反弯点法例题
框架结构在水平荷载下的计算反弯点法和D值法
4
１.反弯点法的假定及适用范围 ①假定框架横梁抗弯刚度为无穷大。 如果框架横梁刚度为无穷大，在水平力的作用
下，框架节点将只有侧移而没有转角。实际上，框 架横梁刚度不会是无穷大，在水平力下，节点既有 侧移又有转角。但是，当梁、柱的线刚度之比大于 3时，柱子端部的转角就很小，此时忽略节点转角 的存在，对框架内力计算影响不大。
6(ic
ic
)
u hj
j
0
B:
4(i1 i2 ic
ic )
2(i1 i2 ic
ic )
6(ic
ic
)
u hj
j
0
2
u j 2 u j
2
1 2ic
(i1
i2
i3
i4 )
hj
2 K hj
K ib 2ic
38
V 6ia 6ib 12i a b V 12i 12i
l
l
l2
l
l2
将
2 2K
l
代入上式, 可得 V
K 2K
12i l2
A B 则
D jk
V
12ic hj2
K 2K
,
K 2K
,
K
ib 2ic
A
a
a
b
D jk
12ic hj2
l
框架梁的线刚度无穷大时 同理可推导底层柱 D 值
，
1,
混凝土反弯点法计算题例题
混凝土反弯点法计算题例题混凝土反弯点法是一种用于计算混凝土梁的强度和刚度的方法。
它基于混凝土在受拉应力作用下的裂缝性质，将混凝土截面分为受压区和受拉区。
在混凝土的受拉区出现第一根裂缝时，混凝土截面的强度随之降低，这个裂缝的位置就是梁的反弯点。
以下是一个混凝土反弯点法计算题的例题：【例题】一根混凝土矩形梁的截面宽度为b=200mm，高度为h=400mm，长度为L=4m。
梁的配筋已经确定，钢筋面积为As=2515mm2，混凝土强度等级为C30，梁的工作状态为常规状态。
使用混凝土反弯点法计算梁的极限承载力。
解题思路：1. 计算混凝土截面面积Ac和受拉区高度a。
$$Ac=bh=200mm\times400mm=80000mm^2$$根据混凝土抗拉强度σc和配筋率ρ，可以计算出混凝土受拉区高度a。
$$a=\frac{\sigma_c}{0.85f_y}\frac{1-\sqrt{1-2\rho}}{1.6}h$$其中，fy为钢筋的屈服强度，ρ为配筋率。
根据题目中的数据，可以计算出a的值为：$$a=\frac{2.6\times10^6Pa}{0.85\times300\times10^6Pa}\frac{1-\sqrt{1 -2\times\frac{2515mm^2}{200mm\times400mm}}}{1.6}\times400mm=7 7.57mm$$2. 计算混凝土受拉区的受拉力N和弯矩M。
根据梁的几何尺寸和工作状态，可以计算出梁上的荷载为：$$q=\frac{1.5kN}{m^2}$$其中，kN为单位长度的荷载。
因此，梁上的集中荷载为：$$P=qL=1.5kN/m^2\times4m=6kN$$根据静力平衡条件，可以计算出混凝土受拉区的受拉力N和弯矩M。
$$N=P=\frac{6kN}{2}=3kN$$$$M=\frac{PL}{4}=6kN\times4m/4=6kNm$$3. 计算混凝土受拉区的应力σ1和混凝土截面的极限承载力M1。
框架结构在水平荷载下的计算反弯点法和D值法
51
（三）确定柱反弯点高度系数y
4.反弯点高度
Y yh
当 反 弯 点 高 度 为 0≤ Ｙ ≤ ｈ 时 ， 反 弯点在本层；当Ｙ>ｈ时，本层无反点， 反弯点在上层；当Ｙ<0时，反弯点在下 层。
15
８.柱内轴向力
自上而下逐层 叠加节点左右的 梁端剪力。
16
反弯点法的主要计算步骤：
1、计算柱子的抗侧刚度； 2、将层间剪力在柱子中进行分配，求得 各柱剪力值； 3、按反弯点高度计算柱子端部弯矩； 4、利用节点平衡计算梁端弯矩，进而求 得梁端剪力； 5、计算柱子的轴力。
17
