人教A版高中数学必修3第一章算法初步1.3算法案例导学案
新人教A版必修32020学年高中数学第1章算法初步1_3_1辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法学案
第1课时辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法1．理解辗转相除法与更相减损术的含义，了解其执行过程．2．理解秦九韶算法的计算过程，并了解它提高计算效率的实质．1．辗转相除法与更相减损术(1)辗转相除法①辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法．②辗转相除法的算法步骤第一步，给定两个正整数m，n.第二步，计算m除以n所得的余数r.第三步，m＝n，n＝r.第四步，若r＝0，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步．(2)更相减损术的算法步骤第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．(3)辗转相除法和更相减损术的区别与联系(1)秦九韶算法简介①秦九韶算法要解决的问题是求多项式的值．②秦九韶算法的特点通过一次式的反复计算，逐步得到高次多项式的值，即将一个n次多项式的求值问题归结为重复计算n个一次多项式的值的问题．③秦九韶算法的原理将f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写为：f(x)＝(a n x n－1＋a n－1x n－2＋…＋a1)x＋a0＝((a n x n－2＋a n－1x n－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝…先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝a n x＋a n－1，再由内向外逐层计算一次多项式v k的值．(2)秦九韶算法的操作方法①算法步骤如下第一步，输入多项式次数n、最高次项的系数a n和x的值．第二步，将v的值初始化为a n，将i的值初始化为n－1.第三步，输入i次项的系数a i.第四步，v＝vx＋a i，i＝i－1.第五步，判断i是否大于或等于0.若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v.②程序框图如图所示③程序如下INPUT “n＝”；nINPUT “an＝”；aINPUT “x＝”；xv＝ai＝n－1WHILE i＞＝0INPUT “ai＝”；av＝v*x＋ai＝i－1WENDPRINT vEND1．实际应用更相减损术时要做的第一步工作是什么？[提示] 先判断a，b是否为偶数，若是，都除以2再进行．2．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数．( )(2)求最大公约数的方法除辗转相除法之外，没有其他方法．( )(3)编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句．( )[提示] (1)√(2)×(3)√题型一辗转相除法和更相减损术的应用【典例1】用辗转相除法求612与468的最大公约数，并用更相减损术检验所得结果．[思路导引] 将612作为大数，468作为小数，执行辗转相除法和更相减损术的步骤即可.[解] 用辗转相除法：612＝468×1＋144,468＝144×3＋36,144＝36×4，即612和468的最大公约数是36.用更相减损术检验：612和468为偶数，两次用2约简得153和117,153－117＝36,117－36＝81,81－36＝45,45－36＝9,36－9＝27,27－9＝18,18－9＝9，所以612和468的最大公约数为9×2×2＝36.求最大公约数的两种方法步骤(1)利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利用带余除法，用数对中较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的数对，再利用带余除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数的最大公约数．(2)利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的一般步骤是：首先判断两个正整数是否都是偶数．若是，用2约简，也可以不除以2，直接求最大公约数，这样不影响最后结果．[针对训练1] 用辗转相除法求80与36的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果．[解] 80＝36×2＋8，36＝8×4＋4,8＝4×2＋0，即80与36的最大公约数是4.验证：80÷2＝40,36÷2＝18；40÷2＝20,18÷2＝9；20－9＝11,11－9＝2；9－2＝7,7－2＝5；5－2＝3,3－2＝1；2－1＝1,1×2×2＝4；所以80与36的最大公约数为4.题型二求三个正整数的最大公约数【典例2】求325,130,270三个数的最大公约数[思路导引] 求三个数的最大公约数，可先求两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数．[解] 解法一(辗转相除法)：因为325＝130×2＋65,130＝65×2，所以325和130的最大公约数为65.因为270＝65×4＋10,65＝10×6＋5,10＝5×2,所以65和270的最大公约数为5,故325,130,270三个数的最大公约数为5.解法二(更相减损术)：325－130＝195,195－130＝65,130－65＝65.所以325和130的最大公约数是65.270－65＝205,205－65＝140,140－65＝75,75－65＝10,65－10＝55,55－10＝45,45－10＝35,35－10＝25,25－10＝15,15－10＝5,10－5＝5.所以65和270的最大公约数为5，故325,130,270三个数的最大公约数为5.理解辗转相除法的实质，从计算结果上看，辗转相除法是以相除余数为零而得到结果的.[针对训练2] 求三个数175,100,75的最大公约数.[解] 先求175与100的最大公约数：175＝100×1＋75,100＝75×1＋25,75＝25×3,∴175与100的最大公约数是25.再求25与75的最大公约数：75－25＝50,50－25＝25,∴75和25的最大公约数是25.∴175,100,75的最大公约数是25.题型三秦九韶算法【典例3】已知一个5次多项式为f(x)＝4x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x＝5时的值.[思路导引] 可根据秦九韶算法的原理，将所给的多项式改写，然后由内到外逐次计算．[解] 将f(x)改写为f(x)＝((((4x＋2)x＋3.5)x－2.6)x＋1.7)x－0.8，由内向外依次计算一次多项式，当x＝5时的值：v0＝4；v 1＝4×5＋2＝22； v 2＝22×5＋3.5＝113.5； v 3＝113.5×5－2.6＝564.9； v 4＝564.9×5＋1.7＝2826.2； v 5＝2826.2×5－0.8＝14130.2.所以当x ＝5时，多项式的值等于14130.2.(1)用秦九韶算法求多项式f (x )当x ＝x 0的值的思路为： ①改写．②计算⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n ，v k ＝v k －1x 0＋a n －k (k ＝1，2，…，n ).③结论f (x 0)＝v n .(2)应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的3个问题 ①要正确将多项式的形式进行改写． ②计算应由内向外依次计算．③当多项式函数中间出现空项时，要以系数为零的齐次项补充．[针对训练3] 用秦九韶算法计算多项式f (x )＝12＋35x －8x 2＋6x 4＋5x 5＋3x 6在x ＝－4时的值时，v 3的值为( )A ．－144B ．－136C ．－57D ．34[解析] 根据秦九韶算法多项式可化为f (x )＝(((((3x ＋5)x ＋6)x ＋0)x －8)x ＋35)x ＋12.由内向外计算v 0＝3；v 1＝3×(－4)＋5＝－7； v 2＝－7×(－4)＋6＝34； v 3＝34×(－4)＋0＝－136.