重庆十八中20172018学年高一下学期半期考试数学(理)试卷
2017-2018学年高一下学期期中考试数学试卷Word版含答案
2017-2018学年高一下学期期中考试数学试卷一（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1.下列说法中正确的是（ ）A ．共线向量的夹角为00或0180.B ．长度相等的向量叫做相等向量；C ．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D ．零向量没有方向．2.下列函数中为奇函数的是（ ）A.sin ||y x =B.sin 2y x =C.sin 2y x =-+D.sin 1y x =+3.已知角的终边经过点(4,3)-，则tan α=（ ） A.34 B.34- C.43 D.43-4.函数5cos(4)6y x π=-的最小正周期是（ ）A.4πB.2πC.πD.2π5.在直角坐标系中，直线330x -=的倾斜角是（ ） A.6π B. 3π C. 56π D. 23π6.函数3sin(2)6y x π=-+的单调递减区间（ ） A 5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ B ．511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ D ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈7.函数3sin(2)26y x π=++图象的一条对称轴方程是（ ） A.12x π=- B.0x = C.23x π= D.3π8.下列选项中叙述正确的是（ ）A.终边不同的角同一三角函数值可以相等B.三角形的内角是第一象限角或第二象限角C.第一象限是锐角D.第二象限的角比第一象限的角大9.如果点)cos 2,cos (sin θθθP 位于第二象限，那么角θ所在象限是（ ）Ａ.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.向量AB BO OM MB +++ 化简后等于（ ）A ．ACB ．BC C ．AMD ．AB11.已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象如右图所示，如果0,0,||2A πωϕ>><，则（ ） A. 4=AB.2ω=C.12πϕ=D.4=B12.给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sin sin A B =，则有A B =；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.以点(0,2)和(4,0)为端点的线段的中垂线的方程是 .14.圆x 2＋y 2＝4上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离最小值为____________．15.已知=,=, =,=,=,则+++-= ．16.三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17（本题满分10分）已知角α的终边经过一点(5,12)(0)P a a a ->，求ααcos sin 2+的值；18．（本题满分12分）已知ABC △的三个顶点(04)A ，，(26)B -，，(82)C ，；（1）求AB 边的中线所在直线方程. （2）求AC 的中垂线方程.19. （本题满分12分）若圆经过点(2,0),(4,0),(1,2)A B C ，求这个圆的方程.20. （本题满分12分）已知54cos ,cos(),01352πααββα=-=<<<且, （1）求α2tan 的值； （2）求cos β的值21（本题满分12分）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>>< 的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．22.（本题满分12分）已知函数2()sin cos 1(0)f x x x x ωωωω=⋅->的周期为π. （1）当[0,]2x π∈时，求()f x 的取值范围；（2）求函数()f x 的单调递增区间.2017-2018学年高一下学期期中考试数学试卷答案一（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1、A2、B3、B4、D5、D6、C7、C8、A9、D 10、D11、B 12、C二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.230x y --= 14. 3 15. 0 16.17三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17（本题满分10分）.已知角α的终边经过一点(5,12)(0)P a a a ->，求ααcos sin 2+的值；17．1913-；． 试题解析：（1）由已知a a a Y 13)12()5(22=-+=………………3分810分18．（本题满分12分）已知ABC △的三个顶点(04)A ，，(26)B -，，(82)C ，；（1）求AB 边的中线所在直线方程.（2）求AC 的中垂线方程.18．（1）3140x y +-=， （2）134-=x y【解析】(1)∵线段AB 的中点为(15)-，，∴AB 边的中线所在直线方程是512581y x -+=-+，，， 即3140x y +-=，……6分（2）AC 的中点为（4.3） ∴418024-=--=KAC ∴134)4(43-=-=-x y x y 即∴134-=x y AC 的中垂成方程为……12分19. （本题满分12分）若圆经过点(2,0),(4,0),(1,2)A B C ，求这个圆的方程.19.设圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ……2分∴⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++=++02504160F D 24F E D F D ……8分 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==827-6D F E ……11分 ∴圆的方程为：0827622=+--+y x y x ………12分20. （本题满分12分）已知54cos ,cos(),01352πααββα=-=<<<且, （1）求α2tan 的值；（2）求cos β的值. 20.(1) 120119-;(2). cos β=6556 【解析】（1）由20,135cos π<<=a a 得 1cos ,072παα=<<，得 ∴，于是2）由02παβ<<<，得02παβ<-<又∵，∴由()βααβ=--得： ()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-655613125354135=⨯+⨯=…12分. 21. （本题满分12分）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>>< 的部分图象如图所示， （Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．21.析：（Ⅰ）由图象可知2A =，125212122ππππω=+= ，所以2ω=； 所以()2sin(2)f x x ϕ=+，又图象的一个最高点为(,2)12π-所以2()2()122k k Z ππϕπ⋅-+=+∈，解得22()3k k Z πϕπ=+∈又2||,3πϕπϕ<∴=． 所以2()2sin(2)3f x x π=+．………6分（Ⅱ） 由)(1222322Z k k X k x ∈-=+=+πππππ得)(x f ∴的对称轴为)(122Z k k x ∈-=ππ 由ππk x =+322得)(32Z k k x ∈-=ππ)0,32)(ππ-∴kx f 的对称中心为（)(Z k ∈……12分22.（本题满分12分）已知函数2()sin cos 1(0)f x x x x ωωωω=⋅->的周期为π. （1）当[0,]2x π∈时，求()f x 的取值范围；（2）求函数()f x 的单调递增区间. 22．]21,1[-，3,6[ππππ+-K K ，Z K ∈ 【解析】（1）解:.21)62sin(12sin 2322cos 1--=-+-=πωωωx x x y 20,,1,2T ππωπωωω>∴===∴= ∴函数1()sin(2).62f x x π=-- ……3分 若6562620ππππ≤-≤-≤≤x x 则1)62sin(21≤-≤-∴πx2121)62sin(1≤--≤-∴πx⎥⎦⎤⎢⎣⎡∴211-、的取值范围为y ……8分（2）令226222πππππ+≤-≤-k x k 得：326+≤≤-πππk x k )(Z k ∈)(]36[)(Z k k k x f ∈+-∴ππππ、的单调递增区间为………12分。
2017-2018学年重庆市高一(下)期末考试数学试卷Word版含解析
2017-2018学年重庆市高一（下）期末试数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．已知等差数列{a n}中，a2+a8=2，a5+a11=8，则其公差是（）A．6 B．3 C．2 D．12．学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在上的运动员人数是（）A．3 B．4 C．5 D．64．如图所示的程序的输出结果为S=132，则判断框中应填（）A．i≥10？B．i≥11？C．i≤11？D．i≥12？5．已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x﹣y的取值范围是（）A．B．C．D．6．已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．847．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞08．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=（）A．1 B．2 C．3 D．49．袋内装有6个球，每个球上都记有从1到6的一个号码，设号码为n的球重n2﹣6n+12克，这些球等可能地从袋里取出（不受重量、号码的影响）．若任意取出1球，则其重量大于号码数的概率为（）A．B．C．D．10．某企业生产甲乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 2 2 8A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元11．若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A．B．2 C．2D．412．锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=2A，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡相应的位置上. 13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=3，B=60°．则b=．14．在区间内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为．15．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C=60°，且3ab=25﹣c2，则△ABC的面积最大值为．三、解答题：（本大题6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上相应题目指定的方框内（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.17．在等比数列{a n}中，a1=1，且4a1，2a2，a3成等差数列．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）令b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和S n．18．在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c=2，C=60°．（1）求的值；（2）若a+b=ab，求△ABC的面积S△ABC．19．某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数学为茎，个位数学为叶得到的茎叶图如图所示，已知甲、乙两组数据的平均数都为10．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）别求出甲、乙两组数据的方差S甲2和S乙2，并由此分析两组技工的加工水平；（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．（注：为数据x1，x2，…x n的平均数，方差S2=）20．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T n，求使得|T n﹣1|成立的n的最小值．21．已知函数f（x）=（a、b为常数）．（1）若b=1，解不等式f（x﹣1）＜0；（2）若a=1，当x∈时，f（x）＞恒成立，求b的取值范围．22．已知各项均为正数的数列{a n}，其前n项和为S n，且满足2S n=a n2+a n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{}的前n项和为T n，求证：当n≥3时，T n＞+．2017-2018学年重庆市高一（下）期末试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．已知等差数列{a n}中，a2+a8=2，a5+a11=8，则其公差是（）A．6 B．3 C．2 D．1考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式求解．解答：解：等差数列{a n}中，∵a2+a8=2，a5+a11=8，∴，解得a1=﹣3，d=1．故选：D．点评：本题考查等差数列的公差的求法，解题时要认真审题，是基础题．2．学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在上的运动员人数是（）A．3 B．4 C．5 D．6考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：对各数据分层为三个区间，然后根据系数抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，然后各层按照此比例抽取．解答：解：由已知，将个数据分为三个层次是，，，根据系数抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，所以成绩在区间中共有20名运动员，抽取人数为20×=4；故选B．点评：本题考查了茎叶图的认识以及利用系统抽样抽取个体的方法；关键是正确分层，明确抽取比例．4．如图所示的程序的输出结果为S=132，则判断框中应填（）A．i≥10？B．i≥11？C．i≤11？D．i≥12？考点：程序框图．专题：操作型．分析：由框图可以得出，循环体中的运算是每执行一次s就变成了s乘以i，i的值变为i﹣2，故S的值是从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由此规律解题计算出循环体执行几次，再求出退出循环的条件，对比四个选项得出正确答案．解答：解：由题意，S表示从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由于12×11=132，故此循环体需要执行两次所以每次执行后i的值依次为11，10由于i的值为10时，就应该退出循环，再考察四个选项，B符合题意故选B点评：本题考查循环结构，解答本题，关键是根据框图得出算法，计算出循环次数，再由i的变化规律得出退出循环的条件．本题是框图考查常见的形式，较多见，题后作好总结．5．已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x﹣y的取值范围是（）A．B．C．D．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x﹣y对应的直线进行平移，观察x轴上的截距变化，得出目标函数的最大、最小值，即可得到z=x﹣y的取值范围．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，0），B（2，1），C（0，1）设z=F（x，y）=x﹣y，将直线l：z=x﹣y进行平移，观察x轴上的截距变化，可得当l经过点C时，z达到最小值；l经过点A时，z达到最大值∴z最小值=F（0，1）=﹣1，z最大值=F（2，0）=2即z=x﹣y的取值范围是故选：A点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x﹣y的范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．6．已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．84考点：等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．