2020届高三精准培优专练八 平面向量(文) 文科版
2019届高考数学专题八平面向量精准培优专练理
培优点八 平面向量1．代数法例1：已知向量a，b 满足=3a ，b ()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（ ） A．3 B ．3- C． D 【答案】C【解析】考虑b 在a 上的投影为⋅a bb，所以只需求出a ，b 即可． 由()⊥+a a b 可得：()20⋅+=+⋅=a a b a a b ，所以9⋅=-a b．进而⋅==a b b ．故选C ． 2．几何法例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b，则=-a b _______． 【答案】【解析】可知a ，b ，+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线， 由2==+=a b a b可知满足条件的只能是底角为60o ，边长2a=的菱形， =． 3．建立直角坐标系例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则AD BE ⋅=u u u v u u u v__________．【答案】14AD BE ⋅=-uuu v uu uv【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题， 观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题， 如图建系：A ⎛ ⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 下面求E 坐标：令(),E x y ，∴1,2CE x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭uu u v ，12CA ⎛=- ⎝⎭uu v ，由3CA CE =uu v uu u v可得：11132233x x y y ⎧⎛⎫⎧-=-= ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩13E ⎛ ⎝⎭，∴0,AD ⎛= ⎝⎭uuu v，56BE ⎛= ⎝⎭uu u v ，∴14AD BE ⋅=-uuu v uu u v ．一、单选题1．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且向量a ，b 的夹角为4π，若λ-a b 与b 垂直，则实数λ的值为（ ） A ．12-B ．12C． D【答案】D【解析】因为12cos4π⨯⨯=⋅=a b ()40λλλ-⋅=⋅=⇒=a b b ，故选D ． 2．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b，+=a b ⋅=a b （ ） A ．1 BCD ．2【答案】A【解析】由题意可得：22221427+=++⋅=++⋅=a b a b a b a b ，则1⋅=a b ．故选A ． 3．如图，平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，60A ∠=o ，点M 在AB 边上，且13AM AB =， 则DM DB ⋅=uuu u v uu u v（ ）A ．1-B ．1 C． D【答案】B【解析】因为13AM AB =，所以DB AB AD =-uu u v uu u v uuu v ，13DM AM AD AB AD =-=-uuuu v uuu v uuu v uu u v uuu v ，则()22114333DB BM AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅+ ⎪⎝⎭uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uu u v uuu v uuu v14142111332=⨯-⨯⨯⨯+=．故选B ． 4．如图，在ABC △中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若AB =uu u v a ，AC =u u u v b ，则AO =u u u v（ ）A ．1122+a bB ．1124+a bC ．1142+a bD ．1144+a b【答案】B【解析】由题意，在ABC △中，BE 是边AC 的中线，所以1AE AC =uu u v uuu v，对点增分集训又因为O 是BE 边的中点，所以()12AO AB AE =+uuu v uu u v uu u v，所以()1111122224AO AB AE AB AE =+=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v a b ，故选B ． 5．在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuuv uuu v ，则AP BQ ⋅uu u v uu u v 的最大值为（ ） A ．2- B ．32-C ．34 D ．98【答案】D【解析】因为AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ，所以ABCD 是直角梯形，且CM =30BCM ∠=︒，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：因为BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuuv uuu v ，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，则(]01λ∈，，()20B ，，()2P λ-，18Q λ⎛ ⎝，所以()1112254848AP BQ λλλλ⎛⋅=-⋅-=+-- ⎝uu u v uu u v ， 令()115448f λλλ=+--且(]01λ∈，， 由基本不等式可知，当1λ=时可取得最大值， 则()()max 119154488f f λ==+--=．故选D ． 6．已知ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC ⋅uu v uu u v的范围是（ ）A ．[]14，B ．[]04，C ．944⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．[]24-，【答案】C【解析】根据题意，ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，则根据余弦定理可得2416224cos6012BC =+-⨯⨯⨯︒=，即BC =．∴ABC △为直角三角形以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立坐标系，则()02A ，，()C ，则线段AC 12y+=，(0x ≤≤．设(),P x y ，则()()222443PB PC x y x y x y x ⋅=---=+-=-+uu v uu u v ，，．∵0x ≤≤944PB PC -≤⋅≤uu v uu uv ．故选C ．7．已知非零向量a ，b ，满足=a b 且()()320+⋅-=a b a b ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．4π B ．2π C ．34π D ．π【答案】A【解析】非零向量a ，b ，满足=a b 且()()320+⋅-=a b a b ，则()()320+⋅-=a b a b ， ∴22320+⋅-=a a b b ，∴223cos 20θ+⨯⨯-=a a b b ，∴2213cos 202θ⨯⨯⨯-=b b b ，∴cos θ=，4θπ=，∴a 与b 的夹角为4π，故选A ．8．在Rt ABC △中斜边BC a =，以A 为中点的线段2PQ a =，则BP CQ ⋅uuv uu u v的最大值为（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．【答案】B【解析】∵在Rt ABC △中斜边BC a =，∴BA CA ⊥， ∵A 为线段PQ 中点，且2PQ a =，∴原式()22222cos a BA AQ AQ CA a AQ BA CA a AQ CB a a θ=-+⋅-⋅=-+-=-+⋅=-+u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u v u u v u u u v u u v ， 当cos 1θ=时，有最大值，0BP CQ ⋅=uu v uu u v ．故选B ．9．设向量a ，b ，c ，满足1==a b ，12⋅=-a b ，6,0--=oa b c c ，则c 的最大值等于（ ）A ．1BCD ．2【答案】D【解析】设OA =uu v a ，OB =uu u v b ，OC =uuu v c ，因为12⋅=-a b ，6,0--=oa b c c ，所以120AOB ∠=︒，60ACB ∠=︒，所以O ，A ，B ，C 四点共圆，因为AB =-uu u v b a ，()222223AB =-=+-⋅=uu u v b a b a a b ，所以AB =由正弦定理知22sin120ABR ==︒，即过O ，A ，B ，C 四点的圆的直径为2，所以c 的最大值等于直径2，故选D ．10．已知a 与b 为单位向量，且⊥a b ，向量c 满足2--=c a b ，则c 的取值范围为（ ）A ．1,1⎡+⎣B ．2⎡⎣C ．D ．3⎡-+⎣【答案】B【解析】由a ，b 是单位向量，0⋅=a b ，可设()1,0=a ，()0,1=b ，(),x y =c ， 由向量c 满足2--=c a b ，∴()1,12x y --=，2=，即()()22141x y +-=-，其圆心()1,1C ，半径2r =，∴OC =22c B ．11．平行四边形ABCD 中，AC uuu v ，BD uu u v 在AB uu u v 上投影的数量分别为3，1-，则BD uu u v 在BC uu uv 上的投影的取值范围是（ ） A ．()1,-+∞ B ．()1,3- C ．()0,+∞ D ．()0,3【答案】A【解析】建立如图所示的直角坐标系：设(),0B a ， 则()3,C b ，()1,D a b -，则()31a a --=，解得2a =．所以()1,D b ，()3,C b ．BD uu u v 在BC uu u v 上的摄影cos BM BD θθ==uu u v ，当0b →时，cos 1→-，得到：1BM →-，当b →+∞时，0θ→，BM →+∞，故选A ．12．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB AC ==D ，E 是线段BC 上的点，且13DE BC =，则AD AE ⋅u u u v u u u v的取值范围是（ ） A ．84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．48,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．88,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】如图所示，以BC 所在直线为x 轴，以BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系， 则()0,1A ，()1,0B -，()1,0C ，设(),0D x ，则2,03E x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，113x ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭．据此有(),1AD x =-uuu v ，2,13AE x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭uu u v ，则222181339AD AE x x x ⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭uuu v uu u v ．据此可知，当13x =-时，AD AE ⋅uuu v uu u v取得最小值89；当1x =-或13x =时，AD AE ⋅uuu v uu u v取得最大值43； AD AE ⋅uuu v uu u v 的取值范围是84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选A ．二、填空题13．已知向量()1,2=a ，()2,2=-b ，()1,λ=c ，若()2+∥c a b ，则λ=________． 【答案】1．【解析】因为()1,2=a ，()2,2=-b ，所以()24,2+=a b ， 又()1,λ=c ，且()2+∥c a b ，则42λ=，即12λ=．14．若向量a ，b 满足1=a ，=b ()⊥+a a b ，则a 与b 的夹角为__________．【答案】34π【解析】由()⊥+a a b 得，()0⋅+=a a b ，即20+⋅=a a b ，据此可得2cos ,⋅=⋅⋅=-a b a b a b a ，∴cos ,==a b ， 又a 与b 的夹角的取值范围为[]0,π，故a 与b 的夹角为34π．15．已知正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 上的一个动点，则求AE BD ⋅uu u v uu u v的最大值为________．【答案】4【解析】设DE DC AB λλ==uu u v uuu v uu u v ，则AE AD DE AD AB λ=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，又BD AD AB =-uu u v uuu v uu u v ，∴()()()22144AE BD AD AB AD AB AD AB AB AD λλλλ⋅=+⋅-=-+-⋅=-uu u v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uu u v uuu v，∵01λ≤<，∴当0λ=时，AE BD ⋅uu u v uu u v取得最大值4，故答案为4．16．在ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，2AC =，P 为线段AB 上一点，则PB PC +uu v uu u v的取值范围为____．【答案】【解析】以C 为坐标原点，CB ，CA 所在直线为x ，y 轴建立直角坐标系，可得()0,0C ，()0,2A ，()B ，则直线AB 12y+=，设(),P x y ，则2y =，0x ≤≤(),PB x y =-uu v ，(),PC x y =--uu u v ，则|()()22222PB PC x y +=+uu v uu u v22161628333x x ⎛=-+=+ ⎝⎭，由x ⎡=⎣，可得PB PC +u u v u u u v 的最小值为 ，时，则PB PC +uu v uu u v的最大值为即PB PC +uu v uu u v的取值范围为．故答案为．。