[答案] B课堂归纳小结1.求两个正整数的最大公约数的问题，可以用辗转相除法，也可以用更相减损术．用辗转相除法，即根据a＝nb＋r这个式子，反复相除，直到r＝0为止；用更相减损术，即根据r＝|a－b|这个式子，反复相减，直到r＝0为止．2.秦九韶算法的关键在于把n次多项式转化为一次多项式，注意体会递推的实现过程，实施运算时要由内向外，一步一步执行．1．辗转相除法可解决的问题是( )A．求两个正整数的最大公约数B．多项式求值C．求两个正整数的最小公倍数D．排序问题[解析] 辗转相除法可以求两个正整数的最大公约数.[答案] A2．用辗转相除法求72与120的最大公约数时，需要做除法次数为( )A．4 B．3C．5 D．6[解析] 120＝72×1＋48,72＝48×1＋24,48＝24×2.[答案] B3．用更相减损术求36与134的最大公约数，第一步应为________．[解析] ∵36与134都是偶数，∴第一步应先除以2，得到18与67.[答案] 先分别除以2，得到18与674．用秦九韶算法求f(x)＝2x3＋x－3当x＝3时的值v2＝________.[解析] f(x)＝((2x＋0)x＋1)x－3，v0＝2，v1＝2×3＋0＝6，v2＝6×3＋1＝19.[答案] 195．用秦九韶算法求多项式f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1，当x＝2时的值．[解] 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝8x7＋5x6＋0·x5＋3·x4＋0·x3＋0·x2＋2x＋1＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1.而x＝2，所以有v0＝8，v1＝8×2＋5＝21，v2＝21×2＋0＝42，v3＝42×2＋3＝87，v4＝87×2＋0＝174，v5＝174×2＋0＝348，v6＝348×2＋2＝698，v7＝698×2＋1＝1397.所以当x＝2时，多项式的值为1397.算法案例在实际生活中的应用通过算法案例的学习，知道算法的核心是一般意义上的解决问题的策略的具体化．对于一个实际问题，我们在分析、思考后可将之转化为数学问题，从而获得解决它的基本思路.【典例】现有长度为2.4 m和5.6 m两种规格的钢筋若干，要焊接一批棱上无接点的正方体模型，问怎样设计才能保证正方体的体积最大且不浪费材料？[思路导引] 要焊接正方体，就是将两种规格的钢筋截成长度相等的钢筋条．为了保证不浪费材料，应使得每种规格的钢筋截取后没有剩余，因此截取的长度应为2.4与5.6的公约数；为使得正方体的体积最大，因此截取的长度应为2.4与5.6的最大公约数.[解] 用更相减损术来求2.4与5.6的最大公约数：5．6－2.4＝3.2,3．2－2.4＝0.8,2．4－0.8＝1.6,1．6－0.8＝0.8,因此2.4与5.6的最大公约数为0.8.所以使得正方体的棱长为0.8 m时，正方体的体积最大且不浪费材料.[针对训练] 甲，乙，丙三种溶液的质量分别为147 g，343 g，133 g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶中装入溶液的质量相同，问每瓶最多装多少？[解] 由题意，每个小瓶中装入的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数．先求147与343的最大公约数：343－147＝196,196－147＝49,147－49＝98,98－49＝49，所以147与343的最大公约数是49.再求49与133的最大公约数：133－49＝84,84－49＝35,49－35＝14,35－14＝21,21－14＝7,14－7＝7，所以147,343,133的最大公约数为7，即每瓶最多装7 g.课后作业(八)(时间45分钟)学业水平合格练(时间25分钟)1．秦九韶算法与直接计算相比较，下列说法错误的是( )A．秦九韶算法与直接计算相比，大大节省了做乘法的次数，使计算量减少，并且逻辑结构简单B．秦九韶算法减少了做乘法的次数，在计算机上也就加快了计算的速度C．秦九韶算法减少了做乘法的次数，在计算机上也就降低了计算的速度D．秦九韶算法避免了对自变量x单独做幂的计算，而且与系数一起逐次增长幂次，从而提高计算的精度[解析] 秦九韶算法减少了做乘法的次数，在计算机上也就加快了计算的速度，故选项C错误．[答案] C2．下列说法中正确的个数为( )①辗转相除法也叫欧几里得算法；②辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数；③求最大公约数的方法，除辗转相除法之外，没有其他方法；④编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句．A．1 B．2C．3 D．4[解析] ①、②、④正确，③错误．[答案] C3．利用秦九韶算法求f(x)＝1＋2x＋3x2＋…＋6x5当x＝2时的值时，下列说法正确的是( )A．先求1＋2×2B．先求6×2＋5，第二步求2×(6×2＋5)＋4C．f(2)＝1＋2×2＋3×22＋4×23＋5×24＋6×25直接运算求解D．以上都不对[解析] 利用秦九韶算法应先算a n x＋a n－1，再算(a n x＋a n－1)x＋a n－2，故选B.[答案] B4．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝( )A．7 B．12C．17 D．34[解析] 该题考查程序框图的运行及考生的识图能力．由程序框图知，第一次循环：x＝2，n＝2，a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；第二次循环：a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2；第三次循环：a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3.结束循环，输出s的值为17，故选C.[答案] C5．用更相减损术求117和182的最大公约数时，需做减法的次数是( )A．8 B．7C．6 D．5[解析] ∵182－117＝65,117－65＝52,65－52＝13,52－13＝39,39－13＝26,26－13＝13，∴13是117和182的最大公约数，需做减法的次数是6.[答案] C6．用秦九韶算法求n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0当x＝x0时的值，求f(x0)需要乘方、乘法、加法的次数分别为( )A.n(n＋1)2，n，n B．n,2n，nC．0,2n，n D．0，n，n[解析] 因为f(x)＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0，所以乘方、乘法、加法的次数分别为0，n，n.[答案] D7．用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6当x＝－4的值时，其中v1的值为________．[解析] ∵f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6，∴v0＝a6＝3，v1＝v0x＋a5＝3×(－4)＋5＝－7.[答案] －78．378和90的最大公约数为________．[解析] 378＝90×4＋18,90＝18×5＋0，∴378与90的最大公约数是18.[答案] 189．求1356和2400的最小公倍数．[解] 2400＝1356×1＋1044，1356＝1044×1＋312，1044＝312×3＋108，312＝108×2＋96，108＝96×1＋12，96＝12×8.所以1356与2400的最大公约数为12.则1356与2400的最小公倍数为(1356×2400)÷12＝271200.10．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．[解] f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)·x，所以v0＝7，v1＝7×3＋6＝27，v2＝27×3＋5＝86，v3＝86×3＋4＝262，v4＝262×3＋3＝789，v5＝789×3＋2＝2369，v6＝2369×3＋1＝7108，v7＝7108×3＝21324.故x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21324.