊥AB , FC ⊥CD , 则下列结论:
①CD =CF ; ②CE 垂直平分DF ; ③AD 2+BD 2=2DC 2; ④DE 2－BE 2=
2
其中正确的是（）（填写序号）。

20、观察下列一组数：列举：3、4、5 猜想：5432
+=;
列举：5、12、13猜想：131252
+=; 列举：7、24、25猜想：252472+=; 列举：13、b 、c 猜想：c b +=213；
第12题 N
M
Q D
C B
请你分析上述数据的规律，结合有关知识求得b=____ ； c=______；
三、解答题21.（本题满分8分）已知32-=x ，求
x
x x x x x x -+---+-2
22
1
21
21的值。

22. 如图, 在△ABC 中, ∠ACB =90°, AC =2, BC =3, BE ⊥AB , 且BE =AB . (1) 求点E 到直线BC 的距离; (2) 求线段CE 的长.
23.（本题满分8分）
如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，（1）判断△ABC 的形状，说明理由。

（2）、求A 到BC 的距离。

24. （本题满分10分）
如图，在△ABC 中，BA=5，AC=13，边BC 上的中线AD=6， (1)求BC 的长;（2）求△ABC 的面积。

24、（12分）已知：△ABC 中, CA ＝CB , ∠ACB ＝90︒, 点O 为AB 的中点, E 、F 分别为直线AC 、BC 上的一点且BF ＝CE , 连OE 、EF .
(1)如图1, 点E 在AC 上, F 在BC 上, AE 2、BF 2、OE 2
(2)如图2, 点E 、F 分别在AC 、
CB 的延长线上
, 则(1)中的结论是否仍成立？请证明你的结论？(3)在图2中, CE ＝1, AB ＝, 求OE 的长.
25、(2013河南省)如图，在等边三角形ABC 中，6BC cm =,射线AG BC ∥，点E 从点A
A
B C C E D B
出发沿射线AG 以1/cm s 的速度运动，同时点F 从点B 出发沿射线BC 以2/cm s 的速度运动，设运动时间为()t s （1）连接EF ，当EF 经过AC 边的中点D 时，求证：
ADE CDF
（2）填空：
①当为 s 时，四边形ACFE 是菱形；
②当为 s 时，以,,,A F C E 为顶点的四边形是直角梯形。

26、（1）如图1，已知△ABC ，以AB 、AC 为边向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE ，连接BE ，CD ，请你完成图形，并证明：BE=CD ；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；（2）如图2，已知△ABC ，以AB 、AC 为边向外作正方形ABFD 和正方形ACGE ，连接BE ，CD ，BE 与CD 有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，要测量池塘两岸相对的两点B ，E 的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE ，求BE 的长．。