2020高三数学立体几何专项训练文科
2020高三数学立体几何专项训练文科1.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA垂直于平面ABCD，E是PD的点。
Ⅰ) 证明PB平行于平面AEC。
Ⅱ) 设AP=1，AD=3，求三棱锥P-ABD的体积V和A点到平面PBD的距离。
2.在四棱锥P-ABCD中，AB平行于CD且AB等于2CD，E为PB的中点。
1) 证明CE平行于平面PAD。
2) 是否存在一点F在线段AB上，使得平面PAD平行于平面CEF？若存在，证明结论；若不存在，说明理由。
3.在四棱锥P-ABCD中，平面PAC垂直于平面ABCD，且PA垂直于AC且等于AD等于2，四边形ABCD满足BC平行于AD，AB垂直于AD且等于1，点E和F分别为侧棱PB和PC上的点，且PEPF等于λ(λ不等于0)。
1) 证明EF平行于平面PAD。
2) 当λ等于2时，求点D到平面AFB的距离。
4.四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形。
1) 证明平面A1BD平行于平面CD1B1.2) 若平面ABCD与平面B1D1C相交于直线l，证明B1D1平行于l。
5.在平行四边形ABCD外一点P，PC的中点为M，在DM上取一点G，过G与AP作平面交平面BDM于H。
证明AP平行于GH。
6.在四棱锥P-ABCD中，PA垂直于底面ABCD，AB垂直于AD，AC垂直于CD，且∠ABC等于60度，PA等于AB等于BC，E是PC的中点。
证明：1) CD垂直于AE；2) PD垂直于平面ABE。
7.在四棱锥P-ABCD中，平面PAB垂直于平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAB为等边三角形，E是PB的中点，平面AED与棱PC交于点F。
1) 证明AD平行于EF；2) 证明PB垂直于平面AEFD；3) 设四棱锥P-AEFD的体积为V1，四棱锥P-ABCD的体积为V2，求V1和V2的值。
8.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a，∠DAB 等于60度的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点。
高考文科数学精准培优专题八平面向量 含答案
平面向量培优点八 1．代数法??aaba??a=3a bb3=2b在），：已知向量方向上的投影为，，则，满足且（例133333? C．．．A．3 BD?22【答案】C ba?aa bb，上的投影为，所以只需求出【解析】考虑在即可．b????2baa??0b??aa?b??aa?由可得：，a?b?933???9a???b，故选所以C．进而．b223．几何法2a?2ab?b=aa?b??b_______，则：设．，是两个非零向量，且2例【答案】32a ba?b为平行四边形的一组邻边和一条对角线，，，【解析】可知a?b?a?b?2a?2o的菱形，由，边长可知满足条件的只能是底角为60从而可求出另一条对角线的长度为．3a?233．建立直角坐标系uuuvuuuvuuvuuuvuuuvuuuvABC中，设，，则__________：例3在边长为1的正三角形．CECA?2BD3?BC?EAD?B A EBCD uuuvuuuv1AD?BE??【答案】4【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，??311????,0,0CB?A0,，，如图建系：，????????222??????vuuvuuu??131????y?,CE?xyx,E,CA??下面求坐标：令，，∴，??E????222????11?1?????x?3?x??????22313vuvuuuu????,E?由可得：，∴，????CE3CA???6333?????y?3y??6?2?uuuvuuuv vuuuuvuu????3531,BE??0,?AD?BE?AD?．，∴，∴????????2664????对点增分集训一、单选题?aa2??1ba?b?bbba垂直，则实，，且向量，满足．已知向量，若，的夹角为与14?数）的值为（1122? B．D A．C．．?2244D【答案】?2??2?cos?2a?b?1????????4a?0b?b?2?【解析】因为D．，故选，所以44 a21ab???b?ba7b?a?．已知向量2，）满足，则，，（．2． B1 A．．CD 32A【答案】．2221a?b?7??b4?2a2a?b?a?b?a?b?1?．故选由题意可得：A【解析】．，则1AB?AM ABCD o，，点在边上，且3．如图，平行四边形，中，，AB21AD??ABM60??A3vuuuuuuuv）（则??DBDM33． B．1 CD．A．?1?33B【答案】uvuuuvuuuvuuuvuuuvuuu11vuvuuuuuuvuuAM?ABDM?AM?AD?AB?AD，，【解析】因为，所以ADAB?DB?33uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv411????22ADAD??AB?AB??BM?AB?AD?AB?A DDB则??333??141??4??2?1??1?1．故选B．332uuuvuuuv△ABCACO是边的中点，若是边，4．如图，在的中线，，则中，BEBEbACAB?a?uuuv（）?AO11111111a??a?bbba?ba B ． D．．CA．44222442【答案】B uuuuvvuu1AEAC?AC△ABC的中线，所以【解析】由题意，在中，，是边BE2uuuvuuuvuuuv1??AEAB?AO?O又因为，是边的中点，所以BE2vuvuuuvuuuvuuuuuuvuu11111??b??AB?AE?a?AO?ABAE．所以，故选B42222Q2BC??1AB?∥ABCDABCDCD o分别，，．在梯形5和中，，，动点P120?BCD?vuuuvuuuvuuuuuuv1vuuuuuvDCDQ?CDBC，和上，且的最大值为（），则在线段BQAP??BC?BP?8．933?D．． C．BA．2?428D【答案】2CD?1AB?BC?AB∥CD o，【解析】因为，，，120??BCD??ABCD30?BCM，是直角梯形，且所以，3?CMyx所在直线为轴，以轴，建立如图所示的平面直角坐标系：以所在直线为ADABvuuuvuuu1vuuuvuuQDQ?DC CDBC，上，分别在线段和因为，动点和P?BC?BP?81???????????3Q，01?，02，B3,P2?则，，，，???8??vuuuuuuv111?????????4??2，3??AP?BQ2?5，3?所以，????884??11?????01，????4?f5??，且令?84??1时可取得最大值，由基本不等式可知，当119??????41??f5?f??．故选D．则max488uuvuuuv2AC?AB?4?BACABC?60△?AC 上任意一点，，则6．已知，为线段，中，PPB?PC的范围是（）9????????，?4?4，042，14，．D A ．．C． B??4??【答案】C2AC?AB?4?△BACABC?60?，中，，根据题意，【解析】，2ABC△12?4?2??cos60?24BC??16?32BC?为直角，即则根据余弦定理可得．∴三角形????yx，02A0，2C3BC轴建立坐标系，则为原点，以，，轴，为为BBA．yx??1??32x?0?AC的方程为．，则线段232vuuuvuu3410??????yP,x222，则．设，??PBx?x?4PC?y，23?x?y?x??yx?23x?33uvuuvuu94PC???PB?．．故选∵，∴C320?x?42????aa0?3a?2a?bb?bb 7．已知非零向量的夹角为（，，则且与，满足）b?a2?3??? C．．A． B．D244A【答案】2????????a0?3ba?0?a?b2?a?bb?3a?2b非零向量且，，则，满足，【解析】b?a222?220cos??2b3a?a?b?∴，，∴03a?a?b?2b?2122?，∴0?2bb?b?b3??cos?22??2a???b．，的夹角为，故选，∴∴A与?cos442uuvuuvuaPQ?2aRt△ABCBC?，以为中点的线段（中斜边）则，8．在的最大值为QCBP?A B．A． 0 C．．2D2?22B【答案】CA?BCRt△ABC?aBA，∴中斜边【解析】∵在，aPQPQ?2∵为线段，中点，且Avvuuvuuvuuuuuuvuuuvuuvuuuvuuvuu??22222?cos?a??a??CA?a?AQBA?CA?a?AQ?CBAQBA??a?? AQ??∴原式，vvuuuuu?1?cos B．时，有最大值，当．故选0CQ??BP1o cac1ba??0?6,b?a?cc?a?b?b的最大值等于，满足，，则，，9．设向量，2（）．2． B．A1．CD 32．D【答案】1vuuuvuuuuuv o a?c,b?c?60?b?a?，，，因为，【解析】设，c OC?a?OB b OA?2?AOB?120??ACB?60?OC四点共圆，，所以，，，，所以BAuuuvuuuv22??22AB?3，因为，所以，3?ab?b??a?2aAB??b ab?AB?AB?22R?OC四点的圆的直径为2，，由正弦定理知，即过，，BA sin120?c的最大值等于直径2，故选D．所以ac c?2c?a?b ba?b的取值范围为（，10．已知与）为单位向量，且满足则，向量????22?2,2?21,1?． BA．????????222,3?23?2,22 DC．．????【答案】B??????ayxc1,0?b?0,1,a?0a?b?b，，可设，，是单位向量，，【解析】由??c2b?c?a??2y?1,x?1，，∴满足由向量??22????22????1,1C4x?1??y?1，即，∴，半径，其圆心2?r21x?1???y222OC?．故选B，∴．∴2??c?x??y22?2uuuvvuuuvuuuuuuuuuvv ABCD3，，则上投影的数量分别为在11．平行四边形上的中，，在1?BCACBDABBD投影的取值范围是（）????????????1,??1,30,0,3 B．． D CA．．A【答案】??,0aB，【解析】建立如图所示的直角坐标系：设???????aa?131,DC3,ba?b?a?2．，解得，则，则．uuuvvuuuvuuu????2??bC3,D1,cos1cobBM?BD．在，，所以上的摄影BCBD??0BM?????1b???b?0cos??1BM，故选A．，当时，当，得到：，时，BCABC上的点，且是线段中，12．如图，在等腰直角三角形，，ED2?AC?AB1uuuvuuuvDE?BC，则的取值范围是（）AE?AD38448884????????,??,,, D ．A．C ．．B????????3339393????????【答案】A yx BCBC轴建立平面直角坐标系，所在直线为的中垂线为轴，以【解析】如图所示，以21????????????Ex?,0?1?x?,0?CD1,0A1,00,1xB．，则则，，设，，????33????uuuvuuuv2????AE?x?,?11,AD??x，据此有，??3??2uuuvuuuv218??2AD?AE?x?x?1?x??．则??339??81uuuvuuuvx??时，取得最小值；据此可知，当AEAD?3914uuuvuuuv?x1??x时，取得最大值或；当AE?AD3384uuuvuuuv??,．故选A．的取值范围是AE?AD??39??二、填空题?????????b?2a∥c?ba?1,2?2,2?1,c??．________，则，若，，．已知向量13．1【答案】2??????4,22a2a??1,2bb??2,?，，【解析】因为，所以1?????b2ac?c1,∥????2?4又，即，则，且．2??aa b?1a??aa bb2b?，且的夹角为，则满足，__________14．若向量与，．3?【答案】4????0a?a?ba?b?a?2【解析】由，即得，，0ba?a??122a?,b?a?b?a?b?cosa???a,b?cos，据此可得，∴221?3??aa?0,?bb．与的夹角为的夹角的取值范围为又，故与4uuuvuuuv ABCDCD上的一个动点，则求是的最大值为的边长为2，15．已知正方形EBDAE?________．【答案】4uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv【解析】设，则，???ABAD?AE?ADDE??DC?DEAB?uuuvuuuvuuuv又，AB?AD?BDuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv????22??????41?AB?ADAD?AB?A D?AB?AD?AB??4??AE?BD∴，uuuvuuuv???0?10?时，取得最大值4∵，故答案为4．，∴当BDAE?uuvuuuv ABAC?2PPB?PC?30??ABC△?C90?B?的中，，为线段上一点，则，，．在16取值范围为____．??3,27【答案】??yx CACCB轴建立直角坐标系，【解析】以为坐标原点，，所在直线为，xy????????10,2A0,0C3,02B，可得，，则直线的方程为，AB232uuvuuuvx????????2yyP,xy,?23?PB?xy,PC??x?，，，设，，则3?20?x3uuvuuuv??222??则|y?2PC2xPB??23?2x??22212x?3x12?42?4???4x8?4y?83x???3??2??35163162?40x?28?x?x??3，????4333??uuvuuuv35??CPB?P为，由最小的，可值得30,2?x???4vvuuuuuPCPB?时，则的最大值为vuuuuuv????PC?PB773,23,2的取值范围为．故答案为．即????。