解答：解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B点评：本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．7．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：对选项分别进行判断，即可得出结论．解答：解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；若a1+a3＜0，则a1+a2=2a1+2d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；{a n}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2＜0，即D不正确．故选：C．点评：本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．8．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．解答：解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==，∴sinC=，sinA=，∴===1．故选：A．点评：本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．9．袋内装有6个球，每个球上都记有从1到6的一个号码，设号码为n的球重n2﹣6n+12克，这些球等可能地从袋里取出（不受重量、号码的影响）．若任意取出1球，则其重量大于号码数的概率为（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：任意取出1球，共有6种等可能的方法，要求其重量大于号码数的概率，根据号码为n的球的重量为n2﹣6n+12克，构造关于n的不等式，解不等式即可得到满足条件的基本事件的个数，代入古典概型公式即可求解．解答：解：由题意，任意取出1球，共有6种等可能的方法．由不等式n2﹣6n+12＞n，得n＞4或n＜3，所以n=1或2，n=5或6，于是所求概率P==故选D．点评：本题考查古典概型概率公式，考查学生的计算能力，属于基础题．10．某企业生产甲乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 2 2 8A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元考点：简单线性规划的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y顿，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值解答：解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y顿，利润为z元，则，目标函数为z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即A的坐标为x=4，y=0，∴z max=3x+4y=12．即每天生产甲乙两种产品分别为2，3顿，能够产生最大的利润，最大的利润是12万元，故选：A．点评：本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键11．若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A．B．2 C．2D．4考点：基本不等式．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：由+=，可判断a＞0，b＞0，然后利用基础不等式即可求解ab的最小值解答：解：∵+=，∴a＞0，b＞0，∵（当且仅当b=2a时取等号），∴，解可得，ab，即ab的最小值为2，故选：C．点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题12．锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=2A，则的取值范围是（）A．B．C．D．考点：正弦定理；二倍角的正弦．专题：计算题；解三角形．分析：由题意可得0＜2A＜，且＜3A＜π，解得A的范围，可得cosA的范围，由正弦定理求得=2cosA，解得所求．解答：解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=2A，∴0＜2A＜，且B+A=3A，∴＜3A＜π．∴＜A＜，∴＜cosA＜．由正弦定理可得==2cosA，∴＜2cosA＜，故选B．点评：本题考查正弦定理，二倍角的正弦公式，判断＜A＜，是解题的关键和难点．二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡相应的位置上.13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=3，B=60°．则b=．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理列出关系式，将a，c及cosB代入计算即可求出b的值．解答：解：∵a=2，c=3，B=60°，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=4+9﹣6=7，则b=．故答案为：点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．14．在区间内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为0.3．考点：几何概型．专题：计算题；转化思想．分析：由1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}代入得出关于参数a的不等式，解之求得a的范围，再由几何的概率模型的知识求出其概率．解答：解：由题意1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}，故有2+a﹣a2＞0，解得﹣1＜a＜2由几何概率模型的知识知，总的测度，区间的长度为10，随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}这个事件的测度为3故区间内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为0.3故答案为0.3点评：本题考查几何概率模型，求解本题的关键是正确理解1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的意义，即得到参数a所满足的不等式，从中解出事件所对应的测度15．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为﹣1．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（0，1）．∴z=2x﹣y的最小值为2×0﹣1=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C=60°，且3ab=25﹣c2，则△ABC的面积最大值为．考点：基本不等式；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：根据余弦定理结合C=60°，算出c2=a2+b2﹣ab，结合题中的等式得a2+b2﹣ab=25﹣3ab，整理得（a+b）2=25，解出a+b=5．由基本不等式，得当且仅当a=b=时ab的最大值为，由此结合正弦定理的面积公式，即可算出△ABC的面积的最大值．解答：解：∵△ABC中，C=60°，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab又∵3ab=25﹣c2，得c2=25﹣3ab∴a2+b2﹣ab=25﹣3ab，移项得（a+b）2=25，可得a+b=5∵△ABC的面积S=absinC=ab，且ab≤=∴当且仅当a=b=时，ab的最大值为，此时△ABC的面积的最大值为故答案为：点评：本题给出三角形ABC的角C和边之间的关系式，求三角形面积的最大值．着重考查了用基本不等式求最值、三角形的面积公式和余弦定理等知识，属于中档题．三、解答题：（本大题6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上相应题目指定的方框内（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.17．在等比数列{a n}中，a1=1，且4a1，2a2，a3成等差数列．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）令b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和S n．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（I）设{a n}的公比为q，根据等比数列的通项公式与等差中项的定义，建立关于q的等式解出q=2，即可求出{a n}的通项公式．（II）根据（I）中求出的{a n}的通项公式，利用对数的运算法则算出b n=n﹣1，从而证出{b n}是首项为0、公差为1的等差数列，再利用等差数列的前n项和公式加以计算，可得数列{b n}的前n项和S n的表达式．解答：解：（Ⅰ）设{a n}的公比为q，∵4a1，2a2，a3成等差数列，∴4a1+a3=4a2．又∵{a n}的公比为q，首项a1=1，∴4+q2=4q，解之得q=2．∴数列{a n}的通项公式为（n∈N*）．（Ⅱ）∵，∴，由此可得b n+1﹣b n=n﹣（n﹣1）=1，b1=0，∴{b n}是首项为0、公差为1的等差数列，因此，数列{b n}的前n项和．点评：本题给出等比数列{a n}满足的条件，求它的通项公式并依此求数列{b n}的前n项和．着重考查了等差、等比数列的通项与性质，等差数列的前n项之积公式与对数的运算法则等知识，属于中档题．18．在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c=2，C=60°．（1）求的值；（2）若a+b=ab，求△ABC的面积S△ABC．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）根据正弦定理求出，然后代入所求的式子即可；（2）由余弦定理求出ab=4，然后根据三角形的面积公式求出答案．解答：解：（1）由正弦定理可设，所以，所以．…（6分）（2）由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，又a+b=ab，所以（ab）2﹣3ab﹣4=0，解得ab=4或ab=﹣1（舍去）所以．…（14分）点评：本题考查了正弦定理、余弦定理等知识．在解三角形问题中常涉及正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及同角三角函数基本关系等问题，故应综合把握．19．某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数学为茎，个位数学为叶得到的茎叶图如图所示，已知甲、乙两组数据的平均数都为10．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）别求出甲、乙两组数据的方差S甲2和S乙2，并由此分析两组技工的加工水平；（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．（注：为数据x1，x2，…x n的平均数，方差S2=）考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意根据平均数的计算公式分别求出m，n的值．（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差S甲2和S乙2，再根据它们的平均值相等，可得方差较小的发挥更稳定一些．（Ⅲ）用列举法求得所有的基本事件的个数，找出其中满足该车间“待整改”的基本事件的个数，即可求得该车间“待整改”的概率．解答：解：（I）由题意可得=（7+8+10+12+10+m）=10，解得m=3．再由=（n+9+10+11+12）=10，解得n=8．（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差，S甲2==5.2，S乙2==2，并由，S甲2＜S乙2，可得两组的整体水平相当，乙组的发挥更稳定一些．（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为（a，b），则所有的（a，b）有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（7，11）、（7，12）、（8，8）、（8，9）、（8，10）、（8，11）、（8，12）、（10，8）、（10，9）、（10，10）、（10，11）、（10，12）、（12，8）、（12，9）、（12，10）、（12，11）、（12，12）、（13，8）、（13，9）、（13，10）、（13，11）、（13，12），共计25个，而满足a+b≤17的基本事件有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（8，8）、（8，9），共计5个基本事件，故满足a+b＞17的基本事件个数为25﹣5=20，即该车间“待整改”的基本事件有20个，故该车间“待整改”的概率为P==．点评：本题主要考查方差的定义和求法，古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于中档题．20．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T n，求使得|T n﹣1|成立的n的最小值．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知数列递推式得到a n=2a n﹣1（n≥2），再由已知a1，a2+1，a3成等差数列求出数列首项，可得数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，则其通项公式可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列{}的通项公式，再由等比数列的前n项和求得T n，结合求解指数不等式得n的最小值．解答：解：（Ⅰ）由已知S n=2a n﹣a1，有a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），即a n=2a n﹣1（n≥2），从而a2=2a1，a3=2a2=4a1，又∵a1，a2+1，a3成等差数列，∴a1+4a1=2（2a1+1），解得：a1=2．∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，∴．由，得，即2n＞1000．∵29=512＜1000＜1024=210，∴n≥10．于是，使|T n﹣1|成立的n的最小值为10．点评：本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．已知函数f（x）=（a、b为常数）．（1）若b=1，解不等式f（x﹣1）＜0；（2）若a=1，当x∈时，f（x）＞恒成立，求b的取值范围．考点：函数恒成立问题；其他不等式的解法．专题：综合题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）f（x﹣1）＜0即，按照1﹣a与0的大小关系分三种情况讨论可解不等式；（2）a=1时不等式可化为（※），由x≠﹣b可知b∉，分离出参数b后化为函数的最值即可，由基本不等式可求最值；解答：解：（1）f（x﹣1）＜0即，①当1﹣a＞0，即a＜1时，不等式的解集为：（0，1﹣a）；②当1﹣a=0，即a=1时，不等式的解集为：x∈ϕ；③当1﹣a＜0，即a＞1时，不等式的解集为：（1﹣a，0）．（2）a=1时，f（x）＞即（※）且x≠﹣b，不等式恒成立，则b∉；又当x=﹣1时，不等式（※）显然成立；当﹣1＜x≤2时，，故b＞﹣1．综上所述，b＞﹣1．∵x+b≠0，∴b≠﹣x，又x∈，∴﹣x∈，综上，b∈（1，+∞）为所求．点评：该题考查函数恒成立、分式不等式的解法，考查分类讨论思想，考查学生对问题的转化能力．22．已知各项均为正数的数列{a n}，其前n项和为S n，且满足2S n=a n2+a n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{}的前n项和为T n，求证：当n≥3时，T n＞+．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出，化简得（a n﹣a n﹣1﹣1）（a n+a n﹣1）=0，由此能求出a n=n．（Ⅱ）当n≥3时，利用放缩法和裂项求和法能证明T n＞+．解答：解：（Ⅰ）∵…①，∴，解得a1=1或0（舍），且…②，①﹣②得，化简得（a n﹣a n﹣1﹣1）（a n+a n﹣1）=0，∵数列{a n}各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1﹣1=0，即a n=a n﹣1+1，∴{a n}为等差数列，a n=n，经检验，a1=1也符合该式，∴a n=n．…（5分）（Ⅱ）当n≥3时，∴当n≥3时，T n＞+．…（12分）点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意放缩法和裂项求和法的合理运用．。
2017-2018学年高一下学期期中统一考试数学试题Word版含答案
