等分除与包含除的区分
“等分除”和“包含除”引发的教学思考
“等分除”和“包含除”引发的教学思考作者：吴润洪来源：《小学教学参考(数学)》2019年第05期我校一位青年教师在讲授青岛版教材二年级下册“表内除法”时，有两道题让他犯难了。
题一：请画图表示12[÷]3。
以下是学生的几种典型画法：画法1：画12个圆圈，将每4个圈作1堆，共分为3堆。
画法2：画12个圆圈并将它们分为4堆，每堆3个。
画法3：画12个圆圈，3个3个圈起来。
单看画法1和画法2，更像乘法算式的图例，完全没有除法算式的痕迹。
如果判学生错，可课本上又有既可列出乘法算式又可列出除法算式的图示。
形如这样的“双关图”，课本上随处可见，这揭示了乘法与除法之间的互逆关系，那么学生这样作图也无可厚非。
题二：15[÷]3不但能表示将15等分成（）份，每份是（），而且能表示15里面有（）个（）。
按照参考答案，第一层含义学生很容易想到，第二层含义理应是15里面包含（5）个（3），而非（3）个（5），多数学生在此处栽跟头。
就算教师细致解析后，仍有不少学生受乘法含义的负迁移影响，认为原式解读为15里面包含有3个5或5个3都说得通。
针对此争议，教师也是各执一词。
一、两种分法引起的分歧观点一：之所以出现上述分歧，归咎于教师教学时没有教会学生分辨“等分除”和“包含除”。
教师应沿用旧版教材的做法，将“等分除”和“包含除”分开讲授，而且要让学生严格区分，做到泾渭分明，绝不含糊其辞，这样分歧就会消除。
观点二：既然新教材没有将“等分除”和“包含除”区别开来，那么在教学中教师也不应自找麻烦，给学生增加学习负担。
因此对于题一，各种画法均无不可，不同画法刚好体现了学生个性;题二中的“另类”填法，也有一定的合理性，不应全盘否定。
二、产生分歧的根本原因教师之所以相持不下，症结就在于教学重点不一致;而学生的回答千差万别，也归因于对除法的含义理解有偏差。
因此，笔者认为有必要管控分歧，统一意见，进一步厘清“除法的含义”的教学思路。
《小学数学教材中的大道理》读后感
《小学数学教材中的大道理》读后感《小学数学教材中的大道理》读后感1 张奠宙等人所著的《小学数学教材中的大道理》，是一本探讨小学数学中核心概念的文集，也是一本深入浅出的、平易近人的教师的案头书。
教材是根据学科课程标准系统阐述学科内容的教学用书，是教师教学与学生学习的依据。
相信老师们都有这样的感受：尽管小学数学教材难度不大，但要真正教好并非易事，因为教材中的许多知识点具有丰富的数学背景和内涵。
如何在课堂上用通俗易懂的语言解释给学生，同时做到“混合不错”，一直困扰着广大小学数学教师——真可谓“小”数学中也有“大”道理。
书中直面教学中的两个基本问题——“教什么”和“如何教”，以现代数学观点、批判性视角对现行教材内容编排进行评述，不仅对一线教师理解教材具有启发作用，更对推进小学数学教材建设作出深入思考。
它系统梳理了小学数学中的核心概念，指出日常教学中易混淆、易忽视之处，为一线教师合理使用教材、改进教学提供了宝贵建议；它汇聚了数十位数学教育界专家学者、资深教研员、一线教师的智慧与力量，为促进一线教师提升教育理论素养、改进教学实践水平提供全面丰富的指导。
很多时候我们对教材的教学内容和内容的呈现方式有质疑，会怀疑是否教材本身就存在问题，部分疑问可以通过《教师用书》和网络查询等得以解惑。
读《小学数学教材中的大道理》后我们可以解开教材中的一个一个谜团，比如方程意义这一课，张教授指出教科书上写“方程是含有字母的一种等式”是可以的，反过来认为所有“含有字母的等式都是方程”就不对了，“含有字母的等式叫方程”不能当作严格的定义来看待，如果非要拿它当作基本出发点判断是非，硬要人们承认X=1是方程之类，恐怕是没有意义的自我折腾。
一个对象的定义最好能够帮助人们进行理解。
正如认识一个人，光靠一张照片是不够的，最好有一份简历。
书中也指出了我们数学教材中的很多不足，比如教材在除法、分数、比部分编写忽视了包含除。
在分数的意义开始出示两副图让学生理解分数是在实际度量和平均分中产生的，但是教材在后续的编排中只强调了“平均分”却忽视了“度量”，始终没有回答“剩余绳子不足一节，怎么记”等等。
小学阶段数学全部名词概念和知识要点
