平面向量及向量的运算
平面向量的运算
平面向量的运算在数学中，平面向量是研究平面几何和向量代数的重要概念之一。
平面向量的运算包括向量的加法、减法、数量乘法和向量的数量积等。
本文将详细介绍平面向量的运算规则和相关性质。
一、平面向量的表示方法平面向量通常用字母加上一个带箭头的小写字母来表示，如AB→表示从点A指向点B的向量。
平面向量可以用坐标表示、顶点表示和分解成基本单位向量表示等多种方式。
1. 坐标表示法：平面向量在坐标系中的表示方法为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度。
2. 顶点表示法：平面向量也可以用顶点表示法表示，即用向量的起点A和终点B表示向量，如AB→。
3. 分解成基本单位向量表示法：平面向量可以分解成基本单位向量i和j的线性组合，即A→ = a·i+ b·j。
二、平面向量的加法平面向量的加法满足以下规则：设有两个向量A→=(a1, a2)和B→=(b1, b2)，则A→+B→=(a1+b1, a2+b2)。
三、平面向量的减法平面向量的减法满足以下规则：设有两个向量A→=(a1, a2)和B→=(b1, b2)，则A→-B→=(a1-b1, a2-b2)。
四、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法满足以下规则：设有一个向量A→=(a1, a2)和一个实数k，则kA→=(ka1, ka2)。
五、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点积或内积，表示为A→·B→或(A, B)。
数量积的计算公式如下：A→·B→=|A→|·|B→|·cosθ其中，|A→|和|B→|分别表示向量A→和B→的模长，θ表示向量A→和B→之间的夹角。
根据数量积的计算公式，可以得到一些重要的性质：1. 若A→·B→=0，则向量A→和B→垂直。
2. 若A→·B→>0，则向量A→和B→的夹角为锐角。
3. 若A→·B→<0，则向量A→和B→的夹角为钝角。
平面向量的运算法则
平面向量的运算法则平面向量是二维的有方向和大小的量，通常用箭头表示。
在平面上，我们可以进行平面向量的加法、减法、数乘、点乘和叉乘等运算，下面将详细介绍这些运算法则。
1.平面向量的加法：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其加法运算为：⃗A+⃗B=⃗C，其中C是由A和B的箭头所形成的三角形的对角线的向量。
加法满足以下性质：-交换律：⃗A+⃗B=⃗B+⃗A-结合律：(⃗A+⃗B)+⃗C=⃗A+(⃗B+⃗C)2.平面向量的减法：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其减法运算为：⃗A-⃗⃗B=⃗C，其中C是由A的箭头指向B的箭头所形成的三角形的对角线的向量。
3.平面向量的数乘：设有平面向量A和实数k，表示为⃗A和k，其数乘运算为：k⃗A=⃗B，其中B的大小等于A的大小乘以k，方向与A相同（若k>0），或相反（若k<0）。
数乘满足以下性质：- 结合律：k(l⃗A) = (kl)⃗A-分配律：(k+l)⃗A=k⃗A+l⃗A4.平面向量的点乘（数量积）：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其点乘运算为：⃗A · ⃗B = ABcosθ，其中A和B的夹角θ的余弦值等于点乘结果与两个向量大小的乘积的商。
点乘满足以下性质：-交换律：⃗A·⃗B=⃗B·⃗A-结合律：(⃗A+⃗B)·⃗C=⃗A·⃗C+⃗B·⃗C-数乘结合律：(k⃗A)·⃗B=k(⃗A·⃗B)特殊情况下：-若⃗A与⃗B垂直，即⃗A·⃗B=0，则称⃗A与⃗B是正交的或垂直的。
-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B>0，则夹角θ为锐角。
-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B=0，则夹角θ为直角。
-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B<0，则夹角θ为钝角。
5.平面向量的叉乘（向量积）：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其叉乘运算为⃗A × ⃗B = nABsinθ⃗n，其中n为垂直于A和B所在平面的单位向量，θ为A和B 的夹角。
平面向量的基本运算
平面向量的基本运算平面向量是研究平面上的几何对象之一，它具有大小和方向。
平面向量可以进行一系列的基本运算，包括向量的加法、减法、数量乘法以及点积与叉积等。
本文将介绍平面向量的基本运算方法及其应用。