应试能力等级练(时间20分钟)11．下列哪组的最大公约数与1855,1120的最大公约数不同( )A．1120,735 B．385,350C．385,735 D．1855,325[解析] ∵(1855,1120)→(735,1120)→(735,385)→(350,385)→(350,35)，∴1855与1120的最大公约数是35，由以上计算过程可知选D.[答案] D12．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1，当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是( )A．6,6 B．5,6C．5,5 D．6,5[解析] 根据秦九韶算法，把多项式改写为f(x)＝(((((3x＋4)x＋5)x＋6)x＋7)x＋8)x＋1，∴需要做6次加法运算，6次乘法运算，故选A.[答案] A13．已知a＝333，b＝24，则使得a＝bq＋r(q，r均为自然数，且0≤r≤b)成立的q 和r的值分别为________．[解析] 用333除以24，商即为q，余数就是r.333÷24的商为13，余数是21.∴q＝13，r＝21.[答案] 13,2114．用秦九韶算法求多项式f(x)＝1－5x－8x2＋10x3＋6x4＋12x5＋3x6当x＝－4时的值时，v0，v1，v2，v3，v4中最大值与最小值的差是________．[解析] 多项式变形为f(x)＝3x6＋12x5＋6x4＋10x3－8x2－5x＋1＝(((((3x＋12)x＋6)x＋10)x－8)x－5)x＋1，v0＝3，v1＝3×(－4)＋12＝0，v2＝0×(－4)＋6＝6，v3＝6×(－4)＋10＝－14，v4＝－14×(－4)－8＝48，所以v4最大，v3最小，所以v4－v3＝48＋14＝62.[答案] 6215．用辗转相除法和更相减损术两种方法求三个数72,120,168的最大公约数．[解] (辗转相除法)：先求120,168的最大公约数．因为168＝120×1＋48，120＝48×2＋24,48＝24×2，所以120,168的最大公约数是24.再求72,24的最大公约数．因为72＝24×3，所以72,24的最大公约数为24，即72,120,168的最大公约数为24.(更相减损术)：先求120,168的最大公约数．168－120＝48,120－48＝72，72－48＝24,48－24＝24，所以120,168的最大公约数为24.再求72,24的最大公约数．72－24＝48,48－24＝24，所以72,24的最大公约数为24，即72,120,168的最大公约数为24.。
2020年最新人教A版高中数学必修3第一章算法初步1.3算法案例教案(1)
《算法案例》教案——辗转相除法与更相减损术教材：课标版高中《数学》必修第章第节设计思路与指导思想：与传统教学内容相比，《算法初步》为新增内容。
算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。
现代社会，信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，算法思想成为现代人应具备的一种基本数学素养。
本节课是使学生在已经学习算法的初步知识基础上，探究典型的算法案例，理解其中所包含的算法思想，巩固算法三种表示方法。
通过让学生经历分析算法步骤、画出程序框图、编制程序的基本过程，给学生提供探索与交流的活动时间和思维空间，真正使学生经历问题的提出过程、感受知识的形成与发展过程、暴露问题解决的思维过程、体验成功的喜悦过程，培养学生发现问题、解决问题的能力、养成良好的学习习惯、掌握必备的数学知识，从而达到知识与技能、过程与方法、情感与态度三位一体的统一。
教学方法：通过典型实例，使学生经历算法设计的全过程，在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构，学会有条理地思考问题、表达算法，并能将解决问题的过程整理成程序框图。
学法指导：在理解最大公约数的基础上去发现辗转相除法与更相减损术中的数学规律，并能模仿已经学过的程序框图与算法语句设计出辗转相除法与更相减损术的程序框图与算法程序。
教学目标（）知识与技能.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。
.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。
（）过程与方法.由具体到抽象、观察探究，理解辗转相除法，体会使用算法解决问题的基本过程，体会算法思想，发展有条理思考和表达的能力，培养逻辑思维能力。
.在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。
高中数学《算法初步》教案新人教A版必修
高中数学《算法初步》教案新人教A版必修章节一：算法概念及程序框图1. 教学目标：a. 理解算法的概念，体会算法在数学及日常生活中的应用。
b. 熟悉程序框图的基本组成部分，能够运用程序框图描述简单的算法。
2. 教学内容：a. 算法的定义及特性。
b. 程序框图的组成部分：顺序结构、条件结构、循环结构。
3. 教学重点与难点：a. 算法的概念理解。
b. 程序框图的绘制及应用。
4. 教学方法：a. 案例分析法：通过具体案例让学生理解算法概念。
b. 实践操作法：学生动手绘制程序框图，加深对算法理解。
5. 教学过程：a. 引入：通过日常生活中的算法案例，引导学生思考算法的概念。
b. 讲解：详细讲解算法的定义、特点及程序框图的组成部分。
c. 实践：学生动手绘制程序框图，教师巡回指导。
d. 总结：强调算法在实际问题中的应用价值。
章节二：顺序结构算法1. 教学目标：b. 能够运用顺序结构算法解决实际问题。
2. 教学内容：a. 顺序结构的定义及特点。
b. 顺序结构算法在实际问题中的应用。
3. 教学重点与难点：a. 顺序结构算法的理解。
b. 顺序结构算法在实际问题中的应用。
4. 教学方法：a. 案例分析法：通过具体案例让学生理解顺序结构算法。
b. 实践操作法：学生动手编写顺序结构算法，解决问题。
5. 教学过程：a. 引入：通过日常生活中的顺序结构算法案例，引导学生思考顺序结构的特点。
b. 讲解：详细讲解顺序结构的定义、特点及应用。
c. 实践：学生动手编写顺序结构算法，解决问题，教师巡回指导。
d. 总结：强调顺序结构算法在实际问题中的应用价值。
章节三：条件结构算法1. 教学目标：a. 理解条件结构的算法特点。
b. 能够运用条件结构算法解决实际问题。
2. 教学内容：b. 条件结构算法在实际问题中的应用。
3. 教学重点与难点：a. 条件结构算法的理解。
b. 条件结构算法在实际问题中的应用。
4. 教学方法：a. 案例分析法：通过具体案例让学生理解条件结构算法。
高中数学第一章算法初步132进位制课件新人教A版必修3
[典例] 若 10b1(2)＝a02(3)，求数字 a，b 的值以及与此两数 的等值十进制数．
[ 解] 把 10b1(2)化为十进制数：10b1(2)＝1×23＋0×22＋ b×21＋1×20＝2b＋9，把 a02(3)化为十进制数：a02(3)＝a×32＋ 0×31＋2×30＝9a＋2，所以 2b＋9＝9a＋2.由于在二进制中，b 的值只能为 0 或 1，当 b＝0 时，a＝79，舍去；当 b＝1 时，a＝ 1.所以 a＝b＝1，与此两数等值的十进制数为 11.
1，…，a1，a0∈N,0<an<k,0≤an－1，…，a1，a0<k)． (2)十进制化为 k 进制的方法—— 除 k 取余法．
[答一答] 1．进位制是如何表示数字的？ 提示：若一个数为十进制数，则其基数可以省略不写，若是 其他进位制的数，在没有特别说明的前提下，其基数必须写出， 常在数的右下角标明基数．
∴301(5)＝136(7)．
——本课须掌握的三大问题 1．要把 k 进制数化为十进制数，首先把 k 进制数表示成不 同位上数字与 k 的幂的乘积之和，其次按照十进制的运算规则计 算和． 2．十进制数化为 k 进制数(除 k 取余法)的步骤：
3．把一个非十进制数化为另一个非十进制数时，要先把这 个数化为十进制数，再利用“除 k 取余法”化为另一个非十进制 数．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间 休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
(2)312(4)化为十进制数后的个位数字是 4 . 解析：312(4)＝3×42＋1×41＋2×40＝54，个位数字是 4.