2019-2020年高三第八次考前适应性训练文数试题 含解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{|31,}P x x n n N ==-∈，{|10,}Q x x x N =<∈，则集合P Q 中元素的个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】C 【解析】试题分析：因为集合{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9Q =，所以{}2,5,8P Q =I ，所以集合PQ 中元素的个数为3，选C ． 考点：集合的运算.2.设||1,||2a b ==，且向量a 与向量b 的夹角为23π，则|2|a b -=（ ）A ．2B ．．4 D ．12【答案】B考点：平面向量的数量积运算.3.设复数z 满足121zi z+=+，则z =（ ） A ．122i -- B ．122i -+ C ．122i-D ．122i +【答案】A 【解析】 试题分析：由121i z z +=+得()()11112211i i i i i z --===---+-+--，选A ．考点：复数的运算.4.从500件产品中随机抽取20件进行抽样，利用随机数表法抽取样本时，先将这500件产品按001,002,003，…，500进行编号，如果从随机数表的第1行第6列开始，从左往右依次选取三个数字，则选出来的第4个个体编号为（ ）1622 7794 3949 5443 5482 1737 9323 7887 3520 9643 8626 3491 6484 4217 5331 5724 5506 8877 0474 4767A ．435B ．482C ．173D ．237 【答案】C 【解析】试题分析：根据读取规则，依次得到的样本编号为394，435，482，173，则选出来的第4个个体编号为173，选C ． 考点：随机抽样.5.已知椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右两个焦点和上下两个顶点都在圆M 上，则椭圆E的离心率为（ ）A ．2 B ．3D 【答案】A考点：椭圆的几何性质.6.已知{}n a 为等比数列，若2312a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则7a =（ ） A ．1 B ．12 C ．13D ．14【答案】D 【解析】试题分析：由题意知，231412a a a a a ⋅=⋅=，即42a =，且4a 与72a 的等差中项为54，所以475224a a +=⨯，即714a =．选D ．考点：等比数列的通项公式. 7.已知函数22,1()log ,1x a x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若1(())42f f =，则a =（ ）A ．16B ．15C ．2D ．23【答案】B 【解析】 试题分析：112f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当0a ≤时，1(1)3242f f f a a ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，203a =>，不成立；当0a >，()21(1)log 142f f f a a ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得150a =>成立，所以15a =，选B ． 考点：分段函数与对数运算.8.已知ABC ∆是一个圆锥的底面圆的内接三角形，03,60AB ACB =∠=，母线与底面所成角的余 弦值为35，则该圆锥的体积为（ ） AB． C ．5π D ．8π 【答案】A考点：圆锥的体积、直线与平面所成的角及正弦定理. 9.函数tan sin |tan sin |y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象是（ ）【答案】D考点：三角函数的图象与性质.10.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．29B ．30C ．31D ．32【答案】D 【解析】试题分析：根据程序框图，S 是求222231l o g l o g l o g 342n n +++++的和，所以()21log 2S n =-+，当()21log 24S n =-+<-时，有30n >，所以31n =，此时输出132n +=，选D.考点：程序框图中的循环结构.【方法点晴】本题主要考查了程序框图中的循环结构及对数的运算，属于中档题.解答程序框图问题的基本策略是按照程序一步一步运行，从而发现程序的功能，发现其规律，尤其当运行的步数较多时，这一点非常重要.本题中通过运行前几步发现该程序是求222231log log log 342n n +++++的和，结合对数的运算法则列出不等式即可求得n 的值. 11.若某空间几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A ．24+B ．48+C ．48+D ．84+【答案】C考点：三视图与几何体的表面积.【方法点晴】本题借助三视图考查了几何体的表面积，属于中档题.本题解答的难点在于根据三视图还原出几何体，还原时应当注意三个视图的外部轮廓都是边长为4的正方体，所以应该考虑该几何体为正方体通过被平面截取所得，同时平面经过正方体各棱的中点，再结合三视图沿相反的方向“拉回”，最后求表面积时，只要注意到相对面的关系，问题就容易解决了. 12.给出定义：设'()f x 是函数()y f x =的导函数，''()f x 是函数'()f x 的导函数，若方程''()0f x =有实数解0x ，则称00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”，经探究发现，任意一个三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠都有“拐点”，且该“拐点”也是该函数的对称中心，若 32()232f x x x x =-++，则1232015()()()()2016201620162016f f f f ++++=（ ） A ．4032 B ．4030 C ．2016 D ．2015 【答案】B考点：函数递归公式及函数性质的应用.【方法点晴】本题主要考查了函数递归公式及函数性质的应用，属于中档题.本题是一道新定义的题目，明确函数“拐点”的定义和性质是正确解答的前提，函数“拐点”就是二次求导得到函数零点，同时图象关于“拐点”中心对称，求出“拐点”1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据递推公式可得1201520162016f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 22014320131007100910082016201620162016201620162016f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⋅⋅⋅+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦即可求得函数值的和.2019-2020年高三第八次考前适应性训练文数试题 含解析二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.数列{}n a 是等差数列，n S 是它的前n 项和，已知315S =，9153S =，则6S = . 【答案】66考点：等差数列前n 项和的性质.14.已知函数()1()af x x a R =+∈的图象在点(1,(1))f 处的切线经过点(2,5)，则a = .【答案】3 【解析】试题分析：切点坐标为()1,2，因为()1f x x αα-'=，考点：导数的几何意义.15.已知点P 是不等式组310301x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域内的一个动点，点(2,1)Q -，O为坐标原点，则||OP OQ -的最大值是 .【解析】试题分析：设(),P x y ，()2,1OP OQ QP x y -==-+，则(OP OQ x -=，设z =P 到定点()2,1Q -的距离，画出可行域（如图阴影部分所示），由图可知当点P 与点A 重合时，AQ 的距离最大，由130x x y =⎧⎨+-=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，即()1,2A ，则z 的最大值为AQ ==，所以OP OQ -的考点：线性规划.【方法点晴】线性规划问题主要考查学生的作图能力和用图意识和数形结合的思想方法，属于基础题.准确作出平面区域是正确解答的前提，作图时及时标注方程并判断区域，避免最后混淆.本题中通过平面向量的坐标运算得到(OP OQ x -=何意义是可行域内的点到()2,1-的距离，这样问题就容易解答了.16.已知点F 是抛物线2:4C y x =的焦点，点B 在抛物线C 上，(5,4)A ，当ABF ∆周长最小时，该三角形的面积为 . 【答案】2考点：抛物线定义的应用.【方法点晴】本题主要考查了抛物线定义的应用，属于中档题.本题中，由于AF 是定值，所以ABF ∆周长最小只需要AB BF +最小，根据条件“点B 在抛物线C 上”把BF 转化为B 到抛物线准线的距离，即过定点(5,4)A 到定直线（抛物线的准线）的最小距离，只需要过点A 作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点就是使得ABF ∆周长最小的点，求得点B 的坐标，三角形ABF 的面积就迎刃而解了.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知函数2()2cos 2f x x x =.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，1a =且()3f A =，求ABC ∆面积S 的最大值.【答案】（1）(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）24+．试题解析：（1）()22cos 2f x x x =1cos 22x x =++2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以222262k x k πππππ-≤+≤+，解得：36k x k ππππ-≤≤+，所以()f x 的单调递增区间为(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . ………6分 （2）由()3f A =，即sin 216A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0A π<<，所以6A π=，因为2222cos a b c bc A =+-，即221b c +=++12bc ≥，即2bc ≤，当且仅当b c ===“”号，所以12sin 24S bc A +=≤，即ABC △面积S 的最大值为24+． ………12分 考点：正弦函数的性质及正、余弦定理解三角形. 18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AB CD ，060BAD ∠=，2AB AD =，AP BD ⊥.（1）证明：平面ABD ⊥平面PAD ；（2）若PA 与平面ABCD 所成的角为60，2,AD PA PD ==，求点C 到平面PAB 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2试题解析：（1）在ABD ∆中，由余弦定理得2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠， 因为60BAD ∠=，2AB AD =，所以222422cos60BD AD AD AD AD =+-⋅⋅23AD =， ……… 2分所以222AB AD BD =+，即BD AD ⊥， ………3分 又因为AP BD ⊥，ADAP A =，所以BD ⊥平面PAD ， ………4分因为BD ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面PAD ． ………5分（2）取AD 的中点O ，连接PO ，BO ，因为PA PD =，所以PO AD ⊥，由（Ⅰ）知平面ABD ⊥平面PAD ，交线为AD ，所以PO ⊥平面ABD ， ………6分由2AD =，得4AB =，BD =OB =PA 与平面ABCD 所成的角为60，所以60PAO ∠=，得OP =4PB =，2PA =， ………8分因为AB ∥CD ，所以CD ∥平面PAB ，故点C 到平面PAB 的距离即为点D 到平面PAB 的距离d ， ………9分 在三棱锥P ABD-中，有D PAB P ABDV V --=，即1111223232d ⨯⨯=⨯⨯⨯求得5d =，所以点C 到平面PAB 的距离为5． ………12分考点：空间中垂直关系的证明及直线与平面所成的角、点到平面的距离. 19.（本小题满分12分）对某校900名学生每周的运动时间进行调查，其中男生有540名，女生有360名，根据性别利用分层抽样的方法，从这900名学生中选取60名学生进行分析，统计数据如下表（运动时间单位：小时）男生运动时间统计：女生运动时间统计：（1）计算,x y 的值；（2）若每周运动时间不低于6小时的同学称为“运动爱好者”，每周运动时间低于6小时的同学称为“非运动爱好者”，根据以上统计数据填写下面的22⨯列联表，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“‘运动爱好者’ 与性别有关”？【答案】（1）12x =，10y =；（2）列联表见解析，能在犯错不超过0.025的前提下认为“‘运动爱好者’与性别有关”．（2）由题意得，2260(2416812) 6.4336243228K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为6.43 5.024>，故在犯错不超过0.025的前提下认为“‘运动爱好者’与性别有关” ． ………12分考点：随机抽样与相关性检验. 20.（本小题满分12分）已知双曲线:E 22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线方程为0x =，焦距为（1）求双曲线E 的方程；（2）若直线:(0)l y kx k =>与双曲线E 交于,A B 两点，且点A 在第一象限，过点A 作x 轴的垂线，交x轴于点C ，交双曲线E 于另一点1A ，连结BC 交双曲线E 于点D ，求证：1AD OA ⊥.【答案】（1）2212x y -=；（2）证明见解析. 