一、向量的加法向量的加法指的是将两个或多个向量相加得到一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
具体而言，设有向量 a 和 b，它们的坐标表示分别为 (x1, y1) 和 (x2, y2)，则它们的加法定义为：a +b = (x1 + x2, y1 + y2)例如，若有向量 a = (2, 3) 和 b = (1, -2)，则 a + b = (2 + 1, 3 + (-2)) = (3, 1)。
二、向量的减法向量的减法指的是将两个向量相减得到一个新的向量。
设有向量 a和 b，它们的坐标表示分别为 (x1, y1) 和 (x2, y2)，则它们的减法定义为：a -b = (x1 - x2, y1 - y2)例如，若有向量 a = (2, 3) 和 b = (1, -2)，则 a - b = (2 - 1, 3 - (-2)) = (1,5)。
三、数量乘法数量乘法指的是将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
设有向量 a 和实数 k，它的坐标表示为 (x, y)，则它的数量乘法定义为：k * a = (k * x, k * y)例如，若有向量 a = (2, 3) 和实数 k = 3，则 k * a = (3 * 2, 3 * 3) = (6,9)。
四、点积与叉积点积是向量运算中的一种运算方法，用于计算两个向量之间的夹角。
设有向量 a 和 b，它们的点积定义为：a ·b = |a| * |b| * cosθ其中，|a| 和 |b| 分别表示向量 a 和 b 的模长，θ 表示 a 和 b 之间的夹角。
叉积是向量运算中的另一种运算方法，用于计算两个向量所得到的面积。
设有向量 a 和 b，它们的叉积定义为：a ×b = |a| * |b| * sinθ * n其中，|a| 和 |b| 分别表示向量 a 和 b 的模长，θ 表示 a 和 b 之间的夹角，n 表示 a 和 b 所在平面的法向量。
平面向量的运算法则
平面向量的运算法则在数学中，平面向量是具有大小和方向的量，常用箭头表示。
平面向量有许多运算法则，包括相加、相减、数量乘法等。
1. 平面向量的表示方法平面向量通常用坐标表示，形式为 (x, y) 或 i*x + j*y，x、y分别表示向量在x轴和y轴上的分量，i和j是单位向量。
2. 平面向量的相加设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。
则 A + B 的坐标表示为 (x1 + x2, y1 + y2)。
3. 平面向量的相减设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。
则 A - B 的坐标表示为 (x1 - x2, y1 - y2)。
4. 平面向量的数量乘法设有一个平面向量 A，A 的坐标表示为 (x, y)，k 为实数。
则 kA 的坐标表示为 (k*x, k*y)。
5. 平面向量的数量除法设有一个平面向量 A，A 的坐标表示为 (x, y)，k 为非零实数。
则A/k 的坐标表示为 (x/k, y/k)。
6. 平面向量的数量积设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。
两个向量的数量积为 A·B = x1*x2 + y1*y2，是一个数量。
7. 平面向量的向量积设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。
两个向量的向量积为 A×B = x1*y2 - x2*y1，是一个向量。
8. 平面向量的模长一个平面向量 A 的模长表示为 |A|，计算公式为|A| = √(x^2 + y^2)，其中 x 和 y 分别为向量 A 在 x 轴和 y 轴上的分量。
9. 平面向量的数量积与夹角设有两个非零平面向量 A 和 B，它们之间的夹角θ 满足以下公式：cosθ = (A·B) / (|A|*|B|)。
平面向量基本公式大全
平面向量基本公式大全平面向量是二维空间中的量，可以表示平面上的位移、速度、加速度等物理量。
平面向量的运算和性质有很多，下面是一些平面向量的基本公式。
1.平面向量的定义：设有平面内两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则点A到点B的位移向量可以表示为：AB=(x2-x1,y2-y1)。
2.平移：若有向量AB，向量AC的表示式为：AC=AB+BC。
3.等比例划分：若有向量AB，其等比例划分的点是M，AM:MB=λ:μ，则向量AM和向量MB满足：AM=(λ/(λ+μ))AB，MB=(μ/(λ+μ))AB。
4.向量的共线性：若有向量AB和CD，若存在实数k，使得AB=kCD，则称向量AB和CD 共线。
5.向量的平行性：若有向量AB和CD，若存在实数k，使得AB=kCD，则称向量AB和CD 平行。