类型二 十进制数化 k 进制数
[例 2] (1)试把十进制数 136 转化为二进制数； (2)试把十进制数 1 234 转化为七进制数． [解] (1)由于 136＝2×68＋0， 68＝2×34＋0， 34＝2×17＋0， 17＝2×8＋1， 8＝2×4＋0， 4＝2×2＋0， 2＝2×1＋0，
人教版高中数学必修三 第一章 算法初步算法初步导学案
算法初步导学案一、导：知识提要：算法的含义、程序框图、基本算法语句，辗转相除法、更相减损术、秦久韶算法与进位制。
1．算法的含义：在数学中算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．算法的特点：（1）有限性（一个算法的步骤是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.（2）确定性（算法的每一步骤和次序应当是确定的。
（3）有效性(算法的每一步骤都必须是有效的)。
2. 程序框、流程线的名称与功能3（1）.基本算法语句：输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句（2）.三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构（3）.循环语句分while 型语句和for 型语句，设计循环语句程序时要注意：①循环语句中的变量一般需要进行一定的初始化操作；②循环语句在循环的过程中需要有“结束”的机会；③循环的过程中变量的变化规律。
4．算法案例学习辗转相除法与更相减损术、秦久韶算法、进位制时，必须了解其历史背景，理解解题原理，掌握解题步骤.二、学：学法指导1．规范基本语句一般格式【方法点拨】输入语句中提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”隔开。
输出语句显示算法的输出结果功能，输出语句输出常量、变量或表达式的值或字符。
赋值语句将表达式所代表的值赋给变量，赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量和算式。
【案例分析】 判断下列给出的语句是否正确，将错误的语句改正过来？（1）、INPUT c b a ;; （2）、INPUT 3=x （3）、PRINT 4=A（4）、B =3 （5）、0=+y x （6）、4==B A否用forwhile 型【解析】：在WHILE 型程序里面i=1 、sum=1，控制循环的条件为i<=100，按此算法最后得到的结果应为1001312111+++++ ，所以应将sum=1改为sum=0； 4．注重算法的实践应用【方法点拨】用算法处理应用问题的基本思路是：分析实际问题－－建立数学模型－－写算法步骤－－画程序框图－－编制算法程序。
人教版高中数学A版必修三第一章算法初步导学案
数学必修3第一章算法初步第一章算法初步§1.1算法与程序框图§1.1.1算法的观点【学习目标】1．确理解算法的观点,掌握算法的基本特色．2．经过例题学习，会设计算法的基本思路．【学习要点】算法的含义及应用．【学习难点】写出解决一类问题的算法．【学习过程】一、自主学习（阅读课本2—5页，达成以下问题）1．解二元一次方程组有几种方法？2．联合教材实例x2x 2yy1, (1)总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤．1, (2)3．联合教材实例x2x 2yy1, (1)总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤．1, (2)4．算法的定义：广义的算法是在数学中，算法往常是此刻，算法往常能够5．算法的特色：(1)确立性：算法的每一步都应该做到正确无误、不重不漏．“不重”是指不是无关紧要的，甚至无用的步骤，“不漏”是指缺乏哪一步都没法达成任务．(2)次序性与正确性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣，分工明确，“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的连续，而且每一步都正确无误，才能解决问题．(3)有限性：算法要有明确的开始和结束，当抵达停止步骤时所要解决的问题一定有明确的结果，也就是说一定在有限步内达成任务，不可以无穷制地连续进行．(4)不独一性：求解某一问题的算法不必定是独一的，关于同一个问题，可有不一样的算法．主备：顾斌元订正：杨志福马宇鲲批阅：顾斌元党继雄1二、合作研究例1：（1）设计一个算法，判断7能否为质数．（2）设计一个算法，判断35能否为质数．．例2：请写出判断n(n>2)能否为质数的算法．例3：写出用“二分法”求方程x2-2=0 (x>0)的近似解的算法三、达标检测1.已知直角三角形两直角边长为a,b,求斜边长c的一个算法分以下三步：①计算2 2c a b ；②输入直角三角形两直角边长a , b的值；③输出斜边长c 的值,此中正确的次序是()A.①②③B.②③①C.①③②D.②①③2.若fx在区间a,b内单一,且fagfb0,则fx在区间a,b内()A.至多有一个根B.起码有一个根C.恰巧有一个根D.不确立3.已知一个学生的语文成绩为89,数学成绩为96,外语成绩为99.求他的总分和均匀成绩的一个算法为：第一步：取A=89 ,B=96 ,C=99；第二步：_________________________________________；第三步：_________________________________________；第四步：输出计算的结果.4.写出1×2×3×4×5×6的一个算法.四、学习小结算法观点及特色.2数学必修3第一章算法初步§1.1.2程序框图及算法的基本逻辑构造(1)【学习目标】1．认识什么是程序框图，知道学习程序框图的意义．2．理解程序框的画法和功能．3．掌握基本逻辑构造的应用，并能解决相关的程序框图问题．【学习要点】掌握程序框的画法和功能.【学习难点】掌握基本逻辑构造的应用，并能解决相关的程序框图问题．【学习过程】一、自主学习（阅读课本6—20页，达成以下问题）1．什么是程序框图？2．基本程序框、流程线和它们表示的功能.图形符号名称功能3．算法的基本逻构造有______________、_________________和_________________.二、合作研究例1：右图所示的是一个算法的流程图，已知a1=3，输出的b=7,求a2的值.例2：已知一个三角形三条边的边长分别为a，b，c，利用海伦—秦九韶公式设计一个计算三角形面积的算法，并画出程序框图表示.（已知三角形三边边长分别为a,b,c，则三角形的面积为S= p( p a)( p b) ( p c) ），此中p= 海伦—秦九韶公式）a b2c.这个公式被称为主备：顾斌元订正：杨志福马宇鲲批阅：顾斌元党继雄3三、达标检测1．在算法的逻辑构造中,要求进行逻辑判断,并依据结果进行不一样办理的是哪一种构造()A.次序构造B.条件构造和循环构造C.次序构造和条件构造D.没有任何构造2．算法共有三种逻辑构造,即次序逻辑构造,条件逻辑构造和循环逻辑构造,以下说法正确的是()A.一个算法只好含有一种逻辑构造B.一个算法最多能够包括两种逻辑构造C.一个算法一定含有上述三种逻辑构造D.一个算法能够含有上述三种逻辑构造的随意组合3．给出以下一个算法的程序框图(以以下图所示),该程序框图的功能是()A.求输出a,b,c三数的最大数B.求输出a,b,c三数的最小数C.将a,b,c按从小到大摆列D.将a,b,c按从大到小摆列4．右侧的程序框图(以以下图所示),能判断随意输入的数x的奇偶性：此中判断框内的条件是()A.m0?B.x0?C.x1?D.m1?开始开始输入a,b,c输入xmx除以2的余数是a＞b？ab否能否是a ＞c？a c 否输出“x 是偶数输出“x 是奇数””输出a结束第4题图结束四、学习小结1．程序框图观点2．基本逻辑构造有哪些？4数学必修3第一章算法初步§1.1.2程序框图及算法的基本逻辑构造(2)【学习目标】1．理解程序框的画法和功能．3．能解决相关的程序框图问题．【学习要点】能解决相关的程序框图问题．【学习难点】掌握基本逻辑构造的应用，并能解决相关的程序框图问题．【学习过程】一、自主学习1．什么是程序框图？