试题解析：（1）因为b a =，所以设a =，b m =，则c =，由2c =得c ==1m =，双曲线E 的方程为2212x y -=. ………4分 （2）设点A 的坐标为11(,)x y ，点D 的坐标为22(,)x y ，则点B ，C ，1A 的坐标分别为11(,)x y --，1(,0)x ，11(,)x y -，11y k x =， 直线BC的斜率11211222BC y y y k k x x x +===+. ………6分由221122221212x y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得12121212()()()()2x x x x y y y y +-=+-，121212122()y y x xx x y y -+=-+ ………8分直线AD的斜率1212121212()AD y y x xk x x y y k -+===-+, ………10分 直线1OA 的斜率111OA y k k x ==--,因为11A D O A k k⋅=-，所以1A D O A⊥. (12)分考点：双曲线方程及直线与双曲线的位置关系.【方法点晴】本题主要考查了双曲线方程、直线与双曲线的位置关系、平面上两直线垂直的条件，考查了方程的思想，属于中档题.求双曲线方程只要建立待定系数的方程组，解方程组即可求得方程；证明平面上两直线的位置关系通常研究它们斜率的关系，在直线与圆锥曲线的位置关系中，通常用交点的坐标表示斜率，根据曲线方程建立斜率与参数的关系来达到证明的目的.21.（本小题满分12分） 已知函数()ln 2x mf x ex -=-.（1）若1m =，求函数()f x 的极小值； （2）设2m ≤，证明：()ln 20f x +>. 【答案】（1）()11ln 2f =-；（2）证明见解析.试题解析：（1）()11ln 2ln 2ln x x f x e x e x e -=-=⋅--，所以()1111x x f x e e e x x-'=⋅-=-，…2分观察得()111101f e e '=⋅-=，而()1111x x f x e e e x x-'=⋅-=-在(0,)+∞上单调递增，所以 当(0,1)x ∈时()0f x '<，当()1+∞，时()0f x '>；所以()f x 在()0,1单调递减，()f x 在()1+∞，单调递增，故()f x 有极小值()11ln 2f =-．………5分 证明：（2）因为2m ≤，所以()2ln 2ln 2x mx f x e x e x --=-≥-，………7分令221()ln 2ln 2ln x x g x e x e x e -=-=⋅--，则21()x g x e x-'=-，易知()g x '在(0,)+∞单调递增，1(1)10g e '=-<，1(2)102g '=->，所以设02001()0x g x ex -'=-=，则0(1,2)x ∈；当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>；所以()g x 在()00,x 上单调递减， ()0,x +∞上单调递增，………9分所以02min 00()()ln 2x g x g x ex -==-，又因为02001()0x g x e x -'=-=，故0201x e x -=， 所以02000001ln ln2ln 2ln x ex x x x x -=⇒-=-⇒-=， 所以0022min 000()()ln 2ln 2ln x x g x g x ex e x --==-=-- 001ln 22x x =--+ 0012ln 2ln 2x x =+--≥-当且仅当001x x =，即01x =时等号成立，而0(1,2)x ∈，所以min ()ln 2g x >-，即()ln 2g x >-，所以()ln 2f x >-，即()ln 20f x +>．………12分考点：利用导数研究函数的单调性、极值、最值.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查了转化的数学思想和函数思想的应用，属于难题.要研究函数的极值，先研究定义域内的单调性，本题（1）中导函数的零点不能直接求出，解答时应分析解析式的特点，利用指数函数的性质找出极值点；解答的难点是（2）证明不等式，可利用函数()f x 的单调性进行放缩，转化为研究不含参数的函数2()ln 2x g x ex -=-的最小值，这是本题的技巧之一，导函数的零点同样不能直接解出，作为证明题，在判断单调性的前提下可以设出极值点，表示出函数值通过基本不等式证明即可，这是本题的另一个技巧.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知直线PA 与半圆O 切于点A ，PO 交半圆于,B C 两点，AD PO ⊥于点D . （1）求证：PAB BAD ∠=∠； （2）求证：PB CD PC BD ∙=∙.【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析.（2）因为PAB PCA ∠=∠，P P ∠=∠，所以PAB ∆∽PCA ∆，所以PA PB ABPC PA AC==,在Rt BAC ∆中，AD CD ⊥于点D ，所以AB AD BD AC CD AD ==,所以PA AD PC CD =，PB BDPA AD=,所以PC PA CD AD =，PB PA BD AD =，所以PC PB CD BD=，所以PB CD PC BD ⋅=⋅. ………10分考点：圆的切线性质，三角形相似及直角三角形中的摄影定理等. 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x t y =-⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），当1t =时，直线l 上对应的点为A ，当1t =-时，直线l 上对应的点为B ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C的极坐标方程为ρ=.（1）分别求,A B 两点的极坐标(0,02)ρθπ>≤<； （2）设点P 为曲线C 上的动点，求PAB ∆面积的最大值. 【答案】（1）22,3A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，52,3B π⎛⎫⎪⎝⎭；（2【解析】试题分析：（1）根据直线的参数方程求出,A B 两点的直角坐标，根据极径、极角与直角坐标间的关系即可求得,A B 两点的极坐标；（2）求出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程，设出曲线C 上点的参数表达式，由点到直线的距离公式求出点P 到直线l 的距离的最大值，即可求出PAB ∆面积的最大值.考点：直线的参数方程，椭圆极坐标方程的应用. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1|f x x =+. （1）求不等式()|4|xf x x >+；（2）若x R ∀∈，不等式()||1f x x a --≥-恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()2,+∞；（2）[]2,0-. 【解析】试题分析：（1）依据不等式()|4|xf x x >+中两个绝对的零点4,1--把原不等式分成三段去掉绝对值符号，分别求解，取并集即得原不等式的解集；（2）不等式()1x a f x --≤恒成立，即()max 1x a f x ⎡--⎤≤⎣⎦根据三角不等式求出()max x a f x ⎡--⎤⎣⎦关于a 的表达式，即可求得实数a的取值范围.考点：绝对值不等式的性质、解法及其应用.。
（完整版）《平面向量》测试题及答案
（完整版）《平面向量》测试题及答案《平面向量》测试题一、选择题1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（）A.x=-1B.x=3C.x=29D.x=512.与向量a=(-5,4)平行的向量是（）A.（-5k,4k ）B.(-k 5,-k 4)C.(-10,2)D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为43，则A 分所成的比是（）A.73B. 37C.- 37D.-73 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（） A.103B.-103C.102D.106．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.? ????79，73B.? ????－73，－79C.? ????73，79D.? ????－79，－737.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（） A.323B.233C.2D.-52 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,-21) 9.设四边形ABCD 中，有DC =21，且||=|BC |，则这个四边形是（） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（）A.y=x+10B.y=x-6C.y=x+6D.y=x-1011.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2的图像，则a 等于（） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1)12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。
2019年高考数学(理科)专题八平面向量精准培优专练(含答案)
2D．【解析】考虑b在a上的投影为a⋅b，所以只需求出a，b即可．培优点八平面向量1．代数法例1：已知向量a，b满足a=3，b=23，且a⊥(a+b)，则b在a方向上的投影为（）A．3B．-3C．-33332【答案】Cb由a⊥(a+b)可得：a⋅(a+b)=a2+a⋅b=0，所以a⋅b=-9．进而a⋅b-933==-．故选C．b2322．几何法例2：设a，b是两个非零向量，且a=b=a+b=2，则a-b=_______．【答案】23【解析】可知a，b，a+b为平行四边形的一组邻边和一条对角线，由a=b=a+b=2可知满足条件的只能是底角为60o，边长a=2的菱形，从而可求出另一条对角线的长度为3a=23．3．建立直角坐标系uuuv uuuv uuv uuuv uuuv uuuv例3：在边长为1的正三角形ABC中，设BC=2BD，CA=3CE，则AD⋅BE=__________．AEB D Cuuuv uuuv1【答案】AD⋅BE=-4【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，如图建系：A 0,3⎫⎛1⎛1⎛⎪⎪，B -,0⎪，C ,0⎪，(x,y)，∴CE uv=⎛x-1,y⎫⎪，CA v=⎛ -1,3⎫⎝⎭⎪3 x-⎪=-1x=1⇒⎨333⎪y=⎪⎩3y=2⎪⎩，∴E ,36⎪⎭∴AD= 0,-3⎫⎪⎪，BE=,⎪⎪，∴AD⋅BE=-．⎝2⎭⎝66⎭4，若a-λb与b垂直，则实数λ的值为（v uv v2B．4D．4=2，所以(a-λb)⋅b=2-λ⋅4=0⇒λ=4，故选D．3AB，⎫⎫⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭下面求E坐标：令Euu uu⎝2⎭ 22⎪⎪，由CA=3CE可得：⎨⎪uuu⎛uu⎛53⎫uuu uu uv14对点增分集训一、单选题1．已知向量a，b满足a=1，b=2，且向量a，b的夹角为π）A．-112C．-224【答案】D【解析】因为a⋅b=1⨯2⨯cosπ22．已知向量a，b满足a=1，b=2，a+b=7，则a⋅b=（）A．1B．2C．3D．2【答案】A【解析】由题意可得：a+b2=a2+b2+2a⋅b=1+4+2a⋅b=7，则a⋅b=1．故选A．3．如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60o，点M在AB边上，且AM=13D．【解析】因为AM=AB，所以DB=AB-AD，DM=AM-AD=AB-AD，uuuv uuuv uuuv uuuv)⎛1uuuv uuuv⎫1uuuv24uuuv uuuv uuuv2则DB⋅BM=AB-AD⋅ AB-AD⎪=AB-AB⋅AD+AD()()v2C．uuuuv uuuv则DM⋅DB=（）A．-1B．1C．-333【答案】B1uuuv uuuv uuuv uuu uv uuuv uuuv1uuuv uuuv33⎝3⎭33141=⨯4-⨯2⨯1⨯+1=1．故选B．332uuuv uuuv uuuv4．如图，在△ABC中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点，若AB=a，AC=b，则AO=（）11A．a+b2211B．a+b2411C．a+b4211D．a+b44【答案】Buuuv1uuuv【解析】由题意，在△ABC中，BE是边AC的中线，所以AE=AC，2uuuv1uuuv uuuv又因为O是BE边的中点，所以AO=AB+AE，2uuuv1uuuv uuuv1uuuv1uuuv11所以AO=AB+AE=AB+AE=a+b，故选B．222245．在梯形ABCD中，AB∥C D，CD=1，AB=BC=2，∠BCD=120o，动点P和Q分别在线段BC和CD上，uuv uuuv uuu且BP=λBC，DQ=1uuuv uuuv uuuvDC，则AP⋅BQ的最大值为（）8λA．-2B．-334D．98【答案】D【解析】因为AB∥CD，CD=1，AB=BC=2，∠BCD=120o，因为BP=λBC，DQ=1uuu vuuu v则λ∈(01]，B(2，)，P2-λ,3λ，Q ⎛1⎝8λ，3⎪，()⎛1uu uv uu uv所以AP⋅BQ=2-λ，3λ⋅⎝8λ-2，3⎪=5λ+令f(λ)=5λ+14λ-4-且λ∈(01]，1max=f(1)=5+6．已知△ABC中，AB=2，AC=4，∠BAC=60︒，P为线段AC上任意一点，则PB⋅PC的范围是（4⎤⎦D．[-2，]C．⎢-，⎥⎡944(0)2则线段AC的方程为x()()设P(x,y)，则PB⋅PC=(-x，-y)23-x，-y=x2+y2-23x=4x2-103x+4．9∵0≤x≤23，∴-≤PB⋅PC≤4．故选C．所以ABCD是直角梯形，且CM=3，∠BCM=30︒，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系：uu v uu uv8λDC，动点P和Q分别在线段BC和CD上，，0()⎫⎭⎫⎭114λ-4-8，，8由基本不等式可知，当λ=1时可取得最大值，则f(λ)14-4-18=98．故选D．uu v uu uv）A．[1，]B．[0，]⎣44【答案】C【解析】根据题意，△ABC中，AB=2，AC=4，∠BAC=60︒，则根据余弦定理可得BC2=4+16-2⨯2⨯4⨯cos60︒=12，即BC=23．∴△ABC为直角三角形以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，则A(0，)，C23，，23+y2=1，0≤x≤23．