6.向量的加法：若有向量AB和CD，则AB+CD=AD。
7.向量的减法：若有向量AB和CD，则AB-CD=AD。
8.向量的数量积：设有向量A(x1,y1)和B(x2,y2)，其数量积AB=x1x2+y1y29.向量的模长：设有向量A(x,y)，其模长，A，=√(x^2+y^2)。
10.向量的单位向量：设有非零向量A(x,y)，其单位向量A'=A/，A。
11.向量的夹角：设有非零向量A和B，其夹角θ满足：cosθ = (A·B)/(，A，B，)。
12.向量的垂直性：若有向量A和B，若A·B=0，则称向量A和B垂直。
13.平面向量的线性相关性：若有向量A和B，若存在实数k，使得A=kB，则称向量A和B线性相关。
14.平面向量的线性无关性：若有向量A和B，若只有当k=0时，A=kB，任意实数k都无法使得A=kB，则称向量A和B线性无关。
15.平面向量的正交基：若有向量A和B，若A·B=0，并且，A，≠0，B，≠0，则称向量A和B为正交基。
16.平面向量的投影：若有向量A和B，其夹角为θ，则A在B上的投影长度为：，Acosθ。
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算一、平面向量的坐标表示平面向量是有大小和方向的量，可以用坐标来表示。
在平面直角坐标系中，以原点为起点，终点为点(x,y)的向量可以表示为：AB = xi + yj其中，i和j分别为x轴和y轴的单位向量。
x和y分别为该向量在x轴和y轴的投影长度。
二、平面向量的运算1. 向量的加法设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的和为：AB + CD = (a1 + b1)i + (a2 + b2)j即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相加得到新向量的x轴分量和y轴分量。
2. 向量的减法设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的差为：AB - CD = (a1 - b1)i + (a2 - b2)j即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相减得到新向量的x轴分量和y轴分量。
3. 向量的数量乘法设有一个向量AB = ai + bj，k为实数，则数量乘法的结果为：k * AB = (k * a)i + (k * b)j即将向量的x轴分量和y轴分量都乘以数k得到新向量的x轴分量和y轴分量。
4. 向量的点积设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的点积为：AB · CD = a1b1 + a2b2即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相乘，然后再相加得到一个数。
5. 向量的叉积设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的叉积为：AB × CD = (a1b2 - a2b1)k其中，k为垂直于平面的单位向量。
三、平面向量的应用平面向量的坐标表示与运算在几何学、力学、电磁学等领域中有着广泛的应用。
1. 几何学中，平面向量的坐标表示可以简化向量的计算，方便求解几何问题，如求解两条直线之间的夹角、判断两个向量是否垂直等。
2. 在力学中，平面向量的坐标表示与运算常用于描述物体的受力情况。
平面向量知识点整理
平面向量知识点整理平面向量是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。
下面是关于平面向量的知识点整理。
一、平面向量的定义和表示平面向量是指在平面上一个具有大小和方向的量。
平面向量可以表示为箭头，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
平面向量通常表示为有序对(a,b)，其中a和b是实数。
二、平面向量的运算1.加法：平面向量的加法运算是指将两个向量相加得到一个新的向量。
加法运算满足交换律和结合律。
2.数乘：将一个向量乘以一个标量得到一个新的向量，标量可以是实数。
数乘的结果是将向量的大小和方向进行相应的调整。
3.减法：将一个向量减去另一个向量等于将第二个向量取相反数后与第一个向量相加。
减法运算可以转化为加法运算。
三、平面向量的性质1.平行向量：两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
平行向量的大小可以不同。
2.零向量：大小为零的向量称为零向量，用0表示。
任何向量与零向量相加的结果仍为原向量本身。
3.负向量：一个向量的大小和方向相同但方向相反的向量称为它的负向量。
4.共线向量：两个或更多个向量都平行于同一条直线时，它们是共线向量。
