反弯点法计算方法实例
框架结构在水平荷载下的计算(反弯点法和D值法)
37
计算转角和位移的关系 – 节点 A 、B 处
6i l
M a 4i a 2i b
V
6i a 6i b 12i 2 l l l
M 0
A : 4(i3 i4 ic ic ) 2(i3 i4 ic ic ) 6(ic ic )
37kN 74kN
C B A
H
G
M
K
VDC DC 37 11 .77 k N VCB CB (37 74 ) 31 .08 k N
（3）求各柱柱端弯矩：
M DC M BC M AB
VBA BA (37 74 80 .7) 52 .14 k N 80.7kN
首
层 其余计算从略。
25
（3）梁端弯矩
16
其余计算从略。
26
(4) 弯
矩
图
27
用反弯点法求下图框架的弯矩图。图中括号内的数 值为该杆的线刚度比值。
37kN
D (1.5) (0.7) (0.6) (1.7) (0.7) G (0.9) (2.4) (0.6) A E F (0.8) (1.2) (1.0) H (0.8) (0.9) M
hj
0
38
V
将
6i a 6ib 12i a b 12i 12i 2 V 2 l l l l l
A B
2 K 12i 代入上式, 可得 V 2 2 K l 2 K l
则 D jk
B ib V 12iA K K 2c , , K hj 2 K 2 K 2ic
框架结构在水平荷载下的计算反弯点法和D值法
4
１.反弯点法的假定及适用范围 ①假定框架横梁抗弯刚度为无穷大。 如果框架横梁刚度为无穷大，在水平力的作用
下，框架节点将只有侧移而没有转角。实际上，框 架横梁刚度不会是无穷大，在水平力下，节点既有 侧移又有转角。但是，当梁、柱的线刚度之比大于 3时，柱子端部的转角就很小，此时忽略节点转角 的存在，对框架内力计算影响不大。
6(ic
ic
)
u hj
j
0
B:
4(i1 i2 ic
ic )
2(i1 i2 ic
ic )
6(ic
ic
)
u hj
j
0
2
u j 2 u j
2
1 2ic
(i1
i2
i3
i4 )
hj
2 K hj
K ib 2ic
38
V 6ia 6ib 12i a b V 12i 12i
l
l
l2
l
l2
将
2 2K
l
代入上式, 可得 V
K 2K
12i l2
A B 则
D jk
V
12ic hj2
K 2K
,
K 2K
,
K
ib 2ic
A
a
a
b
D jk
12ic hj2
l
框架梁的线刚度无穷大时 同理可推导底层柱 D 值
，
1,
反弯点法计算步骤
反弯点法计算步骤反弯点法计算步骤一、概述反弯点法是在结构力学中应用广泛的一种计算方法，特别适用于弹性梁的挠度计算。
其原理是通过不同截面的变形条件和内力平衡条件导出梁的弯曲方程，然后利用反弯点的概念求解该方程。
本文将详细介绍反弯点法的计算步骤，以供学习和应用。
二、弯曲方程的推导考虑梁在x方向上的弯曲，假设其截面形状为y=f(x)，则从其左侧到右侧，任一长度为dx的梁段的弯曲弧长为ds=√(1+(dy/dx)²)dx，其曲率半径为R=ds/θ，其中θ为梁的倾角。
根据力学平衡条件，我们可以得到M(x)=EI(d²y/dx²)，其中M(x)为梁在x处的弯矩，EI为梁的弯曲刚度（E为弹性模量，I为截面惯性矩）。
这样，就可以得到弯曲方程为d²y/dx²=M(x)/EI。
三、反弯点的定义反弯点是指梁在x处的弯矩M(x)等于零的点，即M(x)=0。
在反弯点左侧和右侧，梁的弯矩符号相反，因此反弯点可以看做是两个弯矩符号变化的分界点。
在反弯点处，梁的倾角θ必须是连续的，因为θ=dy/dx，dy/dx在反弯点左右两侧不同但符号相反，因此它在反弯点处必须是零。
四、计算步骤由于弯矩图和倾角图是梁力学计算中的基本图形，因此我们可以通过弯矩图和倾角图来计算反弯点位置和梁的挠度等参数。
计算步骤如下：1.求取弯矩图和倾角图：从左端开始，根据结构布置等条件，按照梁load分布，用结构分析或转换法求出弯矩图和倾角图。
2.确定反弯点位置：根据弯矩图的特点，判断弯矩的正负号变化，找到第一个从正变负的弯矩点，即为反弯点。
3.计算反弯点处的小段梁长及半径：根据弯曲方程可知，反弯点处梁的弯曲半径为R(x)=M(x)/EI，在反弯点处，弯矩为零，因此弯曲半径为∞。
但为了计算反弯点附近的梁的挠度，我们需要选择一个适当的小段梁长（例如10cm），计算出反弯点左侧和右侧各自的半径。
4.计算反弯点附近的梁的挠度：反弯点左侧和右侧的梁都是简支梁，因此可以采用简支梁的弯曲方程y=(wx²)/(24EI)(6L²-4Lx+x²)，其中w为单位长度荷载，L 为梁的长度。
框架结构在水平荷载下的计算反弯点法和D值法
MDH19 .42kN
MDC19.42kN
MGH16.67kN
DH (1.5)
G
MGC ? MGC52.04kN
MGK ?
