分层法和反弯点法例题
《分层法》例题详解
例:如图1所示一个二层框架,忽略其在竖向荷载作用下的框架侧移,用分层法计算框架的弯矩图,括号内的数字,表示各梁、柱杆件的线刚度值(EIil)。
图1解:1、图1所示的二层框架,可简化为两个如图2、图3所示的,只带一层横梁的框架进行分析。
图2 二层计算简图图3 底层计算简图2、计算修正后的梁、柱线刚度与弯矩传递系数采用分层法计算时,假定上、下柱的远端为固定,则与实际情况有出入。
因此,除底层外,其余各层柱的线刚度应乘以0.9的修正系数。
底层柱的弯矩传递系数为12,其余各层柱的弯矩传递系数为13。
各层梁的弯矩传递系数,均为12。
图4 修正后的梁柱线刚度图5 各梁柱弯矩传递系数3、计算各节点处的力矩分配系数计算各节点处的力矩分配系数时,梁、柱的线刚度值均采用修正后的结果进行计算,如:G节点处:7.630.6687.63 3.79GH GHGHGH GDGjGi ii iiμ====++∑GD3.790.3327.63 3.79GD GDGH GDGjGi ii iiμ====++∑H节点处:7.630.3537.63 3.7910.21HG HGHGHG HE HIHjHi ii i iiμ====++++∑3.790.1757.63 3.7910.21HI HIHIHG HE HIHjHi ii i iiμ====++++∑10.210.4727.63 3.7910.21HE HEHEHG HE HIHjHi ii i iiμ====++++∑同理,可计算其余各节点的力矩分配系数,计算结果见图6、图7。
图6 二层节点处力矩分配系数图7 底层节点处力矩分配系数4、采用力矩分配法计算各梁、柱杆端弯矩(1)第二层:①计算各梁杆端弯矩。
先在G、H、I节点上加上约束,详见图8图8 二层计算简图计算由荷载产生的、各梁的固端弯矩(顺时针转向为正号),写在各梁杆端下方,见图9:213.13kN m 12F GHql M =-=-⋅213.13kN m 12F HGql M ==⋅ 27.32kN m 12F HI ql M=-=-⋅27.32kN m 12F IHql M==⋅ 在节点G 处,各梁杆端弯矩总与为:13.13kN m FG GH M M ==-⋅在节点H 处,各梁杆端弯矩总与为:13.137.32 5.81kN m F F H HG HI M M M =+=-=⋅在节点I 处,各梁杆端弯矩总与为:7.32kN m F I IH M M ==⋅②各梁端节点进行弯矩分配,各两次,详见图9 第一次弯矩分配过程:放松节点G,即节点G 处施加力矩13.13kN m ⋅,乘以相应分配系数0、668与0、332,得到梁端+8.76kN m ⋅与柱端+4.37kN m ⋅,+8.76kN m ⋅按12传到GH 梁H 端;放松节点I,即在节点I 处施加力矩7.32kN m -⋅,乘以相应分配系数0、935与0、065,得到梁端 6.32kN m -⋅与柱端+1.00kN m ⋅, 6.32kN m -⋅按12传到IH 梁H 端;放松节点H,相应的在节点H 处新加一个外力偶矩,其中包括GH 梁右端弯矩、IH 梁左端弯矩、GH 梁与IH 梁传来的弯矩。
多层框架结构习题
多层框架结构习题一、填空题1、框架结构是由和连接而成的结构。
2、框架结构伸缩缝与沉缝的宽度一般不小于。
3、框架结构在计算纵向框架和横向框架的内力时，分别按进行计算。
4、框架结构在计算梁的惯性矩时，通常假定截面惯性矩I 沿轴线不变，对装配式楼盖，取I = I 0 ，I 0 为矩形截面梁的截面惯性矩；对现浇楼盖，中框架I = ，边框架I= 。
5、框架柱的反弯点位置取决于该柱上下端的比值。
6、框架柱的反弯点高度一般与、、、等因素有关。
7、框架梁端负弯矩的调幅系数，对于现浇框架可取。
8、用分层法计算框架结构在竖向荷载下的内力时，除底层柱外，其余层柱线刚度乘以，相应传递系数为。
9、框架柱的抗侧移刚度与、、等因素有关。
