八年级数学上册14勾股定理检测卷课件新版华东师大版
华东师大版初中八年级上册数学精品授课课件 第14章 勾股定理 勾股定理 1.直角三角形三边的关系
解：分两种情况.①若这两边是直角边，则斜边长是 32 42
=5，周长是3+4+5=12(厘米)；②若这两边中较长的边是斜
边，则斜边长为4厘米，所以另一直角边的长为
(厘米)，周长是
(厘米)，所42以此32三= 角7
形的周长是12厘3米或4 9.67厘=米7 . 7 9.6
3.如图，小方格都是边长为1的正方形.求四边形ABCD的面 积与周长. (精确到0.1)
解：如图所示，过点B作AD的垂线，垂足为C， 则△ABC为直角三角形，且AC=8-3+1=6，BC=6+2=8，
所以AB= 62 82 =10(千米).
答：登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离 是10千米.
C
课堂小结
勾股定理
定理
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方
验证 用拼图法验证勾股定理
1.求边长、面积，证明线段之间的 平方关系
试一试
观察右图，如果每一小方格表 示1平方厘米，那么可以得到：
正方形P的面积=___9___平方厘米； 正方形Q的面积=__1_6___平方厘米； 正方形R的面积=__2_5___平方厘米.
RA Q
B PC
我们发现，正方形P、Q、R的 面积之间的关系是_____________ ____S_P_+_S_Q_=_S_R____.
b
a
a
c
cb
c
b
c
a
a
b
证明：大正方形的面积=(a+b)2.
四个个全等的直角三角形和小正方形的面积
之和= 4 1 ab c2 2ab c2. 2
由题可知(a+b)2=2ab+c2，
2022秋八年级数学上册 第14章 勾股定理14.1 勾股定理 3直角三角形的判定授课课件华东师大版
知1－讲
例5 如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边
上的点，且AB＝4，CE＝
1 4
BC，F为CD的中
点，连结AF，AE，EF，问：△AEF是什么三
角形？请说明理由．
知1－讲
导引：直接判断EF2＋AF2与AE2的关系不太容易， 1
但由于“AB＝4，CE＝ 4 BC，F为CD的中 点”，因此可以很容易求出AF，EF，AE的 长，然后判断EF2＋AF2与AE2的关系，从而 得到三角形的形状．
知1－讲
解： (1)在△ABC中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠B＝180°－25°－65°＝90°， ∴△ABC是直角三角形．
(2)在△ABC中，∵AC2＋BC2＝122＋162＝202 ＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C为直角．
(3)∵三角形的三边长满足b2－a2＝c2， 即b2＝a2＋c2， ∴此三角形是直角三角形，且b是斜边长．
知2－讲
解： ∵AB2 + BC2 = (n2 －1)2 + (2n)2 =n4 － 2n2 + 1 + 4n2 =n4 + 2n2 + 1 =(n2 + 1) 2
想一想，为什么 选择AB2 + BC2 ？ AB、BC、CA的 大小关系是怎样 的？
=AC 2
∴△ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角.
导引：先将等式两边同时分解因式，然后通过对分 解后的式子的讨论，得出△ABC的形状．
解：
∵a2c2－b2c2＝a4－b4，
知1－讲
∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)．
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0.
(1)当a2－b2≠0时，则有c2＝a2＋b2.
【华师大版】初中八年级数学上册第14章勾股定理课件
最长边的平方，那么这个三角形是直角三角
形。最长边(c)所对的角是直）角
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a， b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
典例剖析： 设三角形三边长分别为下列各组数，试 判断各三角形是否是直角三角形
（1）7，24.，25 ；（2）a=37，b=12，c=35
锐角三角形
较短的两条边的平方和 __大_于___最长边的平方
6cm 5 7cm 2 62 72 最长边所对的角
是__锐__角__
⑴5cm
较短的两条边的平方和 钝角三角形 __小__于_最长边的平方
7cm
10cm
62 72
102
最长边所对的角是 __钝__角____
6cm ⑵
5cm 3cm
4cm
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
cb
┏
a
a2+b2=c2
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2__2_5________ AB=__2_5_______ BC=__2_0_______
AC=__1_5_______
6 2
x
X=__4___2_
x 62 22 32 4 2
B
D
小结：本节课你学到了什么？
埃 及 金 字 塔
------
你知道吗? 史料：古埃及人画直角.
据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：他们用13个 等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住 绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和 第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角 在第4个结处. 你知道这是什么道理吗?