小学阶段数学全部名词概念和知识要点【数学】数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。
它是一门内容非常丰富、分支学科纵横交织的基础学科。
目前，小学数学的内容，除了精选一些传统的算术内容外，还适当地增加了部分代数、几何及统计方面的内容，并渗透了一些现代数学的及统计方面的思想。
【算术】算术是数学的一个分支，小学数学教材的主要内容是算术部分的知识。
它是一门研究数的性质、关系及运算的学科，主要包括整数、小数、分数、百分数、比和比例等内容。
【数】用来表示“多少”或“第几”的叫做数，它是数学上最基本的概念之一。
数的概念是在人类生产和生活的实践中逐渐形成和发展起来的。
【数字】用来记数的符号叫做数字。
在数学中常用的有中国数字和阿拉伯数字两种。
【中国数字】中国数字是我国汉字中常用的数字。
有大写和小写两种。
大写：零、壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、佰、仟、万、亿……等。
小写：O、一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……等。
【阿拉伯数字】1、2、3、4、5、6、7、8、9、0叫做阿拉伯数字，它们是现在世界上各国通用的数字。
【数数】数数也叫做计数，也就是数物体的个数。
当我们想知道某一物体的数量时，总是手指着一个一个的物体，口念着自然数里的1、2、3、4…等等，和所指的物体一一对应。
只要是不遗漏，也不重复，数到最后一个物体所对应的那个数就是数的结果。
这个过程就叫做数数。
【自然数】在数物体的个数的过程中，数出的0，1，2、3.4…都叫做自然数。
“1”是自然数的单位。
任何自然数都是由若干个＂1”组成的。
自然数有无限多个。
0是最小的自然数，但是没有最大的自然数。
【自然数列】从“0＂起，把自然数按照从小到大的顺序排列起来，就得到一列数：0、1、2、3、4、5..……这个依次排列着的全体自然数的集合，叫做自然数列。
在自然数列中，排在最前面的一个自然数是“0＂，并且每个自然数都有且只有一个后继数（紧挨在后面的数）。
除法的初步认识精讲复习
每份
份数
总数
求３个２相加
２×３＝６（只）
9
包含除
总数
小红要写40个大字，每天写8个，
需要写几天？
每份数
份数 40里面包含着几个8
40 8 = 5（天）
10
总数
等分除
Байду номын сангаас
植树节要种56棵 每行要种几棵？
，要种8行，
份数
每份数
把56平均分成8份，求每份是几。
56 8 = 7（棵）
11
除法
等分除法
(平均分）
大家好
1
除法的初步认识
（复 习 课）
2
除法
等分除法
(平均分）
包含除法
(圈一圈）
把12个苹果平均分成3份， 每份4个。
12 ÷ 3 ＝ 4
总数 分数 每份数
12个苹果，每3个一份， 可以分成4份。
12 ÷ 3 ＝ 4
总数 每份数 份数
3
活动一：讲故事，认识“等分除”和“包含除”
除法
等分除法
(平均分）
总数÷份数=每份数
包含除法
(圈一圈）
总数÷每份数=份数
12
活动三：我挑战，我快乐！
13
每辆车上有2只小动物，3辆车上共有（ 6 ）只小动物。
2 3 = 6（只）
6只小动物坐3辆车，平均每辆车上有（ 2 ）只小动物。
6 3 = 2（只）
6只小动物，每2只小动物坐一辆车，需要（ 3 ）辆车。
6 2 = 3（只）
36 9 = 4（页）
6
等分除
总数
小明有16个
，平均分给4个小
朋友，每个小朋友分几个？
论小学数学教材中等分除、包含除的关系
论小学数学教材中等分除、包含除的关系作者：佘丹来源：《教育周报·教育论坛》2019年第33期在小学阶段，关于除法和分数的教学中，我们最常用的情境就是“平均分物”，例如：（1）把12个竹笋平均放在4个盘子里，每盘放几个？列式为 12÷4=3（个）（2）把12个竹笋分给一些人，每人分3个，可以分给几个人？列式为 12÷3=4（个）这两道题是不同意义的除法，在总数是12的前提下，问题1是知道平均放在4个盘子里，即知道分的份数，用除法计算出每份是多少，我们称之为“等分除”;问题2则是知道每份是多少以后，求平均分到了几个盘子里，即总数里包含了多少份，我们称之为“包含除”。
