《反弯点法》例题详解复习课程
框架结构在水平荷载下的计算反弯点法和值法详解
A
B
Ma
4i a
2ib
6i l
Mb
4i b
2i a
6i l
a
b
l
V 6i a 6ib 12i
l
l
l2
37
第三十七页，共69页。
计算转角和位移的关系 – 节点 A 、B 处
Ma
4i a
2i b
6i l
V 6i a 6ib 12i
l
l
l2
M 0
A:
4(i3 i4 ic ic ) 2(i3 i4 ic ic )
i1、 i2
与柱A端相交的梁的线刚度 为
i3、 i4
i1
ic B
i2
i3
ic i4
A
ic
34
第三十四页，共69页。
35
第三十五页，共69页。
第三十六页，共69页。
ui D
B
hi
A
C
36
柱 AB 剪力与 相邻梁 、柱杆端的侧移△及转角 相关
因此需求出转角和位移的关系 预备公式 ： 转角位移方程
A、B 端均为刚结的杆端
端部的转角就很小，此时忽略节点转角的存在，对框架 内力计算影响不大。
由此也可以看出，反弯点法是有一定的适用范围 的，即框架梁、柱的线刚度之比应不小于3。
5
第五页，共69页。
水平荷载作用下框架 的变形情况：
第六页，共69页。
当梁刚度无限大 时，水平荷载作用 下框架的变形情况 ：节点转角为0，各 节点水平位移相同 。
V1k
h1 3
Mb c1k
V1k
2h1 3
上部各层柱，上下 柱端弯矩相等
Mt cjk
反弯点法计算步骤
反弯点法计算步骤反弯点法计算步骤一、概述反弯点法是在结构力学中应用广泛的一种计算方法，特别适用于弹性梁的挠度计算。
其原理是通过不同截面的变形条件和内力平衡条件导出梁的弯曲方程，然后利用反弯点的概念求解该方程。
本文将详细介绍反弯点法的计算步骤，以供学习和应用。
二、弯曲方程的推导考虑梁在x方向上的弯曲，假设其截面形状为y=f(x)，则从其左侧到右侧，任一长度为dx的梁段的弯曲弧长为ds=√(1+(dy/dx)²)dx，其曲率半径为R=ds/θ，其中θ为梁的倾角。
根据力学平衡条件，我们可以得到M(x)=EI(d²y/dx²)，其中M(x)为梁在x处的弯矩，EI为梁的弯曲刚度（E为弹性模量，I为截面惯性矩）。
这样，就可以得到弯曲方程为d²y/dx²=M(x)/EI。
三、反弯点的定义反弯点是指梁在x处的弯矩M(x)等于零的点，即M(x)=0。
在反弯点左侧和右侧，梁的弯矩符号相反，因此反弯点可以看做是两个弯矩符号变化的分界点。
在反弯点处，梁的倾角θ必须是连续的，因为θ=dy/dx，dy/dx在反弯点左右两侧不同但符号相反，因此它在反弯点处必须是零。
四、计算步骤由于弯矩图和倾角图是梁力学计算中的基本图形，因此我们可以通过弯矩图和倾角图来计算反弯点位置和梁的挠度等参数。
计算步骤如下：1.求取弯矩图和倾角图：从左端开始，根据结构布置等条件，按照梁load分布，用结构分析或转换法求出弯矩图和倾角图。
2.确定反弯点位置：根据弯矩图的特点，判断弯矩的正负号变化，找到第一个从正变负的弯矩点，即为反弯点。
3.计算反弯点处的小段梁长及半径：根据弯曲方程可知，反弯点处梁的弯曲半径为R(x)=M(x)/EI，在反弯点处，弯矩为零，因此弯曲半径为∞。
但为了计算反弯点附近的梁的挠度，我们需要选择一个适当的小段梁长（例如10cm），计算出反弯点左侧和右侧各自的半径。
4.计算反弯点附近的梁的挠度：反弯点左侧和右侧的梁都是简支梁，因此可以采用简支梁的弯曲方程y=(wx²)/(24EI)(6L²-4Lx+x²)，其中w为单位长度荷载，L 为梁的长度。
《反弯点法》例题详解
