电磁场与电磁波第6、7、8讲静电场

由此例可见，对于这种结构对称的无限长圆柱体分布电荷， 由此例可见，对于这种结构对称的无限长圆柱体分布电荷，利 用高斯定律计算其电场强度是十分简便的。 用高斯定律计算其电场强度是十分简便的。若根据电荷分布直接积 分计算电位或电场强度，显然不易。 分计算电位或电场强度，显然不易。
求长度为L， 的均匀线分布电荷的电场强度。 例4 求长度为 ，线密度为 ρ l 的均匀线分布电荷的电场强度。
根据上面两式可以求出电场强度的散度及旋度， 根据上面两式可以求出电场强度的散度及旋度，即
∇⋅E =
ρ ε0
∇× E =0
左式表明，真空中静电场的电场强度在某点 左式表明，真空中静电场的电场强度在某点的散度等于该点的电 荷体密度与真空介电常数之比。右式表明， 荷体密度与真空介电常数之比。右式表明，真空中静电场的电场 处处为零 有散无旋场 强度的旋度处处为零。由此可见，真空中静电场是有散无旋 强度的旋度处处为零。由此可见，真空中静电场是有散无旋场。 已知静电场的电场强度的散度及旋度以后， 已知静电场的电场强度的散度及旋度以后，根据亥姆霍兹定 电场强度E 理，电场强度 应为

ρ (r ′)er q dV ′ = e 2 r V ′ 4 πε r 2 4πε 0 r 0
例2
z
计算电偶极子的电场强度。 计算电偶极子的电场强度。 由前述电位和电场强度的计算公式可
r+
无论电荷何种分布， 见，无论电荷何种分布，电位及电场强度 均与电量的一次方成正比。因此， 均与电量的一次方成正比。因此，可以利 用叠加原理计算多种分布电荷产生的电位
∫
上式左端积分为
S
E ⋅ dS =
q ε0
∫
得
S
E ⋅ dS = ∫ E ⋅ en dS = ∫ EdS = 4πr 2 E
S S
E=
q 4πε 0 r 2
或
E=
q e 2 r 4πε0 r
也可通过电位计算点电荷产生的电场强度。 也可通过电位计算点电荷产生的电场强度 。 当点电荷位于坐标 原点时， 原点时|，− r ′ |= r r 。那么点电荷的电位为
∫ E ⋅ dS = ∫ EdS =E ∫ dS =2πrLE
S S1 S1
则电量q 当 r < a 时，则电量 为 q = πr 2 ρL , 求得电场强度为
E=
ρr er 2ε 0
则电量q 当 r > a 时，则电量 为 q = πa 2 ρL , 求得电场强度为
πa 2 ρ E= er 2 πε 0 r
E = −∇ϕ
将电位表达式代入， 将电位表达式代入，求得电场强度与电荷密度的关系为
ρ (r ′)(r − r ′) E (r ) = ∫ dV ′ 3 V′ 4πε 0 r − r ′
若电荷分布在一个有限的表面上， 若电荷分布在一个有限的表面上，或者分布在一个有限的 线段内，那么可以类推获知此时电位及电场强度与电荷的面密 线段内，那么可以类推获知此时电位及电场强度与电荷的面密 度 ρS 及线密度ρl 的关系分别为
⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕
带电平行板
正电荷
负电荷
由此可见，电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。 由此可见，电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。
2. 真空中静电场方程 物理实验表明，真空中静电场的电场强度 物理实验表明，真空中静电场的电场强度E 满足下列两个 积分形式的方程
∫
S
E ⋅ dS =
q
上式中πa 可以认为是单位长度内的电量。那么， 上式中 2ρ 可以认为是单位长度内的电量 。那么，柱外电场
ρl 可以看作为位于圆柱轴上线密度为
=πa2ρ 的线电荷产生的电场。 的线电荷产生的电场。
无限长线电荷的电场强度为 由此我们推出线密度为 的无限长线电荷的电场强度为 ρl
E=
ρl er 2πε 0 r
ε0
∫
l
E ⋅ dl = 0
式中ε0 为真空介电常数。 为真空介电常数。
ε 0 = 8.854187817 L ×10 −12 (F / m) ≈ 1 × 10 −9 (F/m) 36π
左式称为高斯定理， 左式称为高斯定理，它表明真空中静电场的电场强度通过任一 封闭曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电量与真空介电常数 封闭曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电量与真空介电常数 之比。右式表明，真空中静电场的电场强度沿任一条闭合曲线 之比。右式表明，真空中静电场的电场强度沿任一条闭合曲线 任一 的环量为零。 的环量为零。
y
+q l
x
⊕
θ
O
r r-
-q
和电场强度。那么， 和电场强度。那么，电偶极子产生的电位 应为
ϕ=
q 4πε 0 r+
−
q 4πε 0 r−
=
q r− − r+ rr 4πε 0 + −
+ −
平行， 若观察距离远大于两电荷的间距 l ，则可认为 e r ，er 与 er 平行，则
r− − r+ = l cosθ