5.非共线向量：不在同一直线上的向量是非共线向量。
6. 数量积：两个非零向量a和b的数量积（也称为点积或内积）是一个标量，定义为a·b= ，a，，b，cosθ，其中，a，和，b，分别表示向量a和向量b的模长，θ表示两个向量之间的夹角。
7. 向量积：两个非零向量a和b的向量积（也称为叉积或外积）是一个向量，定义为 a × b = ，a，，b，sinθ n，其中，a，和，b，分别表示向量a和向量b的模长，θ表示两个向量之间的夹角，n为一个与a和b都垂直的单位向量。
8.向量共线条件：两个向量共线的充要条件是它们的向量积等于零向量。
四、平面向量的应用1.几何问题：平面向量可以用于解决距离、角度等几何问题，如计算点的坐标、计算直线的夹角等。
2.物理问题：平面向量常用于物理学中的力学问题，如计算物体的合力、分解力等。
平面向量的运算如何进行平面向量的加减乘除运算
平面向量的运算如何进行平面向量的加减乘除运算平面向量是描述平面上的有向线段的数学工具，具有大小和方向。
在平面向量的运算中，常见的操作包括向量的加法、减法、数量乘法和除法。
下面将详细介绍平面向量的运算方法。
一、平面向量的加法平面向量的加法是将两个向量的对应元素进行相加的运算。
设有向量A = (x1, y1)和向量B = (x2, y2)，则向量A和向量B的和为向量C = (x1 + x2, y1 + y2)。
例子：已知向量A = (1, 2)，向量B = (3, 4)，求向量A和向量B的和。
解：向量A和向量B的和为向量C = (1 + 3, 2 + 4) = (4, 6)。
二、平面向量的减法平面向量的减法是将两个向量的对应元素进行相减的运算。
设有向量A = (x1, y1)和向量B = (x2, y2)，则向量A和向量B的差为向量C = (x1 - x2, y1 - y2)。
例子：已知向量A = (1, 2)，向量B = (3, 4)，求向量A和向量B的差。
解：向量A和向量B的差为向量C = (1 - 3, 2 - 4) = (-2, -2)。
三、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法是指一个向量与一个实数的乘法运算。
设有向量A = (x, y)和实数k，则向量A乘以实数k的结果为向量B = (kx, ky)，即向量A的每个元素分别乘以实数k。
例子：已知向量A = (3, 4)，求向量A乘以实数2的结果。
解：向量A乘以实数2的结果为向量B = (2 × 3, 2 × 4) = (6, 8)。
四、平面向量的除法平面向量的除法并没有直接定义，因为除法运算在平面向量中没有明确的意义。
平面向量的运算主要是通过加法、减法和数量乘法来实现。
如果需要进行向量的除法运算，一般可以通过乘以倒数的方式来实现。
即将除法转化为乘法运算。
例子：已知向量A = (4, 6)，求向量A除以实数2的结果。
解：向量A除以实数2的结果可以通过将实数2转化为倒数的方式来实现，即向量A除以实数2可以表示为向量A乘以实数1/2。
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高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
解析 如图，建立空间直角坐标系 Dxyz， 设 DA＝1，由已知条件得
A(1,0,0)，E1，1，13， F0，1，23，A→E＝0，1，13，A→F＝－1，1，23，
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高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
4．在三棱锥 P－ABC 中，PA⊥平面 ABC，∠BAC＝90°， D，E，F 分别是棱 AB，BC，CP 的中点，AB＝AC＝1，PA ＝2，则直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为( )
1 25 5 2 A.5 B. 5 C. 5 D.5
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高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
解析 以 A 为原点，AB，AC，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由 AB＝AC ＝1，PA＝2，得 A(0，0,0)，B(1，0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)， D12 ，0,0 )，E12，21，0，F0，12，1，∴P→A＝(0,0，－2)，D→E ＝0，12，0，D→F＝－12，12，1.