C
G (1.7)
MGK30.56kN B
F
MGF65.93KN
(2.4)
A
E
M G K(M G H M G)F 1 .7 1 .0 1 .03.5 0k6N
任务二 水平荷载作用下的近似计算
框架结构在水平荷载作用下的 近似计算方法：
一、反弯点法 二、改进反弯点法——D值法
1
一、反弯点法
(一)水平荷载作用下框架结构的受力特点
框架所承受 的水平荷载主要 是风荷载和水平 地震作用，它们 都可以转化成作 用在框架节点上 的集中力。
2
一、反弯点法
(一)水平荷载作用下框架结构的受力特点
7
２.反弯点高度的确定
反弯点高度y的定义为反弯点至柱下端的距离。
h
y
2
2
3
h
上部各层柱 底层柱
h——层高
8
３.柱子的抗侧移（抗推）刚度d
柱子的抗侧移刚度：物理意义表示柱端产生相 对单位位移时，在柱子内产生的剪力。
柱子端部无转角时，柱子的抗侧移刚度：
d 12 ic h2
i c ——柱子的线刚度；
(0.7) B
(0.9) F
(0.9) J
HG
0.6 0.7 0.6 0.9
0.273
(0.6) A
(0.8) E
(0.8) I
MK
0.9 0.7 0.6 0.9
《反弯点法》例题详解
《反弯点法》例题详解在数学中，反弯点法是一种求函数曲线的凹凸性质的方法。
通过求函数的导数和二阶导数，可以确定函数的凹凸区间和反弯点。
下面我们以一个例题来详细介绍反弯点法的具体步骤和求解过程。
例题：已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1，求函数的凹凸区间和反弯点。
步骤一：求函数的一阶导数f'(x)。
f'(x) = 3x^2 - 6x + 2步骤二：求函数的二阶导数f''(x)。
f''(x) = 6x - 6步骤三：求f''(x) = 0的解，即求二阶导数的零点。
6x - 6 = 0x = 1步骤四：求f''(x)在x < 1和x > 1两个区间的符号。
当x < 1时，取一个小于1的数代入f''(x)，比如x = 0，计算得f''(0) = -6，符号为负。
当x > 1时，取一个大于1的数代入f''(x)，比如x = 2，计算得f''(2) = 6，符号为正。
步骤五：根据f''(x)的符号确定函数的凹凸性质。
当f''(x) > 0时，函数在该区间上凹。
当f''(x) < 0时，函数在该区间上凸。
根据步骤四的计算结果，可以得出以下结论：当x < 1时，函数在该区间上凸。
当x > 1时，函数在该区间上凹。
步骤六：求函数的反弯点。
根据步骤三的计算结果，x = 1是函数的一个反弯点。
综上所述，函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1在x < 1时凸，在x > 1时凹，且有一个反弯点x = 1。
通过以上例题的详细解答，我们可以了解到反弯点法的求解过程和应用方法。
通过求函数的导数和二阶导数，我们可以确定函数的凹凸区间和反弯点，从而更好地理解和分析函数的性质。
水平荷载作用下采用反弯点法计算
水平荷载作用下采用反弯点法计算反弯点法是一种常用于计算水平荷载作用下的结构弯矩和剪力的方法。
在使用这种方法时，首先需要通过结构的截面特性和材料特性来确定结构的内力分布。
然后，通过计算不同截面的弯矩与剪力平衡点，找到结构的反弯点位置。
最后，通过分析反弯点处的内力分布，计算结构在水平荷载作用下的弯矩和剪力。
下面以梁为例，来介绍水平荷载作用下采用反弯点法计算的过程。
首先，给定一根梁的长度L和受力情况。
为了简化问题，我们假设梁的截面形状为矩形，截面高度为h，宽度为b，材料的弹性模量为E。
梁所受外力为均布荷载q。
接下来，我们根据梁的受力分析，计算出梁在距离x处的弯矩M和剪力V的分布式函数。
在这种情况下，由于梁是均布荷载作用的，所以梁上的弯矩和剪力都是连续变化的线性函数。
根据弯矩和剪力的定义，我们可以得到：M(x) = -qx^2/2 + C1x + C2V(x) = -qx + C1其中，C1和C2是根据边界条件得出的常数，用于确定梁的受力状态。