u uv u u uv33uu v uu uv42 b 且 (a + b )⋅ (3a - 2b ) = 0 ，则 a 与 b 的夹角为（4B ． 2C ． 2 b 且 (a + b )⋅ (3a - 2b ) = 0 ，则 (a + b )⋅ (3a - 2b ) = 0 ，2 b 2 +2 b ⨯ b ⨯cos θ - 2 b 2 = 0 ， 2 ， θ =4，∴ a 与 b 的夹角为 4 ，故选 A ．uuu (uu uu)9．设向量 a ， b ， c ，满足 a = b = 1， a ⋅ b = - ， a - c , b - c = 60o ，则 c 的最大值等于（【解析】设 OA = a ， OB = b ， OC = c ，因为 a ⋅ b = - ， a - c , b - c = 60o ，因为 AB = b - a ， AB 2 = (b - a )2 = b 2 + a 2 - 2a ⋅ b = 3 ，所以 AB = 3 ， sin120︒ = 2 ，即过 O ， A ， B ， C 四点的圆的直径为 2，v v v v v v7．已知非零向量 a ， b ，满足 a = 2）A ．ππ3π 4 D ． π【答案】A【解析】非零向量 a ， b ，满足 a =2∴ 3a 2 + a ⋅ b - 2b 2 = 0 ，∴ 3 a 2 + a ⨯ b ⨯ cos θ - 2 b 2 = 0 ，∴ 3 ⨯1 2∴ cos θ =2 π πu uv u uuv8．在 Rt △ABC 中斜边 BC = a ，以 A 为中点的线段 PQ = 2a ，则 BP ⋅ CQ 的最大值为（）A ． -2B ．0C ．2D ． 2 2【答案】B【解析】∵在 Rt △ABC 中斜边 BC = a ，∴ BA ⊥ CA ，∵ A 为线段 PQ 中点，且 PQ = 2a ，uu uuu uuu uu uuuuuv ∴原式 = -a 2 + BA ⋅ AQ - AQ ⋅ CA = -a 2 + AQ BA - CA = -a 2 + AQ ⋅ CB = -a 2 + a 2 cos θ ，uuv uuuv当 cos θ = 1 时，有最大值， BP ⋅ CQ = 0 ．故选 B ．12A ．1B ． 2C ． 3D ．2【答案】Duu v uu uv uuu 1 2所以 ∠AOB = 120 ︒ ， ∠ACB = 60︒ ，所以 O ， A ， B ， C 四点共圆，uu uv u u uv由正弦定理知 2R =AB所以 c 的最大值等于直径 2，故选 D ．10．已知 a 与 b 为单位向量，且 a ⊥ b ，向量 c 满足 c - a - b = 2 ，则 c 的取值范围为（）A ． ⎡⎣1,1 + 2 ⎤⎦B ． ⎡⎣2 - 2,2 + 2 ⎤⎦）⎦⎦v vuuuv uuu v所以D(1,b)，C(3,b)．BD在BC上的摄影BM=BD cosθ=1+b2cosθ，12．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，D，E是线段BC上的点，且DE=BC，则AD⋅AE的A．⎢,⎥B．⎢,⎥C．⎢,⎥D．⎢,+∞⎪C．⎡⎣2,22⎤D．⎡⎣3-22,3+22⎤【答案】B【解析】由a，b是单位向量，a⋅b=0，可设a=(1,0)，b=(0,1)，c=(x,y)，由向量c满足c-a-b=2，∴(x-1,y-1)=2，∴(x-1)2+(y-1)2=2，即(x-1)2+(y-1)2=4，其圆心C(1,1)，半径r=2，∴OC=2，∴2-2≤c=x2+y2≤2+2．故选B．uuuv u u u uuuv uuuv uuu11．平行四边形ABCD中，AC，BD在AB上投影的数量分别为3，-1，则BD在BC上的投影的取值范围是（）A．(-1,+∞)B．(-1,3)C．(0,+∞)D．(0,3)【答案】A【解析】建立如图所示的直角坐标系：设B(a,0)，则C(3,b)，D(a-1,b)，则3-(a-1)=a，解得a=2．uuuv当b→0时，cos→-1，得到：BM→-1，当b→+∞时，θ→0，BM→+∞，故选A．1uuuv uuuv3取值范围是（）⎡84⎤⎣93⎦⎡48⎤⎣33⎦⎡88⎤⎣93⎦⎡4⎫⎣3⎭【答案】A【解析】如图所示，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则 A (0,1) ， B (-1,0) ， C (1,0 ) ，设 D (x ,0 )，则 E x + ,0 ⎪ ， -1 ≤ x ≤ ⎪ ．据此有 AD = (x , -1) ， AE = x + , -1⎪ ，2 1 ⎫2 8 uuuv uuuv 则 AD ⋅ AE = x 2 + x + 1 = x + ⎪ + ．据此可知，当 x = - 时， AD ⋅ AE 取得最小值 ；当 x = -1 或 x = 1 时， AD ⋅ AE 取得最大值 ； uuuv ⎛ 3 的取值范围是 ⎢ , ⎥ ．故选 A ． 1⨯ 2 =- 又 a 与 b 的夹角的取值范围为 [0, π]，故 a 与 b 的夹角为 π ．⎛ 2 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎝3 ⎭ ⎝ 3 ⎭ uuuv 2 ⎫ ⎝⎭⎛ 3 ⎝ 3 ⎭ 91 uuuv uuuv 83 9 uuuv uuuv4 3 3uuuv uuuv AD ⋅ AE⎡ 8 4 ⎤ ⎣ 9 3 ⎦二、填空题13．已知向量 a = (1,2 ) ， b = (2, -2) ， c = (1,λ ) ，若 c ∥(2a + b )，则 λ = ________．【答案】 1．2【解析】因为 a = (1,2 ) ， b = (2, -2) ，所以 2a + b = (4,2 )，又 c = (1,λ ) ，且 c ∥(2a + b )，则 4λ = 2 ，即 λ = 1 2．14．若向量 a ， b 满足 a = 1 ， b = 2 ，且 a ⊥ (a + b ) ，则 a 与 b 的夹角为__________．3【答案】 π4【解析】由 a ⊥ (a + b ) 得， a ⋅ (a + b ) = 0 ，即 a 2 + a ⋅ b = 0 ，据此可得 a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos a , b = -a 2，∴ cos a , b = - 1 2 2，34uuuv uuuv15．已知正方形 ABCD 的边长为 2， E 是 CD 上的一个动点，则求 AE ⋅ BD 的最大值为________．( )()∴ AE ⋅ BD = AD + λ AB ⋅ AD - AB = AD 2 - λ AB 2 + (λ - 1) A B ⋅ AD = 4 - 4λ ，可得 C (0,0 )， A (0,2 )， B 2 3,0 ，则直线 AB 的方程为 x2 3 +()设 P (x , y )，则 y = 2 - x3 ， 0 ≤ x ≤ 2 3 ， PB = 2 3 - x , - y ， PC = (-x , - y ) ，()+ (2 y ) 2= 4x + 4 y - 8 3x + 12 = 4x + 4 2 - x ⎫2⎪ - 8 3x + 123 x 2 - 40 x - 5 3 ⎫2⎪ + 3 ， ⎝ ⎭ 由 x = 5 3⎣【答案】4uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv【解析】设 DE = λ DC = λ AB ，则 AE = AD + DE = AD + λ AB ，uuuv uuuv uuuv 又 BD = AD - AB ，uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuvuuuv uuuv∵ 0 ≤ λ < 1 ，∴当 λ = 0 时， AE ⋅ BD 取得最大值 4，故答案为 4．uuv uuuv16．在 △ABC 中， ∠C = 90 ︒ ， ∠B = 30︒ ， AC = 2 ， P 为线段 AB 上一点，则 PB + PC 的取值范围为____．【答案】 ⎡⎣ 3,2 7 ⎤⎦【解析】以 C 为坐标原点， CB ， CA 所在直线为 x ， y 轴建立直角坐标系，( ) y2 = 1 ，uuvu uuvu uv u u uv 则| PB + PC 2 = 2 3 - 2 x 2⎛ 2 2 2 ⎝3 ⎭= 16 3 3 x + 28 = 16 ⎛ 3 4 ⎪uuv uuuv 4 ∈ ⎡0,2 3 ⎤⎦ ，可得 PB + PC 的最小值为为uuv uu uv即 PB + PC 的取值范围为 ⎡⎣ 3,2 7 ⎤⎦ ．故答案为 ⎡⎣ 3,2 7 ⎤⎦ ．，uuv uu uv时，则 PB + PC 的最大值。
高三数学模拟试卷(八)文(含解析)-人教版高三全册数学试题
2016年某某省某某市东北育才学校高考数学模拟试卷（文科）（八）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．为了解某高级中学学生的体重状况，打算抽取一个容量为n的样本，已知该校高一、高二、高三学生的数量之比依次为4：3：2，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，那么样本容量n为（）A．50 B．45 C．40 D．202．若命题p：∃x0∈R，x02+1＞3x0，则￢p是（）A．∃x0∈R，x02+1≤3x0B．∀x∈R，x2+1≤3xC．∀x∈R，x2+1＜3x D．∀x∈R，x2+1＞3x3．设z=1+i（是虚数单位），则+=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i4．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x=（﹣1）n+n，n∈N}，则A∩B=（）A．{0，2} B．{0，1，2} C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}5．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为：V=×（底面的圆周长的平方×高）．则由此可推得圆周率π的取值为（）A．3 B．3.14 C．3.2 D．3.36．执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤97．已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数 D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）8．如图，在一个不规则多边形内随机撒入200粒芝麻（芝麻落到任何位置的可能性相等），恰有40粒落入半径为1的圆内，则该多边形的面积约为（）A．4πB．5πC．6πD．7π9．已知不等式组的解集记为D，则对∀（x，y）∈D使得2x﹣y取最大值时的最优解是（）A．（2，1）B．（2，2）C．3 D．410．若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为（）A．B．C．1 D．211．tan20°+4sin20°的值为（）A．B．C．D．12．已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，不同两点P，Q在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当取最小值时，椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．过原点作曲线y=e x的切线，则切线方程为．14．某一简单几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为．15．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=4，b=3，c=2，若点D为线段BC上靠近B的一个三等分点，则AD=．16．已知函数F（x）=e x满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，若∀x∈（0，2]使得不等式g（2x）﹣ah（x）≥0恒成立，则实数a的取值X 围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤17．设数列{a n}的前n项和为S n，且2a n=S n+2．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列b n=，其前n项和为T n，求T n．18．在某学校一次考试的语文与历史成绩中，随机抽取了25位考生的成绩进行分析，25位考生的语文成绩已经统计在茎叶图中，历史成绩如下：（Ⅰ）请根据数据在茎叶图中完成历史成绩统计；（Ⅱ）请根据数据完成语文成绩的频数分布表及语文成绩的频率分布直方图；语文成绩的频数分布表：语文成绩分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）[110，120]频数（Ⅲ）设上述样本中第i位考生的语文、历史成绩分别为x i，y i（i=1，2，…，25）．通过对样本数据进行初步处理发现：语文、历史成绩具有线性相关关系，得到：=x i=86， =y i =64，（x i﹣）（y i ﹣）=4698，（x i﹣）2=5524，≈0.85．①求y关于x的线性回归方程；②并据此预测，当某考生的语文成绩为100分时，该生历史成绩．（精确到0.1分）附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：==， =﹣．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点．已知PD=，CD=4，AD=．（Ⅰ）若∠ADE=，求证：CE⊥平面PDE；（Ⅱ）当点A到平面PDE的距离为时，求三棱锥A﹣PDE的侧面积．20．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x+y+2﹣1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称，设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2=k3k4．（i）求k1k2的值；（ii）求OB2+OC2的值．21．设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值X围．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，切点为A，PB交AC于点E，交⊙O于点D，PA=PE，∠ABC=45°，PD=1，DB=8．（1）求△ABP的面积；（2）求弦AC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）试求f（x）的值域；（Ⅱ）设若对∀s∈（0，+∞），∀t∈（﹣∞，+∞），恒有g（s）≥f（t）成立，试某某数a的取值X围．