∴A→1D＝(0,1，－1)， A→1E＝1，0，－12，
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高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
设平面 A1ED 的一个法向量为 n1＝(1，y，z)，
则n1·A→1D＝0， n1·A→1E＝0，
y－z＝0， 即1－21z＝0，
∴yz＝＝22.， ∴n1＝(1,2,2)． 又平面 ABCD 的一个法向量为 n2＝(0,0,1)， ∴cos〈n1，n2〉＝3×2 1＝23. 即所成的锐二面角的余弦值为23.故选 B.
(1)设 P 是C︵E上的一点，且 AP⊥BE，求∠CBP 的大小； (2)当 AB＝3，AD＝2 时，求二面角 E－AG－C 的大小．
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高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
解 (1)因为 AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP⊂平面 ABP， AB∩AP＝A，所以 BE⊥平面 ABP.
又 BP⊂平面 ABP，所以 BE⊥BP. 又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°. (2)以 B 为坐标原点，分别以 BE，BP，BA 所在的直线 为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
1＝ 2
22，∴〈m，n〉
＝45°.
∴二面角为 45°或 135°.故选 C.
2
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
2．[2018·金华模拟]在空间直角坐标系 Oxyz 中，平面 OAB 的一个法向量为 n＝(2，－2,1)，已知点 P(－1,3,2)，则 点 P 到平面 OAB 的距离 d 等于( )
可得2x1x＋1－33zy11＝＝00，.
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高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
取 z1＝2，可得平面 AEG 的一个法向量 m＝(3，－ 3， 2)．
设 n＝(x2，y2，z2)是平面 ACG 的一个法向量，
由n·A→G＝0， n·C→G＝0，
可得x22x＋2＋33zy22＝＝00.，
取 z2＝－2， 可得平面 ACG 的一个法向量 n＝(3，－ 3，－2)．
设平面 AEF 的法向量为 n＝(x，y，z)， 面 AEF 与面 ABC 所成的锐二面角为 θ，由图知 θ 为锐
n·A→E＝0， 角，由
n·A→F＝0，
得y＋13z＝0， －x＋y＋23z＝0.
令 y＝1，z＝－3，x＝－1，则 n＝(－1,1，－3)，平面
ABC 的法向量为 m＝(0,0，－1)，cosθ＝|cos〈n，m〉|＝31111，
3
3 .
底面积
S △ BCD ＝
3 4
×( 2)2＝ 23，故其体积为13× 23×233＝13.故选 A.
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高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
2．已知正四棱锥 S－ABCD 的侧棱长与底面边长都相
等，E 是 SB 的中点，则 AE，SD 所成角的余弦值为( )
A.13
B.
2 3
C.
3 3
D.23
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高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
取 z＝2，得 n＝(2，－1,2)． 从而 cos〈n，B→A〉＝|nn|·|BB→→AA|＝3×4 2＝23， 所以平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为23.
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高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
10．[2017·山东高考]如图，几何体是圆柱的一部分，它 是由矩形 ABCD(及其内部)以 AB 边所在直线为旋转轴旋转 120°得到的，G 是D︵F的中点．
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高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
∴A→F＝(－1,2,0)，E→C＝(0,2,1)，
∴cos〈A→F，E→C〉＝|AA→→FF|·|EE→→CC|＝
4 5×
5＝45，
∴AF 与 CE 所成角的余弦值为45.
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高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
7.正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1 的 底面边长为 2，侧棱长为 2 2，则 AC1 与侧面 ABB1A1 所成
8
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
设平面 DEF 的法向量为 n＝(x，y，z)， 则由nn··DD→→FE＝＝00，， 得y－＝x0＋，y＋2z＝0， 取 z＝1，则 n＝(2,0,1)，设 PA 与平面 DEF 所成的角为 θ， 则 sinθ＝||P→P→AA|·|nn||＝ 55，∴PA 与平面 DEF 所成角的正弦 值为 55.故选 C.