《反弯点法》例题详解在数学中，反弯点法是一种求函数曲线的凹凸性质的方法。
通过求函数的导数和二阶导数，可以确定函数的凹凸区间和反弯点。
下面我们以一个例题来详细介绍反弯点法的具体步骤和求解过程。
例题：已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1，求函数的凹凸区间和反弯点。
步骤一：求函数的一阶导数f'(x)。
f'(x) = 3x^2 - 6x + 2步骤二：求函数的二阶导数f''(x)。
f''(x) = 6x - 6步骤三：求f''(x) = 0的解，即求二阶导数的零点。
6x - 6 = 0x = 1步骤四：求f''(x)在x < 1和x > 1两个区间的符号。
当x < 1时，取一个小于1的数代入f''(x)，比如x = 0，计算得f''(0) = -6，符号为负。
当x > 1时，取一个大于1的数代入f''(x)，比如x = 2，计算得f''(2) = 6，符号为正。
步骤五：根据f''(x)的符号确定函数的凹凸性质。
当f''(x) > 0时，函数在该区间上凹。
当f''(x) < 0时，函数在该区间上凸。
根据步骤四的计算结果，可以得出以下结论：当x < 1时，函数在该区间上凸。
当x > 1时，函数在该区间上凹。
步骤六：求函数的反弯点。
根据步骤三的计算结果，x = 1是函数的一个反弯点。
综上所述，函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1在x < 1时凸，在x > 1时凹，且有一个反弯点x = 1。
通过以上例题的详细解答，我们可以了解到反弯点法的求解过程和应用方法。
通过求函数的导数和二阶导数，我们可以确定函数的凹凸区间和反弯点，从而更好地理解和分析函数的性质。
反弯点法与D值法 ppt课件
d
12ic h2
ic ——柱子的线刚度；
h ——柱子的层高。
PPT课件
9
４.同层各柱剪力的 确定
V jk
d jk
m
Vj
d jk
k 1
V jk ——第j层第k柱所承受的层间剪力；
d jk ——第j层第k柱子的抗侧刚度；
V j ——水平力在第j层产生的层间剪力；
M
GF
)
1.7 1.7 1.0
52.04kN
M (0.8)
K (1.0)
J (1.2)
I
PPT课件
31
二、改进反弯点法－Ｄ值法
当框架的高度较大、层数较多时，柱
子的截面尺寸一般较大，这时梁、柱的线
刚度之比往往要小于3，反弯点法不再适
用。进行框架内力计算，就必须对反弯点
法进行改进——改进反弯点（D值）法。
B
hi
A
C
PPT课件
36
柱 AB 剪力与 相邻梁 、柱杆端的侧移△及转角 相关
因此需求出转角和位移的关系 预备公式 ： 转角位移方程
A、B 端均为刚结的杆端
Ma
4i a
2ib
6i l
Mb
4ib
2i a
6i l
A
B
a
b
l
V 6ia 6ib 12i
V1k
h1 3
Mb c1k
V1k
2h1 3
上部各层柱，上 下柱端弯矩相等
Mt cjk
框架结构在水平荷载下的计算反弯点法和D值法
柱 D 值计算
D V
计算假定 例 ：柱 AB 的 D 值计算
层间侧移△相等 ，
剪切角为
u j hj
梁、柱结点转角相等，设为
计算柱与相邻柱线刚度相同 ic
与柱B端相交的梁的线刚度为
i1、 i2
与柱A端相交的梁的线刚度 为
i3 、i 4
i1
ic B
i2
i3
ic i4
A
ic
34
35
ui D
B
b
hj
a
39 A
（二）柱的抗侧刚度D值
柱的抗侧刚度D值
D
12ic h2
式中
h—层高