2017-2018学年高一下学期期中统一考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项） 1、经过1小时，时针旋转的角是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 2、已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3tan 4α=-，则sin()απ+=（ ）A ．35- B ．35 C ．45- D ．45 3、一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ）A ．2π B ．3πC4 ）项. A.21 B.22 C.23 D.245、在四边形ABCD 中，)2,1(=，)2,4(-=，则该四边形的面积为（ ） A.5 B.52 C.5 D.106、在ABC ∆中1tan tan )tan (tan 3-=+C B C B ，则A 2sin =（ ）A ．23-B ．23C ．2D ．217、已知函数200f x sin x ωϕωϕπ=+（）（）（＞，＜＜），且函数 的图象如图所示，则点（ωϕ， ）的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．8、函数y = ） A ．[2,2]()33k k k Z ππππ-+∈ B ．[2,2]()66k k k Z ππππ-+∈C ．2[2,2]()33k k k Z ππππ++∈ D ．22[2,2]()33k k k Z ππππ-+∈9、记0sin(cos 2016)a =，0sin(sin 2016)b =，0cos(sin 2016)c =，cos(cos 2016)d =︒，则（ ） A ．d c b a >>> B ．c d b a >>> C ．d c a b >>> D ．a b d c >>> 10、40sin 125cos 40cos -=( )A. 1B.3C.2D.211、已知函数)0)(cos 3(sin cos )(>+=ωωωωx x x x f ，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有)2016()()(00π+≤≤x f x f x f 成立，则ω的最小值为（ ）A ．40321 B ．π40321 C ．20161 D ．π2016112、已知点O 是锐角ABC ∆的外心，3,12,8π===A AC AB .若y x +=，则=+y x 96( )A.6B.5C.4D.3 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知角)(παπα<≤-的终边过点)32cos ,32(sinππP ，则=α ．14、已知向量,a b 满足2,3a b == ，且2a b -=a 在向量b 方向上的投影为 ．15、已知x ，y 均为正数，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且满足sin cos x y θθ=，()222222cos sin 174x y x y θθ+=+，则x y 的值为 ．16、给出下列五个命题：①函数2sin(2)3y x π=-的一条对称轴是512x π=；②函数tan y x =的图象关于点（2π,0）对称； ③正弦函数在第一象限为增函数；④若12sin(2)sin(2)44x x ππ-=-，则12x x k π-=，其中k ∈Z ；⑤函数()sin 2sin [2]0f x x x x π=+∈，，的图像与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围为()1,3.其中正确命题的序号为 ．三、解答题（本大题共6题，共70分，17题10分，其余5题各12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17、已知4π＜α＜4π3，0＜β＜4π，cos （4π+α）=－53，sin （4π3+β）=135，求sin （α+β）的值．18．已知12,e e 是平面内两个不共线的非零向量，122AB e e =+ ，12BE e e λ=-+ ，122EC e e =-+，且,,A E C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)已知12(2,1),(2,2)e e ==-,点(3,5)D ，若,,,A B C D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．19、已知]43,4[,2)26sin(2)(πππ∈++-=x b a x a x f ． （1）若Q b Q a ∈∈,,)(x f 的值域为}133|{-≤≤-y y ，求出a 、b 的值 （2）在（1）的条件下，求函数)(x f 的单调区间．20、已知向量)cos 2cos ,sin 2(sin ),sin ,(cos ),sin ,(cos αααα++===x x x x ，其中0πx α<<<． （1）若π4α=，求函数x f ∙=)(的最小值及相应x 的值； （2）若a 与b 的夹角为π3，且a c ⊥ ，求tan2α的值．21、已知函数)22,0()sin()(πϕπωϕω<<->++=b x x f 相邻两对称轴间的距离为2π，若将)(x f 的图像先向左平移12π个单位，再向下平移1个单位，所得的函数)(x g 为奇函数。
重庆市2017-2018学年高一下学期期末考试试题数学含答案
秘密★启用前2018年重庆一中咼2018级咼一下期期末考试数学试题卷 2018.7数学试题共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2. 答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定 的位置上。
4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.(1)已知集合 A 二{x|(x 2)(x-3) "}，B 二{-1,0,1,2,3}，则 A" B 二(B) {0,1,2} (D ) {-1,0,1,2}b = (3,1),若a_b ,贝U 实数k 的值等于 5 5 3(B) - 3 (C ) 3( D )2(3)设等差数列{a n }的前n 项和为S,若a 5 + a i4= 10,则$8等于(A) 20( B ) 60 ( C )90( D )100(4)圆(x 2)2 y 2 =4与圆(x-2)2 • (y -1)2 =9的位置关系为(A )内切(B )相交 (C) 外切 (D) 相离(A ) {0,1} (C ) {-1,0,1}(5)已知变量x , y 满足约束条件x - y _1 , x - y _1 (B ) 11 则z=3x+y 的最大值为 (A) 12 (C ) 3 (D)-1 (6)已知等比数列｛a n ｝中，a 1 = 1, q = 2,则 1 1 1 1' +…+ 的结果 a n a n +1可化为 (B) 1-2 (C )3(1—》) (D )彳(1 —寺) (7)“m=1 ”是“直线mx y — 2 = 0与直线x my 1 — m = 0平行” (A )充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C )充要条件(D) 既不充分也不必要条件(8) 阅读右面的程序框图，运行相应的程序,输出S 的值为15 (9) (B ) 105 (C ) (D ) 245945 现有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2 3, 4”, 第二组卡片上分别写有数字“34, 5”，现从每组卡片中各随机 抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上 的数字，差为负数的概率为 (B)書(D)(10)在平行四边形 ABCD 中，AD = 2, / BAD = 60° E 为 CD 的中点, =1,则AB 的长为 (A ) .6(B) 4(C ) 5若 AD BE(D) 6(11)(原创)已知函数f(x)= ^x，且对于任意实数a，(0,1)厂x2+2mx —2m +1,x >1关于x的方程f (x) 一a= 0都有四个不相等的实根石，x, x3 x,则X1+X2 • x^ x的取值范围是(A)(2,4] (B)(-：：,0山[4,：：)(C)[4，+::) ( D)(2,+：：)(12 )(原仓U )已知集合M ={(x,y)|2x • y—4=0}，N = {(x, y) | x2 y2 2mx 2ny = 0}，若M 门N =，则m2n2的最小值4 3 l 5(A) 5 ( B) 4 ( C)(6- 2,5) (D) -4第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分(13)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3： 3: 4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高一年级抽取名学生.(14 )(原创)在ABC中，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，若兀47a=3,B ,cAs —6 4则b= ___________ .(15)已知点P，Q为圆C: x2+ y2= 25上的任意两点，且|PQ|<6,若PQ中点组成的区域为M，在圆C内任取一点，则该点落在区域M上的概率为(16) (原创)点C 是线段AB 上任意一点，0是直线AB 外一点，OC = xOA+yOB , 不等式x 2(y 1) - y 2(x 2) k(x 2)(y 1)对满足条件的x , y 恒成立， 则实数k 的取值范围—三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17) (本小题满分10分) 已知厶ABC 的面积是3,角代B,C 所对边长分别为a,b,c ,(I )求 A ^U AC ；(n )若b =2，求a 的值.(18) (本小题满分12分)已知圆 C :(X -3)2 • (y 一4)2 =4，直线 I 过定点 A(1,0).(I)若I 与圆C 相切，求直线I 的方程；(n)若I 与圆c 相交于p 、Q 两点，且PQ = 22，求直线I 的方程.(19) (本小题满分12分)某校从高一年级学生中随机抽取 40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满 分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：［40,50), ［50,60)，…，［90,100］ 后得到如图所示的频率分布直方图.(I)若该校高一年级共有学生 640名，试估计 该校高一年级期中考试数学成绩不低于 60分的人数；(n)若从数学成绩在［40,50)与［90,100］两个分数 段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学 成绩之差的绝对值不大于10的概率.cosA = ?5频率(20) (本小题满分12分)已知数列｛a n ｝满足a =1,耳-a nA = n (其中n _ 2且n N ).(I)求数列｛a n ｝的通项公式；2a7(U)设b n 二一-，其前n 项和是T n ,求证：T n <9.n x 49(21) (原创)(本小题满分12分)已知动点P(x, y)满足方程xy =d (x 0).(I)求动点P 到直线丨：x • 2y 一2二0距离的最小值；(U)设定点A(a,a)，若点P, A 之间的最短距离为2 2,求满足条件的实数a 的取值.(22) (本小题满分12分)已知函数f(x)= ax 〒b 为奇函数，且f(1) = 1 .x(I)求实数a 与b 的值； (U)若函数g(x) J _f (x)，设｛a n ｝为正项数列，且当n_2时，x[g(a n ) g(a n4)+ * 2*2 21] a n 2 =q ，(其中 q=2016 )，｛a .｝的前 n 项和为 S n ，a n anJb n 二' ，若bn _2017n 恒成立，求q 的最小值.i 二 S命题人：付彦审题人：邹发明2018年重庆一中高2018级高一下期期末考试数学答案 2018.7一、选择题：1— 5 DACBB 6—10 CCBDD 11—12 CA、填空题：15,解答题:4 3(17)解：由cos A 二一，得sin A = 一又2bcsinA^30，2bCSin A(i)A B A C = bccosA = 8(U) ；b=2,. c = 5, a2二b2c2-2bccosA =13 二a -、13(18)解：(i)当斜率不存在时，方程x=1满足条件；3k _ 一_ kl 3当L1斜率存在时，设其方程是y=k(x-1),则’ k =2，解得，Jk2+1 4 所以所求方程是x=1和3x-4y-3=0;(U)由题意，直线斜率存在且不为0,设其方程是y=k(x-1),则圆心到直线的距.k 1：2.4-d2=2 2, d=、2，此时k=1 或k=7，所以所求直线方程是x-y-1=0或7x-y-7=0.(19)解：(I)根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1 —10 X0.005+ 0.01) = 0.85.由于该校高一年级共有学生640名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数约为640X).85= 544.(U)成绩在［40,50)分数段内的人数为40X0.05= 2,成绩在［90,100］分数段内的人数为40X0.1= 4,则记在［40,50)分数段的两名同学为A1, A2,在［90,100］分数段内的同学为B1, B2, B3, B4.若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法共有15种.如果2名学生的数学成绩都在［40,50)分数段内或都在［90,100］分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10;如果一个成绩在［40,50) 分数段内，另一个成绩在［90,100］分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的d =、_(t — a)2 a 2 -2 ,设 f(t) =(t — a)2 a 2 —2(t 一2)绝对值一定大于10.则所取2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10的取法有(A i , A 2), (B I , B 2), (B i , B 3)，(B i ，B 4)，(B 2, B 3)，(B 2, B 4), (B 3, B 4)共 7 种取法，所以所求概(20)解：(I)解：an- a 1(a2- a 1)(a 3 -a2) 1 H (an-an八…宀1)("正明：0=罟=即, 2 3 n +1n 项和T n = 4+孑+…+ _4^，123 n n +14&=42+ 43+^+ 羊+4nT T ， T 1 2 1 1 1 n +1 二 T n — 4T n = 4 + 孑 + 戸+…+ 4n _ 厂1 丄1 4(1—4n)n +17 3n + 74+r —盯 二 12— 3^4^，1—4T_7— 3n + 7 7 T n= 9— 9X 4n<9.当且仅当X —2时距离取得最小值』51( n ) 设 点 P(x-)( x 0),Xd =J(x _a)2 +(丄—a)2 =i ；(x 2 十4) _2玄&十丄)+2a 2* x \ x x1 1设 x _ =t (t _ 2),则 x 2-2 =t 2 _2xx其前 (21)解：(I) d 二|xT 幕|x 2y - .2 |对称轴为t 二a 分两种情况：(1)a 乞2时，f(t)在区间上是单调增函数，故t=2时,f(t)取最小值 ••• d min 二」(2二a)2—a 2二2 二2.-2 ,二 a 2 _2a _3 二0 ,二 a =_1(a =3舍) ⑵a >2时,■/ f(t)在区间2,a 上是单调减，在区间la, •：：上是单调增，••• t =a 时，f(t)取最小值••• d min=.(a —a) a 一2=2、. 2,二 a = . 10 (a = -10 舍)综上所述，a = -1或• 10(22)解：(I)因为f (x)为奇函数，b一巴),x得 b =0，又 f(1)=1，得 a =1 1 X —1 (U)由 f (x)二一，得 g(x) = —2~ X X q(1-q n ) 1-q ' a q(n 一 2) . Sn = a n J.n S 由：曽I 1-q 2 J-q 3■/ b n -2017n 恒成立，即: 当 q _2016 时, n 1 + * 1 _q n 1-q n 1 ｛1 ^―｝为单调递减数列, 1-q _2017 时a + a — 1,且[g(a n ) g(a n 」)—a n 2 二 q ,a n an」1-S n 1 1 _ q。
2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题 word版