接下来，我们需要确定梁的反弯点位置。
反弯点是梁上由抗力导致的弯矩的变号点。
在这个点上，弯矩由正变为负，或由负变为正。
在反弯点附近，梁的内力状态发生了较大变化。
为了确定反弯点位置，我们可令M(x)=0，解得反弯点的位置为x=r。
将x=r代入V(x)的方程中，我们可以计算出反弯点处的剪力为V(r)=-qr+C1根据反弯点的定义，剪力也应该为零，因此可以得到C1=qr。
将C1=qr代入M(x)的方程中，我们可以计算出反弯点处的弯矩为M(r)=-qr^2/2+C2根据反弯点的定义，弯矩也应该为零，因此可以得到C2=qr^2/2最后，我们可以得到反弯点处的弯矩和剪力分布：M(r) = -qr^2/2 + qr^2/2 = 0V(r) = -qr + qr = 0这意味着在反弯点处，梁的弯矩和剪力都为零，这是一个特殊的位置。
通过计算反弯点的位置和反弯点处的内力分布，我们可以了解结构在水平荷载作用下的受力状态。
反弯点法计算方法实例
2 3
3.9
135.92kN.m
M EF
69.71
2 3
3.9
181.24k N.m
M IJ
69.71
2 3
3.9
181.24k N.m
M
BA
52.28
1 3
3.9
67.96kN.m
M FE
69.71
1 3
3.9
90.62kN.m
M JI
69.71
1 3.9 3
90.62kN.m
4.3.3 反弯点法计算方法实例
• 第二层
VBC
0.7
0.7 0.9
0.9
(37
74)
31.08kN
VFG
0.7
0.9 0.9
0.9
(37
74)
39.96kN
VJL
0.7
0.9 0.9
0.9
(37
74)
39.96kN
4.3.3 反弯点法计算方法实例
• 第一层
VAB
0.6
0.6 0.8
0.8
(37
74
80.7)
52.28kN
M GC
1.7 1.7 1.0
(16.65
65.93)
51.99kN.m
M GL
1.0 1.7 1.0
(16.65
65.93)
30.59kN.m
M LG M LM M LJ 24.98 65.93 90.91kN.m
4.3.3 反弯点法计算方法实例
• 第一层
M BF M BC M BA 51.28 67.96 119 .24kN.m
M FB
2.4 2.4 1.2
混凝土反弯点法计算题例题
混凝土反弯点法计算题例题混凝土反弯点法是一种用于计算混凝土梁的强度和刚度的方法。
它基于混凝土在受拉应力作用下的裂缝性质，将混凝土截面分为受压区和受拉区。
在混凝土的受拉区出现第一根裂缝时，混凝土截面的强度随之降低，这个裂缝的位置就是梁的反弯点。
以下是一个混凝土反弯点法计算题的例题：【例题】一根混凝土矩形梁的截面宽度为b=200mm，高度为h=400mm，长度为L=4m。
梁的配筋已经确定，钢筋面积为As=2515mm2，混凝土强度等级为C30，梁的工作状态为常规状态。
使用混凝土反弯点法计算梁的极限承载力。
解题思路：1. 计算混凝土截面面积Ac和受拉区高度a。
$$Ac=bh=200mm\times400mm=80000mm^2$$根据混凝土抗拉强度σc和配筋率ρ，可以计算出混凝土受拉区高度a。
$$a=\frac{\sigma_c}{0.85f_y}\frac{1-\sqrt{1-2\rho}}{1.6}h$$其中，fy为钢筋的屈服强度，ρ为配筋率。
根据题目中的数据，可以计算出a的值为：$$a=\frac{2.6\times10^6Pa}{0.85\times300\times10^6Pa}\frac{1-\sqrt{1 -2\times\frac{2515mm^2}{200mm\times400mm}}}{1.6}\times400mm=7 7.57mm$$2. 计算混凝土受拉区的受拉力N和弯矩M。
根据梁的几何尺寸和工作状态，可以计算出梁上的荷载为：$$q=\frac{1.5kN}{m^2}$$其中，kN为单位长度的荷载。