2．程序框图的图形符号及各自的功能是什么？3．算法的基本逻辑构造有哪些？分别有什么作用？二、合作研究例１：如图(1)、(2),它们都表示的是输出全部立方小于1000的正整数的程序框图,那么应分别增补的条件为()开始开始n1n1否输出n是输出nnn1结束是nn1否结束⑴⑵A.⑴ 3n ≥1000 ? ⑵3n ＜1000 ? B. ⑴3n ≤1000 ? ⑵3n ≥1000 ?C. ⑴ 3n ＜1000 ? ⑵3n ≥1000 ? D. ⑴3n ＜1000 ? ⑵3n ＜1000 ?主备：顾斌元订正：杨志福马宇鲲批阅：顾斌元党继雄5三、达标检测1．履行以下图的程序框图,输出的S值为（）213610A．1B．C．D．3219872．阅读以下图的程序框图,运转相应的程序．若输入m的值为2,则输出的结果i ________．开始开始输入mi0,S1A1,B1,i0S2 1S2S 1i i 1AAm ii1BBi否i≥2否是AB?输出S是输出i结束结束3．履行如图1所示的程序框图,若输入n的值为3,则输出s的值是（）A．1B．2C．4D．74．阅读以下程序框图,假如输出i=4,那么空白的判断框中应填入的条件是()．A．S＜8B．S＜9C．S＜10D．S＜11开始输入ni=1,s=1否i≤n是输出ss=s+(i-1)结束i=i+1图1 6数学必修3第一章算法初步§1.2基本算法语句§1.2.1输入语句、输出语句和赋值语句【学习目标】1．理解学习基本算法语句的意义．2．学会输入语句、输出语句和赋值语句的基本用法．3．理解算法步骤、程序框图和算法语句的关系，学会算法语句的写法．【学习要点】输入语句、输出语句和赋值语句的基本用法．【学习难点】算法语句的写法．【学习过程】一、自主学习（阅读课本21—24页，达成以下问题）1．指出输入语句的格式、功能、要求．2．指出输出语句的格式、功能、要求．3．指出赋值语句的格式、功能、要求．4．指出三种语句与框图的对应关系．二、合作研究例1：用描点法作函数y=x3+3x2-24x+30的图象时，需要求出自变量和函数的一组对应值．画出程序框图并编写程序．例2：给一个变量重复赋值．主备：顾斌元订正：杨志福马宇鲲批阅：顾斌元党继雄7例3：互换两个变量的值，并输出互换前后的值．三、达标检测1．P24练习题第1题、第4题．2．将两个数a=8,b=7互换，使a＝７,b=8,使用赋值语句正确的一组()A．a=b,b=a B．c=b,b=a,a=cC．b=a,a=b D．a=c,c=b,b=a3写出两图中程序框图的运转结果：开始开始输入a,b输入Ra2bR/2b4a2ba bS输出ab a结束输出S结束图1中输出S=_______________；图2中输出a=_______________．四、学习小结三种语句的格式、功能、要求以及与框图的对应关系．8数学必修3第一章算法初步§1.2.2条件语句【学习目标】1．理解学习基本算法语句的意义．2．学会条件语句的基本用法．3．理解算法步骤、程序框图和算法语句的关系，学会算法语句的写法．【学习要点】条件语句的基本用法【学习难点】算法语句的写法【学习过程】一、自主学习（阅读课本25—28页，达成以下问题）1．回想程序框图中的两种条件构造．2．指出条件语句的格式及功能．3．指出两种条件语句的同样点与不一样点．4．指出条件语句与程序框图的对应关系．二、合作研究例1：编写一个程序，务实数x的绝对值．例2：把前面求解一元二次方程ax2+bx+c=0的程序框图转变为程序．例3：编写程序，使随意输入的3个整数按从大到小的次序输出．主备：顾斌元订正：杨志福马宇鲲批阅：顾斌元党继雄9三、达标检测1．P29练习题第2题、第4题．2．有以下程序运转后输出结果是()A．3 4 5 6B．4 5 6C．5 6D．63．第3题程序运转后输出结果是________________．4．若输入的是“-2．3”则,输出的结果是()A．-18．4B．11C．12D．11． 7A=5x=5INPUT aIF a<=3 THEN y =-20IF a>0 THENPRINT 3IF x<0 THENY=a*8END IF x=y-3ELSEIF a<=4 THENELSEY=14+aPRINT 4y=y +3END IFEND IFEND IFPRINT YIF a<=5 THENPRINT x-y,x+y ENDPRINT 5END第4题程序END IF第3题程序IF a<=6 THENPRINT 6END IFEND第2题程序5．若输入的数字是“37输”出,的结果是________________．INPUT xIF x>9 AND x<100 THENa=x\10b=x MOD 10x=10*b+aPRINT xEND IFEND第5题程序四、学习小结条件语句的格式、功能以及与程序框图的对应关系．10数学必修3第一章算法初步§1.2.3循环语句【学习目标】1．理解学习基本算法语句的意义．2．学会循环语句的基本用法．3．理解算法步骤、程序框图和算法语句的关系，学会算法语句的写法．【学习要点】循环语句的基本用法．【学习难点】循环语句的写法学习过程一、自主学习（阅读课本29—32页，达成以下问题）1．试用程序框图表示循环构造．2．指出循环语句的格式及功能．3．指出两种循环语句的同样点与不一样点．4．指出循环语句与程序框图的对应关系．二、合作研究例1：改正前面编写过的求函数y=x3+3x2-24x+30的值的程序，连续输入11个自变量的取值，输出相应的函数值．例2：教材中的用“二分法”求方程x2-2=0（x＞0）的近似解的程序框图（赐教材图1．120）包括了次序构造、条件构造和循环构造．下面，我们把这个程序框图转变为相应的程序．主备：顾斌元订正：杨志福马宇鲲批阅：顾斌元党继雄11例 3：设计算法求1 1 11 2 2 3 3 4 99 1100的值．要求画出程序框图，写出用基本语句编写的程序．三、达标检测1．直到型循环构造为()循环体循环体知足条件？是知足条件？否否是AAAB循环体循环体否知足条件？知足条件？是否是C2．P32 练习题第 1 题、第 2 题．D四、学习小结指出循环语句的格式、功能以及与程序框图的对应关系．12数学必修3第一章算法初步§1.3算法事例【学习目标】1．理解展转相除法与更相减损术的含义，认识其履行过程．2．理解秦九韶算法飞计算过程，并认识它提升计算效率的本质．3．理解进位制的观点，能进行不一样进位制间的转变．【学习要点】1．掌握展转相除法，更相减损术求条约数的方法．2．能用秦九韶算法求多项式的值．3．能进行不一样进位制间的转变．【学习难点】理解上述算法的含义．学习过程一、自主学习（阅读课本34—45页，认识以下问题）1．如何用短除法求最大条约数？2．如何用展转相除法求最大条约数？3．如何用更相减损术求最大条约数？4．秦九韶算法如何求多项式的值？5．如何把k进制的数化为十进制数？6．把十进制数化为k进制数的方法叫什么？详细如何转变？二、合作研究例1：用展转相除法求8 251与6 105的最大条约数,写出算法剖析，画出程序框图，写出算法程序．例2：用更相减损术求98与63的最大条约数．例3：已知一个5次多项式为f（x）=5x5+2x4+3．5x3-2．6x2+1．7x-0．8，用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值．例4:将以下各进制数按要求转变为其余进位制数．主备：顾斌元订正：杨志福马宇鲲批阅：顾斌元党继雄13(1)101101(2)=__________(化为10进制)(2)10303(4)= __________(化为10进制)(3)191=______________（化为5进制）(4) 1234(5= ___________ (化为8进制)三、达标检测1．分别用展转相除法与更相减损术求123和48的最大条约数．2．用秦九韶算法求多项式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=3时的值．3．以下给出的各数中不行能是八进制数的是()A．312B．10110C．82D．74574．达成以下进位制之间的转变．1011001 =_____________ 10 =_____________25105 =_________ 10 =_____________85312 =_________ 75 20212 =_________ 1035．