八年级数学上册《第十四章勾股定理》单元测试卷及答案-华东师大版
八年级数学上册《第十四章勾股定理》单元测试卷及答案-华东师大版（考试时间：60分钟 总分：100分）一、选择题1．以下四组数中，是勾股数的是（ ）A ．1，2，3B ．12，13，4C ．8，15，17D ．4，5，62．在下列以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）A ． 1.5a = 2b = 3c =B ．7a = 24b = 25c =C ．345a b c =：：：：D ．9a = 12b = 15c =3．如图，一根长为5m 的竹竿AB 斜靠在竖直的墙壁上，竹竿底端B 离墙壁距离3m ，则该竹竿的顶端A 离地竖直高度为（ ）A ．2mB ．3mC ．4mD 3m4．如图，在△ABC 中，△B=90°，AB=1，BC=2．四边形ADEC 是正方形，则正方形ADEC 的面积是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．如图，在ABC 中5AB AC ==，按以下步骤作图：①以C 为圆心，CB 的长为半径作弧，交AB 于点D ；②分别以点D ，B 为圆心，大于12BD 的长为半径作弧，两弧交于点E ；③作射线CE ，交边AB 于点F ．若4CF =，则线段AD 的长为（ ）A 3B ．1C ．22D ．126．由下列各组线段围成的三角形中，是直角三角形的是（）A ．1，2，2B ．2，3，4C ．12 3 D ．22 37．用反证法证明“a b <”时应假设（ ）A ．a b >B ．a b ≥C ．a b =D ．a b ≤8．我国明代有一位杰出的数学家提出一道“荡秋千”的数学问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”其意思为：如图所示，当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺（1CE =尺），将秋千的踏板往前推两步（每一步合五尺，即10EF =尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺（5DF =尺），求这个秋千的绳索AC 有多长？（ ）A ．12尺B ．13.5尺C ．14.5尺D ．15.5尺二、填空题9．在Rt ABC 中1390BC AC B ==∠=︒，，，则AB 的长是 ．10．在△ABC 中，AB=5，BC=a ，AC=b ，如果a ，b 满足（a+5）(a-5)-b 2=0，那么△ABC 的形状是 ．11．用反证法证明：一个三角形中至少有一个角不小于60°，应先假设 ．12．如图，长方体木箱的长、宽、高分别为12cm ，4cm ，3cm ，则能放进木箱中的直木棒最长为cm ．三、解答题13．如图，在ABC 中，CD 是高，BC=7，BD=6．若DE BC ，DEC DCB ∠=∠求CE 的长．14．已知ABC 的三边长为a 、b 、c ，且a-b=8，ab=2，17c =ABC 的形状，并说明理由．15．已知：如图，直线a ，b 被c 所截，△1，△2是同位角，且△1≠△2.求证：a 不平行于b.16．在Rt ABC 中90C ∠=︒，若34a b =：：，10c =求a ，b 的长．四、综合题17．如图，在四边形ABCD 中=60A ∠︒，=90B D ∠=∠︒和BC=6，CD=4，求：（1）AB 的长；（2）四边形ABCD 的面积．18．如图，在ABC 中，AB 长比AC 长大1，15BC =，D 是AB 上一点9BD =和12CD =．（1）求证：CD AB ⊥； （2）求AC 长．19．如图，点A 是网红打卡地诗博园，市民可在云龙湖边的游客观光车站B 或C 处乘车前往，且AB＝BC，因市政建设，点C到点A段现暂时封闭施工，为方便出行，在湖边的H处修建了一临时车站（点H在线段BC上），由H处亦可直达A处，若AC＝1km，AH＝0.8km，CH＝0.6km．（1）判断△ACH的形状，并说明理由；（2）求路线AB的长．20．阅读材料，解答下面问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方2倍的三角形叫做奇异三角形．（1）理解并填空：①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定（填“是”或“不是”）奇异三角形；②若某三角形的三边长分别为17，2，则该三角形（填“是”或“不是”）奇异三角形；（2）探究：在Rt ABC中，两边长分别是a，c，且250c=则这个三角形是否是奇异a=，2100三角形？请说明理由．参考答案与解析1．【答案】C【解析】【解答】解：A 、12+22=5，32=9，5≠9，故不是勾股数；B 、42+122=160，132=169，160≠169，故不是勾股数；C 、82+152=189=172，故是勾股数；D 、42+52=41，62=36，41≠36，故不是勾股数. 故答案为：C.【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此判断.2．【答案】A【解析】【解答】解：A 、∵a=1.5，b=2，c=3∴a 2+b 2=1.52+22=6.25≠c 2=9∴以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形不是直角三角形，故此选项符合题意； B 、∵a=7，b=24，c=25 ∴a 2+b 2=72+242=625=c 2=252=625∴以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； C 、∵a△b△c=3△4△5，设a=3x ，b=4x ，c=5x ∴a 2+b 2=（3x ）2+（4x ）22=25x 2=c 2=（5x ）2=25x 2∴以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； B 、∵a=9，b=12，c=15 ∴a 2+b 2=92+122=225=c 2=152=225∴以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意. 故答案为：A.【分析】根据勾股定理的逆定理，如果三条线段的长度满足较小两条长的平方和等于最大一条长的平方，则该三角形就是直角三角形，据此一一判断得出答案.3．【答案】C【解析】【解答】解：由题意得：5m AB = 3m BC = AC BC ⊥则224m AC AB BC =-=即该竹竿的顶端A 离地竖直高度为4m 故答案为：C ．【分析】直角利用勾股定理计算即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：在△ABC 中，△B=90°由勾股定理得：AC 2=AB 2+BC 2=12+22=5 ∵四边形ADEC 是正方形 ∴S 正方形ADEC =AC 2=5 故答案为：C ．【分析】利用勾股定理求出AC 2=AB 2+BC 2=12+22=5，再利用正方形的面积公式可得S 正方形ADEC =AC 2=5。