因此，梁上的集中荷载为：$$P=qL=1.5kN/m^2\times4m=6kN$$根据静力平衡条件，可以计算出混凝土受拉区的受拉力N和弯矩M。
$$N=P=\frac{6kN}{2}=3kN$$$$M=\frac{PL}{4}=6kN\times4m/4=6kNm$$3. 计算混凝土受拉区的应力σ1和混凝土截面的极限承载力M1。
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0.6 37 10.09 kN 0.7 0.6 0.9
• 第二层
0.7 (37 74) 31.08kN 0.7 0.9 0.9 0.9 VFG (37 74) 39.96 kN 0.7 0.9 0.9 0.9 VJL (37 74) 39.96 kN 0.7 0.9 0.9 VBC
4.3.3 反弯点法计算方法实例
• (3）求出各横梁梁端的弯矩 • 第三层 M DH M DC 19.42kN.m
M HD 1.5 16.65 10.86 kN .m 1.5 0.8
M HM
0.8 16.65 5.79 8kN.m
M GL
M LG M LM M LJ 24.98 65.93 90.91kN.m
4.3.3 反弯点法计算方法实例
• 第一层
M BF M BC M BA 51.28 67.96 119.24kN.m
M FB
2.4 (65.93 90.62) 104 .37 kN .m 2.4 1.2
4.3.3 反弯点法计算方法实例
• 实例:已知框架计算简图如图所示，图中括号内 数值为该杆件的线刚度。用反弯点法求出各杆件 内力，并绘制出弯矩图。
D 1.5 H 37kN 74kN 0.7 1.7 C 0.7 B 2.4 0.6 A 2700 0.6 1.0 G 0.9 0.8 M 0.9 3300
• 第二层
M BC M CB 31.08
M FG M GF
3.3 51.28kN .m 2 3.3 39.96 65.93kN .m 2
M JL M LJ 39.96
3.3 65.93kN .m 2
• 第一层
2 M AB 52.28 3.9 135 .92 kN .m 3 2 M EF 69.71 3.9 181 .24 kN .m 3
L 0.9 3300 1.2 J 0.8 I 8100
80.7kN
F
0.8 E
3900
4.3.3 反弯点法计算方法实例
解：(1）求出各柱在反弯点处的剪力 • 第三层 0.7
VCD 0.7 0.6 0.9 37 11.77 kN
VGH
VLM
0.9 37 15.14 kN 0.7 0.6 0.9
• (2）求出各柱柱端的弯矩 3.3 • 第三层 M CD M DC 11.77 19.42 kN .m
M GH M HG M LM M ML
2 3.3 10.09 16.65kN .m 2 3.3 15.14 24.98 kN .m 2
4.3.3 反弯点法计算方法实例
4.3.3 反弯点法计算方法实例
• 第二层
MCG M CD MCB 19.42 51.28 70.70kN.m
M GC 1.7 (16.65 65.93) 51.99 kN .m 1.7 1.0 1.0 (16.65 65.93) 30.59 kN .m 1.7 1.0
1 M BA 52.28 3.9 67.96 kN .m 3 1 M FE 69.71 3.9 90.62 kN .m 3 1 M JI 69.71 3.9 90.62 kN .m 3
2 M IJ 69.71 3.9 181 .24 kN .m 3
4.3.3 反弯点法计算方法实例
• 第一层
0.6 (37 74 80.7) 52.28kN 0.6 0.8 0.8 0.8 VEF (37 74 80.7) 69.71kN 0.6 0.8 0.8 0.8 VIJ (37 74 80.7) 69.71kN 0.6 0.8 0.8 VAB
M FJ
1.2 (65.93 90.62) 52.18kN .m 2.4 1.2
M JF M JL M JI 65.93 90.62 156.55kN.m
(4）绘制各标杆件的弯矩图