这两种除法是同一个“平均分物”数学模型所产生的，地位平等。
而所谓除法，是乘法的逆运算，是指“已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。
”我们再回头看分竹笋的情境中，竹笋总数=份额×盘数。
参与平均分的盘数和每盘的数量，是构成竹笋总数这一乘积的两个平等因数。
这样一来，从除法意義上来讲，等分除和包含除，是同一个情境里的两类互相依存的除法问题，或者说他们是一对双胞胎，关系密不可分。
又例如四年级数学教材中所学的的这个数量关系式：总价=单价×数量这两个基本关系都涉及到两个平等的因数相乘，两个基本关系式的变化形式有单价=总价÷数量数量=总价÷单价这两个变式就是等分除和包含除，可以看出两类除法在解决问题中的应用也是均衡的。
首先，等分除和包含除在数学教材和教学中的地位是平等的。
以下是等分除和包含除在人教版教材中的编排，我将教材中的例题进行了归类，总结起来，7道例题9个问题中有4个等分除和5个包含除。
基本上两种除法在除法的运用中，地位是平等的。
我认为我们现在使用的这套人教版教材对于两类除法的处理就很好，如二年级下册教材23页中的例题，将两种除法编排在同一页，进行对比区分，并发现他们之间的联系，这样处理就很好地帮学生理解两者。
《小学数学教材中的大道理》读后感
《小学数学教材中的大道理》读后感《小学数学教材中的大道理》读后感1本书针对目前教材中概念教学部分存在的问题、缺失，以及如何改进，进行了深入的思考。
整本书分五个部分，共27个课题，每个课题聚焦一个核心概念，由“原始文稿”、“一线回声”和“数方夜谈”三篇文章组成。
其中“原始文稿”是张奠宙先生针对教材中存在的问题撰写的评论，是关于核心概念的理解，这一板块属于思辨层面；“一线回声”是一线教师结合自己的教学实践和体悟，评述先生的文章，或赞成或反对，很多文章附了教学案例实践先生的观点，这一板块属于实践层面；“数方夜谈”是先生、高校教师、教研员和一线老师之间的交流和对话，对核心概念进一步理解与探讨，对实践层面进一步思考和追问，属于理论与实践综合层面。
一个主题，三篇文章，从不同的侧面对小学数学的核心概念深度剖析。
精彩分享：1、除法和分数教学，最常用的情境是“平均分物”。
例如，将一些饼干平均分给小朋友。
这一数学模型涉及两种除法，俗称“等分除”和“包含除”。
但是我国的除法教学和教材编写，都畸形地偏向等分除，以致形成了片面的思维定势，这对于培养学生分析问题和解决问题的能力非常不利。
2、所谓除法，是指“已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算”。
这两个因数的地位平等。
例如，在分饼干的情境中，饼干总数=人数×份额。
参与平均分的'人数和每人分得的数量，是构成饼干总数这一乘积的两个地位平等的因素。
这样一来，从除法的意义进行分析，等分除和包含除乃是同一个情境里两类互相依存的除法问题。
可以说二者是一对“孪生兄弟”，彼此密切相关。
3、如果我们随意问学生：“什么时候要用除法？”多半的回答只是把一些东西平均分给几个人，除一下，就知道每人分得多少了。
这就是说，绝大多数学生把除法等同于等分除了。
一对“孪生兄弟”，偏爱一个。
读后感悟：第一次认识“等分除”和“包含除”，并不是在课本里，而是在教学除法时，办公室老师一起讨论时从前辈们口中听来的。
包含分和等分对比
平均分——包含分 圈一圈
除法计算
作业：完成我爱写作业第10页。
3 有12个桃子，每只小猴分3个桃子，可以分给几只小猴？
3
3 12 ÷ 3 = 4（只）
总
每
份
数
份 数
数
口答：可以分给4只小猴。 聪明的小朋友，谢谢你的帮助。
3
12 ÷ 3 = 4（只）
总
每
份
数
份
数
数
口答：可以分给4只猴子。
对比上面的式子，你 知道下面式子各部分 表达的含义是什么吗？
5 读一读，圈一圈。 （1）10÷2=5 （2）15÷3=5
先读一读除法算式，根据除法算式，动手圈 一圈，并说一说算式中每个数表示的意思。
分法一：10÷2=5 海 每份 螺 份数 总的 数海 螺 数
分法二：10÷2=5 海 份每 螺 数份 总的 数海 螺 数
读作：10除以2等于5
分法一： 15÷3=5 总 每份 数 份数 数
...