八年级数学上册第14章勾股定理1勾股定理3反证法作业课件新版华东师大版
知识点二：用反证法证明
6．用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁 内角不互补，那么这两条直线不平行．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1＋∠2≠180°. 求证：l1与l2不平行．
证明：假设l1___∥_l2，则∠1＋∠2____＝180°，
这与____已__知_矛盾，故____假__设_不成立． ∴____l_1与__l_2_不__平__行______．
练习1.已知命题“在△ABC中，若AC2＋BC2≠AB2，则∠C≠90°”，
要证明这个命题是真命题可用反证法．其步骤为：假设_∠__C__＝__9_0_°__，根
据_勾__股__定__理__，一定有_A__C_2_＋__B_C_2_＝__A_B_，2 但这与已知___A_C_2_＋__B_C__2≠__A__B_2_相 矛盾，因此，假设是错误的，于是可知原命题是真命题．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，则AC≠BC. 证明：假设AC＝BC，∵∠A≠45°，∠C＝90°，∴∠B≠∠A， ∴AC≠BC，这与假设矛盾，∴AC≠BC. 上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明方法；若有错误，请予以 纠正．
解：有错误．证明：假设AC＝BC，∴∠A＝∠B，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝45°，与∠A≠45°相矛盾，∴AC≠BC
4．用反证法来证明命题：已知AB∥CD，AB∥EF，求证：CD∥EF.证明 的第一步是( B )
A．假定CD∥EF B．假定CD不平行于EF C．假定AB∥EF D．假定AB不平行于EF
5．“已知：在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B<90°”．下面写出了用于证 明这个命题过程中的四个推理步骤： ①∴∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾； ②∴∠B<90°； ③假设∠B≥90°； ④那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°. 这四个步骤正确的顺序应该是( C) A．①②③④ B．③④②① C．③④①② D．④③①②
直角三角形三边的关系导学课件华东师大版八年级数学上册
2 22
2
(a＋b)2 c2＋2ab
整个图形面积等于不
,
2
2
重叠、无空隙的各组
即a2+b2=c2.
成部分的面积的和.
感悟新知
3-1. 如图， 写出字母所代表的正方形的面积：SA= 625 ______1，44SB= ______.
感悟新知
3-2. (1)观察图① ②并填写下表(图中每个小方格的边长为1).
图① 图②
A的 面积
16 4
B的 面积
9 9
C的 面积
25 13
感悟新知
(2)三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？ 解：三个正方形A，B，C的面积之间的关系为SA＋SB＝SC.
(3)三个正方形围成的一个直角三角形的三边长之间存在什 么关系？ 三个正方形围成的一个直角三角形的三边长之间的关 系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
感悟新知
解题秘方：紧扣“总体面积等于各部分面积之和” 进行验证. 方法点拨：通过拼图，利用求面积来验证，这种方 法以数形转换为指导思想，以图形拼补为手段，以 各部分面积之间的关系为依据而达到目的.
感悟新知
证明：由题知C′D′=a，AD′=b.
∵四边形BCC′D′为直角梯形，
∴ S 梯形BCC′D′=
方法
加菲尔 德总 统拼图
毕达哥 拉斯 拼图
图形
证明
设梯形的面积为S，则S= 1
(a+b)(a+b)= 1 a2+ 1 b2+ab.2又
1
12
S= ∴
2 ab+ 2 ab+ a2+b2=c2
1 2
c22=
1 2
14.2 勾股定理的应用 华东师大版数学八年级上册知识考点梳理课件
在 Rt△ABG 中，AG= +
= + = （cm）；
14.2 勾股定理的应用
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方案二：如图 2，当蚂蚁从点 A 出发经过 BF 到点 G
重
难
题 时（将前面和右面展开），
型
∵AB=3 cm，BC=5 cm，
设 B′E=BE=x，则 CE=4-x.
∵S△AEC=
∴
Βιβλιοθήκη CE×AB=
（4-x）×3=
AC×B′E，
×5x，解得 x=
，∴B′E=
.
14.2 勾股定理的应用
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变式衍生 1
如图，在长方形 ABCD 中，AB=8，BC=4
重
难
题 ，将长方形沿 AC折叠，点 D 落在点 D′处，则重叠部分
突
破 ，BF=6 cm，蚂蚁要沿着怎样的路线爬行，才能最快吃到饼
干渣？ 这时蚂蚁走过的路程是多少？
14.2 勾股定理的应用
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［答案］解：分以下三种方案讨论：
重
难
方案一：如图 1，当蚂蚁从点 A 出发经过 EF 到点 G
题
型
突 时（将前面和上面展开），
破
∵BC=5 cm，∴FG=BC=5 cm.