10、框架在水平荷载下内力的近似计算方法—反弯点法，在确定柱的抗侧移刚度时，假定柱的上下端转角。
11、框架结构在水平荷载下的侧移变形是由和两部分组成的。
12、框架结构在水平荷载下柱子的抗侧移刚度D= ，在一般情况下它比用反弯点法求得的柱抗侧移刚度。
13、多层框架结构总高度受限制的主要原因是。
14、框架结构中框架柱的主要内力为；框架梁的主要内力为。
15、框架结构中“柱抗侧移刚度”定义为。
16、框架结构按施工方法的不同可分为、和。
17、框架结构承重框架的布置方案有、和等三种。
18、框架结构的变形缝有、和三种。
19、伸缩缝的设置，主要与有关。
20、沉降缝的设置，主要与有关。
21、防震缝的设置，注要与有关。
22、框架结构设置伸缩缝的作用是。
23、框架结构设置沉降缝的作用是。
24、框架结构设置防震缝的作用是。
25、在水平荷载的作用下，框架柱的反弯点位置取决于。
26、作用于框架结构上的荷载，可分为和两类。
27、框架结构在竖向荷载作用下的内力常用近似计算方、和等。
28、框架结构在水平荷载作用下的内力与侧移常用近似计算方法有、、等。
29、框架结构D值法中柱的侧移刚度D= ，是考虑对柱侧移刚度的修正系数。
30、框架结构D值法中柱的标准反弯点高度与、、、有关。
第四章 框架结构内力计算
4、计算和确定梁、柱弯矩分配系数。 按修正后的刚度计算各结点周围杆件的杆 端分配系数。 5、按力矩分配法计算单层梁、柱弯矩。 6、将每个单层框架的计算结果按相应部分迭 加起来便得到原框架的计算结果，即柱的弯矩 取相邻两个单元中同一柱对应弯矩之和，而梁 的弯矩直接采用。
四、计算例题
作业2
3.2 水平荷载下内力的近似计算—反弯点法
d
i 1
m
V pj
ij
4、柱端弯矩的确定 M j V jY j 柱下端弯矩 柱上端弯矩 M j V j (h j Yj )
5、梁端弯矩的确定 M ml (M mt M m1b ) 对于边柱 ibl 对于中柱
M ml ( M mt M m1b ) M mr ibl ibr ibr ( M mt M m1b ) ibl ibr
第3章 框架结构的内力和位移计算
3.1 竖向荷载下内力的近似计算—分层法 3.2 水平荷载下内力的近似计算—反弯点法 3.3 水平荷载下内力的近似计算—D值法 3.4 水平荷载作用下侧移的近似计算
3.1 竖向荷载下内力近似计算—分层法
一、竖向荷载 自重、活荷、雪荷载及施工检修荷载等。 二、分层法的基本假设 1、忽略侧移的影响； 2、忽略每层梁的竖向荷载对其它各层梁 的影响。 三、分层法计算要点 1、将N层框架划分成N个单层框架，柱 端假定为固端， 用力矩分配法计算。
三、柱的侧移刚度D 12ic D 2 h
—为柱侧移刚度修正系数，表示梁柱刚 度比对柱侧移刚度的影响。
四、剪力计算 有了D值后，与反弯点法类似，计算各柱分 配的剪力 Dij Vij V pj Dij 五、确定柱反弯点高度比 影响柱反弯点高度的主要因素是柱上下端的 约束条件。
【精选】《分层法》例题详解
例：如图1所示一个二层框架，忽略其在竖向荷载作用下的框架侧移，用分层法计算框架的弯矩图，括号内的数字，表示各梁、柱杆件的线刚度值（EIil ）。
图1解：1、图1所示的二层框架，可简化为两个如图2、图3所示的，只带一层横梁的框架进行分析。
图2 二层计算简图图3 底层计算简图2、计算修正后的梁、柱线刚度与弯矩传递系数采用分层法计算时，假定上、下柱的远端为固定，则与实际情况有出入。
因此，除底层外，其余各层柱的线刚度应乘以0.9的修正系数。
底层柱的弯矩传递系数为12，其余各层柱的弯矩传递系数为13。
各层梁的弯矩传递系数，均为12。