以下各数中最小的数是()A．111111 B．2 210 C．61000 D．4819四、学习小结1．展转相除法与更相减损术求最大条约数．2．用秦九韶算法求多项式值的方法．3．不一样进位制的转变．14数学必修3第一章算法初步第一章算法初步测试题一、选择题1．已知直角三角形两直角边长为a,b,求斜边长c的一个算法分以下三步：①计算2 2c a b ；②输入直角三角形两直角边长a ,b 的值；③输出斜边长c的值,此中正确的次序是()A．①②③B．②③①C．①③②D．②①③2．假如履行下面的程序框图，那么输出的S等于（）A．2 450B．2 500C．2 550D．2 652开始输入xmx除以2的余数能否输出“x 是偶数输出“x 是奇数””结束第3题图3．右侧的程序框图(如上图所示),能判断随意输入的数x的奇偶性：此中判断框内的条件是A．m0?B．x0?C．x1?D．m1?()4．将两个数a=8,b=7互换，使a＝７,b=8,使用赋值语句正确的一组()A．a=b,b=a B．c=b,b=a,a=cC．b=a,a=b D．a=c,c=b,b=a5．以下给出的输入语句、输出语句和赋值语句⑴输出语句INPUT a;b;c(2)输入语句INPUT x=3(3)赋值语句3=B(4)赋值语句A=B=2则此中正确的个数是，()A．0个B．1个C．2个D．3个6．三位七进制的数表示的最大的十进制的数是（）A．322B．332C．342D．3527．下面程序履行后输出的结果是()A．-1B．0C．1D．28．当x2时,下面的程序段结果是()主备：顾斌元订正：杨志福马宇鲲批阅：顾斌元党继雄15A．3B．7C．15D．179．下面为一个求20个数的均匀数的程序,在横线上应填补的语句为()A．i20B．i20C．i20D．i20n5i1S0s0s0i1WHILEs15WHILEi4DOssnss* x1INPUT xnn1ii1SSxWENDWENDii1PRINT n PRINT s LOOPUNTIL_ENDENDaS/20PRINT a 第7题程序第8题程序END第9题程序10．以下各数中最小的数是()A．1111112B．2106C．10004D．819二、填空题11．如图⑵程序框图箭头a指向①处时，输出s=__________．箭头a指向②处时，输出s=__________．开始a=2INPUT xb=3IF x>9 AND x<100 THENai=1c=4a =ba=x\10b=x MOD 10①b=c+2x=10*b+as=0c=b+4PRINT xs=s+i② d a b c /3PRINT “d =”；dE ND IFEND第13题程序i=i+1第12题Ni≤5?Y输出s11题结束12．本题程序运转结果为___________．16数学必修3第一章算法初步13．若输入的数字是“37输”出,的结果是________________．14．2183和1947的最大条约数是___________________．三、解答题15．已知f x =2x122x 5xx画出程序框图 ,并编写一个程序，对每输入的一个x值,都获得相应的函数值．16．某次考试,满分100分,按规定x80者为优秀,60x80者为及格,小于60者不及格,画出当输入一个同学的成绩x时,输出这个同学属于优秀、及格仍是不及格的程序框图．主备：顾斌元订正：杨志福马宇鲲批阅：顾斌元党继雄1717．铁路托运转李,从甲地到乙地,按规定每张客票托运转李不超出50㎏时,每千克0.2元, 超出50㎏时,超出部分按每千克0.25元计算,画出计算行李价钱的算法框图．18．用秦九韶算法计算函数 4 3f x 2x 3x 5x 4在x 2时的函数值．18。
新课标人教A版高中数学必修3教案完整版
第一章算法初步一、课标要求：1、本章的课标要求包括算法的含义、程序框图、基本算法语句，通过阅读中国古代教学中的算法案例，体会中国古代数学世界数学发展的贡献。
2、算法就是解决问题的步骤，算法也是数学及其应用的重要组成部分，是计算机科学的基础，利用计算机解决问需要算法，在日常生活中做任何事情也都有算法，当然我们更关心的是计算机的算法，计算机可以解决多类信息处理问题，但人们必须事先用计算机熟悉的语言，也就是计算能够理解的语言（即程序设计语言）来详细描述解决问题的步骤，即首先设计程序，对稍复杂一些的问题，直接写出解决该问题的程序是困难的，因此，我们要首先研究解决问题的算法，再把算法转化为程序，所以算法设计是使用计算机解决具体问题的一个极为重要的环节。
3、通过对解决具体问题的过程与步骤的分析（如二元一次方程组的求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。
理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。
理解并掌握几种基本的算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。
进一步体会算法的基本思想。
4、本章的重点是体会算法的思想，了解算法的含义，通过模仿、操作、探索，经过通过设计程序框图解决问题的过程。
点是在具体问题的解决过程中，理解三种基本逻辑结构，经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本的算法语句。
二、编写意图与特色：算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。
随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。
需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。
在本模块中，学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。
人教版高中必修3第一章算法初步课程设计
人教版高中必修3第一章算法初步课程设计课程目标本课程旨在帮助学生了解算法的基本概念和常用算法的实现方式，以及培养学生的编程思维能力和解决问题的能力。
教学内容1.算法的基本概念2.常用排序算法：冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序3.常用查找算法：顺序查找、二分查找4.算法的复杂度分析教学重点和难点教学重点•算法的基本概念和特点•常用排序算法和查找算法的原理和实现方式教学难点•快速排序的原理和实现方式•算法的复杂度分析教学方法本课程采用“理论讲授+案例分析+编程实践”的教学方法，具体如下：1.理论讲授：教师通过讲解PPT、示意图等形式，介绍算法的基本概念、常用算法的原理和实现方式。
2.案例分析：教师通过具体的案例，让学生在实践中理解算法的应用和优化。
3.编程实践：教师通过提供一些编程练习题，让学生进行算法实现和分析。
并在课堂上展示部分学生的优秀代码。
课程安排本课程共计4个课时，具体安排如下：1.第1课时：算法的基本概念。
介绍算法的定义、特点、效率和正确性等基本概念。
2.第2-3课时：排序算法。
介绍冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序的实现方式和时间复杂度分析。
3.第4课时：查找算法和复杂度分析。
介绍顺序查找、二分查找的实现方式和时间复杂度分析，以及算法的复杂度分析方法。
课程评价本课程考核方式为闭卷笔试和编程实践，笔试占60%，编程实践占40%。
针对学生的不同水平，编程实践的难度分为初级和高级两个难度级别，学生可以自主选择挑战。
同时，教师也将根据学生的课堂表现和编程作业进度，对学生进行平时成绩评价。
总结本课程以算法初步为主要内容，重点介绍了排序算法和查找算法，并通过编程实践提高学生的编程能力和解决问题的能力。
希望学生能通过本课程的学习，了解算法的概念和特点，掌握常用算法的实现方式，培养良好的编程思维和解决问题的能力，为后续专业学习打下基础。
人教A版高中数学必修3第一章算法初步1.3算法案例教案(6)
A ．16 和 12 的最大公约数是 4 C．85 和 357 的最大公约数是 34
B．78 和 36 的最大公约数是 6 D．105 和 315 的最大公约数是 105
精品文档
【解析】： C 用更相减损术求它们的最大公约数 .