对点典例剖析
考
点
典例
如图，一架 2.5 m 长的梯子AB 斜靠在墙 AC 上
清
单
解 ，梯子的顶端 A离地面的高度为 2.4 m，如果梯子的底部 B
读 向外滑出 1.3 m 后停在 DE位置上，则梯子的顶部下滑多少
2021-2022学年华师大版八年级数学上册《第14章勾股定理》同步练习题(附答案)
2021-2022学年华师大版八年级数学上册《第14章勾股定理》同步练习题（附答案）1．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t表示移动的时间，若△POQ是等腰三角形，此时t的值是（）A．6或12B．4或12C．4或6D．6或82．在直角三角形中，若两条边的长分别是1cm、2cm，则第三边的长为（）A．3cm B．cm C．2cm或cm D．cm或cm 3．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF2的值是（）A．169B．196C．392D．5884．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图以直角三角形的各边为边分别向同侧作正方形，若知道图中阴影部分的面积之和，则一定能求出（）A．正方形ABED的面积B．正方形ACFG的面积C．正方形BCMN的面积D．△ABC的面积5．△ABC在下列条件下不是直角三角形的是（）A．b2＝a2﹣c2B．a2：b2：c2＝1：2：3C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．∠A＝∠B﹣∠C6．已知△ABC的三边长分别是6，8，10，则△ABC的面积是（）A．12B．15C．20D．247．下列各组数为勾股数的是（）A．6，12，13B．10，24，26C．3，4，7D．8，15，168．如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，观测者从测点A、B分别测得∠BAC＝90°，又量得AC＝9m，BC＝15m，则A、B两点之间的距离为（）A．10m B．11m C．12m D．13m9．如图，将一根长为20cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面的长度为（）A．13cm B．8cm C．7cm D．15cm10．如图，若圆柱的底面周长是50cm，高是120cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是（）A．170cm B．70cm C．145cm D．130cm11．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在小正方形的格点上，连接AB，BC，则∠ABC＝．12．我们规定：经过三角形的一个顶点且将三角形的周长分成相等的两部分的直线叫做该三角形的“等周线”，“等周线”被这个三角形截得的线段叫做该三角形的“等周径”．例如等边三角形的边长为2，则它的“等周径”长为．在中Rt△ABC中，∠C＝90°，AC ＝4，BC＝3，若直线l为Rt△ABC的“等周线”，请直接写出△ABC的所有“等周径”长为．13．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影的部分是一个小正方形EFGH，这样就组成了一个“赵爽弦图”．若AB＝13，AE＝12，则正方形EFGH的面积为．14．如图所示的网格是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，则∠DAB+∠CAB的度数是度．15．在四边形ABCD中，∠C＝90°，CD＝8，BC＝6，AB＝24，AD＝26，则四边形ABCD 面积为．16．如图所示的网格是正方形网格，则∠ACB﹣∠DCE＝°（点A、B、C、D、E 是网格线交点）．17．如图，△ABC中，AC＝b，BC＝a，CD⊥AB于D．（1）若a＝b＝13，AB＝10，求CD的长；（2）若∠ACB＝90°，CD＝4，求AD×DB的值；（3）若CD2＝AD×DB，判断△ABC的形状，并说明理由．18．已知：如图等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝10，BD⊥AC于D，且BD＝8．求△ABC的面积S△ABC．19．如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．请你开动脑筋，用它们拼出正方形图案，要求拼图时直角三角形纸片不能互相重叠．（1）请你画出拼成的这个图形的示意图；（2）利用（1）中画出的图形证明勾股定理．20．现有三块两直角边长分别为1和2的直角三角形纸板，借助下面5×5的网格，用全部纸板分别拼出3个面积为3且周长不同的四边形，并写出相应四边形的周长．21．如图1，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知A、B、C都是格点．（1）小明发现图2中∠ABC是直角，请在图1补全他的思路；（2）请借助图3用一种不同于小明的方法说明∠ABC是直角．22．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上（1）直接写出边AB、AC、BC的长．（2）判断△ABC的形状，并说明理由．23．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．24．如图，学校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和△EDC，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉．经测量，∠EDC＝90°，DC ＝6m，CE＝10m，BD＝14m，AB＝16m，AE＝2m．