例题：用反弯点 法计算右图所示 框架的弯矩，并 绘出弯矩图。图 中圆括号内的数 字为杆件的相对 线刚度。
hj 2
h j ——第j层柱高
cjk表示第j层第k号柱，t(top)、b(bottom)分别表示柱
的顶端和底端。
12
６.梁端弯矩
梁端弯矩按节点平衡及线刚度比得到。 （１）边节点
顶部边节点： Mb Mc
一般边节点： MbMc1Mc2
13
６.梁端弯矩
（２）中节点：按线刚度比 进行分配。
14
７.梁内剪力
7
２.反弯点高度的确定
反弯点高度y的定义为反弯点至柱下端的距离。
h
y
2 2 3
h
上部各层柱 底层柱
h——层高
8
３.柱子的抗侧移（抗推）刚度d
柱子的抗侧移刚度：物理意义表示柱端产生相 对单位位移时，在柱子内产生的剪力。
柱子端部无转角时，柱子的抗侧移刚度：
d 12 ic h2
i c ——柱子的线刚度；
h ——柱子的层高。
框架结构在水平荷载下的计算反弯点法和D值法
柱 D 值计算
D V
计算假定 例 ：柱 AB 的 D 值计算
层间侧移△相等 ，
剪切角为
u j hj
梁、柱结点转角相等，设为
计算柱与相邻柱线刚度相同 ic
与柱B端相交的梁的线刚度为
i1、 i2
与柱A端相交的梁的线刚度 为
i3 、i 4
i1
ic B
i2
i3
ic i4
A
ic
34
35
ui D
B
b
hj
a
39 A
（二）柱的抗侧刚度D值
柱的抗侧刚度D值
D
12ic h2
式中
h—层高
ic —柱的线刚度，ic EIc /h ； E—柱混凝土弹性模量； I c —柱截面惯性矩； —与梁柱刚度比有关有刚度修正系数
40
i2 ic
i4
K i2 i4 2ic
i2 ic
K i2 ic
48
（三）确定柱反弯点高度比y
１.标准反弯高度比y０ 标准反弯点高度比是在各层等高、各跨相等、 各层梁和柱线刚度都不改变时框架在水平荷载作 用下的反弯点高度比。 按该框架总层数n，所在楼层数j以及梁柱线 刚度比K查附表2.1、附表2.2。 在查取y0时，风荷载（均布水平荷载）作用下 和水平地震作用（三角形荷载）下应采用相应的 表格。
2
uj 2 uj
221 ic(i1i2i3i4) hj 2Khj
K ib 2ic
38
V 6 ia 6 ib 1 i 2 a b V 1 i 2 1 i 2
l l l2
l l2
框架结构在水平荷载下的计算反弯点法和D值法
a
A B 则 D jk V 1 h ji2 c2 2 K K ,
K,K ib 2 K 2 ic
B
b l
a
b
D jk
12 ic hj2
l
框架梁的线刚度无穷大时
，
1,
D
12ic hj 2
同理可推导底层柱 D 值
0.5K,Kib
2K
ic
42
（二）柱的抗侧刚度D值
2.带有夹层的柱，其抗推刚度按下式计算：
D'
1 1
1
D1D2 D1 D2
D1 D2
D D
1 2
12 i c 1
c1
h
2 1
12 i c 2
c2
h
2 2
43
计算各柱所分配的剪力：
44
（三）确定柱反弯点高度比y
上、下端约束对梁反弯点的影响
由此可见，反弯点法的关键是反弯点的位置 确定和柱子抗推刚度的确定。
4
１.反弯点法的假定及适用范围 ①假定框架横梁抗弯刚度为无穷大。 如果框架横梁刚度为无穷大，在水平力的作用
下，框架节点将只有侧移而没有转角。实际上，框 架横梁刚度不会是无穷大，在水平力下，节点既有 侧移又有转角。但是，当梁、柱的线刚度之比大于 3时，柱子端部的转角就很小，此时忽略节点转角 的存在，对框架内力计算影响不大。
77
48
0.7)5
2.1
4k N80.7kN
A
E
（3）求各柱柱端弯矩：
MDC
MCD
VDC
3.3 2
19.42k
框架结构在水平荷载下的计算反弯点法和D值法
MDH19 .42kN
MDC19.42kN
MGH16.67kN
DH (1.5)
G
MGC ? MGC52.04kN
MGK ?