2016年某某省某某市东北育才学校高考数学模拟试卷（文科）（八）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．为了解某高级中学学生的体重状况，打算抽取一个容量为n的样本，已知该校高一、高二、高三学生的数量之比依次为4：3：2，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，那么样本容量n为（）A．50 B．45 C．40 D．20【考点】分层抽样方法．【分析】利用分层抽样性质求解．【解答】解：∵高一、高二、高三学生的数量之比依次为4：3：2，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，∴由分层抽样性质，得：，解得n=45．故选：B．2．若命题p：∃x0∈R，x02+1＞3x0，则￢p是（）A．∃x0∈R，x02+1≤3x0B．∀x∈R，x2+1≤3xC．∀x∈R，x2+1＜3x D．∀x∈R，x2+1＞3x【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题．所以，命题p：∃x0∈R，x02+1＞3x0，则￢p 是∀x∈R，x2+1≤3x，故选B．3．设z=1+i（是虚数单位），则+=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的除法运算法则化简复数为a+bi的形式即可．【解答】解：z=1+i（是虚数单位），则+===1．故选：A．4．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x=（﹣1）n+n，n∈N}，则A∩B=（）A．{0，2} B．{0，1，2} C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中x的值确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x=（﹣1）n+n，n∈N}={0，1，2，…}，∴A∩B={0，1，2}，故选：B．5．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为：V=×（底面的圆周长的平方×高）．则由此可推得圆周率π的取值为（）A．3 B．3.14 C．3.2 D．3.3【考点】排序问题与算法的多样性．【分析】由题意，圆柱体底面的圆周长20尺，高4尺，利用圆堡瑽（圆柱体）的体积V=×（底面的圆周长的平方×高），求出V，再建立方程组，即可求出圆周率π的取值．【解答】解：由题意，圆柱体底面的圆周长20尺，高4尺，∵圆堡瑽（圆柱体）的体积V=×（底面的圆周长的平方×高），∴V=×=，∴∴π=3，R=，故选：A．6．执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．【解答】解：根据程序框图，运行结果如下：S k第一次循环 log23 3第二次循环 log23•log34 4第三次循环 log23•log34•log45 5第四次循环 log23•log34•log45•log56 6第五次循环 log23•log34•log45•log56•log67 7第六次循环 log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k≤7．故选B．7．已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数 D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）【考点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据函数的性质分别进行判断即可．【解答】解：当x≤0时，f（x）=cos2x不是单调函数，此时﹣1≤cos2x≤1，当x＞0时，f（x）=x4+1＞1，综上f（x）≥﹣1，即函数的值域为[﹣1，+∞），故选：D8．如图，在一个不规则多边形内随机撒入200粒芝麻（芝麻落到任何位置的可能性相等），恰有40粒落入半径为1的圆内，则该多边形的面积约为（）A．4πB．5πC．6πD．7π【考点】几何概型．【分析】由几何概型概率计算公式，以面积为测度，可求该阴影部分的面积．【解答】解：设该多边形的面积为S，则，∴S=5π，故选B．9．已知不等式组的解集记为D，则对∀（x，y）∈D使得2x﹣y取最大值时的最优解是（）A．（2，1）B．（2，2）C．3 D．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设z=2x﹣y，则y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．即，即C（2，1），故使得2x﹣y取最大值时的最优解是（2，1），故选：A．10．若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为（）A．B．C．1 D．2【考点】等比数列的前n项和．【分析】设此等比数列的首项为a1，公比为q，前4项之和为S，前4项之积为P，前4项倒数之和为M，由等比数列性质推导出P2=（）4，由此能求出前4项倒数的和．【解答】解：∵等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，∴设此等比数列的首项为a1，公比为q前4项之和为S，前4项之积为P，前4项倒数之和为M，若q=1，则，无解；若q≠1，则S=，M==，P=a14q6，∴（）4=（a12q3）4=a18q12，P2=a18q12，∴P2=（）4，∵，∴前4项倒数的和M===2．故选：D．11．tan20°+4sin20°的值为（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】首先利用弦切互化公式及正弦的倍角公式对原式进行变形，再两次运用和差化积公式，同时结合正余弦互化公式，转化为特殊角的三角函数值，则问题解决．【解答】解：tan20°+4sin20°========2sin60°=．故选B．12．已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，不同两点P，Q在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当取最小值时，椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P（x0，y0），则Q（x0，﹣y0），=．A（﹣a，0），B（a，0），利用斜率计算公式肯定：mn=，=++=，令=t＞1，则f（t）=+﹣2lnt．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：设P（x0，y0），则Q（x0，﹣y0），=．A（﹣a，0），B（a，0），则m=，n=，∴mn==，∴=++=，令=t＞1，则f（t）=+﹣2lnt．f′（t）=+1+t﹣=，可知：当t=时，函数f（t）取得最小值=++﹣2ln=2+1﹣ln2．∴=．∴=．故选：D．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．过原点作曲线y=e x的切线，则切线方程为y=ex ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲求切点的坐标，先设切点的坐标为（ x0，e x0），再求出在点切点（ x0，e x0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=x0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用切线过原点即可解决问题．【解答】解：y′=e x设切点的坐标为（x0，e x0），切线的斜率为k，则k=e x0，故切线方程为y﹣e x0=e x0（x﹣x0）又切线过原点，∴﹣e x0=e x0（﹣x0），∴x0=1，y0=e，k=e．则切线方程为y=ex故答案为y=ex．14．某一简单几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为25π．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3．则长方体的对角线为外接球的直径．【解答】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为2．则长方体外接球半径为r，则2r==5．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π．故答案为：25π．15．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=4，b=3，c=2，若点D为线段BC上靠近B的一个三等分点，则AD=．【考点】解三角形．【分析】利用余弦定理求出cosB，再利用余弦定理解出AD．【解答】解：在△ABC中，由余弦定理得cosB==．在△ABD中，BD==．由余弦定理得：AD2=BD2+AB2﹣2BD•AB•cosB=．∴AD=．故答案为：．16．已知函数F（x）=e x满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，若∀x∈（0，2]使得不等式g（2x）﹣ah（x）≥0恒成立，则实数a的取值X 围是．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数的奇偶性求出g（x），h（x）的表达式，然后将不等式恒成立进行参数分离，利用基本不等式进行求解即可得到结论．【解答】解：∵函数F（x）=e x满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，∴e x=g（x）+h（x），e﹣x=g（x）﹣h（x），∴g（x）=，h（x）=．∵∀x∈（0，2]使得不等式g（2x）﹣ah（x）≥0恒成立，即﹣a•≥0恒成立，∴a≤==（e x﹣e﹣x）+，设t=e x﹣e﹣x，则函数t=e x﹣e﹣x在（0，2]上单调递增，∴0＜t≤e2﹣e﹣2，此时不等式t+≥2，当且仅当t=，即t=时，取等号，∴a≤2，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤17．设数列{a n}的前n项和为S n，且2a n=S n+2．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列b n=，其前n项和为T n，求T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）运用n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，结合等比数列的通项公式，计算即可得到所求；（Ⅱ）求得b n=﹣，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，由2a1=S1+2=a1+2，得a1=2．当n≥2时，由，以及a n=S n﹣S n﹣1，两式相减可得，则数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，故；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，故其前n项和化简可得T n =﹣．18．在某学校一次考试的语文与历史成绩中，随机抽取了25位考生的成绩进行分析，25位考生的语文成绩已经统计在茎叶图中，历史成绩如下：（Ⅰ）请根据数据在茎叶图中完成历史成绩统计；（Ⅱ）请根据数据完成语文成绩的频数分布表及语文成绩的频率分布直方图；语文成绩的频数分布表：语文成绩分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）[110，120]频数（Ⅲ）设上述样本中第i位考生的语文、历史成绩分别为x i，y i（i=1，2，…，25）．通过对样本数据进行初步处理发现：语文、历史成绩具有线性相关关系，得到：=x i=86， =y i=64，（x i ﹣）（y i ﹣）=4698，（x i ﹣）2=5524，≈0.85．①求y关于x的线性回归方程；②并据此预测，当某考生的语文成绩为100分时，该生历史成绩．（精确到0.1分）附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：==， =﹣．【考点】线性回归方程；茎叶图．【分析】（Ⅰ）根据所给数据，可得历史成绩的茎叶图；（Ⅱ）根据所给数据，可得语文成绩的频数分布表及语文成绩的频率分布直方图；（Ⅲ）求出a，b，可得y关于x的线性回归方程，并据此预测当某考生的语文成绩为100分时，该考生的历史成绩．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，在茎叶图中完成历史成绩统计，如图所示；（Ⅱ）语文成绩的频数分布表；语文成绩分组[50，60﹚[60，70﹚[70，80﹚[80，90﹚[90，100﹚[100，110﹚[110，120]频数 1 2 3 7 6 5 1 语文成绩的频率分布直方图：；（Ⅲ）由已知得b=0.85，a=64﹣0.85×86=﹣9.1，∴y=0.85x﹣9.1，∴x=100时，y=75.9≈76，预测当某考生的语文成绩为100分时，该考生的历史成绩为76分．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点．已知PD=，CD=4，AD=．（Ⅰ）若∠ADE=，求证：CE⊥平面PDE；（Ⅱ）当点A到平面PDE的距离为时，求三棱锥A﹣PDE的侧面积．【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）在Rt△DAE中，求出BE=3．在Rt△EBC中，求出∠CEB=．证明CE⊥DE．PD ⊥CE．即可证明CE⊥平面PDE．（Ⅱ）证明平面PDE⊥平面ABCD．过A作AF⊥DE于F，求出AF．证明BA⊥平面PAD，BA⊥PA．然后求出三棱锥A﹣PDE的侧面积S侧=++．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在Rt△DAE中，AD=，∠ADE=，∴AE=AD•tan∠ADE=•=1．又AB=CD=4，∴BE=3．在Rt△EBC中，BC=AD=，∴tan∠CEB==，∴∠CEB=．又∠AED=，∴∠DEC=，即CE⊥DE．∵PD⊥底面ABCD，CE⊂底面ABCD，∴PD⊥CE．∴CE⊥平面PDE．