（1）求DE的长；（2）求四边形ABDE的面积．25．在某段公路的正上方有一摄像头A距离地面7米，一天李叔叔驾驶的汽车正沿公路笔直匀速驶来，当行驶到B点时第一次摄像，此时AB两点相距25米，1.5秒后第二次摄像汽车恰好行驶到A点正下方C点，已知该路段限速60km/h，请判断李叔叔是否超速，说明理由．参考答案1．解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时，设t时后△POQ是等腰三角形，有OP＝OC﹣CP＝OQ，即12﹣2t＝t，解得，t＝4；（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用6s，当△POQ是等腰三角形时，∵∠POQ＝60°，∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，即2（t﹣6）＝t，解得，t＝12，故选：B．2．解：①若直角边长分别为1cm、2cm，则由勾股定理可得斜边长为：＝（cm）；②若斜边为2cm，则第三边为直角边，由勾股定理得：＝（cm）．综上，第三边的长为cm或cm．故选：D．3．解：∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时，∴小正方形的边长＝24﹣10＝14，∴EF2＝142+142＝392，故选：C．4．解：∵∠BAC＝90°，∴AB2+AC2＝BC2，即S正方形ABDE+S正方形ACFG＝S正方形BCMN，∴S阴影＝2S△ABC，故选：D．5．解：A．∵b2＝a2﹣c2，∴b2+c2＝a2，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵a2：b2：c2＝1：2：3，∴a2+b2＝c2，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴最大角∠C＝×180°＝75°＜90°，∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；D．∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠B＝180°，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C．6．解：∵△ABC的三边长分别是6，8，10，∴62+82＝102，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积是＝24，故选：D．7．解：A．∵62+122≠132，∴6，12，13不是勾股数，故本选项不符合题意；B．∵102+242＝262，∴10，24，26是勾股数，故本选项符合题意；C．∵32+42≠72，∴3，4，7不是勾股数，故本选项不符合题意；D．∵82+152≠162，∴8，15，16不是勾股数，故本选项不符合题意；故选：B．8．解：∵∠BAC＝90°，AC＝9m，BC＝15m，∴AB＝（m），故选：C．9．解：由题意可得：杯子内的筷子长度为：＝13，则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣13＝7（cm）．故选：C．10．解：如图，圆柱侧面展开图是矩形，矩形的长为120cm，宽为圆柱的底面周长50cm，根据勾股定理得：AB＝＝130（cm），根据两点之间线段最短，可得丝线的最小长度为130cm，故选：D．11．解：连接AC，由勾股定理得：AB＝AC＝，BC＝，∴BC2＝AC2+AB2，∴△ABC是直角三角形，∵AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，故答案为：45°．12．解：分三种情况讨论：①当“等周线”经过点C时，直线1交AB于点E，设BE＝x，则AE＝5﹣x，作CH⊥AB于H，由题意：3+x＝4+5﹣x，解得：x＝3，∵CH＝＝，∴BH＝＝，∴EH＝3﹣＝，在Rt△ECH中，CE＝＝，∴“等周径”长为；②当“等周径”经过点A时，直线l交BC于点E，设BE＝x，则CE＝3﹣x，由题意得：4+3﹣x＝5+x，解得：x＝1，∴EC＝2，在Rt△ACE中，AE＝＝2，∴“等周径”长为2；③当∴“等周径”经过点B时，直线l交AC于点E，设AE＝x，则CE＝4﹣x，由题意：3+4﹣x＝5+x，解得：x＝1，CE＝3，在Rt△BCE中，BE＝＝3，∴“等周径”长为3，故答案为：或2或3．13．解：直角三角形直角边的较短边为，正方形EFGH的面积＝13×13﹣4×＝169﹣120＝49．故答案为：49．14．解：作C点关于AB的对称点E，连接AE，DE，如图所示：∴∠CAB＝∠EAB，由勾股定理得：AD＝，DE＝，AE＝，∴AD2+DE2＝AE2，∴△AED是直角三角形，∵AD＝DE，∴∠DAE＝45°＝∠DAB+∠BAE＝∠DAB+∠CAB，故答案为：45．15．解：如图，连接BD，∵∠C＝90°，∴BD＝＝10，∵BD2+AB2＝102+242＝262＝AD2，∴∠ABD＝90°，∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝＝144．故答案为：14416．解：如图，连接CG、AG，由勾股定理得：AG2＝CG2＝12+22＝5，AC2＝12+32＝10，∴AG2+CG2＝AC2，∴∠CGA＝90°，∴△CAG是等腰直角三角形，∴∠CAG＝45°，∵AF∥BC，∴∠CAF＝∠BCA，在△AFG和△CDE中，，∴△AFG≌△CDE（SAS），∴∠F AG＝∠DCE，∴∠ACB﹣∠DCE＝∠CAF﹣∠F AG＝∠CAG＝45°．故答案为：45．17．解：（1）∵AC＝BC，CD⊥AB，∴AD＝BD＝5，在Rt△ADC中，CD＝＝12．