图4 修正后的梁柱线刚度图5 各梁柱弯矩传递系数3、计算各节点处的力矩分配系数计算各节点处的力矩分配系数时，梁、柱的线刚度值均采用修正后的结果进行计算，如：G节点处：7.630.6687.63 3.79GH GHGHGH GDGjGi ii iiμ====++∑GD3.790.3327.63 3.79GD GDGH GDGjGi ii iiμ====++∑H节点处：7.630.3537.63 3.7910.21H G H GHGHG HE HIHjHi ii i iiμ====++++∑3.790.1757.63 3.7910.21HI HIHIHG HE HIHjHi ii i iiμ====++++∑10.210.4727.63 3.7910.21HE HEHEHG HE HIHjHi ii i iiμ====++++∑同理，可计算其余各节点的力矩分配系数，计算结果见图6、图7。
图6 二层节点处力矩分配系数图7 底层节点处力矩分配系数4、采用力矩分配法计算各梁、柱杆端弯矩（1）第二层：①计算各梁杆端弯矩。
先在G、H、I节点上加上约束，详见图8图8 二层计算简图计算由荷载产生的、各梁的固端弯矩（顺时针转向为正号），写在各梁杆端下方，见图9：213.13kN m 12FGHql M =-=-⋅213.13kN m 12F HGql M ==⋅ 27.32kN m 12F HIql M=-=-⋅27.32kN m 12F IHql M==⋅ 在节点G 处，各梁杆端弯矩总和为：13.13kN m FG GH M M ==-⋅在节点H 处，各梁杆端弯矩总和为：13.137.32 5.81kN m F F H HG HI M M M =+=-=⋅在节点I 处，各梁杆端弯矩总和为：7.32kN m F I IH M M ==⋅②各梁端节点进行弯矩分配，各两次，详见图9 第一次弯矩分配过程：放松节点G ，即节点G 处施加力矩13.13kN m ⋅，乘以相应分配系数0.668和0.332，得到梁端+8.76k N m ⋅和柱端+4.37kN m ⋅，+8.76kN m ⋅按12传到GH 梁H 端；放松节点I ，即在节点I 处施加力矩7.32kN m -⋅，乘以相应分配系数0.935和0.065，得到梁端 6.32kN m -⋅和柱端+1.00kN m ⋅， 6.32kN m -⋅按12传到IH 梁H 端；放松节点H ，相应的在节点H 处新加一个外力偶矩，其中包括GH 梁右端弯矩、IH 梁左端弯矩、GH 梁和IH 梁传来的弯矩。
C二十七讲 多层多跨分层法、反弯点法
第一层
G H
多层多跨刚架的近似计算 2)固端弯矩： M 固端弯矩： 固端弯矩
F BA
例2 分层法
= −M
F AB
3× 42 = = 4(kN⋅ m) 12
3）力矩分配、传递及杆端弯矩见表。 ）力矩分配、传递及杆端弯矩见表。 （3）最后杆端弯矩及叠加两种情况的结果得最后杆端弯 ） 单位kNm）。 矩（单位 ）。
多层多跨刚架的近似计算
例2 分层法
SDA 0.9×1 µDA = = 0.23 = SDA = 4iDA = 4×(0.9×1) SDA + SDE + SDG 0.9×1+ 2 +1 SDE 2 SDE = 4iDE = 4×2 → µ = = = 0.51 DE S = 4i = 4×1 SDA + SDE + SDG 0.9×1+ 2 +1 DG DG SDG 1 µG = = = 0.26 SDA + SDE + SDG 0.9×1+ 2 +1 SEB = 4iEB = 4×(1×0.9)
-16.77
24.09
-4.11 10.93
-1.65
多层多跨刚架的近似计算
结点 杆端 分配系数 传递系数 固端弯矩 13.86 C CA AC 0.231 1/3 A AB 0.769 1/2 -60 46.14 -21.1 分配与传 递 4.87 16.23 -2.06 0.48 弯矩值 6.40 19.21 1.58 -19.21 44.86 -13.95 BA 0.508 1/2 60 23.07 -42.2 -8.12 -4.13 -1.24 -12.71 B BD 0.153 1/3
反弯点法
一、简化分析模型
1.各杆件的弯
矩图均为直线， 一般情况下每 根杆件都有一 个弯矩为零的 点，称为反弯 点； 2.所有杆件的 最大弯矩均在 杆件两端。