…（Ⅱ）∵PD⊥底面ABCD，PD⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面ABCD．如图，过A作AF⊥DE于F，∴AF⊥平面PDE，∴AF就是点A到平面PDE的距离，即AF=．在Rt△DAE中，由AD•AE=AF•DE，得AE=•，解得AE=2．∴S△APD=PD•AD=××=，S△ADE=AD•AE=××2=，∵BA⊥AD，BA⊥PD，∴BA⊥平面PAD，∵PA⊂平面PAD，∴BA⊥PA．在Rt△PAE中，AE=2，PA===，∴S△APE=PA•AE=××2=．∴三棱锥A﹣PDE的侧面积S侧=++．…20．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x+y+2﹣1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称，设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2=k3k4．（i）求k1k2的值；（ii）求OB2+OC2的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设出椭圆右焦点坐标，由题意可知，椭圆右焦点F2到直线x+y+2﹣1=0的距离为a，再由椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形得到a，b，c的关系，结合焦点F2到直线x+y+2﹣1=0的距离为a可解得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（2）（i）由题意设B（x1，y1），C（x2，y2），则D（﹣x1，﹣y1），由两点求斜率公式可得是，把纵坐标用横坐标替换可得答案；（ii）由k1k2=k3k4．得到．两边平方后用x替换y可得．结合点B，C在椭圆上得到．则OB2+OC2的值可求．【解答】解：（1）设椭圆C的右焦点F2（c，0），则c2=a2﹣b2（c＞0），由题意，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为（x﹣c）2+y2=a2，∴圆心到直线x+y+2﹣1=0的距离①，∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，∴，a=2c，代入①式得，，故所求椭圆方程为；（2）（i）设B（x1，y1），C（x2，y2），则D（﹣x1，﹣y1），于是=；（ii）由（i）知，，故．∴，即，∴．又=，故．∴OB2+OC2=．21．设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值X围．【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数的零点．【分析】（Ⅰ）m=e时，f（x）=lnx+，利用f′（x）判定f（x）的增减性并求出f（x）的极小值；（Ⅱ）由函数g（x）=f′（x）﹣，令g（x）=0，求出m；设φ（x）=m，求出φ（x）的值域，讨论m的取值，对应g（x）的零点情况；（Ⅲ）由b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；即h （x）=f（x）﹣x在（0，+∞）上单调递减；h′（x）≤0，求出m的取值X围．【解答】解：（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+，∴f′（x）=；∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上是减函数；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上是增函数；∴x=e时，f（x）取得极小值为f（e）=lne+=2；（Ⅱ）∵函数g（x）=f′（x）﹣=﹣﹣（x＞0），令g（x）=0，得m=﹣x3+x（x＞0）；设φ（x）=﹣x3+x（x＞0），∴φ′（x）=﹣x2+1=﹣（x﹣1）（x+1）；当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函数，当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数；∴x=1是φ（x）的极值点，且是极大值点，∴x=1是φ（x）的最大值点，∴φ（x）的最大值为φ（1）=；又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象，如图；可知：①当m＞时，函数g（x）无零点；②当m=时，函数g（x）有且只有一个零点；③当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；综上，当m＞时，函数g（x）无零点；当m=或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；（Ⅲ）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），则h（b）＜h（a）．∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），∴m≥；对于m=，h′（x）=0仅在x=时成立；∴m的取值X围是[，+∞）．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，切点为A，PB交AC于点E，交⊙O于点D，PA=PE，∠ABC=45°，PD=1，DB=8．（1）求△ABP的面积；（2）求弦AC的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）利用圆的切线的性质，结合切割线定理，求出PA，即可求△ABP的面积；（2）由勾股定理得AE，由相交弦定理得EC，即可求弦AC的长．【解答】解：（1）因为PA是⊙O的切线，切点为A，所以∠PAE=∠ABC=45°，…又PA=PE，所以∠PEA=45°，∠APE=90°…因为PD=1，DB=8，所以由切割线定理有PA2=PD•PB=9，所以EP=PA=3，…所以△ABP的面积为BP•PA=…（2）在Rt△APE中，由勾股定理得AE=3…又ED=EP﹣PD=2，EB=DB﹣DE=8﹣2=6，所以由相交弦定理得EC•EA=EB•ED=12 …所以EC==2，故AC=5…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．【分析】（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简即可得到此圆的极坐标方程．（II）由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．【解答】解：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．（II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q．联立，解得或．∴P．∴|PQ|==2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）试求f（x）的值域；（Ⅱ）设若对∀s∈（0，+∞），∀t∈（﹣∞，+∞），恒有g（s）≥f（t）成立，试某某数a的取值X围．【考点】函数恒成立问题；函数的值域．【分析】（1）将含有绝对值的函数转化为分段函数，再求分段函数的值域；（2）恒成立问题转化成最小值最大值问题，即g（x）min≥f（x）max．【解答】解：（Ⅰ）函数可化为，∴f（x）∈[﹣3，3]（Ⅱ）若x＞0，则，即当ax2=3时，，又由（Ⅰ）知∴f（x）max=3若对∀s∈（0，+∞），∀t∈（﹣∞，+∞），恒有g（s）≥f（t）成立，即g（x）min≥f（x）max，∴，∴a≥3，即a的取值X围是[3，+∞）．。
2020届高三化学精准培优专练8：氧化性还原性强弱判断的几种方法(附解析)
2020届高三化学精准培优专练8：氧化性还原性强弱判断的几种方法（附解析）一．氧化性还原性强弱判断的几种方法1．根据氧化还原反应的方向判断典例1．常温下，在溶液中可发生以下反应：①2Fe2++Br2==2Fe3++2Br－②2Br－+Cl2==Br2+2Cl－③2Fe3++2I－==2Fe2++I2；由此判断下列说法错误的是( ) A．氧化性强弱顺序为：Cl2>Br2>Fe3+>I2B．还原性强弱顺序为：I－>Fe2+>Br－>Cl－C．②中当有1mol Cl2被还原时，可生成1mol氧化产物D．Br2与I－不能反应2．依据化学反应条件和反应程度进行判断典例2．实验室用下列方法制取氧气①4HCl(浓)+MnO2MnCl2+Cl2↑+2H2O；②4HCl(浓)+O22Cl2+2H2O③2KMnO4 +16HCl=2KCl+2MnCl2 +5Cl2 ↑+8H2O试比较上述反应中氧化剂氧化能力的强弱。
3．根据原电池、电解池的电极反应判断典例3．A、B、C是三种金属，根据下列①、②两个实验：①将A与B浸在稀硫酸中用导线相连，A表面有气泡逸出，B逐渐溶解；②电解物质的量浓度相同的A、C混合盐溶液时，阴极上先析出C（使用惰性电极）。
A、B、C的还原性强弱顺序为（）A．A＞B＞C B．B＞C＞A C．C＞A＞B D．B＞A＞C二．对点增分集训1．下列说法正确的是( )A．阳离子只有氧化性，阴离子只有还原性B．失电子难的原子得电子的能力一定强C．得到电子越多的氧化剂，其氧化性就越强D．要实现Fe2+→Fe3+的转化，必须加入氧化剂2．某小组比较Cl﹣、Br﹣、I﹣的还原性，实验如下：装置A．实验1中，白烟是NH4Cl固体小颗粒B．根据实验1的现象和实验2的现象判断还原性：Br﹣＞C1﹣C．根据实验3的现象判断还原性：I﹣＞Br﹣D．上述实验中利用了浓H2SO4的强氧化性、难挥发性等性质3．碘在地壳中主要以NaIO3的形式存在，在海水中主要以I﹣的形式存在，几种微粒之间的转化关系如图所示。
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2020届高三好教育精准培优专练例1的圆两两外切（M ，N ，P 为圆心），且等边ABC △的每一边都与其中的两个圆相切，则AP AN ⋅= ．例2：已知对任意平面向量(,)AB x y =，把AB 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量(cos sin ,sin cos )AP x y x y θθθθ=-+，叫做把点B 绕点A 逆时针旋转θ角得到点P ．若平面内点A ，点(0,1)B ，把点B 绕点A 顺时针方向旋转4π3后得到点P ，则点P 的坐标为（ ） A ．2)-B ．(0,2)-C ．D ．例3：如图在矩形ABCD 中，AB =4BC =，点E 为BC 的中点，点F 在CD 上，若3AB AF ⋅=，则AE BF ⋅的值是（ ）三、平面向量数量积二、平面向量的坐标运算一、平面向量的线性运算培优点八 平面向量A．5-- B．5C．4+D．5例4：在ABC △中，6AC =，7BC =，1cos 5A =，O 是ABC △的内心，若OP xOA yOB =+， 其中01x ≤≤，12y ≤≤，动点P 的轨迹所覆盖的面积为（ ）A B ．C ．103D ．203例5：在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上， 若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（ ） A ．3 B ．C D ．2一、选择题1．梯形ABCD 中，AB CD ∥且AB AD BC λμ=+，则λμ+=（ ）对点增分集训五、平面向量和平面几何的综合四、平面向量和三角形函数，解三角形的综合A ．1B ．1-C ．0D ．不能确定2．在ABC △中，M 是AB 边所在直线上任意一点，若2CM CA CB λ=-+，则λ=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知两点(1,0)M -，(1,0)N ，若直线340x y m -+=上存在点P 满足0PM PN ⋅=，则实数m 的 取值范围是（ ） A ．(,5][5,)-∞-+∞ B ．(,25][25,)-∞-+∞ C ．[5,5]-D ．[25,25]-4．已知2==a b ，且0⋅=a b ，1()2=+c a b ，-=d c ，则d 的取值范围是（ ）A ．[0,B ．[0,2]C ．D ．[0,1]5．若O 为ABC △所在平面内任意一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC △的 形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．正三角形D ．等腰直角三角形6．长度都为2的向量OA ，OB 的夹角为π3，点C 在以O 为圆心的圆弧AB （劣弧）上，OC mOA nOB =+，则m n +的最大值是（ ）A ．B ．3C D ．7．过点(1,1)P -作圆22()(2)1()C x t y t t -+-+=∈R 的切线，切点分别为A ，B ，则PA PB ⋅的最小值为（ ）A ．103B ．403C ．214D ．38．如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，3OD =，点P 为BCD △内（含边界）的动点，设OP OC OD αβ=+（α，β∈R ），则54αβ+的最大值是（ ）A ．14B ．920C ．34D ．17609．如图，在ABC △中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+，若ABC △的面积为AP 的最小值为（ ）ABC ．3D ．4310．已知AB AC ⊥，1AB t =，AC t =，1[,4]4t ∈；若P 是ABC △所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅的取值范围是（ ）A ．[13,17]B ．[12,13]C ．3[,12]4D ．3[,13]411．在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA DB DC==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点P ，M 满足1AP =，PM MC =，则2BM 的最大值是（ ）A ．434B ．494C ．374+ D ．374+ 12．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==．若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为（ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．