（2在Rt△ACD中，由勾股定理得，AC2﹣AD2＝CD2＝16①，在Rt△BCD中，由勾股定理得，BC2﹣BD2＝CD2＝16②，联立①和②得：AC2+BC2﹣（AD2+BD2）＝32，∵AC2+BC2＝AB2，AD2+BD2＝（AD+BD）2﹣2AD•BD，∴AB2﹣AB2+2AD•BD＝32，∴2AD•BD＝32，∴AD•BD＝16；（3）∵CD2＝AD•DB，∴AC2﹣AD2＝AD•BD，BC2﹣BD2＝AD•BD，∴AC2﹣AD2+BC2﹣BD2＝2AD•BD，∴AC2+BC2＝AD2+BD2+2AD•BD，∴AC2+BC2＝（AD+BD）2，即AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．18．解：∵BD⊥AC，在Rt△BCD中，BD＝8，BC＝10，∴CD＝6，设AB＝AC＝x，则AD＝x﹣6，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，∴（x﹣6）2+82＝x2，∴x＝，∴．19．解：（1）（答案不唯一）如图；（2）证明：∵大正方形的面积可表示为（a+b）2，大正方形的面积也可表示为：c2+4×ab，∴（a+b）2＝c2+4×ab，即a2+b2+2ab＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．20．解；如图所示：21．解：（1）∵AB＝，BC＝，AC＝，∴AB2+BC2＝AC2，根据勾股定理的逆定理，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°，故答案为：，2，AB2+BC2＝AC2，勾股定理的逆定理；（2）过A点作AD⊥BE于D，过C作CE⊥DB于E，由图可知：AD＝BE，BD＝CE，∠ADB＝∠BEC＝90°，在△ADB和△BEC中，，∴△ADB≌△BEC（SAS），∴∠ABD＝∠BCE，在△BEC中，∠BEC+∠BCE+∠EBC＝180°，∴∠BCE+∠EBC＝180°﹣∠BEC＝90°，∴∠ABD+∠EBC＝90°，∵D，B，E三点共线，∴∠ABD+∠EBC+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣（∠ABD+∠EBC）＝90°，∴∠ABC是直角．22．解：（1）由勾股定理得：AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝5；（2）∵AB＝，AC＝2，BC＝5，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，即△ABC是直角三角形．23．解：（1）11，60，61；（2）后两个数表示为和，∵，，∴．又∵n≥3，且n为奇数，∴由n，，三个数组成的数是勾股数．故答案为：11，60，61．24．解：（1）在Rt△EDC中，∠EDC＝90°，DC＝6m，CE＝10m，∴m；（2）如图，连接BE，在Rt△EBD中，BD＝14m，ED＝8m，∴BE2＝BD2+ED2＝142+82＝260，∵AB＝16m，AE＝2m，∴AB2+AE2＝162+22＝260，∴AB2+AE2＝BE2，∴△ABE是直角三角形，∠A＝90°，∴S△ABE＝×16×2＝16（m2）．又∵S△BDE＝×14×8＝56（m2）．∴四边形ABDE的面积＝S△ABE+S△BDE＝72（m2）．25．解：李叔叔不超速，理由如下：如图，Rt△ABC中，AC＝7，AB＝25，由勾股定理得：BC＝＝24，v＝24÷1.5＝16（m/s）＝57.6（km/h），∵57.6＜60，∴李叔叔不超速．。
2022-2023学年华东师大版八年级数学上册第14章《勾股定理》同步测试题
2022-2023学年华东师大版八年级数学上册《第14章勾股定理》同步测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分40分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，且AB＝10，BC＝6，则AC等于（）A．12B．8C．4D．22．已知在△ABC中，∠B＝38°，BC2﹣AC2＝AB2，则∠C的度数为（）A．38°B．52°C．62°D．90°3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AB＝17，BD＝15，DC＝6，则AC的长为（）A．11B．10C．9D．84．如图，在△ABC中，若AB＝AC＝6，BC＝4，AD平分∠BAC，则AD的长等于（）A．4B．2C．2D．45．直角三角形的两条边长a，b满足，则其斜边长为（）A．5B．C．4或5D．或56．如图，在△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点，点D在线段BC上，OD＝1，CD＝AC ＝2BD，则线段AD的长为（）A．B．C．3D．7．如图Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝10，点F是BA延长线上一点，过点F作FD∥BC，交CA延长线于点D，点E是CD的中点，若BF＝12，DF＝5，则EF的长是（）A．3B．5C．6.5D．68．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．若S1＝48，S2+S3＝135，则S4＝（）A．183B．87C．119D．819．如图，△ABC的三边BC＝17，CA＝18，AB＝19，过△ABC内一点P向三边作垂线，垂足分别为D、E、F，且BD+CE+AF＝27，则BD+BF的长是（）A．18B．10+6C．19D．1710．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以其三边为边分别向外作正方形，延长EC，DB 分别交GF，AH于点N，K，连接KN交AG于点M，若S1﹣S2＝2，AC＝4，则AB的长为（）A．