二、计算方法（框架结构共n层，m-1跨）
1 求柱剪力
Fn Fj
u j1
u jk
u jm
将框架在某一层的 反弯点切开。 根据平衡条件，有
i j
jk
i jk
i
k 1
m
VFj jkVFj
jk
jk为j层k柱的剪力分配系数；VFj
i j
Fi
n
为水平荷载在j层 产生的层间剪力。
求柱端弯矩 逐层取脱离体，利用上式求得各柱剪力后，根据各层反弯 点位置，可以求出柱上、下端的弯矩 底层柱：
M ct1k V1k M cb1k h1 3 2h1 V1k 3
剪力分配
柱反弯点 处的剪力
柱端 弯矩
利用节点力 矩平衡条件
梁端 弯矩
l r Mb Mb Vb l
梁端 剪力
节点竖向力 平衡条件
柱 轴力
四、课堂巩固
例题：用反弯点 法计算右图所示 框架的弯矩，并 绘出弯矩图。图 中圆括号内的数 字为杆件的相对 线刚度。
五、小结
应用范围
基本假定
反弯点法
计算步骤
VAB M AB M BA 12i 2 u AB h h
D 抗侧刚度 D 为：
12ic h2
对于j层第k柱，其侧移为 u jk ，相应的剪力可表示为
V jk D jk u jk
（物理条件）
根据平衡条件、几何条件和物理条件，可求得
V jk
毕业设计指导书(框架结构设计)-内力计算及组合
计算杆件固端弯矩时应带符号，杆端弯矩一律以顺时针方向为正，如图3-6。
图 3-6 杆端及节点弯矩正方向
1）横梁固端弯矩：
（1）顶层横梁
自重作用：
板传来的恒载作用：
（2）二～四层横梁
自重作用：
板传来的恒载作用：
2）纵梁引起柱端附加弯矩：（本例中边框架纵梁偏向外侧，中框架纵梁偏向内侧）
顶层外纵梁
相交于同一点的多个杆件中的某一杆件，其在该节点的弯矩分配系数的计算过程为：
（1）确定各杆件在该节点的转动刚度
杆件的转动刚度与杆件远端的约束形式有关，如图3-1：
（a）杆件在节点A处的转动刚度
（b）某节点各杆件弯矩分配系数
图 3-1 A节点弯矩分配系数（图中 ）
（2）计算弯矩分配系数μ
（3）相交于一点杆件间的弯矩分配
（3）求某柱柱顶左侧及柱底右侧受拉最大弯矩——该柱右侧跨的上、下邻层横梁布置活荷载，然后隔跨布置，其它层按同跨隔层布置（图3-4c）；
当活荷载作用相对较小时，常先按满布活荷载计算内力，然后对计算内力进行调整的近似简化法，调整系数：跨中弯矩1.1～1.2，支座弯矩1.0。
（a）（b） （c）
图 3-4 竖向活荷载最不利布置
∑Mik/l
V1/A=gl/2+u-∑Mik/l
M=gl/2*l/4+u*1.05-MAB-V1/A*l/2
4
21.9
4.08
2.25
6
12.24
41.06
-30.54
2.55
50.75
-60.24
3
16.61
4.08
2.25
6
12.24
31.14
分层法题目解答
分层法例：某教学楼为四层现浇钢筋混凝土框架结构。
梁的截面尺寸：250mm×600mm，混凝土采用C20；柱的截面尺寸：450mm×450mm，混凝土采用C30。
试按分层法计算钢筋混凝土框架的弯矩，并绘出弯矩图。
屋面和楼面荷载标准值见下表。
解：（1）计算梁、柱线刚度1）梁的线刚度边跨梁：k b=E b I b/l=[25.5×106×（1/12）×0.25×0.63×1.5]/5.7=24.16×103kN·m（框架梁截面惯性矩增大系数均采用1.5）中跨梁：k b=E b I b/l=[25.5×106×（1/12）×0.25×0.63×2.0]/3.00=45.90×103kN·m2）柱的线刚度底层柱：k c=E c I c/h=[30×106×（1/12）×0.45×0.453]/4.55=22.53×103kN·m 其他层柱：k c=E c I c/h=[30×106×（1/12）×0.45×0.453]/3.60=28.48×103kN·m（2）计算分配系数除底层外，各层柱的线刚度应乘以0.9。