l l r+ r− = r − cos θ r + cos θ ≈ r 2 2 2
求得
ϕ=
q 4 πε 0 r
l cos θ = 2
q 4 πε 0 r
2
(l ⋅ er )
式中l 的方向规定由负电荷指向正电荷。 式中 的方向规定由负电荷指向正电荷。通常定义乘积 q l 为电偶 极子的电矩， 表示， 极子的电矩，以 p 表示，即 电矩
r
y
将前述结果代入， 将前述结果代入，求得
Φ (r ) =
因此
1 4πε 0
∫
ρ (r ′)
V′
| r − r′ |
dV ′
A( r ) = 0
E = −∇Φ
称为电位 因此， 电位。 标量函数 Φ 称为 电位 。 因此 ， 上式表明真空中静电场在某
点的电场强度等于该点电位梯度的负值。 点的电场强度等于该点电位梯度的负 按照国家标准， 表示， 按照国家标准，电位以小写希腊字母ϕ 表示，上式应写为
ez
α2
dz′
z′
z r
令圆柱坐标系的 z 轴与线电荷的长
er π P (r , , z ) 2
度方位一致，且中点为坐标原点。 度方位一致，且中点为坐标原点。由于 结构旋转对称， 无关。 结构旋转对称，场强与方位角φ 无关。 因为电场强度的方向无法判断， 因为电场强度的方向无法判断，不能应 用高斯定律求解其电场强度。只好进行 用高斯定律求解其电场强度。 直接积分，计算其电位及电场强度。 直接积分，计算其电位及电场强度。
式中q 为试验电荷的电量， 为电荷q 受到的作用力。 式中 为试验电荷的电量，F 为电荷 受到的作用力。 表示, 电场强度通过任一曲面的通量称为电通， 电场强度通过任一曲面的通量称为电通，以 Ψ 表示,即
Ψ = ∫ E ⋅ dS
S
电场线方程 电场线方程
E × dl = 0
用电场线围 成电场管
几种典型的电场线分布
第二章 静电场
主 要 内 容 电场强度、电位、介质极化、场方程、边界条件、 电场强度、电位、介质极化、场方程、边界条件、能量与力
1. 电场强度、电通及电场线 电场强度、 电场对某点单位正电荷的作用力称为该点的电场强度 以 表示。 电场对某点单位正电荷的作用力称为该点的电场强度，以E 表示
E= F (V/m) q
上述结果表明，电偶极子的电位与距离平方成反比， 上述结果表明，电偶极子的电位与距离平方成反比，电场强度 的大小与距离的三次方成反比。 有关。 的大小与距离的三次方成反比。而且两者均与方位角θ 有关。这些 特点与点电荷显著不同。 特点与点电荷显著不同。下图绘出了电偶极子的电场线和等位线的 分布。 分布。
例1
计算点电荷的电场强度。 计算点电荷的电场强度。
点电荷就是指体积为 就是指体积为零 但具有一定电量的电荷。 点电荷就是指体积为零，但具有一定电量的电荷。由于点电荷 的结构具有球对称特点，因此若点电荷位于球坐标的原点， 的结构具有球对称特点，因此若点电荷位于球坐标的原点，它产生 球对称特点 的电场强度一定与球坐标的方位角无关。 的电场强度一定与球坐标的方位角无关。 取中心位于点电荷的球面为高斯面。若点电荷为正电荷， 取中心位于点电荷的球面为高斯面。若点电荷为正电荷，球面 高斯面 上各点的电场强度方向与球面的外法线方向一致。 上各点的电场强度方向与球面的外法线方向一致。利用高斯定律
p = ql
那么电偶极子产生的电位为
ϕ=
p ⋅ er p cos θ = 4πε 0 r 2 4πε 0 r 2
利用关系式 E = −∇ ϕ ，求得电偶极子的电场强度为
p cos θ p sin θ ∂ϕ 1 ∂ϕ 1 ∂ϕ = er + eθ E = − e r ∂r + eθ r ∂θ + eφ r sin θ ∂φ 2 πε 0 r 3 4 πε 0 r 3
a
S1
x
特点， 无关。 特点，场强一定与角度 φ 无关。
的圆柱面与其上下端面构成高斯面。 取半径为 r ，长度为 L 的圆柱面与其上下端面构成高斯面。应用 高斯定律
∫
S
E ⋅ dS =
q
ε0
因电场强度方向处处与圆柱侧面S 的外法线方向一致， 因电场强度方向处处与圆柱侧面 1 的外法线方向一致 ， 而与 上下端面的外法线方向垂直， 上下端面的外法线方向垂直，因此上式左端的面积分为
dl ′
ρ l (r ′)(r − r ′)
l′
| r − r′ |
3
dl ′
静电场特性的进一步认识： 静电场特性的进一步认识： （1）高斯定律中的电量 q 应理解为封闭面 S 所包围的全部正 负电荷的总和。 负电荷的总和。 而且也不可能相交。 （2）静电场的电场线是不可能闭合的 ，而且也不可能相交。 （3）任意两点之间电场强度 E 的线积分与路径无关。真空中 线积分与路径无关。 的静电场和重力场一样，它是一种保守场。 的静电场和重力场一样，它是一种保守场。 （4）已知电荷分布的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度， ）已知电荷分布的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度， 或者可以通过电位求出电场强度， 或者可以通过电位求出电场强度，或者直接根据电荷分布计算 电场强度等三种计算静电场的方法。 电场强度等三种计算静电场的方法。