2B．C．D．二．填空题（共6小题，满分30分）11．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝25，AC＝24，则BC＝．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°；若c+b＝18，c﹣b＝2，则a＝．13．如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝．14．如图是一幅赵爽弦图，利用此图可以证明勾股定理．现连接BE，发现AB＝BE，若DE ＝1，则正方形ABCD的面积为．15．如图，△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，D是BC上一点，且AD⊥AC，则BD＝．16．如图，已知四边形ABCD中，AB＝AD＝，CB＝CD＝，∠DAB＝90°，若线段DE平分四边形ABCD的面积，则DE＝．三．解答题（共5小题，满分50分）17．在△ABC中，∠C＝90°，BC：AB＝3：5且AB＝20cm，求边AC的长度．18．如图，在△ABD中，∠D＝90°，C是BD上一点，已知BC＝9，AB＝17，AC＝10，求AD的长．19．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，若AD为∠CAB的平分线，求AD的长？20．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD与CE相交于点F，连接DE．（1）若BD＝2，AD＝4，CE＝6，求S△ABC．（2）若∠ACF＝25°，∠DEB＝45°，求∠B．21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．参考答案一．选择题（共10小题，满分40分）1．解：由勾股定理得：AC＝＝8，故选：B．2．解：∵BC2﹣AC2＝AB2，∴BC2＝AC2+AB2，∴∠A＝90°，∵∠B＝38°，∴∠C＝90°﹣∠B＝52°，故选：B．3．解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°．∵AB＝17，BD＝15，∴AD＝＝8．∵DC＝6，AD＝8，∴AC＝＝10．故选：B．4．解：∵AB＝AC，BC＝4，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝DC＝BC＝2，∴AD＝＝＝4，故选：A．5．解：∵a，b满足，∴3﹣a＝0，b﹣4＝0，∴a＝3，b＝4，①当4是直角边时，其斜边长＝＝5，②当4是斜边时，其斜边长为4，故选：C．6．解：∵AB＝AC，O是BC的中点，∴AO⊥BC，OB＝OC＝BC．设BD＝x，则CD＝AC＝2BD＝2x，∴OC＝CD﹣OD＝2x﹣1，OB＝OD+BD＝1+x．∵OB＝OC，∴1+x＝2x﹣1，∴x＝2，∴OC＝3，AC＝4，∴OA2＝AC2﹣OC2＝42﹣32＝7，∴AD2＝OA2+OD2＝7+12＝8，∴AD＝2．故选：B．7．解：延长FE交BC于G，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，∵FD∥BC，∴∠D＝∠C，在△DFE和△CGE中，，∴△DFE≌△CGE（ASA），∴CG＝DF＝5，EF＝EG，∴BG＝5，在Rt△BGF中，由勾股定理得，FG＝＝13，∴EF＝FG＝6.5，故选：C．8．解：由题意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，如图，连接BD，在直角△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，即S1+S4＝S3+S2，因此S4＝135﹣48＝87，故选：B．9．解：连接P A、PB、PC，设BD＝x，CE＝y，AF＝z，则CD＝17﹣x，EA＝18﹣y，FB＝19﹣z，由勾股定理得，x2+PD2＝（19﹣z）2+PF2①，同理得，y2+PE2＝（17﹣x）2+PD2②，z2+PF2＝（18﹣y）2+PE2③，①+②+③得，x2+y2+z2＝（17﹣x）2+（18﹣y）2+（19﹣z）2，化简得，17x+18y+19z＝487，∵x+y+z＝27，∴x＝z﹣1，∴BD+BF＝x+（19﹣z）＝18，故选：A．10．解：（1）如图，根据条件得到“K”型△ABC≌△FNC，得到NF＝AB＝x．（2）连接GK，可以发现△GNK的面积＝GN×AG÷2＝2GN，同理△KAG的面积＝2AK．利用条件S1﹣S2＝2，得到GN﹣AK＝1，即n﹣m＝1，又因为n+x＝4，所以m＝3﹣x．（3）在△KBC中，有射影定理AB2＝AC×AK．这样可以得到方程：x2＝4×（3﹣x），解得x＝2，即AB＝2．故选：A．二．填空题（共6小题，满分30分）11．解：由勾股定理得，BC＝＝＝7，故答案为：7．12．解：∵c+b＝18，c﹣b＝2，∴c＝10，b＝8，由勾股定理得，a＝＝＝6，故答案为：6．13．解法一：∵BD＝CD，CD＝7，∴BD＝7，∵AB⊥AD，∴∠A＝90°，∵AD＝5，∴AB＝＝2，∵AB＝CE，∴CE＝2，∵CE⊥BD，∴∠CED＝90°，∴DE＝＝5，∴BE＝BD﹣DE＝2．故答案为：2．解法二：∵AB⊥AD，CE⊥BD，∴∠A＝∠CED＝90°，∵AB＝CE，BD＝CD，∴Rt△ABD≌Rt△ECD（HL），∴AD＝DE＝5，∵BD＝CD，CD＝7，∴BD＝7，∴BE＝BD﹣DE＝2．故答案为：2．14．解：如图，由题意得，AH＝DE＝1，∵AB＝BE，BH⊥AE，∴AE＝BH＝2AH＝2，∴AB＝＝＝，∴正方形ABCD的面积＝AB2＝5，故答案为：5．15．