（3）荷载分析1）屋面梁上线荷载设计值恒载：1.2[（2.93+1.00+2.60）×4.5+0.25×0.60×25×1.2]=40.67kN/m 活载： 1.4×0.7×4.5=4.41kN/m （系数1.2为考虑梁挑檐及抹灰重的系数）q1=45.08kN/m 2）楼面梁上线荷载设计值教室恒载：1.2[（1.10+1.00+2.60）×4.5+0.25×0.60×25×1.2]=30.78kN/m活载： 1.4×2.00×4.5×0.9=11.34kN/m （系数0.9为屋面及楼面活荷载折减系数）q2=42.12kN/m 走道恒载：30.78kN/m 活载： 1.4×2.50×4.5×0.9=14.18kN/mq3=44.96kN/m（4）梁端固端弯矩M F顶层边跨梁（教室）：M F=q1l12/12=45.08×5.72/12=122.05kN·m中跨梁（走道）：M F=q1l22/3=45.08×（3/2）2/3=33.81kN·m其他层边跨梁（教室）：M F=q2l12/12=41.12×5.72/12=114.04kN·m中跨梁（走道）：M F=q3l22/3=44.96×（3/2）2/3=33.72kN·m（5）弯矩分配与传递（用弯矩分配法计算）1）屋面层列表计算，如表1。
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第2层：
∑P=10+19=29kN
VDG=9.67kN VEH=12.89kN VFI=6.44kN 第1层： ∑P=10+19+22=51kN VGJ=17kN VHK=20.4kN
VIL=13.6kN
(2) 计算柱端弯矩
第3层
MAD=MDA=6.66kN· m MBE=MEB=8.9kN· m MCF=MFC=4.44kN· m 第2层 MDG=MGD=24.18kN· m MEH=MHE=32.23kN· m MFI=MIF=16.1kN· m
MGH=58.18kN· m
MHG=28.09kN· m
MHI=44.94 kN· m
MIH=MIF+MIL=16.1+27.2=43.3kN· m 上结果，画出M图如图12.19所示。 根据以
图12.17 节点杆端弯矩
图12.18
图12.19 M图（单位： kN· m)
【例12.1】图12.11所示一个两层两跨框架，用分层法作框 架的弯矩图，括号内数字表示每根杆线刚度的相对值。 【解】将第二层各柱线刚度遍乘0.9，分为两层计算，各层 计算单元如图12.12和图12.13所示。
用弯矩分配法计算各杆端的弯矩，其计算过程见图 12.14。
最后将图12.14中的各杆端弯矩叠加并绘弯矩图如图 12.15
图12.11 例12.1计算简图
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图12.12 例12.1二层计算单元
图12.13 例12.1底层计算单元
图12.14
注意事项：
分层法计算的各梁弯矩为最终弯矩，各柱的最终弯矩为 与各柱相连两层计算弯矩的叠加； 图12.15 M图（单位： kN· m)
【例12.2】用反弯点法求图12.18所示框架的弯矩图。图 中括号内数字为各杆的相对线刚度。 【解】（1） 计算柱的剪力 当同层各柱h相等时，各柱剪力可直接按其线刚度分 配。 第3层： ∑P=10kN VAD=3.33kN VBE=4.45kN VCF=2.22kN
第1
MGJ=34kN· m
MJG=68kN· m MHK=40.8kN· m MKH=81.6kN· m MIL= 27.2kN· m MLI=54.4kN· m (3) 根据节点平衡条件算出梁端弯矩 第3
MAB=MAD=6.66kN· m
MBA=3.42kN· m
MBC=5.48kN· m
MCB=MCF=4.44kN· m 第2层 MDE= 30.84kN· m MED=15.82kN· m MEF=25.31kN· m MFE=20.54kN· m 第1