2017—2018学年度第二学期期中高 一 数 学 试 题（答卷时间：120分钟．试卷分值：150分、共4页 ）选择题：（每题5分，满分60分）1．．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( ) A. 45 B ．－45 C. 35 D ．－352．如果 ,42ππ<θ<那么下列各式中正确的是（ ）A. co s tan sin θ<θ<θB. sin co s tan θ<θ<θC. tan sin co s θ<θ<θD. co s sin tan θ<θ<θ3． 600sin 的值为（ ）A ． 21B ． 21-C ． 23D ． 23-4．设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( ) A. 22 B. 12 C ．0 D ．－15．已知523cos sin =+x x ，则sin 2x =（ ）A ．1825B ．725C ．725- D ．1625-6．要得到函数c o s 23y x π=+（）的图像，只需将函数c o s 2y x =的图像（） A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度C ．向左平行移动6π个单位长度D ．向右平行移动6π个单位长度7．下列向量的运算中，正确的是 （ ）A ．AB BC A C -= B ．A B B C C A +=C ．A B A C C B -= D ．A B A D D C B C --=8．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是 ( ) A ．y ＝sin(2x ＋π2) B ．y ＝cos(2x ＋π2) C ．y ＝sin(x ＋π2) D ．y ＝cos(x ＋π2)9．已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则 （ ） A ．6556 B ．－6556 C ．5665 D ．－566510、函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ) 0,22ππωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω，φ的值A ．2，－3π 2，－6π C ．4，－6π D ．4，3π11．平面向量a 与b 的夹角为60°，|a|＝2，b ＝13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则|a ＋2b|＝( ) A.3 B ．23 C ．4 D ．1212.在△ABC 中，AB ＝4，∠ABC ＝30°，D 是边BC 上的一点，且AD ·AB ＝AD ·AC ，则AD ·AB 的值等于 ( )A ．4B ．0C ．－4D ．8二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．在平行四边形A B C D 中，若B C B A B CA B +=+，则四边形A B C D 是________．14．设扇形的周长为8cm ，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数的绝对值是 ．15．cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°的值是 ．16、.给出下列命题①存在实数α，使sinαcosα=1；②存在实数α，使sinα+cosα=23；③y=sin(x 225-π)是偶函数；④x=8π是函数y=sin(2x+45π)的一条对称轴方程；其中正确命题的序号是_________.三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）17（10分）化简：s in +c o s 22c o s (+)ππααπα⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋()s in c o s 2s in (+)ππααπα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.18.(12分)已知锐角αβ、满足5310s in ,c o s 510αβ==，求αβ+的值19.（本小题满分12分）已知向量3(sin ,)2ax =，(c o s ,1)bx =-.当a ∥b 时，求22co s sin 2x x -的值；20．（本小题满分12分）已知向量a = e1－e2，b= 4 e1+3 e2，其中e1=（1，0），e2=（0，1）.（1）试计算a·b 及|a + b|的值；（2）求向量a 与b 的夹角的大小.21、（12分）已知函数f(x)＝cos22x －sin 2x cos 2x －12.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域 （2）求函数单调递减区间（3）若f(α)＝3210，求sin 2α的值．22．(本小题满分12分)已知(c o s ,s in )a αα=，(c o s ,s in )b ββ=，其中0αβπ<<<．(1)求证：a b + 与a b -互相垂直；[(2)若k a →+→b 与a k →-→b 的长度相等，求βα-的值(k 为非零的常数)．。
重庆市2017-2018学年高一下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
重庆市2017-2018学年高一下学期期中考试数学（理）试题总分：150分 考试时间：120分钟注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
第I 卷（选择题60分）一．选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）1.已知{}n a 为等比数列，若1log 531-=a ，则=82a a （ ）A ． 6B ．9C ． 10D ．162.在△ABC 中，a 2-c 2+b 2=ab ，则角C 为（ ）A.45O或135OB ．60OC ．120OD ．30O3.已知a ,b ∈R ，且a >b ，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. a 2>b 2B. lg (a －b)>0C. (21)a <(21)bD.ba>14. 已知向量(0 ,a =-， ()1 ,3b =，则向量a 在b 上的投影为（ ） A.3-B.3-C.3D.35.已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为{}32<<-x x ，则不等式02<+-a bx cx 的解集是（ ）A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<3121x x x 或 B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<2131x x x 或 C. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x6.由下面的条件能得出△ABC 为锐角三角形的是（ ）A ．51cos sin =+A A B ．0<⋅ C ．0)cos(cos cos <+B A B A D ．o 30,33,3===B c b7.设,24,0,0=++>>ab b a b a 则 （ ）A ．b a +有最大值8B ．b a +有最小值8C ．ab 有最大值8D ．ab 有最小值88. 已知数列{}n a 中，a 1=1，a 2=3，a n+2 +n a = a n+1 ，则=2014a （ ）A ．1-B ．1C ．2D ．39.在△ABC 中，AB=3，AC=2，BC=4，则CA AB ⋅=( ) A ．32 B ．23 C ．23- D ．32-10.已知整数对排列如下：（1,1），（1,2），（2,1），（1,3），（2,2），（3,1），（1,4），（2,3），（3,2），（4,1），（1,5），（2,4）......则第60个整数对是( )A ． (5，11)B ．(11，5)C ． (7，5)D ．(5，7)11.锐角三角形ABC 中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若2B A =，则ba的取值范围是（ ）A. B.(1 C D. 12.已知正项等比数列，满足，则的最小值为（ ）A.9B.18C. 27D.36第II 卷（主观题90分）二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.） 13.设全集，集合，则_______.14. 若平面向量a 与b 满足:||2,||1a b ==,||7a b +=,则a 与b 的夹角为 .15.实数,x y 满足1002x y x y -+≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩，则4y z x =-的最小值为_________.16.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若2sin sin a b c B A+=,则A ∠的大小是_______.三、解答题（本大题共6小题,共70分.17-21题每题12分，22题10分） 17.(本小题12分.)已知等差数列{}n a 满足:3577,26.{}n a a a a =+=的前n 项和为.n S (Ⅰ)求n a 及n S ；(Ⅱ)令()nn S b n N n+=∈，求证：数列{}n b 为等差数列.18.（本小题满分12分.）已知平面内三个向量:(3,2),(1,2),(4,1).a b c ==-= （Ⅰ）若()//(2)a kc b a +-,求实数k 的值；（Ⅱ）设(,)d x y =,且满足()()a b d c +⊥-,||5d c -=，求d .19.(本小题12分.)设三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且B a b sin 332=，A 为锐角 (1)若a ＝3，6=b ,求角B ；(2)若c b c b c b S ABC ,,,,求323>=+=∆．20.(本小题12分.)设等差数列{}n a 的公差为1>d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)记nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ．21.（本小题满分12分.）如图,,A B是海面上位于东西方向相距5(3海里的两个观测点,现位于A 点北偏东045,B 点北偏西060的D 点有一艘轮船发出求救信号,位于B 点南偏西060且与B点相距C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,则该救援船达到D 点需要多长时间？22．(本小题满分10分.) 已知函数()23kxf x x k=+()0k >（1）若()f x m >的解集为{|3,2}x x x <->-或，求不等式25302kmx x ++>的解集； （2）若存在03,x >使得()01f x >成立，求k 的取值范围.题21图重庆市2017-2018学年高一下学期期中考试数学（理）试题答案一、选择题：1.B2.B3.C4.A5.D6.C7.B8.A9.A 10.D 11.D 12.D 二、填空题13.14. 06015. 32-16.4π三.解答题17.解:(1)由题意有，112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩132a d =⎧⇒⎨=⎩21,(2)n n a n S n n ⇒=+=+...................5分（2）(2)2n n S n n b n n n+===+，又12(1)1(n 2)n n b b n n --=+-+=≥，所以，数列{}n b 为等差数列...10分18.解:(1)因为(3,2)k(4,1)(34k,2k)a kc +=+=++，2(5,2)b a -=-，又()//(2)a kc b a +-，所以162(34k)5(2k)0k .13+++=⇒=-. ..................6分 （2）因为(2,4),(4,1)a b d c x y +=-=--，所以222(4)4(1)06202(4)(1)5x y x x y y x y -+-===⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨==-+-=⎩⎩⎩或. ...................11分 故(6,0)(2,2).d =或 ...................12分19.(本小题12分，第1小题6分，第2小题6分) 解：（1）由题得：B A B sin sin sin 332=，所以 23=A sin 3π=A再由正弦定理得：,sin 22=B 所以43或4ππ=B （舍） 6分注：本题也 可以直接得出,sin 22=B 又因为b a >，所以4π=B（2）由（1）得：3π=A ，分）9（234321===∆bc A bc S ABC sin所以2=bc ，又因为c b c b >=+,3分）12（12所以==c b ,20.（本小题12分，第1小题6分，第2小题6分）⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==-21（舍）929解得：21004510）由题得：1解：（1111d a d a d a d a ,)(分6212故：1⎩⎨⎧=-=-n n n b n a )(,12122725231212）2（1321---+++++=-=n nn n n T n c 2345113579212222222n nn T -=++++++.②① -②可得221111212323222222n n nn n n T --+=++++-=-，故nT 12362n n -+=-.（12分）21.解:在ABD ∆中，0006045105ADB ∠=+=，由正弦定理可得:sin sin 45AB BDADB =∠，sin 45BDBD =⇒= ...................5分在BCD ∆中，060CBD ∠=，由余弦定理可知:2222cos CD BD CB BD CB CBD =+-⋅⋅⋅∠，即22202cos60900CD =+-⋅=，故30CD =....................10分所以130CDt ==（小时），救援船到达D 点需要1小时时间. ...........12分22. 解：解：⑴220()303kx k f x m m mx kx km x k>∴>⇔>⇔-+<+不等式230mx kx km -+<的解集为{|3,2}x x x <->-或∴3,2--是方程230mx kx km -+=的根，且m<0252365k k m m k =⎧⎧=-⎪⎪∴⇒⎨⎨=-⎪⎪=⎩⎩∴223530230122k mx x x x x ++>⇔--<⇔-<< ∴不等式25302k mx x ++>的解集为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ ⑵法一：()()222()1103033kxf x k x kx k x k x x k>⇔>>⇔-+<⇔->+ 存在03,x >使得()01f x >成立，即存在03,x >使得成立2003x k x >-.令()()2,3,3x g x x x =∈+∞-，则()min k g x >令3x t -=，则()0,t ∈+∞，2(3)96612t y t t t +==++≥= 当且仅当9t t=即3t =6x =即时等号成立.()min 12g x ∴= ()12,k ∴∈+∞ 法二：()22()110303kx f x k x kx k x k>⇔>>⇔-+<+.令()()23,3,g x x kx k x =-+∈+∞ 存在03,x >使得()01f x >成立，即存在()00g x <成立，即()min 0g x <成立当06k <≤时，()g x 在()3,+∞上单调递增，∴()()39g x g >=，显然不存在()0g x <当6k >时，()g x 在3,2k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，()2m i n 324k k g x g k ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，由2120k k -+<可得12k >综上，()12,k ∈+∞。
重庆一中初2018级17-18学年度下期半期考试数学试题及答案