12 ÷ 总 数
...
3= 每 份 数
...
4（只） 份 数
平均分方法一：等分 平均分方法二：包含分 重点：虽然等分，包含分方法不同，但都是平均分。只要
是平均分，可以用除法算式来解答。
被除数÷除数=商
包含分：除法练习
1.我会填。
8里面有（ 4）个2 列式：8÷ 2 =4
15里面有（ 3）个5 列式：15÷ 5 =3
等分：除法练习
请学生根据图片猜一猜小精灵想怎样分橘子？
8÷2=4（个） √ 8÷4=2（盘）
小精灵列出了两个算 式，说说哪个算式对 呢？为什么？
等分与包含分对比练习先说一ຫໍສະໝຸດ 图意，再写除法算式。6÷3=2
教育论文：小学二年级学生用除法解决问题的典型错误与解决对策
教育论文：小学二年级学生用除法解决问题的典型错误与解决对策【摘要】二年级学生学习表内除法时，主要体会除法运算的含义，以及用除法运算解决简单的实际问题。
学生经常出现“除法运算与其他运算混淆”“条件信息与问题混淆”“等分除与包含除混淆”等典型错误。
教学时，可以通过“由点到面，梳理四则运算之间的意义关系”“凸显数量关系，从理解意义到提炼结构”“立足关联，重视数学模型建立”等对策为学生答疑解惑。
【关键词】除法；解决问题；典型错误；对策除法是重要的四则运算之一。
二年级学生学习表内除法时，要体会除法运算的含义，并学习用除法运算解决简单的实际问题。
从教材编排来看，“除法的初步认识”分为两个层次。
一是通过“每份同样多”的实例和活动情境，帮助学生建立“平均分”的概念。
教材通过让学生参与平均分的活动, 认识平均分的两种不同情况：等分和包含。
二是在建立“平均分”概念的基础上引出除法运算的含义。
除法运算包括“等分除”和“包含除”两种情况。
然而，由于二年级学生初学除法运算的含义，他们在用除法解决实际问题时，经常会出现“除法运算与其他运算混淆” ”条件信息与问题混淆” “等分除与包含除混淆”等典型错误。
可基于学生的这些错误，有针对性地提出相应的对策。
【错误类型一】思维定式，造成除法运算与其他运算混淆图1是检测练习中的一组题目，解决问题中既有乘法，又有除法与减法。
学生在一年级学习了加法和减法，二年级上册的学习内容主要是乘法，二年级下册的学习内容主要是除法。
在解决问题中情境的相似性容易让学生产生思维定式，造成运算混乱。
如图1中，学生解决第（4）题时就用了除法运算。
这说明其对除法含义理解不透彻，对四则运算意义没能很好地进行辨析。
图1【对策】由点到面，梳理四则运算之间的意义关系教材中“除法”是通过“直观或操作一文字叙述一算式” 的方式编排的。
在实际教学中教师需要根据学情进行调整，让学生在理解除法含义的基础上，整体构建加减乘除四则运算之间的联系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
正兴镇小学 杨承益
８÷２表示把（ ）平均分成 （ ）份，每份是（ ）；还表示 ８里面有（ ）个（ ）。
。 ８÷２表示把（8）平均分成（2）份，每份是
（4）；还表示８里面有（2）个（4） ８÷２表示把（8）平均分成（2）份，每份是
（4）；还表示８里面有（4）个（2）。
说一说你是怎样想的？
× ×。 ８÷２表示把（8）平均分成（2）份，每份是
（4）；还表示８里面有（2）个（4） ８÷２表示把（8）平均分成（2）份，每份是 ×
（4）；还表示８里面有（4）个（2）。
谁是完全正确的？你能交流一下你是如何 分析解题的吗？
一、均分除
二、包含除
表示把８平均分成２份， 每份是４
表示把８按每份２个 平均分，可以分４份， 即８里面有４个２
发现：同样一个除法算式，表示的意义有两个， 一个是等分除，一个成２份， 每份是４
除数2和商4都有
表示把８按每份２个 两个身份，既可 平均分，可以分４份， 以做份数，也可 即８里面有４个２ 以做每份数。
等分除：已知总数和份数求每份数； 包含除：已知总数和每份数求份数。
练习巩固
填空：
12÷4=3表示 （
）
还表示（
）
小结
这节课你有什么收获？你还有什么 不清楚的地方？提出来，我们共同解决。
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！