3二、填空题13．已知G 为ABC △的重心，过点G 的直线与边AB ，AC 分别相交于点P ，Q ． 若AP AB λ=，则当ABC △与APQ △的面积之比为20:9时，实数λ的值为 ．14．已知腰长为2的等腰直角三角形ABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为ABC △所在平面内一动点，若2PC =，则()()PA PB PC PM ⋅⋅⋅的最小值是 ．15．在ABC △中，0GA GB GC ++=，且0GA GB ⋅=，若tan tan tan tan tan A B mA B C+=，则实数m 的值是 ．16．如图，等边ABC △的边长为2，顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴，y 轴的非负半轴上移动，M 为AB 的中点，则OA OM ⋅的最大值为 ．例1：【答案】18+【解析】由题意易得23AM=()()AP AN AM MP AM MN⋅=+⋅+2AM AM MN MP AM MP MN=+⋅+⋅+⋅22cos302cos601812=+⨯︒+︒=+．例2：【答案】A【解析】(AB=，顺时针旋转4π3时，4π3θ=-，代入得4π4πcos()1sin()033x'=--⨯-=，4π4π)cos()233y'=-+-=-，即(0,2)AP=-，∵A，∴2)P-，故选A．例3：【答案】B【解析】选基向量AB和BC，由题意得0AB BC⋅=，3AB=，4BC=，∴AF AD DF BC DF=+=+，∴()3AB AF AB BC DF AB BC AB DF⋅=⋅+=⋅+⋅=，即cos0AB DF=1DF=，∵点E为BC的中点，1DF=，∴12AE AB BC=+，3BF BC CF BC AB-=+=-，∴221331()()522AE BF AB BC BC AB AB BC--⋅=+⋅-=-+=故选B．例4：【答案】A【解析】如图，根据题意知，P点在以BD，BF为邻边的平行四边形内部，培优点八平面向量答案∴动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2AOB S △， 在ABC △中，1cos 5BAC ∠=，6AC =，7BC =， ∴由余弦定理得，213649526AB AB +-=⋅，解得5AB =或135AB =-（舍去），又O 为ABC △的内心，所以内切圆半径2ABCS r a b c=++△，又12AOB S r AB =⋅⋅△，∴5512556sin 56718263OB ABC S S BAC =⋅=⨯⨯⨯⨯∠==++△△，∴动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为3A ． 例5：【答案】A 【解析】如图，以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系，则(0,0)A ，(1,0)B ，(0,2)D ，(1,2)C ，∵动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，设圆的半径为r ，∵2BC =，1CD =，∴BD ==1122BC CD BD r ⋅=⋅，∴5r =， ∴圆的方程为224(1)(2)5x y -+-=，设点P 的坐标为(1,2)55θθ++，∵AP AB AD λμ=+，所以2)(1,0)(0,2)(,2)θθλμλμ++=+=，1θλ+=22θμ+=，∴2sin()2λμθθθϕ+=++=++，其中tan 2ϕ=， ∵1sin()1θϕ-≤+≤，13λμ≤+≤，故λμ+的最大值为3，故选A ．一、选择题 1．【答案】C【解析】由梯形ABCD 易得：0AB BC CD DA +++=，所以AB DC AD CB -=+， 又AB AD BC λμ=+，所以(1)(1)DC AD BC λμ=-++， 由于AB CD ∥，所以(1)(1)λμμλ-=+，可得0λμ+=．故选C ． 2．【答案】C【解析】∵ABC △中，M 是AB 边所在直线上任意一点， ∴存在实数μ，使得AM MB μ=，即()CM CA CB CM μ-=-， 化简得111CM CA CB μμμ=+++，∵2CM CA CB λ=-+，∴结合平面向量基本定理，得1211μμλμ⎧=-⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，解之得3λ=，32μ=-．故选C ． 3．【答案】C【解析】设(,)P x y ，则(1,)PM x y =---，(1,)PN x y =--，由PM PN ⊥，得221x y +=，∴点P 的轨迹为一个以原点为圆心，1为半径的圆，因P 在直线340x y m -+=上，故圆心到直线的距离1d =≤，故[5,5]m ∈-，故选C ．4．【答案】A【解析】如图所示，OA =a ，OB =b ，且OA OB ⊥，又1()2=+c a b ，取AB 中点为C ，可得OC =c ，∵-d c ，∴d 的终点D 在以C为半径的圆上运动， 当D 点在O 点处，d 的最小值为0；当D 点在OC 的延长线时，d的最大值为，∴d的取值范围是，故选A ． 5．【答案】A【解析】()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，即()0CB AB AC ⋅+=， ∵AB AC CB -=，∴()()0AB AC AB AC -⋅+=，即AB AC=，∴ABC △是等腰三角形，故选A ． 6．【答案】B【解析】∵OC mOA nOB =+，∴22()OC mOA nOB =+，∴224442m n mn OA OB =++⋅⋅，即22π444222cos 3m n mn =++⨯⨯⨯， 即221m n mn ++=，故22()()14m n m n mn ++-=≤，（当且仅当m n =时，等号成立）；故24()3m n +≤，故m n +3=． 7．【答案】C【解析】由已知得圆心坐标(,)x y 满足2x ty t =⎧⎨=-⎩，即2y x =-，可知圆心C 在直线2y x =-上运动，则1PC -≥=．设CPA θ∠=，则22cos 2(12sin )PA PB PA PB PA θθ⋅=⋅=-222222(1)(1)3PC PC PCPC=--=+-，易知函数23y x x =+-在[8,)+∞上为增函数，所以2218384PA PB ⋅≥+-=．故选C ． 8．【答案】D【解析】以O 为坐标原点，以OD ，OC 所在的直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则(0,0)O ，(1,0)A ，(0,1)C ，设(,)P x y ． 因为OP OC OD αβ=+，所以3OP OC OA αβ=+，即(3,)P βα，所以3x y βα=⎧⎨=⎩，所以3yx αβ=⎧⎪⎨=⎪⎩，则54125x y αβ+=+．由题意知动点(,)P x y 的运动区域为BCD △内（含边界）， 因此平行于直线0125x y +=的直线经过点(1,1)B 时，125x y+取得最大值， 即max max 1117()()5412512560x y αβ+=+=+=，故选D ． 9．【答案】B【解析】设3AB a =，AC b =，则三角形ABC的面积为1π3sin 23ab ⨯=，解得83ab =， 由1324AP mAC AB mAC AD =+=+，且C ，P ，D 三点共线，可知314m +=，14m =， 故1344AP AC AD =+． 以A 点为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，过A 点作AB 的垂线为y 轴，建立如图所示坐标系，则(0,0)A ，(2,0)D a ，(3,0)B a，1()2C b，则1()2AC b =，(2,0)AD a =，13()82AP b a =+，则2222222213193319()()1828644864164AP b a b a ab b b a =++=+++=++31134ab ≥=+=（当且仅当2219164b a =，即6b a =时取“=”）．故AP 的最小值为B ． 10．【答案】D【解析】由题意建立如图所示的坐标系，可得(0,0)A ，1(,0)B t，(0,)C t ，∵4(1,0)(0,4)(1,4)AB AC AP ABAC=+=+=，∴(1,4)P ，∴1(1,4)PB t=--，(1,4)PC t =--，∴11(1)4(4)17(4)1713PB PC t t t t ⋅=----=-+≤-=， 当且仅当14t t =，即11[,4]24t =∈时，取等号， 由4t =可得13=17(16)44PB PC ⋅-+=，由14t =可得17(14)12PB PC ⋅=-+=， ∴PB PC ⋅的最大值为13，最小值为34．则PB PC ⋅的范围是3[,13]4．故选D ． 11．【答案】B 【解析】由题意，DA DB DC==，∴D到A，B，C三点的距离相等，D是ABC△的外心，2DA DB DB DC DC DA⋅=⋅=⋅=-()0DA DB DB DC DB DA DC DB CA⇒⋅-⋅=⋅-=⋅=，∴DB AC⊥，同理可得，DA BC⊥，DC AB⊥，从而D是ABC△的垂心，∴ABC△的外心与垂心重合，因此ABC△是正三角形，且D是ABC△的中心，1cos()222DA DB DA DB ADB DA DB DA⋅=⋅∠=⨯-=-⇒=，∴正三角形ABC的边长为∴以A为原点建立直角坐标系，B，C，D三点坐标分别为(3,B，C，(2,0)D，由1AP=，设P点的坐标为(cos,sin)θθ，其中[0,2π)θ∈，而PM MC=，即M是PC的中点，可以写出M的坐标为3cos(2Mθ+，则222π3712sin()cos33712496()2444BMθθ+--+=+=≤=，当2π3θ=时，2BM取得最大值494．故选B．12．【答案】A【解析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为在平面四边形ABCD 中，1AB AD ==，120BAD ∠=︒， 所以(0,0)A ，(1,0)B ，1(,)22D -， 设(1,)C m ，(,)E x y，所以3(,22DC m =-，1(22AD =-， 因为AD CD ⊥，所以31(,)(,02222m -⋅-=，即31()022m ⨯-+=，解得m =C ， 因为E 在CD上，所以2y ≤≤， 由CECD k k =，得21112y x =-+，即2x =-， 因为(,)AE x y =，(1,)BE x y =-，所以(,)(1,)AE BE x y x y ⋅=⋅-222222)246x x y y y =-+=--++=-+．因为函数2()46f y y =-+在上单调递减，在上单调递增，所以2min 21()4616f y =⨯-+=． 所以AE BE ⋅的最小值为2116，故选A ．二、填空题 13．【答案】34或35【解析】设AQ AC μ=，则由AP AB λ=，209ABC APQS S =△△，可得1sin 20219sin 2AB AC A AB AC AB AC AP AQ A λμ⋅⋅==⋅⋅，所以920λμ=．① 又G 为ABC △的重心，所以111111()()3333AG AB AC AP AQ AP AQ λμλμ=+=+=+． 结合P ，G ，Q 三点共线，得11133λμ+=．② 联立①②消去μ，得2202790λλ-+=，解得34λ=或35． 14．【答案】32-【解析】如图，以C 为原点，CB ，CA 的方向分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则(0,0)C ，(2,0)B ，(0,2)A ，(1,1)M ，(2cos ,2sin )P θθ，(2cos ,22sin )PA θθ=--，(22cos ,2sin )PB θθ=--，∴44(cos sin )PA PB θθ⋅=-+，(2cos ,2sin )PC θθ=--，(12cos ,12sin )PM θθ=--，∴42(cos sin )PC PM θθ⋅=-+，故()()[44(cos sin )][42(cos sin )]PA PB PC PM θθθθ⋅⋅⋅=-+⋅-+， 设cos sin t θθ+=，[t ∈，则2()()(44)(42)8(32)PA PB PC PM t t t t ⋅⋅⋅=-⋅-=-+，当t =时，()()PA PB PC PM ⋅⋅⋅取得最小值，其最小值为32-15．【答案】12【解析】设在ABC △中，三个内角BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠的对边分别是a ，b ，c ， ∵0GA GB GC ++=，则G 为ABC △的重心， 又∵0GA GB ⋅=，则AG BG ⊥，如图，作ABC △的中线AF ，BE ，CD ，∴12AD BD GD GC ===．由余弦定理得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠，2222cos(π)BC BD CD BD CD ADC =+-⋅-∠，∴222222220AC BC AD CD BD CD AD +=+++=，即2225a b c +=， 由正弦定理得222sin sin 5sin A B C +=，再由余弦定理得2222244sin cos 222sin sin a b c c CC ab ab A B+-===，∴2sin sin cos 2sin A B C C =，∴sin sin cos 2sin cos cos sin cos cos A B C CA B C A B=，∴tan tan 2sin()2(tan tan )tan cos cos A B A B A B C A B +==+，∴1tan tan 2tan tan tan A BA B C+=，∴12m =．16．【答案】52+【解析】设OBC θ∠=，因为2BC =，所以(2cos ,0)B θ，(0,2sin )C θ，则(2cos ,2sin )BC θθ=-， 设(,)BA x y =，因为ABC △是边长为2的等边三角形，所以2242cos 2sin 2x y x y θθ⎧+=⎨-+=⎩，解得cos sin x y θθθθ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，即(3cos sin )BA θθθθ=-+，则(3cos sin )OA OB BA θθθθ=+=++， 因为M 为AB 的中点， 所以1331(cos ,sin )22222OM OB BA θθθθ=+=++， 所以2311522cos 2cos22222OA OM θθθθθ⋅=+++=++5)2θϕ=++（其中cosϕ=，sin ϕ=），所以OA OB ⋅的最大值为52+。