(85， 357) → (85， 272) → (85，187) → (85，102) → (85，17) → (68，17) → (51，17) → (34，17) → (17，
∴51 是 459 与 357 的最大公约数 .
（三）课后作业
基础型自主突破 1．用更相减损术求 36 与 134 的最大公约数，第一步为 ( )
A ．134－36＝98
B．134＝ 3×36＋ 26
C．先除以 2，得到 18 与 67
D．134÷36＝3(余 26)
【解析】： C 更相减损术的算法第一步要求若两数均为偶数则要用 2 约简，故选 C
解：错因：本题结果虽正确，但解题过程是错误的．错误的根源在于没有完全掌握更相减损术的
规则．更相减损术要求若两数均为偶数则要用 2 约简．本题出错正是忽略这一过程所致．
正确解法：∵ 36 和 20 都是偶数，
∴两次用 2 约简得 9 和 5.
用更相减损的步骤如下：
9－ 5＝ 4，
5－ 4＝ 1，
4－ 1＝ 3，
INPUT m， n DO
r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END
A ．84
B．12
C．168
D．252
【解析】： A ∵1764＝840×2＋ 84，840＝ 84×10，∴ 1764 与 840 的最大公约数为 84.
高中数学《算法初步》教案新人教A版必修
高中数学《算法初步》教案新人教A版必修一、教材分析本节课所使用的教材为新人教A版高中数学必修教材，内容涉及算法初步。
算法初步是高中数学的重要组成部分，主要让学生了解算法的基本概念、特点和应用。
通过学习算法初步，学生能够理解算法的本质，提高解决问题的能力。
二、教学目标1. 了解算法的概念、特点和表示方法。
2. 掌握算法的基本逻辑结构，如顺序结构、条件结构和循环结构。
3. 能够分析实际问题，设计简单的算法解决问题。
4. 培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
三、教学重点与难点1. 教学重点：算法的概念、特点和表示方法。
算法的基本逻辑结构。
设计简单算法解决问题的方法。
2. 教学难点：算法的设计和分析。
循环结构在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中认识算法的重要性。
2. 通过案例分析，让学生理解算法的基本逻辑结构。
3. 利用编程实践，培养学生设计算法解决问题的能力。
4. 采用小组讨论、合作学习的方式，提高学生的参与度和积极性。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例，引导学生了解算法在日常生活中的应用。
提问：什么是算法？算法有什么特点？2. 讲解算法的基本概念：解释算法的定义，强调算法是解决问题的一系列步骤。
阐述算法的特点，如确定性、有穷性和可行性。
3. 学习算法表示方法：介绍算法的图形表示和伪代码表示。
举例说明不同表示方法在解决问题中的应用。
4. 掌握算法的基本逻辑结构：顺序结构：按照一定的顺序执行步骤。
条件结构：根据条件选择不同的执行路径。
循环结构：重复执行某些步骤直到满足条件。
5. 设计简单算法解决问题：分析实际问题，如计算Fibonacci 数列的前n项和。
引导学生设计算法，并利用编程工具实现。
6. 课堂小结：强调算法在解决问题中的重要性。
7. 课后作业：完成课后练习，巩固所学内容。
设计一个简单的算法，解决实际问题。
8. 课后反思：教师对本节课的教学效果进行反思，分析学生的掌握情况。
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1.3 算法案例整体设计教学分析在学生学习了算法的初步知识，理解了表示算法的算法步骤、程序框图和程序三种不同方式以后，再结合典型算法案例，让学生经历设计算法解决问题的全过程，体验算法在解决问题中的重要作用，体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力.三维目标1 •理解算法案例的算法步骤和程序框图.2•引导学生得出自己设计的算法程序.3.体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力重点难点教学重点：引导学生得出自己设计的算法步骤、程序框图和算法程序教学难点：体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力.课时安排3 课时教学过程第1课时案例1辗转相除法与更相减损术导入新课思路1 (情境导入)大家喜欢打乒乓球吧，由于东、西方文化及身体条件的不同，西方人喜欢横握拍打球，东方人喜欢直握拍打球，对于同一个问题，东、西方人处理问题方式是有所不同的.在小学，我们学过求两个正整数的最大公约数的方法：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.当两个数公有的质因数较大时(如8 251与6 105),使用上述方法求最大公约数就比较困难.下面我们介绍两种不同的算法一一辗转相除法与更相减损术，由此可以体会东、西方文化的差异.思路2 (直接导入)前面我们学习了算法步骤、程序框图和算法语句.今天我们将通过辗转相除法与更相减损术来进一步体会算法的思想.推进新课新知探究提出问题(1 )怎样用短除法求最大公约数？(2)怎样用穷举法(也叫枚举法)求最大公约数？(3)怎样用辗转相除法求最大公约数？(4)怎样用更相减损术求最大公约数？讨论结果：(1)短除法求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的除数连乘起来(2)穷举法(也叫枚举法)穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数（3）辗转相除法辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法步骤可以描述如下：第一步，给定两个正整数m n.第二步，求余数r :计算m除以n,将所得余数存放到变量r中.第三步，更新被除数和余数：m=n n=r.第四步，判断余数r是否为0.若余数为0，则输出结果；否则转向第二步继续循环执行•如此循环，直到得到结果为止•这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法•（4）更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术•《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也•以等数约之•”翻译为现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数，若是，用2约简；若不是，执行第二步•第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数•应用示例例1用辗转相除法求8 251与6 105的最大公约数，写出算法分析，画出程序框图，写出算法程序•解：用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数：8 25仁6 105 XI +2 146.由此可得，6 105与2 146的公约数也是8 251与6 105的公约数，反过来，8 251与6 105 的公约数也是6 105与2 146的公约数，所以它们的最大公约数相等•对 6 105 与 2 146 重复上述步骤：6 105=2 146 X 2+1 813.同理，2 146与1 813的最大公约数也是 6 105与2 146的最大公约数.继续重复上述步骤：2 146=1 813 X 1+333,1 813=333 X 5+148, 333=148X 2+37, 148=37X 4.最后的除数37是148和37的最大公约数，也就是8 251与6 105的最大公约数.这就是辗转相除法.由除法的性质可以知道，对于任意两个正整数，上述除法步骤总可以在有限步之后完成，从而总可以用辗转相除法求出两个正整数的最大公约数算法分析：从上面的例子可以看出，辗转相除法中包含重复操作的步骤，因此可以用循环结构来构造算法.算法步骤如下：第一步，给定两个正整数m, n.第二步，计算m除以n所得的余数为r.第三步，m=n n=r.第四步，若r=0 ,则m n的最大公约数等于m否则，返回第二步. 程序框图如下图：呼〕/输几伽/L i Jn=r程序：INPUT m,nDOr=m MOD nm=nn=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND点评：从教学实践看，有些学生不能理解算法中的转化过程，例如：求8 251与6 105的最大公约数，为什么可以转化为求 6 105与2 146的公约数.因为8 251=6 105 X 1+2 146 ,可以化为8 251- 6 105 X仁2 164，所以公约数能够整除等式两边的数，即 6 105与2 146 的公约数也是8 251与6 105的公约数.变式训练你能用当型循环结构构造算法，求两个正整数的最大公约数吗？试画出程序框图和程序•解：当型循环结构的程序框图如下图：程序：INPUT m , nr=1WHILE r >0r=m MOD nm=nn=rWENDPRINT mEND例2用更相减损术求98与63的最大公约数.