重庆一中初2018级17－18学年度下期半期考试数学试题一．一、选择题（本大那共12个小题，每小题4分，共48分）1．在实数－2、4、－l、0中，最小的数是（）A. －2 B. 4 C. －1 D. 0 2．下列四个交通标志图中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D. 3．估计2132-的值介于下列哪两个整数之间（）A. 2和3 B. 3和4 C. 4和5 D5和6. 4．已知x－y=3，xy=l，则代数式3xy－5x+5y的值为（）A. －12 B. －14 C. 12 D. 14 5．下列关于三角形的命题中，是假命题的是（）A．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边距离相等B．三角形的三条高线全在三角形的内部C．面积相等的两个三角形不一定全等D．一个三角形中至少有两个锐角6．若分式12xx--有意义，则x的取值范国是（）A. x＞1 B. x≥1C. x≥1且x≠2D.x＞1且x≠27．如图，在等边△ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB边上的点，其中DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△ABC与△DEF的面积之比为（）A.3:1B. 3:2C. 2:3D. 3:31 / 12122 / 12128．如图，Rt △ABC 的斜边AB =4，且AC =BC ，O 是AB 的中点，以O 为圆心的半圆分别与两直角边相切于点D 、E ，则图中阴影都分的面积是（，则图中阴影都分的面积是（ ）A. 14p- B. 22π- C. 42π-D. 4p -9．下列图形都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成，其中第1个图共有3个小正方形，第2个图共有8个小正方形，第3个图共有15个小正方形，第4个图共有24个小正方形，…，照此规律排列下去，则第个8图中小正方形的个数是（图中小正方形的个数是（ ） A. 48 B. 63 C. 80 D. 99 10．小明利用所学数学知识测量某建筑物BC 的高度，采用了如下的方法：小明从与某建筑物底端B 在同一水平线上的A 点出发，先沿斜坡AD 行走260米至坡顶D 处，再从D 处沿水平方向继续前行若干米后至点E 处，在E 点测得该建筑物顶端C 的仰角为72°，建筑物底端B 的俯角为63°．其中点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，斜坡AD 的坡度i =l ：2.4，根据小明的测量数据，计算得出建筑物BC 的高度为（ ）米（计算结果精确到0.1米参考数据：sin720.95tan72 3.08sin630.89tan63 1.96°»°»°»°»，，，） A. 157.1 B. 157.4 C. 257.l D. 257.4 第7题图题图第8题图题图第9题图题图3 / 12121l ．如果关于x 的方程45122x ax x ++=--有正分数解，且关于x 的不等式组()2641115x a x ax x +£+-ìïí--<ïî的解集为x ＜－6，则符合条件的所有整数a 的和为（的和为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 12．如图，点A 在反比例函数ky x =（k ≠0）的图像上，且点A 是线段OB 的中点，点D 为x 轴上一点，连接BD 交反比例函数图象于点C ，连接AC ，若BC ：CD =2：1，103ABC S =△，则k 的值为（）的值为（）A. 203B. 8 C. 283D. 10 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）分）13．2018年4月1日最国家级新区雄安新区成立一周年，以建设森林城市为目标的“千年秀林”工程早已拉开序暴．“千年秀林”在一千多名施工人员的共同努力下，短短12天里，9号地块一区已经成功种植33000棵树苗，将33000用科学计数法表示为________． 14．计算：()2201711132-æö-+---=ç÷èø_______． 15．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD =57°，则∠BCD 等于_________．yxCAO BG DOABC完成全程马拉松时间（小时）运动员人数（人）4201881551020 4.53 3.54第12题图题图第10题图题图4 / 121216．童庆国际马拉松以“渝跑越爱”为主题于2018年1月25日在南滨路、巴滨路鸣抢开跑，记者随机调查某50名运动员完成全程马拉松的时间并绘制了如图所示的条形统计图．根据统计图提供的数据，该50名运动员完成全程马拉松时间的中位数为_______小时．小时．17．甲、乙两车分别从相距480千米的A 、B 两地同时相向匀速出发，甲出发1.25小时后发现一份重要文件落在出发地A 地，于是立即按原速沿原路返回，于是立即按原速沿原路返回，在在A 地取到文件后立即以原速继续向B 地行驶，并在途中与乙车第一次相遇，相遇后甲、乙两车继续以各自的速度朝着各自的方向匀速行驶，当乙车到达A 地后，立即掉头以原速开往B 地（甲取文件、掉头和乙掉头的时间均忽略不计）两人之间的距离y （千米）与甲出发的时间t （小时）之间的部分关系如图所示，当乙到达B 地时，甲与B 地的距离为_________千米．千米． 18．在重庆一中综合实践课上，老师让同学们以“探究直角板中的数学问题“为主题开展教学活动：如图1，“明礼崇德”小组的问学们探究到，将三角板的90°角与等腰Rt △ABC 的顶点C 重合，将三角板绕点C 按逆时针方向旋转，按逆时针方向旋转，旋转后三角板的一直角边与等腰旋转后三角板的一直角边与等腰Rt △ABC 斜边AB 交于点D ，在线段AB 上取点E ，使∠DCE =45°，此时他们探究到222AD BE DE +=；如图2．“求知求真”小组的同学们探究到将三角板中的60°角与等边△ABC 的一个顶点C 合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转，旋转后三角板的斜边与边AB 交于点E ，在线段AB 上取点D ，使∠DCE =30°，此时他们测得AD =1，BE =32，则线段DE =_________．三、解答题（本大题共2个小题，每小题小题8分，共16分）19．如图，直线a ∥b ，点B 、D 在线b 上，点A 为直线外一点，线段AB 交直线a 于点E ，线段AD 交直线a 于点F ，∠ABD 的平分线交直线a 于点C ．若∠A =46°，∠ECB =43°，求∠ADB 的度数．的度数．BD EB CCAEAD FEab A B DC第15题图题图 第16题图题图第17题图题图第18题图题图图 1 图25 / 121220．综艺节目《中国诗词大会》第三季“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为宗旨，邀请全国各个年齡段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词比拼．节目自开播以来受到广泛关注，重庆一中某班主任为了解全班同学对中国诗词文化的关注程度，现统计全班同学对《中国诗词大会》的关注程度，将全班同学的关注程度分为A 、B 、C 、D 四个等级，其中A 表示一直关注，B 表示经常关注，C 表示偶尔关注，D 表示不关注，请根据图中提供的信息，完成以下问题：示不关注，请根据图中提供的信息，完成以下问题：（1）扇形统计图中C 类所对应的扇形的圆心角是______度，并补全折线统计图；度，并补全折线统计图；（2）现该班班主任准备从经常关注该节目的同学中抽取两人进行交流讨论，其中经常关注的同学中有3名男同学，1名女同学，请利用画树状图或列表的方法求出恰好抽取到1名男同学和1名女同学的概率．名女同学的概率．四、解答题（本大题共5个小题，每小题10分，共50分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．21．计算：（1）()()()y x y x y x -+--4222（2）÷øöçèæ+-++¸+-1312322a a a a a a人数24各组人数扇形统计图C28%DAB各组人数统计折线图组别4144242016128ABCD6 / 1212 22．如图，直线:1l y =x +3分别与直线:2l y =kx +b （k ≠0）、直线:3l y =k 1x +b 1（k 1≠0）交于A 、B 两点，直线1l 交y 轴于点E ，直线2l 与x 轴和y 轴分别交于C 、D 两点，已知点A 的纵坐标为23，B 的横坐标为1，32l l ∥，tan ∠OCD =2，连BD ． （1）求直线l 3的解析式；的解析式； （2）求△ABD 的面积．的面积．23．随着科学技术的不断进步，草莓的品种越来越多样化，某基地农户计划尝试购进牛奶草莓和巧克力草莓新品种共5000株，其中牛奶草莓成本每株5元，巧克力草莓成本每株8元．元．（1）由于初次尝试该品种草莓种植，农户购进两种草莓品种的金额不得超过34000元，则牛奶草莓植株至少购进多少株？至少购进多少株？（2）农户按（1）中牛奶草莓的最少进货量购进牛奶草莓和巧克力草莓植株，经过几个月的精心培育，可收获草莓共计2500千克，农户在培育过程中共花费25000元．农户计划采用直接出售与生态采摘出售两种方式进行售卖，其中直接出售牛奶草莓的售价为每千克30元，直接出售巧克力草莓的售价为每千克40元，且两种草莓各出售了500千克．而生态采摘出售时，两种品种草莓的采摘销售价格一样，且通过生态采摘把余下的草莓全部销售完，但采摘过程中会有0.6a %的损耗，其中生态采摘出售草莓的单价比直接出售巧克力草莓的单价还高3a %（0＜a ≤75），这样该农户经营草莓的总利润为65250元，求a 的值．的值．yCl 1BEAO Dxl 2l 37 / 121224．如图，在正方形ABCD 中，点M 是边BC 上一点，连接AM ，过点C 作CH ⊥AM 交AM 的延长线于点H ，延长CH 于点M 连接MN 、BN ．（1）若AB =4，AH =528，求线段CH 的长度；的长度； （2）若∠MAD =∠BMN ，求证：AM =MN +CN ．MBCADNH8 / 1212 25．阅读下列材料，并解决问题：．阅读下列材料，并解决问题： 材料1：对于一个三位数其十位数字等于个位数字与百位数字的差的两倍，则我们称这样的数为“倍差数”如122，2=2×（2－1）；材料2：若一个数M 能够写成q p q p M ++-=22（p 、q 均为正整数，且p ≥q ），则我们称这样的数为“不完全平方差数”，当qp q p 22+-最大时，我们称此时的p 、q 为M 的一组“最优分解数”，井规定()q p M F =．例如171717-17898-9342222++=++=，因为：528298-92=´+´，311721717-172=´+´，3152＞，所以F （M ）=89； （1）求证：任意的一个“倍差数”与其百位数字之和能够被3整除；整除；（2）若一个小于300的三位数N =140a +20b +c （其中1≤b ≤4，0≤c ≤9，且a 、b 、c 均为整数）既是一个“不完全平方差数”，也是一个“倍差数”，求所有F （N ）的最大值．）的最大值．9 / 1212 五、解答题：（本大题共1个小题，共12分）请把答案写在答题卡上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．26．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线423412++-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的对称轴及△ABC 的周长；的周长；（2）点D 是线段AC 的中点，过点D 作BC 的平行线，分别与x 轴、轴、抛物线交于点抛物线交于点E 、F ，点P 为直线BC 上方抛物线上的一动点，连接PD 交线段BC 于点G ，当四边形PGEF 面积最大时，点Q 从点P 出发沿适当的路径运动到x 轴上的点M 处，再沿射线DF 方向运动5个单位到点N 处，最后回到直线BC 上的点H 处停止，当点Q 的运动路径最短时，求点Q 的最短运动路径长及点H 的坐标；的坐标；（3）如图2，将△AOC 绕点O 顺时针旋转至△A 1OC 1的位置，点A 、C 的对应点分别为点A 1、C 1，且点A 1落在线段AC 上，再将△A 1OC 1沿y 轴平移得△A 2O 1C 2，其中直线O 1C 2与x 轴交于点K ，点T 是抛物线对称轴上的动点，连接KT 、O 1T ，△O 1KT 能否成为以O 1K 为直角边的等腰直角三角形?若能，请直接写出所有符合条件的点T 的坐标；若不能，请说明理由．的坐标；若不能，请说明理由．重庆市一中初2018级17-18学年度下期半期考试简版答案GFEBCAOD PyyxA 1yC 1K O 1C 2BA CO A 2xTA 1yC 1BA COx10 / 1212 1.A 2.B 3.D 4.A 5.B 6.C 7.A 8.B 9.C 10.C 11.D 12.B 13.43.310´ 14. 42- 15. 3316. 4 17. 40 18. 19219. 48 20. 172.8 1221.(1) 2511y xy - (2) -+2a a22(1) 3y 26x =-+ (2) 45823. ()12000(2)30*500+40*500+40(13%)(25001000)(10.6%)25000340006525025x a a a ³+----==24. 4(1)5(2),AB CH 延长交于交于Q,Q,Q,延长延长延长MN MN MN与与AB AB的延长线交于的延长线交于的延长线交于K,K,K,证△证△证△ABM ABM ABM≌△≌△≌△KBM,KBM,KBM,再证△再证△再证△ABM ABM ABM≌△≌△≌△BQC,BQC,再证△再证△MNC MNC MNC≌△≌△≌△QKN QKN25、（1）设这个三位数为）设这个三位数为 2()b a b a + 即100202081213(277)b a b a bb a b a +-++=+=+所以能被3整除整除（2）1a =11 / 1212 ①当121(24)b N b c ££=+242(1)3b c c b +=--= 即1216418545b b N N c c ==ìì==íí==îî 2222221648282828222192219(164)19F =-++=-++\= 185无最优分解②342(26)b N b c ££=-262(2)1b c b c -=--=3420222323b b N N c c ==ìì==íí==îî 22225120210110110110151505150(202)50F =-++=-++\= 223无最优分解所以()F N 最大为22192626、、（1）(2,0),(8,0)25,45=10+65ABC A B AC BC C -==\△（2）=-=-PDF DGE PDF DBE PGEF S S S S S △△△△四边形 即求PDF S △的面积最大值Û求线段P J 的最大值即可的最大值即可 过P 作P J 垂直x 轴交直线DF 于点J ，1322DF y x =-+ 设12 / 1212 2221313(,4),(,)42221313154()2422242P m m m J m m PJ m m m m m -++-+=-++--+=-++ 所以当4m =时，四边形PGEF 有最大值，(4,6)P作P 点关于x 轴的对称点为1(4,6)P -，过1P 作1PH BC ^交直线BC 于点H ，交x 轴于点M ，此时PM+MN+NH 的最小值即为1PH MN +1214PH y x =- 11214142P H B C y y x x =Þ-=--，36362(,)555x H = 1165,5PH =最短路径为2155（3）过A 作AE 垂直于x 轴于点E ，设(2,2),A n n -在直角三角形AOE 中勾股定理得45n =68(,)55A -，由相似可得11612(,)55C设122224(0,)(,0)(3,)3494393731212164(3)793O a K a T b b a a a b b a a b a -ì-=-ìï==-+ìïï\Þííí-=îïï=+=++ïïîî或 12(3,),(3,12)7T T \-。
重庆市2017-2018学年高一(下)期末考试数学试卷(理科)Word版含解析
重庆市2017-2018学年高一（下）期末考试数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={1，3，5，6}，集合B={2，3，4，5}，那么A∩B=（）A．{3，5} B．{1，2，3，4，5，6} C．{7} D．{1，4，7}2．已知直线l1：x﹣2y+1=0与直线l2：mx﹣y=0平行，则实数m的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣23．在一次实验中，测得（x，y）的四组值为（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），则y与x之间的回归直线方程为（）A．=x+1 B．=x+2 C．=2x+1 D．=x﹣14．已知函数f（x）=e x﹣x2+8x，则在下列区间中f（x）必有零点的是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）5．要得到函数的图象，只需要将函数y=sin2x的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度6．在等比数列{a n}中，若a3=4，a7=16，a5的值为（）A．±8 B．4 C．8 D．647．阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．118．已知△ABC中，∠A=，AB=3，AC=3，在线段BC上任取一点P，则线段PB的长大于2的概率为（）A．B．C．D．9．已知△ABC是腰长为2等腰直角三角形，D点是斜边AB的中点，点P在CD上，且，则=（）A．﹣B．﹣C．0 D．410．设a＞0，b＞1，若a+b=2，则的最小值为（）A．B．8 C．D．11．等比数列{a n}中，首项a1=2015，公比q=﹣，记T n为它的前n项之积，则T n最大时，n的值为（）A．9 B．11 C．12 D．1312．已知关于x的函数f（x）=x2+2mlog2（x2+2）+m2﹣3，（m＞0）有唯一的零点，且正实数a、b满足a2+b2=m，且a3+b3+1=t（a+b+1）3，则t的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．已知变量x，y满足，则x+y的最大值是．14．已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=．15．若非零向量f（x）满足||=||，且，则与的夹角为．16．若c=2，∠C=且△ABC是锐角三角形，则△ABC周长的取值范围．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.17．已知数列{a n}满足a n+1=3a n+4，（n∈N*）且a1=1，（Ⅰ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．18．某校从参加2015年高考的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到部分频率分布直方图（如图所示）．