ic —柱的线刚度，ic EIc /h ； E—柱混凝土弹性模量； I c —柱截面惯性矩； —与梁柱刚度比有关有刚度修正系数
40
i2 ic
i4
K i2 i4 2ic
i2 ic
K i2 ic
48
（三）确定柱反弯点高度比y
１.标准反弯高度比y０ 标准反弯点高度比是在各层等高、各跨相等、 各层梁和柱线刚度都不改变时框架在水平荷载作 用下的反弯点高度比。 按该框架总层数n，所在楼层数j以及梁柱线 刚度比K查附表2.1、附表2.2。 在查取y0时，风荷载（均布水平荷载）作用下 和水平地震作用（三角形荷载）下应采用相应的 表格。
2
uj 2 uj
221 ic(i1i2i3i4) hj 2Khj
K ib 2ic
38
V 6 ia 6 ib 1 i 2 a b V 1 i 2 1 i 2
l l l2
l l2
值法反弯点法
c
0.5K 1 2K
底层柱D值计算图式
综上所述，各种情况下柱的侧向刚度 D 值中系数 c 及梁柱线刚度比 K 按下表所列公
式计算。
柱侧向刚度修正系数 c
边柱
中柱
位置
简图
K
简图
K
c
一般层
K i2 i4 2ic
K i1 i2 i3 i4 2ic
7.4 查出 y1，这时反弯点应向上移动，y1 取正值；当 i3 i4 i1 i2 时，
取 1 (i3 i4 ) /(i1 i2 ) ，由1 和 K 从附表 7.4 查出 y1，这时反弯点应
向下移动，故 y1 取负值。 对底层框架柱，不考虑修正值 y1。
梁刚度变化时反弯点的修正
（3）上、下层层高变化时反弯点高度比的修正值 y2 和 y3 当与某柱相邻的上层或下层层高改变时，柱上端或下端的约束刚度
当梁的线刚度比柱的线刚度大很多时（例如ib/ic>3），梁柱节点的 转角很小。如果忽略此转角的影响，则水平荷载作用下框架结构内力的
计算方法，尚可进一步简化，这种忽略梁柱节点转角影响的计算方法称
为反弯点法。
在确定柱的侧向刚度时，反弯点法假定各柱上、下端都不产生转动， 即认为梁柱线刚度比为无限大。将趋近于无限大代入D值法 的公c 式，
不同于标准反弯点位置 ynh，其修正值为 y1h，如图所示。y1 的分析 方法与 yn 相仿，计算时可由附表 7.4 查取。
由附表 7.4 查 y1 时，梁柱线刚度比 K 仍按表 4.4.1 所列公式确定。
当 i1 i2 i3 i4 时，取1 (i1 i2 ) /(i3 i4 ) ，则由1 和 K 从附表
反弯点法
FP
r
第r层第i根柱子的剪力或侧移分配系 数。分子为第r层第i根柱子的抗剪刚 度，分母为第r层所有柱子抗剪刚度
之和。记做 ri
第r层以上所有外荷载之和。
6.4 反弯点法
✓单柱的抗剪刚度
• 两端固定的等截面柱—刚架柱
V
反弯点 抗剪刚度为
h
EI
S
12EI h3
12i h2
• 一端固定一端铰接的等截面柱—排架柱
中柱
其中：
2ic
i i2 i4
边柱
2ic
已知：
12ic h2
k
两端固定单元的侧移刚度
修正后的 侧移刚度：
D i k 2i
修正系数
6.4 反弯点法
底层柱: D 0.5 i 12iC 0.5 i k 2 i h2 2 i
其中:
i i5 i6 ic
i 1
3
其中任意根柱的剪力：
FQ3i S3i 3 … …②
S3i
为杆件3i两端发生单位相对线位移时的杆 端剪力，成为该杆件的抗剪刚度或抗侧
刚度
6.4 反弯点法
1）求柱的剪力
FP
例如求第三层柱的剪力 FP
取n—n截面：
FQ31 FQ32
FQ33
FQ34
X 0
4
FQ3i 2FP Fp … …①
△
△
