金融风险管理Chapter_2财务风险管理的数理基础

S
x
3
• 以表2.1為例，其樣本偏態係數為：
偏態係數 =
10 98
10 [( xi
i 1
92.499 )3 ] 2.908
=
10 [(2.049)3 (1.052)3 72
..... (1.159)3 (1.197)3 ]
= 0.843
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峰態係數
• 用以測量資料分佈形狀峰度有多高，因此可用以衡量 風險集中密集的程度。
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高素養的財務管理人才
• 現代的財務管理與風險管理的能力不僅需要財金專業的背 景，更需要有嚴謹的數理思維訓練，尤其是新型交易工具 與策略不斷推出，定價與分析大量資料以評估風險等的能 力，需要具備非常好的數理與統計的基礎。
• 具有堅實計量分析基礎的頂尖商業人才再加上嚴謹的數理 思惟訓練，已成為華爾街身價最高的搶手貨。
n
xi
i 1
91.78
92.39
92.89
93.95
94.54
95.87
95.98
10
92.499
•
s 2
1 n 1
n i 1
( xi
xn )2
1 9
10 i 1
xi
92.4992
•
8.455
• 所以標準差為： s2 8.455 2.908
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變異係數（Coefficient of Variance）
可能情況分類
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
資產價值
86.54 89.44 91.61 91.78 92.39 92.89 93.95 94.54 95.87 95.98
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例 子(根據表2.1 )
•
x
x1 x2 ..... xn 1
n
n
1 86.54 89.44 91.61
樣本峰態係數 = 10 11 10 [( xi 92.499 )4 ]
9 8 7 i1
2.908
=
100 [(2.049)4 504
(1.052)4
• 時間數列（Time Series）：隨機變數隨著時間的經 過，可以形成一組序列資料，此一跟時間有關而產生 的資料。
• 隨機過程（Random Process） ：這些無法預知的數 字稱為隨機變數，產生的過程則稱隨機過程 。
3
機率三項公理
• P(A) 0 ，A ：表示機率的數值一定會
大零於或是等於零，絕對不會有負值。
• 大量利用如「火箭科學（Rocket Science）」般艱澀的數學 觀念與技巧運用在金融產品上，因此顛覆了傳統的比例分 析等簡易的投資分析方法，而成為現今金融分析的主流。
2
2.1 隨機過程與機率分配之建立
• 隨機變數（Random Variable）：序列中任一時刻所 觀察到的值卻是不確定的。
• 比較兩個隨機變數的標準差或變異數時，會因為兩者 的單位不同而無法比較，變異係數（Coefficient of Variance，C.V.）可以避免這樣的問題 。
標準差 C.V . 平均值
• 用以表示每一單位報酬所帶來的風險，也是可以用來 衡量不同投資之標的之間「相對風險」的指標。
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2.2.3 偏態與峰態
－ f (x) 1 xR
－ P(x A) f (x) ，其中 A R xA
則稱函數為隨機變數的機率質量函數（Probability Mass Function，P.M.F）。
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機率分配函數
• 若函數滿足下述性質(連續型)：
－ f (x) 0 ，x R
－ f ( x)dx 1
－ P(x A) f (x)dx ，其中A R A
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2.2.1 母體平均數與變異數
• 基本統計量了解資料的特性 ：平均數（Mean）、變 異數（Variance）、偏態係數（Coefficient of Skewness）、峰態係數（Coefficient of Kutosis） 。
• 母體：描述隨機變數的真實性質。 • 樣本：藉著分析樣本資料來推斷母體的特性。
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母體平均數（Population Mean）
N
• 若為離散型，則 xi f ( xi )
i 1
• 若為連續型，則 xf ( xi )dx
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母體變異數（Population Variance）
n
•
若X為間斷型，則
Var(x) 2
xi
2
f
(
xi
)
i 1
• 若X為連續型，則 Var(x) 2 x 2 f (x) dx
稱函數為隨機變數的機率密度函數（Probability Density Function，P.D.F.）。
l 累積分配函數（Cumulative Distribution Function，
C.D.F.）：F (x) P(X x)
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2.2 基本的敘述統計量
• 母體平均數與變異數 • 樣本平均數與樣本變異數 • 偏態與峰態 • 共變數與相關係數
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2.2.2 樣本平均數與樣本變異數
• 樣本平均數（Sample Mean）定義為：
x
x1 ..... xn n
1 n
n i 1
xi
• 樣本變異數定義（Sample Variance）為：
s 2
1 n 1
n
( xi
i 1
xn )2
• s2開根號後取正根稱為標準差，以s表示。
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表2.1 資產年底可能價值
• P =1：所有結果出現機率的加總必為一。
• 若 A B (A與B為互斥事件)，則 • P(A B) P(A) P(B) ， A, B 。
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機率分配函數
• 又可分為間斷（Discrete）與連續（Continuous）兩種 型態。
• 若函數滿足下列性質(間斷型)：
－ 0 f (x) 1，x R
• 若隨機變數為間斷型，則：
母體峰態係數
n i 1
xi
4
f ( xi )
• 若隨機變數為連續型，則：
母體峰態係數
x
4
f
( x )dx
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峰態係數 (樣本)
•
樣本峰態係數 =
n(n 1)
n [( xi )]4
(n 1)(n 2)(n 3) i1
• 例子(表2.1)
• 偏態係數可用以瞭解投資獲利與損失的機會是否相等 ，兩者會不會有顯著差異。
• 若隨機變數為間斷型，則：
母體偏態係數
n i 1
xi
3
f
( xi )
பைடு நூலகம்
• 若隨機變數為連續型，則：
母體偏態係數
x
3
f (x)dx
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樣本偏態係數
•
偏態係數
n (n 1)(n 2)
n i 1
xi