观察图中数据，回答下列问题．（Ⅰ）求分数在[120，130）内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．19．已知=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），f（x）=2•+2m﹣1（x，m∈R）．（Ⅰ）求f（x）的对称轴方程；（Ⅱ）若x∈[0，]时，f（x）的最小值为5，求m的值．20．设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0，a≠1）是定义域为R的奇函数（Ⅰ）若f（1）＞0，试求使不等式f（x2+tx）+f（2x+1）＞0在定义域上恒成立的t的取值范围；（Ⅱ）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．21．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=1﹣a n（n∈N*）．（Ⅰ）试求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求证：数列{c n}的前n项和P n＞2n﹣．22．△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大内角为钝角，①求最大角的余弦值；②求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积．重庆市2017-2018学年高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={1，3，5，6}，集合B={2，3，4，5}，那么A∩B=（）A．{3，5} B．{1，2，3，4，5，6} C．{7} D．{1，4，7}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由A与B，找出两集合的交集即可．解答：解：∵A={1，3，5，6}，B={2，3，4，5}，∴A∩B={3，5}．故选：A．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知直线l1：x﹣2y+1=0与直线l2：mx﹣y=0平行，则实数m的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣2考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由已知条件推导出，由此能求出m的值．解答：解：∵直线l1：x﹣2y+1=0与直线l2：mx﹣y=0平行，∴，解得m=．故选：A．点评：本题考查实数m的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的位置关系的合理运用．3．在一次实验中，测得（x，y）的四组值为（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），则y与x之间的回归直线方程为（）A．=x+1 B．=x+2 C．=2x+1 D．=x﹣1考点：线性回归方程．专题：计算题．分析：根据所给的这组数据，取出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入所给的四个选项中验证，若能够成立的只有一个，这一个就是线性回归方程．解答：解：∵=3.5，∴这组数据的样本中心点是（2.5，3.5）把样本中心点代入四个选项中，只有y=x+1成立，故选A点评：本题考查求线性回归方程，一般情况下是一个运算量比较大的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心，但是对于一个选择题，还有它特殊的加法．4．已知函数f（x）=e x﹣x2+8x，则在下列区间中f（x）必有零点的是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：构造函数g（x）=e x，h（x）=x2﹣8x，画出图象判断，交点个数，运用特殊函数值判断区间．解答：解：∵函数f（x）=e x﹣x2+8x，令g（x）=e x，h（x）=x2﹣8x，画出图象判断交点1个数．∵g（0）=1，h（0）=0，g（﹣1）=e﹣1，h（﹣1）=9，∴g（0）＞h（0），g（﹣1）＜h（﹣1），∴交点在（﹣1，0）内，即函数f（x）=e x﹣x2+8x，则在下列区间中f（x）必有零点的是（﹣1，0）故选：B点评：本题考查了构造函数，运用图象的交点问题求解有关的函数的零点，画出图象判断，利用特殊函数值判断即可．5．要得到函数的图象，只需要将函数y=sin2x的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：由于将函数y=sin2x的图象上所有点向左平移个单位长度，即可得函数的图象，从而得出结论．解答：解：将函数y=sin2x的图象上所有点向左平移个单位长度，即可得函数的图象，故选C．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于基础题．6．在等比数列{a n}中，若a3=4，a7=16，a5的值为（）A．±8 B．4 C．8 D．64考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用可知q4=4（q为公比），通过a5=a4•q2计算即得结论．解答：解：∵a3=4，a7=16，∴q4===4（q为公比），∴a5=a4•q2=a4•=4•2=8，故选：C．点评：本题考查等比数列，注意解题方法的积累，属于基础题．7．阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，根据条件确定跳出循环的i值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg=lg＜﹣1，∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9．故选：B．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．8．已知△ABC中，∠A=，AB=3，AC=3，在线段BC上任取一点P，则线段PB的长大于2的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：首先解三角形求出BC，然后利用几何概型求概率．解答：解：在△ABC中，∠A=，AB=3，AC=3，所以BC2=AB2+AC2﹣2AB×AC×cos∠A=27+9﹣18=9，所以BC=3，在线段BC上任取一点P，则线段PB的长大于2的点P在距离C的一端BC的内，由几何概型线段PB的长大于2的概率为；故选：A点评：本题考查了余弦定理的运用，几何概型的概率求法；正确运用余弦定理求出BC长度是关键．9．已知△ABC是腰长为2等腰直角三角形，D点是斜边AB的中点，点P在CD上，且，则=（）A．﹣B．﹣C．0 D．4考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：以CB，CA两直线分别为x，y轴，建立坐标系，根据条件可求出C，A，B，D几点的坐标，设P （x，y），而根据即可求出点P的坐标，从而得出向量的坐标，然后进行数量积的坐标运算即可．解答：解：如图，分别以边CB，CA所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，则：C（0，0），A（0，2），B（2，0），D（1，1）；设P（x，y），∵；（x，y）=（1﹣x，1﹣y）；∴；解得；∴，，；∴．故选B．点评：考查建立平面直角坐标系，利用向量坐标求数量积的方法，由点的坐标可求向量的坐标，向量坐标的数乘、数量积的运算．10．设a＞0，b＞1，若a+b=2，则的最小值为（）A．B．8 C．D．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵设a＞0，b＞1，a+b=2，∴=（a+b﹣1）=4+=4+2，当且仅当a=（b﹣1）=时取等号，∴的最小值为4+2．故选：D．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．11．等比数列{a n}中，首项a1=2015，公比q=﹣，记T n为它的前n项之积，则T n最大时，n的值为（）A．9 B．11 C．12 D．13考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：先判断|T n+1|与|T n|的大小关系，结合等比数列的性质进行比较即可．解答：解：∵=||=|a n+1|=2015•（）n，∵210=1024，211=2048∴当n≤10时，|T n+1|＞|T n|，当n≥11时，|T n+1|＜|T n|，故|T n|max=|T11|，又T10＜0，T11＜0，T9＞0，T12＞0，∴T n的最大值是T9和T12中的较大者，∵=a10a11a12=[2015（）10]3＞1，∴T12＞T9因此当n=12时，T n最大．故选：C点评：本题主要考查等比数列的应用，根据等比数列的通项公式是解决本题的关键．12．已知关于x的函数f（x）=x2+2mlog2（x2+2）+m2﹣3，（m＞0）有唯一的零点，且正实数a、b满足a2+b2=m，且a3+b3+1=t（a+b+1）3，则t的最小值是（）A．B．C．D．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由偶函数f（x）=有唯一的零点．可得：f（0）=0，进而求出m=1；进而令a=cosθ，b=sinθ，，根据三角函数的图象和性质及常数分离法和反比例函数的和性质，可得t的最小值．解答：解：∵f（x）是偶函数，且f（x）=有唯一的零点．∴f（0）=0，解得，m=1或﹣3，又∵m＞0，∴m=1，∴a2+b2=1，令a=cosθ，b=sinθ，，则由a3+b3+1=t（a+b+1）3得：．令x=cosθ+sinθ，则，且．于是．因为函数在上单调递减，因此，t的最小值为．故选：A点评：本题考查的知识点是函数零点的判定定理，偶函数的图象和性质，三角函数的图象和性质，常数分离法和反比例函数的和性质，是函数图象和性质的综合应用，难度较大．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．已知变量x，y满足，则x+y的最大值是4．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：画出不等式组表示的平面区域．设z=x+y，则y=﹣x+z，此方程可看作是斜率为﹣1的直线系方程，z为直线的纵截距，只需找到直线y=﹣x+z经过此区域，且纵截距最大的位置即可得到x+y的最大值．解答：解：作出直线x=1，y=2，x﹣y=0，从而得到不等式组表示的平面区域，如右图所示的阴影部分．设z=x+y，则y=﹣x+z，此方程可表示一系列斜率为﹣1的平行直线，当直线经过点A时，直线在y轴上的截距z最大，此时，由，得，即A（2，2），从而z max=x+y=2+2=4，即x+y的最大值是4．故答案为：4．点评：本题主要考查了数形结合思想及转化与化归思想的运用，考查了利用不等式组表示的平面区域解决最值问题．求解此类问题的一般步骤是：1．正确画出不等式组表示的平面区域；2．根据目标函数的几何意义进行处理．14．已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=﹣2．考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由α∈（﹣，0）sin（α+）=，利用诱导公式可求得cosα，从而可求得sinα与tanα．解答：解：∵sin（α+）=cosα，sin（α+）=，∴cosα=，又α∈（﹣，0），∴sinα=﹣，∴tanα==﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查运用诱导公式化简求值，考查同角三角函数间的基本关系，属于中档题．15．若非零向量f（x）满足||=||，且，则与的夹角为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由，便得到，进行数量积的运算，并带入即可得到，从而得出．解答：解：根据条件，=；∴；∴；∴与的夹角为．故答案为：．点评：考查数量积的运算及其计算公式，向量夹角的概念及范围，以及已知三角函数值求角．16．若c=2，∠C=且△ABC是锐角三角形，则△ABC周长的取值范围（2+2，6]．考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：通过角的范围，利用正弦定理推出a+b的关系，利用两角和的正弦函数，化简函数的表达式，求出a+b的取值范围，从而可求周长的取值范围．解答：解：由∠C=且三角形是锐角三角形可得，由正弦定理得，∴a=×sinA=sinA，b=sinB=sin（﹣A），∴a+b=[sinA+sin（﹣A）]=（sinA+cosA）=4sin（A+），∴＜A+＜，∴＜sin（A+）≤1，即2＜a+b≤4∴△ABC周长l=a+b+c∈（2+2，6]．故答案为：（2+2，6]．点评：本题考查两角和的正弦函数、正切函数以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于基本知识的考查．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.17．已知数列{a n}满足a n+1=3a n+4，（n∈N*）且a1=1，（Ⅰ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用a n+1=3a n+4计算即得结论；（Ⅱ）通过a1=1可知a1+2=3，进而a n=3n﹣2，利用等比数列的求和公式计算即得结论．解答：（Ⅰ）证明：∵a n+1=3a n+4，∴，∴{a n+2}是公比为3等比数列；（Ⅱ）解：∵a1=1，∴a1+2=1+2=3，∴a n+2=3•3n﹣1=3n，∴a n=3n﹣2，∴．点评：本题考查等比数列的判定、数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．18．某校从参加2015年高考的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到部分频率分布直方图（如图所示）．观察图中数据，回答下列问题．（Ⅰ）求分数在[120，130）内的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图的各小长方形的面积之和为1，求出分数在[120，130）内的频率；（Ⅱ）计算出[110，120）与[120，130）分数段的人数，用分层抽样的方法在各分数段内抽取的人数组成样本，求出“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”概率即可．解答：解：（Ⅰ）[120，130）内的频率为：1﹣（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1﹣0.7=0.3；…（5分）（Ⅱ）由题意，[110，120）分数段的人数为60×0.15=9（人）．[120，130）分数段的人数为60×0.3=18（人）．…（7分）∵用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，∴需在[110，120）分数段内抽取2人，并分别记为m、n；…（8分）在[120，130）分数段内抽取4人，并分别记为a、b、c、d；…（9分）设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”为事件A，则基本事件共有（m，n），（m，a），…，（m，d），（n，a），…，（n，d），（a，b），…，（c，d）共15种．…（10分）则事件A包含的基本事件有（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）共9种．…（11分）∴．…（12分）点评：本题考查了频率分布直方图的应用以及分层抽样和古典概型的计算问题，解题时应用列举法求出基本事件的个数，从而求出概率问题，是综合题．19．已知=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），f（x）=2•+2m﹣1（x，m∈R）．（Ⅰ）求f（x）的对称轴方程；（Ⅱ）若x∈[0，]时，f（x）的最小值为5，求m的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（Ⅰ）先进行数量积的坐标运算，并应用二倍角的正余弦公式及两角和的正弦公式便可求得，从而得出f（x）=2sin（2x）+2m，根据函数y=sinx的对称轴为x=，令2x+=，解出x即得f（x）的对称轴方程；（Ⅱ）由x的范围便可求出2x+的范围：，从而得到f（x）的最小值﹣1+2m=5，解出m即可．解答：解：（Ⅰ）==；∴；令2x=，k∈Z；∴f（x）的对称轴方程为：x=，k∈Z；（Ⅱ）x∈；∴；∴2x=时，f（x）min=2+2m=5；∴m=3．点评：考查数量积的坐标运算，二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公式，以及正弦函数的对称轴，正弦函数在闭区间上的最．20．设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0，a≠1）是定义域为R的奇函数（Ⅰ）若f（1）＞0，试求使不等式f（x2+tx）+f（2x+1）＞0在定义域上恒成立的t的取值范围；（Ⅱ）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）根据函数的奇偶性求出k的值，根据f（1）＞0求出a的值，根据函数的单调性将不等式进行转化即可，（Ⅱ）由f（1）=，求出a的值，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行求解．