解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，如下图所示.所以，98和63的最大公约数等于7.点评：更相减损术与辗转相除法的比较：尽管两种算法分别来源于东、西方古代数学名著，但是二者的算理却是相似的，有异曲同工之妙.主要区别在于辗转相除法进行的是除法运算，即辗转相除；而更相减损术进行的是减法运算，即辗转相减，但是实质都是一个不断的递归过程.变式训练用辗转相除法或者更相减损术求三个数324,243,135的最大公约数.解：324=243X 1+ 81,243=81 X 3+ 0,则324与243的最大公约数为81.又135=81X 1+ 54, 8仁54X 1+ 27,54=27X 2+ 0,则81与135的最大公约数为27.所以，三个数324、243、135的最大公约数为27.另法：324- 243=81,243 - 81=162,162 - 81=81，则324 与243 的最大公约数为81.135-81=54,81 - 54=27,54 - 27=27,则81 与135 的最大公约数为27.所以，三个数324、243.135的最大公约数为27.例3 ( 1)用辗转相除法求123和48的最大公约数.(2 )用更相减损术求80和36的最大公约数.解：(1)辗转相除法求最大公约数的过程如下：123= 2X 48+ 27,48= 1X 27+ 21,27= 1X 21+ 6,21 = 3X 6+ 3,6= 2X 3+0,最后6能被3整除，得123和48的最大公约数为3.(2)我们将80作为大数，36作为小数，因为80和36都是偶数，要除公因数 2.80-2=40, 36- 2=18.40和18都是偶数，要除公因数2.40-2=20, 18-2=9.下面来求20与9的最大公约数，20- 9=11,11—9=2,9-2=7,7—2=5,5-2=3,3-2=1 ,2- 1=1 ,可得80和36的最大公约数为22X仁4.点评：对比两种方法控制好算法的结束，辗转相除法是到达余数为0,更相减损术是到达减数和差相等•变式训练分别用辗转相除法和更相减损术求 1 734 , 816的最大公约数.解：辗转相除法：1 734=816X2+102, 816=102X8 (余0),••• 1 734与816的最大公约数是102 .更相减损术：因为两数皆为偶数，首先除以2得到867, 408,再求867与408的最大公约数.867-408=459 ,459-408=51 ,408-5 仁357 ,357-51=306 ,306-5仁255 ,255-51=204 ,204-51=153 ,153-51=102 ,102-51=51.• 1 734与816的最大公约数是51 X 2=102.利用更相减损术可另解：1 734 - 816= 918 ,918-816 = 102 ,816- 102 = 714 ,714- 102 = 612 ,612- 102 = 510 ,510- 102 = 408 ,408 - 102 = 306 ,306 - 102 = 204 ,204 - 102 = 102.知能训练求319, 377, 116的最大公约数.解：377=319X 1+58,319=58X 5+29,58=29X 2.•377与319的最大公约数为29,再求29与116的最大公约数. 116=29X 4.•29与116的最大公约数为29.•377, 319, 116的最大公约数为29.拓展提升试写出利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的程序. 解：更相减损术程序：INPUT “m n=”；m nWHILE m<> nIF m>n THENm= m-nELSEm=n-mEND IFWENDPRINT mEND课堂小结(1)用辗转相除法求最大公约数.(2)用更相减损术求最大公约数.思想方法：递归思想.作业分别用辗转相除法和更相减损术求261, 319的最大公约数.分析：本题主要考查辗转相除法和更相减损术及其应用•使用辗转相除法可依据反复执行，直到r=0为止；用更相减损术就是根据m-n=r，反复执行，直到n=r 解：辗转相除法：319=261X 1+58,26仁58X 4+29,58=29X 2.•319与261的最大公约数是29.更相减损术：319-261=58,261-58=203,203-58=145,145-58=87,87-58=29,58-29=29,m=n q+r,为止.设计感想数学不仅是一门科学，也是一种文化，本节的引入从东、西方文化的不同开始，逐步向学生渗透数学文化•从知识方面主要学习用两种方法求两个正整数的最大公约数，从思想方法方面，主要学习递归思想•本节设置精彩例题，不仅让学生学到知识，而且让学生进一步体会算法的思想，培养学生的爱国主义情操.第2课时案例2秦九韶算法导入新课思路1 (情境导入)大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃，而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口的吃，由此看来处理同一个问题的方法多种多样•怎样求多项式f(x)=x 5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？方法也是多种多样的，今天我们开始学习秦九韶算法.思路2 (直接导入)前面我们学习了辗转相除法与更相减损术，今天我们开始学习秦九韶算法.推进新课新知探究提出问题5 4 3 2(1 )求多项式f(x)=x +x +x +x +x+1当x=5时的值有哪些方法？比较它们的特点(2)什么是秦九韶算法？(3)怎样评价一个算法的好坏？讨论结果：(1)怎样求多项式f(x)=x 5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？一个自然的做法就是把5代入多项式f(x)，计算各项的值，然后把它们加起来，这时，我们一共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算.另一种做法是先计算x2的值，然后依次计算x2• x, ( x2• x)・x, ((x2• x)・X)・x 的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算.第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能够提高运算效率，对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以采用第二种做法，计算机能更快地得到结果.(2)上面问题有没有更有效的算法呢？我国南宋时期的数学家秦九韶(约1202~1261 )在他的著作《数书九章》中提出了下面的算法：把一个n次多项式f(x)=a n X n+a n-1X n-1+…+a1X+a o改写成如下形式：n n-1f(x)=a n x +a n-1x + …+a1x+a on-1 n-2=(a n x +a n-1 x + …+a1) x+ a on-2 n-3=((a n x +a n-1 x + …+a2) x+a"x+a o=* ■ •=(…((a n X+a n-1) x+a n-2) x+…+a 1) x+a o.求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即V1 =a n X+a n-1 ,然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即V2=V1X+a n-2 ,V3=V2X+a n-3 ,V n=V n-1 X+a o,这样，求n次多项式f (x)的值就转化为求n个一次多项式的值.上述方法称为秦九韶算法•直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法•(3 )计算机的一个很重要的特点就是运算速度快，但即便如此，算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数•如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论的算法•应用示例5 4 3 2例 1 已知一个 5 次多项式为f(x)=5x +2x +3.5x -2.6x +1.7x-0.8 ，用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值.解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)= ( (((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8 ，按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=5时的值：v o=5;v i=5X 5+2=27;V2=27X 5+3.5=138.5;V3=138.5 X 5 -2.6=689.9;V4=689.9 X 5+1.7=3 451.2;V5=3 415.2 X5 -0.8=17 255.2;所以，当x=5时，多项式的值等于17 255.2.V o=a n,算法分析：观察上述秦九韶算法中的n个一次式，可见V k的计算要用到V k-1的值，若令我们可以得到下面的公式：V。