此反弯点在柱中。
反弯点在中间 反弯点在柱顶
一层柱由于底部是真 正的固定端，而顶部 有一定的转角，反弯 点上移，因此通常取 2/3柱高。
6.4 反弯点法
对每根柱子若已知了反弯点的高度，又知道了剪力的
反弯点法及D值法设计题
土木1204班组员：卢焕然邵明明胡伟卢鼎刘杰张辉周敏
题目：试分别用反弯点法和D 值法计算下图1-1所示框架结构的内力（弯矩、剪力、轴力）
和水平位移。
图中在各杆件旁标出了线刚度，其中2600i kN m =?。
图1-1：
（1）反弯点法： 解：顶层柱反弯点位于柱中点22h ，底层柱的反弯点位于柱高123
h 处，在反弯点处将柱切开，脱离体如图2、图3所示。
图1-2顶层脱离体：
图1-3底层脱离体：
（1）求各柱剪力分配系数k k i k k μ=
∑， 顶层：20.286223
GD IF μμ==
=⨯+ 底层：
（2）计算各柱剪力：
（3）计算杆端弯矩，以节点E 为例说明杆端弯矩的计算
杆端弯矩：
2 3.33.42kN 5.64kN m 22EH QHE h M F m =-⨯=-⨯=-⋅（反弯点位于22h 处） 1
3.610kN 12kN m 33EB QBE h M F m =-⨯=-⨯=-⋅（反弯点位于柱123
h 处） 计算梁端弯矩时，先求出节点柱端弯矩之和为：
按梁刚度分配：
图1-4是刚架弯矩图：
图1-4弯矩图（单位kN m ⋅）：
（2）D 值法：
①求各柱的剪力值：
②求个柱反弯点高度yh ：
第二层：
第一层：
④绘制各横梁与柱的弯矩图：。
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《反弯点法》例题详
解
例：用反弯点法计算图1所示刚架，并画出弯矩图。
括号内数字为杆件线刚度的相对值。
图1
解：顶层柱反弯点位于柱中点
22h ，底层柱的反弯点位于柱高12
3
h 处，在反弯点处将柱切开，脱离体如图2、图3所示。
F QIF
图2 顶层脱离体
F QAD F QBE F QCF
G
I
F
E
D
8
17
图3 底层隔离体
（1）求各柱剪力分配系数k
k i
k k μ=∑ 顶层：
2
0.286223
GD IF μμ==
=⨯+
3
0.428223
HE μ=
=⨯+
底层：
3
0.3324
DA FC μμ===⨯+
4
0.4324
EB μ=
=⨯+
（2）计算各柱剪力：
0.2868kN 2.29kN QGD QIF F F ==⨯= 0.4288kN 3.42kN QHE F =⨯= 0.325kN 7.5kN QAD QCF F F ==⨯= 0.425kN 10kN QBE F =⨯=
（3）计算杆端弯矩，以节点E 为例说明杆端弯矩的计算 杆端弯矩：
2 3.33.42kN 5.64kN m 22EH QHE h M F m =-⨯
=-⨯=-⋅（反弯点位于22
h 处）
1 3.610kN 12kN m 3
3EB QBE h M F m =-⨯
=-⨯
=-⋅（反弯点位于柱12
3
h 处）
计算梁端弯矩时，先求出节点柱端弯矩之和为：
17.64kN m EH EB M M M =+=-⋅
按梁刚度分配：
12
17.647.84kN m 27ED M =⨯=⋅ 15
17.649.8kN m 27
EF
M =⨯=⋅ 图3是刚架弯矩图。
8
17
3.78
2.51 5.64
3.78
3.13
3.78
3.78
3.78
9
12.78
5.64
9.8
7.84
12
12.783.78
18
24
18
9
图3 弯矩图（单位kN m ⋅）。