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴1﹣（k﹣1）=0，∴k=2．∵函数f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1），∵f（1）＞0，∴a﹣＞0，又a＞0，∴a＞1．由于y=a x单调递增，y=a﹣x单调递减，故f（x）在R上单调递增．不等式化为：f（x2+tx）＞f（﹣2x﹣1）．∴x2+tx＞﹣2x﹣1，即x2+（t+2）x+1＞0 恒成立，∴△=（t+2）2﹣4＜0，解得﹣4＜t＜0．（Ⅱ）∵f（1）=，，即3a2﹣8a﹣3=0，∴a=3，或a=﹣（舍去）．∴g（x）=32x+3﹣2x﹣2m（3x﹣3﹣x）=（3x﹣3﹣x）2﹣2m（3x﹣3﹣x）+2．令t=f（x）=3x﹣3﹣x，由（1）可知k=2，故f（x）=3x﹣3﹣x，显然是增函数．∵x≥1，∴t≥f（1）=，令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2（），若，当t=m时，，∴m=2（舍去）若，当t=时，，解得m=＜，综上可知m=．点评：本题主要考查指数函数的性质，利用函数的奇偶性和单调性求出参数，利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键．21．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=1﹣a n（n∈N*）．（Ⅰ）试求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求证：数列{c n}的前n项和P n＞2n﹣．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出；（II）由已知得：当n=1时，，结论成立，当n≥2时，，化简利用“放缩法”即可证明．解答：（Ⅰ）解：∵S n=1﹣a n（n∈N*），∴S n+1=1﹣a n+1，作差得：，又当n=1时，，故．（Ⅱ）证明：由已知得：当n=1时，，结论成立，当n≥2时，==，结论也成立，综上知，对∀n∈N*，都成立．点评：本题考查了递推关系、等比数列的通项公式、“分组求和”、“放缩法”不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大内角为钝角，①求最大角的余弦值；②求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积．考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（1）设△ABC的三边a、b、c的长度分别为n﹣1、n、n+1（n∈N*且n＞1），根据两边之和大于第三边和C为钝角，建立不等式并解之可得2＜n＜4，因此n=3可得△ABC三边长分别为2，3，4．最后根据余弦定理即可算出最大角的余弦值；（2）由（1）得最大角是角C，利用同角三角函数的关系算出sinC=，设平行四边形两边分别为m、n，可得它的面积为S=mnsinC=mn，再根据m+n=4用基本不等式求最值，即可得到当且仅当m=n=2时平行四边形面积最大值为．解答：解：（1）设△ABC的三边a、b、c的长度分别为n﹣1、n、n+1（n∈N*且n＞1），∵（n﹣1）+n＞n+1，∴n＞2，得n是大于3的整数∵△ABC是钝角三角形，可得∠C为钝角，有cosC＜0，由余弦定理得：（n+1）2=（n﹣1）2+n2﹣2n（n﹣1）•cosC＞（n﹣1）2+n2，即（n﹣1）2+n2＜（n+1）2⇒n2﹣4n＜0⇒0＜n＜4，因此，整数n的值为3，可得△ABC三边长分别为2，3，4．∵cosC===﹣∴最大角的余弦值为﹣（2）由（1）得，最大角C的正弦为sinC==，设夹角C的平行四边形两边分别为m、n，∵m+n=4，∴mn≤=4，当且仅当m=n=2时，mn的最大值为4因此，平行四边形的面积S=mnsinC=mn≤×4=∴当平行四边形两边都等于2时，夹角C的平行四边形面积最大值为．点评：本题给出三边长为连续整数的三角形，且最大角为钝角时求最大角的余弦之值，并依此求一个平行四边形的面积最大值，着重考查了利用正余弦定理解三角形、用基本不等式求最值和平行四边形面积公式等知识，属于中档题．。
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（本答题共12个小题，每小题5分，共60分）1．设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，A）∩B=（）则（∁UA．{0} B．{﹣3，﹣4} C．{﹣1，﹣2} D．∅2．已知命题p：点P在直线y=2x﹣3上；命题q：点P在直线y=﹣3x+2上，则使命题“p且q”为真命题的一个点P（x，y）是（）A．（0，﹣3）B．（1，2）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）3．设集合A={x|﹣x2﹣x+2＜0}，B={x|2x﹣5＞0}，则集合A与B的关系是（）A．B⊆A B．B⊇A C．B∈A D．A∈B4．下列命题：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a＞1，则ax2﹣2ax+a+3＞0的解集为R”的逆否命题；④“若x（x≠0）为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是（）A．③④B．①③C．①②D．②④5．已知非空集合M和N，规定M﹣N={x|x∈M且x∉N}，那么M﹣（M﹣N）等于（）A．M∪N B．M∩N C．M D．N6．当x＞0，y＞0， +=1时，x+y的最小值为（）A．10 B．12 C．14 D．167．已知函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，则f（1）+2f′（1）的值是（）A．B．1 C．D．28．已知A={x|x≥k}，B={x|x2﹣x﹣2＞0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则k 的取值范围是（）A．k＜﹣1 B．k≤﹣1 C．k＞2 D．k≥29．设f（x）是可导函数，且=（）A．B．﹣1 C．0 D．﹣210．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+b）2+c（a≠0）的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（）A． B．C．D．11．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．1 B．C． D．12．已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣2）=2021，对任意x∈（﹣∞，+∞），都有f'（x）＜2x成立，则不等式f（x）＞x2+2017的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，+∞）二、填空题（本答题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知某物体的运动方程是S=t+t3，则当t=3s时的瞬时速度是m/s．14．已知y=f（x）为R上可导函数，则“f′（0）=0“是“x=0是y=f（x）极值点”的（填“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）．15．下列结论中，正确结论的序号为①已知M，N均为正数，则“M＞N”是“log2M＞log2N”的充要条件；②如果命题“p或q”是真命题，“非p”是真命题，则q一定是真命题；③若p为：∃x＞0，x2+2x﹣2≤0，则￢p为：∀x≤0，x2+2x﹣2＞0；④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．16．若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其它每小题10分，共70分）17．（1）已知，求曲线g（x）在点（4，2）处的切线方程；（2）已知函数f（x）=x3﹣3x，过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．18．设命题p：A={x|（4x﹣3）2≤1}；命题q：B={x|a≤x≤a+1}，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣1．（1）若不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥t﹣2对一切实数x恒成立，求实数t的取值范围．20．已知函数f（x）=x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）lnx．．（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围．21．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．22．已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线x﹣y﹣1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；（Ⅲ）设g（x）=xlnx﹣x2f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本答题共12个小题，每小题5分，共60分）1．设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（∁UA）∩B=（）A．{0} B．{﹣3，﹣4} C．{﹣1，﹣2} D．∅【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】先计算集合CU A，再计算（CUA）∩B．【解答】解：∵A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，∴CUA={﹣3，﹣4}，∴（CUA）∩B={﹣3，﹣4}．故答案选B．2．已知命题p：点P在直线y=2x﹣3上；命题q：点P在直线y=﹣3x+2上，则使命题“p且q”为真命题的一个点P（x，y）是（）A．（0，﹣3）B．（1，2）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）【考点】2E：复合命题的真假．【分析】根据已知条件便知P点是直线y=2x﹣3和直线y=﹣3x+2的交点，所以解方程组即得点P坐标．【解答】解：若“p且q”为真命题，则：P既在直线y=2x﹣3上，又在y=﹣3x+2上；所以点P是直线y=2x﹣3和y=﹣3x+2的交点；∴解得x=1，y=﹣1；∴P（1，﹣1）．故选C．3．设集合A={x|﹣x2﹣x+2＜0}，B={x|2x﹣5＞0}，则集合A与B的关系是（）A．B⊆A B．B⊇A C．B∈A D．A∈B【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】化解集合A，B，根据集合之间的关系判断即可．【解答】解：集合A={x|﹣x2﹣x+2＜0}={x|x＞1或x＜﹣2}，B={x|2x﹣5＞0}={x|x＞2.5}．∴B⊆A，故选A4．下列命题：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a＞1，则ax2﹣2ax+a+3＞0的解集为R”的逆否命题；④“若x（x≠0）为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是（）A．③④B．①③C．①②D．②④【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】结合四种命题的定义，及互为逆否的两个命题，真假性相同，分别判断各个结论的真假，可得答案．【解答】解：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题为“若a2≥b2，则a≥b”为假命题，故错误；②“全等三角形面积相等”的逆命题“面积相等的三角形全等”为假命题，故错误；③若a＞1，则△=4a2﹣4a（a+3）=﹣12a＜0，此时ax2﹣2ax+a+3＞0恒成立，故“若a＞1，则ax2﹣2ax+a+3＞0的解集为R”为真命题，故其逆否命题为真命题，故正确；④“若x（x≠0）为有理数，则x为无理数”为真命题，故其的逆否命题，故正确．故选：A5．已知非空集合M和N，规定M﹣N={x|x∈M且x∉N}，那么M﹣（M﹣N）等于（）A．M∪N B．M∩N C．M D．N【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据题中的新定义判断即可得到结果．【解答】解：根据题意得：M﹣（M﹣N）=M∩N，故选：B．6．当x＞0，y＞0， +=1时，x+y的最小值为（）A．10 B．12 C．14 D．16【考点】7F：基本不等式．【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0， +=1，∴x+y=（x+y）=10+=16，当且仅当y=3x=12时取等号．∴x+y的最小值为16．故选：D．7．已知函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，则f（1）+2f′（1）的值是（）A．B．1 C．D．2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；3T：函数的值．【分析】利用函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，可求f（1）、f′（1）的值，从而可得结论．【解答】解：∵函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，∴f（1）=1，f′（1）=∴f（1）+2f′（1）=2故选D．8．已知A={x|x≥k}，B={x|x2﹣x﹣2＞0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则k 的取值范围是（）A．k＜﹣1 B．k≤﹣1 C．k＞2 D．k≥2【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解不等式可得x＜﹣1，或x＞2，由充要条件的定义可得{x|x≥k}是集合{x|x＜﹣1，或x＞2}的真子集，结合数轴可得答案．【解答】解：解不等式x2﹣x﹣2＞0可得x＜﹣1，或x＞2，要使“x≥k”是“x2﹣x﹣2＞0”的充分不必要条件，则需集合A={x|x≥k}是集合B={x|x＜﹣1，或x＞2}的真子集，故只需k＞2即可，故实数k的取值范围是（2，+∞），故选：C．9．设f（x）是可导函数，且=（）A．B．﹣1 C．0 D．﹣2【考点】6F：极限及其运算．），【分析】由题意可得=﹣2=﹣2f′（x结合已知可求）=2【解答】解：∵ =﹣2=﹣2f′（x0）=﹣1∴f′（x故选B10．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+b）2+c（a≠0）的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【考点】63：导数的运算；3O ：函数的图象．【分析】根据导数和函数的单调性的关系即可判断．【解答】解：由f′（x ）图象可知，函数f （x ）先减，再增，再减，故选：D ．11．若点P 是曲线y=x 2﹣lnx 上任意一点，则点P 到直线y=x ﹣2的最小距离为（ ）A ．1B ．C ．D ．【考点】IT ：点到直线的距离公式．【分析】设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P 到直线y=x ﹣2的最小距离．【解答】解：过点P 作y=x ﹣2的平行直线，且与曲线y=x 2﹣lnx 相切，设P （x 0，x 02﹣lnx 0）则有k=y′|x=x 0=2x 0﹣．∴2x 0﹣=1，∴x 0=1或x 0=﹣（舍去）．∴P （1，1），∴d==．故选B ．12．已知函数f （x ）的定义域为R ，f （﹣2）=2021，对任意x ∈（﹣∞，+∞），都有f'（x ）＜2x 成立，则不等式f （x ）＞x 2+2017的解集为（ ）A ．（﹣2，+∞）B ．（﹣2，2）C ．（﹣∞，﹣2）D ．（﹣∞，+∞） 【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g （x ）=f （x ）﹣x 2﹣2017，利用对任意x ∈R ，都有f′（x ）＜2x 成立，即可得出函数g（x）在R上单调性，进而即可解出不等式．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2﹣2017，则g′（x）=f′（x）﹣2x＜0，∴函数g（x）在R上单调递减，而f（﹣2）=2021，∴g（﹣2）=f（﹣2）﹣（﹣2）2﹣2017=0，∴不等式f（x）＞x2+2017，可化为g（x）＞g（﹣2），∴x＜﹣2，即不等式f（x）＞x2+2017的解集为（﹣∞，﹣2），故选：C．二、填空题（本答题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知某物体的运动方程是S=t+t3，则当t=3s时的瞬时速度是 4 m/s．