3．[2018·邯郸模拟]如图所示，已知正方体 ABCD－ A1B1C1D1，E，F 分别是正方形 A1B1C1D1 和 ADD1A1 的中心， 则 EF 和 CD 所成的角是( )
A．60° C．30°
B．45° D．135°
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高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
解析 以 D 为原点，分别以射线 DA，DC，DD1 为 x 轴、y 轴、z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系 Dxyz，设正 方 体 的 棱 长 为 1 ， 则 D(0,0,0) ， C(0,1,0) ， E 12，21，1 ， F12，0，12，
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高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
6.如图，在正方形 ABCD 中，EF∥AB，若沿 EF 将正方 形折成一个二面角后，AE∶ED∶AD＝1∶1∶ 2，则 AF 与
4 CE 所成角的余弦值为____5____．
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高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
解析 ∵AE∶ED∶AD＝1∶1∶ 2，∴AE⊥ED，即 AE， DE，EF 两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系， 设 AB＝EF＝CD＝2，则 E(0,0,0)，A(1,0,0)，F(0,2,0)，C(0， 2,1)，
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高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
E→F＝0，－12，－12， D→C＝(0,1,0)， ∴cos〈E→F，D→C〉＝|EE→→FF|·|DD→→CC|＝－ 22， ∴〈E→F，D→C〉＝135°，∴异面直线 EF 和 CD 所成的角 是 45°.故选 B.
6
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
线 AC1 与平面 ABB1A1 所成的角为 θ，
则
cosθ＝|AA→→CC11|·|AA→→CC22|＝12＋30×＋38＝
3 2.
又 θ∈0，π2，所以 θ＝π6.
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8．[2018·福州质检]已知点 E，F 分别在正方体 ABCD －A1B1C1D1 的棱 BB1，CC1 上，且 B1E＝2EB，CF＝2FC1，
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板块四 模拟演练·提能增分
1
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
[A 级 基础达标] 1．已知两平面的法向量分别为 m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)， 则两平面所成的二面角为( ) A．45° B．135° C．45°或 135° D．90°
解析
∵cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝
22
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
解 (1)证明：如图，取 AE 的中点 H，连接 HG，HD， 又 G 是 BE 的中点，
所以 GH∥AB，且 GH＝12AB. 又 F 是 CD 的中点，所以 DF＝12CD.
23
高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
由四边形 ABCD 是矩形得，AB∥CD，AB＝CD，所以 GH∥DF，且 GH＝DF，
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高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
由题意得 A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1， 3，3)，C(－1， 3，
0)，
故A→E＝(2,0，－3)，A→G＝(1， 3，0)，C→G＝(2,0,3)．
设 m＝(x1，y1，z1)是平面 AEG 的一个法向量，
由m·A→E＝0， m·A→G＝0，
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高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
因为 AB⊥平面 BEC，所以B→A＝(0,0,2)为平面 BEC 的法 向量．
设 n＝(x，y，z)为平面 AEF 的法向量． 又A→E＝(2,0，－2)，A→F＝(2,2，－1)，
由n·A→E＝0， n·A→F＝0，
得22xx－＋22zy＝－0z＝，0，
从而四边形 HGFD 是平行四边形，所以 GF∥DH. 又 DH⊂平面 ADE，GF⊄平面 ADE，所以 GF∥平面 ADE.
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高考一轮总复习 ·数学[理]（经典版）
(2)如图，在平面 BEC 内，过 B 点作 BQ∥EC.因为 BE ⊥CE，所以 BQ⊥BE.
又因为 AB⊥平面 BEC，所以 AB⊥BE，AB⊥BQ. 以 B 为原点，分别以B→E，B→Q，B→A的方向为 x 轴，y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 A(0,0,2)，B(0,0,0)， E(2,0,0)，F(2,2,1)．