C
G (1.7)
MGK30.56kN B
F
MGF65.93KN
(2.4)
A
E
M G K(M G H M G)F 1 .7 1 .0 1 .03.5 0k6N
18
解：作三个截面通过各柱的反弯点（一般层反反弯 点高度为1/2柱高，首层为2/3柱高），如图所示：
19
由于框架同层各柱高h相等，可直接用杆件线刚度 的相对值计算各柱的分配系数。
（1）柱的剪力 三层：
20
二层
21
首层
22
（2）柱端弯矩 三 层
23
（2）柱端弯矩 二 层
24
（2）柱端弯矩 首 层 其余计算从略。
下，框架节点将只有侧移而没有转角。实际上，框 架横梁刚度不会是无穷大，在水平力下，节点既有 侧移又有转角。但是，当梁、柱的线刚度之比大于 3时，柱子端部的转角就很小，此时忽略节点转角 的存在，对框架内力计算影响不大。
由此也可以看出，反弯点法是有一定的适用范 围的，即框架梁、柱的线刚度之比应不小于3。
5
水平荷载作用下框 架的变形情况：
当梁刚度无限 大时，水平荷载作 用下框架的变形情 况：节点转角为0， 各节点水平位移相 同。
6
②假定底层柱子的反弯点位于柱子高度的2/3 处，其余各层柱的反弯点位于柱中。
当柱子端部转角为零时，反弯点的位置应该 位于柱子高度的中间。而实际结构中，尽管梁、 柱的线刚度之比大于3，在水平力的作用下，节点 仍然存在转角，那么反弯点的位置就不在柱子中 间。尤其是底层柱子，由于柱子下端为嵌固，无 转角，当上端有转角时，反弯点必然向上移，故 底层柱子的反弯点取在2/3处。上部各层，当节点 转角接近时，柱子反弯点基本在柱子中间。
框架结构在水平荷载下的计算(反弯点法和D值法)
i3
B
ic ic
i2 i4
A
ic
i1、 i 2
与柱A端相交的梁的线刚度 为 i3 、i
4
34
35
u i
D
B
hi
C
A
36
柱 AB 剪力与 相邻梁 、柱杆端的侧移△及转角 相关
因此需求出转角和位移的关系
预备公式 ： 转角位移方程 A、B 端均为刚结的杆端
M a 4i a 2i b M b 4i b 2i a
D jk
a
l
b
a
12ic hj
2
b
l
12ic 2 hj
B
框架梁的线刚度无穷大时 ， 1 , D 同理可推导底层柱 D 值
0.5 K ib ,K 2 K ic
b
hj
a
A
39
（二）柱的抗侧刚度D值
柱的抗侧刚度D值
12ic D 2 h
式中
h —层高 ic EIc / h ； ic —柱的线刚度， E —柱混凝土弹性模量； I c —柱截面惯性矩； —与梁柱刚度比有关有刚度修正系数
hj
的顶端和底端。
——第j层柱高
12
cjk表示第j层第k号柱，t(top)、b(bottom)分别表示柱
６.梁端弯矩
梁端弯矩按节点平衡及线刚度比得到。 （１）边节点 顶部边节点： 一般边节点：
Mb M c
M b M c1 M c 2
13
６.梁端弯矩
（２）中节点：按线刚度比 进行分配。
V
反弯点法计算方法实例
反弯点法计算方法实例咱今儿就来唠唠这反弯点法计算方法实例。
嘿，你可别小瞧了它，这可是结构力学里挺重要的一块儿呢！比如说咱有个框架结构，就像搭起来的积木房子似的。
那这反弯点法呀，就是帮咱搞清楚这个“积木房子”受力之后会咋变形的。
咱先看看柱子，柱子上不是有好些个节点嘛，嘿，这节点可就有意思了，就像关节一样，能活动能弯曲。
那反弯点呢，就是柱子上那么一个特别的点，在这儿啊，柱子弯曲的方向会变。
咱来举个具体例子哈。
就说有个两层的框架，柱子啊梁啊都齐全。
那咱咋用反弯点法算呢？先找那些个关键的节点，看看它们的受力情况。
然后呢，根据一些个规则，确定反弯点的位置。
哎呀，你想想看，这就好比是走迷宫，得找到正确的路才能走出去。
咱找反弯点也是一样，得找对了，后面的计算才能顺顺利利的。
算的时候呢，要把柱子分成几段，每一段的内力都不一样。
这就好像切蛋糕，每一块的大小味道都有点不一样。
然后呢，根据反弯点的位置，算出每一段的弯矩呀剪力呀啥的。
这过程中可得细心点，别弄错了。
不然就像做饭放错调料一样，那味道可就不对啦！你说这反弯点法神奇不神奇？它能让咱清楚地知道这结构在受力的时候到底会怎么个变化法。
再比如说，要是这个框架受到了风的吹呀，或者别的啥外力，咱用反弯点法就能算出柱子和梁会怎么变形，会不会承受得住。
这就好像给这个“积木房子”做了个体检，看看它健不健康。
咱学这反弯点法，就像是掌握了一把钥匙，能打开结构力学里好多知识的大门呢！你要是学会了，那以后遇到啥结构问题，都能心里有底，知道该咋去分析解决。
反正我觉着吧，这反弯点法挺有用的，咱得好好学，好好研究。
别觉得它难就退缩了呀，多琢磨琢磨，多做做例子，肯定能搞明白的。
你说是不是？咱可不能被这点小困难给难住了呀，得勇往直前，把这知识给拿下！就这么干，准没错！。