【考点】61：变化的快慢与变化率．【分析】求出位移的导数；将t=3代入；利用位移的导数值为瞬时速度；求出当t=3s时的瞬时速度．【解答】解：根据题意，S=t+t3，则s′=1+t2将t=3代入得s′（3）=4；故答案为：414．已知y=f（x）为R上可导函数，则“f′（0）=0“是“x=0是y=f（x）极值点”的必要不充分条件（填“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】x=0是y=f（x）极值点，可得f′（0）=0；反之不成立，例如函数f（x）=x3，虽然f′（0）=0，但是x=0不是函数f（x）的极值点．【解答】解：x=0是y=f（x）极值点，可得f′（0）=0；反之不成立，例如函数f（x）=x3，f′（x）=3x2，虽然f′（0）=0，但是x=0不是函数f（x）的极值点．∴f′（0）=0“是“x=0是y=f（x）极值点”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分条件．15．下列结论中，正确结论的序号为①②④①已知M，N均为正数，则“M＞N”是“log2M＞log2N”的充要条件；②如果命题“p或q”是真命题，“非p”是真命题，则q一定是真命题；③若p为：∃x＞0，x2+2x﹣2≤0，则￢p为：∀x≤0，x2+2x﹣2＞0；④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据充要条件的定义和对数函数的性质，可判断①；根据复合命题的真假，可判断②；根据特称命题的否定方法，可判断③；运用原命题的逆否命题，可判断④．【解答】解：对于①，由M，N＞0，函数y=log2x在（0，+∞）递增，可得“M＞N”⇔“log2M＞log2N”，故①正确；对于②，如果命题“p或q”是真命题，“非p”是真命题，可得P为假命题，q一定是真命题．故②正确；对于③，p为：∃x＞0，x2+2x﹣2≤0，则￢p为：∀x＞0，x2+2x﹣2＞0．故③不正确；对于④，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．故④正确．故答案为：①②④．16．若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是﹣2 ．【考点】7F：基本不等式．【分析】由2a+2b=1，得=，从而可求a+b的最大值，注意等号成立的条件．【解答】解：∵2a+2b=1，∴=，即，∴a+b≤﹣2，当且仅当，即a=b=﹣1时取等号，∴a=b=﹣1时，a+b取最大值﹣2．故答案为：﹣2．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其它每小题10分，共70分）17．（1）已知，求曲线g（x）在点（4，2）处的切线方程；（2）已知函数f（x）=x3﹣3x，过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算g′（4），求出切线方程即可；（2）设出切点为M（x0，y），表示出切线方程，求出切点坐标，从而求出切线方程即可．【解答】解：（1）∵g（x）=，∴g′（x）=，∴g′（4）=，∴曲线g（x）在点（4，2）处的切线方程为y﹣2=（x﹣4），即y=x+1；（2）曲线方程为y=x3﹣3x，点A（0，16）不在曲线上，设切点为M（x0，y），则点M的坐标满足y=x3﹣3x，因f′（x0）=3（x2﹣1），故切线的方程为y﹣y=3（x2﹣1）（x﹣x），将A（0，16）代入切线方程化简得x03=﹣8，解得x=﹣2．所以切点为M（﹣2，﹣2），切线方程为9x﹣y+16=0．18．设命题p：A={x|（4x﹣3）2≤1}；命题q：B={x|a≤x≤a+1}，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由（4x﹣3）2≤1，得≤x≤1，A={x|≤x≤1}．由¬p是¬q的必要不充分条件，得p是q的充分不必要条件，即A B，即可得出．【解答】解：由（4x﹣3）2≤1，得≤x≤1，A={x|≤x≤1}．由¬p是¬q的必要不充分条件，得p是q的充分不必要条件，即A B，∴，∴0≤a≤．∴实数a的取值范围是[0，]．19．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣1．（1）若不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥t﹣2对一切实数x恒成立，求实数t的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）求得不等式f（x）≤2的解集，再根据不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求得实数m的值．（2）由题意可得g（x）=|x﹣2|+|x+3|的最小值大于或等于t﹣2，求得g（x）=|x﹣2|+|x+3|的最小值，可得t的范围．【解答】解：（1）由f（x）≤2得，|x﹣m|≤3，解得m﹣3≤x≤m+3，又已知不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，∴，解得m=2．（2）当m=2时，f（x）=|x﹣2|﹣1，由于f（x）+f（x+5）≥t﹣2对一切实数x恒成立，则|x﹣2|+|x+3|﹣2≥t﹣2对一切实数x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|≥t对一切实数x恒成立，设g（x）=|x﹣2|+|x+3|，于是，所以当x＜﹣3时，g（x）＞5；当﹣3≤x≤2时，g（x）=5；当x＞2时，g（x）＞5．综上可得，g（x）的最小值为5，∴t≤5，即t的取值范围为（﹣∞，5]．20．已知函数f（x）=x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）lnx．．（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，利用导数为0，求解极值点，然后判断求解极值即可．（2）利用导函数的符号，结合基本不等式或函数的导数求解函数的最值，推出结果即可．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）lnx，x＞0∴，因为a=1，令=0得x=1或x=（舍去）…又因为，当0＜x＜1时，f'（x）＜0；x＞1时，f'（x）＞0所以x=1时，函数f（x）有极小值f（1）=0…（2）若f'（x）＞0，在x＞0上恒成立，则2x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）＞0恒成立，∴恒成立…而当x＞0时∵．检验知，a=2时也成立∴a≥2…[或：令，∴，∵x＞0，∴g'（x）＜0﹣﹣﹣﹣﹣所以，函数g（x）在定义域上为减函数所以g（x）＜g（0）=2检验知，a=2时也成立∴a≥2…．21．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=5，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由题意可得B⊆A，区间B的端点在集合A中，由此求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=5时，关于x的不等式f（x）＞9，即|x+5|+|x﹣2|＞9，故有①；或②；或③．解①求得x＜﹣6；解②求得x∈∅，解③求得 x＞3．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣6，或 x＞3}．（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）=|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2 }，如果A∪B=A，则B⊆A，∴，即，求得﹣1≤a≤0，故实数a的范围为[﹣1，0]．22．已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线x﹣y﹣1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；（Ⅲ）设g（x）=xlnx﹣x2f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）先求导函数，直接让导函数大于0求出增区间，导函数小于0求出减区间即可；（Ⅱ）直接利用切线的斜率即为切点处的导数值以及切点是直线与曲线的共同点联立方程即可求实数a的值；（Ⅲ）先求出g（x）的导函数，分情况讨论出函数在区间[1，e]上的单调性，进而求得其在区间[1，e]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=，∴f′（x）==，f′（x）＞0⇒0＜x＜2，f′（x）＜0⇒x＜0，或x＞2，故函数f（x）的单调增区间为（0，2），单调减区间为（﹣∞，0）和（2，+∞），（Ⅱ）设切点为（x，y），由切线斜率k=1=，⇒x3=﹣ax+2a，①由x﹣y﹣1=x﹣﹣1=0⇒（x2﹣a）（x﹣1）=0⇒x=1，x=±．把x=1代入①得a=1，把x=代入①得a=1，把x=﹣代入①得a=﹣1（舍去），故所求实数a的值为1．（Ⅲ）∵g（x）=xlnx﹣x2f（x）=xlnx﹣a（x﹣1），∴g′（x）=lnx+1﹣a，解lnx+1﹣a=0得x=e a﹣1，故g（x）在区间（e a﹣1，+∞）上递增，在区间（0，e a﹣1）上递减，①当e a﹣1≤1时，即0＜a≤1时，g（x）在区间[1，e]上递增，其最小值为g（1）=0；②当1＜e a﹣1＜e时，即1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（e a﹣1）=a﹣e a﹣1；③当e a﹣1≥e，即a≥2时，g（x）在区间[1，e]上递减，其最小值为g（e）=e+a﹣ae．。
重庆市2017-2018学年高一下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
重庆市南开2017-2018学年高一下学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本道题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一项符合题目要求。
1、已知单位向量,a b 满足：3a b +=，则2a b +＝（ ）A B C D 2、已知1，a ，b ，c ，5五个数成等比数列，则b 的值为（ ）A 、3BC 、D 、523、直线sin 20x θ+=的倾斜角的取值范围是（ ）A 、5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B 、2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C 、50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ D 、20,,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭4、在△ABC 中，a ,b,c 分别是三内角A ，B ，C 的对边，且22sin sin (sin sin )sin A C A B B -=-，则角C 等于（ ） A 、6π B 、3π C 、56π D 、23π5、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若sin cos 0b A B =，且a ，b ，c 成等比数列，则a cb+的值为（ ）A B C 、2 D 、4 6、在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内三角A ，B ，C 的对边，若sin cos cos A B Ca b c==，则△ABC 是（ ）A 、等边三角形B 、有一内角30°的三角形C 、等腰直角三角形D 、有一内角30°的等腰三角形7、设等差数列｛a n ｝的前n 项为S n ,且满足201620170,0S S ><，对任意正整数ｎ，都有n k a a ≥， 则k 的值为（ ）A 、1006B 、1007C 、1008D 、10098、给出下来四个命题，其中正确．．的是命题是（ ） ①若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1，则△ABC 是等边三角形 ②若sinA=cosB ，则△ABC 是直角三角形； ③若cosAcosBcosC ＜0，则△ABC 是钝角三角形； ④若sin2A=sin2B ，则△ABC 是等腰三角形．A 、①②B 、③④C 、①③D 、②④ 9、已知O 是三角形ABC 所在的平面内一定点，动点P 满足()sin sin AB ACOP OA AB B AC Cλ=++(0)λ≥，则P 点轨迹一定通过三角形ABC 的（ ） A 、重心 B 、外心 C 、垂心 D 、内心 10、设正数x ，y 满足：x ﹥y ，x +2y ＝3，则195x y x y+-+的最小值为（ ） A 、83 B 、114C 、4D 、211、设数列｛a n ｝满足a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a n ＝a n-1+a n-2-a n-3，n ＝4，5…，则a 2017＝（ ） A 、8064 B 、8065 C 、8067 D 、806812、已知实数x 、y 、z 满足x 2+2y 2+3z 2＝4，设T ＝x y+yz ，则T 的取值范围是（ ）A 、⎡⎢⎣⎦B 、⎡⎢⎣⎦C 、⎡⎢⎣⎦D 、⎡⎢⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分13、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A=30°，b=2，如果这样的三角形有且只有一个，则a 的取值范围为 。
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重庆市第十八中学2017-2018下半期考试
高一理科数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知等差数列{}n a 中，873=+a a ，则该数列前9项和9S 等于 A ．4 B ．8 C ．72 D ．36 2．设)3)(1(,4)2(2--=+-=a a N a a M ，则N M ,的大小关系为 A ．N M > B ．N M < C ．N M = D ．不能确定 3．若R c b a ∈,,，且b a >，则下列不等式一定成立的是
A ．c b c a -≥+
B ．0)(2
≥-c b a C ．bc ac > D ．
02
>-b
a c 4．已知实数y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y ，则目标函数y x z -=2的最大值为
A ．3-
B ．
2
1 C ．6
D ． 5
5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12
32
3=-S S ，则数列{}n a 的公差是 A ．2
1
B ．1
C ．2
D ．3
6．等差数列{}n a 中，50a >，470a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 中最大的项为 A ．4S B ．5S C ．6
S
D ．7
S
7．某工程中要将一长为m 100，倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持
坡高不变，则坡底需加长
A ．m 2100
B ．m 3100
C ．m )62(50+
D ．m 200
8．在ABC ∆中，已知c
b a ,,分别是角
C B A ,,的对边，且
,c o s 2c B a ==+，则ABC ∆为
A ．等边三角形
B ．等腰直角三角形
C ．锐角非等边三角形
D ．直角或等腰三
角形
9．设数列{}n a 的前n 项和为n S ．且满足
11
-=-n n S a ，则n S 的取值范围是 A ．)1,(-∞ B ．()+∞,0 C ．⎪
⎭⎫⎢⎣⎡1,21 D ．⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡+∞,21
10．在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边．且b a B c +=2cos 2，若ABC ∆的面积
3=S c ．则ab 的最小值为
A ．28
B ．36
C ．48
D ．56
11．在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边长分别为c b a ,,，则其面积))()((c p b p a p p S ---=，
这里2
c
b a p ++=
．已知在ABC ∆中，AC AB BC 2,6==，则当ABC ∆的面积最大时，AB 边上的中线长为
A ．32
B ．22
C ．5
2
D ．7
2
12．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ．若数列{}n a 和
{}n
S 都是等差数列，
且公差相等．则3S =
A ．49
B ．45
C ．43
D ．
23
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知数列{}n a 的前n 项和是2102n S n n =-+ 则7a =_______．
14．在ABC ∆中，角A 、B 、C 成等差数列，则2
22b
c a ac
-+=_______．。