解：点A作AE⊥BC于点E，∵AB＝AC＝20，BC＝32，∴BE＝CE＝BC．∴AE＝＝＝12．设DE＝x，则BD＝16﹣x，CD＝16+x，在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2，即AD2＝122+x2①，在Rt△ADC中，AD2＝CD2﹣AC2，即AD2＝（16+x）2﹣202②，①②联立得，122+x2＝（16+x）2﹣202，解得x＝9，∴BD＝16﹣9＝7．故答案为：7．16．解：连接BD交AC于点O，过D点作DM⊥BC于点M，∵AB＝AD＝，CB＝CD＝，∴A，C在BD的垂直平分线上，即AC垂直平分BD，∵∠DAB＝90°，∴BD＝，S△ABD＝AB•AD＝，∴AO＝DO＝BO＝1，∴CO＝，∴S△BCD＝＝，∴四边形ABCD的面积＝1+2＝3，∵S△BCD＝BC•DM＝2，∴DM＝＝，∴BM＝，∵线段DE平分四边形ABCD的面积，∴S△CDE＝，S△BDE＝，∴BE：CE＝1：3，∴BE＝，∴EM＝BM﹣BE＝，∴DE＝．故答案为：．三．解答题（共5小题，满分50分）17．解：∵BC：AB＝3：5，AB＝20cm，∴BC＝12cm，∵∠C＝90°，∴AC＝＝＝16（cm），答：边AC的长度为16cm．18．解：在Rt△ABD中，9+CD＝，和Rt△ACD中，CD＝，∴9+＝，两边平方得，81+18+100﹣AD2＝289﹣AD2，∴＝6，两边平方得，100﹣AD2＝36，解得AD＝8．19．解：过点D作DE⊥AB于E，∵AD为∠ACB的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝ED，由勾股定理可得：AC＝＝＝8，设CD＝ED＝x，则×6×8＝×8x+×10x，解得：x＝，即CD＝，由勾股定理可得：AD＝＝＝．20．（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵BD＝2，AD＝4，∴AB＝＝＝2，∵CE＝6，CE⊥AB，∴S△ABC＝＝6；（2）取AC的中点G，连接DG，EG，∵∠BDA＝90°，CE⊥AB，∴∠ADC＝∠AEC＝90°，∵G为AC的中点，∴EG＝AG＝CG＝DG＝AC，∴∠GDE＝∠GED，∠GEA＝∠GAE，∵∠DEB＝45°，∴∠DEG+∠GEA＝135°，∴∠DGA＝360°﹣2×135°＝90°，∴DG⊥AG，∵AG＝CG，∴AD＝CD，∴∠DCA＝45°，∴∠BCE＝∠DCA﹣∠ACE＝45°﹣25°＝20°，∵∠BEC＝90°，∴∠B＝90°﹣∠BCE＝90°﹣20°＝70°．21．解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，∴BC＝8（cm）；（2）由题意知BP＝2tcm，①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4；②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣8）cm，AC＝6cm，在Rt△ACP中，AP2＝62+（2t﹣8）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，即：102+[62+（2t﹣8）2]＝（2t）2，解得：t＝，故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝；（3）①当AB＝BP时，t＝5；②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16cm，t＝8；③当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t﹣8|cm，AC＝6cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以（2t）2＝62+（2t﹣8）2，解得：t＝，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．。
14.2勾股定理的应用第一课时课件华东师大版数学八年级上册
AB AC2 BC2 12 22 5
答：最短路程为 5 厘米。
例3.如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为
1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程
又是多少呢？
B
分析：蚂蚁由A爬到B过程中 较短的路线有多少种情况？
1
A
3
2
(1)经过前面和上底面; (2)经过前面和右面;
B
B
2
(大门宽度一半)，米 （卡车
宽度一半）在Rt△OCD中，由
勾股定理得
A
米
CD＝ OC 2 OD2
＝ 12 0.82 ＝米，
CH＝＋＝＞
N
因此高度上有米的余量，所以卡车能通过厂门．
B
2米
C
C
O
┏
D
B
2米 HM
例3.有一个水池，水面是一个边长 为10尺的正方形，在水池的中央有 一根新生的芦苇，它高出水面1尺， 如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端 恰好到达岸边的水面，问这个水池的 深度和这根芦苇的长度各是多少？
解：由题意得，在RtΔABF中 A
AF=AD=BC=10，AB=DC=8
BF AF2 AB2
8
102 82 6
∴FC =4cm
B
设EC=x，则DE=EF=(8-x)，
10
6 10
D
8-X
8-X E
X
F4 C
∵EF2=EC2+FC2 ∴ （8-x）2 = x2+42
解得：x=3
试一试
1.长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB=10cm，按如
解：如图，在Rt∆ABC中，∠A=90
C
BC2=AB2+AC2